Funksjoner, M1 høst 2007
|
|
- Katrine Bråten
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Funksjoner, M1 høst 2007 Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 10. september 2007 Innhold 1 Innføring Entydighet Hvordan funksjoner presenteres Kontinuitet Lineære funksjoner og polynomer Lineære funksjoner Annengradfunksjoner Tredjegradfunksjoner Polynomer Rasjonale funksjoner Omvendt proporsjonalitet Rasjonale funksjoner Asymptoter Eksponentialfunksjoner Fordoblingstid Innføring En dag drar jeg innom Kiwi og kjøper noen brød til 16kr hver. Da er det en sammenheng mellom de følgende størrelsene: antall med brød jeg får kjøpt penger betalt 1
2 Denne sammenheng er lett å beskrive: jeg betaler 16kr antall med brød kjøpt. Slike sammenheng er sentralbegrepet i funksjonslære. Noen sammenheng, i matematikken og i hverdagslivet, er så tett at dersom man kjenner bare én av størrelsene, kan man regne ut den andre, som vi da sier er en funksjon av den første. Nærmere presist: Definisjon: En funksjon er en regel som tar inn noen data (funksjonens såkalte argument) og gir ut noen andre (funksjonens verdier) som er entydig bestemt av argumentene. I eksemplet ovenfor er penger betalt en funksjon av antallet brød kjøpt. Når data vi putter inn kan uttrykkes matematisk, f. eks. med tall eller geometri, så finnes det en haug matematisk verktøy som kan brukes til interessante og nyttige analyser. Vi skal studere tre typer funksjoner: polynom-, rasjonale og eksponentielle funksjoner. Med disse typene kan vi dekke en god del av funksjoner som framtrer i livet og i matematikken. Vi skal se på mange eksempler og gi motivasjon fra hverdagslivet for hvorfor disse funksjonene er definert som de er. I en matematisk kontekst skriver man ofte f for en funksjon, x for et argument og f(x) for verdien av f i x. Vi skriver av og til y = f(x), særlig når vi skal fremstille funksjonen visuelt. Vi tenker på x som en fri variabel, som kan gjennomløpe fritt alle mulige argumentene, og da er y en avhengig variabel, siden y-verdien er bestemmt av x-en. Nesten alle våre funksjoner tar inn tall som argument. Vi kan tenke på en funksjon som en maskin som tar inn et tall, bearbeider det og gir ut et nytt tall: Funksjonsmaskin For eksempel, vi kan lage en regel som tar opp x, ganger det med 2 og legger 3 til resultaten. Da er f(x) = 2x
3 Definisjon: Mengden med mulige argument kalles for funksjonens definisjonsområde, og mengden med verdiene funksjonens verdiområde. Eksempler (i) Definisjonsområdet til f(x) = 2x + 3 er den hele réelle linja, siden vi kan kjøre oppskriften 2x + 3 for ethvert tall x. Verdiområdet er og så den hele réelle linja. (ii) La f være funksjonen som tar inn et réelt tall x og gir ut 4 x 2, dersom dette er et réelt tall. Hvis x [ 2, 2] da er 4 x 2 ikke negativ, så er f(x) definert. For alle x utenfor [ 2, 2] er det ingen réel kvadratrot av 4 x 2. Derfor er definisjonsområdet til f lik [ 2, 2]. Verdiområdet til denne funksjonen er intervallet [0, 2] (iii) Vi definerer en funksjon på en gruppe av tre av mine venner, Ole, Arvid og John, som tar inn et menneske og som gir ut hårfargen til det mennesket. Men siden Arvid har barbert hodet sin for to dager siden, har han foreløpig ikke hår, så er funksjonen bare definert på Ole (sorte hår) og John (lyse hår). Derfor er definisjonsområdet til funksjonen lik {Ole, John} og verdiområdet {sort, lys}. 1.1 Entydighet Et viktig poeng med funksjoner er at argumentene bestemmer verdiene entydig. Til hvert argument må svare én og bare én verdi, ellers er regelen ikke en funksjon. Denne entydigheten er faktisk viktig i hverdagen. For eksempel, på websiden kan vi finne lønnstabellen for statsansatte i Norge i året. Regelen som tar et lønnstrinn til den lønnen tjent av alle på det lønnstrinnet, er en funksjon. Men tenk om lønnstabellen hadde stått slik: Da ville folk være misfornøyd om ikke alle på trinn 53 fikk samme lønn! Slik ser vi hvor viktig er det at bare én verdi svarer til hvert argument. Et eksempel fra selve matematikken: det å si x det tallet y slik at y y = x 3
4 danner ingen funksjon, fordi det finnes to slike tall for de fleste x. Men x det ikke-negative tallet y slik at y y = x gir en funksjon, fordi at vi har fjernet en av de to mulige valgene. 1.2 Hvordan funksjoner presenteres Det finnes mange forskellige måter å presentere funksjoner på. Vi skal se på fire: tabeller, grafer, formler og situasjoner. 1. Tabell Vi legger opp en tabell med to støyler, og skriver funksjonens argument til venstre, og dens verdier til høyre. Eksempler: Vi så i sted at lønnstrinnstabellen danner en funksjon. En annen fins hos portotabellen. Denne er litt annerledes, fordi definisjonsområdet sitt består ikke av diskrete tall, men et linjestykk: alle mulige vekter på pakker som sende i posten. Denne kalles for en trappfunksjon. Et annet eksempel [BV2, s ]: Kari ble etter en ulykke lagt inn i sykehus. Blant annet ble kroppstemperaturen hennes observert over 18 timer: Her er Karis temperatur en funksjon av tiden, som vi representerer med tabellen. 2. Graf Når både argumentene og verdiene er réelle tall, da kan vi representere funksjonen veldig visuelt. Hvert argument x danner et punkt i planet med koordinater (x, f(x)). Slik får vi en kurve i planet som bilder funksjonen. Og siden f(x) er y-koordinaten til punktet bestemt av x, så er det naturlig å skrive y = f(x). Vi representerer Karis temperatur grafisk, ved å trekke rette linjer mellom naboliggende punkt fra tabellen ovenfor: 4
