Komplette kropper og p-adiske tall

Transkript

1 Kmplette krpper g p-adiske tall Preliminary versin nvember 2013 klkken 14:02. It is relatively OK in the beginning but relatively bad in the end. Better versin will cme. Kurt Hensel var en av de stre matemikerene fra Königsberg i Østpreussen, der han ble født i Han studerte i Berlin under veiledning av Krnecker. Hensels stre idé var å spille på analgien mellm krppen Q(x) av rasjnal tall g krppen C(X) av rasjnale funksjner på det kmplekse tallplanet C. Denneanalgien mellm gemetriske g aritmetiske knstruksjner er idag trukket til det ytterste, g har gitt frbløffende resultater, men der det systematisk studium i den retningen begynte, var i Kurt Hensels dktrarbeidet. Analgien bygger på de frmelle likhetene mellm ringen Z av hele tall g plynmringen C[t], sm begge er Dedekinske ringer. Primelementene i C[X] er mnmene t av grad én der 2 C, mensprimelementeneiz j er primtallene. Derfr er det primtallene sm i Z skal ta plassen til de gemetriske punktene 2 C. Rasjnale funksjner har både en verdi g høyere derivert i et punkt 2 C der de er definert, g de har til g med en Taylr-rekke. Og har de en pl i, hardeiallefall en Laurent-rekke der. Etter analgien skal derfr gså rasjnale tall ha slike atributter, men de skal være lkalisert i de primtallene. Verdien til et helt tall n iprimtalletp skal naturligvia være restklassen [n] i F p,g m r = n/m er et rasjnalt tall, skal verdien være [n]/[m], smerveldefinertdersm [m] 6= 0i F p. Er derimt [m] =0, i.e., p er en divisr i m, såharr en pl i p. Verdiene har vi altså en idé hva skal være, men hva skal de deriverte være, g hva skal Taylrrekken være? Og Laurent-rekkene? Taylrrekken til et plynm P (t) i er j en utvikling etter ptenser av t : P (t) =P ( )+P 0 ( )(t )+P 00 ( )/2(t ) , g siden t skal tilsvare p, ervipåjaktetterenutviklingavn iptenseravp. Det er velkjent g lett å etablere ved hjelp av Euklids divisjnsalgritme at m n er et psitivt heltall, så kan n uttrykkes sm summen n = n 0 + n 1 p + n 2 p n p der hver keffisient ppfyller 0 apple n i <p.frrasjnaletallgnegativeersitasjnen ne mer kmplisert. Man er nødt til å ta i bruk (akkurat sm fr rasjnal funksjner) uendelige summer. Vi gir t eksempler: g 1 1 p =1+p + p =(p 1) + (p 1)p +(p 1)p

2 Fr at disse likhetene skal gi mening, må det presisers hva de uendelig summen betyr, vi må ha knvergensbegrep, det vil si en tplgi. Det kan selvagt ikke være den tradisjnelle relle tplgien. I den divergerer j de t rekkene venfr så det suser. Svaret er de p-adiske tplgiene. Fr å kunne arbeide med knvergente rekker, er det uunværlig å arbeide i kmplette rm, der Cauchy-følger knvergerer. Derfr skal vi kmplettere de rasjnal tallene i disse tplgiene, g slik definere ringene Q P g Z p av p-adiske tall, respektive p-adiske heltall. Det er ikke bare rasjnal funksjner sm har Taylr rekker i, detharenhver funksjn sm er hlmrf i en megn m. Spesieltvilalleveldefinertealgebraiske funksjner sm f.eksempel p t 1 mkring =0 kunne utvikles i Tylrrekke. Derfr kan vi frvente å finne røtter til svært mange plynmer i de kmpletterte ringene Z p.ogviskalseatenenkelrttilf(t) i F p,kanløftestilenrtiz. Tallverdier IdenneparagrafenlarviK være en krpp. En tallverdi eller en absluttverdi på K frstår vi en funksjn x fra K til de ikke-negative reelle tallene R sm ppfyller x 0 g x =0hvis g bare hvis x =0 Multiplikativitet: xy = x y Trekantulikhet: x + y apple x + y Dette er de tre klassiske egenskapene til en multiplikativ nrm sm vi kjenner fra analysekurs. Det nye i vår sammenheng er følgende egenskap sm kalles den sterke