Opsjoner. R. Øystein Strøm. 14. april 2004

Transkript

1 Opsjoner R. Øystein Strøm 14. april 2004 Slide 1 1. Innledning 2. Definisjoner 3. Salgs-kjøps-pariteten 4. En en-periodisk binomisk opsjonsformel 5. De generelle modellene 1 Innledning Opsjoner er å finne overalt: Slide 2 En opsjon er som en billett til kino. Er det fint vær vil du kanskje heller finne på noe annet. Billetten kastes og er verdiløs, hvis du ikke får solgt den før forestillingen starter. Stein Erik Hagen har en opsjon til å selge aksjene sine i Ahold 26. april. Direktører blir belønnet med opsjoner knyttet til aksjekursen på selskapets aksjer for å stimulere til økt verdiskaping. Opsjoner finnes på alt i finansmarkeder, på aksjer, varer (for eksempel vin), hendelser, slik som jordskjelv i Japan.

2 2 Definisjoner Opsjonen avleder sin verdi fra den underliggende eiendel. Opsjonen, for eksempel en aksjeopsjon Slide 3 avleder sin verdi fra Den underliggende eiendel, for eksempel en aksje Figur 1: Opsjonen som et avledet instrument, et derivat Opsjonen er skrevet på en bestemt eiendel som er underliggende. Det er to slag opsjoner, en kjøpsopsjon og en salgsopsjon. DEFINISJON 1 En kjøpsopsjon er en rett, men ikke en plikt, til å kjøpe et bestemt antall aksjer på et bestemt tidspunkt eller før, til en på forhånd avtalt pris (utøvelsesprisen). Slide 4 DEFINISJON 2 En salgsopsjon er en rett, men ikke en plikt, til å selge et bestemt antall aksjer på et bestemt tidspunkt eller før, til en på forhånd avtalt pris (utøvelsesprisen). Hagen har en salgsopsjon! Opsjonen er slik at den kan brukes, hvis eieren ser seg tjent med det. Hvis ikke, kan eieren la være å bruke den.

3 2.1 Et eksempel Slide 5 Når vil opsjonen brukes? EKSEMPEL 1 Du vurderer å kjøpe en kjøpsopsjon på en aksje. Utøvelseskursen er 100. Premien er 5. Opsjonen kan bare utøves på en bestemt dag. Anta kursen kan være fra 80 til 130 på utøvelsestidspunktet. Når vil opsjonen benyttes? Tabell 1: Verdien av opsjonen i eksempel 1. Utøvelseskurs = 100 Slide 6 Kurs Premie Opsjon Er kursen over 100, vil opsjonen benyttes. Er kursen under 100, er det billigere å kjøpe aksjen på børsen.

4 Vi trenger noen definisjoner: Slide 7 K T S T I A t B t r f Kjøpsopsjon på forfallstidspunktet T Salgsopsjon ved T Innløsningskurs (utøvelseskurs) Aksje på tidspunkt t Risikofri obligasjon Risikofri rente Vi skal nå se på de fire grunnleggende kontantstrømmer for opsjoner. K T Slide 8 Premie I A T Ved forfall: Figur 2: Kontantstrøm for en kjøpt kjøpsopsjon K T = max [0, (A T I)] (1)

5 K T Slide 9 Premie I A T Figur 3: Kontantstrøm for en solgt kjøpsopsjon Slide 10 K T Premie I A T Figur 4: Kontantstrøm for en kjøpt salgsopsjon Ved forfall: K T = max [0, (I A T )] (2)

6 K T Slide 11 Premie I A T Figur 5: Kontantstrøm for en solgt salgsopsjon 3 Sikring og spekulasjon De ulike typer opsjoner kan kombineres med hverandre eller med eie eller salg av aksjer. Slike kombinasjoner kalles porteføljer. Vi ser på et par spekulasjonsstrategier og et par sikringsstrategier. Slide Spekulasjon EKSEMPEL 2 Anta at du venter at prisen på aksjen vil holde seg stabil i tiden fremover. Hvordan kan en spekulant tjene på dette? Svar: Sett sammen en portefølje av en solgt kjøpsopsjon og en solgt salgsopsjon på samme innløsningskurs.

