Sylows tre teoremer. enn to primfaktorer og med en av multiplisitet to

Transkript

1 Sylws tre teremer Ludwig Mejedel Sylw er ved siden av Niels Henrik Abel g Sphus Lie, blant nrmennene sm i det 19. århundrede satte dype g varige spr i gruppeterien. Sylw tilhørte generasjnen mellm Abel g Lie. Han studerte Abels arbeider i sin ungdm ne sm påvirket hele hans matematiske karrier, sm frøvrig i sin helhet dreiet seg m ligningsteri, eller det vi nå kaller fr Galis-teri. Da Sylw i ga en frelesningsrekke ved Det Kngelige Fredriks Universitet 1 ver Galis-terien, var den da tyveårige Sphus Lie en av tilhørerene. Sylws tre teremer er nå en fundamental del av gruppeterien. Man er fristet til å si at de har en status i gruppeterien lik den Cauchys integralsats har i kmpleks funksjnsteri de er allestedsnærværende. Sylw arbeidet førti år sm gymnaslærer i det sm da het Fredrikshald g sm i dag heter Halden, g han klaget stadig i sin krrespndanse m liten tid til å frfølge sine matematiske ambisjner. Man kan bare drømme m hva han kunne ha prestert m han hadde fått utflde sitt matematiske talent til fulle. Det finnes en rekke varianter av bevisene fr Sylws teremer. Beviset sm presenteres, ligger vanligvis svært nær Sylws pprinnelige. Han arbeidet i en ligningsteretisk kntekst, mens alle mderne bevis gjøres i en rent gruppeteretisk kntekst, men allikevel er kjernen i beviset den samme selvm innpakningen er annerledes. Vi skal imidlertid gjøre en annen liten vri på beviset g frfølge ideen til McKay sm brukes til Cauchys setning nedenfr. Vi beviste tidkigere Lagranges sats: Om H G er en undergruppe, så er H en divisr i G. Idekretsen rund Sylws teremer dreier seg m i hviken grad det mvendte gjelder sm er en vesentlig dypere prblemstilling. Man skal reknstruere en undergruppe kun ut i fra kjennskap til dens rden. Spørsmålet er altså: Gitt en divisr d irdenentilg, finnesdetdaenundergruppeh av rden d? Dette er generelt sett galt. Det enkleste mteksemplet 2 er sm vi har sett, den alternerende gruppen G = A 4 sm er av rden 12, mensmikkeharnenundergruppe av rden 6. Det sm imidlertid er riktig, g sm Sylw beviste, er at dersm p er et primtall g primtalsptensen p r deler G, såfinnesundergrupperig av rdene p r.velgerman spesielt r størst mulig slik at G = p r m der (p, m) =1 kallervienundergruppe S av rden p r fr en Sylw p-undergruppe eller krtere en Sylw p-gruppe. Slikefinnes altså alltid; det er Sylws første terem. Hans andre terem sier at t Sylw p-grupper alltid er knjugerte, g det tredje frteller ss ne m antall Sylw p-grupper gruppen G har. Eksempel. Den alternerende gruppen A 4 er av rden 12, såensylw3-gruppe er av 1 Det var det UiO het på den tiden. 2 Og dette er gså er det enklest mulige mteksemplet i g med at 12 er det minste tallet med mer enn t primfaktrer g med en av multiplisitet t

