Signalteori - Revidert 2005

Transkript

1 Signalteori - Revidert 2005 Denne boka er et resultat av forelesninger i Signalteori ved Institutt for geovitenskap, Universitetet i Bergen. Jeg har beholdt rammen om pensum slik det har vært forelest siden 1985, og har stort sett bare foretatt systematiske endringer som kan klargjøre begrepene. Det meste av innholdet omhandler filterteori, konstruksjon og virkemåte til ulike digitale filtre. Hensikten er først og fremst å gi en innføring i de mest vanlige begrepene, og boka er således ikke utarbeidet spesielt for geofysikere. Imidlertid, det er en forutsetning at et (innførings)kurs i Fourieranalyse er tatt på forhånd. Flere detaljer finnes i noen av de bøkene som er tatt med i litteraturlisten. Einar Mæland Bergen 2005 i

2 c 1993, 1998, 2005 Einar Mæland. ISBN Mæland, Einar Institutt for geovitenskap IFG / UiB Allégt Bergen ii

3 Notasjoner Der er ulike definsjoner på Fourier transformasjonen i litteraturen, selv om forskjellene i og for seg er uvesentlige. Det dreier seg stort sett om fortegnet på den imaginære enheten (±i) i eksponensialfunksjonen, og bruken av den angulære (vinkel)frekvensen ω (radianer/sec), eller den lineære frekvensen ν (cycles/sec). Sammenhengen mellom disse frekvensene er ω = 2πν, der den lineære frekvensen (ν) måles i Hz. Et tilsvarende problem har vi i definisjonen av Z-transformasjonen, der positive potenser av Z benyttes for å angi en lineær tidsforsinkelse. Fagfeltet electrical engineering benytter som oftest negative potenser, dvs. 1/Z, og det kan virke litt forvirrende. Men vi er nødt til å foreta et valg : da blir det mer oversiktlig med mindre muligheter for feil og misforståelser. Det samme gjelder selvsagt når den diskréte Fourier transformasjonen skal benyttes til konkrete oppgaver : ulike definisjoner må ikke blandes sammen. Benytter vi den diskréte Fourier transformasjonen (DFT), vil den angulære frekvensen være begrenset til Nyquist-intervallet, slik at : π ω t π, eller uttrykt ved den lineære frekvensen : 0.5 ν t 0.5, der t er samplingsintervallet. På de fleste figurene benyttes den lineære frekvensen som enhet, men det er ofte hensiktsmessig å måle den i enheter av 1/ t, i så fall vil den dimensjonsløse frekvensen, med enheten cycles/sample, ligge på intervallet [ 0.5, +0.5]. Den dimensjonsløse frekvensen benyttes på en del figurer, men i alle formler og uttrykk benyttes konsekvent den angulære frekvensen. Eksemplene er imidlertid ikke relatert til (geo)fysiske problemstillinger, slik at enhetene på aksene kan derfor virke litt tilfeldige. iii

4 Fourier transformasjonen til en funksjon f(t) defineres som F(ω) = f(t) exp( iωt) dt. Generelt er F(ω) en kompleks funksjon, selv om funksjonen f(t) er reell, og vi benytter ulike måter å skrive dette på : F(ω) = G(ω) + ih(ω) = A(ω) exp[iϕ(ω)], der G(ω) og H(ω) er real- og imaginærdelene til F(ω), mens A(ω) og ϕ(ω) er amplitude- og fasespekteret, henholdsvis. Fasespekteret måles i radianer, og blir ofte omtalt som fasevinkelen. Fasevinkelen er selvsagt ikke éntydig definert, fordi vi kan legge til eller trekke fra et helt antall 2π. Dessuten, når funksjonen f(t) er reell vil F( ω) = F (ω). Det betyr at G(ω) og A(ω) er jamne funksjoner, mens H(ω) og ϕ(ω) er odde funksjoner av frekvensen. Konsekvensene er at dersom vi kjenner Fourier spekteret F(ω) til en reell funksjon f(t), er all informasjon egentlig gitt ved spekteret F(ω) når ω 0. Spekteret til en reell funksjon har altså en såkalt Hermittisk symmetri. Med notasjonen f(t) F(ω) for å betegne et Fourier-par, har vi f(t/γ) γ F(γω), f(t t 0 ) exp( iωt 0 )F(ω). Den første egenskapen, eller similaritetsteoremet, er en skalering; dersom γ > 1 strekker vi tidsaksen og krymper frekvensaksen (vice versa dersom γ < 1). Den andre egenskapen, skiftteoremet, forteller at dersom f(t) utsettes for en positiv tidsforsinkelse (t 0 > 0), vil fasevinkelen til Fourier transformasjonen avta med ωt 0 i forhold til den opprinnelige verdien. Den tilsvarende egenskapen i Fourier doménet kaller vi som oftest for modulasjonsteoremet, der exp(iω 0 t)f(t) F(ω ω 0 ). At konvolusjonen mellom to funksjoner i tidsdoménet medfører at vi multipliserer de tilhørende Fourier transformasjonene, skal vi også anta er kjent. iv

5 Innhold 1 Den diskréte Fourier transformasjonen Samplingsteoremet Den diskréte Fourier transformasjonen Folding av spekteret og alias-feil Digital summasjon Hermittisk symmetri Kommentarer Konvolusjon og Z-transformasjonen Lineær og syklisk konvolusjon Konvolusjon og DFT Auto- og krysskorrelasjonen Z-transformasjonen Eksempler Nuller og poler Kommentarer Tids- og frekvensvinduer Endelig tidsintervall Oppløsning (resolution) Trigonometriske tidsvinduer Decibel-skala Diskréte tidsvinduer Kommentarer Digital filtrering Innledning Impulsrespons v

6 4.3 Forsinkelse (delay) Avbrutt impulsrespons Dobbeltsidig filtrering Et eksempel Bi-lineære transformasjoner Kommentarer Nullfase filtrering Gibbs fenomén Spektralvindu Et eksempel Vekting av impulsresponsen Båndpassfilter Kommentarer Optimal filtrering Minste kvadraters metode Eksempler Optimal filtrering og DFT Spiking-filter Anti-kausalt filter Normalligningene Kommentarer Faktorisering av spekteret Tids- og faseforsinkelse Faktorisering Dispersiv filtrering Et eksempel Autokorrelasjonen Nuller og poler Kommentarer Rekursiv filtrering Rekursive systemer Eksempler Butterworth lavpassfilter Butterworth sirkelen vi

7 8.5 Rekursivt Butterworth filter Butterworth båndpassfilter Kommentarer Kausalitet og stabilitet Innledning Jamne og odde funksjoner Kausale funksjoner Kausale spektre Hilbert transformasjonen Minimum forsinkelse Log-spekteret Eksempler Fourier rekker Fase- og gruppeforsinkelse Positiv gruppeforsinkelse Oppløsning og båndbredde Kommentarer Array-prosessering (antenner) Registrering av plane bølger Uniforme arrayer og direktivitet Sub-arrayer Aliasing Vekting av arrayer Kommentarer A Oppgaver og eksempler 133 B Litteraturliste 166 vii

