Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum

Transkript

1 Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum Nivå: 9. klasse Formål: Arbeid med store tall. Bruke matematikk til å beskrive naturfenomen. Program: Regneark Referanse til plan: Tall og algebra Arbeide med potenser med naturlige tall som eksponenter,..., arbeide med tall skrevet på forskjellig form. I opplegget omkring algen Skeletonema costatum skal elevene se nøyere på hvordan planteplankton formerer seg. Oppgavene passer godt inn i et tverrfaglig opplegg matematikk/naturfag. De første oppgavene er ment å sette elevene på sporet av hvordan delingen foregår. Starter vi med én alge, vil vi etter 8 timer ha 2 alger og etter 16 timer 4 alger. Vi får den velkjente utviklingen Noen elever trenger tid på å finne dette mønsteret. De lurer gjerne på om den algen vi hadde til å begynne med, deler seg ei gang til når det er gått 16 timer. Det er nyttig å ta seg god tid med å forstå hvilken prosess som er i gang, og elever som står fast, kan oppfordres til å lage en tegning som viser hvordan formeringen foregår. En tabell vil gjøre det lettere å holde oversikten. Men la elevene selv finne ut av hvordan de vil holde system på tallene. Spørsmålene om hvor mange alger det blir etter 2 og 5 dager kan godt løses ved å utnytte konstantfunksjonen på en lommeregner. Etter 8 dager har vi så mange alger at tallet ikke får plass i lommeregnerens vindu. Ønsker vi å se utviklingen døgn for døgn i en måned, blir regnearket et naturlig verktøy. Vi vil da få 30 formler som skal skrives inn i regnearket. Når antall alger dobles hver 8. time, får vi en 8-dobling hvert døgn. Skal vi følge utviklingen døgn for døgn, kan starten på regnearket kan bli seende slik ut: A. B 1 Dag nr. Antall alger som skjer når ruter blir kopiert. Antall alger står i regnearkets kolonne B, og den ene algen vi starter med - dag 0 - står da i regnearkets rute B2. De 8 algene i B3 er beregnet ut fra B2 ved formelen B2*8. Tilsvarende formler ligger i rutene under: B3*8, B4*8 osv. Selv om det er enkle formler, tar det tid å skrive dem mange ganger. Elevene bør får erfare den besparelsen det er å utnytte kopier-funksjonen - hvis de da ikke allerede kjenner den. Det møysommelige arbeidet med å skrive formler tjener også til å la elevene få en grundigere forståelse av hva Vær oppmerksom på at når det blir mange nok alger, vil antallet bli skrevet på standard form. Etter ti døgn vil vi ha 1,34E+08 alger. Dette tilsvarer 1,34*10 8 alger. Om elevene ikke er fortrolig med denne notasjonen på forhånd, har vi her en fin innfallsvinkel for å innføre notasjonen. Motivasjonen ligger i at kunnskapen er nødvendig for å kunne tolke tallene.

2 Grenseløs vekst? Mange elever vi stille spørsmål ved om veksten kan fortsette i det uendelige. Modellen vi har arbeidet med er selvsagt en så sterk forenkling at den er direkte misvisende for det som skjer etter en viss tid. Veksten vil avta. Opplegget «Grenseløs vekst?» kan være en utfordring for enkelte elever. Det inviterer til å lage en mer sofistikert formel for veksten i en vannmengde som kan romme 1000 alger (en dråpe). Oppgavearket er ikke en detaljert instruks for hvordan elevene kan bygge opp modellen. Teksten leder eleven et stykke på vei slik at hun kommer i gang med å lete etter et tall å dividere med. Se teksten i oppgavearket. Spørsmål vi sikkert dukke opp underveis. Kanskje ei gruppe elever kan diskutere problemene og finne en løsning på dem? Læreren kan selvsagt også komme med innspill når elevene står fast. Vi synes dette er en fruktbar måte å arbeide på, og oppgavearket har derfor fått en utforming som vil kunne lede til diskusjoner. A. B Lager eleven et regneark med formler som vist på figuren, må 1 Deling Antall alger formelen i B3 kopieres på nytt for hver gang den endres. Det er en tungvint måte å arbeide på. Legger vi i stedet inn en 3 1 =B2+B2*(1000-B2)/100 absolutt henvisning f. eks. til rute C2 før vi kopierer formelen i rute B3, unngår vi ny kopiering for hver gang vi velger nytt 4 2 =B3+B3*(1000-B3)/100 tall. Formelen i B3 kunne da se slik ut: =B2+B2(1000-B2)/$C$2 I rute C2 kan vi nå prøve oss fram med tall som gir en passende kurve. Det kan lønne seg å lage et slikt oppsett, for her er en del spennende å oppdage om en prøver seg med ulike verdier i C2. Elevene bør lage et diagram som viser hvordan veksten foregår. Det står det ikke noe om i teksten. Men det står at vi bør ha hele alger. Det kan vi oppnå ved å formatere kolonnen som viser antall alger slik at den bare viser hele tall. I fortsettelsen kan elevene undersøke hvordan formelen måtte være om vi hadde plass til alger. Er det noen sammenheng mellom tallet i parentesen og tallet vi dividerer med? Kommentarer og oppgaveark kan lastes ned som <alger.pdf>

