To-nivå faktorielle forsøk og blokkdeling.

Transkript

1 To-ivå faktorielle forsøk og blokkdelig. I regresjosmodelle Y Xβ + ε er desigmatrisa X av avgjerade betydig for kor lett det er å fie ei god modell. Spesielt har vi sett (kapittel.7 at dersom koloee i desigmatrisa,, x, x Kx, er ortogoale, så er vektore av estimatorar for koeffisietae gitt ved:, k Y / i Yi ' 0 ( x x 0 0 ' ' ' β ˆ ( X' X X' Y xy ( xx xy ( 0 0 O 0 M M ' ( x x k k ' ' ' xky ( xkxk xky Vi observerer at estimatore for β avheg berre av x og Y. Det ka og visast at ortogoale koloer, gjev mist varias i estimatorae for koeffisietae. j Når ei utfører forsøk står ei rimeleg fritt til å velge verdiar for forklarigsvariablae x,x, K,. Ei bør då velge desse slik at det er mest gustig for estimeriga. x k Eksempel Samahege mellom utbyte av ei kjemisk prosess og dei to faktorae temperatur og kosetrasjo skulle udersøkjast. Det blei utført forsøk der ei ytta verdiar for kvar av faktorae temperatur og kosetrasjo. Dette gjev mogelege ivåkombiasjoar av dei to faktorae til å teste ut utbytte. Forsøket er sett opp i tabelle edafor, der og det registrerte utbyte av respose er gitt: j Forsøksr. Temperatur Kosetrasjo Utbyte Ei modellsamaheg av type E(Y β0 + βx + β x + βxx ka då estimerast ut i frå dataae der dei verdiae for utbyte er dei observerte resposverdiae og desigmatrisa X består av ei koloe av -tal, ei koloe med verdiae for temperatur, ei med verdiae for kosetrasjo og ei koloe med produktet av verdiae for temperatur og kosetrasjo

2 Regressio Aalysis: utbyte versus temp; kos; temp*kos The regressio equatio is utbyte -,0 + 0,500 temp -,0 kos + 0,00500 temp*kos Predictor Coef Costat -,0000 temp 0, kos -,0000 temp*ko 0, I første omgag skal vi berre feste oss ved dei estimerte koeffisietae : b0 b 0.5 b. b x 70 x 0 La oss o kode om faktorae ved å iføre ye faktorar z og z. 0 0 Verdiae for faktorae er altså setrert, og i tillegg har vi delt ed på halvparte av avstade mellom høgt og lågt ivå. Desig matrisa i, og z blir då: z z Legg merke til at de ye desigmatrisa har berre ortogoale koloer slik at om vi skal reke ut koeffisietae får vi frå ( at * b0 6.5 * b 6.5 * b.5 * b 0.5

3 Kotrollutrekig med MINITAB gjev o for omkoda verdiar av temperatur og kosetrasjo: Regressio Aalysis: utbyte versus temp; kos; temp*cos The regressio equatio is utbyte 6,5 + 6,50 otemp -,50 okos + 0,500 otemp*ocos Predictor Coef Costat 6,5000 temp 6,50000 kos -,50000 temp*co 0, For å sjå at vi har same modell ka vi sette i for, og z som gjev: 6.5(x 70 (x 0 (x z z 70(x 0 0 ŷ x 0.5x 0.5x 0.85x xx x.x xx Når vi skal aalysere to-ivå forsøk, er det oftast mest praktisk å omkode faktorverdiae til og som ovafor. Då får vi ortogoale desigkoloer, og det er lett å reke ut koeffisietae. Eit aa argumet er at vi ofte har kvalitative variablar som t. d: Vi skal teste ut forskjellige merker eller ei vil teste ut kva som skjer med og uta ei behadlig. I det siste tilfelle vil ei gjere og ha eit mål på kva effekt behadliga har på respose. La faktorverdie svare til behadlig og til ikkje behadlig. Gjeomsittsverdi år faktore er på høgt ivå ( gjeomsittsverdi år faktore er på lågt ivå (- er då av iteresse. Defiisjo hovedeffekt: For to-ivå forsøk defierer ei hovedeffekte av ei faktor som: Forveta gjeomsittsrespos år faktore er på høgt ivå forveta gjeomsittsrespos år faktore er på lågt ivå. Det er aturleg at estimatet for dee effekte då blir y y som for temperatur blir : H L og for kosetrasjo: * b * b