8 . 0

9 Kapittel 1 Den diskréte Fourier transformasjonen 1.1 Samplingsteoremet La funksjonen f(t) og det tilhørende Fourier spekteret F(ω) være gitt. Dersom F(ω) 0 når ω Ω 0, sier vi at f(t) er Ω-båndbegrenset, med båndbredden Ω. En fundamental egenskap til en Ω-båndbegrenset funksjon er at den er bestemt for alle verdier av tiden (t) dersom vi kjenner funksjonsverdiene i visse samplingspunkter t n = n t, der t 0 er samplingsintervallet og n = 0, ±1, ±2,... (heltall). Samplingsintervallet avhenger imidlertid av signalets karakter : dersom signalet er høyfrekvent (bredt spektrum), må t være liten, men dersom signalet er lavfrekvent (smalt spektrum), kan det være tilstrekkelig med et lengre samplingsintervall. Med utgangspunkt i Fourier spekteret F(ω) som er lik null for ω Ω, konstruerer vi en 2Ω-periodisk funksjon som vi kaller for F(ω), definert ved F(ω + 2lΩ) = F(ω) når ω Ω og l = 0, ±1, ±2,... (heltall). Denne periodiske funksjonen kan for ω Ω representeres ved Fourier rekken F(ω) = c n exp( 2πinω/2Ω), (1.1) hvor Fourier koeffisientene c n er gitt ved integralet c n = 1 Ω F(ω) exp(2πinω/2ω) dω. (1.2) 2Ω Ω 1

10 Funksjonen f(t) er imidlertid gitt ved den inverse Fourier transformasjonen f(t) = 1 Ω F(ω) exp(iωt) dω, (1.3) 2π Ω slik at når vi velger t = t n = πn/ω, hvor n = 0, ±1, ±2,... (heltall), dvs. et samplingsintervall t = π/ω, blir høyre-siden av (1.3) proporsjonal med Fourier koeffisientene (c n ) gitt ved (1.2). Da får vi sammenhengen f n = f(t n ) = Ωc n /π = c n / t, (1.4) slik at når funksjonen f(t) samples i punktene t n får vi bestemt Fourier koeffisientene (c n ) til F(ω). Setter vi dette inn i (1.3) blir resultatet f(t) = 1 [ Ω ] f n exp[iω(t t n )] dω, (1.5) 2Ω Ω og bytter vi (formelt) om integrasjonen og summasjonen, får vi uttrykket f(t) = 1 2Ω [ ] Ω f n exp[iω(t t n )] dω. (1.6) Ω Integralet ovenfor lar seg lett beregne, og resultatet skriver vi på formen f(t) = f n sinc[ω(t t n )], (1.7) der sinc(x) sin(x)/x er den såkalte sinus cardinalis funksjonen. Da blir sinc[ω(t t n )] = 1 når t = t n men lik null dersom t = t m hvor m n. Summen ovenfor gir således formelt en funksjon som faller sammen med den opprinnelige funksjonen f(t) som ble samplet i punktene t n = n t. Et tilsvarende teorem vil være gyldig dersom vi har en tidsbegrenset funksjon f(t), dvs. en funksjon som er lik null for t T. Vi kan da rekonstruere Fourier spekteret F(ω) ved å sample dette i punktene ω = ω n = πn/t hvor n = 0, ±1, ±2,... (heltall). Det må imidlertid presiseres at en funksjon ikke kan være båndbegrenset og tidsbegrenset samtidig : en funksjon f(t) er enten tidsbegrenset eller båndbegrenset. For ordens skyld : generelt er en gitt funksjon f(t) hverken tidsbegrenset eller båndbegrenset. 2

11 Figur 1.1: Sampling og prinsippet for rekonstruksjonen Figur 1.1a viser en typisk diskrét versjon av en kontinuerlig funksjon som er samplet med et samplingsintervall t 0. Figur 1.1b viser hvordan vi i prinsippet kan rekonstruere funksjonen f(t) når vi i syv (7) samplingspunkter t n trekker syv sinc-funksjoner med amplitudene f n, og deretter summerer. Resultatet er den stiplete kurven på figur 1.1b. For ordens skyld nevner vi at f(t) i dette eksempelet ikke er båndbegrenset. Selv om vi i prinsippet er i stand til å rekonstruere en båndbegrenset funksjon når vi kjenner samplingsverdiene (f n ) i samplingspunktene (t n ), har vi alltid et praktisk problem : Summasjonen (1.7) går fra til +, og kan selvsagt aldri fullføres. Registrerer vi en funksjon f(t) må vi starte ved et bestemt tidspunkt (t = 0) og avslutte ved et annet (t = T). La oss starte registreringene ved tiden t = 0, og deretter foreta N diskréte registreringer av funksjonen f(t) med et samplingsintervall t 0. Vi har da f n = f(t n ) der t n = n t for n = 0, 1, 2,...,N 1. Forsøker vi å rekonstruere funksjonen f(t) med disse funksjonsverdiene som utgangspunkt, får vi ikke uventet visse problemer. Dersom vi antar at f(t) = 0 for t < 0 og for t N t = T, kan nemlig ikke f(t) være båndbegrenset. Men det er av interesse å vite hvor godt vi kan estimere funksjonen f(t) og det tilhørende Fourier spekteret F(ω). For å gi et svar på det går vi over til den såkalte diskréte Fourier transformasjonen (DFT). 3

12 1.2 Den diskréte Fourier transformasjonen Med utgangspunkt i funksjonen f(t) konstruerer vi en T-periodisk funksjon f(t) slik at f(t + lt) = f(t) for l = 0, ±1, ±2,... (heltall). Fourier koeffisientene og den tilhørende Fourier rekken er gitt ved c n = 1 T T 0 f(t) exp( 2πint/T) dt = f(t) = c n exp(2πint/t). (1.8) La funksjonen f(t) være samplet i punktene t j = j t der j = 0, 1,...,N 1, og la oss sette T = N t. La videre f j = f(t j ) være funksjonsverdiene i de N samplingspunktene. Summasjonsindeksen i Fourier rekken (1.8) skriver vi som n = k + ln, hvor vi summerer både over k = 0, 1,...,N 1 og l = 0, ±1, ±2,... (heltall). Innsatt i (1.8) gir dette [ ] f j = c k+ln exp(2πijk/n) k=0 l = f j = k=0 c k exp(2πijk/n), (1.9) hvor vi har introdusert størrelsen c k som kalles for alias-koeffisientene til tidsrekken f j = f(t j ). NB: Koeffisientene c k vil generelt ikke være lik Fourier koeffisientene. Definisjonen og en viktig egenskap til alias-koeffisientene er c k = l c k+ln for k = 0, 1,...,N 1, = c k = c k+mn for m = 0, ±1, ±2,... (1.10) Alias-koeffisientene ( c k ) er N-periodiske og spiller en fundamental rolle i den diskréte Fourier analysen. Fra (1.9) ser vi at funksjonsverdiene f j er bestemt når alias-koeffisientene c k er gitt. Minst like viktig er det at også alias-koeffisientene c k kan beregnes når f j er gitt. Multipliserer vi (1.9) med exp( 2πijm/N) og summerer fra j = 0 til j = N 1, får vi j=0 f j exp( 2πijm/N) = j=0 [ k=0 c k exp[2πi(k m)j/n] ]. (1.11) 4

13 Bytter vi om summasjonsrekkefølgen (over indeksen j) på høyre-siden, blir den innerste summen en geometrisk rekke på formen S = j R j hvor R = exp[2πi(k m)/n]. Dersom k = m (modulus N) blir R = 1 og S = N, men når k m er R N 1 og vi får summen S = (1 R N )/(1 R) = 0. Vi får således et bidrag ulik null bare når k = m (modulus N), altså c m = 1 N j=0 f j exp( 2πijm/N), (1.12) der m = 0, 1,...,N 1. Relasjonene (1.9) og (1.12) er utgangspunktet for den diskréte Fourier transformasjonen (DFT), og de aller fleste teoremene vi kjenner fra Fourier analysen har en DFT-versjon. Skal vi beregne alias-koeffisientene setter vi E = exp( 2πi/N) og får N c m = f 0 + f 1 E m + f 2 E 2m + + f N 1 E (N 1)m, (1.13) som er verdien av et polynom der argumentet (E m ) ligger på enhetsirkelen i det komplekse planet (koeffisientene i polynomet er funksjonsverdiene f j ). Polynomet kan beregnes ved bruk av Horners metode, men mer effektive metoder er utviklet, nemlig Fast Fourier Transform (FFT). Detaljene i FFT-algoritmen er imidlertid bare av marginal interesse i denne sammenhengen (prinsippet for FFT-algoritmen kalles desimering i tid). Indeksen m i uttrykket for c m må ikke tolkes som frekvens; frekvensene er nemlig ω m = 2πm/T. Ser vi nærmere på uttrykket for E m kan vi skrive E m = exp( 2πim/N) = exp( im ω t), (1.14) hvor ω = 2π/T og t = T/N, henholdsvis (legg merke til at ω t = 2π/N). Tilsynelatende har vi frekvensene ω m = m ω for m = 0, 1,...,N 1, men er tidsrekken f j reell, tilfredsstiller alias-koeffisientene c m = c m = c N m. (1.15) Da benytter vi egentlig bare alias-koeffisientene c m for verdier av indeksen m = 0, 1,...,[N/2], hvor [ ] er heltallsverdien av argumentet. Når indeksen m ligger på intervallet [N/2]+1 m N 1, må vi derfor assosiere den med 5

