GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk løsning av logaritmelikninger 1.9 Grafisk løsning av likningssett I.1 Grafisk løsning av likningssett II. Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark 3.3/3.4 Binomialkoeffisient I 3.4 Binomialkoeffisient II 3.4 Binomiske sannsynligheter 3.7 Kumulative binomiske sannsynligheter 3.7 Binomisk og kumulativ binomisk i regneark 3.7 Graftegning 4.1 Graftegning med definisjonsmengde 4.1 Andregradsfunksjoner 4.1 Tredjegradsfunksjoner 4.1/5.6 Rasjonale funksjoner 4. Eksponentialfunksjoner 4.3 Potensfunksjoner 4.3 Nullpunkter 4.4 Å finne y- og x-verdier 4.4 Grafisk løsning 4.4 Lineær regresjon 4.5 Polynomregresjon 4.5 Eksponential- og potensregresjon 4.5 Gjennomsnittlig vekstfart 5.1 Momentan vekstfart 5. Den deriverte 5.4 Fortegnslinje for den deriverte 5.5 Tabell med funksjonsverdier og derivertverdier 5.6 Å bruke den deriverte til å finne når et uttrykk er størst mulig 5.6 Grafområde 6. Lineær optimering 6.3/6.4 Aschehoug www.lokus.no

Utregning av algebraiske uttrykk med GeoGebra GeoGebra kan regne ut algebraiske uttrykk som inneholder én bokstav. NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Vi viser tre eksempler på utregning av uttrykk med GeoGebra. Du skal regne ut (x + 3)(x 4). Skriv RegnUt [(x + 3)(x 4)] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. GeoGebra gir svaret på utregningen som et funksjonsuttrykk. (Svaret er gitt som f( x) = x 5x 1til venstre på bildet ovenfor.) I tillegg tegner GeoGebra grafen til denne funksjonen. Du skal regne ut x + 3 x 1. 6 Skriv RegnUt [(x+3)/-(x-1)/6] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså x + 5. 3 x + 6 1 Du skal regne ut. x + 4 6 Skriv RegnUt[(x+6)/(x+4)-(1/6)] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Legg merke til at GeoGebra her gir et svar som kan forenkles til x + 8 3( x + ) eller x + 8 3x + 6. GeoGebra kan også forenkle uttrykket i Algebrafeltet. Det viser vi under Forenkle algebraiske uttrykk. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Forenkle uttrykk med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal forkorte brøken x 6. 4 Skriv Forenkle [(x+6)/4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x 3 Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x 3x Du skal forkorte brøken. x 6 Skriv Forenkle [(x +3x)/(x+6)] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x 6 1 I Utregning av algebraiske uttrykk skulle du regne ut. x 4 6 x 16 GeoGebra ga svaret. Denne brøken kan forkortes. 3(x 4) Skriv Forenkle [(x+16)/(3(x+4))] i inntastingsfeltet og trykk Enter. x 8 x 8 Da får du bildet nedenfor. Svaret kan altså skrives eller 3( x ) 3x 6. Hvis du skriver Forenkle [(x+6)/(x+4)-1/6] i inntastingsfeltet og trykker Enter, får du svaret på figuren ovenfor direkte. Det kan derfor være lurt å bruke kommandoen Forenkle i stedet for å bruke kommandoen RegnUt. Prøv med flere uttrykk og se hva som fungerer best. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Faktorisering med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal faktorisere x 3x. Skriv Faktoriser[x +3x] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 3) x. Du skal faktorisere x 3x 10. Skriv Faktoriser[x -3x-10] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså ( x 5)( x ). Du skal faktorisere x 4x 4. Skriv Faktoriser[x +4x+4] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså. x Du skal faktorisere 3x 1. Skriv Faktoriser[3x -1] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 3( x )( x ). Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Kvadratsetningene med GeoGebra NB! Du må alltid bruke x som navn på den bokstaven som inngår i uttrykket. Du skal regne ut x 4. Skriv RegnUt [ x 4 ] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså x 8x 16. Du skal regne ut x 3. Skriv RegnUt [ x 3 ] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså 4x 1x 9. Du skal regne ut ( x 3)( x 3). Skriv RegnUt [ ( x 3)( x 3) ] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du bildet nedenfor. Svaret blir altså x 9. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Grafisk løsning av eksponentiallikninger med GeoGebra x Du skal løse eksponentiallikningen 85 0,9 = 50. Sett f( x ) = 85 0,9 x og gx ( ) = 50. Skriv f(x)=85*0.9^x i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv g(x)=50 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Tilpass aksene slik at skjæringspunktet mellom grafene vises i grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (6,36, 50). Løsningen på likningen er x = 6,4. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Grafisk løsning av logaritmelikninger med GeoGebra Du skal løse logaritmelikningen lg(x 3) lg 3. Sett f( x) lg(x 3) og gx ( ) lg3. Skriv f(x)=lg(x+3) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv g(x)=lg3 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Tilpass aksene slik at skjæringspunktet mellom grafene vises i grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (3, 0,95). Løsningen på likningen er x = 3. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

