TOPOLOGI. Dan Laksov

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "TOPOLOGI. Dan Laksov"

Transkript

1 Forum för matematiklärare TOPOLOGI Dan Laksov Institutionen för Matematik, 2009 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse

2

3 Topologi Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare. Høst 2009-vår Støttet av: Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Versjon II. August 2009 Matematiska Institutionen KTH

4 Matematiska Institutionen KTH STOCKHOLM ISBN? c 2009 Matematiska Institutionen

5 FORORD Det er få områder av matematikken som forekommer i så mange andre deler av matematikken som topologien. Topologien tilhører fundamentet for matematikken, og bidrar til å binde sammen de ulike områdene. Den viser på en forbløffende måte hvordan man, med et par enkle aksiomer, kan generalisere kjente begreper og dermed sette lys på sentrale deler av matematikken. Kjennskap til topologi burde inngå i verktøyskrinet til enhver person som vil forstå matematikk, og matematisk tankegang. Disse notatene er et supplement til forelesningene i Forum För Matematiklärare, eller kort Forum, det akademiske året Alt materialet til de syv forelesningene i Forum finnes i heftet, men inndelingen av notatene i kapitler og seksjoner svarer bare delvis til innholdet av forelesningene. Heftet er ment som en hjelp for hukommelsen, eller for å finne supplerende og utdypende materiale. Kanskje kan det også inspirere til videre studier i matematikk. Notatene forutsetter bare kjennskap til de enkleste begrepene i grunnleggende matematikk. v

6 vi TOPOLOGI

7 INNHOLD 1. Metriske rom 1.1 Relle tall og reelle funksjoner Det Euklidske rommet og reelle funksjoner Metriske rom Åpne mengder i metriske rom Topologiske rom 2.1 Topologiske rom og eksempler Avbildninger av topologiske rom Spesielle topologiske rom 3.1 Kompakte topologiske rom Sammenhengende topologiske rom B. Bibliografi I. Indeks vii

8 viii TOPOLOGI

9 1. METRISKE ROM I dette kapittelet påminner vi om noen fundamentale egenskaper for Euklidske rom, og viser hvordan disse leder frem til metriske rom. Vi gir også en rekke fundamentale egenskaper for metriske rom Relle tall og reelle funksjoner Vi påminner her om noen fundamentale egenskapeer til avstander mellom reelle tall og om funksjoner på reelle tall Notasjon. De reelle tallene betegner vi med R og absoluttverdien til et reelt tall x med x. Det vil si, { x om x 0 x = x om x 0. Vi skriver d R (x, y) = x y for avstanden mellom de reelle tallene x og y Bemerkning. Følgende fundamentale egenskaper til avstanden mellom reelle tall er velkjente og lette å verifisere for alle reelle tall x, y, z: (1) (Ikke degenererthet) d R (x, y) = 0 hvis og bare hvis x = y. (2) (Symmetri) d R (x, y) = d R (y, x). (3) (Trekantulikhet) d R (x, z) d R (x, y) + d R (y, z). Det er forbausende hvor ofte vi bare har bruk for egenskapene (1), (2), (3) til avstander mellom reele tall Kontinuitet. Vi påminner om at en funksjon f : R R er kontinuerlig i et punkt x 0 om det for hver tall ε > 0 finnes et tall δ > 0 slik at om så vil x x 0 < δ f(x) f(x 0 ) < ε. Med andre ord, når x kommer nær x 0 vil f(x) komme nær f(x 0 ). Vi sier at funksjonen f er kontinuerlig om den er kontinuerlig for alle x 0 i R. 1

10 2 TOPOLOGI Oppgaver. Oppgave 1. Verifiser følgende egenskaper til avstander på den reelle linjen: (1) (Ikke degenererthet) d R (x, y) = 0 hvis og bare hvis x = y. (2) (Symmetri) d R (x, y) = d R (y, x). (3) (Trekantulikhet) d R (x, z) d R (x, y) + d R (y, z). Oppgave 2. Vis at for absoluttverdiene av alle reelle tall x, y har vi x y x y Det Euklidske rommet og reelle funksjoner Vi påminner om hvordan egenskapene for avstand mellom reelle tall og for kontinuitet av reelle funksjoner generaliseres til høyere dimensjoner Notasjon. Det kartesiske produktet av linjen R n ganger med seg selv betegner vi med R n, det vil si, R n bestå av alle n-tupler x = (x 1, x 2,..., x n ) der x 1, x 2,..., x n er reelle tall. Avstanden mellom to punkter x = (x 1, x 2,..., x n ) og y = (y 1, y 2,..., y n ) i R n er d R n(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2. Vi kaller R n med avstandsfunksjonen d R n for det Euklidske rommet av dimensjon n, og vi kaller d R n den Euklidske metrikken på R n. Følgende fundamentale egenskaper til avstanden mellom punkter x, y, z i R n er velkjente: (1) (Ikke degenererthet) d R n(x, y) = 0 hvis og bare hvis x = y. (2) (Symmetri) d R n(x, y) = d R n(y, x). (3) (Trekantulikhet) d R n(x, z) d R n(x, y) + d R n(y, z). Det er forbausende hvor ofte vi bare bruker egenskapene (1), (2), (3) til avstanden mellom punkter i R n. I ord sier (1) at avstanden mellom to punkter er 0 bare når punktene er like. (2) sier at avstanden mellom x og y er lik avstanden mellom y og x, og (3) sier at lengden av siden xz i trekanten med hjørner x, y, z er høyst lik summen av lengdene av sidene xy og yz. Egenskapene (1) og (2) i er opplagte. For å vise egenskapen (3) setter vi u i = x i y i og v i = y i z i for i = 1, 2,..., n. Da vil x i z i = u i + v i og ulikheten (3) blir (u1 + v 1 ) 2 + (u 2 + v 2 ) (u n v n ) 2 u 21 + u u2n + v v v2 n. Kvadrerer vi begge sidene av denne ulikheten ser vi at for å vise egenskapen (3) rekker det å vise ulikheten u 1 v 1 + u 2 v u n v n (u 21 + u u2n ) (v1 2 + v v2 n )

11 1.3. METRISKE ROM 3 eller, om vi setter W = u 1 v 1 + u 2 v u n v n, U = u u u2 n, V = v2 1 + v v2 n ser vi ved å kvadrere en gang til at det rekker å vise at W 2 UV. Men n n V u i Wv i 2 = V 2 u 2 i 2V W i=1 Derfor er i=1 n n u i v i + W 2 i=1 i=1 v 2 i = V 2 U 2V WW + W 2 V = V (UV W 2 ). 0 V (UV W 2 ). Om V = 0 vil v 1 = v 2 = = v n = 0 så vi har likhet i (3). Ellers er V > 0 og derfor som vi ville vise. W 2 UV Kontinuitet. Vi påminner om at en funksjon f : R m R n er kontinuerlig i et punkt x 0 om det for hvert tall ε > 0 finnes et tall δ > 0 slik at når d R m(x, x 0 ) < δ så vil d R n(f(x), f(x 0 )) < ε. Funksjonen f er kontinuerlig om den er kontinuerlig for alle x 0 i R n. Oppgaver. Oppgave 1. Vis at egenskapene (1) og (2) i holder for d R n og fyll i detaljene i beviset for egenskap (3). Oppgave 2. Vis at d R n(x, y) d R n(x, z) d R n(y, z) Metriske rom Vi viser hvordan egenskapene til Euklidske rom generaliseres, på en naturlig måte Definisjon. La X være en mengde. En metrikk på X er en funksjon d X som til hvert par av elementer x, y i X tilordner et ikke negativt tall d X (x, y), og som tilfredsstiller følgende betingelser for alle x, y, z i X: (1) (Ikke degenererthet) d X (x, y) = 0 hvis og bare hvis x = y. (2) (Symmetri) d X (x, y) = d X (y, x). (3) (Trekantulikhet) d X (x, z) d X (x, y) + d X (y, z). En mengde X med en metrikk d X kalles et metrisk rom, og vi betegner det metriske rommet med (X, d X ).

12 4 TOPOLOGI Eksempel. Vi har sett at det Euklidske rommet (R n, d R n) er et metrisk rom Eksempel. La Y være en mengde og betegn med Y n det n te kartesiske produktet av Y med seg selv n ganger, det vil si, Y n består av alle n tupler x = (x 1, x 2,..., x n ) der x 1, x 2,..., x n er i Y. Sett d Y n(x, y) = {antallet indekser i slik at x i y i } Om vi setter har vi at { 0 om xi = y i d i (x, y) = 1 om x i y i d X (x, y) = d 1 (x, y) + d 2 (x, y) + + d n (x, y). Vi har at d Y n en metrikk på Y n. Egenskap (1) er klar ettersom x = (x 1, x 2,..., x n ) = (y 1, y 2,..., y n ) = y hvis og bare hvis x i = y i for i = 1, 2,..., n, så det finnes ikke noen indeks i slik at x i y i. Også egenskapen (2) er klar ettersom x i y i hvis og bare hvis y i x i. For egenskapen (3) observerer vi at om x i = z i vil d i (x, z) = 0 så d i (x, z) d i (x, y) + d i (y, z). Om x i z i vil d i (x, z) = 1. Men når x i z i vil enten x i y i eller y i z i så d i (x, y) + d i (y, z) er enten lik 1 eller 2 så d i (x, z) d i (x, y) + d i (y, z) også i dette tilfellet. Ettersom dette gjelder for i = 1, 2,..., n holder egenskap (3) for d Y n Eksempel. La (X, d X ) være et metrisk rom og la Y være en undermengde av X. Sett d Y (x, y) = d X (x, y) for alle x, y i Y. Da vil (Y, d Y ) være et metrisk rom. Vi kaller d Y for metrikken indusert av d X Definisjon. La (X, d X ) og (Y, d Y ) være metriske rom. En funksjon f : X Y er kontinuerlig i et punkt x 0 om det for hver tall ε > 0 finnes et tall δ > 0 slik at når d X (x, x 0 ) < δ så vil d Y (f(x), f(x 0 )) < ε. Vi sier at f er kontinuerlig om den er kontinuerlig i x 0 for alle x 0 i X.

