for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor

Transkript

1 46 2

2 Forhold og prosent MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger

3 2.1 Brøkdelen av et tall Anne skal kjøpe et dataspill som koster 540 kr. Hun skal betale 1 3 far betaler 2. Anne skal betale tredjedelen av prisen. Det er kr : 3 = 180 kr Dette kan vi også regne ut slik: selv, og kr = 180 kr Å dividere med 3 er det samme som å multiplisere med 1. 3 Når far skal betale 2, skal han betale dobbelt så mye som Anne. Det er kr = 360 kr Vi kan også regne slik: kr = 360 kr 3 Å finne 2 av 540 kr er det samme som å multiplisere 2 med 540 kr. Vi går 3 3 fram på tilsvarende måte for alle brøkdeler og alle tall. Brøkdelen av et tall finner vi ved å multiplisere brøken med tallet. Regn ut 3 8 av 320 kr. 3 8 av 320 kr = kr = 120 kr 8? Oppgave 2.10 Regn ut 5 av tallene. 8 a) 40 b) 56 c) 12 Oppgave 2.11 a) Hvor mye er 2 3 c) Hvor mye er 3 8 av 48 kr? 4 b) Hvor mye er 7 av 72 kr? 3 d) Hvor mye er 4 av 49 kr? av 72 kr? Sinus 1P > Forhold og prosent

4 Arne og Gro deler en jobb. Ei uke arbeider Arne fem dager og Gro to dager. Til sammen får de 2800 kr i lønn. Hvor mye skal hver av dem ha i lønn? Arne og Gro arbeider sju dager til sammen. Ettersom Arne arbeider fem av de sju dagene, skal han ha 5 7 av 2800 kr = kr = 2000 kr Gro arbeider to av sju dager og skal ha 2 7 av 2800 kr = kr = 800 kr Martin og Sondre skal dele 720 kr. Martin får 420 kr. Hvor stor del av pengene får Martin, og hvor stor del får Sondre? Den brøkdelen Martin får, er 420 kr 720 kr = = = = = = Sondre får 720 kr 420 kr = 300 kr Den brøkdelen Sondre får, er 300 kr 720 kr = = = = = = Ovenfor forkortet vi brøken ved regning. Vi kan også forkorte brøken ved hjelp av lommeregneren slik vi lærte i kapittel 1. 49

5 ? Oppgave 2.12 En blanding av saft og vann inneholder 1 saft og vann. a) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3 liter blanding? b) Hvor mye saft og hvor mye vann er det i 3,6 liter blanding? c) Hvor mye vann er det når det er 2 liter rein saft? 3 l Oppgave 2.13 Per, Anne og Jan skal dele 9600 kr. Jan skal ha 2, Anne skal ha 1, og Per 5 6 skal ha resten. a) Hvor mange kroner skal Anne og Jan ha hver? b) Hvor mange kroner skal Per ha? c) Hvor stor brøkdel skal Per ha? 2.2 Prosentfaktor Ordet prosent kommer fra latin og betyr hundredel. 15 % = = 0,15 Her har vi fargelagt 15 % av et rektangel. Rektangelet er delt i 20 like ruter. Hver rute er da 1 20 = = 5 % Tre ruter er da 3 5 % = 15 % av hele rektangelet. Prosent regner vi alltid som hundredeler av noe. Mads er med i et tippelag som har vunnet kr. Mads skal ha 15 % av 15 denne gevinsten. Det er det samme som av kr % av kr = 15 av kr 100 = kr = 0, kr = 3000 kr 100 Vi finner 15 % av et tall ved å multiplisere tallet med 0,15. Tallet 0,15 kaller vi prosentfaktoren til 15 %. På tilsvarende måte er 0,25 prosentfaktoren til 25 % og 0,08 prosentfaktoren til 8 % Sinus 1P > Forhold og prosent

6 Prosentfaktoren til p % er p 100. Finn prosentfaktorene til 8 %, 17 % og 2,5 %. Prosentfaktorene er = 0, = 0,17 2,5 100 = 0,025? Oppgave 2.20 Finn prosentfaktoren til a) 6 % b) 19 % c) 12 % d) 45 % e) 5 % f) 2 % Oppgave 2.21 Finn prosentfaktoren til a) 5,5 % b) 1,9 % c) 12,5 % d) 45,3 % e) 0,5 % f) 0,25 % Når vi kjenner prosentfaktoren, er prosenten = prosentfaktoren 100 % Finn prosenten når prosentfaktoren er 0,09, 0,23 og 0,125. Prosentene er 0, % = 9 % 0, % = 23 % 0, % = 12,5 % 51