trekantulikheten: Sterk trekantulikhet: x + y applemax x, y Sm antydet i navnet, er den sterkere enn den klassiske trekantulikheten frdi vi selvsagt har max x, y apple x + y. Dentrivielle tallverdien er den med x = 1m x 6= 0g 0 =0. Man sjekker lett at ±1 =1.Faktiskvil =1fr enhver enhetsrt. At n =1 fr et naturlig tall n medfører n =1,gfrdi x er et ikke-negativt reellt tall, må da x =1.Detergsåklartat x 1 = x 1 fr alle x 6= 0. Oppgave 1. Vis at m x er en tallverdi på K sm ppfyller den sterke trekantulikheten, g s>0 et reellt tall, så er gså x s en tallverdi. Hva m x bare ppfyller (den svake) trekantulikheten? X Arkimediske g ikkearkimediske tallverdier En tallverdi sies å være ikkearkimedisk dersm n er begrenset når n gjennmløper de naturlige tallene, i.e., m det finnes en knstant C slik at n applec fr alle n 2 N. Dersmdetteikkeertilfelle, kalles tallverdien fr arkimedisk. Disse navnene stammer fra Arkimeds bk Om kuler g sylindre der et av aksimene, i vår språkdrakt, er at m a g b er t naturlige tall med a<b,såfinnesettredjemedna > b. Å være ikke-arkimedisk er det samme sm å ppfylle den strenge trekantulikheten: 2

3 Lemma 1 En tallverdi på krppen K ppfyller den sterke trekantulikheten hvis g bare hvis tallveriden er ikke-arkimedisk. Bevis: Anta at n applec fr alle n 2 N. Lan være et naturlig tall g la x g y være t elementer i K. Vikanantaat y apple x. Binmialfrmelengirss x + y n apple X n x n k y k apple (n +1)C x n, k sm gir x + y apple(1 + n) 1/n C 1/n x. Lar vi nå n gå mt uendelig, vil C 1/n g (1 + n) 1/n begge nærme seg 1, gdetgirdet vi ville: x + y apple x =max x, y. Eksempel valuasjnsringer La R være en valuasjnsring med valuasjn v g la K være kvtientkrppen til R. Valuasjnenv er karakterisert ved følgende t egenskaper v(xy) =v(x)+v(y), v(x + y) min v(x),v(y). Valuasjnen er diskret dersm v(k ) er en diskret undergruppe av R, gdenernrmalisert dersm v(k )=Z. Detergsåenvanligknvensjn,smviadptererher,åla v ta verdien 1 i 0, altsååsettev(0) = 1. De t aksimene venfr er additive versjner av aksimene fr en ikkearkimedisk tallverdi, g velger vi en c 2 (0, 1) g lar x v = c v(x),fårvientallverdipåk.omvendt, gitt en ikkearkimedisk tallverdi, finner vi en valuasjn ved å la v(x) = lg x. Den er diskret hvis g bare hvis { lg x x 2 K } er en diskret undergruppe av R. Man kan gjenfinne ringen R fra tallverdien x. LarviR = { x 2 K x apple1 }, err lukket under addisjn g multiplikasjn g er derfr en underring av K. Viharnemlig at m x apple1 g y apple1, såer xy = x y apple1 g x + y applemax x, y apple1. Man sjekker lett at enhetsgruppen til R er gitt sm R = { x 2 K x =1} g at m = { x 2 R x < 1 } er et ideal. Det følger at R er en lkal ring med maksimalt ideal m. Eksempel Tallkrpper Vår hvedinteresse er tallkrpper, g vi skal nå gi eksempler på både ikkearkimediske g arkimediske tallverdier på K. Senereskalvise at pptil en naturlig ekvivalens mellm tallverdier er dette alle mulige tallverdier på en tallkrpp. Så la K være en slik g la p være et primideal i heltallsringen A til K. Daharvi valuasjnen p (x) på K, smergittvedat(x) =p p(x) a der a er kmaksimalt til p. Dersm c ligger i intervallet (0, 1) g x p = c vp(x),er x p en ikkearkimedisk tallverdi på K. Den kalles en p-adisk tallverdi. 3

