Påygging kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6.1 (Vi nøyer oss me å lge én tell, hvor vi også fører inn svrene fr oppgve og.) Antll kst 50 100 500 1000 5000 10 000 Antll enere 12 23 87 170 853 1678 Reltiv frekvens 0,240 0,230 0,174 0,170 0,171 0,168 23 0,230 100 = Den reltive frekvensen etter 100 kst er 0,230. 87 = 0,174 500 170 = 0,170 1000 853 = 0,171 5000 1678 = 0,168 10 000 Den reltive frekvensen for enere nærmer seg etter hvert 1 6 = 0,167. Oppgve 6.3 156 369 0,514 304 221 = Den reltive frekvensen for gutteføsler er 0,514. Vi hr regnet en reltive frekvensen utfr et velig stort ntll rn. D kn vi regne me t snnsynligheten er lik en reltive frekvensen. Snnsynligheten for t et nyføt rn er en gutt, er ltså 0,514 = 51,4 %. Oppgve 6.4 Snnsynligheten for å få mynt er 50 %. D er også snnsynligheten for å få krone 50 %. Det er ltså like snnsynlig å få krone som mynt. Påstnen er riktig. e Vi kn lri vite på forhån når vi vil få mynt. Påstnen er erfor gl. Det er 50 % snnsynlig t vi får mynt og krone i hvert kst. Etter mnge kst vil vi erfor forvente å få omtrent like mnge mynt og krone. Påstnen er riktig. Vi kn lri vite nøyktig hvor mnge mynt og krone vi vil få. Påstnen er gl. Snnsynligheten for å få mynt er lik en reltive frekvensen etter velig mnge kst. Den reltive frekvensen vil erfor nærme seg 50 % = 1 2 etter mnge kst. Påstnen er riktig. Ashehoug www.lokus.no Sie 1 v 33
Oppgve 6.6 Totlt le et føt 1833 033 1 733 407 3 566 440 1833 033 = 0,5140 3 566 440 + = rn i enne perioen. 1 733 407 = 0, 4860 3 566 440 Den reltive frekvensen for gutteføsler er 0,5140, og en reltive frekvensen for jenteføsler er 0,4860. Løsninger De reltive frekvensene stemmer helt nøyktig me t snnsynligheten er 51,4 % for gutt og 48,6 % for jente, kkurt som vi kn forvente når ntllet rn er så høyt. Oppgve 6.7 12128 0, 0099 1 219 206 = Den reltive frekvensen for tvillingføsler i perioen 1961 1980 er 0,0099. 19164 0, 0164 1166 299 = Den reltive frekvensen for tvillingføsler i perioen 1991 2010 er 0,0164. Den reltive frekvensen for tvillingføsler hr økt fr 0,0099 til 0,0164. Det er en etyelig økning, og når ntllet føsler vi ser på også er så høyt, tyer et på t snnsynligheten for å få tvillinger hr enret seg. Oppgve 6.8 Det er 27 elever i klssen. Det er erfor 27 mulige utfll i lotrekningen. Vi hr en uniform snnsynlighetsmoell. Alle utfllene er ltså like snnsynlige. Snnsynligheten er erfor 1 27 for t Emm lir vlgt. Oppgve 6.9 De mulige utfllene er frgene på hjulet, ltså rø, lå, gul, grå og grønn. Det røe feltet ekker 1 4 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t hjulet stopper på røt er erfor 1 4. Det grønne feltet ekker 1 8 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t hjulet stopper på grønt er erfor 1 8. Ashehoug www.lokus.no Sie 2 v 33
Oppgve 6.10 Det er fire mulige utfll i forsøket: MM, MK, KM og KK. Vi kn få «minst én mynt» på tre forskjellige måter, nemlig MM, MK og KM. 3 Derfor er P (minst én mynt) =. 4 Det er to utfll som svrer til t vi får et smme på egge pengestykkene: MM og KK. 2 1 Derfor er P (et smme) = =. 4 2 Oppgve 6.11 Det er 12 + 15 = 27 elever i klssen. Det er erme 27 mulige utfll i lotrekningen. Det er 15 gutter i klssen. Altså er et 15 gunstige utfll for t en gutt lir trukket ut. Det er 15 gunstige utfll, og 27 mulige utfll. ntll gunstige utfll 15 15 : 3 5 P (gutt) = = = = ntll mulige utfll 27 27 : 3 9 Løsninger Snnsynligheten er 5 9 for t en gutt lir trukket ut. Oppgve 6.12 Til smmen er et 8 + 7 + 5 = 20 iter i goteposen. Det er ltså 20 mulige utfll. Sien et er 8 sjokoleiter i posen, er et 8 gunstige utfll. Derme er 8 8:4 2 P (sjokole) = = = 20 20 : 4 5 7 P (lkris) = 20 5 1 P (krmell) = = 20 4 Oppgve 6.13 Det er 13 g = hjerterkort i kortstokken, og m = 52 kort totlt. Derfor er g 13 1 P(hjerter) = = = m 52 4 Det er g = 4 ess i kortstokken. Derfor er g 4 1 P(ess) = = = m 52 13 Det er 4 4 = 16 honnørkort i kortstokken. Derfor er 16 4 P (honnør) = = 52 13 Ashehoug www.lokus.no Sie 3 v 33
Oppgve 6.14 1 Henelsen «sum øyne lik sju» estår v utfllene (1, 6), (2,5), (3, 4), (4,3), (5, 2) og (6, 1). 2 Henelsen «minst én ener» estår v utfllene (1, 6), (1, 5), (1, 4), (1, 3), (1, 2), (1,1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1) og (6, 1). 3 Henelsen «pr» estår v utfllene (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) og (6, 6). 1 Henelsen «sum øyne lik sju» estår v 6 gunstige utfll. Totlt er et 36 mulige utfll. Altså er 6 1 P (sum øyne lik sju) = = 36 6 2 Henelsen «minst én ener» estår v 11 gunstige utfll. 11 P (minst én ener) = 36 3 Henelsen «pr» estår v 6 gunstige utfll. 6 1 P (pr) = = 36 6 Oppgve 6.15 Tenk t et er m seigmenn i skål. Det er g = 5 seigmenn som er gule. Snnsynligheten for å trekke en gul seigmnn er 25 % = 0,25. Det gir g P(gul) = m 5 0, 25 = m 5 m = 0, 25 m = 20 Det er 20 seigmenn i skål. Ashehoug www.lokus.no Sie 4 v 33
