TFY414 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslg til ving 8. Oppgve 1. ) C F = E = m Newtons. lov. Her er = e, s elektronets kselersjon blir = e m E lts mot venstre. b) C Totlt elektrisk felt i P er vektorsummen v bidrgene fr de re punktldningene. Kongursjonen i gur 3 gir den strste feltstyrken. (Ingen feltbidrg hr her komponent oppover.) stk 1 stk 3 4 stk
Oppgve y Fire ulike posisjoner for ldningen 3 = = ) Punktldningen er i likevekt dersom krften p den er lik null. Her virker det to krefter, en frsttende fr 3 og en tiltrekkende fr, og disse to kn bre knsellere hverndre dersom de hr ekskt motstt retning. Det er ikke mulig dersom er plssert utenfor -ksen, f.eks. som i guren over. (Her er de to enkeltkomponentene v krften ngitt med stiplede piler og totlkrften med heltrukken pil.) Derfor m eventuelle likevektsposisjoner vre p -ksen. b) Vi hr ftt oppgitt t det er en likevektsposisjon for p -ksen. Vi kn ikke h mellom og, for p dette intervllet peker de to krftkomponentene i smme retning. Vi kn heller ikke h til venstre for =, for d er vstnden mellom og 3 lltid mindre enn vstnden mellom og, og flgelig den frsttende krften 3 =4" lltid strre enn den tiltrekkende krften =4"( ). Alts m >. Vi bestemmer ved sette totl krft lik null: = 3 4" ^ 4"( ) ^ ) 3 = 1 ( ) ) 3 6 + 3 = ) 6 + 3 = ) = 6 4 + 1 p36 4 = 3 + p 3 ' :37 4 D forutsetningen vr >, er lsningen med negtivt fortegn forn kvdrtroten ikke en ktuell lsning. (Den tilsvrer ' :63, hvor begge krftkomponenter er like store og hr smme retning.) Stbiliteten v likevektsposisjonen bestemmes knskje enklest ved se p nettokrften nr. D "ser" punktldningen tilnrmet en punktldning 3 = og m flgelig erfre en netto frsttende krft. Vi vet t krften er null bre i =. D m krften peke mot hyre for lle >, ogs for en liten forytning til hyre for, mens den m peke mot venstre for en liten forytning til venstre for. Dermed er likevekten ustbil mhp en forytning lngs -ksen. Alterntivt, med litt regning: L oss frst forenkle notsjonen ved innfre funksjonen f(): F () = F ()^ = Deretter bestemmer vi df=d i = : df d = D f() = og f () >, er likevekten ustbil. Oppgve 3 = 3 1 4" ( ) ^ 4" f()^ 6 3 + ( ) 3 ' 6 (:37) 3 + (1:37) 3 ' :33 3 > ) Med "linjeldning" (dvs: ldning pr lengdeenhet) m ldningene d og Q p henholdsvis en liten lengde d og p hele stven bli d = d Q = L
de P + θ θ 1 θ r y d 1 L b) Elektrisk felt fr lengdeelement d i posisjon : de = d 4"r ^r = Ad r ^r der vi hr innfrt A = =4". Fr guren ser vi t denne vektoren hr komponentene de = de sin = A d r sin de y = de cos = A d r cos Her hr vi vlgt = nr =, og fortegnet stemmer med oppgveteksten, dvs > nr >. Vi bruker tipset i oppgven og uttrykker d og 1=r ved vinkelen : = tn ) d = d cos r = ) 1 cos r = cos ) d r = d De skte komponentene E og E y v feltet E i punktet P fr hele stven fr vi ved integrere de og de y : E = E y = de = de y = A A 1 1 sin d = A 1 cos = cos d = A 1 sin = 4" (cos 1 cos ) 4" (sin 1 sin ) Kommentr: Her kunne en h vrt "uheldig" og strtet med smmenhengen = r sin, som gir d = r cos d + sin dr, ettersom bde og r vrierer med. Men det gr br likevel: Vi hr cos = =r, dvs r = = cos, og dermed dr = 1 cos ( sin ) d slik t d r cos d + sin dr r = r cos d cos sin sin d = + = d cos + sin = d c) Med P like lngt fr stvens to ender er 1 = og flgelig cos 1 cos = og sin 1 sin = sin 1 = L= p + L =4. Dermed: E =