4 Denne knstruksjnen avhenger av knstanten c, smjtilfeldigvalgt,gdeter nettpp denne flertydigheten sm ligger bak ekvivalensrelasjnen mellm tallverdier vi nevnte venfr. Det er finnes imidlertid et kannisk valg, nemlig c = N(p) 1. Med det valget av c sies tallverdien å være nrmalisert g mtales i bestemt frm sm den p-adiske tallverdien. Man kan lure på hvrfr bry seg med knstanten c, når det er lett å nrmalisere. Men vil man sammenligne tallverdier i utvidelser K L, blirmantvungettildet.omfr eksempel P ligger ver primtallet p ienutvidelsel av Q, såerikkerestriksjnen til Z av den P-adiske tallverdien x P lik den p-adiske x p,menlik x e p,dere er ramifikasjnsindeksen til p i P. Det finnes gså arkimediske tallverdier på K. Om : K! C er en embedding, kan vi la x = (x) der den siste absluttverdien er den vanlige absluttverdien på de kmplekse tallene. Det er klart at et knjugert par av kmplekse embeddinger gir samme tallverdi, så vi får r + s arkimediske tallverdier på denne måten. Ultrametriske tplgier En krpp K sm er utstyrt med en tallverdi, er gså utstyrt med medfølgnede metrikk, der avstanden mellm t punkter x g y er lik x y. Dersmtallverdienppfyller den sterke trekantulikheten, sies metrikken å være en ultrametrikk. En basis fr tplgien til et metrisk rm er de åpne kulene U(x, ) ={ y y x }<. Begrenserman til å være på frmen 1/n, dern er et naturlig tall, vil frtsatt megnene U(x, 1/n) være en basis fr tplgien. I vår situasjn er mengden av basiskuler translatsjnsinvariant i den frstand at U(x, )+y = U(x + y, e). Viharnemlig likeheten { w w x < } + y = { w + y w x < } = { z z y x < }. Tilsvarende viser man den multiplikative varianten U(x, )y = U(xy, y ), fr vi har { x x < }y = { xy x < } = { w w < y }. Idealene p n Z er åpne i Z g danner et fudamentalt megnsett m rig. De er gså lukkede, siden Z \ p n Z = S a + p n Z der uninen er ver alle a slik at a 6 0 md p n. Alice in Wnderland Tplgien i et ultrametrisk rm har mange uvante egenskaper, g å befinne seg i et ultrametrisk rm må ppleves mtrent sm Alice pplevde Eventyrland da hun falt ned i kaninhullet. Det tar tid å venne seg til det. Fr eksempel er alle trekanter likebente! Vi ha nemlig: AlleTrekanterLikebente Lemma 2 Anta at x er en tallverdi sm ppfyller den sterke trekantulikheten. Om x 6= y så er x + y =max x, y. Bevis: Vi kan selvsagt anta at y < x. Vifinner y < x = x + y y applemax x + y, y = x + y, g siden x + y applemax x, y = x følger lemmaet 4

5 Om x, y g z er hjørnene i en trekant, så er j sidekantene x y, x z g z y, g m t av dem er av frskjellige lengde, si z x < z y, såer x y = z y. Det vil si at trekanten er likebenet. En umiddelbar knsekvens av dette er følgende egenskap ved megner sm selc Chesire-katten ville finne kuriøs. La være gitt g la y ligge i den åpne kulen U(x, ). Da er U(y, )! Eller sagt med rd, et hvert punkt i en kule er sentrum i kulen. Dette følger fr m z 2 U(x, ), såerenten z y mindre enn x y < eller så er z y = z x <,sidentrekantenmedhjørnerx, y g z er likebenet. Vi har etablert Lemma 3 La z 2 U(x, ). DaerU(z, ) =U(x, ). TheChesireCat Eksempel. Idealer i p-adisk metrikk. La ss se sm et eksempel se på den p-adiske tplgien på Z, gvilar x p være den nrmaliserte p-adiske tallverdien. Om ligger mellm p n g p n+1 så er x p < fr de heltall x sm er delelig med p n.det betyr at megnen U(0, ) faller sammen med idealet p n Z.Såidealenep n Z danner et fundamentalt megnsystem m null. Nå er det slik at disse idealene gså er lukkede! Man har nemlg likheten Z \ p n Z = [ a a + p n Z, der uninen er ver de a med a 6 0 md p n,ellermmanikkevilharepetisjneri uninen ver de restkalsser [a] sm ikke er null md p n,ghveravmengdenea + p n Z er et translat av en åpen g derfr åpen. e Dette fenmenet er generelt i ultrametriske rm: Lemma 4 T åpne kuler i et ultrametrisk rm er enten disjunkte, eller så er det innehldsrelasjn mellm dem. Enhver åpen kule gså lukket. Spesielt er rmmet