14 Figur 1.2: Diskréte frekvenser når (a) N = 8 og (b) N = 9 negative frekvenser. De tilhørende alias-koeffisientene c m inneholder således ingen annen informasjon enn den som allerede ligger i de positive frekvensene (NB: bare dersom tidsrekken f j er reell). Vi definerer den såkalte Nyquist-frekvensen ω Ny som ω Ny = π/ t = πn/t = N ω/2. (1.16) Dersom vi foretrekker å arbeide med den lineære frekvensen ν = ω/2π (Hz), får vi ν Ny = 1/2 t. Vi sier gjerne at dette er den høyeste frekvensen vi har i våre registreringer. Det betyr at alias-koeffisientene ( c k ) ikke kan være lik de sanne Fourier koeffisientene (c k ). Men i tillegg til Nyquist-frekvensen har vi ω m = m ω hvor m = 0, ±1,...,±(N/2 1), når N er jamn. Det er disse frekvensene vi benytter i den diskréte analysen. Legg merke til at når Nyquist-frekvensen er definert som π/ t, vil vi med ω m = 2πm/N t hvor m = 0, ±1, ±2,... (heltall) ha ω m π/ t, med mindre N er jamn. Dersom vi arbeider med symmetriske funksjoner, kan det være hensiktsmessig å benytte et odde antall samplingspunkter. Diskutér og sammenlign dette med figur 1.2a,b hvor posisjonene til de komplekse vektorene E m er vist, når N = 8 og N = 9, henholdsvis. 6

15 1.3 Folding av spekteret og alias-feil Selv om vi nå har etablert den diskréte Fourier transformasjonen (DFT), må vi presisere at alias-koeffisientene ( c m ) generelt ikke er lik Fourier koeffisientene (c m ) til den periodiske funksjonen f(t) som er samplet i punktene t j = j t der j = 0, 1,...,N 1. Formelt er uttrykkene (1.10) N lineære ligninger med et uendelig antall ukjente Fourier koeffisienter. Er f(t) et trigonometrisk polynom, og vi sampler dette polynomet i overensstemmelse med samplingsteoremet, får vi en entydig løsning hvor c m = c m. Som et eksempel, anta at funksjonen f(t) er gitt ved f(t) = +M M c m exp(2πimt/t), (1.17) Med samplingsintervallet t = T/N og N = M = 3, får vi fra (1.10) følgende (lineære) ligninger c 0 = + c 3 + c 0 + c 3 + c 1 = + c 2 + c 1 + c 4 + (1.18) c 2 = + c 1 + c 2 + c 5 + Her er c 4 = c 5 = 0, dvs. N = 3 ligninger med 2M + 1 = 7 ukjente, og det er således ikke mulig å få bestemt c m entydig (undersampling). Polynomet f(t) er Ω-båndbegrenset med båndbredden Ω = 2πM/T og samplingsintervallet t = T/N. Korrekt sampling N > 2M gir derimot c m = c m. Med andre ord, enhver Ω-båndbegrenset og T-periodisk funksjon kan alltid skrives som et trigonometrisk polynom av grad M = TΩ/2π. Fra definisjonen på alias-koeffisientene (1.10) får vi generelt en folding, eller overlapping, av Fourier koeffisientene. Som et enkelt eksempel : i stedet for Fourier koeffisienten c 0, får vi alias-koeffisienten c 0 = + c 2N + c N + c 0 + c N + c 2N + (1.19) Alias-koeffisientene er komplekse størrelser og med c m = α m + iβ m får vi en folding både i realdelen (α m ) og i imaginærdelen (β m ). Skriver vi c m på 7

16 formen c m = A m exp(iϕ m ), får vi også en folding i amplitudespekteret (A m ) og i fasespekteret (ϕ m ), men det lar seg ikke formulere like enkelt som i uttrykket (1.19). Feilen vi introduserer blir således c n c n = [c n+ln + c n ln ], (1.20) l=1 slik at der vil generelt alltid være alias-feil for n = mn. Eksempel : Figur 1.3 illustrerer resultatene vi til nå har utledet : en diskrét registrering av en funksjon f(t) og de tilhørende alias-koeffisientene. Vi benytter den kausale funksjonen f(t) = 0 når t < 0, og f(t) = exp( γt) når t 0, (1.21) som har Fourier transformasjonen F(ω) = G(ω) + ih(ω), hvor G(ω) = +γ/(γ 2 + ω 2 ), F(ω) = 1/(γ + iω) = H(ω) = ω/(γ 2 + ω 2 ). (1.22) Funksjonen f(t), real- og imaginærdelen av spekteret, G(ω) og H(ω), er vist som heltrukne kurver (γ = 1). Vi fikserer T = 8 s og foretar deretter en diskrét sampling av f(t) med N = 16 samples, som gir t = T/N = 0.5 s og ν Ny = 1 Hz, henholdsvis. Den diskréte Fourier transformasjonen finner vi fra (1.12), og resultatet er vist på figur 1.3a, hvor vi tydelig kan identifisere alias-feil. Dersom vi fordobler N (til N = 32), vil t halveres og Nyquistfrekvensen fordobles (til ν Ny = 2 Hz), og resultatet er vist på figur 1.3b. Alias-fenoménet er redusert, men er selvsagt fortsatt tilstede. Som en oppsummering kan vi si at rent bortsett fra at den diskréte Fourier transformasjonen er periodisk, og dermed begrenser hvor høye frekvenser vi kan få analysert med et gitt samplingsintervall, må vi nå også passe på at der er ubetydelig energi på og over Nyquist-frekvensen. Dersom dette ikke er tilfelle får vi alias-feil (folding av spekteret). Øker vi antall samples (N) vil samplingsintervallet ( t) avta, mens Nyquist-frekvensen øker. På denne måten kan vi alltid i prinsippet få redusert alias-fenomenet. 8

17 Figur 1.3: Sampling av f(t) med (a) N = 16 og (b) N = 32, henholdsvis. Real- og imaginærdelene til alias-koeffisientene er plottet i den rekkefølgen de opptrer i definisjonen av DFT. Ønsker vi å plotte positive og negative frekvenser i naturlig rekkefølge, må vi starte med c N/2+m og fortsette med c m for m = 0, 1, 2,...,N/2. Alias-koeffisientne er N-periodiske, dvs. at når N er et jamnt heltall vil c N/2+m = c m N/2, sml. figur 1.2a. Dersom N er et odde heltall, sml. figur 1.2b 9

