Mathematical Knowledge for and in Teaching

Transkript

1 Mathematical Knowledge for and in Teaching Lærer-respons på uplanlagte elevinnspill i matematikkundervisningen Et eksempel fra 3.trinn Mål Finne eksempler på hvordan matematikklærerens profesjonskompetanse kommer til uttrykk i klasserommet Finne eksempler som synliggjør matematikkkunnskap som er relevant i lærerutdanningen Bli fortrolig med verktøy for refleksjon til bruk i studenters praksisopplæring Utvikle egen profesjonskompetanse 1

2 Teoribakgrunn: Som analyseverktøy tar vi utgangspunkt i Rowland mfl: The Knowledge Quartet Et rammeverk for analyse av hvordan læreres kompetanse i matematikk kommer til uttrykk gjennom deres undervisning Ball mfl: Mathematical Knowledge for Teaching Specialized Content Knowledge Knowledge about proof in the classroom Rowland m fl The Knowledge Quartet Kategorier Foundation: faglige kunnskaper, holdninger Transformation: valg av analogier, representasjoner, eksempler.. Connection: sammenheng, sammenbinding Contingency: forholde seg til uplanlagte elevinnspill, avvik fra egen agenda 2

3 Matematical Knowledge for Teaching Common content knowledge Horizon content knowledge Specialized content knowledge Knowledge of content and students Knowledge of content and teaching Knowledge of content and curriculum (Ball et al, 2008) Lærer skriver 36 på tavla og sier: -kan dere fortelle meg de egenskapene tallet 36 har? Hva vet vi om tallet 36? Etter noen elevinnspill knyttet til tierplass, enerplass og siffersum kommer følgende sekvens: Henriette: Hva vet du om tallet, Mia? Mia: Det er et oddetall. 3

4 Fra transkripsjonen: 1. Henriette: Er det et oddetall 2. Mia: Nei, et partall 3. Henriette: Hva var det med oddetallene? 4. Mia: Er det ikke et oddetall da? 5. Henriette: Da får vi gå tilbake. Hva er et oddetall da? 6. Sabrina: Eh, eh. når man ikke kan dele på 2. 7.Henriette: Oddetall. Ok. Ikke dele på to. (Skriver på tavla ): Oddetall: ikke dele på to 8. Henriette: Skal vi se. Vi kan prøve. Hvis jeg tegner opp: en, to, tre, fire, fem,en, to, tre, fire, fem fem - ti - Her har jeg tegnet opp 36 streker 9. Henriette: Så har vi en person A, det er A ( skriver A) og så person B ( skriver B) -så skal vi begynne å dele ut da. Hvor mye er det de kan få hver da?... Hvor mye er det i hvert fall vi vet at de kan få da? 10. Cato: En kan få 15 4

5 11. Henriette: OK. Da setter jeg A på de her. Og hvis dette skal bli likt må jo den andre få 15 og da? 12. Mira Ja -(bekreftende mumling fra flere ) 13. Henriette: Er det B sine? (peker) 14. Mira: Mmm. (bekreftende mumling fra flere ) 15. Henriette: Men vi har igjen noen streker enda?. Dvsat 30 er et partall da! (bekreftende mumling og nikking) 16. Henriette: Men vi har igjen disse også? -Nils? 17. Nils: Hmm da må begge to få tre hver? 18. Henriette: Skal vi se om det går? Hvis vi skriver A på de så skriver vi B på de. Dvsat de da fikk først fikk de 15 hver, så fikk de 3 hver, til sammen fikk de Henriette: Mia, er da 36 er partall eller et oddetall? 20. Mia: Partall 21. Henriette: Et partall 5

6 Contingency Henriette: Er det et oddetall? Mia: Nei, et partall. Henriette: Hva var det med oddetallene? Mia: Er det ikke et oddetall da? 6

7 Connection og Transformation Henriette: Da får vi gå tilbake. Hva er et oddetall da? Sabrina: Eh, eh - når man ikke kan dele på 2 Henriette: Oddetall. Ok. Ikke dele på to. Skriver på tavla : Oddetall: ikke dele på to Transformation Henriette: Skal vi se. Vi kan prøve. Hvis jeg tegner opp en, to, tre, fire, fem en, to, tre, fire, fem.. -fem -ti - Her har jeg tegnet opp 36 streker 7