4 Estimert hovedeffekt av ei faktor vil alltid bli de tilhøyrade regresjoskoeffisiete multiplisert med sida ei hovedeffekt måler foradrig i respos år vi går frå lågt (- til høgt ivå ( som for vår omkodig er eiigar. Regresjoskoeffisiete på si side fortel om foradrig i respos år faktore edrar seg frå 0 til. I vårt eksempel er koeffisiete føre x x leddet, b, lite. Dee koeffisiete fortell oss om det er samspel mellom faktorae eller ikkje. Defiisjo: Samspelet mellom to faktorar er defiert som: Halvdele av hovedeffekte av ei faktor år de adre er på høgt ivå halvdele av hovedeffekte av faktore år de adre er på lågt ivå. For å estimere samspelet mellom temperatur og kosetrasjo skal vi altså reke ut: Estimert hovedeffekt av temperatur år kosetrasjo er på høgt ivå gitt ved: 68 5 Estimert hovedeffekt av temperatur år kosetrasjo er på lågt ivå gitt ved: 7 60 Estimert samspel blir då * b. Forteik for å reke ut kotrastae. For to-ivå forsøk gjeld: Alle kvatitative ivå ka kodast om til og. Alle kvalitative ivå ka aturleg setjast til dette. Om vi vedtek kovesjoe at høgt ivå av ei faktor svarar til og lågt ivå til, ser vi ut i frå det som er gjort ovafor at estimerig av effektar ka gjerast ved å leggje sama resposverdiae med forteik bestemt av forteika i desigmatrisa for deretter å dele ed på halvparte av atall observasjoar. Difor lagar vi oss ofte berre ei forteiksmatrise der dei audsyte forteika for utrekig av effektar står. I vårt eksempel blir dette: Temp Kosetrasjo Temp*Kos

5 Adre otasjoar for faktorkombiasjoar. Høgt ivå markert med bokstave for faktore. Lågt ivå markert med er utelete dersom adre bokstavar er brukt: Eks: A B Nivåkode a - + b + + ab forsøk. k Eit forsøk har k faktorar, kvar på ivå. I eksempel såg vi på eit forsøk og korleis vi kue estimere effektae i eit slikt forsøk. Eigeleg var det i dette forsøket med ei tredje kvalitativ faktor som var katalysator. Med tre faktorar kvar på to ivå er det mogleg å lage 8 mogelege ivåkombiasjoar av høg og låg eller + og som vi gjere omkodar til. La A vere Temperatur, B kosetrasjo og C katalysator. Då ka vi setje opp følgjade forteiksmatrise utvida med ivåkode og resposverdiar. A B C AB AC BC ABC Nivåkode y a b ab c ac bc abc 80 Estimerte hovedeffektar blir: Â Bˆ Ĉ.5 Når det gjeld samspelet mellom A og B, AB, skal vi fie hovedeffekte av A år B er på høgt ivå og trekkje frå hovedeffekte av A år B er på lågt ivå for deretter å dele på. Når vi estimerer effekte skal vi altså der B er på høgt ivå, leggje sama resposverdiae med

6 forteika i koloa til A og der B er på lågt ivå skal vi leggje dei sama med motsette forteik av det som står i koloa til A. Me dette svarar til å bruke forteika i ei koloe der forteika i koloe A og koloe B er multiplisert sama det vil sei forteika i koloa for AB. Tilsvarade får ei forteika i dei adre samspelskoloee. Forteika i koloee for trefaktorsamspelet ABC får ei ved å multiplisere sama forteika i koloee for A, B og C. Dette gjev: A Bˆ A Ĉ B Ĉ AB Ĉ 0.5 Vurderig av sigifikas av effektar Estimatorae for effektae er gitt ved følgjade formel: iyi Effektˆ der er talet på observasjoar og δi er ate eller avhegig av forteika i koloa for de effekte vi rekar ut. Sida alle er uavhegige får vi: Y i Var(Effektˆ σ δi Var(Y i σ effekt σ. Dersom alle effektae er 0 og dataae er ormalfordelte med same varias, σ, vil alle σ estimatorae for effektae vere N(0,. I eit ormalplott bør dei tilhøyrade estimata bli liggjade på ei rett lije. Tilhøyrade effektar til dei som fell av lija, ka vi reke som sigifikate.