18 Figur 1.4: Effekten av å fylle på nuller i en (reell) tidsrekke I mange sammenhenger forlenger vi en tidsrekke ved å fylle på et visst antall nuller, for deretter å beregne den diskréte Fourier transformasjonen. På denne måten oppnår vi bedre oppløsning i frekvensdoménet. Først av alt, når samplingsintervallet t er det samme, vil Nyquist-frekvensen også bli den samme. Dersom vi starter med N samples og øker antallet med en faktor M, vil tidsintervallet (T) bli lengre, slik at ω = 2π/T vil avta. Dette er illustrert på figur 1.4a med et signal f n av varighet T = 2 s og N = 16, henholdsvis. Deretter har vi valgt M = 4 slik at tidsintervallet blir T = 8 s. Det nye signalet kaller vi g n av lengde MN. Alias-koeffisientene kaller vi for F m og G m, henholdsvis. På frekvensaksen blir altså Nyquist-frekvensen den samme, ν Ny = 1/2 t = 4 Hz, mens ν = 1/T endres fra ν = 0.5 Hz til ν = Hz. På figur 1.4b viser vi alias-koeffisientene (amplituden) til den opprinnelige tidsrekken (f n ), markert ved de vertikale søylene, mens symbolene markerer alias-koeffisientene til den nye tidsrekken (g n ). For ordens skyld gjør vi oppmerksom på at vi har benyttet alias-koeffisientene MG m i denne sammenligningen (forklar hvorfor). Legg merke til at de nye alias-koeffisientene MG m faller sammen med de opprinnelige F n når m = 4n, hvor n = 0, 1,...,N 1, eller generelt når m = nm. På denne måten har vi faktisk utført en interpolasjon i Fourier transformasjonen. NB : Vi har ikke tilført noen ny informasjon, slik at de nye alias-koeffisientene MG m egentlig bare er en spesiell lineærkombinasjon av de opprinnelige alias-koeffisientene F m. 10

19 1.4 Digital summasjon I den diskréte Fourier analysen arbeider vi ofte med et spektrum eller aliaskoeffisienter som er Hermittiske, dvs. realdelen er symmetrisk (jamn), mens imaginærdelen er anti-symmetrisk (odde). Skriver vi F n = G n + ih n får vi Fn = F N n, eller G n = G N n og H n = H N n, henholdsvis, hvor n = 1, 2,...,N/2 1 (vi antar N er jamn). Vi presiserer at både G n og H n er reelle størrelser, slik at F 0 og F N/2 begge er reelle og H 0 = H N/2 = 0. La oss nå definere L = N/2 (når N er jamn) og studere summen n=0 F n = F 0 + L 1 n=1 F n + F N/2 + L+1 F n. (1.23) Vi skifter summasjonsindeks i den siste summen, n = N j, slik at indeksene n og j antar verdiene : henholdsvis. På denne måten får vi n=0 n = N/2 + 1,N/2 + 2,...,N 1 = j = N/2 1,N/2 2,...,1, (1.24) L 1 F n = F 0 + (F n + F N n ) + F N/2, (1.25) n=1 og dersom F n er Hermittisk, dvs. F N n = F n, kan vi skrive n=0 F n = F 0 + 2R [ L 1 n=1 F n ] + F N/2. (1.26) Legg merke til at i det siste uttrykket opptrer bare positive frekvenser, dvs. indeksene n = 0, 1, 2,..., N/2. For ordens skyld, dersom N er odde blir L = (N + 1)/2 og det siste leddet F N/2 vil ikke opptre (sml. figur 1.2a,b). Fra Fourier analysen kjenner vi til tilsvarende resultater. Uttrykket (1.26) får vi bruk for i kapittel 9, og det er god grunn til merke seg dette. 11

20 1.5 Hermittisk symmetri La den komplekse N-periodiske tidsrekken f n = exp(iπn/n) være gitt, der n = 0, 1,...,N 1. Er denne tidsrekken Hermittisk, anti-hermittisk eller ingen av delene? Først må vi definere Hermittiske tidsrekker. Skriv derfor den komplekse tidsrekken f n på formen f n = x n + iy n, der x n og y n er to reelle tidsrekker. En Hermittisk tidsrekke tilfredsstiller f n = f n, dvs. realdelen x n er symmetrisk (x n = x n ), og imaginærdelen y n er anti-symmetrisk (y n = y n ). En anti-hermittisk tidsrekke tilfredsstiller f n = f n, dvs. realdelen er anti-symmetrisk (x n = x n ), og imaginærdelen er symmetrisk (y n = y n ). En Hermittisk, N-periodisk tidsrekke har egenskapen y 0 = I(f 0 ) = 0, en anti-hermittisk, N-periodisk tidsrekke har egenskapen x 0 = R(f 0 ) = 0. Dersom N er et jamnt heltall, har vi tilsvarende egenskaper for f N/2. Det er meget viktig å benytte definisjonen f n = f N n, dvs. ikke bare skifte fortegn på indeksen (n) i et matematisk uttrykk for tidsrekken f n. Eksempel La den N-periodiske tidsrekken f n = exp(iπn/n) være gitt. Her er f n = f N n = exp(iπ(n n)/n) = f n, (1.27) og da er vel den komplekse tidsrekken f n anti-hermittisk? Nei, og grunnen er at den siste delen av utrykket ovenfor bare er gyldig dersom n 0 mod N. Realdelen x n = cos(πn/n) tilfredsstiller nemlig ikke x 0 = x 0. Real- og imaginærdelene til tidsrekken f n er vist på figur 1.5a,b. Skal vi beregne den diskréte Fourier transformasjonen (DFT) til denne spesielle tidsrekken, kan det gjøres enklest som vist på neste side. 12

21 DFT Figur 1.5: Real- og imaginærdelene til tidsrekken f n når N = 20 La oss først definere den N-periodiske og anti-hermittiske tidsrekken g n som g n = f n δ n, slik at g 0 = 0. Sammenhengen mellom alias-koeffisientene F m og G m er her gitt som F m = G m + 1/N, der m = 0, 1,...,N 1. Den diskréte Fourier transformasjonen (DFT) til tidsrekken g n er da G m = 1 N n=0 g n exp( 2πinm/N) = 1 N n=1 R n, (1.28) der R = R(m) = exp[ iπ(2m 1)/N]. (1.29) Summen av den geometriske rekken (1.28) kan vi skrive på formen NG m = R RN 1 R = R R = R 1/2 + R 1/2 R 1/2 R1/2, (1.30) fordi R N = 1. Etter litt enkel algebra finner vi til slutt uttrykket G m = i N cos[π(2m 1)/2N] sin[π(2m 1)/2N], (1.31) som er rent imaginær, men uten noen spesielle symmetriegenskaper. Det eneste vi kan si er at G N m = G m+1, om det skulle ha noen interesse. Aliaskoeffisientene F m = G m + 1/N er altså komplekse tall. 13

