Formelsamling for Matematikk. Jostein Trondal

Like dokumenter
θ grader sin θ cos θ tan θ

Anvendt matematikk formelsamling versjon 21

Flott Formel. Jostein Trondal

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Formelsamling i matematikk

Formelsamling i matematikk

1 Mandag 1. mars 2010

Oppfriskningskurs i matematikk 2007

1 Mandag 18. januar 2010

Høgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave

+ c ± ± π 2. Derivasjon (t n ) = nt n 1 (sin t) = cos t (cu) = cu (cos t) = sin t (u + v) = u + v (tan t) = 1. ( u

x 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,

1 Mandag 25. januar 2010

EKSAMEN. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 2 sider formelark)

R2 - Heldagsprøve våren 2013

MAT 100A: Mappeeksamen 4

M2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon

Eksamen R2, Va ren 2014, løsning

dx = 1 2y dy = dx/ x 3 y3/2 = 2x 1/2 + C 1

Derivasjon. Oversikt over Matematikk 1. Derivasjon anvendelser. Sekantsetningen

2x 3 4/x dx. 2 5 x 3 + LF: Vi utfører polynomdivisjon. 2x + 1 dx = + C = 5x8/ ln 2x C 4. πx 2 e 3x3 dx = π

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. HansPetterHornæsogLarsNilsBakken. ANTALL SIDER UTLEVERT: 7 (innkl. forside og 4 sider formelark)

a 2πf(x) 1 + (f (x)) 2 dx.

Integralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

1 k 2 + 1, k= 5. i=1. i = k + 6 eller k = i 6. m+6. (i 6) i=1

2 π[r(x)] 2 dx = u 2 du = π 1 ] 2 = π u 1. V = π. V = π [R(x)] 2 [r(x)] 2 dx = π (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx = 117π 5.

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

Integrasjon Skoleprosjekt MAT4010

1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

Brøkregning og likninger med teskje

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og Flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside og 2 sider formelark)

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon

dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

1 Mandag 8. mars 2010

EKSAMEN. 1. klassene, ingenørutdanning og flexing. ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og 2 sider formelark)

Projeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er

Numerisk derivasjon og integrasjon utledning av feilestimater

R1 kapittel 1 Algebra

S1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka

Eksamen våren 2018 Løsninger

Kapittel 4.7. Newtons metode. Kapittel 4.8.

En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).

Forkurs i matematikk. Kompendium av Amir Hashemi, UiB. Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1

75045 Dynamiske systemer 3. juni 1997 Løsningsforslag

Eksamen våren 2016 Løsninger

Fasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 20-24/9

Integrasjon Fundamentalteoremet Substitusjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Integrasjon del 2. October 15, Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. Integrasjon

6. Beregning av treghetsmoment.

Multippel integrasjon. Geir Ellingsrud

Kinematikk i to og tre dimensjoner

Oppfriskningskurs i matematikk Kompendium Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Høsten 2017 Amir Massoud Hashemi

Løsningsforslag til Eksamen i fag MA1103 Flerdimensjonal analyse

Ma1101. Part I. 1 Grunnleggende. 1.1 Noen symboler. 1.2 Tallene. 1.3 Noen algebraiske lover

Bioberegninger - notat 3: Anvendelser av Newton s metode

R1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka

5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål

I = (xy + z 2 ) dv. = z 2 dv. 1 1 x 1 x y z 2 dz dy dx,

Sammendrag R mai 2009

Eksamen høsten 2016 Løsninger

... JULEPRØVE 9. trinn...

Løsningsforslag Kollokvium 6

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Høsten Løsningsforslag til øving 8. a = e m E

9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

Oppfriskningskurs i matematikk Kompendium Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Høsten 2016 Amir Massoud Hashemi

Temahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall

E K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

Kalkulus 2. Volum av et omdreiningslegeme. Rotasjon rundt x-aksen

Læringsmål for 9. trinn: Oppgave: Prosent. 1a, 2a, 7, 15a b, 17b, 18. Regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler.

Løsningsforslag øving 6

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

TFY4104 Fysikk. Institutt for fysikk, NTNU. Lsningsforslag til ving 8. a =

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

DEL 1 Uten hjelpemidler

Løsningsforslag Kollokvium 1

Eksamen høsten 2015 Løsninger

Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

HØGSKOLEN I BERGEN Avdeling for ingeniørutdanning

R2 eksamen våren ( )

1 dx cos 1 x =, 1 x 2 sammen med kjerneregelen for derivasjon. For å forenkle utregningen lar vi u = Vi regner først ut den deriverte til u,

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

( ) ( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. x x x x. Oppgave 1. Vi deriverer med produktregel: Vi deriverer kjerneregelen: Vi velger u = x 3 som kjerne.

1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka

Numerisk kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. f(x)dx. I(f) = hvor f : R R. Numerisk sett, integralet I(f) = b. f(x)dx approksimeres med en summe

Løsningsforslag Eksamen 30. mai 2007 FY2045 Kvantefysikk

MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:

Fasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål

DEL 1 Uten hjelpemidler

Eksempel Funksjonen f (x)=x 3 er strengt voksende. vokser på intervallet [0, ) og avtar på intervallet

Integrasjon av trigonometriske funksjoner

Tema 2: Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger Kapittel 3 ST :44 (Gunnar Taraldsen)

Fasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål

S1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka

MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

Kvadratur. I(f) = f(x)dx.

Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon

Transkript:

Formelsmling for Mtemtikk Jostein Trondl

Algebr, b, c, x R i = Kvdrtsetning: ( + b) = + b + b Kvdrtsetning: ( b) = b + b Konjugtsetningen: ( + b)( b) = b Kvdrtrotkonjugt: ( + b)( b) = b Komplekskonjugt: ( + bi)( bi) = + b Andregrdslikningen: x + bx + c = 0 x = b± b 4c Fullstendig kvdrt: x + bx + c = ( ) x + b + c b 4 Trigonometriske identiteter θ,, b R n Z sin θ + cos θ = tn θ = sin θ cos θ sin(-θ) = sin θ sin( π -θ) = cos θ cos(-θ) = cos θ cos( π -θ) = sin θ tn(-θ) = tn θ sin(θ ± π ) = ± cos θ cos(θ ± π ) = sin θ tn(θ ± π ) = tn θ sin(nπ) = 0 cos(nπ) = ( ) n tn(nπ) = 0 tn( π -θ) = tn θ sin(θ+nπ) = (-) n sin θ cos(θ+nπ) = (-) n cos θ tn(θ+nπ) = tn θ sin(nπ-θ) = (-) n+ sin θ cos(nπ-θ) = (-) n cos θ tn(nπ-θ) = tn θ sin(θ+nπ) = sin θ cos(θ+nπ) = cos θ tn(θ+nπ) = tn θ sin( ± b) = sin cos b ± cos sin b cos( ± b) = cos cos b sin sin b tn( ± b) = tn ±tn b tn tn b sin θ = cos θ = / ( cos θ) tn θ = cos θ cos θ = sin θ = / ( + cos θ) sin θ = sin θ cos θ = tn θ +tn θ tn θ = tn θ tn θ cos θ = cos θ sin θ = sin θ = cos θ = tn θ +tn θ sin sin b = / cos( b) / cos( + b) z z = z z Ymse x R b, u, v, y R + n, k N 0 z /z = z /z log b y = x slik t b x = y n! = n Re(z) = = (z + z) ln y = log e y 0! = θ = tn - ( Im(z) = b = (z z) log i b y = ln y ( ) ) π b θ = tn - ( ) b n n! = ln b k (n k)!k! = nk <0, b<0 θ = π >0 k! ln(u v) = ln u + ln v n k = n(n ) (n k+) rg(z) = Arg(z) + nπ r e iθ r e iθ = r r e (iθ+θ) ln(u/v) = ln u ln v n 0 = e z = exp(z) = Σ z n n=0 (r e iθ )/(r e iθ ) = (r /r )e i(θ θ) ln(u v ) = v ln u Iversonklmmer: n! { log(z) = (/) ln( z ) + i rg(z) sin z = (e iz e iz )/ ln e x = e ln x hvis P er snt = x [P = Arg π (z) = Arg(z) + [Arg(z) < 0 π = θ [0, π z = re iθ = r(cos θ + i sin θ) cos z = (e iz + e iz )/ ln e = 0 ellers z n = r n (cos nθ + i sin nθ) z ω = exp(ω log z) ln = 0 π 459655897984664 n ( ( ) ( )) z = n θ+kπ θ+kπ r cos + i sin, k 0 n - ln 0 = e 788884590455609 n n θ grder sin θ cos θ tn θ 0 0 0 0 π 6 0 π 4 45 π 60 π 90 0 ± π 0 π 4 5 - - - - 5π 6 50 - - π 80 0-0 π π π 7π 6 0 - - 5π 4 5 - - 4π 40 - - θ-π grder π 70-0 ± - π -90 5π 00 - - - π -60 7π 4 5 - - - π 4-45 π 6 0 - - - π 6-0 π 60 0 0 0 0 sin θ π π cos θ π π tn θ π π π π π π π π θ π π π r b = rθ Derivsjon mhp x der x, R og u, v er funksjoner v x (x n ) = nx n (e x ) = e x (sin x) = cos x sin θ + cos θ = cos cos b = / cos( b) + / cos( + b) ( ) ( u) = u ( x ) = x ln (cos x) = - sin x cos θ π sin cos b = / sin( b) + / sin( + b) 4 (u+v) = u +v (ln x) = x (tn x) = cos x Potenser og røtter, b, n, m R + (uv) = u v+uv (log k N b x) = x ln b (sin - x) = x ( u ) ( k fktorer ) n= k {}}{ n /n = x>0 = b b n slik t x n v = u v uv v (u(v)) = u (v)v (cos - x) = - x = (u n v ) = u ( v v ln u + v u u ) (tn - x) = n = e n ln 0 n = /n Integrsjon +x = 0 0 = 0 n = n = 0 n = = x = / n dx = n+ xn+ dx + c +x = ( ) tn x + c 0 = n m = m/n = ( m ) /n (-) k = + n n (k prtll) b = n n x dx = ln x + c dx = ( ) x sin x + c b x+b m+n = m n (-) k = - (k oddetll) (-) k = (-) k k n n dx = ln x + b + c cos x dx = tn x + c sin x dx = b = cos x + c sin n x dx = tn x b + c m n = m n cos x dx = n (-) k = (-)k - = - n sin x + c e x dx = ex + c (n oddetll) m n = ( m ) n k n x dx = - R (n ikke oddetll) ln x + c u u = ln u + c, u > 0 ( b) n = n b n (-) 0 = b = b te t dt = e t + c fg = fg (-) f () g (-) 0 0 = eller b Komplekse tll n, k Z, b, r, θ, ω R z C i u(x)v (x) dx = u(x)v(x) b b u (x)v(x) dx = d v(x) dv du z ± z = ( ± ) + (b ± b )i z = + bi dx f(t) dt = f(v(x)) u(x) dx f(u(x)) dx b z z = ( b b ) + ( b + b )i z = bi z = + b b z + + b b b + i r = z = f(g(x)) g (x) dx = g(b) f(u) du med u = g(x) g() + b e t cos bt dt = et b +b ( cos bt + b sin bt) + c Arg(z) = θ π, π : z ± z = z ± z e t sin bt dt = et +b ( sin bt b cos bt) + c <0, b>0 Im θ = π θ = tn - ( )+π b θ = π >0 θ = tn - ( b ) θ = 0 Re b θ θ θ