13 1.4.ÅPNE MENGDER I METRISKE ROM 5 Oppgaver. Oppgave 1. Gi med egne ord et bevis for egenskapene (1), (2) og (3) i Eksempel Oppgave 2. La Z være de hele tallene og la p være et primtall. Sett d p (m, n) = 1 p r om pr deler m n, men p r+1 ikke deler m n. Vis at (Z, d p ) er et metrisk rom der betingelsen (3) er erstattet med den sterkere, ikke Arkimediske, betingelsen d p (m, l) maks(d p (m, n), d p (n, l)). Oppgave 3. La (R, d R ) være linjen med den Euklidske metrikken og la (Y, d Y ) være det metriske rommet i Eksempel (1) Vis at en bijeksjon f : R Y ikke er kontinuerlig. (2) Vis at inversen f 1 : Y R er kontinuerlig. Oppgave 4. (Y n, d Y n) være det n te Kartesiske produktet av Y som i Eksempel Vis at projeksjonen p i : Y n Y definert ved p i (x 1, x 2,..., x n ) = x 1, er kontinuerlig. Oppgave 5. For alle x = (x 1, x 2,..., x n ) og y = (y 1, y 2,..., y n ) i R n setter vi d M R n(x, y) = maks( x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ) og d T R n(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y x n y n. (1) Vis at (R n, d M Rn) er et metrisk rom. (2) Vis at (R n, d T R n) er et metrisk rom. Metrikken dt Rn kalles iblandt taksi metrikken. (3) Vis at identitetsavbildningen i R n : R n R n definert ved i R n(x) = x for alle x i X, gir en kontinuerlig avbildning mellom de tre metriske rommene (R n, d R n), (R n, d M R n), (Rn, d T RY n ). 1.4.Åpne mengder i metriske rom Definisjonen av kontinuitet kan, på en elegant måte, formuleres ved hjelp av åpne mengder som vi senere skal se utgjør byggestenene for topologiske rom Definisjon. La (X, d X ) være et metrisk rom. For hvert punkt x 0 i X og for hvert tall ε > 0 skriver vi N ε (x 0 ) = {x X : d X (x, x 0 ) < ε}. Vi kaller N ε (x 0 ) for ε-omegnen om x 0. En undermengde U i X er åpen hvis det for hvert x 0 i U finnes en ε-omegn N ε (x 0 ) om x 0 som er inneholdt i U, det vil si, det finnes et tall ε > 0 slik at om d X (x, x 0 ) < ε så vil x være i U. Ekvivalent er U åpen om den er unionen av mengder på formen N ε (x).

14 6 TOPOLOGI Lemma. La (X, d X ) være et metrisk rom. For alle x 0 i X og alle tall ε > 0 vil ε-omegnen N ε (x 0 ) om x 0 være åpen. Bevis. La y 0 være i N ε (x 0 ) og sett δ = ε d X (x 0, y 0 ). Da vil δ > 0 og N δ (y 0 ) er inneholdt i N ε (x 0 ). Det siste er fordi om x er i N δ (y 0 ) vil d X (x, y 0 ) < δ og vi får av trekantulikheten og symmetri at d X (x, x 0 ) d X (x, y 0 ) + d X (y 0, x 0 ) < δ + ε δ = ε Setning. La (X, d X ) og (Y, d Y ) være metriske rom. En avbildning f : X Y er kontinuerlig hvis og bare hvis f 1 (V ) = {x X : f(x) V } er en åpen mengde i X for alle åpne mengder V i Y. Bevis. Anta først at f er kontinuerlig. La V være åpen i Y. Vi vil vise at f 1 (V ) er åpen i X, det vil si, for hver x 0 i f 1 (V ) må vi vise at det finnes et tall δ > 0 slik at N δ (x 0 ) er inneholdt i f 1 (V ). Men V er åpen i Y så det finnes et tall ε > 0 slik at N ε (f(x 0 )) er inneholdt i V. Ettersom f er kontinuerlig kan vi finne δ > 0 slik at når d X (x, x 0 ) < δ så vil d Y (f(x), f(x 0 )) < ε. Men om d X (x, x 0 ) < δ så vil x ligge i f 1 (V ) fordi f(x) ligger i N ε (f(x 0 )) som er inneholdt i V. Derfor er N δ (x 0 ) inneholdt i f 1 (V ) og vi har vist at f 1 (V ) er åpen i X. Omvendt, anta at f 1 (V ) er åpen i X for alle åpne V i Y. Vi må vise at f er kontinuerlig for alle x 0 i X. La ε > 0, vi må vise at det finnes et δ > 0 slik at om d X (x, x 0 ) < δ så vil d Y (f(x), f(x 0 )) < δ. Vi har ved Lemma at N ε (f(x 0 )) er åpen i Y så f 1 (N ε (f(x 0 ))) = {x X : d Y (f(x), f(x 0 )) < ε} er åpen i X. Det finnes derfor et tall δ > 0 slik at δ-omegnen N δ (x 0 ) er inneholdt i f 1 (N ε (f(x 0 )). Men det betyr at om d X (x, x 0 ) < δ så vil d Y (f(x), f(x 0 )) < ε, som vi ville vise. Derfor er f kontinuerlig. Vi summerer i følgende resultat noen fundamentale egenskaper for åpne mengder. I forbausende mange situasjoner der vi studerer metriske rom rekker det å bruke disse egenskapene. De gir derfor opphav til topologiske rom Proposisjon. La (X, d X ) være et metrisk rom. (1) Den tomme mengden og hele rommet X er åpne mengder. (2) Snittet av et endelig antall åpne mengder er åpen. (3) Unionen av en vilkårlig samling åpne mengder er åpen.

15 1.4.ÅPNE MENGDER I METRISKE ROM 7 Bevis. (1) Ettersom den tomme mengden ikke har noen elementer er kravet i Definisjon trivielt oppfyllt. Videre er N ε (x 0 ) inneholdt i X for alle x 0 i X og alle tall ε > 0, så X er åpen. (2) La U 1, U 2,..., U n være åpne mengder i X og la x 0 være inneholdt i snittet U 1 U 2 U n. Ettersom U i er åpen vil det for hvert i = 1, 2,..., n finnes ε i > 0 slik at N εi (x 0 ) er inneholdt i U i. Om ε = min(ε 1, ε 2,..., ε n ) vil derfor N ε (x 0 ) være inneholdt i snittet U 1 U 2 U n. Derfor er snittet åpent. (3) La {U j } j J være en samling av åpne mengder U j i X for j i indeksmengden J. For x 0 i unionen j J U i av disse mengdene vil x 0 være i U j for noen indeks j i J. Men da finnes et tall ε > 0 slik at N ε (x 0 ) er inneholdt i U j, og derfor i den større mengden j J U i. Derfor er unionen åpen. Oppgaver. Oppgave 1. Gi et eksempel på et metrisk rom (X, d X ) der snittet av en samling av åpne mengder ikke nødvendigvis er åpen. Oppgave 2. Gi et eksempel på et metrisk rom (X, d X ) der snittet av minst en uendelig samling av åpne mengder åpen. Oppgave 3. Vis at en undermengde U i et metrisk rom (X, d X ) er åpen hvis og bare hvis den er unionen av mengder på formen N ε (x). Oppgave 4. Gi en figur som viser hvordan en ε-omegn kan se ut i de metriske rommene (R 2, d R n), (R 2, d M R 2 ), (R 2, d T R 2 ). Oppgave 5. I Eksempel (1) Beskriv ε-omegnene. (2) Beskriv de åpne mengdene.