22 1.6 Kommentarer Samplingsteoremet forteller oss at en båndbegrenset funksjon må samples med minst to samples/periode. Anta at g(t) = cos(ωt) er gitt. Korrekt sampling krever da at samplingsintervallet tilfredsstiller t π/ω. Dersom t > π/ω får vi den tilsynelatende frekvensen (apparent frequency) ν A = mod[(ν 0 + ν Ny ), 2ν Ny ] ν Ny. (1.32) Her er ν 0 = Ω/2π og ν Ny = 1/2 t er Nyquist-frekvensen, henholdsvis. Legg merke til at den tilsynelatende frekvensen tilfredsstiller ν A ν Ny. Den kan altså bli negativ. Hvordan tolker du det? Anta at g(t) = sin(ωt). Dersom ν 0 = 1 Hz og t = 3 s, blir ν 4 Ny = 1/2 t = 2 og ν 3 A = 1 Hz, 3 henholdsvis. Dersom t = 5 s blir derimot ν 4 Ny = 2 og ν 5 A = 1 Hz, som 5 også er mindre enn Nyquist-frekvensen. Det er denne konstruksjonen som kalles for folding av spekteret om Nyquist-frekvensen. Altså : når t > π/ω (undersampling), får vi en for lav tilsynelatende frekvens. Vi sier gjerne at vi ser den tilsynelatende frekvensen i en diskrét registrering. Til tross for at samplingsteoremet kan formuleres relativt enkelt, er der ikke desto mindre visse problemer. La funksjonen g(t) være gitt som g(t) = a 1 cos(πt) + a 2 cos(2πt), (1.33) dvs. en sum av to harmoniske funksjoner med frekvensene 1 Hz og 1 Hz, 2 henholdsvis. Velger vi samplingsintervallet t = 2 s blir ν 3 A = 1 Hz. Det 2 betyr at den ene (høyfrekvente) harmoniske funksjonen blir transparent. Et beslektet fenomén er følgende eksempel : Anta at funksjonen h(t) = cos[ω(t t 0 )] hvor t 0 0, samples i punktene t n = nπ/ω for n = 0, ±1, ±2,... (heltall). Splitt h(t) opp i en jamn del pluss en odde del, slik at h(t) = h e (t) + h o (t), og vis at h o (t n ) = 0. Er dette resultatet i overensstemmelse med samplingsteoremet? Med andre ord, dersom vi sampler en Ω-båndbegrenset funksjon i punktene t n = nπ/ω, kan vi da utelukke at der skjult i dataene ligger en sinus-funksjon som er lik null i alle samplingspunktene? 14

23 Kapittel 2 Konvolusjon og Z-transformasjonen 2.1 Lineær og syklisk konvolusjon Konvolusjonen mellom to tidsrekker (konvolusjonsteoremet) spiller en helt spesiell rolle i signalteorien. La f(t) og g(t) være to funksjoner som er samplet i tidspunktene t k = k t, og la f k = f(t k ) og g k = g(t k ), henholdsvis, hvor k = 0, 1,...,N 1. Den lineære konvolusjonen mellom de to tidsrekkene f k og g k er en ny tidsrekke h n definert som n n h n = f k g n k = g k f n k, (2.1) k=0 k=0 hvor vi nå antar at f k = g k = 0 for k < 0 (og for k N). Skriver vi ut noen verdier av h n mer ekplisitt, får vi h 0 = f 0 g 0, h 1 = f 0 g 1 + f 1 g 0, h 2 = f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0,... (2.2)..., h 2N 2 = f N 1 g N 1. Tidsrekken h n inneholder generelt 2N 1 verdier som ikke er identisk lik null. For den lineære konvolusjonen er prosedyren den at vi reverserer og foretar et lineært skifte av g k, multipliserer med f k og deretter summerer de ulike produktene vi får. Som et konkret eksempel : la oss anta at f k og g k 15

24 begge har N = 4 verdier som ikke er identisk lik null. Dersom f k og g k ikke har samme lengde, kan vi alltid forlenge den korteste ved å fylle på nuller inntil lengden er N. Vi kan illustrere den lineære konvolusjonen ved hjelp av følgende skjema (en matrise multiplisert med en vektor) : h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 = g g 1 g g 2 g 1 g 0 0 g 3 g 2 g 1 g 0 0 g 3 g 2 g g 3 g g 3 f 0 f 1 f 2 f 3 = f 0 g 0 f 0 g 1 + f 1 g 0 f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0 f 0 g 3 + f 1 g 2 + f 2 g 1 + f 3 g 0 f 1 g 3 + f 2 g 2 + f 3 g 1 f 2 g 3 + f 3 g 2 f 3 g 3 (2.3) Fra Fourier analysen vet vi at en konvolusjon i tidsdoménet tilsvarer en multiplikasjon av spektrene i frekvensdoménet. Ønsker vi å utføre dette i frekvensdoménet ved bruk av den diskréte Fourier transformasjonen, får vi N alias-koeffisienter, mens konvolusjonen har 2N 1 verdier. Vi kan altså ikke uten videre beregne den lineære konvolusjonen ved bruk av DFT. Skal DFT-algoritmen benyttes må vi introdusere den sykliske konvolusjonen (c n ) mellom tidsrekkene f k og g k, definert som c n = k=0 f k g n k = k=0 g k f n k, (2.4) hvor det forutsettes at både f k og g k er N-periodiske, dvs. f k = f k+ln og g k = g k+ln for l = 0, ±1, ±2,... (heltall). Da er c n = c n+ln slik at den sykliske konvolusjonen også blir N-periodisk. På denne måten blir f.eks. c 0 = f 0 g 0 + f 1 g 1 + f 2 g f N 1 g 1 N, c 0 = f 0 g 0 + f 1 g N 1 + f 2 g N f N 1 g 1, (2.5) og setter vi opp et tilsvarende skjema som (2.3), får vi c 0 c 1 c 2 c 3 = g 0 g 3 g 2 g 1 g 1 g 0 g 3 g 2 g 2 g 1 g 0 g 3 g 3 g 2 g 1 g 0 f 0 f 1 f 2 f 3 = f 0 g 0 + f 1 g 3 + f 2 g 2 + f 3 g 1 f 0 g 1 + f 1 g 0 + f 2 g 3 + f 3 g 2 f 0 g 2 + f 1 g 1 + f 2 g 0 + f 3 g 3 f 0 g 3 + f 1 g 2 + f 2 g 1 + f 3 g 0. (2.6) 16

25 Den sykliske konvolusjonen (c n ) er N-periodisk, mens den lineære konvolusjonen (h n ) har lengde 2N 1. Vi får at c n har alias-feil gitt ved c n = l h n+ln for n = 0, 1,...,N 1. (2.7) Dette er en fundamental sammenheng mellom den sykliske og den lineære konvolusjonen. I det aktuelle eksempelet ovenfor med N = 4 får vi som gir c n = + h n 4 + h n + h n+4 + (2.8) c 0 = h 0 + h 4, c 1 = h 1 + h 5, (2.9) Sammenligner vi tidsrekken h n gitt ved (2.3) med tidsrekken c n gitt ved (2.6), ser vi at dette er riktig. For å skille den lineære konvolusjonen fra den sykliske konvolusjonen, kan vi f.eks. skrive h = f g og c = f g, henholdsvis. 2.2 Konvolusjon og DFT Vi kan også vise at dersom vi i (2.4) setter inn for tidsrekkene f k og g k uttrykt ved hhv. alias-koeffisientene F m og G m, får vi relasjonen c n = k=0 f k g n k = N m=0 F m G m exp(2πimn/n). (2.10) Dette forteller oss at den inverse-dft til produktet F m G m er den sykliske konvolusjonen mellom f k og g k (legg merke til skaleringsfaktoren N). Ønsker vi å beregne den lineære konvolusjonen (2.1) ved bruk av DFTalgoritmen kan vi ikke benytte (2.10). Imidlertid, forlenger vi tidsrekkene f k og g k ved å fylle på minst N 1 nuller inntil vi har 2N 1 verdier, og deretter beregner alias-koeffisientene F m og G m ved bruk av DFT-algoritmen (med 2N 1 isteden for N), da kan formelen (2.10) benyttes. La oss vise dette. Med definisjonen på den lineære konvolusjonen n h n = f k g n k, (2.11) k=0 og uttrykket (2.3), ser vi at den lineære konvolusjonen h n mellom to tidsrekker f n og g n kan beregnes som en multiplikasjon mellom en (søyle)vektor 17