Forord Dette heftet er lget på grunnlg v fire skreddersydde formelsmlinger til forskjellige fg ved UiA Grimstd i løpet v perioden 008-0 Disse formelsmlingene er fritt tilgjengelige på trondlcom Innholdet bærer preg v denne smmenvevingen; Det er noen overlppende temer, og noen ulike måter å presentere stoffet på En del v stoffet er oversettelser v definisjoner og teoremer fr Wikipedi og nnen littertur Kommentrer og rettelser er velkomne Tusen tkk til Svein Olv Nyberg, Hns Herlof Grellnd, Torgeir Attestog, Bjørn Øyvind Hlvorsen, Asbjørn Sndnes og Leon Mrbl for innspill og rettelser så lngt! Dette er versjon, og ble gitt ut 6 pril 0 Info om trykkfeil vil fortløpende bli publisert her: trondlcom/fs Innhold Klkulus Lineær lgebr og differensillikninger 0 Mtrisetrnsformsjoner 5 4 Anvendt mtemtikk 8 Refernser George B Thoms, J (005) Thoms Clculus (M Weir, J Hss & FR Giordno, red) Person Addison Wesley Goldstein, H, Chrles P Poole, J & Sfko, JL (000) Clssicl mechnics (rd utg) Addison Wesley Gulliksen, T (998) Mtemtikk i prksis Universitetsforlget Hugn, J (007) Formler og tbeller NKI Forlget Kohler, W & Johnson, L (006) Elementry differentil equtions Person Addison Wesley Ly, DC (006) Liner lgebr nd its pplictions Person Addison Wesley Utdnningsdirektortet (00) Formelsmling i mtemtikk Gyldendl

Klkulus Mengder En mengde er en smling v elementer Følgende notsjon kn brukes, der S og T er mengder: S er element i S S er ikke element i S S T Unionen v S og T (inneholder lle elementer i S og T til smmen) S T Snittet v S og T (inneholder lle elementer felles for S og T ) Den tomme mengden (inneholder ingen elementer) S T S er en delmengde v T (T inneholder minst lle elementene til S) Tll Tll kn beskrives som punkter på en tllinje: Tll kn også defineres som mengdene N, Z, Q, R slik: Nturlige tll N = {,,, } Hele tll Z = {,,, 0,,, } Rsjonle tll Q = der, b Z og b 0 b Reelle tll R = Alle tll på tllinjen Irrsjonle tll = Reelle tll som ikke er rsjonle N Z Q R Intervller En delmengde v tllinj klles et intervll om den inneholder minst to tll og inneholder lle reelle tll mellom to vilkårlige elementer i delmengden Et linjesegment v tllinj er et endelig intervll Et ubegrenset område v tllinj er et uendelig intervll Et intervll er lukket om det inneholder begge endepunktene, åpent om det ikke inneholder noen endepunkter og hlvåpent om det inneholder ett v endepunktene men ikke det ndre Punkter i intervllet som ikke er endepunkter klles indre punkter Vi hr følgende typer intervller: Notsjon Mengde Type, b {x < x < b} Åpent, endelig [, b {x x b} Lukket, endelig [, b {x x < b} Hlvåpent, endelig, b {x < x b} Hlvåpent, endelig, {x x > } Åpent, uendelig [, {x x } Lukket, uendelig, b {x x < b} Åpent, uendelig, b {x x b} Lukket, uendelig, R Åpent, lukket, uendelig 4 Ulikheter Hvis, b, c R så hr vi: < b + c < b + c < b c < b c < b og c > 0 c < bc < b og c < 0 c > bc < b > b > 0 > 0, b > 0 eller, b < 0 < b > b 5 Absoluttverdi Hvis, b, x R så hr vi: { x hvis x 0 x = x hvis x < 0 Hvis > 0 hr vi: = = b = b = b b + b + b (trekntulikheten) x = x = ± x < < x < x > x > eller x < x x x x eller x 6 Geometriske figurer i plnet Figur Arel Omkrets Rektngel gh (g + h) Treknt Prllellogrm Trpes gh gh (+b)h Sirkel πr πr Sektor br = πr θ b = πrθ

7 Geometriske figurer i rommet Figur Volum Overflte Kube s 6s Avstnden mellom punktene (x 0, y 0 ) og (x, y ) er 9 Prbler d = (x x 0 ) + (y y 0 ) Prisme Pyrmide Gh Gh Grfen til likningen y = x + bx + c der 0 er en prbel som er åpen i toppen når > 0 og åpen i bunnen når < 0 Prbelens kse er linjen x = b Sylinder πr h πr(r + h) Kjegle πr h πr(r + s) 0 Sirkel En sirkel med rdius r er mengden v lle punktene hvis vstnden fr et sentrum (x 0, y 0 ) er lik Dette kn beskrives med likningen Kule 4πr 4πr (x x 0 ) + (y y 0 ) = r For vilkårlige treknter i plnet gjelder Arel = bc sin A = b + c bc cos A sin A = sin B b = sin C c 8 Linjer i plnet Stigningstllet m til en ikkevertikl linje gjennom punktene (x 0, y 0 ) og (x, y ) er definert som m = y x = y y 0 x x 0 En linje med stigningstll m som går gjennom punktet (x, y ) kn beskrives med likningen y = y + m(x x ) En horisontl linje gjennom punktet (x, y ) kn derfor beskrives med likningen y = y En vertikl linje gjennom punktet (x, y ) kn beskrives med likningen x = x En linje med stigningstll m og konstntledd b kn beskrives med likningen y = mx + b Alle linjer kn skrives på normlformen Ax + By = C der A og B ikke begge er lik null Hvis to ikke-vertikle linjer L og L står vinkelrett på hverndre, så vil deres stigningstll m og m tilfredsstille likningen m m =, dvs: m = m og m = m Andregrdslikningen x + bx + c = 0 x = b ± b 4c Hvis x = x 0 og x = x er løsninger v x + bx + c = 0, så hr vi følgende: x + bx + c = (x x 0 )(x x ) x 0 + x = b x 0 x = c Pytgors setning I en rettvinklet treknt med ktetlengder og b og hypotenuslengde c så hr vi + b = c Funksjoner En funksjon fr en mengde D til en mengde Y er en regel som tilordner ett (unikt) element f(x) Y til hvert element x D Mengden D med lle mulige inputverdier klles definisjonsmengden til funksjonen Mengden v lle verdiene til f(x) når x vrierer gjennom hele D klles verdimengden til funksjonen 4 Polynomer En funksjon p(x) er et polynom hvis p(x) = 0 + x + + n x n + n x n hvor n N og 0,,,, n R (og klles koeffisientene) til polynomet Alle polynomer hr definisjonemengde, n klles grden v polynomet 4

