UNIVERSITET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 UNVERSTET BERGEN Det matematisknaturvitenskapelige fakultet BOKMÅL Eksamen i emnet MAT121 Lineær algebra 30 mai 2016 kl Tillatte hjelpemidler Kalkulator i samsvar med fakultetes regler Oppgavesettet er på 2 sider Alle svar skal begrunnes Det må være med så mye mellomregning at fremgangsmåten fremgår tydelig av besvarelsen Gitt Oppgave 1 x 1 + x 2 + x 4 1 x 1 + x 2 + x 3 1 x 1 x 3 + x 4 1 x 3 +a 2 2)x 4 a 2 2a 1 1 For hvilke verdier av a har ligningssystemet i) ingen løsning? ii) uendelig mange løsninger? iii) én løsning? 2 Regn ut den generelle løsningen av systemet for a som under pkt ii) 3 La A være koe sientmatrisen til ligningssystemet over Finn en basis for Nul A for a som under pkt ii) 4 For hvilke verdier av a har Col A dimensjon 3? Hva er rangen til A når a 0? 5 Regn ut determinanten til A når a >< 6 Bektrakt B {b 1 b 2 b 3 } 4 > Oppgave > >; 1 Vis at B er en basis for R 3 2 Gitt vektorene c 1 b 1 + b 3 c 2 b 1 + b 2 b 3 c 3 b 1 + b 2 2b 3 finn Bkoordinatene til c i for i

2 3 Finn basisskifte matrisen fra basisen B til basisen C {c 1 c 2 c 3 } Gitt en vektor x b 1 +2b 3 finn Ckoordinatene [x] C til x 4 En lineær transformasjon T er definert som T b 1 )b 1 + b 3 Tb 2 ) b 1 + b 2 b 3 Tb 3 ) b 1 + b 2 2b 3 Finn [T ] B matrisen til transformasjonen relativ til basisen B) Regn ut T x) for x b 1 +2b 3 5 Bruk GramSchmidt algoritmen til å ortonormalisere basisen B Oppgave 3 Gitt den kvadratiske formen Qx) x x 1x 2 + x x2 3 1 Finn en symmetrisk matrise A slik at Qx) x T Ax 2 Regn ut alle egenverdiene og egenvektorene til matrisen A 3 Er A iserbar? Hvis ja finn matrisene P D som iserer A 4 Klassifisér formen om den er positiv semi)definert negativ semi)definert ubestemt) og reduser til standardform uten kryssledd) Oppgave 4 For å finne e ekten av et legemiddel på pasientenes helse er et eksperiment med 5 pasienter gjennomført E ekten av en dose x er målt som yx) i en skala fra 0 ingen e ekt) til 10 maks e ekt) Se tabellen nedenfor Dose x) E ekt y) Bruk en lineær modell yx) a + bx tilåfinnekoe sientenea b slik at funksjonen yx) a + bx tilpasser best dataene i tabellen minste kvadraters løsning) følge modellen hva er doseringen x som gir best mulig e ekt yx ) 10)? Oppgave 5 En gitt 2 2 matrise A har egenverdi med egenvektor v 1 Av 1 v 1 ) Egenverdien har algebraisk multiplisitet 2 og geometrisk multiplisitet 1 dermed A er ikke iserbar) 1 La v 2 være en løsning til A )x v 1 dvsa )v 2 v 1 Vis at A ) 2 v Vis at Av 2 v 1 + v 2 3 La V [v 1 v 2 ] Ved å utnytte at AV VT finn et uttrykk for T ved å sammenligne kolonnene på begge sider 4 Det kan vises du behøver ikke gjøre det) at V er inverterbar dermed A VTV 1 Matrisen T kalles for Jordan formen til matrisen A og v 2 kalles for # generalisert egenvektor relativ til 4 1 Finn Jordan formen T og matrisen V for C 1 2 Antonella Zanna MuntheKaas 2

3 Za Za 3 3 Men R! oh taliana tk#ioadknlrzsrztr1 R3 Rz Ri kiiiianknaltl!!t k% Rs 2R3tRr Ru Ra } Opponent a a 3 ) ah ) a 3 a r} ) atr ) siohnsyskmrtharaldriuenddigmangeltsningrr@sammrsomuwhrpktnqevtm i ) a for ±B Sisk nkke er [ o 00 o K ] our Kto armed syskmit having h iy ii ) syskmrt hair uewhhj may hxshiyr noir a 30 og a2 to oht firms ingenuroliar a Som tilfnd stiller byy kmv For ingen verdi av a ii ) system har in losing noir a 310 dvs at # Finns ikke an Kan Svare at NUAHQ ] for attn mens for a±r} Nu1ASpan/fMµ Begf surer aktelptable

4 Bet Men # A har rank 3 dim GA D hn s a?_ 30 dvs Nair 1 0 a An if 0 0 ttw?oynwanytetukotonw 1 for a± o ain ND A Hi E!} EkEilHmaH! Herriott t ll 1 t nt var en sknichil i tekskn Som disarm hnrkenjeg eller Kontndlnn la merketil it Koeffisientmatrisin oht skull e ha stall a 2 ikke a 2 out er frat mulig sek on lilt fornrnnoh ) a ldse oppgann Som oht star in forhdohsy og til under eksamen ohtw out somstuohnkm fikkbeskjid on

