Løsningsforslag til ksamn i MAT, 8/- Dl. (3 pong) Intgralt x x dx r lik: x x x + C x x + C x 3 3 x + C x / + C x x x3 3 x + C Riktig svar: a) x x x + C. Bgrunnls: Brukr dlvis intgrasjon md u = x, v = x. Da r u =, v = x, og vi får: x x dx = x x x dx = x x x + C. (3 pong) Hva gjør vi først når vi skal løs intgralt x +3x x+ (x )(x +x+) dx vd dlbrøkoppspalting? substiturr u = x + x + A Bx+C x +x+ sttr intgrandn lik x + smuglr dn drivrt av nvnrn inn i tllrn polynomdividrr x + 3x x + md x 3 + x sttr intgrandn lik A x + B x +x+ Riktig svar: d) polynomdividrr x + 3x x + md x 3 + x Bgrunnls: Gradn til tllrn r størr nn gradn til nvnrn. Obsrvr dssutn at (x )(x + x + ) = x 3 + x. 3. (3 pong) Hva får vi når vi substiturr u = arctan x i intgralt sin(arctan x) dx? /3 π/ sin u du sin u +u du / sin u du / sin u +u du π/ sin u cos u du Riktig svar: ) / sin u cos u du Bgrunnls: Når u = arctan x, r x = tan u. Drmd r dx = cos u du. D ny grnsn blir u() = arctan = og u() = arctan = π. Dtt gir: sin(arctan x) dx =. (3 pong) Hva r dn partilldrivrt f cos (xy) +x z x z y / sin u cos u du når f(x, y, z) = z cot(xy)?
zx tan(xy) sin (xy) Riktig svar: ) sin (xy) Bgrunnls: Drivrr mhp. y som om x og z r konstantr: ( ) y z cot(xy) = z sin (xy) x = sin (xy) 5. (3 pong) I hvilkn rtning voksr funksjonn f(x, y) = xy cos y raskst i punktt (, π): (, π) (π, ) (, ) (π, π) ( π, ) Riktig svar: ) ( π, ) Bgrunnls: Funksjonn voksr raskst i gradintns rtning. y cos y og f y = x cos y xy sin y, r Sidn f x = f(, π) = (π cos π, ( ) cos π ( )π sin π) = ( π, ). (3 pong) Hva r dn rtningdrivrt f (a; r) når f(x, y) = x xy, a = (, ) og r = (, )? 3 3 Riktig svar: c) Bgrunnls: Vi vt at f (a; r) = f(a) r. Sidn f(x, y) = ( xy +xy xy, x xy ), får vi f (a; r) = f(a) r = (3, ) (, ) = 3 3 + = 7. (3 pong) Områdt mllom x-aksn og grafn til f(x) = sin(x ), x π, dris n gang om y-aksn. Hva r volumt til omdriningslgmt? 3 9π 9 π 7 3 Riktig svar: d) π Bgrunnls: Ifølg formln for volumt til t omdriningslgm om y-aksn r V = π π x sin(x ) dx
Vi substiturr u = x. Da r du = xdx, og d ny grnsn r gitt vd u() = =, u( π) = ( π) = π. Drmd r V = π π x sin(x ) dx = π 8. (3 pong) Dt ugntlig intgralt konvrgrr og r lik 3 konvrgrr og r lik divrgrr konvrgrr og r lik 5 konvrgrr og r lik 5 Riktig svar: c) divrgrr Bgrunnls: Vi har u = ln x, r du = dx x Dmd r dx = lim x( + ln x) b x(+ln x) dx: b sin u du = π x(+ln x) dx = lim b x(+ln x) dx. Substiturr vi, og d ny grnsn blir u() = ln =, u(b) = ln b. b ln b dx = lim x( + ln x) b ( + u) dx = b = lim [ln( + u)]ln = lim [ln( + ln b) ln ] = b b n n i= sin( π n i)? 9. (3 pong) Hva r grnsvrdin lim n π 7π π 3 π 5 7 Riktig svar: d) Bgrunnls: Uttrykkt r n Rimann-sum for funksjonn f(x) = sin x ovr intrvallt [, π ]. Når n, nærmr uttrykkt sg drfor intgralt til f(x) ovr dtt intrvallt. Drmd har vi: lim n π n n i= sin( π n i) = sin x dx =. (3 pong) I n rgulrbar gasstank r trykkt P gitt som n funksjon P = F (V, T ) av volumt V og tmpraturn T. Drsom V og T r funksjonr av tidn t slik at V (t) = + t/ og T (t) = + sin( π t), hva r da dn drivrt av trykkt P md hnsyn på tidn t? F V (V (t), T (t)) + T (V (t), T (t)) V (V (t), T (t))( + t/ ) + F T (V (t), T (t))( + sin( π t)) P (t) = F V (V (t), T (t)) t/ + π F T (V (t), T (t)) cos( π t) V (V (t), T (t)) t/ + F T (V (t), T (t)) cos( π t) P (t) = V (t) t/ + π T (t) cos( π t) 3
Riktig svar: c) P (t) = F V (V (t), T (t)) t/ + π F T (V (t), T (t)) cos( π t). Bgrunnls: Kjrnrgln sir V (V (t), T (t))v (t) + F T (V (t), T (t))t (t) Sttr vi inn V (t) = t/ og T (t) = π cos( π t), får vi svart, DEL Oppgav : a) ( pong) Rgn ut d partilldrivrt av først ordn til funksjonn og finn dt stasjonær punktt. f(x, y) = (x + y ) x b) ( pong) Avgjør om dt stasjonær punktt r t sadlpunkt, t lokalt maksimum llr t lokalt minimum. Svar: a) Vi har og I d stasjonær punktn r f x = x + (x + y ) x = ( + x + y ) x f y = yx ( + x + y ) x = og y x = Dn sist ligningn r bar oppfylt når y =. Sttr vi dtt inn i dn først, sr vi at x =. Dt nst stasjonær punktt r altså (, ). b) Vi rgnr først ut d annnordns partilldrivrt: f x = x + ( + x + y ) x = ( + x + y ) x f y x = f x y = yx f y = x Dtt gir A = f x (, ) =, B = f x y (, ) =, C = f y (, ) =, D = AC B = =. Sidn D >, A >, fortllr annndrivrttstn oss at dtt r t lokalt minimum.