5 Rsjonle funksjoner En rsjonl funksjon er et forhold mellom to polynomer: f(x) = p(x) q(x) der p og q er polynomer Definisjonsmengden til en rsjonl funksjon er mengden v lle x R der q(x) 0 6 Proporsjonlitet To vrible x og y er proporsjonle til hverndre hvis den ene lltid er en konstnt multippel v den ndre, dvs: y = kx for en eller nnen konstnt k 0 7 Smmenstte funksjoner Hvis f og g er funksjoner, så er den smmenstte funksjonen (f g)(x) = f(g(x)) Definisjonsmengden til f g består v tllene x i definisjonsmengden til g der g(x) ligger i definisjonsmengden til f 8 Flytting/modifisering v grfer En grf til en funksjon f(x) kn flyttes, strekkes og speiles ved å legge til eller gnge med en konstnt k på forskjellige måter: Hvis k > 0 så hr vi: f(x) + k f(x) k f(x + k) f(x k) Flytter grfen opp lengden k Flytter grfen ned lengden k Flytter grfen lengden k mot venstre Flytter grfen lengden k mot høyre Hvis k > så hr vi: kf(x) k f(x) f(kx) f(x/k) Strekker grfen vertiklt med fktoren k Trykker grfen vertiklt med fktoren k Trykker grfen horisontlt med fktoren k Strekker grfen horisontlt med fktoren k Hvis k = så hr vi: kf(x) = f(x) f(kx) = f( x) Speiler grfen gjennom x-ksen Speiler grfen gjennom y-ksen 9 Jevne og odde funksjoner En funksjon y = f(x) er en jevn funksjon v x hvis f( x) = f(x), odde funksjon v x hvis f( x) = f(x), for hver x i funksjonens definisjonsmengde Jevne funksjoner er symmetriske om y-ksen Odde funksjoner er symmetriske om origo 0 Trigonometri En vinkel n i grder kn regnes om til en vinkel θ i rdiner med formelen θ = n 80 π De triginometriske funksjonene relteres til sidelengdene i en rettvinklet treknt på følgende måte: sin θ = b c csc θ = sin θ = c b cos θ = c sec θ = cos θ = c sin θ cos θ = tn θ = b cot θ = tn θ = b Hrmoniske svingninger kn modelleres med funksjonen f(x) = sin cx + b cos cx + d Periode: π c = A sin(cx + φ) + d Amplitude: A = + b Grenseverdier Hvis L, M, c, k R og Likevektslinje: y = d tn φ = b f(x) = L og g(x) = M, så x c x c (f(x) + g(x)) = L + M x c (f(x) g(x)) = L M x c x c (f(x) g(x)) = L M x c (k f(x)) = k L x c f(x) g(x) = L M, M 0 Hvis r, s N, ikke hr noen felles fktor og s 0, så x c (f(x))r/s = L r/s gitt t L r/s R Hvis s er et prtll, ntr vi L > 0 Hvis x c ln f(x) = L, d er f(x) = x c x c eln f(x) = e L Merk t disse reglene også er gyldige når c = ± Grenseverdien til polynomer Hvis p(x) er et polynom, så er p(x) = p(c) x c Grenseverdien til rsjonle funksjoner Hvis p(x) og q(x) er polynomer og q(c) 0, så er Sndwichteoremet p(x) x c q(x) = p(c) q(c) Ant t g(x) f(x) h(x) for lle x i et åpent intervll som inneholder c, utenom muligens ved x = c Ant i tillegg t D vil også g(x) = h(x) = L x c x c x c f(x) = L 5