0BGrafisk løsning av likningssett I med GeoGebra Du skal løse likningssettet x+ y = 1 (1) x+ y = 4 () Skriv x+y=1 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på Sett inn tekst (, knapp nr. fra høyre), og detter et sted i Grafikkfeltet. Skriv a i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Klikk på F-pila og flytt teksten bort til grafen. Da får du dette bildet: (Hvis du høyreklikker på likningen i Algebrafeltet og klikker på Likning y = ax + b, får du dette bildet: Du ser at GeoGebra kan omforme uttrykket til formen y = x+ 1.) Skriv -x+y=-4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gjør det samme som du gjorde for likning (1) ovenfor. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktet A dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktet og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktet mellom grafene til likningene har koordinatene (1,, 1,4). Likningssettet har løsningen x = 1, og y = 1,4. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Grafisk løsning av likningssett II med GeoGebra Du skal løse likningssettet x + y = 5 (1) x+ y = () Skriv x +y=5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på Sett inn tekst (, knapp nr. fra høyre), og detter et sted i Grafikkfeltet. Skriv c i tekstboksen som dukker opp og klikk på OK. Klikk på F-pila og flytt teksten bort til grafen. Da får du dette bildet: Skriv x+y= i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gjør det samme som du gjorde for likning (1) ovenfor. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktene A og B dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Høyreklikk på punktene og velg Verdi under Egenskaper / Vis navn. Da får du dette bildet: Skjæringspunktene mellom grafene til likningene har koordinatene ( 1, 4) og (3, 4). Likningssettet har løsningene ( 1, 4) og (3, 4). Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

GeoGebra: Fakultet. Binomialkoeffisient i regneark Fakultet Skriv 5! i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. I Algebrafeltet står det nå a = 10. Det betyr at 5! = 10. Binomialkoeffisient Skriv BinomialKoeffisient[10,5] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. 10 I Algebrafeltet står det nå b = 5. Det betyr at 5. 5 Binomialkoeffisient i regnearket Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, r i rute B1 og BinomialKoeffisient[n,r] i rute C1. Skriv 10 i rute A og 1 i rute B. Skriv B+1 i rute B3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute B3 og dra nedover til og med rute B11. Da står tallene 1,,..., 10 i rutene B B11. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,B] i rute C. Dra markøren i ruta nedover til og med rute C11. I rutene C C11 står verdiene for 10 10 10,,...,, slik figuren nedenfor viser. 1 10 (Legg merke til symmetrien.) Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Binomialkoeffisient I med GeoGebra 5 0 Du skal finne binomialkoeffisientene og med GeoGebra. 16 Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Algebrafelt. Fjern eventuelt avhukningen for Akser og Rutenett. Skriv BinomialKoeffisient[5,] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 5 I Algebrafeltet står det a = 10. Det viser at binomialkoeffisienten er 10. Hvis du holder musepekeren over a i Algebrafeltet, får du bildet nedenfor. Dobbeltklikk på a i Algebrafeltet. I boksen som dukker opp, endrer du 5 over til 0 over 16. Klikk på OK. Hvis du holder musepekeren over a i Algebrafeltet, får du bildet nedenfor. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Binomialkoeffisient II med GeoGebra Du skal finne binomialkoeffisienten n r med GeoGebra. n og r er hele, positive tall. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Algebrafelt. Fjern eventuelt avhukningen for Akser og Rutenett. Skriv n = 1 i Inntastingfeltet og trykk Enter. Klikk i rundingen foran n i Algebrafeltet. Da får du dette bildet. I Grafikkfeltet har du fått glideren for n. Du kan klikke på F-pila og deretter på punktet på glideren. Hvis du drar punktet, endrer du verdien til n. Høyreklikk på glideren, klikk på Egenskaper og deretter på fanen Glider. Siden n er et helt, positivt tall, endrer du Min fra 5 til 1. Endre Maks til for eksempel 0. Animasjonstrinnet endrer du til 1. Endre Bredde til for eksempel 00. Klikk på Lukk. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Skriv r = 1 i Inntastingfeltet og trykk Enter. Klikk i rundingen foran r i Algebrafeltet. Fortsett slik du gjorde for n. Da får du dette bildet. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i inntastingsfeltet og trykk Enter. 1 I Algebrafeltet står det a = 1. Det viser at binomialkoeffisienten er 1. 1 Klikk på F-pila og flytt punktene på gliderne slik at n = 15 og r = 5. Da får du bildet nedenfor. 15 Binomialkoeffisienten er 3003. 5 Hvis du skal regne ut for større verdier enn 0 for n eller r, må du endre Maks under glideregenskapene. Du må vurdere om du da bør endre Bredde. Du bør også vurdere om verdien for Min bør endres. Aschehoug www.lokus.no Side av

Binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at 16 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv r = 16 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for r = 16 i Algebrafeltet. Glideren for r dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv BinomialKoeffisient[n,r] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter.! 0" I Algebrafeltet står a = 4845. Det betyr at # $ = 4845. % 16 & Skriv a*p^r*(1-p)^(n-r) i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står b = 0.13. Det betyr at P(16 av 0 frø vil spire) = 0,13. For å finne andre binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, r og p. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Kumulative binomiske sannsynligheter med GeoGebra Vi sår 0 frø og ser om de spirer. Et bestemt frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi vil finne sannsynligheten for at minst 1 av de 0 frøene spirer. Skriv n = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for n = 0 i Algebrafeltet. Glideren for n dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv p = 0.70 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for p = 0.70 i Algebrafeltet. Glideren for p dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 1 Animasjonstrinn: 0.01 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv a = 1 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for a = 1 i Algebrafeltet. Glideren for a dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv b = 0 i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Klikk i sirkelen til venstre for b = 0 i Algebrafeltet. Glideren for b dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 0 Maks: 50 Animasjonstrinn: 1 Bredde: 00 Klikk på Lukk. Skriv Sum[Følge[BinomialKoeffisient[n,r]*p^r*(1-p)^(n-r),r,a,b]] i Inntastingsfeltet. Trykk Enter. Da får du dette bildet: I Algebrafeltet står c = 0.887. Det betyr at P(minst 1 av 0 frø vil spire) = 0,887. For å finne andre kumulative binomiske sannsynligheter kan du nå endre gliderverdiene for n, p, a og b. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

GeoGebra: Binomiske sannsynligheter og kumulative binomiske sannsynligheter i regneark En bestemt type frø spirer med 70 % sannsynlighet. Vi sår 10 frø og ser om de spirer. Binomiske sannsynligheter Vi går ut fra at dette er et binomisk forsøk og bruker formelen n r n r Pr ( frø spirer) p 1 p r Her er n 10 og p 0,70. Vi vil bruke regnearket i GeoGebra til å finne sannsynligheten for at r frø spirer for ulike verdier av r. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv n i rute A1, p i rute B1, r i rute C1, BinomialKoeffisient[n,r] i rute D1 og P(r frø spirer) i rute E1. Skriv 10 i rute A, 0.70 i rute B, 0 i rute C. Skriv C +1 i rute C3. Klikk på markøren nederst til høyre i rute C3 og dra nedover til og med rute C1. Da står tallene 0, 1,,..., 10 i rutene C C1. Skriv BinomialKoeffisient[$A$,C] i rute D. Dra markøren i ruta nedover til og med rute D1. I rutene D D1 står verdiene for 10 10 10,,...,. 0 1 10 Skriv D*$B$^C*(1-$B$)^($A$-C) i rute E. (Du kan i stedet for de to gangetegnene * taste mellomrom.) Dra markøren i ruta nedover til og med rute E1. Da får du bildet nedenfor. Du ser for eksempel at P(7 frø spirer) 0,67. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Kumulative binomiske sannsynligheter Skriv E i rute F. Skriv F + E3 i rute F3. Dra markøren i rute F3 nedover til og med rute F1. Da får du dette bildet: For eksempel ser du at det står 0,617 i rute F9. Det betyr at P(høyst 7 frø spirer) = 0,617. Aschehoug www.lokus.no Side av

Graftegning med GeoGebra Du skal tegne grafen til y = x +1. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Akser, Rutenett og Algebrafelt. Skriv y = x + 1 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen dukker opp i Grafikkfeltet. x-aksen skal gå fra 3 til 3, og det samme skal y-aksen. Innstillinger av aksene kan gjøres på flere måter, men her viser vi to. Metode 1 Høyreklikk på Grafikkfeltet og velg Egenskaper. Endre Min for x-aksen til 3 og Maks til 3. Klikk på y-akse og foreta de samme endringene her. Klikk på Lukk og du får bildet nedenfor. Metode Klikk på Flytt grafikkfelt. (, knapp nr. 1 fra høyre.) Dra i aksene med venstretasten slik at innstillingen blir som ønsket, se bildet ovenfor. I stedet for å aktivere Flytt grafikkfelt kan du holde Shift-tasten nede. Denne virker som hurtigtast til Flytt grafikkfelt. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Graftegning med gitt definisjonsmengde med GeoGebra Du skal tegne grafen til y = x + 1 med definisjonsmengden D = [ 1, 1]. Klikk på Vis og bruk venstretasten til å huke av for Akser, Rutenett og Algebrafelt. Skriv funksjon[x + 1,-1,1] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Grafen dukker opp i Grafikkfeltet. Se bildet nedenfor. Legg merke til at i Algebrafeltet har GeoGebra gitt funksjonsuttrykket navnet f(x) og ikke y. Grafen har fått navnet f. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Andregradsfunksjoner med GeoGebra Du skal finne eventuelle nullpunkter, topp- eller bunnpunkter. Ta for deg funksjonen f ( x) = x x 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Tips! Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv. Nullpunkter Skriv Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skjæringspunktene A og B mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med B. Tips! Etter at du har utført handlingen ovenfor med punkt A kan du klikke på Kopier format eller stil (, knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på punkt A og deretter på punkt B. Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinatene til skjæringspunktene med x-aksen er 1 og 3. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktene er derfor 1 og 3. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Bunnpunkt Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Bunnpunktet C dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på C, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Da får du bildet nedenfor. Grafen har bunnpunktet (1, 4). (Dette ser du også i Algebrafeltet.) For å finne toppunkter går du fram på samme måte. Aschehoug www.lokus.no Side av