2 Sylws teremer MAT2200 Vår 2013 rden 3 hveravtre-syklenegenerererenslik mensensylw2-gruppe er av rden 4. OgdeterbareénSylw2-gruppe. Den består av alle invlusjnene, i.e., elementene av rden t, g er ismrf med Z 2 Z 2.Fralleandreprimtallp er Sylw p-gruppene trivielle. e Det fantes flere frløpere til Sylws teremer. En av dem har frtsatt en sentral plass i gruppeterien.det dreier seg m Cauchys terem fra. Vi skal følge den histriske rekkefølgen g starter med dette resultatet, men først gir vi enkelte basisresultater m de såkalte p-grupper. Grupper hvis rden er en primtallsptens Endelige grupper hvis rden er en primtalsptens er av en helt særskilt karakter, g de spiller en helt særskilt rlle i gruppeterien. På den ene siden er de strukturelt relativt enkle. De har mye struktur, så det er nk å gripe fatt i m man vil studere en slik gruppe. På den annen side, danner de en kmpleks klasse gruppe, m ikke fr annet, så fr det stre antall sm finnes. Eksempelvis så vi at det var grupper av rden 2 10,smjerastrnmisk,selvsammenlignetmeddetrelativtbeskjedne antallet av grupper med rden mindre enn 2000, men sm ikke er av rden La p betegne et primtall. Vi sier at en gruppe G er en p-gruppe dersm rdenen til G er en ptens av p, i.e., vi har G = p r fr et naturlig tall r. FraLagranges terem følger det at rdenen til et hvert elemenent i G er en ptens av p. Viskalsnart se allerede i neste paragraf at det mvendte gså gjelder: Dersm alle elementene igruppeng har en rden sm er en ptens av p, såerg en p-gruppe. Eksempel. Erkeeksempler på p-grupper er de sykliske gruppene på frmen Z p r g direkte prdukter av slike. Vi kan gså by på kvadratsymmetriene, i.e., den dihedrale gruppen D 8.Deterenikke-abelsk2-gruppe. Mer generelt vil symmetrigruppen til en regulær 2 r -kant, den dihedrale gruppen D 2 r+1, være en 2-gruppe. e Følgende sats følger direkte fra Lagranges sats: Setning 1 Anta G er en p-gruppe g at H G er en undergruppe. Da gjelder: H en p-gruppe. Dersm H er nrmal, så er G en p-gruppe hvis g bare hvis både H g G/H er p-grupper. Bevis: Satsen følger direkte av Lagrange: G = H G/H La nå G være en p-gruppe sm virker på den endelige mengden X. Viminnerm skrivemåten X G fr mengden av fikspunkter G har i X; i.e., X G = { x 2 X gx = x fr alle g 2 G }. DersmB X er en av banene til G i X, såerantallelementerib gitt sm B = G / G(x) der G(x) er isttrpigruppen til et vilkårlig punkt x fra B; i.e., gruppen bestående av de elementene i G med x sm fikspunkt. Siden G er en primtallsptens, er G / G(x) gså en primtallsptens. Den kan naturligvis være lik 1, ne sm inntreffer dersm G(x) =G, med andre rd dersm x 2

3 Sylws teremer MAT2200 Vår 2013 er fikspunkt fr G. IalleandretilfellererantallelementeribanenB delelig med p. Summerer vi ver alle baner, finner vi: Lemma 1 La p være et primtall g la G være en p-gruppe. Anta at G virker på en endelig mengde X. Da gelder det at Bevis: Vi har at X G X md p. X = X G + rx B i der B 1,...,B r betegner banene til G i X med mer enn ett element. Vi argumenterte venfr fr at antall elementer i hver ikke-trivielle bane B i,altså B i,erdeleligmedp. Et eksempel på en anvendelse av dette lemmaet er følgende. Vi lar G virke på seg selv ved knjugasjn, i.e., g 2 G virker ved å sende x til c g (x) =gxg 1.Fikspunktene til denne virkningen utgjør presis senteret til G siden at gxg 1 = x fr alle g 2 G er ensbetydende med at gx = xg fr alle g. Lemmaetgirat G Z(G) md p, gsiden G er en p-gruppe, følger det at Z(g) 0 md p. Den viktige knklusjnen vi kan trekke av dette, er at Z(G) 6=1. Med andre rd, senteret Z(G) er ikke-trivielt; det må ha minst p elementer: Setning 2 Dersm G er en endelig p-gruppe, så er senteret Z(G) ikke-trivielt. Denne stasen gir et gdt utgangspunkt fr induksjnsargumenter, g fr å illustrere hvilket ptensiale sm ligger i det, viser vi følgende resultat m undergrupper i en p- gruppe. Det passer gså gdt inn i idekretsen mkring teremene til Lagrange g Sylw. Setning 3 La p være et primtall g anta at G er en p-gruppe med G = p r.frhvert naturlige tall i med 0 apple i apple r finnes det undergrupper av G av rden p i. Bevis: Vi skal bruke induksjn på r. Lag 2 G være et sentralt element av rden p. Slike finnes, fr m g er sentralt g av rden p j,såerg pj 1 sentralt g av rden p. La P = h g i være undergruppen generert av g. Denernrmalfrdig kmmuterer med alle elementene i G. Siden G/P = p r 1,girinduksjnshyptesenatG/P har undergrupper av rden p i.satsenfølgerdafrafølgendelemma: i=1 Lemma 2 Anta at G er en gruppe g at P G er en nrmal undergruppe av rden m. Dersm gruppen G/P har en undergruppe av rden n, så har G en undergruppe av rden nm. 3