Venstre og høyre grenseverdier En funksjon f(x) hr en grenseverdi når x går mot c hvis og bre hvis den hr venstre og høyre grenseverdier der og disse grenseverdiene er like: f(x) = L x c Horisontl symptote f(x) = L og x c f(x) = L x c + En linje y = b er en horisontl symptote v grfen til en funksjon y = f(x) hvis enten f(x) = b eller f(x) = b x x Skråsymptote Hvis grden til telleren i en rsjonl funksjon f(x) er en høyere enn grden til nevneren så hr grfen til funksjonen en skråsymptote Ved å dele telleren på nevneren ved polynomdivisjon får vi uttrykt den rsjonle funksjonen som en lineær funksjon v x pluss et restledd med x i nevneren Den lineære delen er funksjonen for skråsymptoten Vertikl symptote En linje x = er en vertikl symptote v grfen til en funksjon y = f(x) hvis enten x x f(x) = ± eller f(x) = ± + Noen vnlige grenseverdier n Kontinuitet sin θ = (θ i rdiner) θ 0 θ ( + x ) n = e x (for lle x) n En funksjon f(x) er kontinuerlig ved x = c hvis og bre hvis følgende tre krv er oppfyllt: f(c) finnes (c er i definisjonsmengden til f) x c f(x) finnes (f hr en grense når x c) x c f(x) = f(c) (grenseverdien er lik f(c)) Kontinuerlig funksjon En funksjon er kontinuerlig på et intervll hvis og bre hvis den er kontinuerlig på lle punktene i intervllet En kontinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerlig på lle punktene i funksjonens definisjonsmengde En funksjon trenger ikke være kontinuerlig på lle intervller Feks y = /x er ikke kontinuerlig i intervllet [,, men er kontinuerlig i definisjonsmengden (, 0) (0, ) Egenskper til kontinuerlige funksjoner Hvis funksjonene f og g er kontinuerlige ved x = c, d er følgende kombinsjoner også kontinuerlige ved x = c: Summer f + g Differnser f g Produkter f g Konstnte multipler k f, for lle tll k Kvotienter f/g, gitt t g(c) 0 Potenser f r/s, gitt t f r/s er definert på et åpent intervll som inneholder c og r, s N Smmenstte funksjoner f g = f(g(x)) Skjæringssetningen (Intermedite vlue theorem) En funksjon y = f(x) som er kontinuerlig på et lukket intervll [, b ntr lle verdier mellom f() og f(b) Dvs t hvis y 0 er en hvilken som helst verdi mellom f() og f(b), så er y 0 = f(c) for en eller nnen c [, b 4 Stigningstllet til en kurve på et punkt Stigningstllet til en kurve y = f(x) på punktet P (x 0, f(x 0 )) er tllet m = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (gitt t denne finnes) Tngenten til kurven ved P er linjen gjennom P med dette stigningstllet 5 Derivsjon Den deriverte til funksjonen f(x) med hensyn på vribelen x er funksjonen f hvis verdi ved x er f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h gitt t denne grenseverdien finnes Det er mnge måter å skrive den deriverte på Her er noen vnlige lterntiver: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f(x) Deriverbrhet impliserer kontinuitet Hvis f er deriverbr ved x = c så betyr det t f også er kontiunerlig ved x = c (men ikke nødvendigvis motstt) Drboux teorem Hvis og b er to vilkårlige punkter i et intervll der f er deriverbr, så vil f nt lle verdier mellom f () og f (b) 6 Derivert som endringshstighet Øyeblikkelig endringshstighet til f med hensyn på x ved x 0 er den deriverte til f ved x 0, f (x 0 ) Hvis d s = f(t) er funksjonen for posisjonen s med hensyn på tiden t, så hr vi følgende: 6

Middelverditeoremet (Men Vlue Theorem) s(t) = f(t) v(t) = s (t) (t) = v (t) = s (t) j(t) = (t) = v (t) = s () (t) posisjon frt kselersjon rykk 7 Anlyse v funksjoner med derivsjon Ekstremverdier L f være en funksjon med definisjonsmengde D D hr f en globl mksimumsverdi på D ved et punkt c hvis f(x) f(c) for lle x i D og en globl minimumsverdi på D ved c hvis f(x) f(c) for lle x i D Hvis f er kontinuerlig på et lukket intervll [, b, d vil f h både en bsolutt mksimumsverdi M og en bsolutt minimumsverdi m i [, b Dvs, det finnes to tll x og x i [, b der f(x ) = m, f(x ) = M og m f(x) M for lle ndre x-verdier i [, b Lokle mks og min En funksjon f hr en lokl mksimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden hvis f(x) f(c) for lle x i et åpent intervll som inneholder c En funksjon f hr en lokl minimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden hvis f(x) f(c) for lle x i et åpent intervll som inneholder c Globle ekstremverdier er også lokle ekstremverdier, men ikke nødvendigvis motstt Førstederivert testen for lokle ekstremverdier Hvis f hr en lokl mksimums- eller minimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden, og f er definert ved c, så er Kritisk punkt f (c) = 0 Et indre punkt i definisjonsmengden til en funksjon f der f er null eller udefinert klles et kritisk punkt på f Globle ekstrempunkt på et endelig lukket intervll til en kontinuerlig funksjon f er den største og den minste verdien v f ved lle kritiske punkter og endepunkter Rolles teorem Ant t y = f(x) er kontinuerlig på lle punkter i det lukkede intervllet [, b og deriverbr på lle punkter i det åpne intervllet (, b) Hvis f() = f(b), d finnes det minst ett tll c i (, b) hvor f (c) = 0 Ant t y = f(x) er kontinuerlig på et lukket intervll [, b og deriverbr på lle punkter i det åpne intervllet (, b) D finnes det minst et punkt c i (, b) hvor f(b) f() b = f (c) Funksjoner med null som derivert er konstnte Hvis f (x) = 0 ved lle punkter x i et åpent intervll (, b), d er f(x) = C for lle x (, b), der C er en konstnt Funksjoner med smme derivert vviker med en konst Hvis f (x) = g (x) for lle punkter x i et åpent intervll (, b), d finnes det en konstnt C slik t f(x) = g(x) + C for lle x (, b) Dvs, f g er en konstnt på (, b) Økende, minkende og monotone funksjoner L f være en funksjon definert på et intervll I og l x og x være to vilkårlige punkter i I D hr vi: Hvis f(x ) < f(x ) når x < x, så er f økende på I Hvis f(x ) > f(x ) når x < x, så er f minkende på I En funksjon som enten er økende eller minkende på I klles monoton på I Førstederivert testen for monotone funksjoner Ant t f er kontinuerlig på [, b og deriverbr på (, b) Hvis f (x) > 0 for lle x (, b), d er f økende på [, b Hvis f (x) < 0 for lle x (, b), d er f minkende på [, b Førstederivert testen for lokle ekstremverdier Ant t c er et kritisk punkt på en kontinuerlig funksjon f, og t f er deriverbr på lle punkter i et intervll som inneholder c, men ikke nødvendigvis ved c Hvis det viser seg t, når mn beveger seg forbi c fr venstre mot høyre på tllinjen, og hvis f går fr negtiv til positiv ved c, d hr f loklt minimum ved c; hvis f går fr positiv til negtiv ved c, d hr f loklt mksimum ved c; hvis f ikke forndrer fortegn ved c, d hr ikke f lokl ekstremverdi ved c Konkv opp, konkv ned Grfen til en deriverbr funksjon y = f(x) er på et åpent intervll I konkv opp hvis f er økende på I konkv ned hvis f er minkende på I 7