5 Slik kan vi anslå hvordan temperaturen endret seg kontinuerlig over tid. I praksis, for å lage en graf, så må vi ofte først legge opp en tabell med noen verdier. Slik får vi noen punkt på grafen, som vi da trekker en kurve gjennom. En graf har myet pedagogisk verdi, fordi at den viser klart flere egenskaper av en funksjon: Definisjons- og verdiområdene Kontinuitet: fins det en sprang i grafen eller ej? hvor/om verdiene stiger og avtar maksimum- og minimumpunkt Derfor er det nyttig å kunne skissere og gjenkjenne grafer. 3. Formel Det kan hende at fenomenet vi undersøker kan beskrives med en formel, det vil si en matematisk regel eller uttrykk. Hvis funksjonen heter f, da har vi f(x) = et uttrykk i x. Eksempel: Hvis jeg går på 5km/time, da er strekningen s jeg tilbakelegger en enkel funksjon av den tiden t jeg går: s(t) = 5km/time t. For eksempel, går jeg to timer da tilbakelegger jeg 10km, og går jeg en halv time da tilbakelegger jeg ( ) 1 5km/time 2 time = 2, 5km. (Merk hvordan enhetene stemmer: timene annulerer med hverandre, og det er bare kilometer igjen.) Eksempel: Funksjonen T som tar et positivt heltall n og gir ut det n-te trekanttallet T (n) = n kan beskrives av en pen formel: T (n) = n(n+1) 2. Vi bare skisserer bevisen grafisk: 5
6 4. Situasjoner Av og til gir vi funksjoner retorisk, altså beskriver situasjonen med enkle ord. Eksempel: Vi husker at et positivt heltall kalles primtall dersom det er ikke delelig med noen heltall annet enn seg selv og 1. For eksempel, 2, 3, 5, 7,... 97,... er primtall. (Vi betrakter ikke 1 som primtall.) Nå betrakter vi en funksjon p, som er bare definert på de positive heltallene: p(n) = det n-te primtallet For eksempel p(1) = 2, p(2) = 3, p(3) = 5, p(4) = 7,... p(25) = 97. Denne funksjonen kan beskrives med en formel: 2 n ln(n) +1 p(n) = 1+ 1 k 1 + ( k 2 j=2 1 + j ( j 1 j s=1 s j s ) ) n k=1 men for meg er begrepet klarere fra beskrivelsen :-). Det å kunne flytte mellom disse måtene å presentere en funksjon er viktig, fordi hver måte har sine egene fordeler og ulemper. Fordeler Ulemper Tabell Lett å legge opp Tar myet plass Bare få verdier tilgjengelig Graf Veldig godt oversikt Vanskelig å få nøyaktig til Formel Tar lite plass Ikke alltid godt oversikt Mest matematisk nyttig Situasjon Bedre oversikt enn formel Vanskelig å bruke i i kompliserte tilfell matematiske sammenhenger 1.3 Kontinuitet Hvis en funksjon er definert på et linjestykk, altså en undermengde av de réelle tallene, så kan vi undersøke dens kontinuitet. Denne egenskapen er naturlig beskrevet i forhold til grafen: Definisjon: En funksjon er kontinuerlig dersom dens graf er sammenhengende. 6
7 En kontinuerlig funksjon Denne funksjonen er ikke kontinuerlig: grafen er skilt i to forskjellige greiner. Eksempler: Hvis f(x) er konstant da er det kontinuerlig. Hvis { 1 hvis x = 3 f(x) = 2 ellers da er det kontinuerlig unntatt ikke i punktet 3: 2 Lineære funksjoner og polynomer 2.1 Lineære funksjoner Som motivasjon skal vi først se litt på proporsjonalitet. Når jeg kjøper bensin, så er prisen jeg betaler avhengig av mengden bensin jeg får: pris betalt = (pris per liter) (mengde bensin). For eksempel, kjøper jeg dobbelt så myet bensin, da fordobles prisen. Mer generelt: Definisjon: Hvis to variable størrelser y og x er slik at y = ax for et fast tall a, da sier vi at y er proporsjonal med x. Tallet a kalles for proporsjonalitetskonstanten. Vi merker at y er en funksjon av x. 7
8 Eksempel: Omkretsen av en sirkel er proporsjonal med dens radius r: det er lik 2πr. Her er proporsjonalitetskonstanten a lik 2π 6, Grafen til en proporsjonalitet er ei rett linje, gitt av likningen y = ax. Stigningsforholdet til ei linje: La oss tegner flere ulike linjer i planet: Noen av disse linjene er brattere en noen andre. Vi vil gjerne ha en måte å måle hvor bratt ei linje er. Vi gjør dette begrepet presis med: Definisjon: Stigningsforholdet av ei linje er distansen linja stiger i y-retningen når man forflytter seg 1 enhet til høyre i x-retningen: Kikker vi på linjene ovenfor, innser vi at de som etter vår mening var bratteste skårer høyst med dette systemet. Obs: Hvis linja er loddrett, da kan vi ikke forflytte oss langs det i x-retningen. Derfor sier vi at stigningsforholdet til ei loddrett linje er uendelig, eller, mer 8
9 presist, ikke definert. Vi kan beregne stigningsforholdet på et par forskjellige måter. Gitt to punkt (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) på linja, da erstigningsforholdet lik antall stigning i y-retningen antall stigning i x-retningen = y 2 y 1 x 2 x 1. Hvorfor gir dette stigningsforholdet? La oss tegne situasjonen: Punktet d er valgt slik at avstanden ad er lik 1. Her har vi to formlike trekanter abc og ade. Derfor har vi en likhet av forholdene y 2 y 1 x 2 x 1 = de ad = de. Men de er akkurat avstanden linja stiger i y-retningen når vi forflytter oss 1 til høyre langs x-aksen, altså selve stigningsforholdet. Stigningsforholdet kan gjerne være negativ: (1) Ei linje som peker nedover har negativ stigningsforholdet. Som spesielt tilfell, ei vannrett linje har stigningsforhold 0. Bemerkning: Det finnes et begrep som svarer til stigningsforholdet for grafer og kurver som er ikke linjer. Dette er fokuset når man studerer derivasjon. 9
