Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk Andreassen 1 Høgskolen Østfold Rskokostnad rosjekt Snøskuffe Tlstands (vær) Sannsynlghet Kontantstrøm mll 1(lte snø) 0,33 6 2(mddels snø) 0,33 6 1(mye snø) 0,33 12 John-Erk Andreassen 2 Høgskolen Østfold Forventet nåverd av et rosjekt Nåverd av forventet kontantstrøm T E( t ) E( 1) E( 2 ) E( T ) NV = = E( t 0 ) + + +... + 1 2 T (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) t = 0 Forventet kontantstrøm Tlstand() Utfall 1 6 2 6 3 12 n E() = = 1 [ ] John-Erk Andreassen 3 Høgskolen Østfold
Rskokostnad Nåverd av forventet kontantstrøm T E( t ) E( 1) E( 2 ) E( T ) NV = = E( t 0 ) + + +... + 1 2 T (1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r) t = 0 To komonenter katalkostnaden 1. Tdskostnad (nflasjonskostnad + utålmodghetskostnad) 2. Rskokostnad Høgskolen Østfold Prosjektrsko Varans og standardavvk Var() = n = 1 [ - E() ] 2 Std() = Var() (1) (2) (3) Tlstand 1 0,33 6 2 0,33 6 3 0,33 12 E() = (4) 2 (5) -E() -2 Var() = Std() = (6) - E() 1,3 [ ] 2 Total rsko = systematsk rsko + usystematsk rsko John-Erk Andreassen 5 Høgskolen Østfold Snøskuffe-rosjektets bdrag Tlstands (vær) Kjettng Snøskuffe Totalt Snøskuffebdrag mll mll mll 1(lte snø) 5 6 11 2(mddels snø) 30 6 36 1(mye snø) 37 12 49 Forventnng 24 8 32 8 Standardavvk 13,74 2,83 15,77 2,03 Standardavvk/ forventng 0,57 0,35 0,49 0,25 Total rsko = systematsk rsko + usystematsk rsko John-Erk Andreassen 6 Høgskolen Østfold
Prosjektrsko Usystematsk rsko dversfserbar rsko Varans 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Antall aksjer orteføljen Systematsk rsko Rsko v kke kan bl kvtt ved dversfserng Måles ved beta (β) Kovarans r. enhet markedsvarans Uttrykker samvarasjonen med markedsorteføljen. John-Erk Andreassen 7 Høgskolen Østfold Snøgre vs markedsorteføljen Markedsorteføljen består av samtlge selskaer Betaverd for AS Snøgre 1 2 3 4 5 6 År Avkastnng, Avkastnng, Avkastnng, Avkastnng, Snøgre Markedet gj,sntt.avkastn. gj,sntt.avkastn. (4*5) Snøgre Markedet -45-3 94-40 8 154 95 36 11 31 0-12 96 25 32 20 21 404 97 9 33 4 22 78 98-3 -27-8 -38 323 Gj,sntt.avkastn. 5 11 946 Sum Varans 475 Kovarans 189 Kov(r, r ) = E m [{ r - E(r )} { r - E(r }] m m John-Erk Andreassen 8 Høgskolen Østfold Varansen tl markedsorteføljen År Faktsk avkastnng Gjennomsntt avkastnng Avvk Avvk kvadrert 1994 8 11-3 12 1995 11 11 0 0 1996 32 11 21 424 1997 33 11 22 467 1998-27 11-38 1475 Sum 2377 Varans 475 Standardavvk 22 John-Erk Andreassen 9 Høgskolen Østfold
Prosjektrsko for Snøskuffe Markedsorteføljen består av samtlge selskaer β er et mål å systematsk rsko Kov(r,r m 189 β = Var(r ) β = 475 m m Kov(r, r ) = E ) = 0,4 [{ r - E(r )} { r - E(r }] m m John-Erk Andreassen 10 Høgskolen Østfold Prosjektrsko Samvarasjon og beta 1. Kovaransen måler samvarasjon mellom rosjektets og markedets avkastnng 2. Postv (negatv) samvarasjon gr ostv (negatv) kovarans og beta. Ingen samvarasjon gr kovarans og beta lk 0 3. Jo høyere kovarans og beta, desto høyere rsko 4. All rsko markedsorteføljen er systematsk, dvs kan kke dversfseres bort 5. Usystematsk