16 8 TOPOLOGI

17 2. TOPOLOGISKE ROM Vi definerer her topologiske rom og innfører den vanligste terminologien for disse Topologiske rom og eksempler I denne seksjonen definerer vi topologiske rom og gir endel typiske eksempler på slike Definisjon. Et topologisk rom består av en mengde X og en samling U = {U i } i I av undermengder U i av X som tilfredsstiller følgende betingelser: (1) Den tomme mengden og mengden X tilhører samlingen U. (2) Snittet U i1 U i2 U in av et endelig antall medlemmer U i1, U i2,..., U in av samlingen U er selv med i samlingen U. (3) Unionen j J U j av hver samling {U j } j J av medlemmer av U er selv med i samlingen U. Vi kaller medlemmene U i i U for åpne mengder og komplementet X \ U i til de åpne mengdene kaller vi lukkete mengder. Samlingen U = {U i } i I kaller vi en topologi på X. For hvert punkt x i X kaller vi de åpne mengdene som inneholder x for åpne omegner om x. Vi skriver (X, U) for det topologiske rommet, men sløyfer ofte henvisningen til U når denne er klar, og skriver bare X Eksempel. Det følger av Proposisjon at et metrisk rom (X, d X ) med alle sine åpne mengder, slik de ble definert i 1.4.1, er et topologisk rom. Vi sier at topologien er indusert av metrikken d X. Iblandt skriver U dx for denne topologien Eksempel. En mengde X sammen med samlingen U d bestående av alle undermendger U av X er et topologisk rom. Denne topologien kalles den diskrete topologien på X Eksempel. En mengde X med samlingen U t = {, X} bestående av den tomme mengden og X selv er et topologisk rom. Denne topologien kalles den trivielle topologien på X Eksempel. La X være en mengde og la U være samlingen av den tomme mengden og alle undermengder U av X slik at komplementet U c = X \ U er endelig. Da danner U en topologi for X. Det er klart at den tomme mengden og X er med i U. Om U 1, U 2,..., U n alle har endelig komplemement vil (U 1 U 2 U n ) c = U1 c Uc 2 Uc n være endelig så egenskapen (2) i Definisjon holder. Er 9

18 10 TOPOLOGI {U j } j J en samling mengder med endelig komplement vil komplementet til unionen j J U j være inneholdt i komplementet til hver av U j ene, og spesielt være endelig. Derfor holder egenskapen (3) i Definisjon Vi kaller U den endelige komplement topologien og skrive U = U ek Eksempel. La (X, U) være et topologisk rom og la Y være en undermengde av X. Vi betgner med V samlingen av alle undermengder av Y på formen U Y der U er åpen i X. Da vil (Y, V) være et topologisk rom. Topologien V kalles topologien indusert av U på Y Proposisjon. La (X 1, U 1 ), (X 2, U 2 ),..., (X n, U n ) være topologiske rom. Vi betegner med X = X 1 X 2 X n det Kartesiske produktet av X 1, X 2,..., X n, det vil si X består av alle n-tupler (x 1, x 2,..., x n ) der x i er i X i for i = 1, 2,..., n. Vi lar U = U 1 U 2 U n være samlingen av alle mengder i X som er en union av mengder på formen U 1 U 2 U n der U i er åpen i X i for i = 1, 2,..., n. Da er U en topologi på X. Vi kaller dette for produkt topologien. Bevis. Det er klart at og X tilhører U. Vi viser nu at samlingen U tilfredsstiller betingelsen (2) i Definisjon La V 1, V 2,..., V m tilhøre samlingen U. For hvert x i snittet V 1 V 2 V m og for hvert i = 1, 2,..., n finnes det da åpne U i1, U i2,..., U im i X i slik at U 1j U 2j U nj inneholder x og er inneholdt i V j for j = 1, 2,..., m. Sett W i = U i1 U i2 U in for i = 1, 2,..., n. Da er W i åpen i X i og W 1 W 2 W n inneholder x og er inneholdt i snittet V 1 V 2 V m. Derfor tilhører V 1 V 2 V m samlingen U. Vi har dermed vist at U tilfredsstiller betingelsen (2) i Definisjon Det er klart at U tilfredsstiller betingelsen (3) i Definisjon For om x er med i en union V av medlemmer av U vil den være med i en av disse U, og derfor finnes det åpne U i inneholdt i X i for i = 1, 2,..., n slik at U 1 U 2 U n inneholder x og er inneholdt i U. Spesielt er U 1 U 2 U n inneholdt i unionen V Definisjon. La (X, U) være et topologisk rom og Y en undermengde av X. Et punkt x i X er et grensepunkt for Y om hver åpen omegn U om x inneholder et punkt y fra Y som er forskjellig fra x. Vi skriver og kaller Y for tillukningen til Y i X. Y = Y { alle grensepunkter for Y }

19 2.1. TOPOLOGISKE ROM OG EKSEMPLER Proposisjon. La (X, U) være et topologisk rom og la Y være en undermengde av X. Da er Y en lukket undermengde av X og det er den minste lukkete undermengden av X som inneholder Y. Bevis. Vi må vise at X \ Y er åpen. La x være i X \ Y. Da er x ikke i Y og ettersom x ikke er et grensepunkt for Y finnes en omegn U x om x som ikke inneholder noe punkt av Y. Derfor kan U x heller ikke inneholde noe grensepunkt for Y så U x er inneholdt i X \ Y. Unionen av alle U x er derfor lik X \ Y, som derfor er åpen. Det følger at Y er lukket. Om Z er en lukket mengde som inneholder Y og x ikke er i Z vil det finnes en åpen omegn V om x som ikke inneholder noe punkt av Z, og derfor ikke inneholde noe punkt i Y. Derfor er x ikke i Y, og heller ikke et grensepunkt for Y. Derfor vil X \ Z være inneholdet i X \ Y, eller ekvivalent Y er inneholdt i Z. Derfor er Y inneholdt i alle lukkete mengder som inneholder Y, og vi har vist den siste påstanden i proposisjonen. Oppgaver. Oppgave 1. Finn alle topologier på mengden X = {x} med et element. Oppgave 2. Finn alle topologier på mengden X = {x, y} med to elementer. Oppgave 3. Finn alle topologier på mengden X = {x, y, z} med tre elementer. Oppgave 4. La X være en mengde. For hver undermengde U skriver vi U c = X \ U = {x X : x / U} for komplementet. La U 1, U 2,..., U n være undermengder av X. Vis at. (1) (U 1, U 2 U n ) c = U c 1 U c 2 U c n. (2) (U 1 U 2 U n ) c = U c 1 Uc 2 Uc n. Oppgave 5. For hvilke mengder X er den diskrete topologien på X i Eksempel indusert av en metrikk på X? Oppgave 6. For hvilke mengder X er den trivielle topologien på X i Eksempel indusert av en metrikk på X? Oppgave 7. For hvilke mendger X er den endelige komplement topologien på X i Eksempel indusert av en metrikk på X? Oppgave 8. La (X, U) være et topologisk rom. (1) Vi sier at X er T 0 om det for hvert par av punkter x, y i X finnes en åpen mengde som inneholder det ene punktet men ikke det andre. (2) Vi sier at X er T 1 om det for hvert par av punkter x, y i X finnes en åpen mengde som inneholder x men ikke y og en åpen mengde som inneholder y men ikke x. (3) Vi sier at X er T 2, eller Hausdorff, om det for hvert par av punkter x, y i X finnes disjunkte åpne mengder U og V slik at x er inneholdt i U og y er inneholdt i V.

20 12 TOPOLOGI Gi eksempel på (1) Et topologisk rom som er T 0 men ikke T 1 eller T 2. (2) Et topologisk rom som er T 1 men ikke T 2. Oppgave 9. La (X, U) og (Y, V) være topologiske rom og la X Y være det Kartesiske produktet av X og Y. Er det sant at X Y er T i om X og Y begge er T i for i = 0, 1, 2? Oppgave 10. Vis at for vilkårlige mengder Y og Z i et topologisk rom (X, U) har vi X Y = X Y. Oppgave 11. Vis at den induserte topologien i Eksempel tilfredsstiller egenskapene (1), (2), (3) i Definisjon Oppgave 12. La (X, U) og (Y, V) ha den endelige komplement topologien i Eksempel Har produktet (X Y, U V) den endelige komplement topologien? Oppgave 13. Vis at topologien på R n indusert av metrikken d R n er produkttopologien på det n te Kartesiske produktet R n R n R n der R har topologien indusert av metrikken d R Avbildninger av topologiske rom Som i mange deler av matematikken er det ikke bare objektene vi studerer som er viktige, men i minst like høy grad avbildningene mellom disse objektene. Her innfører vi avbildninger mellom topologiske rom Definisjon. La (X, U) og (Y, V) være topologiske rom. En kontinuerlig avbildning fra (X, U) til (Y, V) er en avbildning f : X Y av mengder slik at om V er åpen i Y så er f 1 (V ) åpen i X. Når det er klart hvilke de underliggende topologiene U og V er sier vi kort at f er en kontinuerlig avbildning fra det topologiske rommet X til det topologiske rommet Y Eksempel. La (X, d X ) og (Y, d Y ) være metriske rom. Det følger av Setning at en avbildning f : X Y er en kontinuerlig avbildning av metriske rom hvis og bare hvis den er en kontinuerlig avbildning av topologiske rom (X, U dx ) og (Y, V dy ) med topologiene indusert av d X respektive d Y Eksempel. La (X, U) være et topologisk rom og la (Y, V d ) være det topologiske rommet på mengden Y gitt av den diskrete topologien på Y, som i Eksempel Da er hver avbildning av mengder f : Y X en kontinuerlig avbildning av topologiske rom fra (Y, V d ) til (X, U). Dette er fordi f 1 (Z) er åpen i Y for alle undermengder Z av X.