10 Nå går vi tilbake til proporsjonalitetsbegrepet: La y = f(x) = a x være en proporsjonalitet, med grafen som i (1). Vi merker at stigningsforholdet til grafen er lik proporsjonalitetskonstanten. La (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ) være to punkt på linja. Da har vi y 2 y 1 x 2 x 1 = ax 2 ax 1 x 2 x 1 = a(x 2 x 1 ) (x 2 x 1 ) = a. Proporsjonaliteter er et spesielt tilfell av et annet begrep, en viktig klasse funksjoner: Definisjon: En funksjon f(x) er lineær dersom det kan uttrykkes som f(x) = ax + b hvor a og b er faste tall; med andre ord, dersom f(x) er (en fast tall) x + (et konstant ledd). Merk at a og b er faste, mens x kan variere. Navnet lineær kommer fra at grafen til en slik funksjon er ei rett linje. Vi noterer to ting: Stigningsforholdet til linja er lik a. La oss ta to forskjellige verdier av x, som vi kaller for x 1 og x 2. De tilsvarende punktene på grafen er (x 1, y 1 ) og (x 2, y 2 ), hvor Derfor er stigningsforholdet lik y 1 = ax 1 + b og y 2 = ax 2 + b. (ax 2 + b) (ax 1 + b) x 2 x 1 = ax 2 ax 1 + b b x 2 x 1 = a(x 2 x 1 ) x 2 x 1 = a. Grafen skjærer y-aksen i (0, b). Dette, fordi f(0) = a 0 + b = b, slik at (0, b) hører til grafen. Eksempel: Omregning av temperatur fra Celsius til Fahrenheit: Det å ta en temperaturmåling i Celsius til den tilsvarende målingen i Fahrenheit danner en funksjon, fordi en måling i Celsiusgrader danner en entydig måling i Fahrenheitgrader. La oss skrive c for antallet Celsiusgrader og f(c) for Fahrenheitmålingen, som er en funksjon av c gitt ved f(c) = 9c
11 Slik ser vi at f er en lineær funksjon av c. Her er a = 9/5 og b = 32. En viktig egenskap av lineære funksjoner er at de veldig ofte kan snus. I forhold til eksemplet med temperaturene er dette klart: vi kan like godt gå fra Fahrenheitgrader til Celsiusgrader og skrive c(f). Det er en morsom måte å se dette, nemlig med flytdiagrammer. Hvis funksjonen er lineær, så hender der ofte at man kan snu på pilene og rygge fra funksjonsverdien tilbake til argumentet vi startet med. 2.2 Annengradfunksjoner Et typisk begrep hvor annegradfunksjoner havner opp er når man skal beregne areal. For eksempel, vi kan legge opp en regel som tar inn et ikke-negativt tall x og gir tilbake arealet av et kvadrat x cm på sidene. Denne regelen danner faktisk en funksjon f på de positive réelle tallene. Den kan uttrykkes som f(x) = x 2 cm 2. Her er et annet eksempel. Se på disse figurene: Arealet i hvert tilfell er lik 2x 2 + 5x 2. Slik ser vi at funksjoner havner opp naturlig som kan uttrykkes med en formel som inneholder et ledd med x 2. Derfor sier vi: Definisjon: En annengradfunksjon er en funksjon som kan uttrykkes på formen f(x) = ax 2 + bx + c der a, b og c er faste tall, og a ikke er nul. 11
12 Grafen til en annengradfunksjon heter en parabel. La oss se på grafene til x 2 og x 2 x + 2, for eksempel: Generelt, så er det at fortegnet til x 2 -leddet bestemmer om grafen har et maksimum eller et minimum. En annen situasjon hvor annengradfunksjoner framtrer naturlig er når vi betrakter akselerasjon. Dette sier vi litt mer om i oppgavene. 2.3 Tredjegradfunksjoner På samme måten som areal førte til annengradfunksjoner, så gir volum innledning til tredjegradfunksjoner. Vi kan lage en funksjon f ved å sette f(x) lik volumen av en kubisk eske x cm på kantene. Denne funksjonen kan vi uttrykke som f(x) = x 3 cm 3. Slik havner opp den tredje potensen av x. En annen eksempel er kulen: en kule på radius x cm har volum 4π 3 x3 cm 3. Denne motiverer den følgende definisjonen: Definisjon: En tredjegradfunksjon er en funksjon som kan uttrykkes på formen f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d der a, b, c og d er faste tall og a ikke er nul. Grafen til en generell tredjegradfunksjon ser slik ut: Grafen til f(x) = x 3 + x = x(x 1)(x + 1) 12
13 Denne bytter retning to ganger. Men det er en annen mulighet: for eksempel, f(x) = x 3 ser slik ut: 2.4 Polynomer Vi kan godt fortsette og definere fjerde-, femte-, sjettegradfunksjoner osv. Alle disse er eksempler av polynomfunksjoner, nemlig, funksjoner som kan uttrykkes som summer av potenser av en variabel x. Definisjon: En polynomfunksjon er en funksjon som kan uttrykkes som f(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 der n er et ikke-negativt heltall og a n, a n 1..., a 2, a 1, a 0 er faste tall med a n ikke nul. Her kalles n-en for graden til polynomen. Slike funksjoner har mange nyttige egenskaper. For eksempel, de er kontinuerlige og kan brukes til å anslå andre funksjoner som hadde ellers vært vanskelig å studere, på samme måte som rasjonale tall kan brukes til å anslå irrasjonale tall. Grafer til generelle polynomer har en interessant egenskap: antall med ganger at grafen bytter retning er én mindre en graden. For eksempel, en lineær funksjon bytter alldri, en annengradfunksjon én gang og så videre. 3 Rasjonale funksjoner Som innføring til rasjonale funksjoner skal vi se på omvendt proporsjonalitet. 3.1 Omvendt proporsjonalitet Hvis jeg kjører bil 2km til kontoret kl. halv ni om morningen, så kan det ta 10 minutter fordi det er masse trafikk. Kjører jeg tilbake hjem kl. halv tolv for å hente ei bok som jeg glemte for min M1 undervisningen, da tar det bare 5 minutter fordi effektive folk jobber på kontoret istedenfor å rote med bøker. Når jeg skal tilbake kl. ti over halv tolv, er det flere folk på veien fordi 13