Tredjegradsfunksjoner med GeoGebra Du skal finne eventuelle nullpunkter, topp- eller bunnpunkter. 3 Ta for deg funksjonen f ( x) = x 3x x+ 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Tips! Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv. 3 Du kan taste inn x slik: Skriv x og deretter hold Alt-tasten nede og skriv 3. Nullpunkter Skriv Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skjæringspunktene A, B og C mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med B og C. Tips! Etter at du har utført handlingen ovenfor med punkt A kan du klikke på Kopier format eller stil ( og C., knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på punkt A og deretter på punktene B Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinatene til skjæringspunktene med x-aksen er 1, 1 og 3. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktene er derfor 1, 1 og 3. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Bunnpunkt og Toppunkt Skriv Ekstremalpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Toppunktet D og bunnpunktet E dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på D, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med E. Da får du dette bildet: Grafen har toppunktet ( 0,15, 3,08) og bunnpunktet (,15, 3,08). (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Aschehoug www.lokus.no Side av

Rasjonale funksjoner med GeoGebra 3x + 3 Ta for deg funksjonen f( x) = x 4. Tegn grafen til f i grafikkfeltet. Tast inn slik i inntastingsfeltet: f(x)=(3x+3)/(x-4) Trykk Enter og du får bildet nedenfor. Asymptoter GeoGebra finner ikke asymptotene. Hvis vi skal tegne disse, må vi skrive inn asymptoteuttrykkene i Inntastingsfeltet. Vertikal asymptote Skriv inn x= og trykk Enter. Horisontal asymptote Skriv inn y=3/ og trykk Enter. Endre farge på asymptotene Høyreklikk på den ene asymptoten, og velg Egenskaper, farge og klikk på ønsket farge. Trykk Lukk. Etter at du har utført handlingen ovenfor med den ene asymptoten kan du klikke på kopier format eller stil (, knapp nr. 1 fra høyre), og klikke først på asymptoten du har endret farge på og deretter på den andre asymptoten. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Nullpunkter GeoGebra finner ikke eventuelle nullpunkter ved å skrive Nullpunkt[f] i Inntastingsfeltet og trykke Enter. Du må hjelpe til: Metode 1 Oppgi en x-verdi som ligger i nærheten av nullpunktet, for eksempel x =. Skriv Nullpunkt[f,-] og trykk Enter. Metode Oppgi et intervall som nullpunktet ligger i, for eksempel [, 0]. NB! Intervallet må ikke inneholde bruddverdien x =. Skriv Nullpunkt[f,-,0] og trykk Enter. Skjæringspunktet A mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinaten til skjæringspunktet med x-aksen er 1. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktet er derfor 1. Aschehoug www.lokus.no Side av