4 Sylws teremer MAT2200 Vår 2013 Bevis: Lar : G! G/P betegne den naturlige hmmrfien g la N G/P være en undergruppe av rden n. LaH G være det inverse bildet H = 1 (N). Deteren undergruppe av G, gvipåståratrdenentilh er lik nm: Restriksjnen av hmmrfien til H er en hmmrfi med bilde lik N g kjerne lik P.Derfrer H = P N = mn. Vi avslutter denne paragrafen m p-grupper med følgende pene resultat: Setning 4 Anta at p er et primtall. Enhver gruppe av rden p 2 er abelsk. Bevis: Vi vet at Z(G) er ikke-trivielt. Sentret er en nrmal undergruppe g grupen G/Z(G) er av rden p m den ikke er triviell. Vi vet at enhver gruppe av rden et primtall er syklisk, så G/Z(G) er syklisk. Satsen følger da fra neste lemma: Lemma 3 Anta at G er en gruppe slik at G/Z(G) er syklisk. Da er G abelsk. Bevis: La a 2 G være slik at restklassen til a generer G/Z(G). Dakanethvertelement fra G skrives sm et prdukt a i b der b 2 Z(G). FrdiG/Z(G) er generet av az(g), er nemlig gz(g) =a i Z(G) fr en passende i. Ta t elementer g = a i b g g 0 = a j b 0 fra G der b, b 0 2 Z(G). Vifinner gg 0 = a i ba j b 0 = a i a j bb 0 = a j a i b 0 b = a j b 0 a i b = g 0 g. Cauchys terem Vi så i et tidligere ntatet at rdenen til et hvert element i en gruppe G går pp i G. Det mtsatte gjelder ikke fr vilkårlige divisrer i G selv ikke primtallsptenser ne eksemplet Z p Z p viser. I den gruppen er et hvert ikke-trivielle element av rden p, mensgruppenjharp 2 elementer. Det sm imidlertid er rikitig, er at dersm p er en primdivisr i G, såvilminstett element i G være av rden p. VanligviserdetCauchy sm fr æren fr dette resutatet. Det finnes naturlig nk flere måter å gå frem på fr argumentere fr dette. Vi skal gi et bevis sm ble funnet av amerikaneren James H. McKay i. Deterdetsuverent krteste (rginalversjnen er på ti linjer, vi bruker et par til) g mest elegante blant de mange bevisene i litteraturen: Terem 1 (Cauchy) La G være en endelig gruppe. Dersm primtallet p går pp i G, finnesdetetelementavrdenp i G. Merpresist,antallg med g p = e g g 6= e er kngruent 1 mdul p. Bevis: Vi ser på følgende undermengde X av det p-fldige kartesiske prduktet G p : X = { (g 1,g 2,...,g p ) g 1 g 2...g p = e }. 4