rsko et rosjekt forsvnner når rosjektet tas nn markedsorteføljen 6. Markedsorteføljens beta er 1. Dersom rosjektet har beta under (over) 1, er systematsk rsko lavere (høyere) enn gjennomsnttet John-Erk Andreassen 11 Høgskolen Østfold Rsko og avkastnng Fnansnvesternger Hoveddé: Rasjonelle nvestorer har rskoaversjon, de ådrar seg kke rsko uten å bl komensert for det form av høyere forventet avkastnng Vktge sørsmål: Hvordan rssettes rsko? Hva er fnansell rsko? John-Erk Andreassen 12 Høgskolen Østfold
Aksjemarkedet Aksjemarkedet rssetter rsko kontnuerlg Avkastnng ved aksjekjø består av kursgevnst og dvdende (utbytte) Kjøskurs: P t-1 = 100, salgskurs: P t = 120 og dvdende D t = 5 Avkastnng R t = (P t -P t-1 +D t )/ P t-1 = (120 100 + 5)/100 = 25 % John-Erk Andreassen 13 Høgskolen Østfold Hva bestemmer aksjekurser? En aksjekurs er nåverden av alle forventede dvdendebetalnger Eksemel: Anta at en aksje gr en fremtdg dvdende å 100 all fremtd, og at avkastnngskravet er 10 % P 0 = 100/0,1 = 1000 Hva hvs du ønsker å selge om en erode? P 0 = (100 + 1 000)/1,1 = 1000 John-Erk Andreassen 14 Høgskolen Østfold Oslo Børs totalndeks (TOT) John-Erk Andreassen 15 Høgskolen Østfold
Oslo Børs totalndeks (TOT) Vser kursutvklngen aksjemarkedet generelt Orettet 1.1.1983 og satt tl 100. Indeks ved nngangen tl 2001 var lk 1 360,8. Årlg avkastnng denne attenårseroden 100 (1 + ) 18 = 1 360,8 (1 + ) 18 = 1 360,8/100 = 13,608 1 + = 1 360,8 1/18 = 1,156 det vl s at årlg avkastnng (geometrsk) gjennomsnttlg har vært 15,6 %. Ca. 8 % høyere enn bank - rskoreme John-Erk Andreassen 16 Høgskolen Østfold Avkastnng r. måned 1983-2000 50 45 43 40 Antall måneder 35 30 25 20 15 19 19 21 26 19 20 15 10 5 3 2 2 2 3 8 7 4 2 1 0-18 -16-14 -12-10 -8-6 -4-2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Avkastnng r. måned (%) John-Erk Andreassen 17 Høgskolen Østfold Forventnng og varans Faktsk Gjennomsntt Avvk År avkastnng avkastnng Avvk kvadrert 1983 0,9053 0,1560 0,7493 0,5615 1984 0,2392 0,1560 0,0832 0,0069 1985 0,3074 0,1560 0,1514 0,0229 1986-0,0888 0,1560-0,2448 0,0599 1987-0,1183 0,1560-0,2743 0,0752 1988 0,3771 0,1560 0,2211 0,0489 1989 0,5445 0,1560 0,3885 0,1509 1990-0,1345 0,1560-0,2905 0,0844 1991-0,0942 0,1560-0,2502 0,0626 1992-0,1002 0,1560-0,2562 0,0656 1993 0,6475 0,1560 0,4915 0,2416 1994 0,0713 0,1560-0,0847 0,0072 1995 0,1160 0,1560-0,0400 0,0016 1996 0,3212 0,1560 0,1652 0,0273 1997 0,3152 0,1560 0,1592 0,0253 1998-0,2665 0,1560-0,4225 0,1785 1999 0,4554 0,1560 0,2994 0,0896 2000-0,0168 0,1560-0,1728 0,0299 1,7399 Sum Varans 0,1023 SD 0,3199 σ 2 = 1,7399/(18 1) = 0,1023 σ = 1,7399 1/2 = 0,3199 eller 31,99 % John-Erk Andreassen 18 Høgskolen Østfold
Normalfordelt avkastnng John-Erk Andreassen 19 Høgskolen Østfold Rsko orteføljesammenheng En nvestor vl normalt kke holde et verdar alene men sammen med andre en ortefølje. Hvordan beregne forventet avkastnng og standardavvk (rsko) for en ortefølje? Hvordan rssettes rsko orteføljesammenheng? John-Erk Andreassen 20 Høgskolen Østfold Harry M Markowtz Nobelrs 1990 htt://cowles.econ.yale.edu/p/c/00b/0060.df Hvorfor fkk du Nobelrsen økonom? Jeg fant ut at det kke er lurt å legge alle eggene en kurv John-Erk Andreassen 21 Høgskolen Østfold