21 2.2. AVBILDNINGER AV TOPOLOGISKE ROM Eksempel. La (X, U) være et topologisk rom og la (Y, V t ) være det topologiske rommet gitt av den trivielle topologien på Y gitt i Eksempel Da er hver avbildning av mengder f : X Y kontinuerlig. Dette er fordi både = f 1 ( ) og X = f 1 (Y ) er åpne i X Eksempel. La (X, U) og (Y, V) være topologiske rom. For hvert punnkt y i Y vil avbildningen f y : X Y av mengder definert av f y (x) = y for alle x i X være kontinuerlig ettersom f 1 (V ) = for alle åpne mengder V i Y som ikke inneholder y og f 1 (V ) = X for alle åpne V i Y som inneholder y. Slike avbildninger kalles konstante Proposisjon. La (X, U), (Y, V), (Z, W) være topologiske rom og la f : X Y og g : Y Z være kontinuerlige avbildninger. (1) Identitetsavbildningen i X : X X definert av i X (x) = x for alle x i X, er kontinuerlig. (2) Sammensetningen gf : X Z av f og g er kontinuerlig. Bevis. Påstand (1) er opplagt sann. For å vise påstand (2) må vi vise at (gf) 1 (W) er åpen i X for alle åpne W i Z. Men om g 1 (W) = V vil (gf) 1 (W) = f 1 g 1 (W) = f 1 (V ), og ettersom g er kontinuerlig er V = g 1 (W) åpen i Y, og ettersom f er kontinuerlig er f 1 (V ) åpen i X Proposisjon. La (X 1, U 1 ), (X 2, U 2 ),..., (X n, U n ) være topologiske rom og la (X, U) være produkttopologien. Da vil projeksjonen p i : X X i definert ved p i (x 1, x 2,..., x n ) = x i for i = 1, 2,..., n være kontinuerlig. Bevis. La U i være åpen i X i. Da vil p 1 i (U i ) = X 1 X i 1 U i X i+1 X n, som klart er åpen i X Definisjon. En homeomorfi av topologiske rom f : X Y er en bijeksjon av mengder slik at både f og den inverse avbildningen f 1 er kontinuerlige Eksempel. La J = [a, b] være det lukkete intervallet av reelle tall x slik at a x b. Da er avbildningen f : [0, 1] [a, b] definert av f(x) = x(b a) + a en homeomorfi. Den er klart bijektiv og kontinuerlig og den inverse avbildningen f 1 : [a, b] [0, 1] er gitt av f 1 (y) = y a b a og er kontinuerlig.

22 14 TOPOLOGI Eksempel. La (X, U d ) og (X, U t ) være mengden X med den diskrete, respektive trivielle topologien, definert i Eksemplene og Som vi så i Eksempel gir identitetsavbildningen i X : X X en kontinuerlig avbildning fra (X, U d ) til (X, U t ). Den gir imidlertid ikke en kontinuerlig avbildning fra (X, U t ) til (X, U d ) om X har mer enn et element, fordi da er x åpen i (X, U d ) for alle x i X, men i 1 X (x) = x er ikke åpen i (X, U t). Oppgaver. Oppgave 1. La (X, U) være et topologisk rom og la f : X Y være en avbildning fra X til en mengde Y. Videre la V bestå av alle mengder V i Y slik at f 1 (V ) er åpen i X. Vis at V gir en topologi på Y og at f er en kontinuerlig avbildning fra (X, U) til (Y, V). Oppgave 2. Vis at avbildningen i Eksempel er en homeomorfi av topologiske rom. Oppgave 3. Hvilke av de topologiske rommene (X, U) der X = {x, y} har to elementer, er homeomorfe? Oppgave 4. Hvilke av de topologiske rommene (X, U) der X = {x, y, z} har tre elementer, er homeomorfe?

23 3. SPESIELLE TOPOLOGISKE ROM De topologiske rommene som forekommer i matematikken tilfredsstiller ofte spesifikke tilleggsbetingelser. I dette kapitlet skal vi innføre, og studere, en rekke slike betingelser. Spesielt skal vi betrakte kompakthet og egenskapen å være sammenhengende Kompakte topologiske rom En viktig egenskap som ofte brukes til å skille mellom topologiske rom er kompakthet. Vi skal her innføre kompakthet og studere noen egenskaper forbundet med kompakthet i metriske rom. Spesielt viser vi Heine-Borels sats som er fundamental i analysen Definisjon. La (X, U) være et topologisk rom og la Y være en undermengde av X. Vi sier at en samling {U j } j J av åpne mengder dekker Y om Y er inneholdt i unionen j J U j av disse åpne mengdene. Om det for hver slik åpen overdekning av Y finnes endelig mange mengder U j1, U j2,..., U jn i denne samlingen slik at unionen U j1 U j2 U jn av U j1,, U j2,..., U jn dekker Y sier vi at Y er kompakt Eksempel. La (X, U d ) være mengden X med den diskrete topologien definert i Eksempel Da er X kompakt hvis og bare hvis X er endelig, fordi hvert punkt er åpent Eksempel. La (X, U t ) være mengden X med den trivielle topologien definert i Eksempel Da er X kompakt for det finnes bare to åpne mengder og X Eksempel. La (X, U) være mengden X med endelig komplement topologien fra Eksempel Da er X kompakt, for om U er med i en åpen overdekning av X behøver vi bare et endelig antall åpne V i overdekningen for å dekke komplementet til U Eksempel. Det åpne intervallet (a, b) = {x R : a < x < b} på den reelle linjen er ikke kompakt for de åpne mengdene U n = (a, b b a n + 1 ) = {x R : a < x < b b a n + 1 } 15

24 16 TOPOLOGI gir en åpen overdekning U = {U i } i=1,2,... av (a, b) og det er klart at ingen endelig samling av disse mengdene dekker (a, b) Eksempel. Det lukkete intervallet [a, b] = {x R : a x b} på den reelle linjen er kompakt. For å se dette lar vi U = {U j } j J være en åpen overdekning av intervallet I 1 = [a, b]. Anta at det ikke finnes en endelig samling av de åpne U j som dekker I 1. Vi deler intervallet I 1 i to deler [a, a + b a b a ] og [a + 2 2, b]. Da vil minst en av dem I 2 ikke kunne dekkes av et endelig antall åpne fra U. Deler vi I 2 i to like deler, vil en av disse I 3 ikke kunne dekkes av et endelig antall åpne fra U. Fortsetter vi denne prosessen får vi lukkete intervaller I 1 I 2 I 3 slik at ingen av I j ene kan dekkes av et endelig antall åpne fra U. Sett I j = [c j, d j ] for j = 1, 2,.... Da vil lengden av intervallet I j være d j c j = b a 2 j 1 og c 1 c 2 d 2 d 1. De reelle tallene c 1, c 2,... er opptil begrenset av d 1, og ved kompletthetsaksiomet for de reelle tallene finnes det en minste øvre grense x for denne mengden. Da vil c 1 c 2 x d 2 d 1. Derfor ligger x i snittet i=1 I i av I 1, I 2,.... La U være en åpen i U som inneholder x. Da finnes et tall ε > 0 slik at N ε (x) er inneholdt i U. Velg j slik at d j c j < ε. Da vil I j være inneholdt i N ε (x), for om y er inneholdt i I j = [c j, d j ] vil d j y d j c j < ε og y c j d j c j < ε. Derfor er I j dekket av den åpne U, som vi har sett ikke er sant. Vår antagelse om at ingen endelig samling av U dekker I 1 er derfor feil og vi har vist at I 1 er kompakt Eksempel. Ettersom det åpne intervallet (a, b) ikke er kompakt og det lukkete intervallet [a, b] er kompakt, begge med topologien indusert av den Euklidske metrikken på de reelle tallene, kan de ikke være homeomorfe som topologiske rom, og heller ikke som metriske rom.

25 3.1. KOMPAKTE TOPOLOGISKE ROM Lemma. En lukket undermengde Y av et kompakt topologisk rom er kompakt. Bevis. La U = {U j } j J være en åpen overdekning av Y. Da er U sammen med komplementet X \Y til Y en åpen overdekning av X. Ettersom X er kompakt finnes det derfor en endelig mengde av åpne fra den sistnevnte overdekningen som dekker X. Men denne endelige mengden av åpne dekker også Y, som derfor er kompakt Proposisjon. La f : X Y være en kontinuerlig avbildning fra et kompakt topologisk rom (X, U) til et topologisk rom (Y, V). Da er bildet f(x) av X ved f kompakt. Bevis. La {V j f(x)} j J med hver V j åpen i Y være en åpen overdekning av f(x). Avbildningen f er kontinuerlig så {f 1 (V j )} j J er en åpen overdekning av X. Ettersom X er kompakt finnes det en endelig samling av disse, f 1 (V j1 ), f 1 (V j2 ),..., f 1 (V jn ) som dekker X. Men da dekker V j1 f(x), V j2 f(x),..., V jn f(x) bildet f(x) så f(x) er kompakt Setning. La (X 1, U 1 ), (X 2, U 2 ),..., (X n, U n ) være topologiske rom. Da vil produktet (X, U) av disse topologiske rommene være kompakt hvis og bare hvis alle (X i, U i ) ene er kompakte. Bevis. Fra Proposisjon følger det at projeksjonene p i : X X i er kontinuerlige, og de er surjektive. Det følger derfor av Proposisjon at om X er kompakt så er alle rommene X i kompakte. For å bevise det omvendte merker vi at det er klart at produktet (X, U) er det samme som produktet av det topologiske rommet (X 1, U 1 ) og produktet X 2 X 3 X n av de n 1 topologiske rommene (X 2, U 2 ), (X 3, U 3 ),..., (X n, U n ). Derfor rekker det, ved induksjon etter n å vise setningen for n = 2. Vi behøver derfor bare å vise at produktet (X, U) = (Y Z, V W) av to kompakte topologiske rom (Y, V) og (Z, W) er kompakt. La {U k } k K være en åpen overdekning av X. Hvert U k er en union av mengder V W der V og W er åpne i Y, respektive Z. For hvert y i Y lar vi W y bestå av alle de åpne W slik at V W er inneholdt i noen åpen U k i overdekningen {U k } k K og V inneholder y. Da vil W y være en åpen overdekning av Z. Ettersom Z er kompakt kan vi finne et endelig antall åpne W j1, W j2,..., W jm i W y som dekker Z, og tilsvarende åpne V j1, V j2,..., V jm i Y som inneholder y og som er slik at hver V jk W jk er inneholdt i en av de åpne U k med k K. Sett V y = V j1 V j2 V jm og la U y = {V y W j1, V y W j2,..., V y W jm }. Samlingen av alle V y for y i Y vil være en åpen overdekning av Y. Ettersom Y er kompakt kan vi finne et endelig antall åpne mengder V y1, V y2,..., V yl som dekker Y.