Andrederivert testen for konkvitet L y = f(x) være dobbelt deriverbr på et intervll I Hvis f > 0 på I, d er grfen til f over I konkv opp Hvis f < 0 på I, d er grfen til f over I konkv ned Vendepunkt Et punkt der grfen til en funksjon kn h en tngent og der konkviteten endres, klles et vendepunkt Andrederivert testen for lokle ekstemverdier Ant t f er kontinuerlig på et åpent intervll som inneholder x = c Hvis f (c) = 0 og f (c) < 0, d hr f loklt mksimum ved x = c Hvis f (c) = 0 og f (c) > 0, d hr f loklt minimum ved x = c Hvis f (c) = 0 og f (c) = 0, d feiler testen Funksjonen f kn d enten h loklt mks, loklt min, eller ingen v delene L Hôpitls regel Ant t f() = g() = 0, og t f og g er deriverbre på et åpent intervll I som inneholder, og t g (x) 0 på I hvis x D hr vi f(x) x g(x) = f (x) x g (x) hvis grenseverdien til høyre finnes Det smme gjelder om f(x) ± og g(x) ± når x Vi kn også h = ± eller x + eller x 8 Integrsjon Antideriverte En funksjon F er en ntiderivert v f på et intervll I hvis F (x) = f(x) for lle x I Hvis F er en ntiderivert v f på et intervll I, d er den mest generelle ntideriverte v f på I F (x) + C hvor C er en vilkårlig konstnt Ubestemt integrl, integrnd Mengden v lle ntideriverte v f er det ubestemte integrlet v f med hensyn på x, og blir skrevet slik: f(x) dx Symbolet er et integrltegn Funksjonen f er integrnden til integrlet, og x er integrsjonsvribelen Bestemt integrl Hvis en funksjon y = f(x) er ikkenegtiv og integrerbr over et lukket intervll [, b, d er relet mellom kurven y = f(x) og x-ksen over [, b integrlet v f fr til b, b A = f(x) dx 8 Regneregler for bestemte integrler b b b b f(x) dx = f(x) dx = 0 kf(x) dx = k (f(x) ± g(x)) dx = f(x) + c b f(x) = b b b c f(x) dx f(x) dx f(x) dx ± f(x) dx b Gjennomsnittsverdien til en funksjon g(x) dx Hvis f er integrerbr på [, b, d er gjennomsnittsverdien til f på [, b lik gj(f) = b b f(x) dx Middelverditeoremet for bestemte integrler Hvis f er kontinuerlig på [, b, d finnes det et punkt c i [, b hvor f(c) = b b f(x) dx Klkulusens fundmentlteorem Hvis f er kontinuerlig på [, b, d er F (x) = x f(t) dt kontinuerlig på [, b og deriverbr på, b, og dens deriverte er f(x): F (x) = d dx x f(t) dt = f(x) Hvis f er kontinuerlig på lle punkter i [, b, og F er en vilkårlig ntiderivert v f på [, b, d hr vi b f(x) dx = F (b) F () Subtitusjonsregelen for ubestemte integrl Hvis u = g(x) er en deriverbr funksjon hvis verdimengde er et intervll I og f er kontinuerlig på I, d hr vi f(g(x)) g (x) dx = f(u) du Subtitusjonsregelen for bestemte integrl Hvis g er kontinuerlig på intervllet [, b og f er kontinuerlig på verdimengen til g, d hr vi b f(g(x)) g (x) dx = g(b) g() f(u) du Spesiltilfeller når f er jevn eller odde Hvis f er kontinuerlig på intervllet [,, d: Hvis f er jevn, d er Hvis f er odde, d er f(x) dx = 0 f(x) dx = 0 f(x) dx

Arelet mellom kurver Hvis f og g er kontinuerlige og f(x) g(x) i [, b, d er relet v området mellom kurvene y = f(x) og y = g(x) fr til b integrlet v (f g) fr til b: A = b [f(x) g(x) dx 9 Bestemte integrlers nvendelser Volum Volumet v et legeme med et kjent integrerbrt tversnittrel A(x) fr x = til x = b er integrlet v A fr til b: b V = A(x) dx Volum med skivemetoden Rotsjon v y(x) om kse x-kse: V = π b [ (R(x)) (r(x)) dx Rotsjon v x(y) om kse y-kse: V = π b [ (R(y)) (r(y)) dy Volum med sylinderskllmetoden Rotsjon v y(x) om kse y-kse: V = π ( ) ( ) b skll skll rdius høyde dx Rotsjon v x(y) om kse x-kse: V = π ( ) ( ) b skll skll rdius høyde dy Newtons metode Kurvelengde til x = g(y) x n+ = x n f(x n) f (x n ) c y d Hvis g er kontinuerlig og deriverbr på [c, d, d er lengden v kurven (grfen) x = g(y) fr y = c til y = d lik L = d c + ( dx dy ) dy = d c + (g (y)) dy Moment, msse og mssesenter til en tynn stng lngs x-ksen med tetthetsfunksjon δ(x) Moment om origo M 0 = b xδ(x) dx Msse M = b δ(x) dx Mssesenter x = M 0 M Momenter, msse og mssesenter til en tynn plte Mssesenter til en stripe ( x, ỹ) Mssetettetsfunksjon Mssen til en stripe Moment om x-ksen Moment om y-ksen Mssen til plt Mssesenter til plt δ dm = δ lengde bredde M x = ỹ dm M y = x dm M = dm x = My M y = M x M stripe x-ksen ỹ = y, bredde = dy stripe y-ksen x = x, bredde = dx 0 Trnscendente funksjoner Enentydig funksjon En funksjon f(x) er enentydig (eller injektiv) på D f hvis f(x ) f(x ) når x x i D f Horisontllinjetesten for enentydige funksjoner En funksjon y = f(x) er enentydig hvis og bre hvis grfen skjærer enhvær horisontl linje høyest ett sted Invers funksjon Ant t f er en enentydig funksjon på en definisjonsmengde D med verdimengde R Den inverse funksjonen f er definert ved f () = b hvisf(b) = Definisjonsmengden til f er R og verdimengden til f er D Resiprok Om et tll R ikke er lik null, kn vi finne en delt på tllet, nemlig Dette tllet klles d s resiprok Den deriverte v en invers funksjon Hvis f hr et intervll I som definisjonsmengde og f (x) finnes og ldri er null på I, d er f deriverbr på lle punkter i dens definisjonsmengde Verdien til (f ) ved et punkt b i definisjonsmengden til f, er resiproken til verdien til f ved punktet = f (b): eller (f ) (b) = d f dx = x=b f (f (b)) Den nturlige logritmen ln x ln x = x d f dx x=f (b) t dt, x > 0 Det nturlige tllet e Tllet e er det tllet i definisjonsmengden til den nturlige logritmen som tilfredsstiller likningen ln(e) = 9