3 Oppgaveark Skeletonema costatum Skeletonema costatum er et planteplankton som likner et langt perlekjede. Hver "perle" er en linseformet celle. Mellom cellene er det tynne tråder med små "knuter" på. Denne algen formerer seg ved todeling. På den ene enden vokser det ut en sidegren som så skilles fra mor-algen. Se tegningen oppe til høyre. Under gode vekstforhold kan Skeletonema costatum dele seg 3 ganger i døgnet. Hvor lang tid går det mellom hver deling? Tenk deg at vi starter med én alge som har gode vekstforhold. Hvor mange alger har vi når det er gått 2 dager? Enn etter 5 dager? Hvor lang tid går det før vi har en million alger? Lag et søylediagram som viser veksten. Hvis du lar én alge svare til 1 mm, kan du da lage søylediagram for veksten i én uke? Ved hjelp av regneark kan vi lage en tabell som viser veksten dag for dag i én måned. Lag først en plan for hvordan regnearket kan bygges, og bruk regnearket for å finne ut hvor mange alger det blir.

4 Oppgaveark Grenseløs vekst? A. B 1 Deling nr. Antall alger 3 1 =(B2+B2) =(B3+B3) =(B4+B4) Algeveksten kan ikke fortsette i det uendelige. Men under gunstige forhold kan det være millioner alger i en liter vann. La oss tenke oss at det kan leve 1000 alger i en dråpe vann. Da kan den ene algen dele seg 9 ganger. I dråpen har vi da 512 alger. De kan ikke dele seg, for da blir det 1024, og det er det ikke plass til i dråpen! Til å begynne med vil veksten følge det mønsteret du ser i regnearket til venstre. Men når vi nærmer oss grensen på 1000, avtar veksten. Formelen i rute B3 kunne godt vært =B2*2. Men bruker vi =B2+B2, kan vi tenke at det første leddet er den algen vi startet med, og det andre leddet den nye algen. Dette siste leddet kaller vi da vekstleddet. Etter hvert som vi får mange alger, må vekstleddet bli mindre og mindre. Kurven vil få en form som vist på figuren til venstre Det kan vi få til ved å multiplisere vekstleddet med en faktor som minker når vi får flere alger. Faktoren (1000-B2) i rute B3, (1000-B3) i rute B4 osv. vil virke slik. Den faktoren vil minke fra 999 når vi trekker fra 1, til 0 når vi trekker fra Da er veksten stoppet opp Formlene i regnearket ville da se slik ut: B 2 =1 3 =B2+B2(1000-B2) 4 =B3+B3(1000-B3) 5 osv. B 2 =1 3 =B2+B2(1000-B2)/100 4 =B3+B3(1000-B3)/100 5 osv. Hva får du om du setter verdien for B2 inn i formelen i rute B3? Hva blir verdien av B4 når du setter resultatet fra B3 inn i formelen i rute B4? Du innser sikkert at denne formelen ikke gir en god beskrivelse av veksten i antall alger. Det betyr at vekstleddet er for stort. Vekstleddet kan minskes ved å dividere det med et tall, f. eks 100. Lag et regneark med disse formlene og se hvordan det virker. Hvis det ikke er godt nok, må du kanskje velge et annet tall å dividere med?

5 Når vi lager en slik matematisk modell, må vi sørge for at den beskriver det vi kan se i naturen best mulig. I dette tilfelle vil det si: Vi skal bare ha "hele" alger. Til å begynne med skal vi ha 1, 2, 4, 8, alger. Veksten skal bli mindre og mindre etter hvert som vi nærmer oss grensen på Antall alger skal øke helt til vi kommer opp i Hvordan måtte formlene være om vi hadde en vannmengde med plass til alger?