14 det er snart matpause, og jeg kjører 8 minutter. Nå lurer jeg på hastigheten min i løpet av disse tre turer. Vi kjenner formlen: tilbakelagt strekning gjennomsnitthastighet =. (2) tid Ved hjelp av denne regner jeg ut at de respektive gjennomsnitthastigheter i løpet av mine turer var 2km 10 min, 2km 5 min og 2km 8 min, altså 0, 2km/min, 0, 4km/min og 0, 25km/min. Ser vi bare på de første to turene, legger vi merke til at mens tiden ble halverte, så fordoblet hastigheten. Vi kan tenke på flere eksempler på slike fenomener: hvis du bruker halvannen time alene til å male 10m 2 med vegg, og da stikker to venner innom og hjelper, så tar de neste 10m 2 omtrent bare 30 minutter. Poenget er at når én av størrelsene vokser, så avtar den andre. Definisjon: To størrelser er omvendt proporsjonale hvis den ene er proporsjonal med den inverse av den andre. En annen måte å si det er at produkten av størrelsene er konstant. Eksempel: Formlen (2) gir direkt at med en fast strekning, så er gjennomsnitthastigheten proporsjonal med inversen av tiden, med proporsjonalitetskonstant lik strekningen. Eller vi kan omgjøre (2) til gjennomsnitthastighet tid = [den konstante] strekning. Hvis vi betrakter tiden som funksjon av hastigheten, altså skriver vi t = s/h, da får vi en graf som ser slik ut: En slik graf heter en hyperbel. Det å dele med variablen er det vesentlige med rasjonale funksjoner. 14
15 3.2 Rasjonale funksjoner En rasjonal funksjon er en funksjon som kan uttrykkes som en brøk der variablen framtrer i nevneren. Nærmere presist, Definisjon: En rasjonal funksjon f(x) er en funksjon som kan uttrykkes som f(x) = g(x) h(x) der g(x) og h(x) er polynomer i x. Vi merker at telleren trenger ikke å inneholde x: for eksempel, f(x) = 1/x er en rasjonal funksjon. Eksempel: 1/x og 2x x 3 er rasjonale funksjoner. Grafene ser slik ut: Obs: Definisjonsområdet til en rasjonal funksjon er ofte ikke like stor som det til en polynom. Dersom h(x) har et nullpunkt i x = a, så forsvinner nevneren i funksjonens uttrykk i a, og funksjonen har ingen verdi i x = a. For eksempel, 1/x er ikke definert i x = 0. Eksempel: Vi betrakter en rekke med rektangel som alle har areal 40. La oss skrive x for lengden til en av de lange sidene. Da blir lengden til de andre sidene lik 40/x: Omkretsen til rektanglet er da x x Dette kan vi uttrykke som x x 2x + 80 x = 2x2 x + 80 x = 2x x 15
16 Slik ser vi at omkretsen er en rasjonal funksjon av lengden til de langste sidene. La oss se på dens graf: Denne ser ut som det har et minimum i x = 40, nemlig, når rektanglet har alle fire sider like lange, altså når det er en kvadrat. Dette stemmer, og kan bevises ordentlig med derivasjon. 3.3 Asymptoter Vi betrakter videre f(x) = 1/x. Vi merker at jo nærmere x kommer til 0 fra høyre, desto større blir f(x). Ved å velge x liten nok, så kan vi nå så høy en verdi av funksjonen som vi vil. Hvis vi nærmer oss 0 fra venstre siden istedenfor, kan vi på samme måte få til en så stor negativ verdi av f(x) som vi ønsker. Og jo nærmere vi kommer fra enhver side, desto brattere stiger grafen: det nærmer seg hele tiden til den loddrette linja x = 0. Til gjengjeld, hvis vi tar x veldig stor eller veldig stor negativ, så kan vi nå en verdi av x som er så nær med 0 som vi ønsker. Selv om vi alldri får det helt til, jo større blir x i den positive eller negative retningen, desto flatere blir kurven: det nærmer seg til den vannrette linja y = 0. Denne diskusjonen motiverer: Definisjon: En linje som en rasjonal funksjon nærmer seg når vi forflytter oss langs grafen kalles en asymptote. Eksempel: Asymptotene til 1/x er x = 0 (når x blir liten) og y = 0 2x (når x blir stor). Asymptotene til er x = 3 og y = 2. x 3 16
17 4 Eksponentialfunksjoner Eksponentiell vekst er et kjent begrep i økonomi (f. eks. renter tjent på sparte penger) og så biologi, kjemi og fysikk. Vi begynner med et veldig kjent eksempel. Eksempel: (Renter tjent på penger i banken) Jeg investerer 1000kr i en bank der rentefoten er 3% i året. Hvor myet har jeg i banken etter (i) ett år, (ii) to år og (iii) fem år? Jo, etter ett år har jeg 1000kr + (3% av 1000kr), altså 1000kr + 30kr = 1030kr. Etter to år har jeg 1030kr + (3% av 1030kr) = 1030kr + 30, 9kr = 1060, 9kr. Nå legger vi merke til at vi kunne ha regnet dette slik: 1000kr 1, 03 1, 03 = 1000kr (1, 03) 2 = 1000kr 1, 0609 = 1060, 9kr. Vi kan beregne verdien etter fem år på samme måte: 1000kr 1, 03 5 = 1000kr 1, = 1158, 45kr. Egentlig er det ingen ting som forhindrer oss å gjøre dette veldig generelt. Hvis vi fortsetter som ovenfor, kommer vi snart på en formel som gir verdien av investeringen etter et vilkårlig antall med år, nemlig: Etter n år har jeg 1000kr 1, 03 1, 03 = 1000kr 1, 03 n. Dette er et eksempel på en eksponentialfunksjon. Det vesentlige med eksponentialfunksjoner er at den frie variablen oppstår som en potense. I vårt eksempel er n-en variablen. 4.1 Fordoblingstid Et viktig spørsmål om en funksjon som vokser stadig er hvor lang tiden den tar for å fordoble seg. Et typisk eksempel er befolkningsvekst i et land, som ofte oppholder seg eksponentielt: som en investering, det vokser en viss prosenttall hvert år. For eksempel, la oss si at befolkningen i Freedonia vokser 4% i hvert år, og at Statsministeren Rufus T. Firefly vil vite hvor lang tid før landet hans skal ha dobbelt så mange folk som det nå har. Ved hjelp av et regneark ser vi at etter omtrent år har befolkningen fordoblet seg. 17