Eksponentialfunksjoner med GeoGebra Du skal tegne grafen til funksjonen Tt ( ) = 85 0,9 t, med D = [0, 10]. Legg merke til at t er navnet på den variable. NB! I GeoGebra må du bruke x som navnet på den variable. Skriv derfor Funksjon[85*0.9^x,0,10] i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Funksjonen får navnet f. Tilpass aksene slik at grafen blir tegnet i definisjonsområdet. Å endre navn Høyreklikk på funksjonsuttrykket i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Endre navnet til T. Å sette navn på aksene Høyreklikk i grafikkfeltet og velg Egenskaper. Skriv t under Navn på aksen. Klikk på yakse og skriv T(t) under Navn på aksen. Klikk på Lukk. Du får da dette bildet: Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Potensfunksjoner med GeoGebra 0,5 Du skal tegne grafen til funksjonen f( m) = 00 m. Legg merke til at m er navnet på den variable. NB! I GeoGebra må du bruke x som navnet på den variable. Skriv derfor f(x) = 00x^-0.5 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Funksjonen får navnet f. Sett navn på aksene. Tilpass aksene slik at grafen blir tegnet for m-verdier opp til 6500. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Nullpunkter med GeoGebra Du skal finne nullpunktet for funksjonen Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. 3 f( x) = x+ 1,5. 7 Metode 1 Skriv Nullpunkt[f] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skjæringspunktet A mellom grafen til f og x-aksen dukker opp i Grafikkfeltet. Høyreklikk på A, velg Egenskaper og velg Verdi under Vis Navn. Da får du bildet nedenfor. Førstekoordinaten til skjæringspunktet med x-aksen er 3,5. (Dette ser du også i Algebrafeltet.) Nullpunktet er derfor 3,5. Metode Etter at grafen er tegnet kan du finne nullpunktet ved å klikke på Skjæring mellom to objekter. (, knapp nr. fra venstre), og deretter klikke på grafen til f og på x-aksen. Skjæringspunktet A dukker da opp. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Å finne y- og x-verdier med GeoGebra Prisen på en drosjetur er gitt ved funksjonen y = 5x+ 50. y er prisen i kroner når vi kjører x km. Du skal bruke GeoGebra til å finne a prisen på en tur på 9,6 km. (Du skal altså finne y når x = 9,6.) b hvor langt vi kan kjøre for 147 kr. (Du skal finne x når y = 147.) Vi lar navnet på funksjonsuttrykket ovenfor være P(x), og tegner grafen fra x = 0 til x = 1. a metode 1 Skriv A = (9.6,P(9.6)) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. A vil da dukke opp på grafen til P med x-verdi 9,6. Høyreklikk på A og velg Egenskaper, Grunninnstillinger og verdi under Vis Navn. Du får da bildet nedenfor. Av figuren ser vi (både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet) at y er 90 når x er 9,6. Prisen på en tur på 9,6 km er 90 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 3

a metode Tast x = 9.6 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Linja x = 9,6 er tegnet. Klikk på Skjæring mellom to objekter. (, knapp nr. fra venstre), og deretter klikk på grafen til P og på linja x = 9,6. Skjæringspunktet A dukker da opp. Høyreklikk på A og velg Egenskaper, Grunninnstillinger og Verdi under Vis Navn. Du får da bildet nedenfor. Av figuren ser du (både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet) at y er 90 når x er 9,6. Prisen på en tur på 9,6 km er 90 kr. Aschehoug www.lokus.no Side av 3

b Tast y = 147 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Linja y = 147 er tegnet. Klikk på Skjæring mellom to objekter. (, knapp nr. fra venstre), og klikk deretter på grafen til P og på linja y = 147. Skjæringspunktet A dukker da opp. Høyreklikk på A og velg Egenskaper, Grunninnstillinger og verdi under Vis Navn. Du får da bildet nedenfor. Både i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet ser du at x = 3,88 når y = 147. For 147 kr kan vi altså kjøre 3,9 km. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 3

Grafisk løsning med GeoGebra Ved produksjon av en vare regner en bedrift med at inntekten I(x) og kostnaden K(x) i kroner er gitt ved funksjonene K( x) = 0,x + 100 I( x) = 1x x er antall produserte og solgte enheter per dag. Du skal finne grafisk hvor stor produksjonen må være for at inntekten skal bli lik kostnaden når produksjonen gir overskudd Tegn først grafene til K og I. Tilpass aksene slik at vi ser skjæringspunktene mellom grafene i Grafikkfeltet. Klikk på knappen Skjæring mellom to objekter og deretter på de to grafene. Skjæringspunktene A og B dukker nå opp i Grafikkfeltet og i Algebrafeltet. Under Egenskaper velger du Navn og verdi for begge punktene. Du får da bildet nedenfor. Av figuren ser du at inntekten er lik kostnaden for x = 10 og for x = 50. Når det produseres og selges 10 enheter eller 50 enheter er inntekten lik kostnaden. Produksjonen gir overskudd når inntekten er større enn kostnaden. Da ligger grafen til I ovenfor grafen til K. Av figuren ser vi at dette er tilfelle når x er mellom 10 og 50. Produksjonen gir overskudd når det produseres mellom 10 og 50 enheter per dag. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Lineær regresjon med GeoGebra Du skal bruke lineær regresjon til å finne den linja som passer best til punktene A = (1, 1), B = (4, ), C = (6, 3) og D = (9, 3) Metode 1 Legg punktene inn i Grafikkfeltet. Deretter klikker du på F-pila (, knapp nr. 1 fra venstre), holder venstre musetast nede og markerer det området punktene ligger i. Klikk på Beste tilpasset linje (, knapp nr. 4 fra venstre). Deretter høyreklikker du på a i Algebrafeltet, og velger Likning y = ax + b. GeoGebra foreslår y = 0,6x + 0,93 som den best tilpassede linja. Metode Lag en liste med punktene A, B, C og D. Skriv inn i Inntastingsfeltet: L = {(1,1), (4,), (6,3), (9,3)} Trykk ENTER. Klikk på ringen foran L i Algebrafeltet. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 3

