Tenk det! Utforsking, forståelse og samarbeid i matematikkundervisningen

Transkript

1 Tenk det! Utforsking, forståelse og samarbeid i matematikkundervisningen Lisbet Karlsen HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 1

2 Verksted 90 min Bygge opp rike utforskingsopplegg Gjennomføre noen aktiviteter Knytte noe teori til arbeidet HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 2

3 Rike oppgaver (Stedøy 2005, Karlsen 2014) skal introdusere viktige matematiske idéer eller løsningsstrategier skal være lett å forstå og ha lav inngangsterskel samtidig som de skal oppleves som utfordringer skal kreve anstrengelse og tillates å ta tid skal den kunne løses på ulike måter, med ulike strategier og representasjoner skal gi mulighet for matematiske diskusjoner skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye interessante problemer, ved f.eks. å spørre: Hva hvis?, Hvorfor er det ikke slik? eller liknende

4 Bygge opp rike utforskningsopplegg Tema og kompetansemål Hva vet elevene mine om dette temaet? Kartlegging? Hva er kritiske faktorer i temaet? Oppstart og motivasjon. Lav inngangsterskel Problemløsing, åpen oppgave og utfordringer. Utforsking Kommunikasjon Oppsummering og refleksjon Bevis for læring (knyttet til kompetansemålet)? HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 4

5 Eksempel 1: algebra Kompetansemål etter 10. trinn: Mål for opplæringa er at elevene skal kunne behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane bruke tal og variablar i utforsking, eksperimentering og praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 5

6 Kartlegging Viktig å bygge undervisningen på det elevene vet fra før. Tenkeskriving og tankekart Liten kartleggingstest Fortell læringspartner det du vet Finn en som. Osv HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 6

7 Kritiske faktorer knyttet til aktuelle kompetansemål? Tallregning Prioritet mellom regneoperasjoner Regler for regning med parenteser Positive og negative verdier Likhetstegnets betydning Potenser Variabelbegrepet Variabel står for et tall Hva er forskjellen på benevning og variabel? To like variabler i et uttrykk står for samme tall Innsetting av tall for variabler HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 7

8 Rammeproblemet (Boaler og Humphreys, 2005) Elev 1: Elev 2: Elev 3: (10 10)-(8 8) Elev 4: 4 9 Elev 5: Elev 6: HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 8

9 Kommunikasjon og samtale Elevsamtaler, gjerne med læringspartner eller i en liten gruppe Klassesamtale Ulike samtaletrekk (Wæge, 2015) HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 9

10 Profesjonsverksted høst-16 10

11 Rammeproblemet (Boaler og Humphreys, 2005) Fire ulike representasjoner for sammenhengen mellom lengden på siden og antall kvadrater i ramma: Geometrisk Numerisk Verbalt Algebraisk HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 11

12 Rammeproblemet (Boaler og Humphreys, 2005) Numerisk representasjon (Elev 2 s modell): 10x10: x6: x15: x233: Geometrisk representasjon HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 12

13 Rammeproblemet (Boaler og Humphreys, 2005) Verbal representasjon: Forklare muntlig og skriftlig hvordan den enkelte metoden fungerer. Algebraisk representasjon: s + s+ (s-2) +(s-2) Hjelpe elevene til å bli så presise som mulig ved å stille spørsmål HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 13

14 Algebraiske representasjoner og likhet (Boaler og Humphreys, 2005) Elev 1: Elev 2: Elev 3: (10 10)-(8 8) Elev 4: 4 9 Elev 5: n 4 n + n +(n-2) + (n-2) n n (n-2) (n-2) = n 2 - (n 2) 2 4(n-1) n+ (n-1) + (n-1) + (n-2) Elev 6: (n-2) HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 14

15 Utviding av oppgaven / differensiering Hva hvis? Hva hvis rammen var 5 5? Andre størrelser? Skriv antall ruter i ramma som en funksjon av sidelengden. Tegn grafen til denne funksjonen, gjerne i GeoGebra HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 15

16 HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 16

17 Utforskende Undersøke Kan være ren manipulering av tall, men ofte er det knyttet til tegning eller undersøkelser ved hjelp av et materiell Gir ofte anledning til kommunikasjon Presentere hypoteser Fortelle hva man gjør og lytte til andres forklaring Fortelle hva men finner ut og lytte til andre Diskutere ulike løsninger Begrunne forslag HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 17

18 Problemløsing En oppgave man ikke umiddelbart ser hvordan man kan løse. En oppgave der man ikke har klar en algoritme for å løse den Gjør at man gjerne må prøve seg fram, undersøke eller tegne HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 18

19 Åpen oppgave En åpen oppgaven har gjerne ulike løsninger og/eller ulike strategier og/eller ulike måter å representere løsningen på Svært åpen oppgave: Lag en oppgave selv HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 19

20 Oppsummering / refleksjon Se på målene igjen: Hva har du lært? Hva slags måloppnåelse har du? Læringsbillett Tommel opp Logg Mål-lapp for videre arbeid Oppgave: F.eks: Tenk på rammeoppgaven: Per og Kari har laget hver sin modell algebraisk: Per: R = 4 (n-1) Kari: R = n 2 (n 2) 2 Vis at begge uttrykkene fungerer ved å regne ut begge når sidelengden er HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 20

21 «Min favorittfeil» Se video på YouTube: My favorite no Gjerne dagen etter for å se hvor elevene er, for å få elevene til å sette fokus på hva som er riktig, og for å analysere en feil som flere har Vurdering for læring Variasjonsteori HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 21