7 Eit ormalplott for edafor. forsøket med temperatur, katalysator og kosetrasjo er syt Normal Probability Plot of the Effects (respose is C8, Alpha,0 Normal Score,5,0 0,5 0,0-0,5 AC A A: A B: B C: C -,0 -, Effect Her ser ei at estimerte effektar av temperatur og samspelet mellom temperatur og katalysator klart skil seg frå dei adre. Ofte ka ei gå ut ifrå at trefaktor- og høgare ordes samspel er 0. Desse ka då brukast til å estimere variase til effektae. Bruk av effektar for å reke ut sigifikas forsøk. Ved å ta gjeomsittet av dei 5 kvadrerte trefaktor- og firefaktorsamspela får vi eit estimat for variase til effektae med 5 fridomsgrader. Dette ka brukast til å udersøke sigifikase til effektae. Til dømes er faktor A sigifikat dersom:  t. s  α,5 Eksempel Eit forsøk i dei faktorae A katalysator ladig, B temperatur, C trykk og D kosetrasjo blei utført i eit prosessutvikligs-studie.

8 Dei 6 forsøka oppsett på stadardform er syt edafor. Her er og alle samspelskoloee teke med. Row A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD Row ACD BCD ABCD Dei 6 resposverdiae for prosetvis omdaig var: Fractioal Factorial Fit: % Coversio versus A; B; C; D Estimated Effects ad Coefficiets for %coversio (coded uits Term Effect Coef Costat 7,50 A -8,000 -,000 B,000,000 C -,50 -,5 D -5,500 -,750 A*B,000 0,500 A*C 0,750 0,75 A*D -0,000-0,000 B*C -,50-0,65 B*D,500,50 C*D -0,50-0,5 A*B*C -0,750-0,75 A*B*D 0,500 0,50

9 A*C*D -0,50-0,5 B*C*D -0,750-0,75 A*B*C*D -0,50-0,5 Nscores - - * B -,+ * BD - * AB - * AC - * ABD - AD,CD 0,0+ * ACD - ** ABC,ABCD - * BCD - * BC - * C -,+ * D - - * A Effects -8,0 0,0 8,0 6,0,0 A A B B C C D D Frå ormalplottet ka det verke som hovedeffekte av katalysator ladig, temperatur og kosetrasjo samt samspelet mellom temperatur og kosetrasjo er sigifikate. Vi ser at alle dei estimerte trefaktor- og firefaktorsamspela er små. Dersom dei sae verdiae for desse er 0, vil estimatorae for desse ha forvetig 0 og varias σ. ABĈ + ABDˆ + ACDˆ + BCDˆ + ABCDˆ Dermed er eit estimator for σ effekt gitt ved: 5 ( (0.5 + ( ( ( 0.5 For våre data blei estimatet: seffekt 0. 5 og stadardavviket til effektae blir estimert til s effekt Ved vurderig av sigifikas skal absolutt verdie av dei estimerte effektae samalikast med: t Såleis er det rom for å udrast om hovedeffekte av seffekt 0.05,5 trykk og er sigifikat. Estimerig av varias ved gjetak. Estimerig av varias krev ormalt at ei gjer gjetak av forsøket. Dersom eit gjetak er gjort, har ei to resposverdiar for kvar ivåkombiasjo som begge har same forvetig. La og y vere dei observerte resposverdiae for ivåkombiasjo. Eit estimat for y variase til observasjoae, σ, er då gitt ved: effekt

10 j (y y + y + y j y (y + (y y y - y + y (y y ( + ( y k Normalt får ei slike estimat som ka brukast til å estimere σ ved å ta gjeomsittet av dei. Eksempel. forsøk med gjetak A B C y i y i yi yi (yi y Totalt 6 i 6 Estimatet for σ blir då: s 8. 8 σ s 8 σeffekt seffekt 6 6 m (Yij Y i Ved (m- gjetak (totalt m verdiar for kvar ivåkombiasjo er ei m j estimator for σ for kvar i. Ved å midle over desse får vi ei estimator for variase. Dee k har (m fridomsgrader. Tolkig av effektar Dersom ei faktor ikkje har samspel tolkar vi estimert hovedeffekt som estimert foradrig i forveta respos år vi går frå lågt til høgt ivå av faktore. For faktorar som har samspel med adre faktorar blir tolkiga gjort ved hjelp av sampelsplott. Eksempel forsøk for kjemisk utbyte. Her var estimatet for hovedeffekte av temperatur og samspelet mellom temperatur og katalysator blei estimert til 0. Vi ka o lage oss ei tabell der vi studerer kva som skjer for