ttalt usammenhengende Bevis: La < g la U(x, ) g U(y, ) være t åpne kuler. Anta at z 2 U(x, ) \ U(y, ). Etter lemma 3 venfr har vi da U(x, ) =U(z, ) U(z, ) =U(y, ). Det følger at kmplementet til en åpen kule U er lik uninen av alle de åpne kulene sm ikke snitter U, gdetteviseratu gså er lukket. Enhver undermengde X med mer enn t punkter er derfr ikke sammenhengende. La nemlig være avstanden mellm de t punktene x f y. Daliggerikkey idenåpnemengdenu(x, ) \ X, gkmplementet til denne er derfr en ikketm g åpen mengde. De eneste sammenhengende undermengdene er derfr ett-punktsmengdene (g den tmme selvsagt). Ekvivalente tallverdier Vi så at en krpp K har mange tallverdier, g at vi behv fr å dele dem inn ekvivalensklasser. Det er naturlig å si at t tallverdier er ekvivalente dersm de definerer 5

6 samme tplgi på K, menviskalseattabsluttverdier x 1 g x 2 er ekvivalente dersm de har en megn felles, i.e., m de ppfyller x 2 < 1 hvis g bare hvis y 2 < 1 (d) NrmEkvivalent Ikarakteristikknull,harvisåklartatU(0, 1/n) =1/nU(0, 1) g at U(0, 1/n)+x = U(x, 1/n), såmttallverdierdefinererdensammemegnenm0 med radius 1, er alle kulene de definerer like, g tplgiene er sammenfallenden. I karakteristikk p, er ne mer subtilt. kan man erstatte 1/n med en følge y n fra K slik at y n!1. Setning 1 Om de t tallveriden x 1 g x 2 er ekvivalente, så finnes s slik at x 1 = x s 2 fr alle x 2 K. Bevis: Vi lar y 2 K være et element slik at y > 1, glax 2 K være vilkårlig. Fr et passende reelt tall a kan vi skrive x 1 = y a 1.Viskalviseatdensammelikheten gjelder fr den andre tallverdien, i.e., at x 2 = y a 2.Daervifremmefrdiisåfaller s = lg x 1 lg x 2 = a lg y 1 a lg y 2 = lg y 1 lg y 2 uavhengig av x. La n i /m i være en følge av rasjnale tall sm knvergerer mt a venifra. Da er x 1 < y n i/m i 1 g derfr x m i y n i < 1. Etter ekvivalensen (d) venfrerda x n i 2 y m i 2 < 1, g følgelig har vi x 2 < y n i/m i 2.Larviivkse ver alle grenser, følger det at at x 2 apple y 2 a. Ved å velge en sekvens av rasjnale tall sm knvergerer mt a nedenifra, viser man på helt tilsvarende vis at x 2 y a 2,gderfrer x 2 = y a 2. Utvidelser av tallverdier Sm en viktig illustrsjn skal vi i denne paragrafen se på standardsituasjnen vår der A K er en tallkrpp med sin helttalsring g der L er en endelig utvidelse av K g B er helavslutningen av A i L. Vi lar p være et primideal i A g P ett i B sm ligger ver p. På K har vi da t tallverdier den p-adiske g restriksjnen avden P-adiske, g så klarterdisse ekvivalente. Setning 2 Med ntasjnen venfr har vi x P = x se p er e er ramifikasjnsindeksen til p i P g der s =lg P 6

7 Plasser g nrmaliserte tallverdier Vi kaller en ekvivalensklasse av tallverdier på en algebraisk tallkrpp K fr en plass. En plass kalles en endelig plass dersm tallveridene i klassen er ikkearkimedisk, g vi sier at den er en uendelig plass dersm de er arkimediske. Vi skal i neste paragraf se at det pptil ekvivalens ikke er andre ikkearkimediske tallverdier en de p-adiske på K, slik at disse tilsvarer primidelaene i heltalsringen til K. Dettefrklarerernavnetuendelig plass til de resterende ( ne senere skal vi vise at hver av disse er ekvivalent til en x = (x) der er en av de kmplekse embeddingen til K). Det er vanlig (g fruktbart) å studere funksjner eller andre strukturer på Riemannkulen istedenfr på C, sidenriemannkulenkmpakterdettelettere,gsåkanman, m man vil, prøve å utlede resultar m C. Tilsvarende gjelder fr alle Riemannflater; de kmpakte er på mange måter lettere å arbeide med, g defr kmpaktifiserer man fte. I analgien mellm C[t] g Z tilsvarer primidealene