7 ? Oppgave 2.22 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,04 b) 0,25 c) 0,13 d) 0,01 e) 0,34 f) 0,07 Oppgave 2.23 Finn prosenten når prosentfaktoren er a) 0,045 b) 0,375 c) 0,012 d) 0,002 e) 1,24 f) 0, Prosentregning Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. I kapittel 2.2 så vi at 15 % av kr er 0, kr = 3000 kr Vi ser at prosentfaktoren hele tallet = delen av tallet a) Finn prosentfaktoren til 12 %. b) Bruk prosentfaktoren til å regne ut 12 % av beløpene kr og kr. a) Prosentfaktoren til 12 % er = 0,12 b) Her kjenner vi prosentfaktoren og hele tallet. 12 % av kr = 0, kr = 2820 kr 12 % av kr = 0, kr = kr? Oppgave 2.30 Finn 12 % av beløpene. a) 300 kr b) 3200 kr c) kr Sinus 1P > Forhold og prosent

8 ? Oppgave 2.31 Per har kr i banken, Kari har kr, og Ola har kr. De får alle 1,5 % rente per år. Bruk prosentfaktoren til å regne ut hvor mange kroner hver av dem får i rente på ett år. Vi vet at Dermed er prosentfaktoren hele tallet = delen av tallet prosentfaktoren = delen av tallet hele tallet Vi finner prosentfaktoren ved å dividere delen av tallet med hele tallet. a) Hvor mange prosent er 240 kr av 500 kr? b) En mann satte 4500 kr i banken og fikk 90 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente fikk han? a) Prosentfaktoren er delen av tallet = 240 kr hele tallet 500 kr = = 0,48 Når prosentfaktoren er 0,48, er prosenten 0, % = 48 % b) Prosentfaktoren er delen av tallet = 90 kr hele tallet 4500 kr = = 0,02 Når prosentfaktoren er 0,02, er prosenten 0, % = 2 % Mannen fikk 2 % rente. 53

9 ? Oppgave 2.32 Martin setter 2400 kr i banken og får 84 kr i rente på ett år. Hvor mange prosent rente svarer det til? Oppgave 2.33 Line kjøper en sofa som koster 4800 kr. Hun får 720 kr i avslag. Hvor mange prosent avslag får hun? Vi vet at Dermed er prosentfaktoren hele tallet = delen av tallet hele tallet = delen av tallet prosentfaktoren a) Lønna til Mads er 15 % av det han selger. Ei uke fikk han 4200 kr i lønn. Hvor mye solgte han for? b) Mads satte penger i banken og fikk 6 % rente per år. Han fikk 492 kr i rente. Hvor mye penger satte Mads i banken? a) Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. Salgssummen er dermed 4200 kr = kr 0,15 b) Prosentfaktoren til 6 % er 0,06. Beløpet han satte i banken, var 492 kr = 8200 kr 0, Sinus 1P > Forhold og prosent

10 ? Oppgave 2.34 a) Hanne skal kjøpe en bil. Hun ser på en bil som koster kr. Hun kan få kr i avslag i prisen. Hvor mange prosent avslag kan hun få? b) Hanne ser på en annen bil. Hun kan få 6 % avslag i prisen. Det svarer til kr. Hvor mye koster denne bilen uten avslag? Oppgave 2.35 a) Knut setter penger i banken og får 1,5 % rente per år. Hvor mye penger setter han i banken når han får 450 kr i rente på ett år? b) Hvor mye måtte han sette i banken for å få 675 kr i rente? 2.4 Prosentvis økning Alle prisene i en kiosk skal settes opp med 20 %. Den opprinnelige prisen er 100 %. Den nye prisen blir da 100 % + 20 % = 120 % av den opprinnelige prisen. Prosentfaktoren til 120 % er = 1,20 En hamburger koster 50 kr. Den nye prisen blir 120 % av 50 kr = 1,20 50 kr = 60 kr Tallet 1,20 kaller vi vekstfaktoren ved 20 % økning. Legg merke til at vekstfaktoren 1,20 er 1 + 0,20 = 1 + prosentfaktoren Ved prosentvis økning er vekstfaktoren = 1 + prosentfaktoren prosentfaktoren = vekstfaktoren 1 Finn vekstfaktoren ved 40 % økning. Prosentfaktoren til 40 % er 1 + 0,40 = 1,40 40 = 0,40. Vekstfaktoren er

