1 Mndg 8. mrs 21 Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I denne forelesningen skl vi integrere funksjoner lngs mer generelle kurver i plnet. Vi skl se hvordn vi beregner verdien v et vektorfelt lngs en kurve og hvordn vi integrerer opp disse verdiene for å klkulere integrlet lngs hele kurven. Et v hovedresulttene for kurveintegrler sier t integrlet v et konservtivt vektorfelt lngs en lukket kurve er null, lterntivt t kurveintegrler i et konservtivt felt kun vhenger v endepunktene. Vi skl se nærmere på dette resulttet. Integrere vektorfelt Kjerneregelen for funksjoner i flere vrible Konservtive felt efinisjon 1.1. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)) en prmetrisering v kurven i det smme plnet. Verdien v vektorfeltet F lngs er en funksjon i to vrible gitt ved F T = P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t) Eksempel 1.2. L f(x, y) være en funksjon i to vrible og nt t den prmetriserte kurven gitt ved r(t) = (x(t), y(t)) beskriver en nivåkurve for funksjonen, dvs. t f((x(t), y(t))) = c, c en konstnt. Grdienten til f dnner et vektorfelt f i plnet. er verdien v vektorfeltet f lngs nivåkurven lik. Vi kn se dette ved å regne ut f T r (t) = f x x (t) + f y y (t) = d dt f((x(t), y(t))) = d dt c = der overgngen fr ndre til tredje linje er kjerneregelen for derivsjon. Alterntivt kunne vi dedusert dette direkte siden vi vet t grdienten til en funksjon står normlt på nivåkurvene til funksjonen, og dermed også normlt på tngentene til nivåkurvene, og det er kkurt sklr-produktet mellom disse to vektorene vi regner ut. Hvis vi hr to (deriverbre) funksjoner f : R R 2 og g : R 2 R, der f(t) = (x(t), y(t)), så vil komposisjonen h = g f : R R være en funksjon h(t) = (g(x(t), y(t)) i en vribel. enne funksjonen kn vi derivere ved hjelp v kjerneregelen: Teorem 1.3. L h(t) være gitt som over. hr vi h (t) = g f (t) = f x x (t) + f y y (t) Eksempel 1.4. L f(t) = (R cos t, R sin t) og g(x, y) = xy. hr vi h(t) = g(f(t)) = R 2 cos t sin t og h (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t Bruker vi kjerneregelen på den smme funksjonen får vi siden x = R cos t, og y = R sin t. h (t) = (y, x) ( R sin t, R cos t) = R sin t( R sin t) + R cos tr cos t hr vi smlet nok bkgrunn til å kunne integrere et vektorfelt lngs en kurve.
efinisjon 1.5. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)), t b en prmetrisering v kurven i det smme plnet. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs er gitt ved F T dt = b (P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt Eksempel 1.6. L F(x, y) = ( y, x) være et vektorfelt i plnet (tngentfeltet til konsentriske sirkler) og r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π, en sirkulær kurve. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs er gitt ved F T dt = = 2π 2π ( R sin t)( R sin t) + R cos t R cos t dt R 2 (sin 2 t + cos 2 t) dt = 2πR 2 Eksempel 1.7. L F(x, y) = (2y, x) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (t, 1 2 t2 ), t 1. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs er gitt ved F T dt = 1 (t 2 1 + ( t)t) dt = Hvorfor blir dette? Kurven er prbelen y = f(x) = 1 2 x2. Tngentvektoren i punktet (x, y) hr stigningstll f (x) = x, dvs. tngentvektorfeltet hr retning (1, x). et oppgitte vektorfeltet hr retning (2y, x). Prikkproduktet v disse to retningene er (1, x) (2y, x) = 2y x 2. Men på kurven y = 1 2 x2 er dette tllet lik, og vektorfeltet hr derfor ingen verdi lngs med kurven. Nå hr vi kommet frm til et hovedresultt i vektornlysen. Resulttet dreier seg om kurveintegrler i konservtive felt. Vi strter med en funksjon f(x, y) og ser på grdienten F = f. ette er et konservtivt felt. Vi lr være en lukket kurve i plnet, gitt ved en prmetrisering r(t) = (x(t), y(t)), t b slik t r() = r(b). hr vi F T dt = = = b b b F(r(t)) (x (t), y (t)) dt f x (r(t)) x (t) + f y (r(t)) y (t) dt d dt f(r(t)) dt = [f(r(t))]b = f(r()) f(r(b)) = ermed hr vi bevist følgende teorem: Teorem 1.8. Kurveintegrlet i et konservtivt felt F, lngs en lukket kurve er ; F T dt = Korollr 1.9. Kurveintegrlet i et konservtivt felt er kun vhengig v potensilets verdi i kurvens endepunkter. Eksempel 1.1. En viktig nvendelse v dette teoremet/korollret er grvitsjonsfeltet rundt jord. 2
