Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland
Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave Matematsk modell... 4 a) Tlstandsrom modell... 4 b) Utled lkevektspunkt :... 4 Oppgave Stabltet... 5 a) Jacobmatrsen A... 5 b) Stabltet lkevektspunktene... 6 Oppgave Regulator basert på lneære metoder... 6 a) Blokkdagram for regulerngssystemet... 6 b) knng for egentlg regulator... 7 c) Tlstandsrommodell for lukket-sløyfe system... 7 d) Jacobmatrsen for lukket sløyfe-system orgo... 8 e) Stabltet lkevektspunkter... 8 f) Smulerng av lukket sløyfe-system... 9 g) Praktsk regulerng... h) Sammenlgnng teor/prakss... Oppgave 4 Faseplan... a) ukket sløyfe strømdynamkk... b) Faseportrett av det åpen sløyfe-ulneære systemet... c) Egenverder for den åpne regulerngssløyfen... d) ukket sløyfe system med PD regulator:... e) Egenverder for lukket sløyfe system med PD regulator... Oppgave 5 Beskrvende funksjoners metode... a) Transferfunksjon G(s)... b) Smulerng med hystereseelement... 5 c) aboratoreforsøk... 8 d) Beskrvende funksjon for backlashelementet... 9 Oppgave 6 Inngang-Utgang lnearserng... 9 a) Defnsjon... 9 b) Vs at systemet har relatv grad ρ { R } :... c) e-derverte... d) Normalform og nulldynamkk... Oppgave 7 Regulator... a) Tlstandsrommodell... b) Utled et uttrykk for tlstandstlbakekoblngen v Kζ :... c) Fnn K ved polplasserng:... d) Smulerng av modell... e) Anvendelse av regulator på systemet... 5 Konklusjon... 5
Innlednng Prosjektet Magnetsk nvåregulerng er nyttet som en praktsk vnklng av faget TTK 45. Systemet består av en stålkule som holdes svevende ved hjelp av magnetsk kraft. Den magnetske kraften er generert av en spole der strømmen kan reguleres. For å holde ballen en fast possjon må magnetkraften tlsvare gravtasjonskraften som vrker på kula. På grunn av mndre forstyrrelser må strømmen reguleres ved hjelp av en tlbakekoblng av ballens possjon. Possjonen tl kula er målt hvert,5 mllsekund ved hjelp av en sensor som fastslår lysmengden som slpper ned søyla under ballen. Ved hjelp av målngen er en ny referanse for strømmen fastsatt. Systemet er ulneært da magnetkraften på kula er omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom kula og spolen og proporsjonal med kvadratet av strømmen gjennom spolen. Den åpne sløyfen er også meget ustabl da den magnetske kraften fra spolen på kula vl avta når kulen fjerner seg mens strømmen er stabl. Dette vl gjen øke akselerasjonen nedover. Regulerngsproblemene prosjektet er basert på både konstant referanse, samt snus- og frkantpulsfunksjoner. neære og ulneære kontrollsystemer er testet og sammenlgnet, sammen med grensesykler.
4 Oppgave Matematsk modell a) Tlstandsrom modell u R R d m K g u R R d m K g d m K g s l s l ) ( ) ( ) ( b) Utled lkevektspunkt : ) ( ) ( u R R u R R d K mg d R R u mg K d mg K d m K g s l s l s l
Oppgave Stabltet a) Jacobmatrsen A f k ( ) k A a a m d m d ( ) ( ) a R RS Fnner koeffsentene ved å sette nn for : a a a ( ) ( ) mg ( d ) K K K mg ( d) g m d m K d d mg ( d ) K K K mg gk m ( d) m K ( d) m ( d) R R S f g gk A d m ( d) R RS 5
b) Stabltet lkevektspunktene ( λ) det( λi A) λ det a λ a λ a ( a ) ( a )( a )( ) λ λ λ ( λ a )( λ a ) Systemets poler nnsatt lkevektspunktene og parametrene er hentet fra ntmaglev: R RS λ a 6.7.45 λ g 9.8 ± a ± ± ± 6..7.785,.7 d Dvs. at v har en pol høyre halvplan som gjør det åpne systemet ustablt. Uten regulerng har v ngen praktsk stable lkevektspunkter. Oppgave Regulator basert på lneære metoder a) Blokkdagram for regulerngssystemet Fgur. Blokkdagram for regulerngssystemet u og u representerer en PID- kontrollstruktur. 6