Skriv reglin[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. NB! Hvis punktene A, B, C og D er lagt inn i Algebrafeltet, kan du lage lista slik: L = {A, B, C, D} Metode 3 Du kan legge punktene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila ( inneholder punktene., knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter ( venstre)., knapp nr. 4 fra Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. Nå kan du skrive reglin[l] i Inntastingsfeltet. Aschehoug www.lokus.no Side av 3

Korrelasjonskoeffisient Skriv korrelasjonskoeffisient[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. I Algebrafeltet vil det nå stå b = 0.93. Dette er korrelasjonskoeffisienten. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 3

Polynomregresjon med GeoGebra Du skal bruke andregradsregresjon til å finne den andregradsfunksjonen som passer best til punktene A = (0, 3,5), B = (3, 5,7), C = (6, 7,5) og D = (9, 9,0) Metode 1 Lag en liste med punktene A, B, C og D. Skriv inn i Inntastingsfeltet: L = {(0,3.5), (3,5.7), (6,7.5), (9,9.0)} Trykk ENTER. Klikk på ringen foran L i Algebrafeltet. Skriv regpoly[l,] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. I Algebrafeltet ser du uttrykket for andregradsfunksjonen. NB! Hvis punktene A, B, C og D er lagt inn i Algebrafeltet, kan du lage lista slik: L = {A, B, C, D} Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Metode Du kan legge punktene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila ( inneholder punktene., knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter ( venstre)., knapp nr. 4 fra Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. Nå kan du skrive regpoly[l,] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du uttrykket for andregradsfunksjonen. Tredjegradsregresjon Du skriver regpoly[l,3] i stedet for regpoly[l,]. Tilsvarende kan du skrive regpoly[l,1] og regpoly[l,4] for henholdsvis første og fjerde grad. Aschehoug www.lokus.no Side av

Eksponential- og potensregresjon med GeoGebra Eksponentialregresjon Du skal bruke eksponentialregresjon til å finne den eksponentialfunksjonen som passer best til punktene A = (1, 0,5), B = (,,0) og C = (3, 4,5) Metode 1 Lag en liste med punktene A, B og C. Skriv inn i Inntastingsfeltet: L = {(1,0.5), (,.0), (3,4.5)} Trykk ENTER. Klikk på ringen foran L i Algebrafeltet. Skriv regeksp[l] i Inntastingsfeltet og trykk ENTER. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18, 7183 1,1 x x 0,18 3, 00 f x NB! Hvis punktene A, B og C er lagt inn i Algebrafeltet, kan du lage lista slik: L = {A, B, C} Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Metode Du kan legge punktene inn i regnearket. Klikk på Vis og velg Regneark. Skriv inn punktene i regnearket. Klikk på F-pila ( inneholder punktene., knapp nr. 1 fra venstre) og marker det området i regnearket som Høyreklikk på det markerte området og velg Lag liste med punkter ( venstre)., knapp nr. 4 fra Høyreklikk på liste 1 i Algebrafeltet og velg Gi nytt navn. Skriv L i stedet for liste 1. Trykk OK. Nå kan du skrive regeksp[l] i Inntastingsfeltet. I Algebrafeltet ser du at uttrykket for eksponentialfunksjonen er 1,1 f( x) 0,18 e x Dette uttrykket kan omformes til 1,1 x ( ) 0,18 e 0,18,7183 1,1 x x 0,18 3,00 f x Potensregresjon Samme framgangsmåte som for eksponentialregresjon. Du skriver regpot[l] i inntastingsfeltet i stedet for regeksp[l]. Med punktene ovenfor får du da funksjonen f ( x) 0,5x Aschehoug www.lokus.no Side av