punktene i C, gdamåj den siste plassene tilsvare punktet i det uendelig. Ihverekvivalensklassetilsvarendeenplassv i K, kanviplukkeutennrmalisert tallverdi. Dersmv er en p-adisk tallverdi, lar vi x p = N (p) p(x).ogmv er en uendelig plass tilsvarende embeddingen,larvi x v = (x) der =1m er reell g =2dersm er kmpleks. Vær klar ver at den siste strengt tatt ikke er en tallverdi siden den pplagt ikke ppfyller trekantulikheten. Vi er fristet til å sitere Milne på dette punkt, g har ingen prblemer med å følge hans råd: Nte that this last is nt actually a valuatin, because it desn t satisfy the triangle law. There are varius ways f getting arund this prblem the best f which is simply t ignre it. Tallverdier på Q g andre tallkrpper. Vi har sette en rekke eksempler på tallverdier på algebraiske tallkrpper. Til hvert primideal p er det en p-adisk tallverdi. Dessuten ga de frskjellige embeddingene av K i de kmplekse tallene tallverdier, en fr reelle embedding g en frhvert par av kmpleksknjugerte. Av Alexander Ostrwskis amnge teremet, er det særlig t sm figurerer ideflestetallteritekster.dehandlermtallverdierpåalgebtraisketallkrppergdet vi skal behandle dette avsnittet, sier eksemplene venfr faktsik er de eneste, pptil ekvivalens selvsasagt. Vi skal vise det fr K = Q, Terem 1 La x være en ikketriviell tallverdi på Q. Dersmdenerikkearkimedisker den ekvivalent til en p-adisk tallverdi, g dersm den er arkimedisk, er den ekvivalent til den tradisjnelle absluttverdien. Bevis: Anta først at x er ikkearkimedisk. Da er R = { x 2 Q x apple1 } en ekte (siden x er ikketriviell) g lkal underring av Q med maksimalt ideal m = { x x < 1 }. La ss vise at m =(p) fr et primtall p. Til det er det nk å vise at m \ Z er et ekte, ikketrivielt ideal siden det apririer et primideal. At det er ekte er klart, siden m er ekte. 7

8 Anta at m \ Z =(0).NåerR ikke lik hele Q, såminstettheltallerikkeinvertibelt i R, gdamådetgsågjeldeatminstettprimtallikkeerinvertibeltir. Lap være et slikt. Om p ei heller befinner seg i R, vil p > 1, gfølgeligerlim n!1 p n = 1. Men da danner ikke de hele tallene en begrenset mengde, g x er arkimedisk. Det følger at p < 1 g p er det eneste primtallet sm ppfyller dette, i.e., m q er et annet primtall, så er q 1. Ogderfrer q =1siden Z R. Altsåer rp s = p s der r er et rasjnalt tall med både nevner g teller fri fra p sm faktr, g følgelig x = x a p der a = lg p/ lg p. Anta så at tallverdien x er arkimdisk. La a g b være t naturlige tall, begge større enn én, g la n være et tredje. Ptensen b n kan utvikles sm b n = b 0 + b 1 a + + b m a m, der hver b i er et naturlig tall sm tilfredstiller 0 apple b i <a,gderb m 6=0.Deterklart at a m apple b m a m apple b n g derfr er m apple n lg b/ lg a = n lg a b.trekantulikhetengir b n apple (m +1)a max a m, 1 apple a(n lg a b +1)max a n lg a b, 1. Ved å trekke ut n-te rten av begge sider finnes b applea 1/n (n lg a b +1) 1/n max a lg a b, 1 g ved å la n gå mt uendelig, får vi fra dette at frdi begge de t første faktrene nærmer seg én: b applemax a lg a b, 1. Vi nærmer ss avslutningen, g vi ser først at a > 1 fr alle a. Vikannemligvelge b fritt, g siden tallverdien vi studerer, er arkimedisk, finnes det en b med b > 1. Da gjelder det at b apple a lg a b,smmedørliteregninggirulikheten lg b / lg b apple lg a / lg a. Nå kan a g b bytte rller, g dermed er det bevsit at det fr alle naturlge tall a g b, sm begge er større enn én, gjelder at lg b lg b = lg a lg a. Det følger at a = a c,derc er fellesverdien i likheten venfr. Dette teremet lar seg generaliser på flere måter, g det førset man tenker på er naturligvis å gjøre det fr vilkårlige algebraiske tallkrpper. Der har man, i tillegg til alle p-adiske tallverider, gså de sm er indusert av embeddingene av K i C. Men det er gså alle (pptil ekvivalens, sm vanlig). Vi skal ikke bevise hele teremet freløpig, det krever teri m kmplette tallverdier, sm vi så langt ikke har utviklet, men vi kan frmulerer det allikevel: 8