Moderne orteføljeteor Markowtz fremhevet at et rosjekts rsko vurdert alene kke er det vktgste, men hvordan et rosjekt åvrker orteføljens rsko (rskobdrag) Det er kke erfekt samvarasjon (korrelasjon) mellom aksjekurser En rskoklde trenger kke åvrke alle rosjekter å samme måte John-Erk Andreassen 22 Høgskolen Østfold Presserng av rskobegreet To tyer av rsko er aktuelle: Markedsrsko, også kalt systematsk rsko Bedrftsrsko, også kalt usystematsk rsko Usystematsk rsko eller bedrftsrsko kan elmneres ved dversfkasjon, det samme gjelder kke for markedsrsko Sden usystematsk rsko er dversfserbar, belønnes kke nvestorer for å bære den En ortefølje hvor det meste av den usystematske rskoen er fjernet kalles en veldversfsert ortefølje John-Erk Andreassen 23 Høgskolen Østfold Aksjefond bredt sammensatt kan ses å være veldversfsert John-Erk Andreassen 24 Høgskolen Østfold
NHY, MED, KVI, ELK Avkastnng r. måned 1998-2000 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0-0,2 jan.98 mar.98 ma.98 jul.98 se.98 nov.98 jan.99 mar.99 ma.99 jul.99 se.99 nov.99 jan.00 mar.00 ma.00 jul.00 se.00 nov.00-0,4-0,6 AVK - NHY AVK - MED AVK - ELK AVK - KVI SNITT John-Erk Andreassen 25 Høgskolen Østfold Dversfkasjon og orteføljersko Standard avvk Når flere verdarer nngår orteføljen, reduseres rskoen og stablseres å et gtt nvå 1 6 11 16 21 26 31 36 Antall arer orteføljen John-Erk Andreassen 26 Høgskolen Østfold Forventet avkastnng og rsko for nye rosjekter Konjunktur Sannsynlghet Avkastnng Avkastnng Y Høy 0,25 28 % 10 % Normal 0,50 15 % 13 % Lav 0,25 2 % 10 % Hva er forventet avkastnng og avkastnngens standardavvk for både og Y? John-Erk Andreassen 27 Høgskolen Østfold
Forventet avkastnng og Y Aksje Aksje Y 1 2 3 4 (= 2 * 3) 5 6 (= 2 * 5) Konjunkturer Sannsynlghet Avkastnng Avkastnng Høy 0,25 0,28 0,0700 0,10 0,0250 Normal 0,50 0,15 0,0750 0,13 0,0650 Lav 0,25-0,02-0,0050 0,10 0,0250 Forventet avkastnng 0,1400 0,1150 E(r ) = (0,25 0,28) + (0,50 0,15) + (0,25 0,02) = 0,14 eller 14 % E(r Y ) = (0,25 0,10) + (0,50 0,13) + (0,25 0,10) = 0,115 eller 11,5 % John-Erk Andreassen 28 Høgskolen Østfold Avkastnngens standardavvk 1 2 3 4 (= 3^2) 5 (= 2 * 4) Avvk fra Konjunkturer Sannsynlghet forventnng Avvk kvadrert Aksje Høy 0,25 0,1400 0,01960 0,00490 Normal 0,50 0,0100 0,00010 0,00005 Lav 0,25-0,1600 0,02560 0,00640 Varans avkastnng aksje 0,01135 Standardavvk avkastnng aksje 0,10654 Aksje Y Høy 0,25-0,0150 0,00023 0,00006 Normal 0,50 0,0150 0,00023 0,00011 Lav 0,25-0,0150 0,00023 0,00006 Varans avkastnng aksje Y 0,00023 Standardavvk avkastnng aksje Y 0,01500 John-Erk Andreassen 29 Høgskolen Østfold Forventet avkastnng for en ortefølje For å fnne orteføljens forventede avkastnng kan v enkelt vee samme enkeltaksjenes avkastnng, hvor vektene utgjør hver enkelt aksjes andel av orteføljen, eks med 50/50 E(r ) = (0,5 14 %) + (0,5 11,5 %) = 12,75 % John-Erk Andreassen 30 Høgskolen Østfold