Oppgve 6.16 1 1 1 P(lå eller gul) = P(lå) + P(gul) = + = 4 4 2 1 1 3 P(rø eller grønn) = P(rø) + P(grønn) = + = 4 8 8 P(ikke grå) = P(grønn, rø, lå eller gul) 1 1 1 1 7 = P(grønn) + P(rø) + P(lå) + P(gul) = + + + = 8 4 4 4 8 Oppgve 6.17 P(A eller AB) = P(A) + P(AB) = 48 % + 4 % = 52 % P(ikke 0) = P(A, B eller AB) = P(A) + P(B) + P(AB) = 48 % + 8 % + 4 % = 60 % Blogiveren må h lotype A eller lotype 0. P(A eller 0) = P(A) + P(0) = 48 % + 40 % = 88 % Snnsynligheten er 88 % for t en psient me lotype A kn få overført lo fr en nye logiveren. Oppgve 6.18 Det er 10 lpper i esken, og erme 10 mulige utfll. Det er 10 mulige utfll, og lle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten er erfor 1 for t Ali får tllet 7. 10 Tllene fr og me 1 til og me 6 er minre enn 7. Det er ltså 6 gunstige utfll. g 6 3 P(minre enn 7) = = = m 10 5 Snnsynligheten er 3 5 for t Ali får et tll som er minre enn 7. Tllene 8, 9 og 10 er større enn 7. Det er ltså 3 gunstige utfll. Derme er 3 P (større enn 7) = 10 Oppgve 6.19 6 1 P (lå) = = 30 5 12 2 P (rø) = = 30 5 12 + 8 + 6 26 13 P(ikke grønn) = P(rø, gul eller lå) = = = 30 30 15 12 + 4 + 6 22 11 P(ikke gul) = P(rø, grønn eller lå) = = = 30 30 15 Ashehoug www.lokus.no Sie 5 v 33
Oppgve 6.20 Det er m = 52 kort i kortstokken, og lle kortene er like snnsynlige. Derfor er 1 1 P(kløver sju) = = m 52 Det er g = 4 ess i kortstokken. Derfor er Det er 52 4 = 48 kort som ikke er ess. Altså er Det er 13 spr i kortstokken. Altså er g 4 1 P(ess) = = =. m 52 13 13 1 P (spr) = =. 52 4 e Det er 52 13 = 39 kort som ikke er spr. Altså er 48 12 P (ikke ess) = =. 52 13 39 3 P (ikke spr) = =. 52 4 Oppgve 6.21 1 2 3 1 Henelsen «sum ntll øyne lik fem» estår v fire utfll, nemlig (1, 4), (2,3), (3, 2) og (4, 1). Totlt er et 36 mulige utfll. Altså er 4 1 P (sum ntll øyne lik fem) = = 36 9 2 Henelsen «minst én sekser» estår v 11 gunstige utfll. 11 P (minst én sekser) = 36 3 Henelsen «sum ntll øyne høyst lik fire» estår v 6 gunstige utfll. 6 1 P (sum ntll øyne høyst lik fire) = = 36 6 Ashehoug www.lokus.no Sie 6 v 33
Oppgve 6.22 Oetllene er 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 og 19. Det er ltså 10 oetll og 20 lpper. 10 1 P (oetll) = = 20 2 Det er 10 prtll, nemlig 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 og 20. 10 1 P (prtll) = = 20 2 Det er 8 primtll som er minre enn eller lik 20, nemlig 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 og 19. 8 2 P (primtll) = = 20 5 Det er 4 kvrttll som er minre enn eller lik 20, nemlig 1, 4, 9 og 16. 4 1 P (kvrttll) = = 20 5 Oppgve 6.23 Tenk t Johnne liker g v twistitene. Totlt er et m = 30 twistiter i posen. Snnsynligheten for t Johnne liker en tilfelig vlgt twistit er 13. Det gir g P(liker) = m 1 g = 3 30 1 30 g = 3 g = 10 Johnne liker 10 v twistitene i posen. Tenk t et er m twistiter i posen. Sigur liker g = 8 v twistitene. Snnsynligheten for t hn liker en tilfelig vlgt twistit er 40 % = 0,40. Det gir g P(liker) = m 8 0, 40 = m 8 m = 0, 40 m = 20 Det er 20 twistiter i posen. Oppgve 6.24 P(oetll) = P(1) + P(3) = 10 % + 40 % = 50 % P(prtll) = P(4) + P(6) = 40 % + 10 % = 50 % P(høyst tre) = P(1) + P(3) = 10 % + 40 % = 50 % P(minst tre) = P(3) + P(4) + P(6) = 40 % + 40 % + 10 % = 90 % Løsninger Ashehoug www.lokus.no Sie 7 v 33
Oppgve 6.25 Det er m = 8 mulige utfll. Henelsen «tre krone» svrer til utfllet KKK. Altså er 1 1 P(tre krone) = = m 8 Henelsen «tre mynt» svrer til utfllet MMM. 1 P (tre mynt) = 8 Det er tre utfll som er gunstige for henelsen «to krone og én mynt», nemlig KKM, KMK og MKK. Altså er g = 3. Det gir g 3 P(to krone og én mynt) = = m 8 Oppgve 6.26 Du kn velge mellom tre forskjellige iter når u tr en første iten. Når u skl t en nre iten er et erfor re to iter igjen. Hvis u f.eks. velger sjokoleiten (S) først, er et re krmell (K) og lkris (L) som er igjen. Det er ltså 6 forskjellige måter å velge e to itene på: SK, SL, KS, KL, LS og LK. Se figuren til høyre. Oppgve 6.27 Det er 25 forskjellige måter å velge melemmet på. For hvert v isse vlgene er et 24 forskjellige måter å velge vrmelem. Vi kn ltså velge melem og vrmelem på m = 25 24 = 600 måter. Vi kn velge en jente til melem på 15 måter. For hvert v isse vlgene kn vi velge en jente til vrmelem på 14 måter. Vi kn ltså velge en jente åe til melem og vrmelem på g = 15 14 = 210 måter. Alle e 600 utfllene er like snnsynlige. Derme er g 210 P(to jenter lir vlgt) = = = 0,35 = 35 % m 600 Ashehoug www.lokus.no Sie 8 v 33
Oppgve 6.28 Knut kn velge mellom to forskjellige ukser og tre forskjellige skjorter. Det totle ntllet utfll i et smmenstte forsøket er erfor m = 23 = 6. Knut kn ltså velge ukse og skjorte på 6 måter. Se figuren til høyre. Alle e 6 utfllene er like snnsynlige. Derfor er 1 1 P( HG) = = m 6 Det er to utfll som er gunstige for henelsen «smme frge», nemlig BB og HH. Altså er 2 1 P (smme frge) = = 6 3 Oppgve 6.29 I kn trekke to knpper tilfelig på m = 10 9 = 90 forskjellige måter. Hun kn trekke to hvite knpper på g = 7 6 = 42 forskjellige måter. Snnsynligheten for t hun trekker to hvite knpper er erfor g 42 P(to hvite knpper) = = = 0, 467 = 46, 7 % m 90 Det er ltså svrlterntiv C som er riktig. Oppgve 6.30 Vi kn trekke e to melemmene v festkomiteen på m = 28 27 = 756 forskjellige måter. Blnt isse utfllene kn vi trekke ut to gutter på g = 16 15 = 240 forskjellige måter. Snnsynligheten for t egge melemmene v festkomiteen lir gutter er erfor g 240 P(egge lir gutter) = = = 0,317 = 31,7 % m 756 Oppgve 6.31 Det er 52 kort i kortstokken. Vi kn erfor trekke ett kort på 52 måter. Når vi skl trekke et nre kortet, er et 51 kort igjen i kortstokken. Det smmenstte forsøket hr ltså m = 52 51 = 2652 mulige utfll. Det er 13 spr i kortstokken. Vi kn erfor trekke to spr på g = 13 12 = 156 måter. Alle e 2652 utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å trekke to spr er erfor g 156 P(to spr) = = = 0, 059 = 5,9 % m 2652 Ashehoug www.lokus.no Sie 9 v 33