11 Finn prosenten når vekstfaktoren er 1,12. Når vekstfaktoren er 1,12, er Prosenten er prosentfaktoren = vekstfaktoren 1 = 1,12 1 = 0,12 0, % = 12 %? Oppgave 2.40 Finn vekstfaktoren når en pris blir satt opp med a) 23 % b) 8 % c) 4 % d) 2,3 % e) 0,8 % f) 14,4 % Oppgave 2.41 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 1,30 b) 1,05 c) 1,02 d) 1,074 e) 1,005 f) 1,236 Da vi skulle øke prisene med 20 %, regnet vi slik: 1,20 50 kr = 60 kr Vi legger merke til at utregningen passer med denne formelen: Vekstfaktoren den opprinnelige verdien = den nye verdien I en kiosk koster en pizza 120 kr. Prisen skal settes opp med 15 %. Finn den nye prisen. Prosentfaktoren til 15 % er 0,15. Vekstfaktoren er da 1 + 0,15 = 1,15 Prisen på en pizza blir 1, kr = 138 kr Sinus 1P > Forhold og prosent

12 ? Oppgave 2.42 Alle prisene i en kiosk skal settes opp med 5 %. a) Finn vekstfaktoren. b) Finn de nye prisene når prisene før var 60 kr, 80 kr og 120 kr. Oppgave 2.43 En moped koster kr. Prisen blir først satt opp med 7 % og deretter med 12 %. a) Finn prisen etter disse to økningene. b) Hvor mange prosent ble prisen satt opp til sammen? 2.5 Prosentvis nedgang I en kiosk selger de 60 små pizzaer og 40 store pizzaer per dag. Så setter de opp prisene, og salget går da ned med 10 %. Det nye salget er altså 100 % 10 % = 90 % av det opprinnelige. Salget av de små pizzaene er nå 90 % av 60 = 0,90 60 = 54 Tallet på store pizzaer er 90 % av 40 = 0,90 40 = 36 Tallet 0,90 kaller vi vekstfaktoren ved 10 % nedgang. Legg merke til at vekstfaktoren 0,90 er 1 0,10 = 1 prosentfaktoren 57

13 Ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren = 1 prosentfaktoren og prosentfaktoren = 1 vekstfaktoren Finn vekstfaktoren ved 6 % nedgang. Vekstfaktoren ved 6 % nedgang er 1 6 = 1 0,06 = 0, Finn prosenten når vekstfaktoren er 0,88. Når vekstfaktoren er 0,88, er Prosenten er prosentfaktoren = 1 vekstfaktoren = 1 0,88 = 0,12 0, % = 12 %? Oppgave 2.50 Finn vekstfaktoren når en størrelse minker med a) 23 % b) 8 % c) 4 % d) 12,5 % e) 0,8 % f) 46,4 % Oppgave 2.51 Finn prosenten når vekstfaktoren er a) 0,70 b) 0,95 c) 0,87 d) 0,975 e) 0,825 f) 0, Sinus 1P > Forhold og prosent

14 Også ved prosentvis nedgang er vekstfaktoren den opprinnelige verdien = den nye verdien En liten pizza koster 80 kr og en stor pizza 120 kr. Prisene skal settes ned med 5 %. Finn de nye prisene. Prosentfaktoren til 5 % er 0,05. Vekstfaktoren ved 5 % nedgang blir da 1 0,05 = 0,95 Prisen på en liten pizza blir 0,95 80 kr = 76 kr Prisen på en stor pizza blir 0, kr = 114 kr? Oppgave 2.52 I en kiosk har de tre hamburgere som veier 50 g, 100 g og 150 g før de er steikt. Hamburgerne koster 30 kr, 40 kr og 50 kr. a) En dag blir prisen satt ned med 20 %. Hva koster hver av hamburgerne nå? b) Ved steiking minker vekten av hamburgerne med 15 %. Hvor mye veier hver av hamburgerne etter steikingen? Oppgave 2.53 Forretningen Steikje fin selger jakker som koster 600 kr. Prisen blir satt ned to ganger, først med 30 % og deretter med 40 %. a) Hva koster jakkene nå? b) Hvor mange prosent ble prisen i alt satt ned? 59