11 dei ivåkombiasjoae av A og C. Ei grafisk framstillig av dee tabelle blir kalla eit samspelsplott. C A Hovedeffektsplott og samspelsplott frå MINITAB er syt edafor. Dersom det ikkje er samspel mellom to faktorar er effekte av ei faktor de same uavhegig av ivået til de adre faktore. Lijee i tofaktorsamspelsplotta skal då bli parallelle. Dette ser vi lagt på veg er tilfelle for faktorae A og B og for B og C, me ikkje for A og C. Mai Effects Plot (data meas for C C A B C

12 Iteractio Plot (data meas for C8 - - A B C Tolkiga av aalyse blir då at effekte av katalysator er egativ år temperature er på lågt iva, me positiv år temperature er på høgt ivå. Best utbyte får vi år temperatur og katalysator begge er på høgt ivå. Eit kubeplott illustrerar godt kva ivåkombiasjoar som er gustige. Cube Plot (data meas for C B A 7 - C

13 k Blokkdelig i forsøk Når ei utfører eit forsøk skal ei alltid utføre det i radomisert rekkjefølgje. Radomiserig er vår beste garati for uavhegige observasjoar og gjer at utaforliggade faktorar får midre sjase for å påverke respose slik at vi trekkjer feilaktige koklusjoar. Det er og viktig å stille i alle ivåkombiasjoar på ytt mellom kvart forsøk. Dette for å sikre at alle observasjoae får mest mogeleg lik varias. Dersom vi skal gjere mage forsøk vil det ofte vere slik at ytre forhold foradrar seg frå vi startar forsøket til vi er ferdig. Foradrigar i ytre forhold ka påverke resposverdiae og gjere at vi feilestimerer effektae. For å motverke dette, ka vi blokkdele forsøket. Studom er det adre førigar, magel på råmateriale t. d som gjer at vi yskjer å blokkdele eit forsøk. Når vi blokkdeler forsøket, skal radomiseriga skje i kvar blokk. forsøk: blokker kvar på forsøk: Gå ut i frå at vi gjer forsøka der tre-faktor samspelet har i blokk og dei resterade i blokk. Forsøk A B C AB AC BC ABC Blokk Blokk Vi observerer at om alle ekeltforsøka i blokk får eit tillegg h, så vil utrekig av hovedeffektae og tofaktorsamspela vere upåverka fordi det er like mage som + i kvar blokk. Dette gjeld ikkje for tre-faktor samspelet som blir kofudert med blokkeffekte. forsøk i blokker, kvar på forsøk Gå ut i frå at vi deler i i blokker etter tofaktorsamspela AB og BC etter følgjade møster Dette gjev følgjade blokkdelig: Blokk Blokk Blokk Blokk (- - (- + (+ - (+ +

14 Blokk A B C Forsøk AB BC AC ABC Blokk Blokk Blokk Blokk AB, BC og AC blir kofuderte med blokkeffekte. Korleis avgjere kva effektar vi ka blokkdele etter? Utgagspukt: Prøver å få estimert hovedeffekte og lågfaktorsamspela. La I vere ei koloe med berre + teik. Vi har: I AABBCC Gå ut i frå at vi blokkdeler eit forsøk etter DABC og EAC. Samspelet mellom D og E, DEABCACB, det vil sei ei hovedeffektae som då blir kofudert med blokkeffekte i tillegg til ABC og BC. Geeraliserig 6 Gå ut i frå at vi skal dele eit forsøk opp i 8 blokker etter blokkfaktorae B ACE B ABEF og B ABCD. Blokkideliga følgjer då følgjade møster: Blokk Blokk Blokk Blokk Blokk 5 Blokk 6 Blokk 7 Blokk 8 (- - - (+ - - (- + - (+ + - (- - + (+ - + (- + + (+ + + Vi får: B B ACEABEF B B ACEABCD B B ABEFABCD B B B BCF BDE ACEABEFABCD CDEF ADF Som sama med B ACE, B ABEF og B ABCD blir kofudert med blokkeffekte.

