Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe ut om e umersk bereggsprosess er god eller kke. Er bereggsprosesse god ka v overlate summerge tl e datamask. V har lært hvorda v summerer teleskoprekker og geometrske rekker. I og med det lærte v også å fe ut år de kovergerer: Får v et tall, altså e sum, så er rekka koverget. Hvs kke, så er de dverget. Når v ku er teressert spørsmålet om koverges eller dverges er regele og metode eklere e år v også skal rege ut summe dersom de fs. Metode for geometrske rekker (Rekker: Metode 3) ser da slk ut: Dersom v har e geometrsk rekke a r, er rekka... koverget år r < dverget år r =k Spørsmål: Er 3 koverget? =7 Svar: r = >, så rekka dvergerer. Svar: 3 = 3 Spørsmål: Er =7 <, så rekka kovergerer. 5 ( 3 ) koverget? Det er selvfølgelg sjelde v får akkurat slke rekker år v gjør umerske beregger. Me det er også sjelde orske soldater blr agrepet av pappskver med kosetrske srkler. Lkevel er pappskvee fe for skuddtreg. Dsse helt presse rekkee er pappskvee våre. Ltt seere dee forelesge skal v lære å skyte på pappsoldater. Da må v teke oss de kosetrske srklee selv. Merk at tallet k ka være absolutt hvlket som helst heltall!
Rekker: Metode 5, p-rekker Kapttel 8.4, s. 64, Harmoc seres ad p-seres Regel/Formel: = p = p + p + 3 p +... + p +...... er koverget hvs p >... er dverget hvs p Svar: V skrver om: = = (8.4.38) Spørsmål: Avgjør om = 3 = kovergerer. V ser v har e p-rekke med p = 3. Rekka kovergerer. Øvelse: Mathematca ser summe blr omtret.638. Gjør dette på Mathematca selv. Prøv om du ka få svaret med 0 sffer.
Rekker: Sammelggstester V har å gått gjeom tre spesfkke typer rekker: Geometrske rekker, teleskoprekker og p-rekker. Dsse er - tllegg tl de altererede rekkee v skal se på este kapttel - våre pappskver med kosetrske srkler. V skal å se på oe sammelggstester. For mage rekker ka dsse testee avgjøre hvorvdt e rekke er koverget eller dverget; me de ser selvfølgelg getg om akkurat hva rekka kovergerer mot dersom de kovergerer. Dsse testee er: Itegralteste. Sammelger rekka med et tegral. Gresesammelggsteste. Sammelger rekka med kjete rekker. Forholdsteste. Dee teste sammelger egetlg kke rekka mot adre rekker, me later som om rekka er este e geometrsk rekke, og avgjør koverges ut fra det. te-rots-teste. Dee teste er back-up år forrge test kke ka kokludere oe om koverges eller dverges. Ofte e kraftgere test, me også oe vaskelgere å rege på. I tllegg skal v trodusere l Hoptals test for følger. 3
Rekker: Metode 6, Itegralteste Kapttel 8.4, s. 640, The Itegral Test Metode: Du begyer med e rekke, a som du vl fe ut om kovergerer. =. Gjør om a tl e fuksjo f(x) ved rett og slett å bytte ut uttrykket for a med x.. Sjekk om f tlfredsstller følgede krav ( alle fall fra og med e vss x) (a) f > 0 - fuksjoe er postv (b) f er kotuerlg. (c) f 0 - fuksjoe er avtagede 3. Udersøk om f(x)dx kovergerer (altså: kke blr ) 4. Kokludér: Rekka kovergerer hvs og bare hvs tegralet kovergerer. (8.4.) Udersøk om = kovergerer. a =, så f(x) =. De er postv, kotuerlg og avtagede for x >. x V ser på det ubestemte tegralet dx, og tegrerer ved substtusjo, u = x : x x dx = l x + C f(x)dx = [ l x + C] = ( lm l x l ) x = ( 0) = Itegralet dvergerer. Derfor dvergerer også rekka. 4