7 K T Slide 13 KJØP SALG I A T Portefølje Figur 6: Kontantstrøm for en solgt salgsopsjon og en solgt kjøpsopsjon Slide 14 EKSEMPEL 3 Anta i stedet at du venter at aksjen vil være svært urolig i fremtiden, men du vet ikke om den vil gå opp eller ned. Hvilken spekulasjonsstrategi ville du anbefale? Svar: Kjøp både en salgsopsjon og en kjøpsopsjon på samme utøvelseskurs.

8 K T Slide 15 Portefølje KJØP I SALG A T Figur 7: Kontantstrøm for en kjøpt salgsopsjon og en kjøpt kjøpsopsjon 3.2 Sikring Slide 16 EKSEMPEL 4 Anta nå at du eier en aksje. Går kursen på aksjen i været, tjener du penger. Går kursen ned i kjelleren, taper du. Du ønsker å sikre deg mot kjellertilværelsen. Hva kan gjøres? Svar: Kjøp en salgsopsjon med samme innløsningskurs som dagens kurs.

9 K T Portefølje Slide 17 I SALG A T Aksje Figur 8: Kontantstrøm for en kjøpt salgsopsjon og eie av aksjen 4 Salg-kjøp-pariteten Slide 18 PROPOSISJON 1 Forskellen mellom prisen på en kjøpsopsjon og en salgsopsjon på samme aksje og med samme innløsningskurs og tid til forfall, er lik prisen på den underliggende aksje minus nåverdien av innløsningskursen. 1 K 0 S 0 = A 0 (1 + r f ) T I (3) Denne sammenhengen gjelder for en europeisk opsjon som ikke betaler utbytte før forfall. Alternativt kunne vi bruke en obligasjon med pålydende lik innløsningskursen. Vi skal bevise proposisjon 1. For enkelthets skyld droppes fotskrift.

10 4.1 K S-pariteten: Del A Anta at pariteten ikke holder, dvs. i første omgang: Slide 19 Hva om K S > A 1 (1+r f ) T I Da er K S A + 1 (1+r f ) T I > 0 Hvis dette er tilfellet, kan man altså tjene penger på å kjøpe aksjen A, selge den overvurderte kjøpsopsjonen +K og kjøpe den undervurderte salgsopsjonen S, og ved å låne +I (1 + r f ) T. Dette er et eksempel på en risikofri arbitrasje. Tabell 2: Salgs-kjøpspariteten hvis aksjens pris er høyere enn innløsningskurs Ved forfall Slide 20 I dag A T < I A T > I Selg KJØP K 0 (A T I) Kjøp SALG S + (I A T ) 0 Kjøp aksje A +A T +A T Lån + 1 (1+r f ) T I I I > 0 0 0

11 4.2 K S-pariteten: Del B Slide 21 Hva om K S < A 1 (1+r f ) T I Da er K S A + 1 (1+r f ) T I < 0 eller K + S + A 1 (1+r f ) T I > 0 Tabell 3: Salgs-kjøpspariteten hvis aksjens pris er lavere enn innløsningskurs Ved forfall Slide 22 I dag A T < I A T > I Kjøp KJØP K 0 + (A T I) Selg SALG +S (I A T ) 0 Selg aksje +A A T A T Lån ut - 1 (1+r f ) T I +I +I > 0 0 0

12 4.2.1 Et enkelt eksempel Slide 23 EKSEMPEL 5 Anta at en kjøpsopsjon på selskapet D med forfall om 39 dager til en innløsningskurs på 45,000 er til salgs for 4,875. Aksjekursen på D s aksjer er for tiden på 47,000. Salgsopsjonen på samme innløsningskurs og samme forfallstidspunkt selges for 2,875. Risikofri rente er på årsbasis 6%. Stemmer disse opsjonsprisene med salgs-kjøps-pariteten? Slide 24 Vi vil altså vente, generelt, at K S = A Her har vi at 1 (1 + r f ) T I T = 39 = 0, Venstre side gir: K S = 4, 875 2, 875 = 2, 000 Høyre side er: 1 A (1 + r f ) T I = = 2, 287 1, 060,10685 Salgs-kjøpspariteten er ikke oppfylt!