26 18 TOPOLOGI Da vil samlingen av alle V yi W jh for i = 1, 2,..., l og j = 1, 2,..., m være en åpen overdekning av Y Z, og alle V yi W jh vil være inneholdt i en åpen U k i samlingen U = {U k } k K. Derfor kan Y Z dekkes av et endelig antall åpne fra {U k } k K så Y Z er kompakt Den lukkete n-kuben I 1 = {x R n : a i x i b k for i = 1, 2,..., n} er produktet av intervallene [a i, b i ] for i = 1, 2,..., n. Ettersom vi viste i Eksempel at disse intervallene er kompakte, følger det av Setning at den lukkete n-kuben også er kompakt Proposisjon. En kompakt mengde Y i et metrisk rom (X, d X ) er lukket. Bevis. La x være i X, men ikke i Y. Vi må vise at det finnes en åpen mengde som inneholder x, men ikke noe element i Y. For hvert y i Y lar vi ε y = d X(x,y) 2 og vi setter U y = N εy (x) og V y = N εy (y). Da er U y og V y åpne omegner om x, respektive y, som ikke har noe snitt. Samlingen {V y } y Y er en åpen overdekning av Y. Ettersom Y er kompakt kan vi finne et endelig antal av dem V y1, V y2,..., V yn som dekker Y. Ingen av U yi ene snitter den åpne mengden U = U y1 U y2, U yn, så U inneholder x men ikke noe element i Y, som vi ville vise Proposisjon. En kompakt mengde Y i et metrisk rom (X, d X ) er begrenset, det vil si, det finnes et N slik at d X (x, y) N for alle x, y i Y. Bevis. For hvert x i Y setter vi U x = N 1 (x). Da er U = {U x } x Y en åpen overdekning av Y. Ettersom Y er kompakt kan vi finne en endelig åpen overdekning U x1, U x2,..., U xn av Y. For x, y i Y har vi at x er inneholdt i U xi og y er inneholdt i U xj for noen i og j. Derfor vil d X (x, y) d X (x, x i ) + d X (x i, x j ) + d X (x j, y) 1 + d X (x i, x j ) + 1. Derfor vil så Y er begrenset. d X (x, y) 2 + maks i,j d X (x i, x j ), Setning. (Heine-Borel) En undermengde Y av det Euklidske rommet R n er kompakt hvis og bare hvis den er lukket og begrenset. Bevis. En kompakt mengde Y i et metrisk rom er lukket og begrenset ved Proposisjonene og Omvendt, om Y er begrenset er den inneholdt i en n-kube I. Ved Eksempel er kuben I kompakt, og ettersom Y er lukket følger det av Lemma at Y er kompakt.

27 3.2. SAMMENHENGENDE TOPOLOGISKE ROM Eksempel. Som vi har sett er en kompakt mengde i et metrisk rom lukket og begrenset. Den andre delen av Heine-Borel s sats gjelder imidlertid ikke i et vilkårlig metrisk rom, det sil si, en lukket begrenset mengde i et metrisk rom er ikke nødvendigvis kompakt. Et eksempel er det diskrete metriske rommet (X, d X ) der d X (x, y) = 1 for alle x y i X. Dette er begrenset og lukket, men, som bemerket i Eksempel 3.1.2, ikke kompakt om X er uendelig. Oppgaver. Oppgave 1. Vis at om vi har tall c 1, c 2,..., og d 1, d 2,... slik at c 1 c 2 d 2 d 1 så finnes det en minste øvre grense x for {c 1, c 2,...,... } og c 1 c 2 x d 2 d 1. Oppgave 2. Vi at n-kuben {x R n : a i x i b i for i = 1, 2,..., n} med topologien indusert av den Euklidske metrikken er produktet [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a n, b n ], der hvert intervall [a i, b i ] har topologien indusert av den Euklidske metrikken. Oppgave 3. La (X, U) og (Y, V) være topologiske rom. Vis at for hvert x i X vil avbildningen p : {x} Y Y definert av p(x, y) = y for alle y i Y være en homeomorfi av topologiske rom når {x} Y har topologien indusert av produkttopologien på X Y. Oppgave 4. La (X, d X ) være et metrisk rom og la x, y være ulike punkter i X. Sett ε = d X(x,y) 2. Vis at N ε (x) og N ε (y) har tomt snitt Sammenhengende topologiske rom En egenskap som ofte brukes til å sammenligne topologiske rom er å være sammenhengende Definisjon. La (X, U) være et topologisk rom. Vi sier at X er sammenhengende om det ikke finnes åpne ikke tomme disjunkte mengder Y og Z slik at X er unionen X = Y Z av Y og Z. En undermengde U av X kalles sammenhengende om den er sammenhengende med den induserte topologien Eksempel. La (X, U d ) være mengden X med den diskrete topologien fra Eksempel Da er X ikke sammenhengende om X har mer enn et element, for hver mengde i X er åpen Eksempel. La (X, U t ) være mengden X med den trivielle topologien fra Eksempel Da er X sammenhengende for de eneste åpne mengdene er og X.

28 20 TOPOLOGI Eksempel. La (X, U ek ) være mengden X med den endelige komplement topologien fra Eksempel Da er X sammenhengende hvis og bare hvis X er en uendelig mengde, eller X har et element. For om X er endelig er den endelige komplement topologien klart lik den diskrete topologien, og vi så i Eksempel at X med den diskrete topologien ikke er sammenhengende om X har mer enn et element. Når X har uendelig mange elementer vil to ikke tomme åpne mengder alltid skjære hverandre, så X er sammenhengende Eksempel. Et lukket intervall [a, b] = {x R : a x b} er sammenhengende. For å vise dette antar vi det motsatte, at [a, b] er unionen av to åpne, ikke tomme, disjunkte mengder U og V. Anta at U inneholder a. La Z være alle tall x i U som er slik at x < y for alle y i V. Da er Z ikke tom, fordi den inneholder a, og Z er opptil begrenset av b. La z være minst øvre grense for Z. Da vil z være i U for U er lukket og z er en minste øvre grense for elementer fra U. Videre vil hver åpen ε-omegn N ε (z) om z inneholde et element fra V, for ellers ville z + ε være en øvre grense for Z. Derfor er z inneholdt i tillukningen til V og er derfor inneholdt i V ettersom V er lukket. Men da er z inneholdt i både i U og V hvilket motsier at de er disjunkte Eksempel. Unionen av de åpne intervallene (a, b) og (b, c) er opplagt ikke sammenhengende Lemma. Et topologisk rom er sammenhengende hvis og bare hvis den tomme mengden og X er de eneste åpne og lukkete mengdene i X. Bevis. Om det finnes en mengde Y forskjellig fra den tomme mengden og X som er åpen og lukket vil Y og X \ Y være ikke tomme åpne og disjunkte.videre er X unionen av Y og X \ Y, så X er ikke sammenhengende. Omvendt, om X = Y Z der Y og Z er ikke tomme, åpne og disjunkte mengder, så er Y = X \ Z en ikke tom åpen og lukket mengde forskjellig fra X Proposisjon. La (X, U) være et topologisk rom og la X 0 og {X j } j J være sammenhengende mengder slik at X o skjærer X j for alle j i J. Da er unionen Y = X 0 j J X j sammenhengende. Bevis. Anta at Y ikke er sammenhengende. Vi har da at Y = U V der U og V er åpne, ikke tomme og disjunkte i Y. Da må X 0 = (U X 0 ) (V X 0 ) være en disjunkt union av åpne i X 0. Ettersom X 0 er sammenhengende må en av dem, for eksempel U X 0 inneholde X 0 så X 0 er inneholdt i U. Men ettersom X 0 skjærer alle X j må derfor U skjære alle X j. Men U X j er åpen og lukket i X j så det følger av Lemma at U inneholder X j ettersom alle X j er sammenhengende. Vi får at U inneholder Y så V må være tom, mot antagelsen Eksempel. Det følger av Proposisjon at et åpent intervall og den reelle linjen R med topologien indusert av den Euklidske metrikken begge er sammenhengende. For (a, b) er unionen av de lukkete intervallene [a + b a n, b b a n ]