ette er et konservtivt felt der potensilet kun er vhengig v vstnden til jords sentrum, dvs. høyden over hvoverflten. Kurveintegrler i et grvitsjonsfelt måler energiforbruk lngs kurven. Resulttet sier d t energiforbruket ved å bevege seg fr et punkt til et nnet punkt kun vhenger v differnsen mellom de to punktenes høyde over hvoverflten. Eksempel 1.11. Et eksempel på et ikke-konservtivt krftfelt er feltet som over et område beskriver vindretning og -styrke. Vi ntr t det i området befinner seg noen store steiner, fyr, trær e.l. Skl mn bevege seg mot vinden, og mn ønsker å bruke minst mulig krefter, prøver mn å gå mn mest mulig i le v steinene eller trærne, der motvinden er svkest. Energiforbruket lngs en kurve i dette vindfeltet er presis kurveintegrlet lngs kurven, og det er som vi lle hr erfrt, vhengig v vlg v vei, dvs. feltet er ikke konservtivt. 2 1. mrs 21 ette er siste forelesning i denne vdelingen. Nå skl vi knytte smmen ll den teorien vi hr vært igjennom og formulere det i det som klles Stokes teorem. ette teoremet er ett v mtemtikkens viktigste og mest feirede resultt og hr utllige nvendelse innen mtemtikk og nturvitenskp, ikke minst i fysikk. Resulttet hr mnge vrinter, med ulike nvn, Greens teorem og ivergensteoremet er to v dem. Vi skl ikke gå inn på bevisene for disse resulttene, men heller konsentrere oss om hvordn de kn brukes i ulike smmenhenger og forsøke å forstå hv som ligger skjult i formlene i helt konkrete nvendelser. Vektornlyse, Stokes teorem Greens teorem Stokes teorem ivergensteoremet 3
Fysiske nvendelser enne forelesningen dreier seg om et v mtemtikkens mest berømte resultter, nemlig det som klles Stokes teorem. Stokes teorem ble først formulert v vitenskpsmnnen Willim Thompson (1824-197), eller Lord Kelvin, i 185, men hr fått nvn etter Sir George Gbriel Stoke (1819-193). Begge disse to stt dype spor etter seg innen mtemtikk og nturvitenskp. Imidlertid heter den 2-dimensjonle versjonen v Stokes teorem som vi skl se på Greens teorem, oppklt etter George Green (1793-1841). Green formulerte dette resulttet i det oppsiktsvekkende essyet An Essy on the Appliction of Mthemticl Anlysis to the Theories of Electricity nd Mgnetism fr 1828. Essyet er oppsiktsvekkende v to grunner. For det første fordi det inneholder nye og bnebrytende resultter, for det ndre fordi det er skrevet v en legmnn. Green hdde fktisk bre ett års skolegng! Teorem 2.1. L være en positivt orientert, lukket kurve i plnet gitt ved prmetriseringen r(t) = (x(t), y(t)) og l være det området som kurven omslutter. L f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt. hr vi (P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt = ( Q x P ) dx dy y Mo. den totle sirkulsjonen til feltet over et område er lik med kurveintegrlet til feltet lngs rnd til området. ersom feltet er konservtivt vil begge sider i likheten være, venstresiden fordi lukkede kurveintegrl i et konservtivt felt er, høyresiden fordi integrnden er for et konservtivt felt. Eksempel 2.2. Betrkt det sirkulære vektorfeltet f(x, y) = ( y, x) og sirkelen r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π. Vi hr tidligere sett t venstresiden er lik 2πR 2. Høyresiden kn vi også regne ut, ( x x ( y)) dx dy = (1 + 1) dx dy y = 2 rel() = 2πR 2 4
Eksempel 2.3. Vi skl beregne integrlet y 2 dx + 3xy dy = y 2 x (t) + 3xyy (t) dt rundt øvre hlvprt v enhetssirkelen med sentrum i origo. Vi hr y 2 dx + 3xy dy = ( x 3xy y y2 ) dx dy = (3y 2y) dx dy = = = 1 1 x 2 1 1 1 [ 1 2 y2 ] 1 x 2 y dy dx dx = 1 2 = 1 2 [x 1 3 x3 ] 1 1 = 2 3 1 1 y dx dy (1 x 2 ) dx Eksempel 2.4. Vi kn uttrykke relet v et område som et kurveintegrl: 1 2 y dx + 1 2 x dy = 1 2 ( x x ( y)) dx dy y = 1 dx dy = rel() Eksempel 2.5. Vi lr kurven være firknten gitt v hjørnene (, ), (1, ), (, 1) og (1, 1). Vi skl beregne kurveintegrlet (5 xy y 2 ) dx + (x 2 2xy) dy Ved Greens teorem er dette ensbetydende med å regne ut dobbeltintegrlet v 2x 2y + x + 2y = 3x over firknten. 3x dx dy = 3 rel() x = 3 2 Vi strter med en funksjon f(x, y) i to vrible. Fr denne dnner vi et vektorfelt f, grdienten til f. ette vektrofeltet beskriver retningen som funksjonen endrer seg. Vektorfelt som er grdient v en funksjon kller vi konservtive. Testen på om et vektrofelt er en grdient er gitt ved betingelsen Q x P y =. Utrykket Q x P y klles sirkulsjonen til vektorfeltet. ermed blir kriteriet for konservtivitet t feltet ikke hr sirkulsjon. Integrerer vi sirkulsjonen over et lukket og begrenset område i plnet sier Greens teorem t vi får det smme som når vi integrerer feltet lngs med omrisskurven til området. 3 Onsdg 17. mrs 21 Oppgve 3.1. ) Vis t vektorfeltet F(x, y) = (e y, xe y ) er konservtivt. b) Finn et potensil for vektorfeltet gitt i ) c) Regn ut kurveintegrlet v vektorfeltet gitt i ) lngs en rett linje mellom punktene ( 1, 1) og (1, 1). Oppgve 3.2. Vis t vektorfeltet F(x, y) = (y, xy x) ikke er en grdient. Finn også en vei slik t f ds. 5
Oppgve 3.3. Et område i (x, y)-plnet er vgrenset v en kurve gitt ved rette linjer gjennom de fire hjørnene (, ), (2, ), (, 2) og (2, 2). Beregn kurveintegrlet (mot klokk) y 2 dx + x dy ved å bruke Greens teorem. 6