15 Variasaalysetabelle ved k forsøk. Sida alle koloer i desigmatrisa er ortogoale har vi frå kapittel.7 i læreboka at: R b x i + b x i + L+ b p x pi ( Brukt på to-ivå desig der vi har k effektkoloer blir p lik k. Set vi i at ei koeffisiet er lik de tilsvarade effekte delt på og brukar at for to ivå forsøk er x i, får vi : R Â Bˆ ÂBC L + Dei ekelte ledda ovafor gjev oss kvadratsummae for effektae: For eit forsøk blir dee: Kjelder F.G A A Â B B Bˆ C Ĉ C AB AB ÂB AC ÂC AC BC Bˆ C BC ABC ÂBC ABC Total (y y T R i 7 Legg merke til at her er R T. Det skuldast at år ei tilpassar eit kostatledd og 7 effektar til 8 observasjoar, blir alle residuala 0. Dersom ei blokkdeler forsøket etter trefaktorsamspelet ABC, ka ei sjå på det som å iføre ei blokkfaktor i modelle istadefor trefaktorsampelet. Dee blokkfaktore har to ivå, eit for kvar blokk som vi ka kode til og +. Variasaalysetabelle blir difor.

16 Kjelder F.G A A Â B B Bˆ C Ĉ C AB AB ÂB AC ÂC AC BC Bˆ C BC Blokk ÂBC blokk Total (y y T i 7 For å dele eit forsøk i i blokker, ka ei tekje seg å iføre ei faktor som har ivå. Me ivå ka represeterast ved faktorar som begge har ivå. Såleis ka vi plukke ut to effektkoloer og la desse to bestemme dei ivåa for blokkee. Samspelet mellom desse koloee vil og gå i i blokkeffekte. For eit forsøk i blokker delt i etter AB og BC (AC samspelet, får vi dee variasaalysetabelle Kjelder F.G A A Â B B Bˆ C Ĉ C Blokk ÂB + Bˆ C + ÂC blokk ABC ÂBC ABC Total (y y T i 7 La oss o gå ut i frå at det blir gjort eit gjetak av eit forsøk, og at heile forsøket blir gjort i blokker. Då ka ei bruke ei effektkoloe (koloa for ABC samspelet til å blokkdele etter i kvart av dei to gjetaka. De adre blokkfaktore vil ha for dei 8 første forsøka og + for dei 8 siste. Begge blokkfaktorkoloee er ortogoale på dei adre koloee. Det vil og samspelskoloa for blokkfaktorae vere. La gjeomsitta i dei blokkee vere gitt ved: y, y, y og y. Frå ( blir då blokkeffekte:

17 y 6( + y y + y y 6( + y + y + y y + y blokk + + 6( Variasaalysetabelle blir: y Kjelder F.G A A Â B B Bˆ C Ĉ C AB AB ÂB AC ÂC AC BC Bˆ C Blokk BC blokk y Feil ( + + L 6 E T A B + Total (y y T i blokk 5 Partiell kofuderig Ved gjetak ka ei dele i i blokker etter forskjellige samspel kvar gog. Dette kallast partiell kofuderig. Brukar ei ABC samspelet ei gog og AB samspelet este gog, vil ei. goge kue estimere AB samspelet t. d. og adre goge ABC samspelet o.s. b. Blokkeffekte bør o rekast ut etter de geerelle formele: m s blokk k (yib yk b der k er talet på observasjoar i kvar blokk, m er talet på gjetak, s er talet på blokker i kvart gjetak, yib er gjeomsittet i blokk b i gjetak i og y K er gjeomsittet av alle observasjoae.

18 Variasaalysetabelle for eit gjetatt forsøk blir: Kjelder F.G A A Â B B Bˆ C Ĉ C AB AB ÂB AC ÂC AC BC Bˆ C BC ABC ÂBC Blokk ABC blokk Feil ( + + L 5 E T A B + Total (y y T i blokk 5