26 og en matrise med en spesiell struktur. Slike matriser opptrer i studiet av (tids)invariante systemer og kalles Toeplitz matriser. Vi skal illustrere dette med et enkelt eksempel når N = 4. Vi fyller først på N 1 nuller i de to tidsrekkene f n og g n og konstruerer deretter en (2N 1) (2N 1) syklisk, Toeplitz matrise, og får h 0 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 = g g 3 g 2 g 1 g 1 g g 3 g 2 g 2 g 1 g g 3 g 3 g 2 g 1 g g 3 g 2 g 1 g g 3 g 2 g 1 g g 3 g 2 g 1 g 0 f 0 f 1 f 2 f (2.12) Ved å fylle på minst N 1 nuller i de to tidsrekkene kan altså den lineære konvolusjonen beregnes som en syklisk konvolusjon. Til slutt benytter vi anledningen til å introdusere vektornotasjoner for tidsrekker. En tidsrekke f n som er samplet med et konstant samplingsintervall ( t) kan vi skrive på formen f = (f 0,f 1,...,f n,...). (2.13) Dersom α er en vilkårlig skalar, har vi følgende generelle egenskaper αf = (αf 0,αf 1,...,αf n,...), f + g = (f 0 + g 0,f 1 + g 1,...,f n + g n,...). (2.14) Definert på denne måten kan vi benytte egenskapene for et lineært vektorrom, og det er mange fordeler med denne formuleringen. 2.3 Auto- og krysskorrelasjonen En størrelse som er nær knyttet til konvolusjonen er korrelasjonen mellom to tidsrekker. Krysskorrelasjonen mellom f k og g k definerer vi som u fg (n) = k f kg n+k (2.15) 18

27 for n = 0, ±1, ±2,...,±(N 1). Det gir oss 2N 1 elementer i den nye tidsrekken u fg (n). Det er viktig å huske på rekkefølgen mellom f k og g k i definisjonen av u fg (n). For å forenkle notasjonen skriver vi v n = u fg (n). Krysskorrelasjonen kan vi skrive som en konvolusjon mellom g k og den tidsreverserte av f k, definert her ved relasjonen f k = f k. Vi får da v n = u fg (n) = k f kg n k (2.16) for n = 0, ±1, ±2,...,±(N 1). Som et konkret eksempel velger vi N = 3, skriver (2.16) ut eksplisitt og får på samme vis som (2.3) følgende skjema v 2 v 1 v 0 v +1 v +2 = f2 0 0 f1 f2 0 f0 f1 f2 0 f0 f1 0 0 f0 g 0 g 1 g 2 = f 2g 0 f 1g 0 + f 2g 1 f 0g 0 + f 1g 1 + f 2g 2 f 0g 1 + f 1g 2 f 0g 2. (2.17) NB : korrelasjonen er dobbeltsidig, dvs. der er elementer i tidsrekken v n som ikke er identisk lik null for negative verdier av indeksen n. Vi sier gjerne at krysskorrelasjonen er et mål for likheten mellom de to tidsrekkene f k og g k etter en viss tidsforsinkelse (n). Lar vi w n = u gf (n) være krysskorrelasjonen mellom g k og f k (pass på rekkefølgen), får vi tidsrekken w n = k g kf k+n = v n. (2.18) Til slutt setter vi g k = f k i definisjonen (2.15), og får den såkalte autokorrelasjonen u n = u ff (n) til tidsrekken f k, eller u n = k f kf k+n. (2.19) Korrelasjonene u n, v n og w n inneholder generelt i alt 2N 1 verdier som ikke er identisk lik null, på samme måte som den lineære konvolusjonen mellom tidsrekkene f k og g k gir en ny tidsrekke av lengde 2N 1. 19

28 Ønsker vi å benytte DFT-algoritmen til å beregne auto- eller krysskorrelasjonen, er utgangspunktet den sykliske varianten av Parsevals formel k=0 f kg k = N m=0 F mg m, (2.20) hvor f k = f k+ln og g k = g k+ln, henholdsvis, der l = 0, ±1, ±2,... (heltall). Setter vi g k = f k+n hvor 0 n N 1, som kalles for et syklisk skift av tidsrekken f k, får vi den sykliske varianten av skiftteoremet g k = f k+n G m = F m exp(2πimn/n). (2.21) Til slutt setter vi dette inn i (2.20) og får den sykliske autokorrelasjonen k=0 f kf k+n = N Den sykliske autokorrelasjonen er m=0 F m F m exp(2πimn/n). (2.22) u n = f 0f n + f 1f n f N 1f n+n 1. (2.23) Hvert ledd i den sykliske korrelasjonen inneholder en sum av N ledd, på samme måte som den sykliske konvolusjonen er en sum av N ledd. Vis til slutt at autokorrelasjonen er Hermittisk, dvs. u n = u n! 2.4 Z-transformasjonen Hittil har vi beskrevet tidsrekker i tidsdoménet og i frekvensdoménet. Vi skal nå innføre et tredje doméne som er nyttig når vi skal studere spesielle former for digitale filtreringer. En tidsrekke f = (f 0,f 1,...,f n ) overføres til det såkalte Z-doménet ved Z-transformasjonen F(Z), definert som F(Z) = f 0 + f 1 Z + f 2 Z f n Z n, (2.24) dvs. fra tidsrekken f k danner vi et polynom i potenser av Z. Tiden (t k ) vi foretar registreringene ved opptrer som Z k. Vi har da at en lineær tidsforsinkelse på én tidsenhet kan uttrykkes som en multiplikasjon med Z, og operatoren Z kaller vi derfor for en forsinkelsesoperator (delay-operator). 20

29 Vi kan konvolvere to tidsrekker ved å multiplisere de to tilhørende Z- transformasjonene, dvs. de to polynomene F(Z) og G(Z). Som et eksempel lar vi N = 2, dvs. f = (f 0,f 1 ) og g = (g 0,g 1 ), og får F(Z) = f 0 + f 1 Z og G(Z) = g 0 + g 1 Z = F(Z)G(Z) = f 0 g 0 + (f 0 g 1 + f 1 g 0 )Z + f 1 g 1 Z 2. (2.25) Generelt har vi følgende uttrykk for produktet F(Z)G(Z) : ( K ) ( M ) f k Z k g m Z m = k=0 m=0 K+M n=0 h n Z n n = h n = f j g n j (2.26) j=0 for n = 0, 1, 2,...,K +M. Uttrykket (2.26) er kjent som Cauchys formel. På samme vis er autokorrelasjonen også en multiplikasjon i Z-doménet U(Z) = F ( 1 Z ) ( ) 1 F(Z) = U, (2.27) Z hvor F(1/Z) er en tidsrevers av f k. En tidsrevers i Z-doménet må tolkes som en reversering om t = 0. Ønsker vi en reversering av f k (dvs. f N k ), kan dette skrives som Z N F(1/Z). Krysskorrelasjonen mellom f k og g k er V (Z) = F ( 1 Z ) ( ) 1 G(Z) = W. (2.28) Z Legg også merke til at den assosiative, den kommutative, og den distributive regneregelen (selvsagt) har gyldighet i Z-doménet. Fordi en multiplikasjon mellom F(Z) og G(Z) i Z-doménet tilsvarer en konvolusjon mellom tidsrekkene i tidsdoménet, må vi nesten forvente at der er en sammenheng mellom Z-transformasjonen og den diskréte Fourier transformasjonen. Tar vi utgangspunkt i uttrykket for alias-koeffisientene ( c m ) til en gitt tidsrekke (f n ), består dette egentlig bare i å beregne verdiene til et bestemt polynom. Dersom vi beregner verdien av Z-transformasjonen F(Z) til en tidsrekke f n for Z = exp( 2πim/N) hvor m = 0, 1,...,N 1, får vi alias-koeffisientene c m = F m (bortsett fra skaleringsfaktoren N). 21