18 La oss nå se på den på en annen måte: Hvis det nå bor 30 million mennesker i Freedonia, da etter n år skal det være (1, 04) n. Det vi vil vite er for hvilken n har vi (1, 04) n = Vi kan forkorte med , og spørsmålet er da for hvilken n har vi 1, 04 n = 2. Vi legger merke til at denne n-en er faktisk uavhengig av hvor stor befolkningen var i utgangspunktet: det er avhengig bare av vekstenshastighet. Denne er et interessant aspekt av eksponentialfunksjoner. For eksempel, med regneark kan vi se at selv om befolkningen hadde vært bare , da hadde fordoblingstiden vært akkurat like stor. På akkurat samme måten kan vi beregne fordoblingstiden for enhver eksponentialfunksjon f(x) = ba x der a > 1 (hvis a 1 da vokser funksjonen aldri). Vi vil vite hva er sammenheng mellom x og t dersom vi har f(x + t) = 2f(x), altså ba x+t = 2ba x. Vi forkorter med ba x og får a t = 2. Løser vi denne likningen for t, har vi fordoblingstiden til funksjonen f, og dette gjelder for alle verdier av x. (I vårt eksempel er a = 1, 04 og b = [For de fleste funksjoner er fordoblingstiden avhengig både av x og t. For eksempel, hvis f(x) = 2x + 3 og vi spør for hvilken t vi har f(x + t) = 2f(x), da får vi likningen 2(x + t) + 3 = 2(2x + 3), altså t = x + 3, som viser at fordoblingstiden t er avhengig av hvilken x vi 2 velger.] Referanser [BV1] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 1, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, [BV2] T. Breiteig, R. Venheim: Matematikk for Lærere 2, 4. utgave, Universitetsforlaget, Oslo, Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold Grenaderveien Tønsberg Anne-Marit.L.Brun@hive.no, George.H.Hitching@hive.no 18
Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene
Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 2007 5. oktober 2007 Legger du merke til noen feil, vennligst send beskjed til george.h.hitching@hive.no.
DetaljerKontinuitet og grenseverdier
Kontinuitet og grenseverdier Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 5. januar 2009 1 Innledning Kontinuitetsbegrepet For å motivere og innlede til kontinuitetsbegrep skal vi først undersøke
DetaljerOppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009
Oppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009 Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 21. august 2009 Blant disse oppgavene er følgende utvalgt for mappen: 1, 3(i) (iii) og (ix) (x), 5(viii) (ix),
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
DetaljerFunksjoner med og uten hjelpemidler
Funksjoner med og uten hjelpemidler Plan for dagen Del 1: 09:00-11:45 Lunsj: 11:45-12:15 Del 2: 12:15-14:30 Eksamensinformasjon: 14:30-15:00 Plan for tiden før lunsj Økt 1: 09:00-09:45 Økt 2: 10:00-10:45
DetaljerMer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
DetaljerForord. Molde, august 2011. Per Kristian Rekdal. Copyright c Høyskolen i Molde, 2011.
1 13. august 011 Forord Høgskolen i Molde gjennomfører forkurs i matematikk for studenter som har svakt grunnlag i dette faget, eller som ønsker å friske opp gamle kunnskaper. Formål: Målet med forkurset
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2013
Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet
DetaljerFaktor terminprøve i matematikk for 9. trinn
Faktor terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2013 Bokmål Navn: Gruppe: Prøveinformasjon Prøvetid: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer. Del 2 skal
DetaljerObligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag
Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe
DetaljerDEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1
HELDAGSPRØVE I MATEMATIKK 1T HØST DEL 1 (Uten hjelpemidler, leveres etter 3 timer) Oppgave 1. Trekk sammen uttrykkene: a) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) 3(a + 1) 4(1 a) (6a 1) = 3a + 3 4 + 4a 6a + 1 = a. b) 1
DetaljerEksamen 1T høsten 2015, løsningsforslag
Eksamen 1T høsten 015, løsningsforslag Del 1, ingen hjelpemidler Oppgave 1 1,8 10 1 0,0005 = 1,8 10 1 5 10 4 = 1,8 5 10 1+( 4) = 9 10 8 Oppgave Velger addisjonsmetoden Legger sammen ligningene: x + y =
DetaljerGeometriske avbildninger og symmetri. A2A/A2B Høgskolen i Vestfold
Geometriske avbildninger og symmetri A2A/A2B Høgskolen i Vestfold 6. november 2009 Innhold 1. Symmetri 2. Avbildninger 3. Isometrier 4. Egenskaper ved avbildninger 5. Symmetrigrupper Kilde for forelesningen:
DetaljerUttrykket 2 kaller vi en potens. Eksponenten 3 forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 2 med seg selv. Dermed er ) ( 2) 2 2 4
9.9 Potenslikninger Uttrykket kaller vi en potens. Eksponenten forteller hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet med seg selv. Dermed er 8 Når vi skriver 5, betyr det at vi skal multiplisere
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Kalkulus
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Kalkulus Kapittel 1 Oppgave 1. a) en funksjon b) en funksjon c) ikke en funksjon d) ikke en funksjon Oppgave 2. a) 12,1 b) 4 c)
Detaljer. 2+cos(x) 0 og alle biter som inngår i uttrykket er kontinuerlige. Da blir g kontinuerlig i hele planet.
MA 1410: Analyse Uke 47, 001 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma1410 H01 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 11.1: 7. f(x, y) = 1 16 x y. a) Definisjonsområde D: f
DetaljerTerminprøve Sigma 1T Våren 2008 m a t e m a t i k k
Terminprøve Sigma 1T Våren 2008 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.
DetaljerARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK
ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret
Detaljerfor opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor
46 2 Forhold og prosent MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne regne med forhold, prosent, prosentpoeng og vekst faktor behandle proporsjonale og omvendt proporsjonale størrelser i praktiske sammenhenger
DetaljerS1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].