15 2.6 Prosentpoeng På en skole er det 1000 elever. En dag er 8 % av elevene borte. Dagen etter er 10 % borte. Vi sier da at fraværet har økt med 2 prosentpoeng. Vi kan ikke si at økningen er på 2 %. Her er grunnen til det: Når fraværet er 8 %, er tallet på elever som er borte, lik 8 % av 1000 = 0, = 80 Når fraværet er 10 %, er tallet på elever som er borte 10 % av 1000 = 0, = 100 Økningen er = 20. Prosentfaktoren til økningen er økningen det opprinnelige fraværet = = 0,25 Prosenten er 0, % = 25 % Når fraværet øker fra 8 % til 10 %, er økningen på 25 % og ikke på 2 %. Når vi regner ut differansen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosentpoeng. a) Oppslutningen om Arbeiderpartiet øker en måned fra 29,2 % til 30,4 %. Hvor mange prosentpoeng er økningen på? b) Høyre hadde en oppslutning på 18,4 % og fikk så en økning på 0,7 prosentpoeng. Finn oppslutningen om Høyre nå. a) Økningen i prosentpoeng er 30,4 29,2 = 1,2 Økningen er på 1,2 prosentpoeng. b) Den nye oppslutningen i prosent er 18,4 + 0,7 = 19,1 Oppslutningen om Høyre er nå 19,1 % Sinus 1P > Forhold og prosent

16 ? Oppgave 2.60 a) Et år øker fraværet på en arbeidsplass fra 7,4 % til 8,7 %. Hvor mange prosentpoeng er økningen på? b) Året etter var fraværet 0,8 prosentpoeng lavere. Hvor mange prosent var fraværet nå? Oppgave 2.61 På en skole er det 400 elever. På mandag var 6,5 % av elevene borte, og på tirsdag var fraværet 5,25 %. a) Hvor mange prosentpoeng gikk fraværet ned? b) Hvor mange elever var borte hver av dagene? c) Hvor mange prosent gikk fraværet ned? Vi fant nettopp ut at når fraværet økte fra 8 % til 10 %, var det en økning på 25 %. Det kan vi også finne på denne måten: Økningen i prosentpoeng er 10 8 = 2. Prosentfaktoren er endringen den opprinnelige verdien = 2 8 = 0,25 Prosenten er 0, % = 25 % Den prosentvise endringen finner vi ved å dividere endringen i prosentpoeng med det opprinnelige prosenttallet. a) Oppslutningen om Arbeiderpartiet øker en måned fra 29,2 % til 30,4 %. Hvor mange prosent er økningen på? b) Måneden etter går oppslutningen ned med 5 %. Hvor mange prosent oppslutning har Arbeiderpartiet da? a) Økningen i prosentpoeng er 30,4 29,2 = 1,2. Prosentfaktoren er endringen den opprinnelige verdien = 1,2 29,2 = 0,041 Prosenten er 0, % = 4,1 % 61

17 b) Nedgangen i prosentpoeng er 5 % av 30,4 = 0,05 30,4 = 1,5 Oppslutningen i prosent er 30,4 1,5 = 28,9 Oppslutningen er på 28,9 %.? Oppgave 2.62 a) Et år øker fraværet på en arbeidsplass fra 7,4 % til 8,7 %. Hvor mange prosent økning er det? b) Året etter var fraværet 10 % lavere. Hvor mange prosent var fraværet nå? Oppgave 2.63 a) Et parti har en oppslutning på 11,5 % i januar. I februar var den 12,3 %. Hvor mange prosent var økningen på? b) Fra februar til mars økte oppslutningen med 13,8 %. Hvor mange prosent var oppslutningen på i mars? c) Hvor mange prosent økning var det fra januar til mars? Oppgave januar 2005 gikk merverdiavgiften opp fra 24 % til 25 %. a) Hvor mange prosentpoeng var økningen på? b) Hvor mange prosent økte merverdiavgiften? c) Hvor mange prosent prisstigning gir dette? 2.7 Forholdet mellom tall I en klasse er det 9 jenter og 6 gutter. Forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter er 9 6 = 1,5 Vi finner altså forholdet ved å dividere tallene. Vi finner forholdet mellom to tall ved å dividere det første tallet med det andre Sinus 1P > Forhold og prosent