29 3.2. SAMMENHENGENDE TOPOLOGISKE ROM 21 som inneholder b+a 2 for n = 3, 4,..., og R er unionen av intervallene [ n, n] som inneholder 0 for n = 1, 2, Proposisjon. La (X, U) være et topologisk rom og la Y være en sammenhengende mengde i X. Om Z er en mengde ineholdt i tillukningen Y til Y og som inneholder Y, det vil si Y Z Y, så er Z sammenhengende. Spesielt er Y sammenhengende. Bevis. La U være en ikke tom åpen og lukket mengde i Z. Ettersom U er åpen i Z og Y består av Y og grensepunkter til Y må U snitte Y. Men U Y er åpen og lukket i og Y er sammenhengende så det følger av Lemma at Y er inneholdt i U. Om U c = Z \U var ikke tom ville samme resonnement gi at Y var inneholdt i U c. Men det er umulig ettersom snittet av U og U c er tomt og Y er sammenhengende. Derfor er U c = Z \ U tom og U = Z som vi ville vise Proposisjon. La (X, U) være et sammenhengende topologisk rom og la f : X Y være en kontinuerlig avbildning til det topologiske rommet (Y, V). Da er bildet f(y ) av Y ved f med den induserte topologien, sammenhengende. Bevis. Anta at f(y ) er unionen U V av to ikke tomme åpne disjunkte undermengder U og V av f(y ). Da vil f 1 (U) og f 1 (V ) være ikke tomme disjunkte mengder i X med union lik X. Men f er kontinuerlig så f 1 (U) og f 1 (V ) er åpne. Dette er umulig siden X er sammenhengende. Dette betyr at f(y ) ikke kan være unionen av U og V. Så vår antagelse er feil, og f(y ) er sammenhengende Setning. La (X, U 1 ), (X 2, U 2 ),..., (X n, U n ) være topologiske rom og betegn produktet av disse med (X, U). Da er (X, U) sammenhengende hvis og bare hvis (X i, U i ) er sammenhengende for i = 1, 2,..., n. Bevis. Vi har at projeksjonen p i : X X i er kontinuerlig ved Proposisjon 2.2.7, og den er surjektiv, så om X er sammenhengende følger det av Proposisjon at alle X i ene er sammenhengende. For å vise det omvendte merker vi først at (X, U) er det samme som produktet av det topologiske rommet (X 1, U 1 ) og produktet X 2 X 3 X n av de topologiske rommene (X 2, U 2 ), (X 3, U 3 ),..., (X n, U n ). Derfor rekker det, ved induksjon etter n, å vise setningen i tilfellet n = 2. Vi viser at om (Y, V) og (Z, W) er sammenhengende så er produktet (Y Z, V W) sammenhengende. For hvert y i Y vil avbildningen {y} Z Z som avbilder (y, z) til y være en homeomorfi av topologiske rom, når {y} Z har den induserte topologien, så {y} Z er sammehengende. Tilsvarende for hvert z i Z vil avbildningen Y {z} Y

30 22 TOPOLOGI som avbilder (y, z) til y være en homeomorfi, når Y {z} har den induserte topologien, så Y {z} er sammenhengende. Men Y Z er unionen av de sammenhengende mengdene Y {z} for alle z i Z. Fikser y 0 i Y. Da vil hver Y {z} skjære {y 0 } Z i punktet (y 0, z). Det følger derfor av Proposisjon at Y Z er sammenhengende Eksempel. Det Euklidske rommet R n er produktet av det Euklidske rommet R med seg selv n ganger. Derfor er R n sammenhengende. Dette følger av Setning og Eksempel Propsosisjon. La (X, U) være et topologisk rom. En undermengde Y av X er sammenhengende hvis og bare hvis det for hvert par av punkter x, y i Y finnes en sammenhengende undermengde Z i Y som inneholder x og y. Bevis. Om Y er sammenhengende kan vi ta Z = Y i proposisjonen. Omvendt, om U er en ikke tom åpen og lukket mengde i Y og Y \ U ikke er tom tar vi et punkt x i U og et y i Y \U. Det finnes, ved antagelsen, en sammenhengende mengde Z i Y som inneholder x og y. Det vil si, snittene av Z U og Z (Y \ U) er ikke tomme. De er også åpne og disjunke. Dette motsier at Z er sammenhengende, og derfor at Y \ U ikke er tom. Vi har derfor at U = Y så Y er sammenhengende Setning. La (X, U) være et topologisk rom. For hvert par av punkter x, y i X skriver vi x y om det finnes en sammenhengende mengde Y i X som inneholder både x og y. Da er en ekvivalensrelasjon, det vil si, følgende tre egenskaper holder for alle punkter x, y, z i X: (1) (Refleksivitet) x x. (2) (Symmetri) Om x y vil y x. (3) (Transitivitet) Om x y og y z så vil x z. Med andre ord, mengden X er unionen av de disjunkte mengdene X i karakterisert av at om x er i X i så er y is X i hvis og bare hvis x y. Mengdene X i er sammenhengende og lukkete i X. Bevis. Egenskapene (1) og (2) er opplagte. (3) Om x y så finnes det en sammenhengende mengde Y som inneholder x og y, og om y z så finnes det en sammenhengende mengde Z som inneholder y og z. Da ligger y i snittet av Y og Z, så det følger av Proposisjon at unionen av Y og Z er sammenhengende. Men både x og z ligger i denne unionen så x z, som vi ville vise. At X er unionen av de disjunkte mengdene X i følger av egenskapene til ekvivalensrelasjoner, og er lett å verifisere. Det følger av Proposisjon at X i er sammenhengende og derfor av Proposisjon at X i er sammenhengende. For å vise at hver X i er lukket, merker vi at ettersom X i er sammenhengende så følger det at om x er i X i og y er i X i så vil x y, så X i er inneholdt i X i og derfor lik X i. Men det følger av Proposisjon at X i er lukket Definisjon. La (X, U) være et topologisk rom. De lukkete sammenhengende mengdene X i i Setning kaller vi sammenhengskomponentene til X.

31 3.2. SAMMENHENGENDE TOPOLOGISKE ROM Eksempel. Sammenhengskomponentene i et topologisk rum behøver ikke være åpne. La X bestå av tallene 0, 1, 1 2, 1,... og la topologien på X være indusert 3 av den Euklidske metrikken. Da har hvert av punktene {1}, { 1 2 }, {1 3 },... en ε-omegn som ikke inneholder noe annet punkt i X. Derfor er disse punktene åpne. Det følger at {0} er lukket. For hver n har {0} en ε-omegn N ε (0) som ikke inneholder { 1 n } når ε < 1 n. Defor er alle punktene {1}, {1 2 }, {1 3 },... også lukkete. Ettersom de er åpne og lukkete i X er de sammenhengskomponenter, og ettersom sammenhengskomponentene dekker X må også {0} være en sammenhengskomponent. Hvert punkt i X er derfor en sammenhengskomponent. Men {0} er ikke åpen for hver ε-omegn N ε (0) om {0} inneholder { 1 n } når n > 1 ε Eksempel. La (X, d d ) være mengden X med den diskrete topologien i Eksempel Da er punktene sammenhengskomponentene Eksempel. La (X, U t ) være mengden X med den trivielle topologien. Da er X den eneste sammenhengskomponenten. Oppgaver. Oppgave 1. La X være en endelig mengde. Vis at den endelig komplement topologien på X er det samme som den diskrete topologien. Oppgave 2. Verifiser at X er den disjunkte unionen av X i ene i Setning 14.

32 24 TOPOLOGI

33 BIBLIOGRAFI [K] John L. Kelley, General topology, D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, New Jersey, [MS] Robert Messer & Philip Straffin, Topology now!, Classroom Resource Materials Series, Mathematical Association of America, Washington, DC, [P] E. M. Patterson, Topology, Oliver and Boyd, Edinburgh and London,

34 26 TOPOLOGI

35 INDEKS åpen, 5 åpen mengde, 6, 9 åpen omegn, 9, 10 åpent intervall, 20 absoluttverdi, 1 avstand, 1, 2 diskret rom, 19 diskret topologi, 9, 11, 12, 14, 15, 19, 23 ekvivalensrelasjon, 22 endelig komplement, 10 12, 15, 20 Euklidsk metrikk, 2 Euklidsk rom, 2, 4, 18, 22 grensepunkt, 10 Hausdorff rom, 11 Heine-Borel, 19 homeomorfi, 13 identitetsavbildningen, 5, 13 ikke Arkimedisk, 5 ikke degenerert, 1 3 indusert metrikk, 4 indusert topologi, 9, 10, 12, 21 intervall, 20 Kartesisk produkt, 2, 4, 10 kompakt, kompletthetsaksiom, 16 konstant avbildning, 13 kontinuerlig, 3, 4, 12, 13 kontinuerlig avbildning, 12 kontinuitet, 1, 3 lukket intervall, 13, 16, 20 lukket kube, 18 lukket mengde, 9, 11 metrikk, 3, 4 metrisk rom, 3, 4, 12, 18 omegn, 5 overdekning, 15 primtall, 5 produkt, 21 produkttopologi, 10, 13 projeksjon, 13 reelle tall, 1, 2 refleksiv, 22 relle linjen, 20 sammenhengende, sammenhengskomponent, 22, 23 symmetri, 1 3, 22 taksi metrikk, 5 tillukning, 10 toplogi, 12 topologi, 9 topologisk rom, 9 12, transitiv, 22 trekantulikhet, 1 3 triviell topologi, 9, 11, 13 15, 19, 23 tuppel, 2 27

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm

DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE. Dan Laksov KTH, Stockholm DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/thorup/dlbook/april 11, 2005 DISKRET MATEMATIKK FINNES IKKE Diskret matematikk finnes ikke Dan Laksov Notater for Forum för Matematiklärare.