22 Eksempel 2: Likninger Kompetansemål etter 10. trinn: Mål for opplæringa er at elevene skal kunne løyse likningar og ulikskapar av første grad og likningssystem med to ukjende og bruke dette til å løyse praktiske og teoretiske problem analysere samansette problemstillingar, identifisere faste og variable storleikar, kople samansette problemstillingar til kjende løysingsmetodar, gjennomføre berekningar og presentere resultata på ein formålstenleg måte HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 22

23 Kritiske faktorer Likhetsprinsippet Hva betyr likhetstegnet? Hva står x for? Hvordan bevarer vi likhet når vi gjør endringer for å få x alene på den ene siden? Tolke tekstoppgaver og finne ut hvordan problemet kan løses ved hjelp av likning Aritmetikk; regnerekkefølge, prenteser, negative tall, brøk HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 23

24 Likevektsprinsippet likning og hoderegning Likninger som hoderegning Enkel metode for løsning av enkle likninger. Gir også forståelse for likhetstegnet: 4x = 7

25 Likhetsprinsippet 5+8 = + 7 Hvilket tall skal stå på streken?

26 Likhet, ungdomstrinnet Likninger Fokus på hva likhetstegnet betyr: En relasjon mellom like tall a) 2x+1 = 7 b) 5x+2 3 = 9 e) 5 = 10 2x+1 f) x = 10 c) 6 x 4 = 2 g) 2x = 3 For å løse mer avanserte likninger, bruker vi nettopp det vi vet om likhet: Vi gjør den samme operasjonen på begge sider av likhetstegnet for å bevare likheten HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 26

27 Likhet, ungdomstrinnet Ulike representasjoner for å forstå likhetsbegrepet HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 27

28 Likhet, ungdomstrinnet Ulike representasjoner for å forstå likhetsbegrepet HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 28

29 Lag dine egne likninger Lag en likning som er lett for deg Lag en likning som er vanskelig for deg Når blir en formel til en likning? Bygg opp din egen likning bakfra. Start med svaret, f.eks. x =5, og bygg den opp i flere steg ved å gjøre likt på begge sider.

30 Uoppstilte likninger (Jensen og Wæge, 2010) Bruk 10 brikker til å lage 3 kolonner slik at den røde kolonnen inneholder 3 flere enn den blå kolonnen Den grønne inneholder 1 flere enn den blå kolonnen 10 = b + b+3 + b = 3b + 4 b = HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 30

31 Uoppstilte likninger Løs følgende oppgave uten likning først: Inger har 70kr mer enn Jens, og Petter har 50kr mindre enn Jens. Til sammen har de 470kr. Hvor mye har hver av dem? Løs den så med likning

32 Løsning uten likning Jens Tre bokser lik boksen til Jens: = 450 Hver boks: 450 : 3 = Petter Inger Jens: 150 kr Inger: 150 kr + 70 kr = 220 kr Petter: 150 kr 50 kr = 100 kr

33 Likningsløsning Eksempel 1: Jens er x x + x x - 50 = 470 3x + 20 = 470 3x = 450 x = 150 Jens: 150kr Inger: 150kr + 70kr = 220kr Petter: 150kr 50kr = 100kr

34 Likningsløsning Eksempel 2: Inger er x x + x (x 70) 50 = 470 2x 70 + x = 470 3x 190 = 470 3x = 660 x = 220 Inger: 220kr Jens: 220kr 70kr = 150kr Petter: 150kr 50kr = 100kr

35 Videre arbeid med uoppstilte likninger Lag en tekstoppgave der vi kan bruke likning for å løse oppgaven HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 35

36 Eksempel 3: De fire regneartene Kompetansemål etter 10. trinn: Mål for opplæringa er at elevene skal kunne utvikle, bruke og gjere greie for ulike metodar i hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning med dei fire rekneartane HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 36

37 Litteratur Boaler, J., & Humphreys, C. (2005). Connecting mathematical ideas. Middle school video cases to support teaching and learning. Portsmouth, NH: Heinemann. Brekke, G., Grønmo, L. S., & Rosén, B. (2000). Veiledning til algebra. Oslo: Nasjonalt Læremiddelsenter. Hagland, K., Hedrén, R., & Taflin, E. (2005). Rika matematiska problem. Stockholm: Liber AB. Karlsen, L. (2014). Tenk det! Utforsking, forståelse og samarbeid - elever som tenker sjæl i matematikk. Oslo: Cappelen Damm. Jensen, A.-M., & Wæge, K. (2010). Undersøkende matematikk - undervisning i videregående skole. Kommunikasjon - motivasjon - forståelse. Trondheim: Matematikksenteret. ende%20matematikk%20-%20aktiviteter HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 37

38 Litteratur Nostrati, M., & Wæge, K. (2014). En oppsummering av status for forskning på hva som kjennetegner god læring og undervisning innenfor matematikk: Matematikksenteret. Stedøy, I. M. (2005). La den matematiske fuglen få fly! Rike problemløsningsoppgaver i matematikkundervisningen. I G. Nortvedt (Red.), Matematikk med røtter og vinger. LAMIS. Sommerkursrapport Bergen: LAMIS. Wæge, K. (2015). Samtaletrekk - redskap i matematiske diskusjoner. Tangenten(2), Film: Teaching channel: Youtube: My favourite n0: HØGSKOLEN I BUSKERUD OG VESTFOLD PROFESJONSHØGSKOLEN 38