Feilestimeringer i MAT-INF11 Ett v de viktigste punktene i MAT-INF11, og smtidig det som nsees som det vnskeligste i pensum, er feilestimter. Vi bruker mye tid på å beregne tilnærmede verdier for funksjoner, deriverte, integrerte etc. som ofte er gode estimter, men vi ønsker llikevel å kunne si noe om vor stor feil vi gjør. Hvis vi kller feilen for E, så r vi i tylorpolynomer t f () T n () E Tilsvrende for Newtons Quotient metode for derivsjon r vi f ( + ) f () f () E og for midtpunktmetoden i integrsjon r vi f ()d f ( 1/ ) (b ) E. I bok skilles det mellom trunkeringsfeil og vrundingsfeil. Trunkeringsfeilen oppstår som en følge v t vi ikke kn velge så liten vi vil på grunn v begrensninger på dtmskinen. Avrundingsfeilen oppstår når dtmskinen ikke kn representere tllene vi jobber med nøyktig. Tylorpolynomer Feilestimter i tylorpolynomer er rimelig rett frem, og er gitt eksplisitt i både bok og kompendium. Dersom vi r et tylorpylynom T n for en funksjon f, så er filen gitt ved: f f () T n (; ) (n+1) (ξ) ( )n+1, ξ [, ] (n + 1)! Dette kn mn lltid bruke når mn skl bruke tylorpolynomer som tilnærminger til funksjoner. Men usk t vis mn skl tilnærme et integrl ved å integrere et tylorpolynom, må mn integrere feilen også. Derivsjon Fremgngsmåten for å finne feilestimtene for de derivsjonsmetodene som står i kompendiet, er gnske så like, så jeg vil kun vise for newton s quotient så får dere t de to øvrige metodene som en oppgve: Trunkeringsfeil L oss begynne med et generelt Tylor-polynom v første grd om et punkt : f () f () + f ()( ) + ( ), ξ [, ] 1
Setter vi inn + får vi f ( + ) f () + f ()( + ) + ( + ) f () + f () + Flytter vi deretter f () over på venstresiden, deler på og tr bsoluttverdier, får vi f ( + ) f () f () som er nøyktig det vi lette etter. Dette er det vi kller for en trunkeringsfeil (vi r ikke ttt ensyn til vrundingsfeil end) så vi kn si t Avrundingsfeil E t m f (), [, + ] Videre r vi en vrundingsfeil. Hvis vi sier t funksjonsverdiene vi beregner r en liten vrundingsfeil, dvs. f () f ()(1 + ɛ 1 ) og f ( + ) f ( + )(1 + ɛ ) så r vi t: f ( + )(1 + ɛ 1 ) f ()(1 + ɛ ) så vi ser det t feilen, kll den E r, blir E r f ( + )ɛ 1 f ()ɛ m Totl feil f ( + ) f () + f ( + )ɛ 1 f ()ɛ ɛ f (), [, + ] Nå som vi r funnet ut v trunkeringsfeil og vrundingsfeil er, og dessuten funnet fornuftige begrensninger på disse, så konkluderer vi med t E E t + E r M 1 + ɛ M der M 1 m f (), [, + ] og M m f (), [, + ]. Symmetrisk metode Den symmetriske derivsjonsmetoden er gitt ved: f () f ( + ) f ( ) Denne er blitt gitt som en oppgve, og bør være elt løsbr med jelp fr det som står over, og i kompendiet. Et pr tips: Lg et tylor polynom som det over, ett for f ( + ) og ett for f ( ) og trekk polynomene fr verndre. Gjør tylorpolynomene v grd + feilledd.
Integrsjon - Midtpunktmetoden L oss, som over, strte med et tylorpolynom om punktet 1/ : f () f ( 1/ ) + f ( 1/ )( 1/ ) + ( 1/ ), ξ [, 1/ ] Hvis vi integrerer dette fr til b får vi [ ] 1 b f ()d f ( 1/ )(b ) + f ( 1/ )( 1/ ) + ( 1/ ) d Siden 1/ ligger midt mellom og b vil den store klossen i midten bli lik. Flytter vi litt om på dette og tr bsoluttverdier får vi f ()d f ( 1/ )(b ) ( 1/ ) d Som er nøyktig det vi forspeilet i innledningen. Hvis vi jobber litt med det siste uttrykket der, kn vi fort få det gnske mye enklere: ( 1/ ) d f (ξ) ( 1/ ) d ( 1/ ) d (b ) 3 4 ( 1/ ) d ( 1 3 ( 1/) 3 1 ) 3 (b 1/) 3 Den siste omskrivningen der ser knskje litt kryptisk ut, men vi får l det være. Unsett, feilen kn begrenses ved Eulers metode E (b ) 3, ξ [, b] 4 Ant t vi r en differensillikning på formen (t) T(t, (t)), slik t vi kn bruke eulers metode på den. T først et generelt tylorpolynom for en funksjon (t) v første grd om et punkt t : Hvis vi setter inn t + for t, får vi (t) (t ) + (t )(t t ) + (ξ) (t t ) (t + ) (t ) + (t )(t + t ) + (ξ) (t + t ) (t ) + T(t, (t )) + T (ξ, (ξ)), ξ [t, t + ] Dette gir oss t et steg med eulers metode fr t til t + r feilledd E T (t, (t )) 3
Noen generelle råd Husk t når vi jobber med feilestimter, så jobber vi ldri(!) med den nøyktige feilen. Spørsmålet er som regel vor liten vi kn grrntere t feilen er, og det er d disse uliketstegnene begynner å blomstre opp. Noen stndrdtriks finnes dog, og er er noen v dem: For lle tll vil (trekntuliketen) For lle funksjoner f, så vil For lle positive funksjoner f, så vil + b + b f ()d f () d f ()d ξd ξ(b ), ξ m [,b] f () Feilestimering er en todelt greie. Den første delen er å finne et fktisk uttrykk for feilen. Dette er (som ovenfor) ofte uttrykket ved feilleddet i et tylorpolynom. Den ndre delen er å bruke dette uttrykket på et fktisk problem. Sette inn tll og funksjoner i uttrykket, og jobbe med det til vi r en størrelse vi r kontroll over. Eksempel 1 Vi ønsker å tilnærme integrlet lurer på vor stor feil vi gjør. Det første vi gjør, er så tylorutvikle sin(). D får vi: sin() d med et tylorpolynom v femte grd, og vi sin() 3 3! + 5 5! 7, ξ [, ] Vi er i første omgng ikke interessert i å vite v integrlet blir, kun vilken feil vi gjør. Vi ser t Så feilen vi gjør er...eller... E E sin() 1 d f (7) (ξ) 1 6 d 3 3! + 5 5! 7 1 3! + 4 5! d d 6 d 1 6 d 1 1.98 1 4 [ ] 6 f d (7) 1 (ξ) 7 7 7 1.83 1 5 7 Begge estimtene over er korrekte, men kkurt er ser det ut til t det nederste fungerte best. 4
Eksempel Sett t vi r en differensillikning gitt ved t sin(), og vi ønsker å beregne et steg fr. til.1 med eulers metode. Vi r t feilen er E (t) [T(t, )] ( sin() + t cos() ) ( ) sin() + t sin() cos().1 (1 +.1 1 1).55 5