5 Koorolinakm he µ] suter he A[ kb µ ] bµ # ]! ftp f! ftpt Siohn alle Kdonnem er pivot kdonner he 42 by er 3 bin kktonr owned er en basis for [ shift ) EDesffiEH3fH@BasissKifematrisnqperdfimrtslikatfora11eeR3TxkeEf3EtBhns Ofpgox r b + rz tr da [ a ]q [ r [ b ] by tri [ he ]qtb[b}]e [ He [ he] [ he ]e ] [ t [ 243 ta B dvs vithnpr a mgmut Q til le le elhr Kan he man huske at P pp j [ [ 933 [ 433 EDB ] f ) tiiiikiitkioiteioettieitiioiy too fii± B Ben dskedn basis shift msnse er qp#b%]

6 man he Zb Ec ]a[k ] * N#iioHKte Evt e [ f ) Kan lose f ) omgauu dvs 88 { e md in ez 4 } ngneut 4 ] standard basin ni 1123 Den dnskeoh basis skiftematrinn er da martin n fm dvs [ [He [ late [ He ] h! somvi [ ) B til E tut i she 340 T b ) latte ; TW 1the he T he) bitty 2 Host [ [ th )]p [ TED [ The )b] iki* T z ) T b t2b} ) T b ) +2T b ) b the +242 he +242 b 313 Dobbiltsjekker [ The ) ] z[} ] [tbt f; tn Ht [ Starter med omogonalisiniy s n 12 b he o ) b3 D t tet±ei ± ± 2 ±n 1*2 y 3

7 ate f ff t tt#estth Normalising n ntfd a E n±nh ±i n Hd

8 d) d) D Qppgart 310 Qx) /lhltht4 1 n )11 di H 3) l b 3 )AtD xit4sgxztnttks2matnnnaslikatqcnztaxeraf2@owttathfkjd2pogthyy Dermid egenrwdiem til A er til dz 3 de 1 10 a11[22 Finner egennektorem ~ o) ; EE o) iiiknhdendevanabw Ben av gemnlle lashing A 11 ) er drmd tr* Hip ie p~k! letxsfl a ;n y the D tw#gffyxzh Eitel kiknuuuu 7Cz e hdsniyenav ft th ) )

9 F Da uks red vz ± 1 lkfk D Kz 74 K frij hohnoh Tl 30 R Xz HTymH a # 330 Ja siohn A symmvtn sk alle symmitriske matniser er faktisk ortogonatt serban! ) Diagonal suing A P D P obr rtf!h of QQF) For en orlogonal Q suing man ulger µ YE Ygtky D Som over og AQ DQT * Form en er ubeskmt siohn den bar baioh positive og negative a he ±± QK )yta± ] 1/111?_ 1>0 bgennrdier mi yrnnsiranaknmw 1 red in ta z s Q v1 VA ?_ 122 < o da form Kan ta en positive og mgnkm verdier da er both den er ubeshmt Standard forms Lyittzyithzy }2 Y tt3yi YP uten kryssledd) teytik u it p aknntilsmnnob tilsv ± Mw # )

10 i Oppose y y axis 3 0 a + b 5 d at b Overohtermimrt 4 0 at b 7 2 a + b 6 4 a t b system av 5 high 2 ukjenk Syslemet loses mid minsk kmdmhws mitoohn a b Normale kgninpr ftppjktfkghataxtt T at F itl ftptiiiifnstyti t at t state fifty t passer 25 lf f t tik Vi fnwr reroliem son best normale ligningm k datuem red a lose oh to 2554 b 4 5 a Dowringm Som gir must mvlig effekt er slik at Ex t Es ±*l0 t 4 8

11 He i mit tv Hk 11 multi Oppganhi 501 La v rare en lashing av A ) x dvs AA ) v± ft th± A ) A A ihu siding er egennktor av A mlativt til yrnnaolien d 520 A )v± L An in Avi v the 50 V[ v ] AV A [ a ][Ay Are Ed vi the ] VT[ vi [ ttn ten ][ tuvttz % tnuttuvz ] Sam men higher Kdohmm AVVT that tun { try + tun ± the tv t ) ttl tz o tub owrmd TP± 540 Cf ] of c li p35 dermal Char egenuroli 63 med C 31 [ ] ~! ] ay Hisilrt 2 vi fnmr kun in epnuktor [ ] Dit Finner 12 A i)±± [ 3 how fdlgeratt / ] gam i 1 [! g C er ikke!/! ] xfi x hnz serbur

12 De mud en multi Som gir den gmmth ldsningeh Kitt y[ taly Xz fri X t Nz Vi Kan relge in hvilkiarlig lashing av syskmit our f ehs nd in ulge nro v±[d dermal v[ v a ][! ] ; Tf s] Jordan form for C g C VTV Dobbdtsjekker V Ti ] f! ] HK ;kiksteia # mmentar Vi vet at ikke ane matrisrr er Hvis A har western ikke turban diafnaliscrbare math hr haralltid en Jordan form Som er mskn Kan ha marks egnnmoh l tour ) ay gun mi Den Jordan torment t A er en matnsn au nn mp hp type [ Tz men Jordan for men m + tmph

13 in ynly Kaas dir T ;[ ii ;] his niemi mi [ his ni < mi # Ti mifnit %) [ xi ka for Jordan bbkk ) Tilsrarende V[ V Va Vp ] der Vi er nxmi math hr For to Vi[± der xm;] assosierttil bi xjerefrnrektorer icjemi oy vi ret at vi Kan finne mi slike epnuktonr For # i [ a n yyt ] iiepwektorer a generalist efrnrektorer Adike ±ni A ) vii v 05 Mutnnn V blir da nxn hair maks en ekstm your ogw Man how at AHVT AVTV? i tillefginrertwbar Ter elhr mskn ) Bergin Antonella Zanna Munthi