Detaljer

LO118D Forelesning 3 (DM)

LO118D Forelesning 3 (DM) LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle

Detaljer

Det finnes ingen rettferdige valg!

Det finnes ingen rettferdige valg! Det finnes ingen rettferdige valg! Notater fra forelesninger i et prosjekt for gymnaset støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs stiftelse. Dan Laksov Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen

Detaljer

Repetisjonsforelesning - INF1080

Repetisjonsforelesning - INF1080 Repetisjonsforelesning - INF1080 Mengder, relasjoner og funksjoner 18. november 2015 1 Grunnleggende mengdelære 1.1 Elementært om mengder 1.1.1 Hva er en mengde? Definisjon 1.1 (Mengde). En mengde er en

Detaljer

Definisjon 10.14: La V være et reelt vektorrom og N \: V \to R en funksjon. Vi skriver x = N(x) og sier at N er en norm på V dersom følgende holder:

Definisjon 10.14: La V være et reelt vektorrom og N \: V \to R en funksjon. Vi skriver x = N(x) og sier at N er en norm på V dersom følgende holder: MAT1300 Analyse I 23. mars 2009 10.3 Metriske rom Har gjort analyse for funksjoner på R ved hjelp av avstandsbegrepet y-x gitt ved absoluttverdien til differansen mellom to punkter, og i R^m ved hjelp

Detaljer

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner

Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker

Detaljer

Analysedrypp IV: Metriske rom

Analysedrypp IV: Metriske rom Analysedrypp IV: Metriske rom Vi har tidligere sett at begreper som konvergens og kontinuitet har med avstand å gjøre at f er kontinuerlig i punktet a, betyr f. eks. at det for enhver ɛ > 0, finnes en

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

En følge i en lukket delmengde av R^m kan altså ikke konvergere mot en vektor utenfor den lukkede delmengden.

En følge i en lukket delmengde av R^m kan altså ikke konvergere mot en vektor utenfor den lukkede delmengden. MAT1300 Analyse I 2. februar 2009 For analyse i R spiller delmengder E \subset R på formen E = (a,b) og E= [a,b] ofte en spesiell rolle. Dette er de åpne og de lukkede intervallene. For analyse i R^m er

Detaljer

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene.

Aksiom 3.1 (Likhet av mengder). La A og B være mengder. Da er A og B like hvis og bare hvis de har akkurat de samme elementene. Notat 3 for MAT1140 3 Mengder 3.1 Mengder definert ved en egenskap Det matematiske begrepet mengde har sin opprinnelse i vår intuisjon om samlinger. Objekter kan samles sammen til et nytt objekt kalt mengde.

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 4. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 9, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

For å vise at et metrisk rom (X, d) er komplett må vi vise at enhver Cauchy-følge (x_n)_n i (X, d) konvergerer mot en grense x i X.

For å vise at et metrisk rom (X, d) er komplett må vi vise at enhver Cauchy-følge (x_n)_n i (X, d) konvergerer mot en grense x i X. MAT1300 Analyse I 20. april 2009 For å vise at et metrisk rom (X, d) er komplett må vi vise at enhver Cauchy-følge (x_n)_n i (X, d) konvergerer mot en grense x i X. Da kan vi (A) finne en kandidat x for

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng) UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 9. desember 2010 Tid for eksamen: 09:00 13:00 INF1080 Logiske metoder for informatikk Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner

Notat 05 for MAT Relasjoner, operasjoner, ringer. 5.1 Relasjoner Notat 05 for MAT1140 5 Relasjoner, operasjoner, ringer 5.1 Relasjoner Når R er en relasjon som er veldefinert på A B, slik at R(x, y) er en påstand når x A og B B, tenker vi på relasjonen som noe som lever

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 5, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA

Detaljer

OPPGAVER FOR FORUM

OPPGAVER FOR FORUM OPPGAVER FOR FORUM 2006-2007 MERK!: Du skal først skrive hele oppgaveteksten for hver oppgave, og deretter svaret på oppgaven. Hvert svar skal være detajert, og skrevet i et klart og tydelig matematisk

Detaljer

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm

KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har:

Dette krever ikke noe nytt aksiom. Hvorfor? Og hvorfor må vi anta at A ikke er tom? Merk at vi har: Notat 4 for MAT1140 4 Mer om mengder 4.1 Familier av mengder Union og snitt. Aksiom 4.1. Dersom A er en mengde bestående av mengder, kan de sistnevnte føyes sammen til en stor mengde, kalt unionen til

Detaljer

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner

Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Analysedrypp I: Bevis, mengder og funksjoner Hensikten med Analysedrypp er å bygge en bro mellom MAT1100 og MAT1110 på den ene siden og MAT2400 på den andre. Egentlig burde det være unødvendig med en slik

Detaljer

MA3002 Generell topologi

MA3002 Generell topologi Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Faglig kontakt under eksamen: Richard Williamson, (735) 90154 MA3002 Generell topologi Lørdag 1. juni 2013 Tid:

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon

7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med

Detaljer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer

Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst Løsninger med kommentarer Obligatorisk oppgave 1 i MAT1140, Høst 2014. Oppgave 1 er med kommentarer En funksjon f : R R er en polynomfunksjon hvis f kan defineres som f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n hvor n 0 og a 0,..., a n er reelle

Detaljer

Mengder, relasjoner og funksjoner

Mengder, relasjoner og funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 15: og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Mengder, relasjoner og funksjoner 9. mars 2010 (Sist oppdatert: 2010-03-09 14:18) MAT1030

Detaljer

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag

Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0301 Elementær diskret matematikk løsningsforslag Faglig kontakt under eksamen: Martin Strand Tlf: 970 7 848 Eksamensdato: 3. mai 014 Eksamenstid (fra

Detaljer

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen)

Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Julenøtter til gruppe 5&7! (IKKE eksamensrelevant, bare for gøy gjerne i romjulen) Dette er smakebiter på ting som dukker opp i videregående emner (MAT2400 og MAT2200). Del I og II kan gjøres uavhengig

Detaljer

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140

Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi

Detaljer

Notat med oppgaver for MAT1140

Notat med oppgaver for MAT1140 Notat med oppgaver for MAT1140 1 Injeksjon, surjeksjon Oppgave 1.1. La f : A B være en avbildning. Vis at da er f injektiv hvis og bare hvis følgende holder: for hver mengde C og for hver g, h : C A hvis

Detaljer

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I

Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Grublegruppe 19. sept. 2011: Algebra I Ivar Staurseth ivarsta@math.uio.no Innledning, definisjoner Vi har så langt jobbet med mengder, X, hvor vi har hatt et avstandsbegrep og hvor vi har vært i stand

Detaljer

Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)

Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen

Litt topologi. Harald Hanche-Olsen MA2104 2006 Litt topologi Harald Hanche-Olsen hanche@math.ntnu.no De reelle tall En grunnleggende egenskap ved de reelle tall, som skiller dem fra de rasjonale tall, er kompletthetsaksiomet. Det har flere

Detaljer

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

INF3170 Forelesning 1

INF3170 Forelesning 1 INF3170 Forelesning 1 Introduksjon og mengdelære Roger Antonsen - 26. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-26 14:58) Dagens plan Innhold Velkommen til INF3710 Logikk 1 Litt praktisk informasjon...................................

Detaljer

Hint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017.

Hint til oppgavene. Uke 34. Uke 35. Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Hint til oppgavene Fullstendige løsningsforslag finnes på emnesidene for 2017. Uke 34 Oppgave 1, 2, 3 og 4 kan alle løses ved å tegne sannhetstabeller, men i flere tilfeller kan man like gjerne manipulere

Detaljer

x A e x = x e = x. (2)

x A e x = x e = x. (2) Notat om Algebra for MAT1140 1 Algebra 1.1 Operasjoner Definisjon 1.1. En operasjon på en mengde A er en avbildning fra A A til A. Bemerkning 1.1. Mer generelt kan man snakke om n-ære operasjoner på A,

Detaljer

HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL?

HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Innledning, referenser og matematikere HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Skövde 4. mai 200 Innledning, referenser og matematikere. Vi lever i en epoke da kunnskap er lavt vurdert. Vårt miljø invaderes

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

Eliminasjon av ubetsemthet

Eliminasjon av ubetsemthet 1. Del Eliminasjon av ubetsemthet Warning: En svært midlertidig versjon som er ikke er ferdig. Den er rotete og sikkert full av feil. Forbedring følger etterhvert! versjon 0.3 last update: 10/21/15 2:48:38

Detaljer

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner

Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1. 1 Regneregler for Booleske operasjoner MAT1140, H-16 Mer om mengder: Tillegg til Kapittel 1 Vi trenger å vite litt mer om mengder enn det som omtales i første kapittel av læreboken. I dette tillegget skal vi først se på regneregler for Booleske

Detaljer

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.

Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et

Detaljer

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-15 Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Forelesning 7 mandag den 8. september

Forelesning 7 mandag den 8. september Forelesning 7 mandag den 8. september 1.1 Absoluttverdien Definisjon 1.1.1. La n være et heltall. Da er absoluttverdien til n: (1) n dersom n 0; (2) n dersom n < 0. Merknad 1.1.2. Med andre ord får vi

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold

Geometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:

Detaljer

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008.

Dagens plan. INF3170 Logikk. Mengder. Definisjon. Notasjon. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon. Martin Giese. 23. januar 2008. INF3170 Logikk Dagens plan Forelesning 0:, Induksjon Martin Giese 1 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 2 23. januar 2008 Institutt for informatikk (UiO) INF3170 Logikk 23.01.2008 2 / 47 1

Detaljer

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}.

To mengder S og T er like, S = T, hvis de inneholder de samme elementene. Notasjon. Mengden med elementene a, b, c og d skrives ofte {a, b, c, d}. Forelesning 0: Mengdelære, Induksjon Martin Giese - 23. januar 2008 1 Mengdelære 1.1 Mengder Mengder Definisjon 1.1. En mengde er en endelig eller uendelig samling objekter der innbyrdes rekkefølge og

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Om forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser

Om forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser Om forholdet mellom produkt og barysentrisk oppdeling av simplisialkomplekser Vegard Fjellbo Matematisk institutt Universitetet i Oslo rvfjellb[at]student.matnat.uio.no 28. mai 2009 En prosjektoppgave

Detaljer

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet

MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140: Partielle ordninger, Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma

Detaljer

Karakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.

Karakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap. Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor

Detaljer

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510

HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 HILBERTS AKSIOMSYSTEM FOR PLANGEOMETRI MAT4510/3510 BJØRN JAHREN Euklids Elementer introduserte den aksiomatiske metode i geometrien, og i mer enn 2000 år var den omtrent enerådende som lærebok i geometri.

Detaljer

Kapittel 5: Relasjoner

Kapittel 5: Relasjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Relasjoner 24. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-24 12:36) MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Zorns lemma og utvalgsaksiomet

Zorns lemma og utvalgsaksiomet MAT1140, H-16 Zorns lemma og utvalgsaksiomet I dette notatet skal vi se på Zorns lemma, som er et kraftig redskap for å bevise eksistensen av matematiske objekter. Beviset for Zorns lemma bygger på det

Detaljer

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ).

Direkte produkter. (a, b)(a 0,b 0 )=(ab, a 0 b 0 ). Direkte produkter Vi kjenner det kartesiske produktet av to mengder Y.Detbeståravallepar(x, y) av elementer x 2 og y 2 Y.OrdetkartesiskerdannetavegennavnetRenéDécartes, en fransk filosof og matematiker

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002

LØSNINGSFORSLAG SIF5015 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 18. desember 2002 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 LØSNINGSFORSLAG SIF55 DISKRET MATEMATIKK Onsdag 8. desember 22 Oppgave a) Vi vil ha 77x (mod 3), så vi trenger en

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

TOPOLOGY WORD LIST/TOPOLOGI-ORDLISTE. base space basisrom basis elements basiselementer basis for a topology basis for en topologi

TOPOLOGY WORD LIST/TOPOLOGI-ORDLISTE. base space basisrom basis elements basiselementer basis for a topology basis for en topologi TOPOLOGY WORD LIST/TOPOLOGI-ORDLISTE Table 1. American English to Bokmål American Bokmål antipode antipode arc bue ball ball base space basisrom basis elements basiselementer basis for a topology basis

Detaljer

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER

11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER 11. FUNKSJONER AV FLERE VARIABLER FREDRIK THOMMESEN Contents 1. Funksjoner av flere variabler 1 1.1. Funksjoner av to variabler 1 1.2. Partielle deriverte med to variabler 2 1.3. Geometrisk representasjon

Detaljer

HJEMMEOPPGAVER (utgave av ):

HJEMMEOPPGAVER (utgave av ): HJEMMEOPPGAVER (utgave av 20-5-2003): Oppgave 16 til 26 mai: La K være kroppen med 2 elementer og la A = K(t)[x]/(x 2 +t) være residuringen av polynomringen i den varibale x over den rasjonale funksjonsringen

Detaljer

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014

Eneboerspillet del 2. Håvard Johnsbråten, januar 2014 Eneboerspillet del 2 Håvard Johnsbråten, januar 2014 I Johnsbråten (2013) løste jeg noen problemer omkring eneboerspillet vha partall/oddetall. I denne parallellversjonen av artikkelen i vil jeg i stedet

Detaljer

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet

Før vi begynner. Kapittel 5: Relasjoner og funksjoner. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt om obligen og studentengasjementet MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 12: Relasjoner og litt funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Før vi begynner 3. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-04 01:00) MAT1030

Detaljer

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.

R for alle a A. (, så er a, En relasjon R på en mengde A er en Ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Repetisjon fra siste uke: Relasjoner En relasjon R på en mengde A er en delmengde av produktmengden A A. La R være en relasjon på en mengde A. R er refleksiv hvis R er symmetrisk hvis R er antisymmetrisk

Detaljer

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige

Detaljer

Øvingsforelesning 2. Mengdelære, funksjoner, rekurrenser, osv. TMA4140 Diskret Matematikk. 10. og 12. september 2018

Øvingsforelesning 2. Mengdelære, funksjoner, rekurrenser, osv. TMA4140 Diskret Matematikk. 10. og 12. september 2018 Mengdelære, funksjoner, rekurrenser, osv. Øvingsforelesning 2 TMA4140 Diskret Matematikk 10. og 12. september 2018 Dagens øvingsforelesning Spørsmål til emnene i forrige uke Oppgaver fra midtsemesterprøver

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

Kapittel 6: Funksjoner

Kapittel 6: Funksjoner MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

Løsningsforslag øving 6

Løsningsforslag øving 6 Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Komplekse tall og komplekse funksjoner

Komplekse tall og komplekse funksjoner KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 3 Geometri QED 5 0 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Geometri Kapittel Oppgave a) ( +, + 7) = (4, 9) b) (0, 4 + 5) = (, ) c) ( + 0, + 6) = (, 9) Oppgave a) Vi får vektoren [4, ]. b) Vi

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Matematisk morfologi III

Matematisk morfologi III Matematisk morfologi III Lars Aurdal Norsk regnesentral Lars.Aurdal@nr.no 4. desember 2003 Copyright Lars Aurdal, NTNU/NR Oversikt, kursdag 3 Sammensatte operasjoner: Hit-or-miss-transformen. Skjeletter.

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer

(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer 5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Ekvivalensrelasjoner. Oppsummering. Definisjon. Merk Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 12: Relasjoner, Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. februar 2008 En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha.

En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser ofte kan ha. Forelesning 12 Relasjoner, Dag Normann - 20. februar 2008 Oppsummering En relasjon på en mengde A er en delmengde R A A = A 2. Vi har satt navn på visse egenskaper relasjoner som oppstår i anvendelser

Detaljer

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner

To nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse

Detaljer

LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA

LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe 92650655 Bokmål LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA4140 2008 Oppgave 1 (10%)

Detaljer

KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting

KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting KAPITTEL 3 Litt logikk og noen andre småting Logikk er sentralt både i matematikk og programmering, og en innføring i de enkleste delene av logikken er hovedtema i dette kapitlet I tillegg ser vi litt

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

INF1800 Forelesning 2

INF1800 Forelesning 2 INF1800 Forelesning 2 Mengdelære Roger Antonsen - 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste av det vi gjør her kan leses uavhengig av boken. Følgende avsnitt i boken

Detaljer

Analysedrypp II: Kompletthet

Analysedrypp II: Kompletthet Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS

INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert

Detaljer

MAT1140 Strukturer og argumenter

MAT1140 Strukturer og argumenter 12. november 2018 MAT1140 Strukturer og argumenter Innleveringsfrist Obligatorisk oppgave 2 av 2 Torsdag 8. november 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om

Detaljer

MAT1030 Forelesning 14

MAT1030 Forelesning 14 MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er

Detaljer

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling

Dagens mål. Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 INF Digital bildebehandling Dagens mål Det matematiske fundamentet til den diskrete Fourier-transformen Supplement til forelesning 8 IF2310 - Digital bildebehandling Ole Marius Hoel Rindal, slides av Andreas Kleppe Dagens mål Forstå

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.

Detaljer

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet

INF 4130. 8. oktober 2009. Dagens tema: Uavgjørbarhet. Neste uke: NP-kompletthet INF 4130 8. oktober 2009 Stein Krogdahl Dagens tema: Uavgjørbarhet Dette har blitt framstilt litt annerledes tidligere år Se Dinos forelesninger fra i fjor. I år: Vi tenker mer i programmer enn i Turing-maskiner

Detaljer

Forelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen januar Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted

Forelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen januar Praktisk informasjon. 1.1 Forelesere og tid/sted Forelesning 1: Introduksjon og mengdelære Christian Mahesh Hansen - 22. januar 2007 1 Praktisk informasjon 1.1 Forelesere og tid/sted Foreleser: Christian Mahesh Hansen (chrisha@ifi.uio.no) Kontor 2403,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk

UNIVERSITETET I OSLO. Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. INF1080 Logiske metoder for informatikk UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag:. desember Tid for eksamen:.. INF Logiske metoder for informatikk Oppgave Mengdelære ( poeng) La A = {,, {}}, B =

Detaljer