Oppgav : a) ( pong) Rgn ut intgralt b) ( pong) Rgn ut intgralt (Hint: Vis først at = sin x.) u du dx c) ( pong) Finn bulngdn til grafn til funksjonn f(x) = ln() fra x = til x = π. (Husk at formln for bulngd r L = b a + f (x) dx.) Svar: a) Sidn u = (u )(u + ), brukr vi dlbrøkoppspalting: u = A u + B u + Gangr vi md fllsnvnrn u og ordnr lddn på høyr sid, får vi: = (A + B)u + (A B) Dtt btyr at A + B =, A B =, som mdførr A =, B =. Drmd r u du = u du u + du = = ln u ln u + + C = ln u u + + C b) Vi har = intgralt sin x cos x = dx, får vi dx =. Substiturr vi u = sin x, du = dx i sin x sin x dx = u du Lgg mrk til d ny intgrasjonsgrnsn som skylds at u() = sin =, u( π ) = sin π =. Brukr vi dl a), har vi nå: dx = [ u du = ln u u + ] = ln + + ln + = ln 3 = ln 3 b) Vi rgnr først ut f (x) = vd L = sin x ( sin x) =. Drmd r bulngdn gitt + ( sin x ) dx = = + sin x cos x dx = 5
cos = x + sin x cos dx = x dr vi har brukt punkt b) i dt sist skrittt. cos x dx = dx = ln 3 Oppgav 3: ( pong) På figurn sr du n sirkl md radius r. Et traps r tgnt inn i sirkln slik at grunnlinjn til trapst r n diamtr i sirkln. D to andr hjørnn til trapst liggr på sirklomkrtsn. Finn dt størst aralt t slikt traps kan ha. Svar: Rgnstykkt blir litt forskjllig ttr hva man vlgr som variabl. Et valg som gir gri rgningr, r å dfinr x som på figurn ndnfor. x Da blir høydn i trapst h = r x, og aralt r gitt vd A(x) = r + x h = (r + x) r x Vi ønskr altså finn dn maksimal vrdin til dn kontinurlig funksjonn A(x) på dt lukkd og bgrnsd intrvallt [, r]. Vi vt fra kstrmalvrdistningn at dt må finns n maksimalvrdi. For å finn maksimumspunktt, drivrr vi: A (x) = r x x + (r + x) r x = r x x (r + x) r x Vi sttr dtt uttrykkt lik og løsr for x: r x x (r + x) r x = = r x x = (r + x) r x = r x = rx + x = x + rx r = = x = r ± r ( r ) = r ± 3r Av gomtrisk grunnr kan vi bar bruk dn positiv rotn x = r som gir t aral på A( r ) = (r + r ) r r = 3 3r. D andr mulig maksimalpunktn til aralt r ndpunktn x = og x = r. Sidn bgg diss vrdin r mindr nn 3 3r (vi har A() = r og A(r) = ), må dt størst aralt vær 3 3r. Oppgav : ( pong) Funksjonn f : R R r kontinurlig, og a, b R r tall slik at a < b og f(a) < f(b). Vis at da finns dt n c [a, b) slik at f(c) = f(a), mn f(x) > f(a) for all x (c, b).
Hint: c = sup{x [a, b] : f(x) f(a)}. Svar: Mngdn A = {x [a, b] : f(x) f(a)} r ikk-tom (fordi a r md) og bgrnst (av b), og har drfor n minst øvr skrank c = sup{x [a, b] : f(x) f(a)} Obsrvr at sidn b r n øvr skrank for A, r c b. Pr dfinisjon av c r f(x) > f(a) for all x (c, b), og dt r drfor nok for oss å vis (*) f(c) = f(a) (i tillgg burd vi vis at c < b, mn dt vil følg automatisk av at f(c) = f(a) < f(b)). For å vis (*) obsrvrr vi først at for hvr n N må dt finns n x n slik at c n x n c og f(x n ) f(a) (llrs vill c n vært n øvr skrank for A og dt r umulig sidn c n r mindr nn dn minst øvr skrankn c). Sidn x n c, må f(x n ) f(c) (hr brukr vi at f r kontinurlig). Sidn f(x n ) f(a), må drmd f(c) f(a). Obsrvr at dtt mdførr at c < b. For tilstrkklig stor n N må da c + n < b og ifølg dfinisjonn av c btyr dtt at f(c + n ) > f(a). Sidn f(c) = lim n f(c + n ) (hr brukr vi igjn kontinuittn til f), mdførr dtt at f(c) f(a). Vi har drmd vist båd f(c) f(a) og f(c) f(a), og følglig må f(c) = f(a). Slutt 7