Gjennomsnittlig vekstfart med GeoGebra Du skal finne den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen intervallet [ 1,4 ]. f( x) = 0,5x x+ 3 i Tegn først grafen til f i Grafikkfeltet. Deretter tegner du inn punktene A og B ved å skrive inn A= (1, f(1)) og deretter B = (4, f(4)) i Inntastingsfeltet. Høyreklikk på A, og velg Egenskaper og verdi under Vis Navn. Gjør det samme med B. Klikk på Linje gjennom to punkter (, knapp nr. 3 fra venstre), og deretter på punktene A og B i Grafikkfeltet. Da har du tegnet linja l gjennom punktene A og B. Klikk på Stigning linje ( Da får du dette bildet:, knapp nr. 4 fra høyre), og deretter på linja l i Grafikkfeltet. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at linja gjennom A og B har stigningstallet 0,5. Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [ 1,4 ] er derfor 0,5. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Momentan vekstfart med GeoGebra Du skal finne den momentane vekstfarten for funksjonen (3,5, f (3,5)). f( x) = 0,5x x+ 3 i punktet Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Deretter tegner du inn punktet P ved å skrive inn P = (3.5, f(3.5)) i Inntastingsfeltet. Høyreklikk på P, og velg Egenskaper og Navn og verdi under Vis Navn. Klikk på Tangenter (, knapp nr. 4 fra venstre), og deretter på grafen til f og punktet P i Grafikkfeltet. Da har du tegnet tangenten a til grafen i punktet P. Klikk på Stigning linje ( Da får du dette bildet:, knapp nr. 4 fra høyre), og deretter på linja a i Grafikkfeltet. Både i Algebrafeltet og i Grafikkfeltet ser du at tangenten i punktet P har stigningstallet 1,5. Den momentane vekstfarten i punktet P = (3,5, f(3,5)) er derfor 1,5. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Den deriverte med GeoGebra Den deriverte funksjonen og derivertverdier Du skal finne den deriverte for funksjonen f( x) = 0,5x x+ 3 og den deriverte i punktet (3,5, f (3,5)). Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Skriv f (x) i inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte. f ( x) = x Skriv f (3.5) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. I Algebrafeltet dukker a = 1.5 opp. Det vil si at f (3,5) = 1,5. Figuren viser hvordan bildet i GeoGebra nå ser ut. Legg merke til at GeoGebra tegner grafen for den deriverte funksjonen f ( x) når du legger inn f (x) i Inntastingsfeltet. Du kan ta bort denne grafen fra Grafikkfeltet ved å klikke på rundingen foran uttrykket f ( x) = x i Algebrafeltet. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

Fortegnslinje for den deriverte med GeoGebra Du skal bruke GeoGebra til å finne/kontrollere fortegnet for den deriverte for funksjonen f( x) = 0,5x x+ 3 Tegn først grafen til f. Skriv f (x) i inntastingsfeltet og trykk Enter. Algebrafeltet viser da uttrykket for den deriverte. Figuren viser hvordan bildet i GeoGebra nå ser ut. Legg merke til at GeoGebra tegner grafen for den deriverte funksjonen f når du legger inn f (x) i Inntastingsfeltet. Bruk ikon nr. fra venstre, Skjæring mellom to objekter, til å finne skjæringspunktet mellom grafen til f og x-aksen. Av figuren ser du at den deriverte er negativ for x-verdier mindre enn og positiv for x-verdier større enn. Den deriverte skifter altså fortegn fra negativ til positiv for x =. Det betyr at grafen til f har et bunnpunkt for x =. (Ikke overraskende stemmer dette med grafen til f.) Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 1

GeoGebra: Tabell med funksjonsverdier og derivertverdier Tabell med funksjonsverdier Du skal lage en tabell med noen funksjonsverdier for funksjonen f( x) = 0,5x x+ 3. Tegn først grafen til f i grafikkfeltet. Velg Vis og klikk på Regneark. Klikk på rute A1 og skriv x. (Hvis du skal skrive tekst i regnearket, må du bruke anførselstegn,.) Klikk på rute B1 og skriv f(x). Klikk på rute A og skriv -1. Nedover i kolonne A kan du skrive inn de verdiene du ønsker å finne funksjonsverdier for. Klikk på rute B, skriv f(-1) og trykk Enter. I rute B3 skriver du f(-0.5) og trykker Enter. Legg inn funksjonsverdiene for de andre x-verdiene du har valgt. Da kan du få bildet nedenfor. Hvis du skal tegne grafen på papir, kan du bruke tabellen til å overføre punkter på grafen. Formelkopiering i regnearket I stedet for å skrive f(-1) i rute B kan du skrive f(a). Trykk Enter. Klikk på rute B. Da får du dette bildet: Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Klikk på den lille firkanten i nederste høyre hjørne i rute B og dra musepekeren nedover til og med rute B8. Da får du dette bildet: Tabell med derivertverdier Klikk på rute C1 og skriv f (x). Klikk på rute C, skriv f (-1) og trykk Enter. I rute C3 skriver du f (-0.5) og trykker Enter. Legg inn derivertverdiene for de andre x-verdiene du har valgt. Da kan du få bildet nedenfor. Tabellen over derivertverdier kan du for eksempel bruke til å kontrollere fortegnslinja for den deriverte. (Også her kan du bruke metoden med formelkopiering.) Aschehoug www.lokus.no Side av