b) knng for egentlg regulator Skal vse at: d K Defnsjoner: - u u -u - d d I tllegg har man: d u. ( ) ( u u ) ( u ) ( u ) d d Her vl den sste parentesen bl, og når man bruker at u Kender man med: d K som skulle vses. u kd k5 ddt Bruker resultatet d K u k ( k k k ) k ( k k k dt) dt 4 5 4 u k k K k dt k k dt k k dt k k dtdt 5 5 5 5 4 u K kk kk kk kk 5 4 5 5 4 6 u k K K k k k k k k 5 4 5 4 5 6 c) Tlstandsrommodell for lukket-sløyfe system Har at [ ] Bruker at: Som gr: 4 5 6 u u u T K ( u u) K ( u u) g g m ( d) m ( d) a bu a b( kk K kk5 4 kk5 k4k56 ) 4 4 7
d) Jacobmatrsen for lukket sløyfe-system orgo Fnner Jacobmatrsen for systemet orgo, dvs A K ( ) K ( ) m ( d) m ( d) bkk bkk5 bkk a bk bkk4 bkk5 bk5 bk4k5 Innsatt lkevektspunktet orgo gr Jacobmatrsen A: K K m ( d) m ( d) A bkk bkk5 bkk a bk bkk4 bkk5 bk5 bk4k5 e) Stabltet lkevektspunkter Bruker Matlab og kjører flen ntmaglev.m og fnner forsterknngene for 7 mm k -8.58 k - 5.8966 k 88. k 4-57.587 k 5 64 Fnner egenverdene tl A for lkevektspunktene { 6.5 7 7.5 }[mm] med de gtte forsterknngene regnet ut rett ovenfor. mm 6.5 mm 7 mm 7.5 mm mm -.57.87 -.56 98.4 -.55 94.489 -.57 -.87 -.56-98.4 -.55-94.489 -.4 -. -.6-7.555-7.8-7.5 -.56 -.568 -.566-4.447e-5 -.898e-5 -.56e-6 -.6.45 -.6 -.45 -.85-6.99 -.568.67e-5 -.49 7.7 -.49-7.7 -.65-7.898 -.5589 -.46e-5 Tabell. For lkevektspunktet mm er det en egenverd som har postv realdel. Det betyr at punket er ustablt. For alle de andre lkevektspunktene lgger er realdelene <, dvs lkevektspunktene er stable. 8
f) Smulerng av lukket sløyfe-system Bruker matlab for å plotte referanse for strømmen sammen med vrkelg strøm og referansen for possjon sammen med vrkelg possjon. Fgur. Smulerng av regulerngssystetemet med ampltude 4mm og arbedspunkt 7mm. Fgur. Smulerng av regulerngssystemet med ampltude 4 mm og arbedspunkt 7mm. Fgur.4 Smulerng av regulerngssystemet med ampltude,5mm og arbedspunkt 7mm. Fgur.5 Smulerng av regulerngssystemet med ampltude,5 mm Man kan legge merke tl at strømregulerngen er mye raskere enn possjonsregulerngen. 9
g) Praktsk regulerng Fgur.6 Generatorampltude.5mm. Arbedspunkt 7mm Fgur.7 Generatorampltude.5mm. Arbedspunkt 7mm h) Sammenlgnng teor/prakss For.5mm ampltude på frkantpulsen, ble plottene for strøm og possjon det vrkelge systemet nokså lkt de samme plottene smulerngen. Men det var en anelse mer oversvng det vrkelge systemet, samt at det var ltt svngnnger på kurven noe som kan skyldes at kulen svnger sdeves. Økte man ampltuden tl 4mm var systemet stablt under smulerngen, mens oversvnget ble for stort det vrkelge systemet tl at regulerngen fungerte. (Kulen heftet seg tl magneten).
Oppgave 4 Faseplan a) ukket sløyfe strømdynamkk Det antas at lukket strøm sløyfe er uendelg rask forhold tl possjonssløyfen. ukket sløyfe strøm dynamkken kan derfor gnoreres under teoretsk analyse og smulerng. Henvser tl fgur.-.5. b) Faseportrett av det åpen sløyfe-ulneære systemet Tlstandsrommodell: K u g m ( d) Når 7mm, fnnes u ved lkevekt slk: mg u ( d) K Benytter pplane6 matlab for å tegne faseportrett.. ' y K 55 ( - 9) d 7.85 ( - ) m.68 y ' g - (K/m) (u )/( d) u.846 g 9.8 Konstantene er hentet fra fla ntmaglev..8.6.4. y -. -.4 -.6 -.8 -. 4 6 8 - Fgur 4. Faseportrett for åpen sløyfe Faseportrettet vser at lkevektspunktet er et sadelpunkt. Trajektorene går aldr nn tl lkevektspunktet. Systemet har en postv og en negatv egenverd, og er derfor ustablt. Dette er naturlg ettersom det kke er noen form for regulerng på det ulneære systemet.