30 Skriver vi derfor Z = exp( iω t) = exp( 2πim/N) = E m, (2.29) hvor ω = m ω, har vi en én-til-én avbildning fra frekvensaksen ω ω Ny til enhetsirkelen Z = 1 i det komplekse Z-planet, hvor ω Ny = π/ t er Nyquist-frekvensen. Med tidsintervallet T og N samples er t = T/N, og med ω = m ω blir Z = E m, der m = 0, 1,...,N 1. Det er disse (i alt N) frekvensene vi benytter i den diskréte (digitale) signalteorien. Ikke desto mindre er det nyttig å betrakte Z som en kontinuerlig funksjon av frekvensen (ω), og vi assosierer gjerne Z-transformasjonen med en endelig (finite) Fourier transformasjon F(ω) på Nyquist-intervallet. La oss se nærmere på dette. Vi tar utgangspunkt i Z-transformasjonen til tidsrekken f k hvor k = 0, 1,...,N 1, dvs. F(Z) = k=0 f k Z k. (2.30) Tidsrekken f k kan vi uttrykke ved alias-koeffisientene (F n ), slik at F(Z) = k=0 [ n=0 F n E nk ] Z k (2.31) hvor E = exp( 2πi/N). Vi bytter om summasjonsrekkefølgen og får F(Z) = [ F n n=0 k=0 (ZE n ) k ]. (2.32) Den innerste summen er en geometrisk rekke, som gir oss mer eksplisitt F(Z) = n=0 F n [ 1 (ZE n ) N 1 ZE n ]. (2.33) Spesielt interessant blir dette når Z = exp( iω t), fordi da kan uttrykket (2.33) skrives som en syklisk konvolusjon. Det er fordi ZE n = exp[ i(ω n ω) t], (2.34) 22

31 og etter litt enkel algebra finner vi et uttrykk for Fourier spekteret F(ω) = N n=0 F n W(ω n ω) hvor W(ω) = sin(nω t/2) exp[ iω t(n 1)/2]. (2.35) N sin(ω t/2) NB: I uttrykket for W(ω) har vi dividert med faktoren N. Det er gjort for at W(0) = 1. Første delen av W(ω) som inneholder sinus-funksjonene tolker vi som en diskrét interpolasjonsoperator. Vi kan derfor kalle denne delen for den diskréte sinc-funksjonen, sind N (t) sin(nt)/n sin(t). Den siste delen av W(ω) som inneholder eksponensialfunksjonen representerer kun en lineær fasevinkel. Uttrykket (2.35) kommer vi stadig tilbake til i den diskréte Fourier analysen, og det er derfor god grunn til å merke seg dette. 2.5 Eksempler Z-transformasjonen W = F(Z) er en avbildning fra det komplekse Z-planet til det komplekse W-planet. Med det mener vi at det til enhver verdi av Z = X + iy finnes en verdi av W = U + iv. Spesielt er dette av interesse dersom Z ligger på enhetsirkelen Z = 1 i det komplekse Z-planet. La oss vise et par eksempler. Z-transformasjonen til en tidsrekke f n hvor n = 0, 1,...,N 1, er gitt ved (2.30). Dersom f n 1 får vi en geometrisk rekke W = F(Z) = n=0 Z n = 1 ZN 1 Z. (2.36) Dette er en formel som vi får bruk for mange ganger, og det er derfor grunn til å huske dette uttrykket. Utledningen er som følger : W = 1 + Z + + Z N 2 + Z N 1, Z W = Z + Z Z N 1 + Z N, (2.37) = (1 Z) W = 1 Z N. 23

32 Figur 2.1: Z-transformasjonen til en geometrisk rekke (N = 3) Figur 2.1a viser enhetsirkelen i Z-planet, og figur 2.1b transformasjonen W = F(Z)/N når Z = 1 og N = 3 (vi har dividert med faktoren N). Legg merke til at W = 0 når Z k = exp( 2πik/N) og k = 1, 2,...,N 1. Med N = 3 er nullpunktene Z = exp(±2πi/3). Legg også merke til at F(1) = N, mens F( 1) = 0 når N er jamn, og F( 1) = 1 når N er odde. Dersom en tidsrekke av lengde 2M + 1 er symmetrisk om midtpunktet (lineær fasevinkel), vil tidsrekken G(Z) = Z M F(Z) være symmetrisk om origo. Med substitusjonen Z = 1/Z blir G(Z) = Z M F(1/Z), og med utgangspunkt i en geometrisk rekke av lengde 2M + 1 får vi G(Z) = Z M F(Z) = Z M Z M+1. (2.38) 1 Z Den aktuelle geometriske rekken kan også skrives G(Z) = +M M Z k = Z M + + Z M (2.39) og det er ingen tvil om at G(Z) er symmetrisk om origo. Geometriske rekker benytter vi i mange sammenhenger, og det er derfor god grunn til å huske disse elementære egenskapene. Fra Fourier analysen vet vi dessuten at aliaskoeffisientene til symmetriske tidsrekker er reelle. 24

33 Figur 2.2: Eksempel på Z-transformasjonen W = F(Z) Mer generelt, la oss illustrere Z-transformasjonen hvor W = F(Z) = 1 2 (Z + 1)3 /(Z 2 + 3), (2.40) eller et Butterworth lavpassfilter som vi skal komme tilbake til i kapittel 8 om rekursiv filtrering. På figur 2.2a viser vi igjen enhetsirkelen Z = 1, og på figur 2.2b den tilhørende transformasjonen W = F(Z). Der er også andre måter å plotte funksjonen W = F(Z) på, f.eks. U = R[W] = U(X,Y ) og V = I[W] = V (X,Y ), men det kan være vanskelig å tolke disse figurene. Da er det bedre å plotte amplituden (A) og fasen (ϕ), definert ved W = F(Z) = A(ω) exp[iϕ(ω)], (2.41) hvor vi har satt inn for Z = exp( iω t). Her er A(ω) amplitude- og ϕ(ω) fasespekteret, som med uttrykket (2.40) er vist på figur 2.3a,b. Her er F(1) = 1 mens F( 1) = 0, og amplituden er tilnærmet 1 for lave frekvenser og tilnærmet 0 for høye frekvenser (karakteristisk for et lavpassfilter). Fasevinkelen er tilnærmet lineær, det betyr at dersom vi benytter F(Z) som et lavpassfilter, vil de ulike Fourier komponentene bli utsatt for (tilnærmet) den samme tidsforsinkelsen i pass-båndet hvor A(ω) 1. 25

34 Figur 2.3: Amplituden og fasen til Z-transformasjonen W = F(Z) NB : Når vi måler tiden i enheter av t vil den dimensjonsløse Nyquistfrekvensen være π, eller 0.5 når vi benytter den lineære frekvensen (Hz). La oss også kort nevne et par andre relasjoner vi kjenner fra den klassiske Fourier analysen : skift- og modulasjonsteoremet gitt ved f(t t 0 ) exp( iωt 0 ) F(ω), exp(+iω 0 t) f(t) F(ω ω 0 ). (2.42) Eksempel : Med G(Z) = F( Z), eller eksplisitt g k = ( 1) k f k, får vi G m = 1 N k=0 f k exp[ 2πik(m + N/2)/N]. (2.43) Dette kan vi skrive som G m = F m+n/2, hvor F m og G m er alias-koeffisientene til f k og g k, henholdsvis. Dersom N er et jamnt heltall vil G 0 = F N/2 og G N/2 = F N = F 0, som betyr at de opprinnelige alias-koeffisientene F m er forskjøvet N/2 enheter mot Nyquist-frekvensen. Dette er illustrert på figur 2.4a. Den opprinnelige tidsrekken f k ligger på den heltrukne kurven, mens den modulerte versjonen g k ligger vekselvis på den heltrukne og den stiplete kurven (som er speilbildet av den heltrukne kurven). Absoluttverdiene til alias-koeffisientene er vist på figur 2.4b, hvor F m ligger på den stiplete kurven, mens alias-koeffisientene G m ligger på den heltrukne kurven. 26