Oppgve 6.32 Det er til smmen 8 + 6 + 4 + 3 = 21 pkker uner juletreet. Vi kn erfor velge to pkker tilfelig på 21 20 = 420 måter. Blnt isse utfllene kn vi trekke to pkker til Nin på 8 7 = 56 måter. Snnsynligheten for t egge pkkene er til Nin er erfor 56 P (egge til Nin) = = 0,133 = 13,3 % 420 Løsninger Det er 15 pkker som ikke er til Tois. Vi kn erfor trekke to pkker som ikke er til Tois på 15 14 = 210 forskjellige måter. Derme er 210 P (ingen til Tois) = = 0,500 = 50,0 % 420 Oppgve 6.33 I hvert v e fire kstene kn vi få enten krone eller mynt. Det er erfor totlt 16 mulige utfll: KKKK, KKKM, KKMK, KKMM, KMKK, KMKM, KMMK, KMMM, MKKK, MKKM, MKMK, MKMM, MMKK, MMKM, MMMK og MMMM. Vi ser v vlgtreet t vi kn få én krone og tre mynt på fire forskjellige måter, nemlig KMMM, MKMM, MMKM og MMMK. Alle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å få én krone og tre mynt er erfor 4 1 P (én krone og tre mynt) = = 16 4 Vi ser v vlgtreet t vi kn få to krone og to mynt på seks forskjellige måter, nemlig KKMM, KMKM, KMMK, MKKM, MKMK og MMKK. Snnsynligheten for å få to krone og to mynt er erfor 6 3 P (to krone og to mynt) = = 16 8 Oppgve 6.34 Totlt er et fire utfll: KK, KM, MK og MM. Henelsen «nøyktig én krone» estår v utfllene KM og MK. Henelsen B estår v utfllene KK og MM. 2 1 Henelsen B estår v to utfll. Derfor er PB ( ) = =. 4 2 Sien B og B er komplementære henelser, er erme 1 1 PB ( ) = 1 =. 2 2 Ashehoug www.lokus.no Sie 10 v 33
Oppgve 6.35 Henelsene «minst én gutt lir vlgt» og «to jenter lir vlgt» er komplementære. 15 14 P(to jenter lir vlgt) = = 0,35 25 24 P(minst én gutt lir vlgt) = 1 P(to jenter lir vlgt) = 1 0,35 = 0,65 = 65 % Snnsynligheten for t minst én gutt lir vlgt er 65 %. Oppgve 6.36 Henelsen A = «minst 5 øyne» estår v utfllene 5 og 6. Henelsen A estår v lle utfllene som ikke er me i A, ltså 1, 2, 3 og 4. Dette er tllene minre enn eller lik 4. Altså er henelsen A = «høyst 4 øyne». Totlt er et 6 mulige utfll. Derme er 2 1 PA ( ) = = 6 3 1 2 PA ( ) = 1 PA ( ) = 1 = 3 3 Oppgve 6.37 Vi kn trekke en første kul på 5 forskjellige måter. For hvert v isse lterntivene kn vi trekke en nre kul på 4 måter. Vi kn erfor trekke to kuler på m = 5 4 = 20 måter. Vi kn trekke to røe kuler på g = 32 = 6måter. Snnsynligheten for t vi trekker to røe kuler er gitt ve g 6 3 P(to røe kuler) = = = m 20 10 Henelsene «minst én lå kule» og «to røe kuler» er komplementære. Derme er 3 7 P(minst én lå kule) = 1 P(to røe kuler) = 1 = 10 10 Oppgve 6.38 Vi kn trekke to elever på m = 28 27 = 756 forskjellige måter. Blnt isse utfllene kn vi trekke to gutter på g = 16 15 = 240 måter. Derme er g 240 P(to gutter) = = = 0,317 = 31, 7 % m 756 Henelsene «minst én jente» og «to gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) = 1 P(to gutter) = 1 0,317 = 0,683 = 68,3 % Ashehoug www.lokus.no Sie 11 v 33
Oppgve 6.39 Det er 20 seigmenn i skål. Vi kn erfor trekke to seigmenn på m = 20 19 = 380 måter. Hvis seigmennene skl h smme frge, må vi trekke enten to røe eller to gule seigmenn. Vi kn trekke to røe seigmenn på 10 9 = 90 forskjellige måter. Vi kn også trekke to gule seigmenn på 10 9 = 90 forskjellige måter. Derme kn vi trekke to seigmenn me smme frge på g = 90 + 90 = 180 måter. g 180 P(smme frge) = = = 0, 474 = 47, 4 % m 380 Henelsene «ulik frge» og «smme frge» er komplementære. Derme er P(ulik frge) = 1 P(smme frge) = 1 0,474 = 0,526 = 52,6 % Oppgve 6.40 Kortstokken hr 52 kort. Vi kn erfor trekke to kort på 52 51 = 2652 måter. Det er f.eks. 13 spr i kortstokken. Vi kn erfor trekke to spr på 13 12 = 156 måter. Sien et er like mnge kort v hver frge, etyr ette t et er 156 måter å trekke to kløver, to hjerter eller to ruter. Vi kn ltså trekke to kort i smme frge på 4 156 = 624 måter. Snnsynligheten for å trekke to kort i smme frge er erme 624 P (smme frge) = = 0, 235 = 23,5 % 2652 Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» er komplementære. Derme er P(forskjellig frge) = 1 P(smme frge) = 1 0, 235 = 0, 765 = 76,5 % Oppgve 6.41 Det er 13 iter i goteposen. Mrtin kn erfor trekke to iter på 13 12 = 156 måter. 1 Mrtin kn trekke to sjokoleiter på 8 7 = 56 måter. 2 Mrtin kn trekke to krmeller på 5 4 = 20 måter. Mrtin kn trekke to like iter på 56 + 20 = 76 forskjellige måter. Derme er 76 P (to like iter) = = 0, 487 = 48, 7 % 156 Henelsene «to forskjellige iter» og «to like iter» er komplementære. Derfor er P(to forskjellige iter) = 1 P(to like iter) = 1 0,487 = 0,513 = 51,3 % Ashehoug www.lokus.no Sie 12 v 33
Oppgve 6.42 Roinson Ikke Roinson Totlt Senkvel 3 7 10 Ikke Senkvel 4 13 17 Totlt 7 20 27 Det er tre elever som hr sett egge progrmmene, og 27 elever totlt i klssen. Derme er 3 1 P (egge) = = = 0,111 = 11,1 % 27 9 Det er 13 elever som ikke hr sett noen v progrmmene. 13 P (ingen) = = 0, 481 = 48,1 % 27 e P(minst ett) = 1 P(ingen) = 1 0, 481 = 0,519 = 51,9 % Oppgve 6.43 Vi setter først opp en krysstell for å få oversikten. Smfunnsøkonomi Ikke smfunnsøkonomi Totlt Mtemtikk 5 10 15 Ikke mtemtikk 3 7 10 Totlt 8 17 25 Vi ser t et er 5 elever som hr vlgt åe mtemtikk og smfunnsøkonomi. 5 1 P (mtemtikk og smfunnsøkonomi) = = = 0,20 = 20 % 25 5 Det er 10 elever som hr vlgt mtemtikk men ikke smfunnsøkonomi, og 3 elever som hr vlgt smfunnsøkonomi men ikke mtemtikk. Det er ltså 13 elever som hr vlgt re ett v fgene. 13 P (nøyktig ett v fgene) = = 0,52 = 52 % 25 Det er 15 elever som hr mtemtikk, og 5 elever som hr egge fgene. Derfor er 5 1 P (elev me mtemtikk hr også smfunnsøkonomi) = = = 0,333 = 33,3 % 15 3 Ashehoug www.lokus.no Sie 13 v 33