18 En sykkel koster 3120 kr uten merverdiavgift. Prisen med merverdiavgift er 3900 kr. a) Finn forholdet mellom prisen med merverdiavgift og prisen uten merverdiavgift. b) Hvor mange prosent er merverdiavgiften på? a) Forholdet er = 1,25 b) Tallet 1,25 er det samme som vekstfaktoren. Når vekstfaktoren er 1,25, er prosentfaktoren 0,25, som svarer til 25 %. Merverdiavgiften er 25 % av prisen uten merverdiavgift. Vi blander 6 dl saft og 21 dl vann. Forholdet mellom saft og vann er 6 21 = 0, Det er upraktisk å bruke slike desimaltall. Vi skriver heller forholdet som en brøk som vi forkorter = 2 7 Forholdet er 2. I dagliglivet sier vi at forholdet er 2 : 7 ( to til sju ). Vi 7 blander to deler saft og sju deler vann. Vi blander 30 dl vann og 9 dl saft. Finn forholdet mellom vann og saft. Forholdet mellom vann og saft er 10 vann = 30 saft 9 = Forholdet er 10 : 3. 63

19 ? Oppgave 2.70 Finn forholdet mellom tallene. a) 12 og 4 b) 18,9 og 12,6 c) 297,60 og 240 Oppgave 2.71 Innkjøpsprisen for ei flaske brus er 5,00 kr uten merverdiavgift. Salgsprisen med merverdiavgift er 12,00 kr. Finn forholdet mellom salgsprisen med merverdiavgift og innkjøpsprisen uten merverdiavgift. Vi skal blande vann og saft i forholdet 10 : 3. Hvor mye vann skal vi bruke til 1,5 l saft? Vi skal ha 10 deler vann til 3 deler saft. Ettersom vi har 1,5 l saft, er 3 deler det samme som 1,5 l. Da er 1 del lik 1,5 l : 3 = 0,5 l Vi skal ha 10 deler vann. Det er 10 0,5 l = 5 l Her fant vi vannmengden ved å regne ut hvor mye 1 del er. Vi gikk veien om 1. Vi kan også finne vannmengden ved hjelp av en likning. La x være vannmengden i liter som vi skal ha til 1,5 l saft. Til 10 deler vann skal vi ha 3 deler saft. Vi samler opplysningene i en tabell der vi setter den ukjente størrelsen øverst, se tabellen øverst på neste side Sinus 1P > Forhold og prosent

20 Tabellen blir slik: Liter Deler Vann x 10 Saft 1,5 3 Forholdet mellom vann og saft skal være det samme. Det gir denne likningen: x 1,5 = 10 3 Legg merke til hvordan vi gjør tabellen om til en likning. Vi løser likningen ved å multiplisere med 1,5 på begge sidene av likhetstegnet. x 1,5 = 10 3 x = ,5 x = 5 Vi må bruke 5 l vann. 1,5 På en skole er forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter 4 : 3. Det er 132 gutter på skolen. Hvor mange jenter er det? La x være tallet på jenter. Vi kan da lage denne tabellen: Elever Deler Jenter x 4 Gutter Forholdet skal være det samme. Det gir denne likningen, som vi løser. x 132 = 4 3 x 132 = 4 3 x = x = Det er 176 jenter på skolen. 65

21 ? Oppgave 2.72 På en skole er forholdet mellom tallet på jenter og tallet på gutter 4 : 3. Hvor mange jenter er det når tallet på gutter er 96? Oppgave 2.73 På ei saftflaske står det at vi skal bruke 0,6 liter saft til 3,0 liter vann. a) Finn forholdet mellom saft og vann. b) Hvor mye saft må vi da bruke til 7,5 l vann? Oppgave 2.74 På ei saftflaske står det at vi skal bruke 0,8 l saft til 2,8 l vann. Hvor mye vann må vi bruke til 1,5 l saft? Oppgave 2.75 I en kiosk selger de to typer cola: C-cola og P-cola. De selger noe mer C-cola enn P-cola. Forholdet er 7 : 5. Hvor mange flasker P-cola selger de når de selger 504 flasker C-cola? 2.8 Proporsjonale størrelser Grete er på butikken og skal kjøpe epler. Hvis hun kjøper 1 kg, betaler hun 15 kr. For 2 kg betaler hun 30 kr, for 3 kg 45 kr, for 4 kg 60 kr og for 6 kg 90 kr. Hvis hun dobler mengden med epler, må hun betale dobbelt så mye. Hvis hun tredobler mengden med epler, må hun betale tre ganger så mye. Vi sier at prisen og eplemengden er proporsjonale størrelser. a) Nina sitter i kassen i en matvarebutikk. Lønna er 110 kr per time. Er lønna og timetallet proporsjonale størrelser? b) Er vekten og høyden til et barn proporsjonale størrelser? a) Lønna og timetallet er proporsjonale størrelser. De øker i takt. Hvis Nina for eksempel arbeider dobbelt så lenge, får hun dobbelt så mye penger. b) Vekt og høyde er ikke proporsjonale størrelser. Høyden trenger ikke øke når vekten øker Sinus 1P > Forhold og prosent

