OPPGÅVE 1 ) Deriver funksjonne: 1) f ( ) = 3 + cos ) g ( ) = sin b) Finn integrlet: ln d c) Løys likning ved rekning: 6cos cos 1 0 0, π = d) L X vere ein binomisk fordelt vribel med n = 50 og p = 0,75. 1) Bestem forventningsverdien µ = EX ( ) og stndrdvviket σ = SD( X ). ) Bestem PX ( 4). e) Ein bestemt ellipse kn i polrkoordintr skrivst på form 16 r( θ ) = θ 5 + 3cosθ 0, π 1) Skisser grfen til r ved hjelp v lommereknren. ) Bruk lommereknren og finn relet v fltestykket vgrens v grfen. Side 4 v 15 AA654/AA656
OPPGÅVE Plnet α er gitt ved likning 8+ 6y+ 3z = 4 ) Forklr t α går gjennom punkt (3,0,0), (0,4,0) og (0,0,8). b) Finn ein normlvektor til α. c) Bestem vstnden frå origo til α. Ein prtikkel strtr i origo. Etter t sekund er posisjonen gitt ved Alle lengder er målte i meter. t t r() t =,, t 4 6 t 0 d) 1) Kor lng tid tek det før prtikkelen treffer plnet α? ) Bestem koordintne til punktet der prtikkelen treffer α. e) Kor lngt beveger prtikkelen seg frå hn strtr til hn treffer α? Visste du t Origo er et ltinsk substntiv vledet v verbet oriri som betyr å reise seg, stå opp, komme fr. Det kn oversettes med opprinnelse eller utgngspunkt. Det er den siste betydningen som benyttes i mtemtikken. Kjelde: Mtemtisk etymologi v Rgnr Solvng Side 5 v 15 AA654/AA656
OPPGÅVE 3 Bestefr til Mrcel dyrkr jordbær. Mrcel vil undersøkje om bærkorgene til bestefren held den nnonserte gjennomsnittsvekt på 500 g. Mrcel plukkr ut ti tilfeldige korger frå dgens innhusting. Korgene veg: 480 g, 51 g, 484 g, 496 g, 488 g, 500 g, 508 g, 516 g, 488 g og 478 g. ) Bestem eit estimt for gjennomsnittsvekt til korgene. b) Bestem stndrdfeilen til dette estimtet. c) Finn eit 95 % konfidensintervll for gjennomsnittsvekt til korgene. Kommenter svret. d) Mrcel synest t breidd på konfidensintervllet er for stort. Kv kunne hn h gjort for å få eit kortre konfidensintervll? OPPGÅVE 4 Du skl svre på nten lterntiv I eller lterntiv II. Dei to lterntiv er likeverdige ved vurdering. (Dersom svret inneheld delr v begge, vil berre det du hr skrive på lterntiv I, bli vurdert.) Alterntiv I Ein strumbrytr skl slå på gtelyset i ein by. Lyset blir slått på T( ) timr etter midntt, der er tlet på dgr etter 31. desember ( = 1 tilsvrer 1. jnur). π T( ) = 19 4cos 365 ) Finn ved rekning når på døgnet lyset blir slått på den 15. mrs, det vil seie når = 74. b) Finn ved rekning kv for dtor lyset blir slått på klokk 18. c) Kor mykje endrr tidspunktet T( ) per døgn seg midt i pril? d) Når på året endrr tidspunktet T( ) seg rskst? Side 6 v 15 AA654/AA656
Alterntiv II 1 Figuren viser eit kvdrt med sideknt 1. I dette kvdrtet er det innskrive eit nytt kvdrt slik t hjørn i det nye kvdrtet ligg midt på kvr v dei fire sidene i det første kvdrtet. 1 I det ndre kvdrtet er det innskrive eit tredje kvdrt etter sme prinsipp, og deretter eit fjerde osv. Sjå figuren. ) Finn rel v dei fire første kvdrt. Vis t summen v desse rel dnnr ei geometrisk rekkje. b) Finn relet v kvdrt nr. 10 og summen v dei 10 første kvdrt. c) Forklr kvifor rekkj konvergerer. Bestem summen v rel når tlet på kvdrt går mot uendeleg. d) Kor mnge kvdrt må rekkj minst bestå v for t summen v rel skl vere større enn 99,9 % v svret i c)? Side 7 v 15 AA654/AA656
OPPGÅVE 5 Ein ellipse med store hlvkse og vesle hlvkse b er gitt ved likning + b y = 1 ) Vis t likning kn omformst til y =± b 1 b) Forklr t relet v ellipsen er gitt ved A= b 1 d For å kunne rekne ut dette relet føretek vi eit vribelskifte ved å setje = cost. c) Kv er t når =, og kv er t når =? Forklr t d = sintdt d) Vis t relet v ellipsen no kn skrivst som 0 π sin d sin d A= b t t = b t t π 0 1 1 e) Bruk smnhengen sin t = cos t til å finne ein formel for relet v ellipsen. Visste du t Den første som brukte ordet ellipse i den betydning det hr i dg, vr den greske mtemtikeren Apollonius (6 190 f. Kr.) i sin teori for kjeglesnittene (ellipse, hyperbel og prbel). Disse vr tidligere oppdget v den greske mtemtikeren Menikhmos (c. 350 f. Kr.) Kjelde: Mtemtisk etymologi v Rgnr Solvng Side 8 v 15 AA654/AA656