Oppgve 6.44 Høyehopp Ikke høyehopp Totlt Løpsøvelser 7 28 35 Ikke løpsøvelser 5 10 15 Totlt 12 38 50 e Det er 12 personer som konkurrerer i høyehopp, og 50 personer totlt. 12 P (høyehopp) = = 0, 24 = 24 % 50 35 P (løpsøvelser) = = 0, 70 = 70 % 50 7 P (høyehopp og løpsøvelser) = = 0,14 = 14 % 50 Det er 10 personer som verken konkurrerer i høyehopp eller løpsøvelser. Derme er et 50 10 = 40 personer som konkurrerer i høyehopp eller løpsøvelser eller egge eler. 40 P (høyehopp, løpsøvelser eller egge eler) = = 0,80 = 80 % 50 Oppgve 6.45 Senkvel Ikke Senkvel Totlt X Ftor 25 32 57 Ikke X Ftor 10 13 23 Totlt 35 45 80 Det er 57 elever som hr sett X Ftor, og 80 elever totlt. Derme er 57 P (X Ftor) = = 0,713 = 71,3 % 80 35 P (Senkvel) = = 0, 438 = 43,8 % 80 25 P (egge) = = 0,313 = 31,3 % 80 e Det er 25 + 10 + 32 = 67 elever som hr sett minst ett v progrmmene. 67 P (minst ett v progrmmene) = = 0,838 = 83,8 % 80 f 13 P (ingen) = = 0,163 = 16,3 % 80 Ashehoug www.lokus.no Sie 14 v 33
Oppgve 6.46 Vi lger en krysstell for å få oversikten. e f Ktt Ikke ktt Totlt Hun 2 8 10 Ikke hun 6 9 15 Totlt 8 17 25 9 P (verken hun eller ktt) = = 0,36 = 36 % 25 2 P (hun og ktt) = = 0,08 = 8 % 25 6 P (ktt, men ikke hun) = = 0,24 = 24 % 25 8 P (hun, men ikke ktt) = = 0,32 = 32 % 25 Det er 10 elever som hr hun, og 2 elever som hr åe hun og ktt. 2 P (elev me hun hr også ktt) = = 0,20 = 20 % 10 Det er 8 elever som hr ktt, og 2 elever som hr åe hun og ktt. 2 P (elev me ktt hr også hun) = = 0,25 = 25 % 8 Oppgve 6.47 I ette tilfellet kjenner vi ikke ntllet iler, men vi kjenner prosentnelen me feil. Vi setter erfor opp en krysstell me prosenttll, er et totle ntllet er 100 %. Feil me remsene Bremsene i oren Totlt Feil me lysene 4 % 14 % 18 % Lysene i oren 8 % 74 % 82 % Totlt 12 % 88 % 100 % Av krysstellen ser vi t 82 % v ilene he lysene i oren. 88 % v ilene he remsene i oren. 4 % v ilene he verken lys eller remser i oren. 8 % v ilene he lys, men ikke remser i oren. Ashehoug www.lokus.no Sie 15 v 33
Oppgve 6.48 Det er 20 personer som spiller fotll og 20 som spiller hånll. 20 2 P(fotll) = = 90 9 20 2 P(hånll) = = 90 9 P(fotll eller hånll) = P(fotll) + P(hånll) 2 2 4 = + = = 0,444 = 44,4 % 9 9 9 Det er 20 personer som løper orientering og 15 som river me friirett. 20 2 P(orientering) = = 90 9 15 1 P(friirett) = = 90 6 P(orientering eller friirett) = P(orientering) + P(friirett) Løsninger 2 1 7 = + = = 0,389 = 38,9 % 9 6 18 Det er 20 personer som spiller fotll, 20 som spiller hånll og 15 som spiller volleyll. 20 2 P(fotll) = = 90 9 20 2 P(hånll) = = 90 9 15 1 P(volleyll) = = 90 6 P(llspill) = P(fotll) + P(hånll) + P(volleyll) Oppgve 6.49 Se figuren til høyre. 2 2 1 11 = + + = = 0,611 = 61,1 % 9 9 6 18 Av figuren ser vi t A B estår v utfllene (1, 5), (2,5), (3, 5), (4,5), (5, 4), (5, 3), (5, 2) og (5, 1). Henelsen A B estår v lle utfll ortsett fr (4, 6), (6, 4) og (6, 6). 1 30 11 8 PA ( ) =, PB ( ) =, PA ( B) = 36 36 36 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) 30 11 8 30 + 11 8 33 = + = = 36 36 36 36 36 2 Vi ser t A B estår v 33 gunstige utfll. Altså er 33 PA ( B) =. 36 Ashehoug www.lokus.no Sie 16 v 33
Oppgve 6.50 1 Det er 52 kort i kortstokken. 13 v kortene er hjerter. Derme er 13 1 P (hjerter) = = 52 4 2 Det er 13 kort som er ruter. Altså er 13 1 P (ruter) = =. 52 4 Løsninger Et kort kn ikke være åe ruter og hjerter. Henelsene «ruter» og «hjerter» er isjunkte. 1 1 1 Derfor er P(ruter eller hjerter) = P(ruter) + P(hjerter) = + =. 4 4 2 Oppgve 6.51 Se figuren til høyre. Av figuren ser vi t henelsen A B estår v utfllene (1, 4) og (4, 1). Henelsen A B estår v utfllene (1,1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2,3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4, 4), (4,5), (4, 6), (5, 4) og (6, 4). Henelsen A B estår v to utfll. Derme er 2 1 PA ( B) = = 36 18 Henelsen A B estår v 19 utfll. Derme er 19 PA ( B) = 36 Oppgve 6.52 Det er 52 kort i kortstokken. Fire v kortene er konge. Derme er 4 1 P (konge) = = 52 13 Det er 26 svrte kort i kortstokken (13 kløver og 13 spr). Altså er 26 1 P (svrt) = = 52 2 Det er ett kort som er kløver konge og ett kort som er spr konge. Derme er 2 1 P (svrt konge) = = 52 26 Fr isjonssetningen får vi P(svrt eller konge) = P(svrt) + P(konge) P(svrt konge) 1 1 1 13 2 1 14 7 = + = + = = 2 13 26 26 26 26 26 13 Ashehoug www.lokus.no Sie 17 v 33
Oppgve 6.53 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = 0, 22 + 0,18 0,03 = 0,37 Fr isjonssetningen er PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B). Derme er PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = 0, 45 + 0,35 0,65 = 0,15 Oppgve 6.54 Henelsen «minst én feil» er et smme som «A eller B» (eller egge). Fr isjonssetningen får vi erme PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = 0,030 + 0,010 0,002 = 0,038 = 3,8 % Snnsynligheten er 3,8 % for t et TV-pprt hr minst én v e to feilene. Henelsene «minst én feil» og «ingen feil» er komplementære. Altså er P(ingen feil) = 1 P(minst én feil) = 1 PA ( B) = 1 0,038 = 0,962 = 96,2 % Oppgve 6.55 For t vi skl kunne legge smmen snnsynlighetene for regn hver v gene, må e to henelsene «regn på lørg» og «regn på søng» være isjunkte. Men et er e ikke. Det kn nemlig regne egge gene. Vi må erfor ruke en generelle isjonssetningen i steet. Snnsynligheten for t et vil regne i løpet v helgen er erme minre enn 60 %. Oppgve 6.56 Sien vi legger en første kul tilke, er trekningen v e to kulene uvhengige henelser. Det er tre røe kuler, og fem kuler totlt. Det gir 3 P(første kule rø) = P(nre kule rø) = 5 Derme er 3 3 9 P(egge kulene er røe) = P(første kule rø) P(nre kule rø) = = 5 5 25 2 2 4 P(egge kulene er lå) = P(første kule lå) P(nre kule lå) = = 5 5 25 3 2 6 P(første rø og nre lå) = P(første kule rø) P(nre kule lå) = = 5 5 25 Oppgve 6.57 Vi kn nt t kjønnet til e to rn er uvhengige. Prouktsetningen gir P(egge gutter) = P(elste gutt) P(yngste gutt) = 0,514 0,514 = 0, 264 = 26, 4 % Snnsynligheten er 26,4 % for t ektepret hr to gutter. P(elste gutt og yngste jente) = P(elste gutt) P(yngste jente) = 0,514 0,486 = 0,250 = 25,0 % P(elste jente og yngste gutt) = P(elste jente) P(yngste gutt) = 0,486 0,514 = 0,250 = 25,0 % Ashehoug www.lokus.no Sie 18 v 33