c) Egenverder for den åpne regulerngssløyfen Tlstandsrommodell: u a a, a g ( d), a ( d) K g m Fnner systemets egenverder vha matlab: e 6.485, e -6.485 Som faseplananalysen vste er egenverdene reelle med motsatt fortegn. Konstantene er gtt som forrge oppave. d) ukket sløyfe system med PD regulator: Tlstandsrommodell: u a a, u k k K Setter nn for u tlstandsrommodellen. Tlstandsrommodellen blr dermed som følger, med ny systemmatrse (A-BK) : y..8.6.4. -. ' y y ' - 8.967-6.6667 y Plotter faseportrettet med pplane6 matlab Konstantene: m,d,g,k er gtt som forrge oppg. kevektspunkt 7 mm -.4 -.6 -.8 -. -4-4 6 8 - Fgur 4. Faseportrett for lukket sløyfe
a ka ka Benytter kontrollgan k -8.58 og k -5.8966 (fra ntmaglev) Regner ut (A-BK) med matlab tl å bl: ( A BK) 8.967 6.6667 I prakss er begrenset mellom [,.5^-]m, men v plottet negatve verder for å vse klart at lkevektspunktet er en stabl node. Trajektorene går mot lkevektspunktet og vser at lkevektspunktet er en stabl node. Egenverdene kan forventes å være reelle og lgge venstre halvplan. e) Egenverder for lukket sløyfe system med PD regulator Benytter matlab for å beregne egenverdene. eg(a-bk) gr følgende egenverder: e-8.79, e -98.947 Egenverdene er reelle og lgger venstre halvplan. Dette var å forvente ettersom faseplananalysen vste at lkevektspunktet var en stabl node. Oppgave 5 Beskrvende funksjoners metode a) Transferfunksjon G(s) Det lneære systemet kan skrves a a u aplacetransformerer og elmnerer s a au g () p s a u s a Transferfunksjonen for regulatoren blr den samme som transferfunksjonen fra avvket e tl pådraget u. Sden referansen er, vl avvket e -y - Regulatoren er gtt ved u k k k4 dt
aplacetransformerer og fnner transferfunksjonen fra - tl u u k sk k4 s u gr () s k sk k4 s Utgangen y. Så transferfunksjonen G(s) g r (s) g p (s) blr: a s a k sa k a k Gs () g() s g() s ( k sk k)( ) r p 4 4 s s a s( s a) Plotter Nyqustdagrammet for G(s) Matlab. Fgur 5. Nyqustdagram Den åpne sløyefunksjonen har en pol høyre halvplan. Av Nyqustplottet ser man at punktet (-,) er omsrklet av Nyqust-kurven retnng mot klokka. Det betyr at antall poler høyre halvplan for det tlbakekoblede systemet er null, dvs. stablt. 4
b) Smulerng med hystereseelement Fgur 5. ukket sløyfe lneær modell med hysterese Fgur 5. Smulerng av ln modell med.mm dødbånd Fgur 5. Smulerng av uln modell med.mm dødbånd 5
Fgur 5.4 Smulerng av ln modell med.mm dødbånd Fgur 5.4 Smulerng av uln modell med.mm dødbånd 6
Fgur 5.5 Smulerng av ln modell med.5mm hysterese Fgur 5.6 Smulerng av uln modell med.5mm hysterese Ser av fgurene at den lneære modellen gr høyere frekvens, men at modellene har tlnærma lk ampltude. Tdsaksen er 4 for stor pga en fel plottngen matlab. Fgur 5.7 ukket sløyfe uln modell med hysterese på tlbakekoblngen 7
c) aboratoreforsøk 7.5-7. System med hysterese, ampltude. Hysterese Possjon 7.5 7. Ampltude [m] 7.5 7 6.95 6.9 6.85 6.8.5.5.5.5 4 4.5 5 Td [s] Fgur 5.7 aboratoreforsøk, hysterese med ampltude, mm 7.8 8 - System med hysterese, ampltude. Hysterese Possjon 7.6 7.4 7. Ampltude [m] 7 6.8 6.6 6.4 6. 6.5.5.5.5 4 4.5 5 Td [s] Fgur 5.8 aboratoreforsøk, hysterese med ampltude, mm 8
