Tallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til 4 %. Prosentfaktoren til 7 % er 0,07, og prosentfaktoren til 12,5 % er 0,125.

Transkript

1 Prosentregning Når vi skal regne ut 4 % av kr, kan vi regne slik: kr 4 = 400 kr 100 Men det er det samme som å regne slik: kr 0,04 = 400 kr Tallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til 4 %. Prosentfaktoren til 7 % er 0,07, og prosentfaktoren til 12,5 % er 0,125. Når kr skal øke med 4 %, blir det kr kr 0,04 = kr (1 + 0,04) = kr 1,04 = kr Når vi skal legge 4 % til et tall, ganger vi med 1,04. Tallet 1,04 er vekstfaktoren til 4 % økning. Hvis vi skal trekke 4 % fra kr, blir det kr kr 0,04 = kr (1 0,04) = kr 0,96 = 9600 kr Vekstfaktoren ved 4 % nedgang er 0,96. Vi finner vekstfaktorene slik: Vekstfaktoren til p % økning er 1 + prosentfaktoren til p % Vekstfaktoren til p % nedgang, er Eksempel 1 prosentfaktoren til p % a) Knut har et hus som er verdt kr i dag. Han regner med at verdien øker med 6 % det neste året. Bruk vekstfaktoren og finn den nye verdien. b) Bilen til Knut er verdt kr. Han regner med at verdien synker med 12,5 % det neste året. Bruk vekstfaktoren og finn den nye verdien.

2 Løsning: a) Vekstfaktoren til 6 % økning er 1 + 0,06 = 1,06 Den nye verdien er da kr 1,06 = kr b) Vekstfaktoren til 12,5 % nedgang er 1 0,125 = 0,875 Verdien av bilen etter et år er da kr 0,875 = kr Oppgave 1 Knut har kr i banken. Han får 4 % rente per år. a) Hvor mye har han i banken etter 1 år? b) Hvor mye har han i banken etter 2 år? Oppgave 2 Knut har en båt som er verdt kr. Han regner med at verdien synker med 7,5 % per år. a) Finn verdien etter 1 år. b) Finn verdien etter 2 år. c) Hva blir verdien etter 2 år hvis verdien derimot synker med 10 % det første året og 5 % det andre året? Vi setter 8000 kr i banken til 4 % rente per år. Vi vil finne ut hvor mye vi har i banken etter 3 år og etter 10 år. Vekstfaktoren til 4 % økning er = 1 + 0,04 = 1,04 Etter ett år har 8000 kr vokst til 8000 kr 1,04 = 8320 kr

3 Det andre året skal vi ha rente av 8320 kr. Etter to år har vi derfor 8320 kr 1,04 = 8652,80 kr Dette kan vi regne ut på en annen måte: (8000 kr 1,04) 1,04 = 8000 kr 1,04 2 = 8652,80 kr Etter tre år har vi (8000 kr 1,04 2 ) 1,04 = 8000 kr 1,04 3 = 8998,91 kr For hvert år som går, skal vi multiplisere med vekstfaktoren 1,04. Etter 10 år har vi 8000 kr 1,04 10 = ,95 kr Etter n år vil kapitalen vår ha økt til 8000 kr 1,08 n Tilsvarende gjelder hver gang vi har en fast prosentvis økning eller nedgang i flere perioder. Når en størrelse vokser eller minker med en fast prosent i n perioder, finner vi resultatet ved å regne ut startverdien (vekstfaktoren) n Hvis vi kaller startverdien for B 0 og vekstfaktoren for k, er verdien B etter n perioder gitt ved B = B 0 k n Eksempel I 2013 kjøpte Anne en bil. Det var en 2011-modell som hun betalte kr for. Hun regnet med at verdien av bilen kom til å gå ned med 15 % per år de neste årene. a) Finn verdien av bilen i 2017 og i b) Hva kostet bilen som ny i 2011 når vi forutsetter at prisutviklingen har vært den samme hele tida, også før 2013? Løsning: a) Siden prisen går ned med 15 % per år, blir prosentfaktoren 0,15. Vekstfaktoren blir 1 0,15 = 0,85 I 2017 er verdien kr 0,85 4 = kr

4 I 2019 er verdien kr 0,85 6 = kr b) La x være prisen i Da må x x = x = 2 0,85 = kr kr 2 0, kr I 2011 var prisen kr. I eksempelet ovenfor kunne vi også ha regnet ut prisen i 2011 på denne måten: x = kr 0,85 2 = kr Når vi regner bakover i tid, bruker vi negativ eksponent. Hvis en størrelse B 0 øker eller minker med en fast prosent per periode, er den etter x perioder gitt ved B(x) = B 0 k x der k er vekstfaktoren. Hvis x er et negativt tall, er B verdien for x perioder siden. Formelen ovenfor gjelder ofte også når x ikke er hele tall. Når en størrelse vokser på den måten, har vi eksponentiell vekst. Størrelsen vokser eksponentielt. Den prosentvise veksten er da den samme i alle perioder som er like lange. Eksempel Folketallet i en by øker i gjennomsnitt med 2 % per år i årene etter januar 2013 var folketallet a) Finn folketallet 1. januar b) Finn folketallet 1. januar Løsning: a) Vekstfaktoren er her 1, januar 2016 er 3 år framover i tid fra Folketallet er da ,02 3 = januar 2013 er folketallet ca b) 1. januar 2008 er 5 år bakover i tid fra Folketallet var ,02 5 = januar 2008 var folketallet ca

5 Oppgave 3 En student sparer 5000 kr av studielånet sitt. Hun setter pengene i en bank som gir henne 4 % rente per år. Hvor mye har studenten i banken etter a) 3 år b) 5 år c) 7 år Oppgave 4 En familie kjøpte ny bil i 2007 for kr. Verdien av bilen går ned med 13 % per år. a) Hva kan familien regne med å få solgt bilen for i 2016? b) Familien kjøpte en tilsvarende ny bil i Utsalgsprisen hadde gått opp med 4 % per år fra Hvor mye må familien betale i mellomlegg for den nye modellen? Rund av svaret til nærmeste 100 kr. Oppgave 5 I en kommune sank innbyggertallet med 1,3 % per år fra 2007 til I 2007 var innbyggertallet a) Hva var innbyggertallet i 2013? Tenk deg at innbyggertallet fortsatte å synke etter 2013 på den samme måten. b) Finn et uttrykk for antallet innbyggere t år etter c) Når vil innbyggertallet komme ned i ifølge denne modellen?

6 FASIT Oppgave 1 a) kr b) kr Oppgave 2 a) kr b) kr c) kr Oppgave 3 a) 5624,32 kr b) 6083,26 kr c) 6579,66 kr Oppgave 4 a) Ca kr b) kr Oppgave 5 a) b) f( t ) = ,987 t c) I løpet av 2019