og L E = E y = 4" p + L =4 Lngt unn stven, dvs L: Vi kn n ersttte kvdrtroten med, idet vi kn neglisjere L =4 i forhold til. Vi fr d: E ' L 4" = Q 4" Dette er det smme som feltet fr en punktldning Q i vstnd. Ikke uventet: Lngt unn ser stven essensielt ut som en punktldning med totl ldning Q = L. d) En uendelig lng stv oppnr vi ved l! = og 1! =. D blir igjen E = og flgelig E = E y = " Med ndre ord: Feltet fr en uendelig lng linjeldning fller v som en over vstnden. Oppgve 4 ) Arelet v en tynn ring med rdius og bredde d er da = d, slik t ldningen p en slik ring blir d = da = d Arelet v skiv er A =, s skivs totle ldning blir Q = A = Hvis en ikke husker hv relet v ei sirkelformet skive er (!), kn en selvsgt bestemme totlldningen Q ved integrere d: Q = d = d = = Og om en heller ikke husker hv omkretsen v en ring er (!), kn ldningen p den tynne ringen bestemmes ved strte med en liten vinkel d og relet vgrenset mellom og + d. Dette relet er d d, og integrerer vi dette uttrykket over fr til, fr vi nettopp d som blir relet v den tynne ringen med rdius og bredde d. b) Vi deler skiv opp i tynne ringer med bredde d (se gur nedenfor). Alle punkter p ringen ligger i smme vstnd r fr punktet p z-ksen. Dimetrlt motstte punkter (evt reler da) frer til t og y-komponentene til feltet forsvinner (jfr eksemplet fr forelesningene). z-komponenten blir de z = dq 4"r cos D r er konstnt rundt hele ringen, kn en l dq vre ldningen p hele den tynne ringen: dq = d d = d Dermed blir feltet fr hele skiv E z = Her hr vi benyttet t de z = 1 4" d ( + 3= = ) " cos = r = p + ( 1) p + = @1 " 1 + A
z sett fr siden: θ d E z r θ r=( + ) 1/ sett lngs z ksen: da=d ϕd dϕ d Et lterntiv ville h vrt bruke vinkelen som integrsjonsvribel: tn = r = cos cos d r cos = ) d(tn ) = d cos = d = 1 cos = 1 tn d r = 1 cos cos = + sin d der r og er denert i guren over. c) Nr, kunne en i frste omgng (som i oppgve 1c) tenke seg ersttte + med. D fr vi imidlertid bre den "trivielle" lsningen E z =, mens vi er interessert i det dominerende ikke-forsvinnende bidrget til E z. Det betyr t vi m rekkeutvikle + og t med s mnge ledd t vi lt i lt ender opp med noe som er forskjellig fr null: 1 E z = @1 A " 1 + = " ' 4" = Q 4" 1 1 + Her hr vi brukt tilnrmelsen som vr gitt i oppgveteksten, (1 + ) 1= ' 1 =, med = = 1. Dette er feltet i vstnd fr en punktldning Q = A, der A = er relet v sirkelskiv. Som forventet: Er vi tilstrekkelig lngt borte, ser vi ikke forskjell p ei ldet skive og en punktldning. I den motstte grensen,, kn vi neglisjere leddet = + i forhold til 1. Vi fr d E z = "!!
Alts et uniformt elektrisk felt som verken vhenger v vstnden eller skivs utstrekning. Dermed m dette vre feltet utenfor et uendelig stort pln med ldningstetthet. Det er knskje ikke umiddelbrt opplgt t feltet d blir uvhengig v vstnden til plnet, men slik er det lts! Selv om vi i prksis ikke hr uendelig store ter til rdighet, er dette et viktig resultt: Med et stort ldet pln genererer vi et tilnrmet uniformt elektrisk felt i nrheten v plnet, s lenge vi ikke kommer for nr plnets ytterknter. Vi skl bruke dette resulttet ere gnger senere, ikke minst i tilknytning til kondenstorer.