9 Terem 2 La K være en algebaisk tallkrpp g la x være en ikketriviell tallverdi på K. Da er x enten ekvivalent med en av de p-adiske tallverdiene, der p er et primideal i heltallsringen til K, eller så er x indusert av en av de kmplekse embeddingen av K. Bevis: Vi skal nå bare behandle det ikkearkimediske tilfellet, så la x være en ikkearkimedisk tallverdi på K. Anta at elementet 2 K ligger i heltallsringen A g tilfredstiller helhetsrelasjnen: n + a n 1 n a 0 =0 der keffisientene a i alle er hele tall. Det følger at n apple max 0applei<n a i i apple max 0applei<n i siden a i apple1 da a i -ene alle er hele tall g tallverdien er ikkearkimedisk. Enden på visen er at apple1. Lasåp = { 2 A < 1 }, smklarterektegikketrivielt,gderfr er et maksimalt ideal. La 2 p vær et element sm er en unifrmiserende parameter i lkaliseringen A p.dakanppfyllerethvertelementx 2 A en lgning vx = u p(x) der u, v 2 A, menu, v 62 p. Vifinner x = v x = u p(x) = p(x) frdi u = v = 1.Detteviserat x = x s p,ders = lg / lg N (p), g x er ekvivalent med en av de p-adiske tallverdiene x p. Prduktfrmelen En rasjnal funksjn f(z) av en kmpleks variabel har en rden ihvertpunkt,gsåinkludertpunktetidetuendeligpåriemannkulenderrdenener lik den negative til funksjnens grad (graden til en rasjnal funksjn er differensen mellm graden til teller g nevner). Summerer man rdenen til f(z) ialle(endelige) punkter får man graden til f, ellerfrmulertneannerledes,summenavrdenenialle punkter er lik null. Den analge egenskapen i tallteri er den såkalte prduktfrmelen. Vi avslutter denne paragrafen med et bevis fr den. Terem 3 La K være en algebraisk tallkrpp g la x 2 K være et element. Da gjelder følgende likhet Y x v =1 v der prduktet tas ver alle plasser, g der alle tallverdiene er nrmaliserte. Bevis: Vi vet at N K/Q (x) = Q (x) der prduktet er ver alle embeddinger av K i C. Detbetyratvihar N K/Q (x) = Y reell (x) Y kmpleks 9 (x) (x) = Y v uendelig x v. (e)

10 På den annen side har vi faktriseringen av hvedidealet (x) sm et prdukt av primidealer: (x) = Y p p(x), p NrmEn sm gir følgende likhet av nrmer N K/Q (x) = N (x) = Y p N (p) p(x) = Y v endelig x 1 v. Setter vi dette sammen med (e) venfr,fårvilikheteniteremet. Kmplette ringer g krpper Vi minner m at et metrisk rm sies å være kmplett dersm enhver Cauchy-følge knvergerer. I dette avsnittet skal vi anta at K er en krpp med en tallverdi sm er kmplett sm metrisk rm. Vi minner gså m at ethvert metrisk rm kan kmpletteres. Detbetyratdet ligger inne, eller iallfall avbildes på en naturlig måte inn i, et kmplett metrisk rm ˆX. Inklusjnsavbildning i : X! ˇX er selvsagt en ismetri, i.e., den bevarer avstander, g den er karakyterisert ved en universell egenskap, nemlig at m j : X! Y er en ismetrisk injeksjn inn i et kmplett metrisk rm Y,såkanj utvides til en ismetri ĵ : ˇX! Y.Kmpletteringenerentydig,gdetpprinneligermmetX ligger tett i ˆX. Knstruksjn av kmpletteringen Vi skal krt skissere den vanlige måten å knstruere kmpletteringen av metrisk rm X, uten å gjøre de verifikasjnene sm trenges. De er alle strt sett rett frem etter nesen. Den vanlige måten å lage ˆX på er å startem med mengden av Cauchy-sekvenser g innføre en