22 ? Oppgave 2.80 Vi fyller vann i en tank ved hjelp av en slange. Er vannmengden og tida proporsjonale størrelser? Oppgave 2.81 Du sykler med jevn fart. Er avstanden du sykler og tida du bruker, proporsjonale størrelser? Oppgave 2.82 Er alderen til et barn og vekten av barnet proporsjonale størrelser? Tabellen nedenfor viser mengden epler M i kilogram og den samsvarende prisen P i kroner. M (kg) P (kr) Vi regner ut forholdet mellom noen samsvarende verdier av P og M : P M = 15 1 = 15 P M = 30 2 = 15 P M = 45 3 = 15 Så lager vi en ny rad i tabellen og regner ut alle forholdene: M (kg) P (kr) P M (kr/kg) Forholdet mellom prisen P og mengden M er det samme for alle samsvarende verdier av P og M. Vi ser at P = 15 kr/kg M Tallet 15 kaller vi proporsjonalitetskonstanten. I dette tilfellet er proporsjonalitetskonstanten det samme som kiloprisen for eplene. To størrelser x og y er proporsjonale hvis det er et fast forhold a mellom alle samsvarende verdier av y og x. y x = a Det faste forholdet a er proporsjonalitetskonstanten. 67

23 Vi fyller vann i en tank ved hjelp av en slange. La v være vannmengden i liter etter t minutter. Da er v og t proporsjonale størrelser. Etter 15 minutter er det 480 liter vann på tanken. a) Finn proporsjonalitetskonstanten. Hva forteller proporsjonalitetskonstanten her? b) Hvor mye vann er det på tanken etter 25 minutter? a) Proporsjonalitetskonstanten a er forholdet mellom vannmengden v og tida t. a = v 480 l t = = 32 l/min 15 min Proporsjonalitetskonstanten er 32 l/min. Her forteller proporsjonalitetskonstanten hvor mange liter vann som renner gjennom slangen per minutt. b) Det renner 32 liter vann per minutt. Vannmengden i løpet av 25 minutter er da 32 liter 25 = 800 liter Det er 800 liter vann på tanken etter 25 minutter. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom innkjøpsprisen I og salgsprisen P for noen av varene i en butikk. I (kr) P (kr) a) Vis at innkjøpsprisen og salgsprisen er proporsjonale størrelser, og finn proporsjonalitetskonstanten. b) Finn salgsprisen for en vare som koster 700 kr i innkjøp Sinus 1P > Forhold og prosent

24 a) Vi utvider tabellen og regner ut forholdet mellom P og I. I (kr) P (kr) P I 1,8 1,8 1,8 1,8 1,8 Alle forholdene er like, og størrelsene er derfor proporsjonale. Innkjøpsprisen og salgsprisen er proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 1,8. b) Forholdet mellom salgsprisen P og innkjøpsprisen på 700 kr er lik proporsjonalitetskonstanten. Det gir denne likningen: P = 1,8 700 kr 700 kr P = 1,8 700 kr P = 1260 kr Salgsprisen er 1260 kr.? Oppgave 2.83 Martin kjører scooter og holder helt jevn fart. Tida t og strekningen s han kjører, er da proporsjonale størrelser. På 5 minutter kjører han 3 km. a) Finn proporsjonalitetskonstanten. Hva forteller den? b) Hvor langt kjører Martin på 12 minutter? Oppgave 2.84 I en fruktdisk ligger det noen plastposer med appelsiner. Tabellen nedenfor viser vekten x i kilogram og den samsvarende prisen P i kroner: Vekt x (kg) 1,2 2,4 1,6 1,8 1,4 Pris P (kr) 10,20 20,40 13,60 15,30 11,90 a) Undersøk om x og P er proporsjonale størrelser, og finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. Hva forteller proporsjonalitetskonstanten? b) Hvor mye koster en pose med 1,5 kg appelsiner? 69