5 Sylws teremer MAT2200 Vår 2013 Vi lar så C p betegne den sykliske gruppen av rden p sm er generet av p-sykelen =(1,...,p). Generatren,gdermedhelegruppenC p,virkerpådetkartesiske prduktet G p ved å premutere faktrene syklisk: Undermengden X er invariant frdi (g 1,...,g p )=(g (1),...,g (p) )=(g 2,...,g p,g 1 ). g 2...g p g 1 = g 1 1 (g 1 g 2...g p )g 1 = g 1 1 g 1 = e, g C p virker derfr gså på X. FikspunktsmengdentilC p i X består av p-tuplene med alle krdinater like, det vil si tuplene på frmen (g, g,..., g) der g ppfyller g p =1. Og det er presis de elementene vi er på jakt etter. Antall elementer i X er lik G p 1 ;vikannemligvelgedep 1 første elementene i et p-tuppel fritt, g det siste er da entydig bestemt sm (g 1 g 2 g p 1 ) 1.Detfølger fra lemma 1 venfr at X G X 0 md p siden G er en p-gruppe, g kaster vi ut fikspunktet (e, e,..., e), stårviigjenmedetantallsmerkngruent 1 md p. Krllar 1 Dersm rdenen til ethvert element i en gruppe G er en ptens av primtallet p, er G en p-gruppe. Bevis: Oppgaven vår er å sjekke at rdenen G er en ptens av p, altsåatp er den eneste primdivisren til G. Laderfrq være en primtall sm er faktr i G. Fra Cauchys terem følger det at det finnes et element i G av rden q. Men hyptesen vår var at rdenen til elementene i G alle var ptenser av p. Derfrerq = p, gp er det eneste primtallet sm deler G. Sylws tre teremer La nå G være en gruppe g la p være et primtall. Vi kan skrive G = p r n der tallet m ikke har p sm faktr. Fr å få en enhetlig beskrivelse har vi inkludert det tilfelet at r =0, i.e., at p ikke er blant primfaktrene til n, mendeternaturligvisprimfaktrene i G sm er de interessante. Vi minner m at en undergruppe S G kalles en Sylw p-gruppe eller en Sylw p- undergruppe dersm S er av rden p r. En Sylw p-undergruppe er altså en undergruppe av G sm er en p-gruppe av maksimal rden. En annen måte å uttrykke dette på, er å si at S er undergruppe sm er en p-gruppe hvis rden g indeks er relativt primiske; i.e., S g G : S er uten felles faktrer. Vi har nemlig at G = G : S S slik at m S er en Sylw p-undergruppe er S = p r g følgelg G : S = m. Sylw p-undergrupper er maksimale p-undergrupper av G, de er j av maksimal rden. Det betyr at de ikke er innehldt i ekte større undergruppe sm er p-grupper. Det mvendte gjelder gså. Maksimale p-undergrupper i G er Sylw-p-undergrupper, men det er et mer subtilt resultat selvm P G er en maksimal p-gruppe i G trenger ikke apririp å ha maksimal rden g følger av Sylw-teremene. 5

6 Sylws teremer MAT2200 Vår 2013 Sylw I Terem 2 (Sylw I) La G være en gruppe g la p være et primtall. Da har G en Sylw p-undergruppe. Bevis: Vi skal bruke induksjn på rdenen til G, gantaratg er the smallest bad guy, i.e., et mteksempel av minimal rden. Beviset har t deler ettersm p pptrer sm faktr i rdenen til senteret Z(G) eller ikke. La ss først gjøre ss ferdig med tilfellet der p deler Z(G), deterenkleste.la g 2 Z(G) være av rden p g la P = h g i. DaerP en nrmal undergruppe, g G/P er en gruppe av rden G/P = p r 1 m.vedinduksjnharg/p en Sylw p-undergruppe, det vil si en undergruppe av rden p r 1,getterlemma2 har da G en undergruppe av rden p r,altsåensylwp-gruppe. Idenandredelenantarviatp ikke deler Z(G), gviskalfrfølgerideentil McKay fra Cauchys terem. Vi lar X = { g 2 G g 6= e g g p = e }. GruppenG virker på X ved knjugasjn, g vi vet at X 1 md p. DetfrtellerCauchys terem ss. Fikspunktene til denne virkningen er presis snittet Z(G)\X atgxg 1 = x fr alle g 2 G betyr j at x 2 Z(G) mendetsnittetertmtsidenp ikke er faktr i Z(G) g elementene i X alle er av rden p. Detbetyratvirkningenikkeharfikspunkter. Baneligningen gir ss da at rx X = G / G i (c) i=1 der vi summerer ver banene med mer en ett element, g der G i betegner istrpigruppen til et element fra den i-te banen. De er alle ekte undergrupper av G. Nå er X ikke delelig med p, gfølgeligerminstetavleddeneisummeni(c) heller ikke delelig med med p. Lasssideterdetførste.Davilp r gå pp i G 1,genSylw p-gruppe i G 1 vil gså være en Sylw p-gruppe i G. Men G 1 er en ekte undergruppe av G g har derfr en Sylw p-gruppe ved induksjn. Sylw II Det er ganske klart at m S er en Sylw p-undergruppe g g 2 G et element i G, så er gså den knjugerte undergruppen gsg 1 en Sylw p-undergruppe. Knjugerte undergrupper har j like mange elementer! Sylws andre terem i sin pprinnelige frm sier at det mvendte hlder, altså at alle Sylw p-gruppene er knjugerte, i.e., m S g S 0 er t stykker, så er S 0 = gsg 1 fr en passende g 2 G. En utvidet versjn sier i tillegg at enhver p-gruppe er innehldt i en Sylw p-gruppe. Sagt annerledes, Sylw undergruppene er maksimale blant undergruppene sm er p-grupper. Beviset bygger på lemma 1 brukt på en passende virkning. 6