13 Utnytt mangel på paritet til å tjene penger via arbitrasje: Tabell 4: Beregning av arbitrasjefortjeneste pr. opsjon i eksempel 5 Slide 25 Handling Symbol Verdi Kjøp KJØP K -4,875 Selg SALG +S +2,875 Selg aksje +A +47,000 Lån ut I(1 + r) T -44,713 Fortjeneste 0,287 5 Prising av opsjoner Prisen på en kjøpsopsjon avhenger av følgende forhold: Aksjens pris Slide 26 Innløsningskurs Rentenivået Volatilitet, eller aksjens flyktighet Tid til forfall Vi kan illustrere disse forholdene i en enkel binomisk modell. I denne modellen forutsettes det at prisen på aksjen enten øker eller avtar, og med samme størrelse.

14 Slide Figur 9: Effekten av høyere aksjepris, innløsningskurs = 100. Opsjonen er mer verdt når prisen på aksjen er ved 110 enn ved 100. Mulighet for å nå Slide Figur 10: Effekten av høyere innløsningskurs, innløsningskurs = 110. Opsjonen er mindre verdt når innløsningskursen øker.

15 Slide Figur 11: Effekten av lengre tid til forfall. Innløsningskurs = 100. Lengre tid til forfall betyr flere sjanser til å nå høye verdier. Opsjonens tidsverdi Slide Figur 12: Effekten av høyere volatilitet, innløsningskurs = 100. Høyere volatilitet innebærer større sannsynlighet for å oppnå høy pris på aksjen.

16 5.1 En en-periodisk binomisk opsjonsmodell En binomisk opsjonsmodell forutsetter at aksjekursen går enten opp med en prosent u eller ned med en prosent d. Slide 31 Alternativet er en opsjonsmodell i kontinuerlig tid, hvor aksjekursen er fordelt normalt (eller log-normalt). Fordelene med en binomisk modell: Prinsippene for opsjonsprising kan vises med enkel matematikk. Flere spesifikasjoner er mulige, for eksempel at endringene fra en periode til neste er ulike. Den binomiske modellen har den kontinuerlige som grense. 5.2 Forutsetninger Slide Markedene er perfekte og komplette, dvs. det er ingen arbitrasjemuligheter og alle eiendeler prises. Videre: Ingen transaksjonskostnader, ingen krav til delinnbetaling og ingen skatter. Andeler av eiendeler kan kjøpes. 2. Hver periodes rente r og hver periodes positive endring u og negative endring d er kjent.

17 5.3 Fremgangsmåte 1. Definer aksjens prisprosess. Gitt dagens pris, aksjen kan ha en av to verdier neste periode, enten A(1 + u) eller A(1 + d). Slide Bestem verdien av kjøpsopsjonen ved forfall. Det vil bare være to mulig priser på kjøpsopsjonen ved forfall. 3. Sett verdien av en ukjent likeverdig portefølje av aksjen og lån lik med kontantstrømmen av kjøpsopsjonen. Dette gir to ligninger med to ukjente. 4. Benytt loven om en pris: hvis to eiendeler har samme kontantstrømmer på et fremtidig tidspunkt, må de to eiendelene være like mye verdt. Siden porteføljen og kjøpsopsjonen har samme kontantstrømmer, må de være like mye verdt. 5.4 Utledning av modellen Vi har to perioder, 0 og 1. Slide 34 A 0 A 1,u = (1 + u)a 0 A 1,d = (1 + d)a 0 Figur 13: Aksjens prisprosess: To sluttverdier er mulige.

18 K 1,u = max [0, A 1,u I] = max [0, (1 + u)a 0 I] Slide 35 K 0 K 1,d = max [0, A 1,d I] = max [0, (1 + d)a 0 I] Figur 14: Verdien av en kjøpsopsjon: To sluttverdier er mulige. Nå kommer det tredje steget. Kjøp en andel av aksjen, kall andelen h. Invester samtidig et beløp B i en obligasjon med risikofri rente (eller lån ut til risikofri rente). Denne ukjente porteføljen vil ha samme kontantstrøm som kjøpsopsjonen. Slide 36 h vil alltid være enten positiv eller null. B vil alltid være enten negativ eller null. Den risikofrie renten er slik at d < r < u for å fjerne muligheter for arbitrasje.

