NOVEMBERKONFERANSEN TRONDHEIM HEIDI STRØMSKAG. Kunnskap for en bedre verden

Transkript

1 FLISLEGGING FOR Å FINNE EN MATEMATISK SETNING NOVEMBERKONFERANSEN TRONDHEIM HEIDI STRØMSKAG Kunnskap for en bedre verden

2 AGENDA En aktivitet å utvikle en tilsiktet kunnskap som løsning på et «problem» Matematisk og didaktisk diskusjon relatere til teori Heidi Strømskag 2

3 AKTIVITET Firmaet FliseL selger en spesiell type flisformasjoner som kan settes sammen til kvadrater. L-formasjoner Heidi Strømskag 3

4 AKTIVITET (Novemberkonferansen 2015) Jobb sammen i grupper på tre. Dere skal dekke et kvadratisk areal med flisformasjoner fra FliseL. 1) Velg størrelse på det kvadratet dere skal dekke (opptil 15 x 15-kvadrat). Diskuter hvordan dere kan lage dette kvadratet med L-formasjoner. BETINGELSE A: L-formasjonene skal være av ulik størrelse. Størrelsen på kvadratet gir poeng: Et n x n-kvadrat gir n poeng. 2) Dra til FliseL (KONVOLUTT) og skaff L-formasjoner for å dekke det valgte kvadratet. 3) Samarbeid om å sette sammen L-formasjonene til det valgte kvadratet. BETINGELSE B: Hvis dere ikke skaffer nøyaktig de riktige L-formasjonene, må dere dra tilbake til FliseL for komplettering eller retur. Når dette er nødvendig, mister dere ett poeng for hver formasjon dere har til overs eller mangler. 4) Lag en kompakt oppskrift for å velge ut og sette sammen L-formasjoner til et vilkårlig kvadratisk areal (under betingelsene A og B). 5) Begrunn matematisk at oppskriften deres alltid virker (for et kvadrat av vilkårlig størrelse). Finn flere måter å vise at oppskriften er riktig på. Hvordan kan dere muntlig formulere den matematiske sammenhengen dere har brukt i denne oppgaven? 6) Gå sammen med et annet par og diskuter hverandres løsninger fra (4) og (5). 4

5 MÅLKUNNSKAPEN EN LIKHET (ET GENERELT NUMERISK RESULTAT) Ulike representasjoner: n 1 = n 2 Summen av de n første oddetallene er lik det n-te kvadrattallet. Når vi summerer de n første oddetallene får vi kvadratet av n. n i= 1 (2i 1) = n 2 L + L + L + + L = n n 2 Må si hva L-ene står for Heidi Strømskag 5

6 EN EPISTEMOLOGISK MODELL (1) Modell av målkunnskapen n 1 = n 2 (2) Modell av elevenes tenkte læringsbane 6

7 2 BEGRUNNELSE/BEVIS ( n 1 = n ) ALGEBRAISK RESONNEMENT VISUELT RESONNEMENT Generisk eksempel ( ) =

8 TEORIEN FOR DIDAKTISKE SITUASJONER I MATEMATIKK (TDS) En vitenskapelig tilnærming til problemene knyttet til undervisning og læring av matematikk, der særegenheten til den matematiske kunnskapen spiller en avgjørende rolle. Guy Brousseau Empirisk arbeid ca (Forsøksskole nær Bourdeaux) Felix Klein-medalje i 2003 Heidi Strømskag 8

9 TDS FOR UNDERVISNING OG FORSKNING Hvordan kan læreren tilrettelegge situasjoner, som gjør det mulig og meningsfylt for eleven å tilegne seg en tilsiktet matematisk kunnskap? undervisning Analyse av matematikkundervisning forskning Heidi Strømskag 9

10 TDS METODOLOGISK PRINSIPP En matematisk kunnskap er representert av en situasjon som involverer oppgaver som kan løses på en optimal måte ved å bruke målkunnskapen Hva er de nødvendige betingelsene for at en situasjon skal implementere den kunnskapen som den sikter mot? Hvordan kan situasjoner designes, og utviklingen av dem håndteres, i en gitt utdanningsinstitusjon? epistemologisk program Heidi Strømskag 10

11 ADIDAKTISK SITUASJON En situasjon der studenten tar et problem som sitt eget og løser det med basis i dets indre logikk - uten lærerens inngripen - uten didaktiske føringer Heidi Strømskag 11

12 TO AV LÆRERENS ROLLER (inngang og utgang av en adidaktisk situasjon) Devolusjon: presentere en oppgave (problem) for elevene som de overtar ansvaret for å løse adidaktisk situasjon Institusjonalisering: samle den viten som er utviklet under oppgaveløsningen, dekontekstualisere den, presentere den i konvensjonell notasjon kulturell kunnskap Heidi Strømskag 12

13 MILJØET Den intellektuelle og fysiske virkeligheten som elevene opererer i når de løser et problem/en oppgave Er relativt til en definert målkunnskap og består av: Problemet/oppgaven som skal løses Begreper, definisjoner, resultater, tekster (formler, relasjoner, teoremer, etc.) som er relevante Evt. konkretiseringsmateriell (det empiriske miljøet) Betingelser/regler for å operere i situasjonen Interaksjon: Hvem skal snakke med hvem? Om hva? Hva skal skje hvis det (fra lærerens side) planlagte resultat ikke oppnås? Heidi Strømskag 13

14 TREKK VED MILJØET (for sammenheng mellom oddetall og kvadrattall) Skapt av den aktuelle kunnskapens natur: ekvivalens av det n-te kvadrattallet og summen av de n første oddetallene (representert ved arealer) Konkretiseringsmateriell: L-former representerer oddetall L-former av ulik størrelse påfølgende oddetall En teknikk for å representere det n-te oddetallet 2n-1 nødvendig kunnskap for valideringsfasen Teste oppskriften og beviset på andre (feedback adidaktisk potensial) Argumentasjon forklare fenomenet med oddetall og kvadrattall (Algebra eller visuelt bevis?) Heidi Strømskag 14

15 REFERANSE Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics: Didactique des mathématiques, (N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland, & V. Warfield, Red. og overs.). Dordrecht, Nederland: Kluwer Academic Publishers. Heidi Strømskag 15