8 Specialized Content Knowledge: Kjennskap til ulike representasjonsformer Specialized Content Knowledge kunnskap om ulike representasjonsformer Nivå av abstraksjon Vite hvilke representasjonsformer som egner seg for et partall med ett odde antall tiere når målet er å dele på ti 8

9 Representerer 30 ikke som tiere, men som femmere som gir et partallantall femmere -delelig på to Tegner femmergruppene under hverandre -lett å telle tiere Gruppering av femmere som gjør at det er lett å dele på to Enerne er ikke gruppert -kan dele uten å veksle først Knowledge of content and teaching Knowledge of content and students På spørsmål om bruk av penger: Da måtte jeg brukt femmere og en-kroner Hva med ti-kroner?: Nei, da må vi begynne med veksling det var ikke det som var poenget her. Nå var det viktig at det kan deles på to Hvorfor tellestreker: Penger betyr å innføre kontekst butikk og handling -det bare forstyrrer. Tellestreker kan stå for hva som helst 9

10 Foundation Kunnskap om oppdeling av 36: 36 = = 6 x = 3 x (2 x 5) + 6 Kunnskap om å bevise: Påstand - premiss - konklusjon En tro på at elevene kan være med på dette resonnementet Kunnskap om bevis i klasserommet Kunnskap om situasjoner som egner seg for bevis Argumentasjonen tar utgangspunkt i etablerte utsagn/definisjoner som er allment akseptert i klasserommet : Oddetall kan ikke deles på to Gjør bruk av resonnement og argumentasjon som er gyldig og som er kjent for elevene: 36 er et oddetall følgelig kan det ikke deles på to Kommuniseres med en uttrykksform som er egnet og som er forståelig for elevene: Tellestreker Bruk av kontekst (Person A og B) ( Stylianides & Ball 2008) 10

11 KQ oppleves som et godt verktøy både for analyse av og refleksjon over egen og andres undervisning Ball gir et mer utenfra blikk og har mer fokus på hva slags matematikk som er relevant i lærerutdanningen. De utfyller hverandre. Refleksjon over egen praksis Turner og Rowlands fire kategorier av lærerkompetanse har hjulpet oss til å identifisere hvilke kompetanser en matematikklærer bør ha, men har også fått oss til å se at vi langt på vei er innom de fleste fasene i planleggingen, gjennomføringen og vurderingen av vår undervisning. Anne & Anne, lærere i videreutdanning 11

12 Refleksjon over egen praksis Noen ganger har jeg sittet igjen med følelse hva har elevene lært i dag egentlig? Men gjennom denne refleksjonen har jeg mulighet til å til rette legge neste økt på en annen måte. Henriette, lærer I videreutdanning Referanser: Ball,D.L.,Bass,H. ( 2004): Knowing Mathematics for Teaching. I: Strässer,R., Brandell,G.,Grevholm,B. og Hellenius,O. (red.): Educating for the future. Proceed of an International Symposium on Mathematics Teacher Education, s Göteborg: Royal Swedish Academy of Sciences. Göteborg University Ball,D.L., Thames,M.H. of Phelps,G. (2008) Content Knowledge for Teaching. What makes It Special? Journal of Teacher Education Vol.59, 5: Rowland,T.,Huckstep,P. og Thwaites,A. ( 2005) Elementary teachers mathematics subject knowledge: the knowledge quartet and the case of Naomi, Journal of Mathematics Teacher Education 8: Rowland,T.,Huckstep,P. og Thwaites,A. (2006) The Knowledge Quartet:Consirering Chloe. I: Bosch,M. (red): Proceedings of the FourthCongress of the European Society for Research in Math.Ed. s , Barcelona Stylianides,A.J. og Ball,D.L ( 2008) Understanding and describing mathematical knowledge for teaching: knowledge about proof for engaging students in the activity of proving. Journal of Mathematics Teacher Education11: Turner, F., & Rowland, T. (2008). The Knowledge Quartet: A Means of Developing and Deepening Mathematical Knowledge in Teaching? 12

13 13