DetaljerTyngdekraft og luftmotstand
Tyngdekraft og luftmotstand Dette undervisningsopplegget synliggjør bruken av regning som grunnleggende ferdighet i naturfag. Her blir regning brukt for å studere masse, tyngdekraft og luftmotstand. Opplegget
DetaljerInnlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2
Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Tirsdag 1. april 2014 kl. 12:45 Antall oppgaver: 8+2 1 Bestem den naturlige denisjonsmengden til følgende funksjoner.
DetaljerVekst av planteplankton - Skeletonema Costatum
Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum Nivå: 9. klasse Formål: Arbeid med store tall. Bruke matematikk til å beskrive naturfenomen. Program: Regneark Referanse til plan: Tall og algebra Arbeide
DetaljerEnkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
DetaljerTerminprøve i matematikk for 8. trinn
Terminprøve i matematikk for 8. trinn Høsten 2006 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: Navn: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:
Detaljer2 Likningssett og ulikheter
Likningssett og ulikheter KATEGORI 1.1 Grafisk løsning av lineære likningssett Oppgave.110 Et lineært likningssett består av likningene for to rette linjer. De to rette linjene er tegnet i koordi natsystemet
DetaljerNår tallene varierer.
Når tallene varierer. Innføring i algebra med støtte i konkreter Astrid Bondø Ny GIV, februar/mars 2013 Når tallene varierer Det første variable skritt! Treff 10 Hesteveddeløp Rød og sort (Et Ess i Ermet,
DetaljerS1 Eksamen våren 2009 Løsning
S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene
Detaljerer et er et heltall. For eksempel er 2, 3, 5, 7 og 11 primtall, mens 4 = 2 2, 6 = 2 3 og 15 = 3 5 er det ikke.
. Primtall og primtallsfaktorisering Definisjon Et primtall p er et heltall, større enn, som ikke er delelig med andre tall enn og seg selv, altså bare delelig med og p (og egentlig også og p) At et tall
DetaljerOppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6
Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerOppfriskningskurs dag 2
Grafer og Oppfriskningskurs dag 2 Grafer og Steffen Junge Oppfriskningskurs i matematikk 3.-8. august 2009 Grafer og Outline 1 Grafer og Outline Grafer og 1 Grafer og Grafer og Vi ser på ligninger av to
Detaljer1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at
Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8
DetaljerLøsning del 1 utrinn Vår 13
/5/06 Løsning del utrinn Vår - matematikk.net Løsning del utrinn Vår Contents DEL Ingen hjelpemiddler Oppgave 9 + 576 = 868 95 8 = 56 c) d) 06 : = 0 Oppgave 8 min = timer og 8 minutter. 8hg = 0,8 kg c)
DetaljerNøkkelspørsmål til eller i etterkant av introduksjonsoppgaven:
Areal og omkrets Mange elever forklarer areal ved å si at det er det samme som lengde gange bredde. Disse elevene refererer til en lært formel for areal uten at vi vet om de skjønner at areal er et mål
DetaljerLøsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 2005
Løsningsforslag til underveisvurdering i MAT111 vår 5 Beregn grenseverdien Oppgave 1 (x 1) ln x x x + 1 Svar: Merk at nevneren er lik (x 1), så vi kan forkorte (x 1) oppe og nede og får (x 1) ln x ln x
DetaljerTallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til 4 %. Prosentfaktoren til 7 % er 0,07, og prosentfaktoren til 12,5 % er 0,125.
Prosentregning Når vi skal regne ut 4 % av 10 000 kr, kan vi regne slik: 10 000 kr 4 = 400 kr 100 Men det er det samme som å regne slik: 10 000 kr 0,04 = 400 kr Tallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til
DetaljerEksamen 19.05.2014. Del 1. MAT0010 Matematikk. Del 1 + ark fra Del 2. Bokmål
Eksamen 19.05.2014 MAT0010 Matematikk Del 1 Skole: Bokmål Kandidatnr.: Del 1 + ark fra Del 2 Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Framgangsmåte og forklaring: 5 timer totalt.
DetaljerFinn volum og overateareal til følgende gurer. Tegn gjerne gurene.
Innlevering FO99A - Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Fredag oktober 01 kl 1:00 Antall oppgaver: 16 Løsningsforslag 1 Finn volum og overateareal til følgende gurer Tegn
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i MAT111 Vår 2013
BOKMÅL MAT - Vår Løsningsforslag til eksamen i MAT Vår Oppgave Finn polarrepresentasjonen til i. i Skriv på formen x + iy. i Løsning Finner først modulus og argument til i: i = ( ) + ( ) = 4 = arg( ( )
DetaljerTest, 5 Funksjoner (1P)
Test, 5 Funksjoner (1P) 5.1 Funksjonsbegrepet 1) f ( x) = 16x + 0 f (0) = 0 16 0 ) f ( x) = 4x 6 f ( ) = 14 6 3) f er en funksjon av x dersom hver verdi av x gir nøyaktig en verdi av f. Riktig Galt 4)
DetaljerKrasjkurs MAT101 og MAT111
Krasjkurs MAT101 og MAT111 Forord Disse notatene ble skrevet under et åtte timer (to firetimers forelesninger) i løpet av 10. og 11. desember 2012. Det er mulig at noen av utregningene ikke stemmer, enten
DetaljerFASIT 1-5, ungdomsskole
FASIT 1-5, ungdomsskole 1. desember: Ved å bruke 91 små terninger kan du få til å bygge akkurat 2 større terninger. Hvor mange små terninger er det i den største av disse? Svar: 64 Tips: Kan ledsages av
DetaljerDerivasjon. Kapittel 3. 3.1 Fart veg tid. 3.2 Kjerneregelen. Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er
Kapittel 3 Derivasjon 3.1 Fart veg tid Finn farten v(t) til ein bil når tilbakelagt strekning s(t) er a) s(t) = 2t + 3 b) s(t) = 1 2 t + 4 c) s(t) = t2 + 2t Ein bil starter å køyre. Etter t sekund har
DetaljerMedian: Det er 20 verdier. Median blir da gjennomsnittet av verdi nr. 10 og nr. 11. Begge disse verdiene er 2, så median er 2.