25 ? Oppgave 2.85 Mia arbeider deltid, og timetallet varierer fra dag til dag. Tabellen viser timetallet T og lønna L per dag i ei uke. Dag Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Timetall T Lønn L (kr) a) Undersøk om T og L er proporsjonale størrelser, og finn eventuelt proporsjonalitets konstanten. Hva forteller proporsjonalitetskonstanten? b) Finn lønna når Mia en dag arbeider 5,5 timer. Oppgave 2.86 Tabellen viser tida t i sekunder fra du ser et lyn til du hører det, og avstanden x til lynet målt i meter for noen verdier av x. Tid t (s) Avstand x (m) a) Undersøk om t og x er proporsjonale størrelser, og finn eventuelt proporsjonalitets konstanten. b) En dag det er tordenvær, går det 6,5 s fra Maria ser lynet til hun hører tordenskrallet. Hvor langt unna lynet står Maria? 2.9 Omvendt proporsjonale størrelser Bestemor har mange barnebarn. En sommer ønsker hun at noen av barnebarna skal slå plenen for henne. Hun betaler til sammen 3200 kr og deler beløpet likt på de barnebarna som hjelper henne Hvis det kommer to barnebarn som hjelper henne, blir det 3200 kr = 1600 kr 2 på hver. Hvis det er fire barnebarn, blir beløpet 3200 kr = 800 kr 4 Hvis åtte barnebarn er med, blir det 3200 kr = 400 kr 8 Sinus 1P > Forhold og prosent

26 på hver. Vi ser at hvis vi dobler antallet barnebarn, blir beløpet på hver halvert. Vi sier da at antallet barnebarn og beløpet som hver får, er omvendt proporsjonale størrelser. Vi legger merke til at tallet på barnebarn beløpet til hver = 3200 kr. Tallet 3200 kr kaller vi proporsjonalitetskonstanten. To størrelser, x og y, er omvendt proporsjonale hvis produktet av dem er et fast tall a. x y = a Tallet a kaller vi proporsjonalitetskonstanten. Hvis vi dobler den ene størrelsen, blir den andre halvert. Klasse 1A skal på klassetur og leier en buss for 3000 kr. Leia deles likt på de elevene som er med. Finn ut om prisen per elev er omvendt proporsjonal med tallet på elever. Finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. Ettersom elevene skal betale 3000 kr til sammen, må prisen per elev antallet elever = 3000 kr Produktet av de to størrelsene er dermed et fast tall (3000 kr). Prisen per elev og antallet elever er omvendt proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 3000 kr.? Oppgave 2.90 Anne skal kjøpe frukt for 200 kr til klassen. Forklar hvorfor mengden med frukt er omvendt proporsjonal med kiloprisen på den frukten hun velger. Finn proporsjonalitetskonstanten. Oppgave 2.91 Klassen til Anne skal servere på en fest. De får til sammen 5000 kr for det. Forklar at tallet x på elever og lønna L til hver elev er omvendt proporsjonale størrelser. Finn proporsjonalitetskonstanten. 71

27 Noen ganger har vi en tabell som viser samsvarende verdier av to størrelser x og y. Hvis vi skal undersøke om størrelsene er omvendt proporsjonale, multipliserer vi de sammenhørende verdiene og undersøker om produktet er det samme. Thomas skal kjøre fra Trondheim til Dombås. I denne tabellen finner vi en sammenheng mellom farten v i kilometer per time og tida t i timer: v (km/h) t (h) 5 4 2,86 2,5 a) Er v og t omvendt proporsjonale størrelser? Finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. b) Hvor langt er det fra Trondheim til Dombås? c) Hvor lang tid bruker Thomas hvis farten er 75 km/h? a) Vi utvider tabellen og regner ut v t. v (km/h) t (h) 5 4 2,86 2,5 v t 40 5 = = ,86 = ,5 = 200 Produktet er det samme for hver kolonne. Farten v og tida t er omvendt proporsjonale størrelser. Proporsjonalitetskonstanten er 200 (km). b) Ettersom v t er lik strekningen han kjører, er her strekningen det samme som proporsjonalitetskonstanten. Altså er avstanden 200 km. Avstanden er 200 km. c) Vi vet nå at farten multiplisert med tida er proporsjonalitetskonstanten, som er 200. Det gir likningen v t = t = 200 t = = 2,67 Thomas bruker 2,67 timer (2 h 40 min) Sinus 1P > Forhold og prosent