ekvivalensrelasjn på denne. La ss kalle denne mengdene fr C. Om{a n } g {b n } t Cauchy-sekvenser, sies de å være ekvivalente, dersm avstanden d(a n,b n ) mellm leddene deres nærmer seg null når n!1,gvilar ˆX være mengden C/ av ekvivalensklasser. Avstanden mellm t sekvenser {a n } g {b n } defineres sm lim n!1 d(a n,b n ). Om K er en krpp, sjekker man lett at summen g prduktet av t Cauchysekvenser er en Cauchy sekvens, slik at mengden av Cauchy-sekvenser danner en ring. Undermengden av de sm knvergerer mt 0, eretmaksimaltideal,gmanlar ˆK være kvtient med dette. Da er ˆK en krpp, sm kalles kmplettertingen av K i v. Denavhenger kuin av tplgien på K, såekvivalentetallverdiergiridentiskekmpletteringer. Videre er K tett i ˆK. Vi staret ut med prblemet m knvergens av enkelte utviklinger av typen 1+p + p Ienultrametrisksituasjnharvifølgendebehageligeknvergenskriterium: Lemma 5 La K være en krpp K sm er kmplett med hensyn på en ikkearkimedisk tallverdi. En rekke P n 0 a n i K er knvergent hvis g bare hvis lim n!1 a n =0. 10

11 Bevis: Vi har X NapplenappleM a n apple max NapplenappleM a n g lim N,M!1 max NapplenappleM a n!0 siden lim n!1 a n =0 Vi skal nå se nøyere på situasjnen der A K er en heltalssringen i en tallkrpp. Vi lar x være den nrmaliserte p-adiske talverdien fr et primideal p. Vilar betegne tillukningen av A i ˆK g m a er et ideal i A, larviâ være tillukningen av a i ˆK. Vi miner m at fr enhver diskret absluttverdi x på en krpp så er { x 2 L x apple1 } en dvr med maksimalt ideal { x 2 K x < 1 }. Lemma 6 Vi har at  = { x 2 ˆK x apple1 } g at ˆp = { x 2 ˆK x < 1 }. Følgeliger  en dvr med maksimalt ideal ˆp. Bevis: Elemenene a i A ppfyller alle at a apple1 g derfr er det er klart at  {x 2 ˆK x apple1 }. Fråvisedetmvendte,lax 2 ˆK være slik at x apple1. Vimåfinneen følge av elementer fra A sm knvergerer mt x. Detfinnesenfølge{x n } fra K sm knvergerer mt x. Dersm{x n } har en delfølge fra A er vi fremme, så vi kan anta at x n > 1 fra et visst n av, si fr n N. Denstrengetrekantulikheten(ellermerpresist lemma 2 m likebente trekanter på side 4) girdaat x x n =max x n, 1= x n, men det viser at x x n > 1 fr n>n,smerumuligsidenlim n!1 x n = x. Utsagnet n p følger på tilsvarende vis. Om {x n } knvergerer mt x g x < 1, kan ikke x n 1 fra et visst n av, fr i såfall er x =max x n, x x n = x n 1 siden x x n < 1 fr stre n. Lemma 7 Vi hatr at pâ = ˆp, ellermerepresist,m er en unifrmiserende parameter,i.e., et element i A sm genererer pa p,såerˆp =( )Â. Viharvidereat ˆp n =( n )Â. Bevis: Vi skal vise at genererer ˆp. NåliggerelkkaliseringenA p inne i Â, frm x 2 A, menx 62 p, såer x =1,gfølgeligerx invertibel i Â. Deterklartat gså er tillukningen av A p i ˆK, slikatmx 2 p, kanvifinneenfølge{un } med u n apple 1 sm knvergerer mt x. Men siden u n = u n! x, betyrdetat x 1 =lim u n apple1, gx 2 ( )Â. Lemma 8 Fr alle naturlige tall n er p n =(ˆp) n \ A g den naturlige avbildningen A/p n! Â/ˆp n er en ismrfi. Bevis: At p n =(ˆp) n \ A følger frdi p n er lukket i A (den består av de a slik at a applec n ). Derfr er A/p Â/ˆp. Atviharlikhetfølgerslik:La{x n } være en følge fra A sm knvergerer mt x. Daer x x n < 1 fr n str, i.e., x x n 2 p. En standard indukcjn på n viser så at A/p n = Â/ˆp n. 11