Oppgve 6.58 De to trekningene me lykkehjulet er uvhengige. Det røe feltet ekker 13 v hjulet. Prouktsetningen gir erfor 1 1 1 P(røt egge gngene) = P(røt første gng) P(røt nre gng) = = 3 3 9 Det gule feltet ekker 16 v lykkehjulet. Derme er 1 1 1 P(røt og så gult) = P(røt første gng) P(gult nre gng) = = 3 6 18 Løsninger Oppgve 6.59 Snnsynligheten for ikke å få sekser i ett kst er 56. Kstene me terningen er uvhengige. Derme er 5 5 5 5 5 5 P(ingen seksere) = = = 0, 402 = 40, 2 % 6 6 6 6 6 6 Henelsene «minst én sekser» og «ingen seksere» er komplementære. Derfor er P(minst én sekser) = 1 P(ingen seksere) = 1 0,402 = 0,598 = 59,8 % Oppgve 6.60 Vi kn nt t kjønnet til e tre rn er uvhengige. D er 3 P (lle er jenter) = 0, 486 0, 486 0, 486 = 0, 486 = 0,115 = 11,5 % Snnsynligheten er 11,5 % for t lle e tre rn er jenter. Henelsene «lle er jenter» og «minst én gutt» er komplementære. Derfor er P(minst én gutt) = 1 P(lle er jenter) = 1 0,115 = 0,885 = 88,5 % Snnsynligheten er 88,5 % for t minst ett v rn er en gutt. Oppgve 6.61 Trekningen v en seigmnn og en seigme er uvhengige henelser. Derfor er P(rø seigmnn og ornsje seigme) = P(rø seigmnn) P(ornsje seigme) 5 5 3 15 = = = 0,185 = 18,5 % 9 9 81 P(rø seigmnn og grønn seigme) = P(rø seigmnn) P(grønn seigme) 5 6 30 = = = 0,370 = 37,0 % 9 9 81 P(gul seigmnn og ornsje seigme) = P(gul seigmnn) P(ornsje seigme) 4 3 12 = = = 0,148 = 14,8 % 9 9 81 P(gul seigmnn og grønn seigme) = P(gul seigmnn) P(grønn seigme) 4 6 24 = = = 0,296 = 29,6 % 9 9 81 Ashehoug www.lokus.no Sie 19 v 33
Oppgve 6.62 Tippingen v e to svrene er uvhengige henelser. Derfor er 1 1 1 P(riktig på egge) = P(riktig på første) P(riktig på nre) = = 3 5 15 2 4 8 P(glt på egge) = P(glt på første) P(glt på nre) = = 3 5 15 Henelsene «minst ett riktig svr» og «glt på egge» er komplementære. Derme er 8 7 P(minst ett riktig svr) = 1 P(glt på egge) = 1 = 15 15 Løsninger Oppgve 6.63 Henelsene «minst én sekser» og «ingen seksere» er komplementære. Vi regner erfor først ut snnsynligheten for ikke å få noen seksere. For ett terningkst er enne snnsynligheten 56. Det gir 5 5 5 5 5 P(ingen seksere) = = = 0,482 6 6 6 6 6 P(minst én sekser) = 1 P(ingen seksere) = 1 0,482 = 0,518 = 51,8 % Det er ltså svrlterntiv C som er riktig. Oppgve 6.64 Trekningen v forrett, hoverett og essert er tre uvhengige henelser. Det gir 2 4 3 24 P(suppe, fisk og is) = P(suppe) P(fisk) P(is) = = = 0,057 = 5,7 % 6 10 7 420 Snnsynligheten for t migen estår v suppe, fisk og is er 5,7 %. Oppgve 6.65 4 Sien personene ikke er i følge, kn vi nt t e estemmer seg for om e vil hnle uvhengig v hvernre. Derme er 3 P (lle tre hnler) = 0, 60 0, 60 0, 60 = 0, 60 = 0, 216 = 21, 6 % 3 P (ingen hnler) = 0, 40 0, 40 0, 40 = 0, 40 = 0, 064 = 6, 4 % Henelsene «minst én hnler» og «ingen hnler» er komplementære. Derme er P(minst én hnler) = 1 P(ingen hnler) = 1 0,064 = 0,936 = 93,6 % Oppgve 6.66 Vi kn nt t kjønnet til e fire rn er uvhengige. D er 4 P (fire gutter) = 0,514 = 0, 070 = 7, 0 % Henelsene «minst én jente» og «fire gutter» er komplementære. Derme er P(minst én jente) = 1 P(fire gutter) = 1 0,070 = 0,930 = 93, 0 % 3 P (storeror me tre småsøstre) = 0,514 0,486 = 0,059 = 5,9 % Ashehoug www.lokus.no Sie 20 v 33
Oppgve 6.67 For hver v guttene er snnsynligheten 92 % for t hn ikke er røgrønn frgelin. Snnsynligheten for t ingen v e 12 guttene er røgrønn frgelin er erfor 12 P (ingen frgelin) = 0,92 = 0,368 = 36,8 % Henelsene «minst én frgelin» og «ingen frgelin» er komplementære. P(minst én frgelin) = 1 P(ingen frgelin) = 1 0,368 = 0,632 = 63,2 % Løsninger Røgrønn frgelinhet er rvelig. Hvis én v guttene i en søskenflokk eller lnt nre nære slektninger er røgrønn frgelin, er et erfor mye større snnsynlighet for t også nre i fmilien er frgeline. Oppgve 6.68 Når Mons skl trekke en første knppen, er et to lå og tre røe knpper. Derfor er 3 P (første knpp rø) = 5 Hvis hn først trekker en rø knpp, er et igjen to lå og to røe knpper. Snnsynligheten for t en nre knppen også skl li rø er erme 2 P (nre knpp rø når første knpp er rø) = 4 Fr prouktsetningen for vhengige henelser er erfor 3 2 6 3 P (egge knppene er røe) = = = 5 4 20 10 2 Snnsynligheten for t første knpp er lå, er P (første knpp lå) =. 5 Nå er et igjen én lå og tre røe knpper. Altså er 1 P (nre knpp lå når første knpp er lå) = 4 Derme lir 2 1 2 1 P (egge knppene er lå) = = = 5 4 20 10 3 P(første knpp rø) = 5 2 P(nre knpp lå når første knpp er rø) = 4 3 2 6 3 P(første knpp rø og nre knpp lå) = = = 5 4 20 10 Ashehoug www.lokus.no Sie 21 v 33