28 ? Oppgave 2.92 Bestemor skal skrape og male det lange hagegjerdet sitt. Noen av barnebarna vil gjerne gjøre det for henne. Tabellen viser timetallet y for hvert barnebarn hvis det er x barnebarn som deler på arbeidet. Barnebarn x Timer y a) Undersøk om tallet på barnebarn x og timetallet y er omvendt proporsjonale størrelser. b) Hvor mange timer bruker hver av dem hvis det er seks barnebarn som arbeider? Oppgave 2.93 Tabellen viser en sammenheng mellom kiloprisen P på bananer og antallet kilogram x som en butikk selger per dag. Pris P (kr) Vekt x (kg) a) Undersøk om x og P er omvendt proporsjonale størrelser, og finn eventuelt proporsjonalitetskonstanten. b) Hvor mange kilogram blir det solgt per dag hvis prisen er 9 kr per kg? 73

29 SAMMENDRAG Brøkdelen av et tall Brøkdelen av et tall finner vi ved å multiplisere brøken med tallet. 3 4 av 60 kr = 3 60 kr = 45 kr 4 Prosentfaktor Prosentfaktoren til p % er p 100. Prosentfaktoren til 4 % er = 0,04. Å finne prosenten når vi kjenner prosentfaktoren prosenten = prosentfaktoren 100 % Hvis prosentfaktoren er 0,04, er prosenten 0, % = 4 %. Å finne delen av tallet når vi kjenner hele tallet og prosenten delen av et tall = prosentfaktoren hele tallet 4 % av 200 kr = 0, kr = 8 kr Å finne prosenten når vi kjenner delen av tallet og hele tallet delen av tallet prosentfaktoren = hele tallet Hvis vi skal finne hvor mange prosent 64 kr er av 1600 kr, regner vi slik: 64 prosentfaktoren = 1600 = 0,04 Prosenten er 0, % = 4 %. Å finne hele tallet når vi kjenner delen og prosenten delen av tallet hele tallet = prosentfaktoren Hvis 240 kr er 4 % av et tall, er tallet 240 kr = 6000 kr 0,04 Vekstfaktoren ved prosentvis økning vekstfaktoren = 1 + prosentfaktoren Vekstfaktoren ved 4 % økning er 1 + 0,04 = 1, Sinus 1P > Forhold og prosent

30 prosentfaktoren = vekstfaktoren 1 Hvis vekstfaktoren er 1,04, er prosent faktoren 1,04 1 = 0,04. Det svarer til 4 % økning. Vekstfaktoren ved prosentvis nedgang vekstfaktoren = 1 prosentfaktoren Vekstfaktoren ved 4 % nedgang er 1 0,04 = 0,96. prosentfaktoren = 1 vekstfaktoren Hvis vekstfaktoren er 0,96, er prosentfaktoren 1 0,96 = 0,04. Det svarer til 4 % nedgang. Prosentvis endring Ved prosentvis økning eller nedgang er den nye verdien = vekst faktoren den gamle verdien Hvis vi skal legge 4 % til 300 kr, blir det 1, kr = 312 kr. Prosentpoeng Når vi regner ut differansen mellom to prosenttall, finner vi endringen i prosent poeng. Når fraværet øker fra 5 % til 7 %, er økningen 2 prosent poeng. Forhold Forholdet mellom to tall finner vi ved å lage en brøk med det første tallet i telleren og det andre i nevneren. Forholdet mellom 8 og 12 er 8 12 = 2 3 Forholdet er 2 : 3. Proporsjonale størrelser To størrelser x og y er proporsjonale hvis y x er et fast tall a for alle samsvarende verdier av x og y. Tallet a er proporsjonalitetskonstanten. Hvis vi dobler den ene størrelsen, dobler vi også den andre. Omvendt proporsjonale størrelser To størrelser x og y er omvendt proporsjonale dersom x y er et fast tall a for alle samsvarende verdier av x og y. Tallet a kaller vi pro porsjonali tets konstanten. Hvis vi dobler den ene størrelsen, blir den andre halvert. 75