12 O p-adiske tall MAT4250 Høst 2013 Setning 3 La S være et sett av representanter fr A/p. Dakanetelementi på en entydig måte representeres sm en sum x = X n 0 a i n der hver a i 2 S. Bevis: Vi har standard eksakte sekvensen 0 / ˆp n /ˆp n+1 / Â/ˆp n+1 / Â/ˆp n / 0 ' A/p g den viser, ved en enkel induksjn, at ethvert element z i A/ˆp n kan løftes på en entydig måte til en y = P 0applei>n a i i.vilarsåx n være den entydige løftingen av x md p n til Â. Hensels lemma La K være en tallkrpp g la A være helttalssringen til K. Hvaskalgjøreerheltlkalt, så vi skal fiksere et primideal p i A. Tallveriden x p er den nrmaliserte p-adiske, g  g ˆK, betegnerdekmplettereidenindusertemetrikken.vilark = k(p) =A/p være restklassekrppen i p. Erkeeksemplet er selvsagt Z p g Q p g da er k = F p. En av hvedegenskapen til kmplettering  er at det er en nøye sammenheng mellm åfaktrisereetplynmf(x) 2 A[t] i A[t] g å faktrisere redusksjnen f(t) 2 k[t]. Presise utsagn i denne sammenhengen er det sm kalles Hensels lemma, sm selvsagt finnes i flere versjner. Vi har sett at faktrisering av plynmer er et spesialtilfelle av dekmpsisjn av endelige algebraer sm prdukter av lkale algebraer, g siden A strt sett ikke er mngen, er denne generaliseringen helt nødvendig fr ss; det hlder ikke å kunne faktrisere minimal plynmet til en generatr ver k. Derfr starter vi med å studere idemptenter, g sammenheng mellm idemptenter ienalgebrar ver  g reduksjnen R  k = R/ˆpR. Setning 4 La R være en endelig kmmutativ Â-algebra g la R 0 = R/ˆpR. Ome 2 R 0 er en idemptent, så finnes en idenptent E 2 R sm løfter e, i.e., slikatē = e. Ortgnale idfenptenter kan løftes til rtgnale idenptenter. Beviset er et snekkerbevis. Vi faktriserer redusksjnsavbildningen R! R/ˆpR i en tellbar følge av små avbildninger, ˆR!...!R n! R n 1!!R 1! R 0 = R  k 12

13 g vi skal løfte idempteneten langs hver av disse fr så å kappe dem sammen i R via kmpletthet. Hver av avbildningen n : R n! R n 1 har følgende egenskaper. De har en har en kjerne I n slik at I 2 =0g ˆpI =0.DettebetyratI er et vektrrm ver k, g dette skal være av dimensjn en. At en slike sekvenser finnes, innser vi ved å se på standardsekvensen 0 / ˆp n 1 R/ˆp m R / R/ˆp m R / R/ˆp m 1 R / 0 der kjernen ˆp m 1 R/ˆp m blir drept av ˆp g således er et endelig dimemnsjnalt vektrrm ver R 0 med kvadrat null. Så velger vi en basis fr dette, g deler suksessivt ut med basiselementene. Trekker vi kjernene I n helt tilbake til R, finnerviensekvensavidealerj n slik at I n p a(n) der a(n) er en vksende (ikke nødvendigvis strengt) funksjn med lim n!1 a(n) = 1. Lemma 9 La R! S være en liten surjeksjn av kmmutative algebraer. Da kan ehver idemptent e i S løftes til en idemptent f i R. Dersme 1 g e 2 er t rtgnale idemptenter kan de løftes til rtgnale idemptenter. Bevis: LA kjernen til /ts være I den er et vektrm ver k av dimensjn en. så la v være ne basisvektr. La f være en vilkåtlig løfting av e, smselvsagtikkenødvendigvis er en idemptent, men vi skal perturbere f slik at den blir. Vi lar f 2 f ligger i I g vi kan skrive f 2 f = v fr en 2 k. SidenI er et ideal, er fv = v fr en 2 k, gviharatf 2 v = fv slik at 2 =, i.e., =0eller =1. Etter disse mindre frpstfektningen, perturberer vi f, g setter pp kravet fr at den perturberte skal bli idemptent: (f 2 + v) 2 (f + v) = v +2 fv v =( + (2 1))v men 2 1 er enten 1 eler 1, så =(1 2 ) løser perturbasjnsprblemet vårt. Løft e 1 til f 1 g e 2 til f 2.Viharf 1 f 2 2 I. Detgirf 1 f 2 = f 1 f 2 f 1 f 2 =0. Bevis fr The prpstin: Using the lemma we cnstruct a sequence f idemptents e n with n (e n )=e n 1 and e 0 = e. Lifteache n t an element E n in R. Then E n E n 1 md p a(n) where a(n) is the increasing functin mentined abve, with lim n!1 a(n) =1. HencethesequenceE n cnverges t an element E 2 R. Nw En 2 E n md p a(n) fr all n, andthisimpliesthatinthelimite 2 = E and E is an idemptent. Versjn: Tuesday, Nvember 12, :02:45 PM 13