Rekker: Metode 7, Gresesammelggsteste Kapttel 8.4, s. 644, The Lmt Comparso Test Regel/Formel: a og b : Hvs a > 0 og b > 0, så ka v s følgede om rekkee a. Hvs lm = c, 0 < c < så b er ete både a og b kovergete, eller både a og b er dvergete. a. Hvs lm = 0, og b kovergerer, så kovergerer også a. b a 3. Hvs lm =, og b dvergerer, så dvvergerer også a. b Metode: V begyer med e rekke a som v vl avgjøre om kovergerer.. F e rekke b å sammelge med. Dee rekka burde være eklere e a. V vl de fleste tlfellee lage b ut fra a : (a) a vl typsk bestå av flere uttrykk. For hvert av uttrykkee, f de terme som blr størst år er stor, og stryk reste. Størrelsesrekkefølge for de vktgste uttrykkee er >! > k > p > (l ) q > k > (l ) q > p > k >! > hvor p > 0, q > 0 og k >. I tllegg er jo > >, osv. (b) Bytt ut cos og s med. (c) Forkort brøker, poteser osv., og gag samme uttrykk dersom du ka. (d) Gjeta operasjoe over dersom a er komplsert med flere uttrykk østet hveradre. Du skulle å typsk ha e b som er e brøk der teller og ever er ekle uttrykk.. F ut om b kovergerer eller dvergerer. 5
a 3. F gresa c b 4. Bruk regele som test. Dersom de kke gr deg e koklusjo, justér ete teller eller ever ved å bytte dem med et uttrykk som er ltt større eller mdre e seg selv (ete ved å justere på oe tall, eller ved - ltt mer drastsk - å gå e tl høyre eller tl vestre for seg på lsta over). Prøv gje. a = 3 + (8.4.0) F ut om = 3 + kovergerer. V ser at blr større e år blr stor, så v kutter bort år v lager b. b = 3 V ser at 3 = 3 - e p-rekke med p =. De dvergerer. (Se metode 5) ( ) a lm b 3 + ( 3 ) + + = + lm = +0 = // V kom ht ved brøkregg. V ser på regele at år lm = vl a dvergere dersom b dvergerer. Og sde b b dvergerer, ka v kokludere a = 3 + dvergerer 6
Rekker: Metode 8, Forholdsteste Kapttel 8.4, s. 646, The Rato Test Regel/Formel: Hvs a > 0, og v ka fe e grese lm a + a. Rekka kovergerer dersom ρ <. Rekka dvergerer dersom ρ > 3. Teste kke kokluderer med oe som helst hvs ρ = = ρ, så vet v at (8.4.) V skal udersøke om e kovergerer. = a = e og a + = ( + ) e V udersøker lm a + a : a + ( + ) e lm a e e ( ) // V kom ht ved brøkregg = e ( lm = e ) Så ρ = e <. Regele ser at at e kovergerer. = a =! 0 og a + = (8.4.4) V skal udersøke om ( + )! 0 + Her godtar v også som grese =! 0 kovergerer. 7
a + V udersøker lm : a a + lm a (+)! 0 +! 0 (+)! 0 0! 0 + // V kom ht ved brøkregg 0 = Så ρ = >. Regele ser da at at! 0 dvergerer. = 8
Rekker: Metode 9, te-rots-teste Kapttel 8.4, s. 648, The th-root Test Regel/Formel: Hvs a > 0, og v ka fe e grese 3 lm a = ρ, så vet v at. Rekka kovergerer dersom ρ <. Rekka dvergerer dersom ρ > 3. Teste kke kokluderer med oe som helst hvs ρ = (8.4.34) V skal fe ut om = ( ) kovergerer. a = ( ) = ( ) = ( ) 4 V udersøker a : ( lm a 4 ( ( 4 ( 4 = 4 ) ) ) ) Så ρ = >. Regele ser da at at ( ) dvergerer. = 3 Her godtar v også som grese 9
Følger: Metode 4, l Hoptals regel Kapttel 8.4, s. 648, The th-root Test Metode: Hvs e følge a ka skrves a = b c, og ete lm b = ± og lm c = ± eller lm b = 0 og lm c = 0 så er lm a, der b c c er de derverte av b med hesy på og c er de derverte av c med hesy på. b b (8..5) Dette er å skyte spurv med kao, me de llustrerer metode gret. Spørsmål: F ut om følge med a = kovergerer eller dvergerer, og f gresa + dersom de kovergerer. Besvarelse: V setter b = og c = +. Begge går mot uedelg år går mot uedelg, så v ka bruke l Hoptal. V derverer først: b = ( ) = altså c = ( + ) = lm + ( ) ( + ) = Sde v har e grese har v automatsk også at følge {a } kovergerer. (8..3) Dette er da et vaskelg eksepel, med et typsk ekstra-trks. Spørsmål: F ut om følge med a = ( ) kovergerer eller dvergerer, og f gresa dersom de kovergerer. Besvarelse: V skrver om a = ( ) = e l( ) = e l( ) 0
V har e y følge, d = l ( ) og a = e d. Så lm a = e lm d. V fer lm d : ( lm l ) = 0 lm V er stuasjoe som er beskrevet metode. V tllater oss derfor å dervere teller og ever hver for seg: og ( l ( ( ) = )) = Så v ka rege ut Da får v lm d l ( ) ( ( )) l ( ) = = lm lm a = e lm d = e Sde v har e grese har v automatsk også at følge {a } kovergerer.