Oppgve 6.69 Til å egynne me er et 7 lå og 4 røe kuler i esken. Hvis vi trekker en lå kule, er et igjen 6 lå og 4 røe kuler. Derme er 7 6 42 P (egge kulene er lå) = = = 0,382 = 38,2 % 11 10 110 4 3 12 P (egge kulene er røe) = = = 0,109 = 10,9 % 11 10 110 4 7 28 P (første kule rø og nre kule lå) = = = 0,255 = 25,5 % 11 10 110 Oppgve 6.70 Snnsynligheten for t melemmet til elevrået lir en gutt, er 10 25. Hvis en gutt er vlgt til melem, er et igjen 9 gutter lnt e 24 elevene som kn li vrmelem. Den etingee snnsynligheten for t vrmelemmet lir en gutt er ltså 9 24. Fr prouktsetningen får vi erme 10 9 P (egge er gutter) = = 0,15 = 15 % 25 24 Henelsene «minst én jente» og «egge er gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) = 1 P(egge er gutter) = 1 0,15 = 0,85 = 85 % Oppgve 6.71 Snnsynligheten for t en første krmellen er en NOX, er 10 25. Hvis Signe først trekker en NOX, er et 15 FOX og 9 NOX igjen i skål. Den etingee snnsynligheten for t en nre krmellen er en NOX er erfor 9 24. Til slutt er et igjen 15 FOX og 8 NOX i skål. Den etingee snnsynligheten for t en treje krmellen er en NOX er erfor 8 23. Til smmen gir ette 10 9 8 P (tre NOX) = = 0, 052 = 5, 2 % 25 24 23 Henelsene «minst én FOX» og «tre NOX» er komplementære. Derfor er P(minst én FOX) = 1 P(tre NOX) = 1 0,052 = 0,948 = 94,8 % Ashehoug www.lokus.no Sie 22 v 33
Oppgve 6.72 Snnsynligheten for t en første kul er hvit, er 5 8. Hvis vi først trekker en hvit kule, er et igjen 4 hvite og 3 svrte kuler. Den etingee snnsynligheten for t en nre kul også er hvit er erfor 4 7. Fr prouktsetningen får vi erme 5 4 20 P (egge kulene er hvite) = = = 0,357 = 35,7 % 8 7 56 Etter å h trukket en hvit kule, er et igjen 4 hvite og 3 svrte kuler. Den etingee snnsynligheten for t en nre kul er svrt er erfor 3. Det gir 7 5 3 15 P (første kule hvit og nre kule svrt) = = = 0,268 = 26,8 % 8 7 56 3 5 15 P (første kule svrt og nre kule hvit) = = = 0,268 = 26,8 % 8 7 56 3 2 6 P (egge kulene er svrte) = = = 0,107 = 10,7 % 8 7 56 Oppgve 6.73 Snnsynligheten for t en første eleven er en gutt, er 12 21. Den etingee snnsynligheten for t en nre eleven også er en gutt er erfor 11 20. Fr prouktsetningen får vi erme 12 11 P (egge er gutter) = = 0,314 = 31,4 % 21 20 Henelsene «minst én jente» og «egge er gutter» er komplementære. Derfor er P(minst én jente) = 1 P(egge er gutter) = 1 0,314 = 0,686 = 68,6 % Oppgve 6.74 Når vi skl trekke et første kortet, er 39 v e 52 kortene i kortstokken ikke spr. Hvis vi først trekker noe nnet enn spr, er erfor 38 v 51 kort ikke spr når vi skl trekke et nre kortet. Det gir 39 38 P (ingen spr) = = 0,559 = 55,9 % 52 51 P(minst én spr) = 1 P(ingen spr) = 1 0,559 = 0,441 = 44,1 % Til å egynne me er 48 v 52 kort noe nnet enn ess. Hvis vi først trekker noe nnet enn ess, er 47 v 51 kort noe nnet enn ess når vi skl trekke et nre kortet. Det gir 48 47 P (ingen ess) = = 0,851 = 85,1 % 52 51 P(minst ett ess) = 1 P(ingen ess) = 1 0,851 = 0,149 = 14,9 % Ashehoug www.lokus.no Sie 23 v 33
Oppgve 6.75 Snnsynligheten for t første okstv lir P, er 1 29. Når hn skl trekke nre okstv, er et 28 okstver igjen. Snnsynligheten for t nre okstv lir E er erfor 1 28. Til slutt er snnsynligheten 1 27 for t treje okstv lir R. Snnsynligheten for å trekke oret PER er ltså 1 1 1 = 0,000 046 = 0,0046 % 29 28 27 Oppgve 6.76 Når vi skl trekke første kloss, er 5 v 8 klosser hvite. Hvis vi først trekker en hvit kloss, er 4 v e 7 gjenværene klossene hvite. Hvis vi hr trukket to hvite klosser, er til slutt 3 v 6 klosser hvite. Fr prouktsetningen får vi erme 5 4 3 P (lle hvite) = = 0,179 = 17,9 % 8 7 6 Henelsene «lle hvite» og «minst én svrt» er komplementære. Derfor er P(minst én svrt) = 1 P(lle hvite) = 1 0,179 = 0,821 = 82,1 % Først er et 5 hvite klosser som utgjør e gunstige utfllene, eretter er et 4 hvite klosser (sien vi lleree hr trukket en hvit kloss), og til slutt er et 3 svrte klosser. Derme er 5 4 3 P (hvit, hvit, svrt) = = 0,179 = 17,9 % 8 7 6 3 5 4 P (svrt, hvit, hvit) = = 0,179 = 17,9 % 8 7 6 Oppgve 6.77 Det er 14 jenter og 24 elever totlt i klssen. Derme er 14 13 12 11 P (fire jenter) = = 0, 094 = 9, 4 % 24 23 22 21 P(minst én gutt) = 1 P(fire jenter) = 1 0,094 = 0,906 = 90,6 % Oppgve 6.78 Det er 13 spr i kortstokken, og 52 kort totlt. Først er et ltså 13 gunstige utfll (spr), eretter er 12 v e 51 mulige utfllene gunstige, osv. Fr prouktsetningen er erme 13 12 11 10 9 P (fem spr) = = 0, 000 50 = 0, 050 % 52 51 50 49 48 P(minst ett kort ikke spr) = 1 P(fem spr) = 1 0,000 50 = 0,9995 = 99,95 % Ashehoug www.lokus.no Sie 24 v 33
Oppgve 6.79 Det er 20 konsonnter og 9 vokler lnt e 29 lppene. Det gir 20 19 18 17 P (re konsonnter) = = 0, 204 = 20, 4 % 29 28 27 26 P(minst én vokl) = 1 P(re konsonnter) = 1 0, 204 = 0, 796 = 79, 6 % 9 8 7 6 P (re vokler) = = 0,0053 = 0,53 % 29 28 27 26 Oppgve 6.80 Se figuren til høyre. Vegr kn få nøyktig én lå sokk på to måter, nemlig ve først å trekke en lå og så en svrt sokk, eller først å trekke en svrt og så en lå sokk. Fr prouktsetningen får vi 7 4 14 P( BS) = = 11 10 55 4 7 14 P( SB) = = 11 10 55 Aisjonssetningen gir erme P(nøyktig én lå sokk) = P( BS) + P( SB) 14 14 28 = + = 55 55 55 = 0,509 = 50,9 % Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» = «nøyktig én lå sokk» er komplementære. Altså er P(smme frge) = 1 P(nøyktig én lå sokk) = 1 0,509 = 0,491 = 49,1 % Oppgve 6.81 Vi ruker vlgtreet fr eksempel 22. P( GJ ) = 0,514 0, 486 = 0, 250 P( JG) = 0, 486 0,514 = 0, 250 Derme er P(én gutt og én jente) = P( GJ eller JG) = P( GJ ) + P( JG) = 0,250 + 0,250 = 0,500 = 50,0 % P(minst én gutt) = 1 P(to jenter) = 1 P( JJ ) = = = 2 1 0,486 0,764 76,4 % P(minst én jente) = 1 P(to gutter) = 1 P( GG) = = = 2 1 0,514 0, 736 73, 6 % Ashehoug www.lokus.no Sie 25 v 33