2P 2013 høst LØSNING DEL EN Oppgave 1 Rangerer verdiene i stigende rekkefølge: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 7, 11, 28, 32 Median: Det er 20 verdier. Median blir da gjennomsnittet av
DetaljerLøsningsforslag AA6524/AA6526 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654/AA656 Matematikk 3MX Elever/Privatister 6. desember 6 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det
Detaljera) Ved avlesning på graf får man. Dermed er hastighet ved tid sekund lik.
Løsningsforslag utsatt eksamen Matematikk 2, 4MX25-10 (GLU2 5-10) 5.desember 2013 Oppgave 1 a) Ved avlesning på graf får man. Dermed er hastighet ved tid sekund lik. Ved å bruke tangentlinja i punktet
DetaljerEksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014
Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014 Oppgave 1 (1 poeng) En hustegning har målestokk 1 : 50 På tegningen er en dør plassert 6 mm feil. Hvor stor vil denne feilen bli i virkeligheten når huset bygges?
Detaljer1T 2014 høst LØSNING 25000000000 0, 0005 = 2, 5 10 10 5 10 4 = 12, 5 10 6 = 1, 25 10 7. 2 2+ x 2 = 2 4 x 2 4 + x = 8 x = 4
3/8/06 T 0 høst LØSNING - matematikk.net T 0 høst LØSNING Contents Diskusjon av denne oppgaven Løsning av del Matteprat spørsmål om oppgave 6 del DEL EN Oppgave 5000000000 0, 0005 =, 5 0 0 5 0 =, 5 0 6
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerVi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a
Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs
DetaljerUtkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 121 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 31. mai 2010, kl. 09-14.
Utkast til løsningsforslag til eksamen i emnet MAT 2 - Lineær algebra Utan ansvar for feil og mangler Mandag 3. mai 2, kl. 9-4. Oppgave En bisverm flyr mellom to kuber, A og B, på dagtid, og hver bi blir
DetaljerNTNU MA0003. Ole Jacob Broch. Norwegian University of Science and Technology. MA0003 p.1/29
MA0003 Ole Jacob Broch Norwegian University of Science and Technology MA0003 p.1/29 Oversikt, torsdag 13/1 Avsnitt 1.3: intervaller og intervallnotasjon definisjons- og verdimengden til en funksjon Avsnitt
DetaljerTerminprøve i matematikk for 8. trinn
Terminprøve i matematikk for 8. trinn Høsten 2005 bokmål Til noen av oppgavene skal du bruke opplysninger fra informasjonsheftet. Disse oppgavene er merket med dette symbolet: DELPRØVE 1 Maks. poengsum:
DetaljerEKSAMEN Løsningsforslag
7 desember EKSAMEN Løsningsorslag Emnekode: ITD5 Dato: 6 desember Hjelpemidler: Emne: Matematikk ørste deleksamen Eksamenstid: 9 Faglærer: To A-ark med valgritt innhold på begge sider Formelhete Kalkulator
DetaljerHvordan forenkle og hvordan gå i dybden? Gunnar Nordberg Mona Røsseland
Hvordan forenkle og hvordan gå i dybden? Gunnar Nordberg Mona Røsseland multiaden2013 1 Matematikkoppgaver kan være Lette Greie Vanskelige Og samme oppgave kan være på alle tre steder samtidig og i samme
DetaljerHefte med problemløsingsoppgaver. Ukas nøtt 2008/2009. Tallev Omtveit Nordre Modum ungdomsskole
Hefte med problemløsingsoppgaver Ukas nøtt 2008/2009 Tallev Omtveit Nordre Modum ungdomsskole 1 Ukas nøtt uke 35 Sett hvert av tallene fra 1-9 i trekanten under, slik at summen langs hver av de tre linjene
DetaljerFasit. Funksjoner Vg1T. Innhold
Fasit Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjoner... 15 Andregradsfunksjoner... 15 Polynomfunksjoner... 18 Rasjonale funksjoner... 19 Potensfunksjoner og eksponentialfunksjoner...
DetaljerTerminprøve i matematikk for 9. trinn
Terminprøve i matematikk for 9. trinn Høsten 2015 Navn: Klasse: Prøveinformasjon Prøvetid: 5 timer totalt. Del 1 og Del 2 blir utdelt samtidig. Del 1 skal du levere innen 2 timer - senest kl. 11.00 Del
DetaljerFasit og løsningsforslag til Julekalenderen for mellomtrinnet
Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for mellomtrinnet 01.12: Svaret er 11 For å få 11 på to terninger kreves en 5er og en 6er. Siden 6 ikke finnes på terningen kan vi altså ikke få 11. 02.12: Dagens
DetaljerMAT1030 Forelesning 30
MAT1030 Forelesning 30 Kompleksitetsteori Roger Antonsen - 19. mai 2009 (Sist oppdatert: 2009-05-19 15:04) Forelesning 30: Kompleksitetsteori Oppsummering I dag er siste forelesning med nytt stoff! I morgen
DetaljerKapittel 1. Potensregning
Kapittel. Potensregning I potensregning skriver vi tall som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kapitlet handler blant annet om: Betydningen av potenser som har negativ eksponent
DetaljerPRIMTALL FRA A TIL Å
PRIMTALL FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til primtall P - 2 2 Grunnleggende om primtall P - 2 3 Hvordan finne et primtall P - 5 Innledning til primtall
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerLøsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-04
Løsningsforslag til obligatorisk oppgave i MAT 00, H-04 Oppgave : a) Vi har zw ( + i )( + i) + i + i + i i og + i + i ( ) + i( + ) z w + i + i ( + i )( i) ( + i)( i) i + i i i ( i ) ( + ) + i( + ) + +
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon Vi skal se at der er ere måte å regne ut deriverte på i tillegg til de derivasjonsreglene vi kjenner fra før Men ikke alle måtene
DetaljerGrenseverdier og asymptoter. Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 410, 411, 412, 414, 416, 417, 418, 419
Grenseverdier og asymptoter Eksemplifisert med 403, 404, 408, 409, 40, 4, 42, 44, 46, 47, 48, 49 Grenseverdier Grenseverdien til en funksjon, lim x a f x g, er en verdi vi kan komme så nær vi vil, når
DetaljerRasjonale potenser. For å finne side av kvadrat med gitt areal A løser vi likning x 2 = A.