7 Sylws teremer MAT2200 Vår 2013 Terem 3 (Sylw II) Alle Sylw-p-grupper i G er knjugerte. Hvis P G er en p- gruppe, så finnes det en Sylw p-undergruppe S slik at P S. Bevis: La S G være en Sylw p-undergruppe, g la P G være en p-gruppe. Vi ser på virkningen av P på restklassemengden G/S ved venstremultiplikasjn: elementet g 2 P sender restklassen as til gas. Siden S er en Sylw p-undergruppe, er G/S = G / S 6 0 md p, gp er en p-gruppe per hyptese. VedåanvendeLemma1 på side 3 finner vi at virkningen har et fikspunkt. Et fikspunkt er en restklasse as slik at gas = as fr alle g 2 P.Detbetyrat a 1 gas = S, gfølgeliga 1 ga 2 S fr alle g 2 P.Detfølgeratata 1 Pa S. Altså er P asa 1,gP er innehldt i en p-sylw undergruppe. Om P er en Sylw p- undergruppe, er P = asa 1,gdetundergruppeneerlike. Et krllar av Sylw II er følgende setning sm mhandler nrmale Sylw p-undergrupper: Setning 5 La S G være en Sylw p-undergruppe. Da er S nrmal hvis g bare hvis S er den eneste Sylw p-undergruppen til G. Bevis: Dersm G ikke har andre Sylw p-undergrupper enn S, mås være nrmal, fr knjugatene gsg 1 er j gså alle Sylw p-undergrupper, g må derfr være lik S. Omvendt, anta at S er nrmal g la S 0 være en mulig annen Sylw p-undergruppe. Etter Sylw II er S 0 knjugert til S, mensidens er nrmal, er S = S 0. Sylw III Sylws tredje terem uttaler seg m antall Sylw p-grupper en gruppe G har. Dette antallet er kngruent 1 mdul p, gitilleggerdetendivisrirdenentilg. Viskal senere gjennm en rekke eksempler se at dette legger relativt sterke føring på antallet Sylw grupper slik at vi i enkelte tilfeller kan bestemme antallet presist, eller iallfall kan si svært mye m strukturen til gruppen. IbevisetfrSylwIIIanvendervissavnrmalisatren N G (H) til en undergruppe H G. Viminnermatdenbeståravalleelementeneg 2 G slik at ghg 1 = H. Dette er klart en undergruppe (sjekk det!), g det er den største undergruppen av G ihvilken H er nrmal. Terem 4 (Sylw III) La N betegne antall Sylw p-undergrupper i G. Da har vi følgende t føringer på N: N 1 md p. N er en divisr i G. 7

8 Sylws teremer MAT2200 Vår 2013 Bevis: La S være en av Sylw p-undergruppene til G. Vi lar X betegne mengden av alle Sylw p-undergruppene til G, gvilars virke på X ved knjugasjn. Et fikspunkt fr denne virkningen er en Sylw p-undergruppe P sm tilfredstiller gpg 1 = P fr alle g 2 S. DetbetyratS N G (P ), gfølgeligers en Sylw p- undergruppe i N G (P ) siden j N G (P ) er en divisr i G. Av samme grunn er P gså en Sylw p-undergruppe av N G (P ). Men P er naturligvis nrmal i sin egen nrmalisatr det er slik nrmalisatren er laget g etter setning 5 er derfr P den eneste Sylw p-undergruppen til N G (P ). DerfrmåS = P g virkningen har kun ett fikspunkt. Vi finner X X S 1 md (p), sm vi skulle vise. Det gjenstår å sjekke at antallet N går pp i rdenen G til G. SidenalleSylw p-undergruppene er knjugerte, er virkningen av G på X ved knjugasjn transitiv; den har bare én bane, nemlig X selv. Defr er X en divisr i G ; viharfaktisklikheten G = X N G (S), sidennrmalisatrenn G (S) er isttrpigruppen til S når G virker på X ved knjugasjn. Det er verdt å trekke ut den siste linjen i beviset sm en egen setning. Setning 6 Anta at G er en endelig gruppe g p et primtall. La S G være en Sylw p-undergruppe i G g la N betegne antall Sylw p-undergrupper i G. Ordenentilnrmalisatren N G (S) til S i G er gitt ved likheten N = G / N G (S). Versjn: Friday, March 15, :19:14 PM 8