GeoGebra: Å bruke den deriverte til å finne når et uttrykk er størst mulig a Vi skal finne x når arealet av et rektangel gitt ved f( x) = x + 4x+ 3 er størst mulig. Her er D = [ 0,8] f Vi skriver Funksjon[-x +4x+3,0,8] i Inntastingsfeltet. Deretter skriver vi Funksjon[f (x),0,8]. Grafene til f og f er nå tegnet i Grafikkfeltet. Du ser at f ( x) endrer fortegn fra positiv til negativ for x =. f ( x ), og dermed arealet av rektanglet, har altså sin største verdi for x =. (Dette stemmer med grafen til f, som har toppunkt for x =.) Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

b Vi skal finne x når volumet av en eske gitt ved 3 f ( x) = x + 4x + 3x er størst mulig. Her er [ 0,8] D =. f Vi skriver Funksjon[-x 3 +4x +3x,0,8] i Inntastingsfeltet. Deretter skriver vi Funksjon[f (x),0,8]. Grafene til f og f er nå tegnet i Grafikkfeltet. Du ser at f ( x) endrer fortegn fra positiv til negativ for x = 4,86. f ( x ), og dermed volumet av esken, har altså sin største verdi for x = 4,86. (Dette stemmer med grafen til f, som har toppunkt for x = 4,86.) Aschehoug www.lokus.no Side av

Grafområde med GeoGebra Du skal tegne grafområdet til dette settet av ulikheter: y x+ 4 0 y+ x 1 0 y+ 4x+ 11 0 Tegn først linjene til likningene: y x+ 4= 0 y+ x 1= 0 y+ 4x+ 11 = 0 Skriv y x+ 4= 0 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv y+ x 1= 0 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv y+ 4x+ 11 = 0 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da får du dette bildet: Klikk på ikon nr. fra venstre og klikk på Skjæring mellom to objekter. Klikk på linjene a og c. Skjæringspunktet A mellom linjene dukker opp. Finn de to andre skjæringspunktene B og C på samme måte. Grafområdet er begrenset av trekanten ABC. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Markering av grafområdet Klikk på Innstillinger, nr. 4 fra venstre, på verktøylinja. Klikk på Navn på objekter og velg Ikke på nye objekter. Klikk på ikon nr. 5 fra venstre og klikk på Mangekant. Klikk på punktene A, B, C og A i Grafikkfeltet. Du har markert grafområdet ABC. Hvis du vil markere grafområdet med en annen farge, kan du høyreklikke i området og velge Egenskaper Farge. Klikk på den fargen du ønsker. Skriv inn likningene i grafikkfeltet Klikk på ikon nr. fra høyre og klikk på Sett inn tekst. Klikk et sted i Grafikkfeltet og skriv a i Tekst-boksen. Klikk på OK og flytt teksten som dukker opp bort til linja a. Gjenta det samme for linjene b og c. Da får du denne figuren: Aschehoug www.lokus.no Side av

Lineær optimering med GeoGebra Den samlede fortjenesten for produksjonen av to typer A og B av en vare er gitt ved Z = 300x+ 00y Fortjenesten er Z kroner ved produksjon av x enheter av type A og y enheter av type B. Du skal finne hvor mange enheter som må produseres av hver type for at fortjenesten skal bli størst mulig. (Se side 6 i læreboka Matematikk S1.) Grafområdet for produksjonen er gitt ved x 0 y 0 5x+ y 40 3x+ 3y 33 x+ y 0 Figuren nedenfor viser grafområdet ABCDEA for produksjonen. Høyreklikk på punktet B i grafikkfeltet. Klikk på Egenskaper og Grunninnstillinger. Hold Ctrl på tastaturet nede og klikk på punktene A, C, D og E under Punkt. Velg Navn og verdi i rullefeltet til høyre for Vis navn. Klikk på Lukk. Da får du denne figuren: Aschehoug www.lokus.no Side 1 av

Innsettingsmetoden Du må regne ut Z-verdien i punktene B, C, D og E. Det kan du gjøre med lommeregneren eller du kan for eksempel bruke GeoGebra slik: Punktet C Skriv Z=300*x(C)+00*y(C) i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Da dukker Z = 800 opp i Algebrafeltet. Regn ut Z på samme måte for punktene B, D og E. Nivålinjemetoden Skriv Z=1000 i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Klikk på sirkelen til venstre for Z = 1000 i Algebrafeltet. Høyreklikk på glideren og klikk på Egenskaper. Velg: Min: 1000 Maks: 3000 Animasjonstrinn: 100 Klikk på Lukk. Skriv Z = 300x + 00y i Inntastingsfeltet og trykk Enter. Nivålinja for Z=1000 dukker opp i Grafikkfeltet. (På figuren er nivålinja rød.) Beveg glideren mot høyre. Du ser at Z får sin største verdi 800 i punktet C med koordinatene (6, 5). Aschehoug www.lokus.no Side av