Rasjonale potenser Vi har tidligere sett hvordan man definierer potenser med heltall. Vi skal nå se hvordan man naturlig definierer potenser også for rasjonale tall, dvs brøk hvor teller og nevner er heltall.
DetaljerEksamen R1 Høsten 2013
Eksamen R1 Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene f x e a) 3 x b) gx x ln3x c) hx x
DetaljerMAT1100 - Grublegruppen Uke 36
MAT - Grublegruppen Uke 36 Jørgen O. Lye Partiell derivasjon Hvis f : R 2 R er en kontinuerlig funksjon, så kaller man følgende dens partiellderiverte (gitt at de finnes!) f f(x + h, y) f(x, y) (x, y)
DetaljerForelesning 9 mandag den 15. september
Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi
DetaljerTaylor-polynom. Frå læreboka Kalkulus med én og ere variabler"av Lorentzen, Hole og Lindstrøm, Universitetsforlaget 2003
Taylor-polynom Frå læreboka Kalkulus med én og ere variabler"av Lorentzen, Hole og Lindstrøm, Universitetsforlaget 00 Tidligere har vi sett på korleis vi kan bruke tangentar til funksjoner til å estimére
Detaljeroppgaver fra abels hjørne i dagbladet
oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 9 dag 1 1. Kjetil og Øystein skal kjøre fra Stavanger til Oslo i hver sin bil. Kjetil starter først og holder en konstant fart på 75 km/t. Øystein starter en
DetaljerMatematikk R1 Oversikt
Matematikk R1 Oversikt Lars Sydnes, NITH 20. mai 2014 I. ALGEBRA ANNENGRADSLIGNINGER Annengradsformelen: ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a (i) 0 løsninger hvis b 2 4ac < 0 (ii) 1 løsning hvis b 2 4ac
DetaljerECON2200: Oppgaver til plenumsregninger
University of Oslo / Department of Economics / Nils Framstad, denne versjonen: π-dagen ECON2200: Oppgaver til plenumsregninger 1. plenumsregning 1. feb.: derivasjon. Oppgave 1.1 der A er en konstant. Funksjonen
DetaljerLøsning eksamen 1P våren 2010
Løsning eksamen 1P våren 2010 Oppgave 1 a) Prisen for diesel er 10,91 kr. Hvis Liv hadde fylt diesel, hadde prisen for 41,5 l vært mindre enn 11 kr 42 = 462 kr Det stemmer ikke i det hun betalte 509, 62
Detaljer4 Funksjoner og andregradsuttrykk
4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1
DetaljerGenerell trigonometri
7 Generell trigonometri 7.1 et utvidede vinkelbegrepet Oppgave 7.110 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 30 b) 120 c) 210 d) 300 Oppgave 7.111 Tegn vinklene i grunnstilling. a) 45 b) 360 c) 540 d) 720 Oppgave
DetaljerHvorfor blir det tull med tall? - grunnleggende tallforståelse
Hvorfor blir det tull med tall? - grunnleggende tallforståelse Ny GIV videregående skole Astrid Bondø Svein Hallvard Torkildsen 5-Nov-13 Grunnleggende tallforståelse Mange elever sliter med å klare matematikken
DetaljerVedlegg til rapport «Vurdering av eksamen i matematikk, Matematikksenteret 2015»
Utvikling av oppgaver språklig høy kvalitet I forbindelse med presentasjonen av rapporten «Vurdering av eksamen i matematikk» som fant sted 13. januar 2016 i Utdanningsdirektoratet, ble vi bedt om å presisere
DetaljerLøsning del 1 utrinn Vår 10
/15/016 Løsning del 1 utrinn Vår 10 - matematikk.net Løsning del 1 utrinn Vår 10 Contents Oppgave 1 4 + 465 = 799 854 8 = 56 c) d) 64 :4 = 66 Oppgave c) d)650 g = 650 : 1000 kg = 6,50kg Oppgave 4, 7 =
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 2
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 2 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Tirsdag 7. august 2018 Beskjeder Rombytte: EL5 i dag og i morgen. F1 igjen på torsdag. Skal fikse fasit (til tallsvar) på
DetaljerFysikkolympiaden 1. runde 26. oktober 6. november 2015
Norsk Fysikklærerforening i samarbeid med Skolelaboratoriet Universitetet i Oslo Fysikkolympiaden. runde 6. oktober 6. november 05 Hjelpemidler: Tabell og formelsamlinger i fysikk og matematikk Lommeregner
DetaljerSensorveiledning Oppgave 1
Sensorveiledning Oppgave 1 Figuren er riktig, og kandidaten skisserer en måte å jobbe med dette på som kan fungere for en elev. Figuren eller forklaringen er riktig. Unøyaktigheter ved håndtegning godtas.
DetaljerLøsningsforslag til underveiseksamen i MAT 1100
Løsningsforslag til underveiseksamen i MAT 00 Dato: Tirsdag /0, 00 Tid: Kl. 9.00-.00 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Ingen Oppgavesettet er på sider Eksamen består av 0 spørsmål. De 0 første
Detaljer1P eksamen våren 2017 løsningsforslag
1P eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) Du har 15 L saft. Du skal helle saften over i
DetaljerEksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014
Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 y (kroner) x (antall stoler) a) Grafen ovenfor viser hva det koster for en fabrikk for å produsere x stoler. Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50
DetaljerLøsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet
DetaljerInnledning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 1 Innledning Mål for opplæringen er at eleven skal kunne løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritme funksjoner, både ved regning
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.
DetaljerAschehoug ÅRSPRØVE 2015 9. trinn
Del 2: Maks 35 poeng. Hjelpemidler: Alle ikke-kommuniserende hjelpemidler er tillatt. Hvis du bruker dataprogrammer som REGNEARK, GRAFTEGNER eller DYNAMISK GEOMETRI- PROGRAM, skal formler og/eller en forklaring
DetaljerLabyrint Introduksjon Scratch Lærerveiledning. Steg 1: Hvordan styre figurer med piltastene
Labyrint Introduksjon Scratch Lærerveiledning Introduksjon I dette spillet vil vi kontrollere en liten utforsker mens hun leter etter skatten gjemt inne i labyrinten. Dessverre er skatten beskyttet av
Detaljer