Porteføljevarans Hvs v hadde ved sammen enkeltaksjenes standardavvk, vlle v fått orteføljens standardavvk lk (0,5 10,65 %) + (0,5 1,52 %)=6,09 % V kan kke vee sammen enkeltaksjenes standardavvk. Det vl som regel g et for høyt anslag å standardavvket. Mulg negatv avkastnng å ovees av ostv avkastnng for Y Konjunkturer Sannsynlghet Avkastnng Avkastnng Y Portefølje (50/50) Høy 0,25 28 % 10 % 19,0 % Normal 0,50 15 % 13 % 14,0 % Lav 0,25-2 % 10 % 4,0 % John-Erk Andreassen 31 Høgskolen Østfold Porteføljevarans 1 2 3 4 (= 3^2) 5 (= 2 * 4) Portefølje Andel 0,5 Andel Y 0,5 Konjunkturer Sannsynlghet Avvk fra forventnng Avvk kvadrert Portefølje avkastnng Høy 0,25 0,0625 0,00391 0,00098 0,19 Normal 0,50 0,0125 0,00016 0,00008 0,14 Lav 0,25-0,0875 0,00766 0,00191 0,04 Varans avkastnng ortefølje 0,00297 0,1275 Standardavvk avkastnng aksje ortefølje 0,05449 Porteføljeavkastnngens standardavvk er 5,45 %. Dversfkasjonsgevnst ca 6,1 % - 5,45 % = 0,65%-oeng John-Erk Andreassen 32 Høgskolen Østfold Dversfkasjon og rsko Aksjekurser har rakss kke erfekt samvarasjon, målt ved korrelasjonskoeffsenten Korrelasjonskoeffsenten tar verder mellom + 1 (erfekt ostv lneær samvarasjon og 1 (erfekt negatv lneær samvarasjon) Aksjekursers korrelasjon er ofte ca. 0,4 Hvs aksjekurser kke er erfekt korrelert, kan rsko reduseres ved å nkludere flere arer orteføljen Ved erfekt negatv korrelasjon kan rsko elmneres John-Erk Andreassen 33 Høgskolen Østfold
Porteføljevarans en alternatv beregnng Porteføljevarans kan også beregnes slk, hvor a = andel av hver aksje orteføljen, σ er standardavvk, ρ er korrelasjonskoeffsent 2 2 2 2 2 σ (r ) = a σ (r ) + a Y σ (ry ) + 2a a σ (r ) σ (r ) ρ(r,r ) Y Y Y John-Erk Andreassen 34 Høgskolen Østfold Porteføljevarans - en alternatv beregnng For å beregne korrelasjonskoeffsent (ρ), må v først beregne kovarans mellom to aksjers avkastnng: Kov ρ Y Y = (r Kov(,Y) = σ σ Y E(r ) (r E(r ) Y Y John-Erk Andreassen 35 Høgskolen Østfold Porteføljevarans - en alternatv beregnng Kovaransen mellom avkastnng tl aksje og Y kan beregnes slk: (28 14) (10 11,5) 0,25 + (15 14) (13 11,5) 0,50 + ( 2 14) (10 11,5) 0,25 = 1,50 Dermed blr korrelasjonskoeffsenten lk 1,50/(10,65 1,52) = 0,09 Porteføljevaransen blr = 0,5 2 0,011 35 + 0,5 2 0,000 23 + 2 0,5 0,5 0,106 54 0,015 17 0,09 = 0,002 97 og standardavvket 0,05447 eller 5,45 %. John-Erk Andreassen 36 Høgskolen Østfold
Korrelasjon og dversfkasjon Avkastnng Korrelasjon - 0,25 Korrelasjon - 1,0 Y Korrelasjon + 1,0 Korrelasjon + 0,25 Avkastnngens standardavvk John-Erk Andreassen 37 Høgskolen Østfold Systematsk rsko Systematsk rsko (markedsrsko) måler hvor følsom en enkeltaksjes avkastnng er for endrnger markedet generelt Systematsk rsko måles med en aksjes beta (β) Kov(j,m) σ β j = = 2 σ m σ jm 2 m John-Erk Andreassen 38 Høgskolen Østfold Systematsk rsko, forts Beta, β, er et mål å markedsrsko: jo høyere beta, jo mer følsomme er avkastnngen å en aksje for endrnger markedets avkastnng En beta å 1,2 for et selska betyr at hvs markedet generelt går o med 1%, er forventet øknng aksjekursen tl selska 1,2%. John-Erk Andreassen 39 Høgskolen Østfold