Oppgve 6.82 Se figuren til høyre. 15 14 P(to FOX) = P( FF) = = 0,35 = 35 % 25 24 10 9 P(to NOX) = P( NN) = = 0,15 = 15 % 25 24 P(nøyktig én FOX) = P( FN eller NF) = P( FN) + P( NF) 15 10 10 15 = + 25 24 25 24 2 15 10 = = 0,50 = 50 % 25 24 e P(minst én FOX) = 1 P(ingen FOX) Oppgve 6.83 Se figuren til høyre. = 1 P( NN) = 1 0,15 = 0,85 = 85 % 1 Det er to måter vi kn trekke én kule i hver frge, nemlig først å trekke en lå og så en gul kule, eller først å trekke en gul og så en lå kule. Fr prouktsetningen får vi 5 3 15 P( BG) = = 8 7 56 3 5 15 P( GB) = = 8 7 56 Aisjonssetningen gir erme P(én v hver) = P( BG eller GB) = P( BG) + P( GB) 15 15 15 = + = = 0,536 = 53,6 % 56 56 28 2 P(smme frge) = 1 P(forskjellig frge) = 1 P(én v hver) = 1 0,536 = 0, 464 = 46, 4 % Ashehoug www.lokus.no Sie 26 v 33
Oppgve 6.84 Se figuren til høyre. 12 11 P(to seigmer) = P( DD) = = 0,347 = 34, 7 % 20 19 8 7 P(to seigmenn) = P( MM ) = = 0,147 = 14, 7 % 20 19 P(én v hver) = P( MD eller DM ) = P( MD) + P( DM ) 8 12 12 8 2 8 12 = + = 20 19 20 19 20 19 = 0,505 = 50,5 % e P(minst én seigmnn) = 1 P(to seigmer) = 1 0,347 = 0,653 = 65,3 % Oppgve 6.85 Det røe feltet ekker 13 v lykkehjulet. Snnsynligheten for t et stopper på et røe feltet er erfor 13. Tilsvrene er snnsynligheten for t lykkehjulet stopper på et gule feltet 16. Prouktsetningen for uvhengige henelser gir erme 1 1 1 PRG ( ) = PR ( ) PG ( ) = = 3 6 18 1 1 1 PGR ( ) = PG ( ) PR ( ) = = 6 3 18 Fr isjonssetningen får vi 1 1 1 P(én rø og én gul) = P( RG eller GR) = P( RG) + P( GR) = + = 18 18 9 Oppgve 6.86 Snnsynligheten for å sore på et strffesprk er 80 % = 0,80. Snnsynligheten for å sore på egge strffesprkene er erfor P (to mål) = 0,80 0,80 = 0, 64 = 64 % Snnsynligheten for å omme på et strffesprk er 20 % = 0,20. Mon kn sore på nøyktig ett strffesprk på to måter: hun kn sore på et første og omme på et nre strffesprket, eller omvent. PSB ( ) = PS ( ) PB ( ) = 0,80 0, 20 = 0,16 PBS ( ) = PB ( ) PS ( ) = 0, 20 0,80 = 0,16 Derme er P(ett mål) = P( SB eller BS) = P( SB) + P( BS) = 0,16 + 0,16 = 0,32 = 32 % Ashehoug www.lokus.no Sie 27 v 33
Oppgve 6.87 Snnsynligheten for t en gutt er røgrønn frgelin er 8 %. D er snnsynligheten for t en gutt ikke er røgrønn frgelin 92 %. Snnsynligheten for t verken Jons eller Mrtin er frgeline er ltså P (ingen frgelin) = 0,92 0,92 = 0,846 = 84, 6 % Det er to måter nøyktig én v em kn være røgrønn frgelin, nemlig t et er enten Jons eller Mrtin som er frgelin, smtiig som en nre ikke er frgelin. P(kun Jons) = 0, 08 0,92 = 0, 0736 P(kun Mrtin) = 0,92 0, 08 = 0, 0736 Derme er P (nøyktig én frgelin) = 0, 0736 + 0, 0736 = 0,147 = 14, 7 % Oppgve 6.88 Se figuren til høyre. e Av vlgtreet ser vi t et er fire måter vi kn trekke nøyktig én rø kule på, nemlig RB, RG, BR og GR. Aisjonssetningen gir erme P(én rø kule) = P( RB) + P( RG) + P( BR) + P( GR) 5 5 5 5 = + + + = 0,530 = 53,0 % 33 44 33 44 De gunstige utfllene for henelsen «nøyktig én lå kule» er RB, BR, BG og GB. Derme er P(én lå kule) = P( RB) + P( BR) + P( BG) + P( GB) 5 5 1 1 = + + + = 0,485 = 48,5 % 33 33 11 11 De gunstige utfllene er nå RG, BG, GR og GB. P(én gul kule) = P( RG) + P( BG) + P( GR) + P( GB) 5 1 5 1 = + + + = 0,409 = 40,9 % 44 11 44 11 Vi ser t henelsen «forskjellig frge» estår v seks gunstige utfll, nemlig RB, RG, BR, BG, GR og GB. Det gir P(forskjellig frge) = P( RB) + P( RG) + P( BR) + P( BG) + P( GR) + P( GB) 5 5 5 1 5 1 = + + + + + = 0,712 = 71,2 % 33 44 33 11 44 11 Løsninger Ashehoug www.lokus.no Sie 28 v 33
Oppgve 6.89 Det er to lå og tre røe kuler i esken. Snnsynligheten for t første kule er lå, er 25. Derme er et igjen én lå og tre røe kuler i esken. Hvis nre kule lir rø, er et til slutt igjen én lå og to røe kuler. Altså er 2 3 2 P( BRR ) = = 0,20 = 20 % 5 4 3 Tilsvrene finner vi t 2 3 1 P( BRB) = = 0,10 = 10 % 5 4 3 2 1 3 P( BBR) = = 0,10 = 10 % 5 4 3 Vi kn få nøyktig én lå kule på tre måter, nemlig ve å trekke kulene i rekkefølgen BRR, RBR eller RRB. Sien e tre henelsene er isjunkte, gir isjonssetningen P(nøyktig én lå kule) = P( BRR eller RBR eller RRB) = P( BRR) + P( RBR) + P( RRB) 3 2 2 P( RBR) = = 0,20 = 20 % 5 4 3 3 2 2 P( RRB) = = 0,20 = 20 % 5 4 3 P(nøyktig én lå kule) = P( BRR) + P( RBR) + P( RRB) = 20 % + 20 % + 20 % = 60 % Snnsynligheten for t vi får nøyktig én lå kule er 60 %. Oppgve 6.90 Det er tre måter et kn være nøyktig én jente i søskenflokken, nemlig t enten en elste, en mellomste eller en yngste er jente, mens e to nre er gutter. Altså er P(én jente og to gutter) = P( JGG) + P( GJG) + P( GGJ ) For hvert v e tre rn er PJ ( ) = 0,486 og PG ( ) = 0,514. Derme er 2 PJGG ( ) = PJ ( ) PG ( ) PG ( ) = 0,486 0,514 0,514 = 0,486 0,514 2 PGJG ( ) = PG ( ) PJ ( ) PG ( ) = 0,514 0,486 0,514 = 0,486 0,514 2 PGGJ ( ) = PG ( ) PG ( ) PJ ( ) = 0,514 0,514 0,486 = 0,486 0,514 Snnsynligheten for t et er én jente og to gutter i søskenflokken er erfor 2 P (én jente og to gutter) = 3 0,486 0,514 = 0,385 = 38,5 % Oppgve 6.91 Vi kn nt t lotypen til e to personene er uvhengige v hvernre. For hver v em er snnsynligheten for lotype 0 lik 40 %. Derme er P (egge lotype 0) = 0, 40 0, 40 = 0,16 = 16 % Henelsene «egge lotype 0» og «minst én ikke lotype 0» er komplementære. Altså er P(minst én ikke lotype 0) = 1 P(egge lotype 0) = 1 0,16 = 0,84 = 84 % Ashehoug www.lokus.no Sie 29 v 33