7.8 8 - System med hysterese, ampltude.5 Hysterese Possjon 7.6 7.4 7. Ampltude [m] 7 6.8 6.6 6.4 6. 6.5.5.5.5 4 4.5 5 Td [s] Fgur 5.9 aboratoreforsøk, ampltude,5 mm Plottene har stor lkheter ampltude, men har noe avvk når det gjelder frekvens. Ved en ampltude på.6 ble grensesykelen ustabl. d) Beskrvende funksjon for backlashelementet Utgår fra oppgaven. Oppgave 6 Inngang-Utgang lnearserng a) Defnsjon Systemet kan generelt skrves på formen: f( ) G( ) u y h( ) V måler kulens possjonen, slk at målematrsen blr y. Fra Defnsjon 6. og. oppgave a) ser v lett at : A f ( ) og Bu G( ) uog y C h( ) Dermed er det vst at: 9
k f( ) g m ( d) R RS g ( ) h ( ) b) Vs at systemet har relatv grad ρ { R } : y y h( ) f k y h g f ( ) m ( d) y h ( ) h ( ) f g f d k k ( d) ( d) g 4 d m ( d) m ( d) R RS u ( d) ( d) k ( d) k m ( d) m R RS ( d ) k m ( ) ( ) k d m d u V derverer utgangen tre ganger slk at nngangen u kommer frem lknngen. Systemet har en veldefnert relatv grad. ρ n c) e-derverte hvor: y h ( ) h ( ) u ( ρ) ( ρ) ( ρ ) f g f y h ( ) h ( ) u u f g f f g f R RS ( ) k d f h( ) m ( d) k g f h ( ) m ( d)
m( d) u v R RS K ( d) Setter så nn for ( ) nn y R RS k ( d ) ( ) k m d y v ( R RS) m ( d) m ( d) K ( d) R RS ( d ) ( k m d) k k y v k ( R RS) m ( d) K m ( d) ( d) m ( d) m ( d) R R ( R R S S) ( ) k d ( ) k k d k y v m ( d) m ( d) m ( d) m ( d) y v d) Normalform og nulldynamkk Generelt kan systemet skrves som η Aη BCcξ ξ Acξ Bc γ( ) u α( ) y C ξ c [ ] hvor η beskrver den ndre dynamkken og ξ eksterndynamkken. Sden antall tlstander og relatv grad er lke, ρ n, reduseres lknngen tl [ ] ξ Acξ Bc γ( ) u α( ) y C ξ c Varabelen η ekssterer kke, så derfor har systemet ngen nulldynamkk. Systemet har da mnmum fase. y V lager en tlstandsvektor av de e-derverte ξ y y () V derverer ξ og setter nn y v y y ξ y y v y y y y [ ] y y Systemet er nå på kanonsk normalform.
Oppgave 7 Regulator a) Tlstandsrommodell Tlstandsvektor: y y T T ξ ξ y y ζ y y ζdt ( y ) y dt hvor ζ y y V derverer tlstandsvektoren og vet at () y v : y y y y y y y y ζ v y y y y y y ( y y ) dt ζ Aζ Bv b) Utled et uttrykk for tlstandstlbakekoblngen v Kζ : Setter nn for v den utvda matrsen og defnerer K [ K K K K ] : 4 ζ ζ ( Kζ ) ζ K ζ ζ K K K K4 Regulerngslov v Kζ y y P ledd y y D ledd V ser på tlstandsvektoren ζ at v harζ y y D ledd ( y y ) dt I ledd Altså en PID-regulator
c) Fnn K ved polplasserng: Desgner K slk at matrsen (Ac-BcK) blr Hurwtz og får reelle poler: Ønsket poler: - - - -4 (s)(s)(s)(s4) [ I A B K] det λ c c Deretter sammenlkner v polynomene og løser lknngene mhp K Kan også bruke matlab Som gr oss place[a,b,[- - - -4]] K K K K 4 5 5 4 d) Smulerng av modell Fgure 7. Frkantpuls referanse-smulerng strømpådrag, amp 5mm
Fgure 7. Frkantpuls referanse-smulerng possjon, amp 5mm Ved øknng av ampltuden fant v krtsk ampltude for systemet lk 6.9mm Fgur 7. Frkantpuls referanse-smulerng possjon, amp 6.9mm 4
Fgur 7. Frkantpuls referanse-smulerng possjon, amp 6.9 mm e) Anvendelse av regulator på systemet Selv med justerng av polvalg og modellgjennomgang vlle kke systemet stablsere seg. Konklusjon Oppgaven medførte en praktsk gjennomgang av tdlgere gjennomgått teor og har bdratt tl øket forståelse av fagets anvendelse. Det er derfor å beklage at v kke lyktes med å fnne tlfredsstllende parametere for regulerng av systemet. 5