19 ha 1,u + (1 + r f ) B = h(1 + u)a 0 + (1 + r f ) B Slide 37 ha 0 + B ha 1,d + (1 + r f ) B = h(1 + d)a 0 + (1 + r f ) B Figur 15: Verdien av en porteføljen: To sluttverdier er mulige. Fjerde steget: Sett verdien av kjøpsopsjonen lik verdien av portefølgen i de to tilstandene: Slide 38 h(1 + u)a 0 + (1 + r f )B = K 1,u h(1 + d)a 0 + (1 + r f )B = K 1,d dvs. To ligninger og to ukjente, h og B.

20 Løsning for de to ukjente gir: h = K 1,u K 1,d (u d)a 0 = K 1,u K 1,d A 1,u A 1,d h 0 (4) Slide 39 B = (1 + u)k 1,d (1 + d)k 1,u (u d)(1 + r f ) B 0 (5) Verdien av h forteller hvor stor andel av aksjen man må anskaffe for å etterligne en kjøpsopsjon, dvs. 0, 0 h 1, 0. h kalles sikringsforholdet. Verdien av B forteller hvor mye som må lånes for å finansiere investeringen i aksjen. Når kjøpsopsjonen og obligasjons-aksje-porteføljen er like mye verdt i år 1, må de være like mye verdt også i år 0: K 0 = ha 0 + B (6) Slide 40 Flytt uttrykkene for h og B fra ligning (4) og ligning (5) inn i siste ligning (6). Det gir: K 0 = 1 [ rf d 1 + r f u d K 1,u + u r ] f u d K 1,d (7) I hakeparentesen finner vi de to sluttverdiene til kjøpsopsjonen. Dagens verdi K 0 avhenger altså av disse to mulige fremtidige verdiene. Betydningen av de to sluttverdiene er veid med to brøker, hvor endringer og risikofri rente inngår. Brøkene er en slags sannsynligheter. Det hele er så diskontert med risikofri rente.

21 Slide 41 Alternativt kan uttrykket skrives: K 0 = r f [qk 1,u + (1 q)k 1,d ] (8) der q = r f d u d og 1 q = u r f u d q kalles sikringssannsynligheten. q omdanner de to mulige utfallene for opsjonens verdi i hakeparentesen i ligning (8) til en sikkerhetsekvivalent kontantstrøm. En sikker kontantstrøm skal videre diskonteres med risikofri rente. 5.5 Lærdommer fra modellen Kjøpsopsjonens verdi er uavhengig av investorenes risikoholdning. Kjøpsopsjonens verdi er uavhengig av sannsynligheten for at aksjeprisen stiger eller faller. Slide 42 Siden hverken sannsynligheter for prisøkning eller risikoholdning spiller noen rolle, har heller ikke forventninger noen rolle i prissettingen. Basert på (8) kan kjøpsopsjonens verdi sees på som den forventede verdien av kjøpsopsjonen ved forfall, diskontert med risikofri rente og sannsynligheten for kursøkning er gitt av q. Kjøpsopsjonens verdi avhenger bare av u, d, r f, I og A 0.

22 6 De generelle modellene For referansens skyld, her er den binomiske modellen for n perioder og Black-Scholes-formelen for kontinuerlig tid. Slide Den generelle binomiske formelen K 0 = 1 (1 + r f ) n n n j j=0 q j (1 q) n j max [ 0, (1 + u) j (1 + d) n j A T n I ] (9) der j er tallet på økninger. Slide 44 Ignorer alle utfall som gir kjøpsopsjonens verdi ved T lik null. Dermed: 1 n K 0 = n (1 + r f ) n q j (1 q) n j j j=0 [ (1 + u) j (1 + d) n j A T n I ] (10)

23 6.2 Black-Scholes-formelen Her brukes kontinuerlig tid, dvs.: K 0 = A 0 N (d 1 ) I e r f T N (d 2 ) (11) Slide 45 der d 1 = ln ( A 0 I ) + ( rf σ2) T σ T og (12) d 2 = d 1 σ T (13) Tabell 5: Symbolforklaringer til Black-Scholes-modellen Slide 46 σ Standardavvik til aksjen ln(a 0 /I) Den naturlige logaritmen til A 0 /I e r f T N( ) Nåverdi-faktoren når r f beregnes i kontinuerlig tid Arealet av den normaliserte normalfordelingen opp til verdien i parentesen Modellen krever bare beregning av den underliggende eiendels standardavvik. Alle andre størrelser er gitt i markedet. Markedsrisiko inngår ikke, heller ikke risikoholdning.