Det er to måter én v personene kn h lotype A og én lotype 0, nemlig t person 1 hr lotype A og person 2 lotype 0 (A0), og omvent (0A). Snnsynligheten for e to utfllene er like, sien P(A0) = P(A) P(0) og P(0A) = P(0) P(A) = P(A) P(0). Altså er P(én A og én 0) = 2 P(A) P(0) = 2 0, 48 0, 40 = 0,384 = 38, 4 % Hvis e to personene er slektninger, er ikke lotypene uvhengige v hvernre. Vi må erfor forutsette t personene ikke er slektninger. Oppgve 6.92 e Det er 4 lå (B), 2 grå (G) og 6 svrte (S) sokker i skuffen, til smmen 12 sokker. Fr prouktsetningen får vi 4 3 1 P( BB ) = = = 0, 091 = 9,1 % 12 11 11 2 1 1 P( GG ) = = = 0, 015 = 1,5 % 12 11 66 6 5 5 P( SS ) = = = 0,227 = 22,7 % 12 11 22 Henelsen «smme frge» estår v tre gunstige utfll, nemlig BB, GG og SS. Siene henelsene er isjunkte, er 1 1 5 1 P(smme frge) = P( BB) + P( GG) + P( SS) = + + = = 0,333 = 33,3 % 11 66 22 3 Henelsene «smme frge» og «forskjellig frge» er komplementære. Derfor er 1 2 P(forskjellig frge) = 1 P(smme frge) = 1 = = 0, 667 = 66, 7 % 3 3 Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemiler Oppgve 1 Det er g = 3 røe luser, og m = 12 luser totlt i klesskpet. Snnsynligheten for t lusen er rø er erfor g 3 1 P(rø) = = = m 12 4 Tenk t et er g grønne luser i klesskpet. Snnsynligheten for t Hnn velger en grønn luse er 25 % = 0,25. Det gir likningen g = 0, 25 12 g = 0,25 12 g = 3 Hnn hr 3 grønne luser. Ashehoug www.lokus.no Sie 30 v 33
Oppgve 2 Snnsynligheten for t en første iten lir sjokole, er 46. Hvis Louise først velger sjokole, er et igjen 3 sjokoleiter og 2 krmeller i skål. Den etingee snnsynligheten for t også en nre iten lir sjokole er erfor 35. Prouktsetningen gir erme 4 3 12 12 : 6 2 P (to sjokoleiter) = = = = 6 5 30 30 : 6 5 Henelsene «to sjokoleiter» og «minst én krmell» er komplementære. Derfor er 2 3 P(minst én krmell) = 1 P(to sjokoleiter) = 1 = 5 5 Løsninger Oppgve 3 Tysk Ikke tysk Totlt Spnsk 2 8 10 Ikke spnsk 4 6 10 Totlt 6 14 20 Det er 6 elever som verken hr spnsk eller tysk. 6 3 = = 0,30 = 30 % 20 10 Snnsynligheten for t reiseleeren verken hr spnsk eller tysk er 30 %. Det er 8 elever som hr spnsk, men ikke tysk. 8 4 = = 0,40 = 40 % 20 10 Snnsynligheten for t reiseleeren hr spnsk, men ikke tysk, er 40 %. Oppgve 4 Vi regner ut snnsynlighetene for å kunne smmenlikne. I hvert v kstene er snnsynligheten 1 2 for å få mynt. Snnsynligheten for å få to mynt når u kster to pengestykker er erfor 1 1 = 1. 2 2 4 De gunstige utfllene for henelsen «to eller færre øyne» er 1 og 2. Snnsynligheten for å få to eller færre øyne når u kster en terning er erfor 2 = 1. 6 3 Vi ser ltså t er minre snnsynlig enn. Ashehoug www.lokus.no Sie 31 v 33
De gunstige utfllene er 5 og 6. Snnsynligheten er erfor 2 = 1. 6 3 Løsninger De gunstige utfllene er (1, 5), (2,5), (3, 5), (4,5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) og (6,5). Det er ltså 11 gunstige utfll, og 36 utfll totlt. Snnsynligheten for å få minst én femmer når u kster to terninger er erfor 11 36. Sien 1 1 12 12 = = 3 3 12 36 ser vi t 1 > 11. Altså er mer snnsynlig enn. 3 36 Del 2 Me hjelpemiler Oppgve 5 Det er 25 elever i klssen, og til smmen fem v em røyker. 5 1 = = 0,200 = 20,0 % 25 5 Snnsynligheten for t eleven røyker er 20,0 %. Det er 14 jenter i klssen. Tre v jentene røyker. Det er ltså 11 jenter som ikke røyker. 11 0,786 78,6 % 14 = = Snnsynligheten for t en tilfelig vlgt jente ikke røyker er 78,6 %. Det er 20 elever som ikke røyker. Snnsynligheten for t en første eleven ikke røyker er erfor 20 25. Hvis vi først velger en elev som ikke røyker, er et igjen 5 røykere og 19 ikke-røykere. Den etingee snnsynligheten for t en nre eleven heller ikke røyker er erfor 19 24. Prouktsetningen gir erme 20 19 P (ingen røyker) = = 0,633 = 63,3 % 25 24 For t nøyktig én v elevene røyker, må enten en første eleven være røyker (R) og en nre ikke-røyker (I), ltså RI, eller omvent (IR). Vi får 5 20 1 P( RI) = = 25 24 6 20 5 1 P( IR) = = 25 24 6 1 1 1 P(nøyktig én røyker) = PRI ( ) + PIR ( ) = + = = 0,333 = 33,3 % 6 6 3 Snnsynligheten for t nøyktig én v elevene røyker er 33,3 %. Ashehoug www.lokus.no Sie 32 v 33
Oppgve 6 Snnsynligheten er 99,0 % for t testen viser t hun er grvi. Snnsynligheten for t testen viser t hun ikke er grvi er erfor 100 % 99,0 % = 1,0 %. De to testene er uvhengige. Snnsynligheten for t egge testene viser grviitet (G) er erfor PGG ( ) = PG ( ) PG ( ) = 0,990 0,990 = 0,980 = 98,0 % Henelsene «egge viser grviitet» og «minst én viser ikke grviitet» er komplementære. Derme er P(minst én viser ikke grviitet) = 1 P(egge viser grviitet) = 1 P( GG) = 1 0,980 = 0, 020 = 2, 0 % Oppgve 7 For hvert v e tre skuene er snnsynligheten 85 % for t Emil treffer linken. 3 P (tre treff ) = 0,85 0,85 0,85 = 0,85 = 0, 614 = 61, 4 % Snnsynligheten er 61,4 % for t hn treffer linken me lle skuene. Snnsynligheten er 15 % for å omme for hvert v skuene. 3 P (ingen treff ) = 0,15 0,15 0,15 = 0,15 = 0, 0034 = 0,34 % Snnsynligheten er 0,34 % for t kn ikke treffer linken en eneste gng. Det er tre måter Emil kn treffe linken på nøyktig én gng, nemlig utfr hvilket v e tre skuene som treffer. Hvert v isse utfllene estår v én treff og to om. Snnsynligheten for hvert v e tre utfllene er erfor en smme. Altså er P (nøyktig én treff ) = 3 0,85 0,15 0,15 = 0, 057 = 5, 7 % Snnsynligheten for t Emil treffer linken nøyktig én gng er 5,7 %. Ashehoug www.lokus.no Sie 33 v 33