35 Figur 2.4: Illustrasjon av modulasjonsteoremet : G(Z) = F( Z) Måler vi tiden (t) i enheter av t, vil lengden være N = 32 samples. Tilsvarende, måler vi frekvensen i enheter av 1/ t, blir Nyquist-frekvensen 0.5 cycles/sample. De opprinnelige alias-koeffisientene har størst verdier for frekvenser ν 1 Hz, eller størst verdier for circa 1 cycle/sample. Sagt på en 16 annen måte : det opprinnelige signalet er samplet med tilnærmet 16 samples/cycle. Signalet på figur 2.4a er således oversamplet, mens det modulerte signalet er på grensen til å være undersamplet (forklar hvorfor). En enkel tolkning av similaritetsteoremet er at strekker vi tidsaksen, så krymper vi frekvensaksen (og vice versa), altså f(t/γ) γ F(γω). (2.44) Eksempel : La G(Z) = F(Z m ) slik at G(Z) får lengden mn, eller eksplisitt g mk = f k når k = 0, 1,...,N 1, og g k = 0 ellers. Dette kaller vi for strekking av det opprinnelige signalet. Vi velger m = 2 og får 2NG n = 2 k=0 g k exp( 2πink/2N) = k=0 f k exp( 2πink/N). (2.45) Da er G n+n = G n = 1 2 F n for n = 0, 1,...,N 1, og alias-koeffisientene blir derfor pakket til en periodisk rekke av lengde 2N. NB : Nyquist-frekvensen endres ikke, det gjør imidlertid samplingsintervallet ω på frekvensaksen. 27

36 Figur 2.5: Effekten av å pakke et signal i tidsdoménet La oss snu på problemstillingen. Dersom F(Z) har lengden N, og danner vi G(Z) = F(Z)(1 + Z N ) får vi et signal av lengde 2N. Litt populært sagt får vi gjentatt signalet F(Z) to ganger, eller generelt M ganger når G(Z) = F(Z) [ M 1 ] Z mn m=0. (2.46) La oss illustrere dette. Vi starter med et signal av varighet T = 2 s og velger N = 16. Deretter pakker vi M = 4 perioder slik at T = 8 s. Samplingsintervallet ( t) og Nyquist-frekvensen blir imidlertid de samme. Derimot vil ν = 1/T endres fra ν = 0.5 Hz til ν = Hz. Figur 2.5a,b viser dette, tidsrekken g n på figur 2.5a, alias-koeffisientene på figur 2.5b. Effekten av å pakke M perioder av et signal i tidsdoménet er derfor å fylle på ialt M 1 nuller mellom hver av de opprinnelige alias-koeffisientene. Til slutt tar vi med en enkel generalisering. Vi konstruerer H(Z) = F(Z)/(1 Z N ) = F(Z)(1 + Z N + Z 2N + ), (2.47) og får en kausal, periodisk tidsrekke h k+ln = h k, hvor k = 0, 1,...,N 1 og l = 1, 2,... (heltall). Nå får vi imidlertid ingen enkel sammenheng mellom alias-koeffisientene til F(Z) og H(Z), og det er fordi H(Z) ikke er definert når Z ligger på enhetsirkelen i det komplekse Z-planet. Legg til slutt merke til at funksjonen H(Z) har generelt N singulære punkter gitt ved røttene til Z N = 1, med mindre F(Z) = 0 i ett eller flere av disse punktene. 28

37 2.6 Nuller og poler Vi har introdusert Z-transformasjonen til en tidsrekke som et polynom av en viss grad. Det er imidlertid viktig å være oppmerksom på at F(Z) like gjerne kan være en rasjonal brøk, la oss si F(Z) = P(Z)/Q(Z), hvor P(Z) og Q(Z) er to polynomer. Nullpunktene til P(Z) kaller vi for nuller til F(Z), nullpunktene til Q(Z) kaller vi for poler til F(Z). Vi skal bare studere funksjoner med isolerte poler, eller såkalte isolerte singulariteter. Dersom Z-transformasjonen til en tidsrekke er et polynom av N-te grad F(Z) = f 0 + f 1 Z + + f N Z N, (2.48) der f N 0, har F(Z) alltid N røtter, la oss si Z n der n = 1, 2,...,N. Da kan vi skrive Z-transformasjonen (2.48) på formen F(Z) = f N (Z Z 1 )(Z Z 2 ) (Z Z N ). (2.49) En tidsrekke er altså kjent når vi har gitt enten N + 1 koeffisienter (f n ), eller N nullpunker (Z n ) i det komplekse Z-planet, og koeffisienten f N 0 (normeringsfaktor). Generelt er røttene Z n komplekse tall, men er koeffisientene f n reelle, vil røttene Z n opptre i kompleks konjugerte par. La oss se på et eksempel hvor tidsrekken har uendelig mange ledd. Slike tidsrekker er imidlertid bare av interesse dersom de har en endelig lengde eller Euklidsk norm (0 f < ). Dersom tidsrekken i tillegg er kausal, kalles den for fysisk realisérbar. Et enkelt eksempel er F(Z) = 1/(1 az) = 1 + az + (az) 2 + = f 2 = n=0 f n 2 = n=0 a 2n <. (2.50) Betingelsen blir i dette tilfellet a < 1, slik at posisjonen til polen i det komplekse Z-planet er Z = 1/a som ligger utenfor enhetsirkelen Z = 1. Posisjonen til nullene og polene karakteriserer altså Z-transformasjonen, og vi kommer tilbake til dette i mange ulike sammenhenger. Når vi skal konstruere digitale filtre er det nettopp disse posisjonene vi er mest interessert i. 29

38 2.7 Kommentarer Konvolusjonen mellom to tidsrekker opptrer nær sagt i alle mulige sammenhenger i den diskréte Fourier analysen, og konvolusjonen er da også ett av de mest fundamentale begrepene i Fourier analysen. Konvolusjonen er imidlertid ikke begrenset til tidsdoménet alene. Konvolusjonen opptrer like ofte i frekvensdoménet, eller for den saks skyld i Z-doménet. Vi kan alltid komme fra det ene doménet til det andre, og disse ulike doménene benyttes om hverandre, alt etter problemstillingen. Dessuten, mer innsikt får vi dersom vi benytter teorien om analytiske funksjoner (f.eks. residy-regning og Laurentrekker etc.), men vi skal ikke forutsette at disse begrepene er kjent. Foreløpig merker vi oss følgende egenskaper : F(Z) er et N-te gradspolynom Z N F(1/Z) gir tidsrekken f N n F(exp( iω t)) gir spekteret (DFT) Z n F(Z) gir en forsinkelse på n tidsenheter F(Z)G(Z) gir konvolusjonen mellom F(Z) og G(Z) F (1/Z)G(Z) gir krysskorrelasjonen mellom F(Z) og G(Z) Definisjonen på den lineære og den sykliske konvolusjonen, og sammenhengen mellom dem, er av overordentlig betydning i alle anvendelser. Spesielt er dette viktig dersom konvolusjonen beregnes ved bruk av DFT-algoritmen. Det kan derfor være en god regel å fylle på nuller i tidsrekkene. Når vi arbeider med diskréte data spesifiserer vi vanligvis samplingsintervallet ( t) og antall samples (N). Samplingsintervallet er imidlertid gitt når Nyquist-frekvensen er spesifisert (eller omvendt). I det følgende skal vi benytte t i alle definisjoner og beregninger, men i noen eksempler og på noen figurer kan det likevel være praktisk bare å oppgi Nyquist-frekvensen. Dessuten, frekvensen oppgir vi som oftest i enheten Hz (cycles/sec), men måler vi tiden (t) i enheter av samplingsintervallet t, vil den dimensjonsløse frekvensen (cycles/sample) ligge på intervallet [ 0.5, +0.5]. 30