Estmerng av beta Avkastnng aksje j Beste lnje estmeres med mkm (least squares) Helnng = β Avkastnng marked John-Erk Andreassen 40 Høgskolen Østfold 0,30 0,20 0,10 0,00-0,10-0,20-0,30 Hydro og totalndeksen 1998-2000 Avk-TOT Avk-NHY jan.98 mar.98 ma.98 jul.98 se.98 nov.98 jan.99 mar.99 ma.99 jul.99 se.99 nov.99 jan.00 mar.00 ma.00 jul.00 se.00 nov.00 John-Erk Andreassen 41 Høgskolen Østfold Betaberegnng - Hydro Td Avk-TOT Avvk Varans Avk-NHY Avvk Kovarans jan.98-0,04950 0,06229 0,00388-0,06557 0,07526 0,00469 feb.98-0,01989 0,03268 0,00107 0,01314-0,00346-0,00011 mar.98-0,06734 0,08014 0,00642-0,11834 0,12803 0,01026 ar.98-0,02226 0,03505 0,00123 0,01457-0,00489-0,00017 ma.98 0,07713-0,06433 0,00414 0,08311-0,07343 0,00472 jun.98 0,00969 0,00310 0,00001-0,00746 0,01715 0,00005.. ma.00 0,04220-0,02940 0,00086 0,02545-0,01577 0,00046 jun.00 0,01827-0,00548 0,00003 0,06195-0,05226 0,00029 jul.00 0,04503-0,03223 0,00104-0,06793 0,07762-0,00250 aug.00 0,09069-0,07790 0,00607 0,13372-0,12404 0,00966 se.00-0,04220 0,05499 0,00302-0,01682 0,02650 0,00146 okt.00-0,02511 0,03790 0,00144-0,05374 0,06342 0,00240 nov.00-0,09304 0,10584 0,01120 0,00813 0,00155 0,00016 des.00-0,02212 0,03491 0,00122 0,01359-0,00390-0,00014 SUM 0,4478015 0,1461546 0,3389071 0,0752568 0,1231639 SNITT 0,0127943 0,0041758 0,0096831 0,0021502 0,0035190 John-Erk Andreassen 42 Høgskolen Østfold
Betaberegnng - Hydro V har funnet at markedsorteføljens (TOT) varans (σ 2 rm) = er lk 0,1461546/(36-1) = 0,0041758. kovaransen mellom Hydro og markedet er 0,1231639/(36 1) = 0,0035190. Dermed fnner v at estmert beta for Hydro er 0,003159/0,0041758 = 0,84 John-Erk Andreassen 43 Høgskolen Østfold Kværner og totalndeksen 1998-2000 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00-0,20-0,40-0,60 Avk-TOT Avk-KVI jan.98 mar.98 ma.98 jul.98 se.98 nov.98 jan.99 mar.99 ma.99 jul.99 se.99 nov.99 jan.00 mar.00 ma.00 jul.00 se.00 nov.00 John-Erk Andreassen 44 Høgskolen Østfold Merkantldata og totalndeksen 1998-2000 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00-0,10-0,20-0,30-0,40 Avk-TOT Avk-MED jan.98 mar.98 ma.98 jul.98 se.98 nov.98 jan.99 mar.99 ma.99 jul.99 se.99 nov.99 jan.00 mar.00 ma.00 jul.00 se.00 nov.00 John-Erk Andreassen 45 Høgskolen Østfold
Beta eksemler Aksjer Beta, β Kværner 2.01 Orkla 1.76 Den norske Bank 1.33 Norske Skog 0.93 Elkjø 0.86 klde: Dagens Nærngslv John-Erk Andreassen 46 Høgskolen Østfold * Varans Osummerng Høy rsko Forventnng E() = Mål å total rsko: varans og standardavvk Var() = n = 1 n = 1 [ ] [ - E() ] 2 Lav rsko * Standardavvk Std() = Var() Total rsko = systematsk rsko + usystematsk rsko * Mål å systematsk rsko: Beta * Beta β = Kov(r,rm ) Var(r m ) Kov(r, r ) = E [{ r - E(r } { r - E(r }] Samvarasjon m m m John-Erk Andreassen 47 Høgskolen Østfold Ltteraturlste Bredesen, I.: Investerng og fnanserng. Oslo: Gyldendal akademsk, 2001. Ka. 12 Øyvnd Bøhren & Per Ivar Gjærum: Prosjektanalyse, 1999, Skarvet Forlag John-Erk Andreassen 48 Høgskolen Østfold
Ogaver Ogave 1, 2 og 3 boken (IB) (Forventnng og rsko) John-Erk Andreassen 49 Høgskolen Østfold