Egenskper til logritmer For vilkårlige tll > 0 og x > 0, så gjelder følgende regler: ln x = ln + ln x ln = ln ln x x kvotientregelen ln x = ln x ln x r = r ln x produktregelen resiprokregelen potensregelen Den nturlige eksponentilfunksjonen e x For x R, så er den inverse funksjonen til ln x lik e x : Dette fører til t e x = ln x = exp x e ln x = x for lle x > 0 ln(e x ) = x for lle x Generelle eksponentilfunksjoner For lle tll > 0 og x, så hr vi x = e x ln Generelle logritmefunksjoner For lle positive tll, så er log x = ln x ln Dette fører til t den inverse funksjonen v x log x = x for lle x > 0 log ( x ) = x for lle x Mlthus lov for eksponentiell vekst Om mn ntr t øyeblikkelig endringshstighet til en størrelse er proporsjonl med størrelsen får mn d y(t) = ky dt Hvis y = y 0 når t = 0 så er løsningen på denne likningen y(t) = y 0 e kt der k > 0 gir vekst og k < 0 gir nedgng k klles vekstfktoren Funksjonen kn brukes til å modellere feks ubegrenset vekst eller rdioktiv nedbrytning Vekstrter når x L f(x) og g(x) være positive for tilstrekkelig store x Hvis f(x) x g(x) = eller, tilsvrende, om x g(x) f(x) = 0 så sier vi t f vokser rskere enn g, evt t g vokser seinere enn f Hvis f(x) x g(x) = L (et endelig tll) så hr f og g smme vekstrte når x 0 Inverse trigonometriske funksjoner y = sin x y = cos x y = tn x er tllet i [ π/, π/ der sin y = x er tllet i [0, π der cos y = x er tllet i π/, π/ der tn y = x Inverse trigonometriske identiteter cos x = π/ sin x cot x = π/ tn x csc x = π/ sec x Numerisk integrsjon Trpesmetoden Et bestemt integrl v f fr til b kn pproksimeres ved å stykke opp intervllet i n like store lengder, og summere relet v trpesene fr x-ksen til f Bredden på hvert trpes blir x = b n Summen v trpesrelene blir d T = x Simpsons metode ( ) n f() + f( + k x) + f(b) k= S = x (y 0+4y +y +4y + +y n +4y n +y n ) Der y ene er verdier v f ved prtisjonspunktene x 0 =, x = + x,, x n = +(n ) x, x n = b Tllet n er et prtll, og x = (b )/n Lineær lgebr og differensillikninger En lineær likning med vribler x,, x n kn skrives x + x + + n x n = b der b og koeffisientene,, n er reelle eller komplekse tll Et system med lineære likninger (eller et lineært system) er en smling med en eller flere lineære likninger Feks x x + 5x = 8 x 4x = 7 En løsning v systemet er en liste (s, s n ) med tll som gjør t hver likning stemmer når mn bytter ut x,, x n med s,, s n Smlingen v lle mulige løsninger klles løsningsmengden To lineære systemer klles ekvivlente hvis de hr smme løsningsmengde Å finne løsningsmengden til et system med to lineære likninger med to vrible med reelle koeffisienter er ekvivlent med å finne ut hvor to linjer krysser hverndre Feks:

x x = x + x = x Ingen løsning x x x = x + x = x x x = x + x = x Nøyktig én løsning x Uendelig mnge løsninger Et lineært system hr enten ingen løsning, eller nøyktig én løsning, eller uendelig mnge løsninger Et lineært system er konsistent hvis det hr minst en løsning og er inkonsistent hvis det ikke hr noen løsning Et lineært system kn representeres med en mtrise Feks gitt det lineære systemet x x + x = 0 4x + 5x + 9x = 9 x 8x = 8 så kn mn representere koeffisientene i systemet med følgende koeffisientmtrise: [ - -4 5 9 0-8 Hele det lineære systemet kn representeres med følgende ugmenterte mtrise: [ - 0-4 5 9-9 0-8 8 Størrelsen til en mtrise sier hvor mnge rder og kolonner den hr Den ugmenterte mtris ovenfor hr rder og 4 kolonner En m n mtrise ( m gnger n mtrise ) er en mtrise med m rder og n kolonner m og n trenger ikke å være forskjellige tll Hvis to mtriser er ekvivlente bruker mn tegnet mellom dem Tre grunnleggende rdopersjoner kn benyttes på lineære systemer uten t det påvirker løsningsmengden: (ersttning) Ersttte en rd med summen v seg selv og en multippel v en nnen rd (ombytting) Bytte om to rder (sklering) Gnge lle tll i en rd med et tll ulik 0 Eks: Ersttter rd med (rd ) + (4 gnger rd ): [ - 0-4 5 9-9 0-8 8 x [ - 0-4+4 5+4 (-) 9+4-9+4 0 0-8 8 [ - 0 0 - -9 0-8 8 Eks: Bytter rd med rd : [ - 0 0 - -9 0-8 8 [ - 0 0-8 8 0 - -9 Eks: Gnger lle tll i rd med : 0 [ - 0 0-8 8 0 - -9 [ - 0-8 8 0 - -9 [ - 0 0-4 4 0 - -9 En enhetsmtrise v størrelse n n er en kvdrtisk mtrise med lngs digonlen fr øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne og 0 ellers Eksempel på en enhetsmtrise: [ 0 0 0 0 0 0 Ved å bruke rdopersjonene for å få koeffisientmtrisen mest mulig lik en enhetsmtrise klles rdredusering Gjør mn det med eksempelmtrisen ovenfor får mn følgende: [ - 0 0-4 4 0 - -9 [ 0 0 9 0 0 6 0 0 Og mn hr funnet en unik løsning på det opprinnelige systemet med s =9, s =6, s = To mtriser er rdekvivlente hvis det finnes en rekkefølge v elementære rdopersjoner som trnsformerer den ene mtrisen til den ndre Hvis de ugmenterte mtrisene til to lineære systemer er rdekvivlente så hr systemene smme løsningsmengde Et ledende tll i en rd er det tllet lengst til venstre i en rd som ikke er lik 0 En nullrd er en rd der lle tll er 0 En rd er ikkenull om den inneholder minst ett tll som ikke er lik 0 En mtrise er på trppeform hvis den hr følgende tre egenskper: Alle ikkenull-rder ligger over lle eventuelle nullrder Det ledende tllet i en rd ligger i en kolonne som er til høyre for det ledende tllet i rden over Alle tll i en kolonne under et ledende tll er 0 Hvis en mtrise på trppeform i tillegg hr følgende egenskper, så er mtris på redusert trppeform: 4 Det ledende tllet i lle ikkenull-rder er lik 5 Hvert ledende -tll er det eneste tllet som ikke er lik 0 i kolonnen Følgende mtriser er i hhv trppeform og red trppeform: [ 0 0 9 [ - 0 4 8 0 0 0 5/ 0 0 6 0 0

TEOREM : Enhver mtrise er rdekvivlent med en og bre en mtrise på redusert trppeform En pivotposisjon i en mtrise A er en posisjon i A som korresponderer med et ledende -tll i den reduserte trppeformen til A En pivotkolonne er en kolonne i A som inneholder en pivotposisjon En pivot er et tll ulik 0 i en pivotposisjon som brukes til å lge 0 er i de ndre rdene i kolonnen vh rdopersjoner Hvis en ugmentert mtrise på redusert trppeform hr minst en nullrd, hr systemet minst en fri vribel, og systemet hr uendelig mnge løsninger Feks [ 0-5 0 4 0 0 0 0 Tilsvrer systemet x 5x = x + x = 4 0 = 0 Vriblene x og x klles ledende vrible, mens x her er en fri vribel Slike konsistente systemer kn skrives som en generell løsning ved å løse det reduserte likningssystemet mhp de ledende vriblene: x x { x = + 5x x = 4 x x er fri Her står løsningen på prmeterform, men kn også omformes til prmetrisk vektorform slik: [ [ [ [ x + 5x 5 x = = = 4 + x 0 der p = 4 x x x = p + t v [ 4, v = 0 [ 5, og t R TEOREM : Eksistens og entydighetsteorem Et lineært system er konsistent hvis og bre hvis kolonnen lengst til høyre i en ugmentert mtrise ikke er en pivotkolonne, dvs hvis og bre hvis en trppeform v den ugmenterte mtris ikke hr noen rd på formen [ 0 0 b der b 0 Hvis systemet er konsistent, d inneholder løsningsmengden enten (i) en unik løsning uten fri vribler eller (ii) uendelig mnge løsninger med minst en fri vribel En mtrise med kun én kolonne klles en kolonnevektor, eller bre en vektor Et hvert punkt i n dimensjoner kn representeres med en vektor med n rder Det geometriske punktet (, b) i R kn iden- [ tifiseres med vektoren b To vnlige notsjoner for [ vektorer som vribler er enten fet skrift: v = b, eller pil over bokstv: v = Addisjon og subtrksjon v vektorer gjøres rd for rd: [ [ [ [ + 4 + = = 4 + 4 6 [ b Gitt v og c R så er c v en sklr multippel v v: [ v = og c = c [ [ v = = 6 En nullvektor er en vektor der lle tllene er lik 0, og kn skrives som 0 For lle u, v, w i R n og c, d R hr vi: u+ v = v + u ( u+ v)+ w = u+( v + w) c( u+ v) = c u+c v (c+d) u = c u+d u Summen/differnsen v to mtriser Dette er definert for to mtriser som er like store: [ n m mn ± [ b b n b m b mn Sklering v en mtrise = [ ± b n ± b n m ± b m mn ± b mn En mtrise kn gnges med et tll; Mn gnger d lle tllene i mtris med tllet: n c m mn = Produktet v to mtriser c c n c m c mn Hvis ntll kolonner i en mtrise likt ntll rder i en nnen mtrise, så kn de gnges smmen som i eksempelet her: B A A B = [ 4 0 7 4 [ 7 4 5 7 8 4 7 4 [ 68 9 5 8 74 80 7 4 7 6 6 4 Feks så hr 7 her kommet frem ved å plusse smmen produktet v tll fr rd i A og kolonne i B slik: 0 + ( 8) + 7 = 7 Regneregler for mtriser L A, B, C være vilkårlige mtriser, I enhetsmtrisen og 0 være mtrisen der lle tllene er lik null Vi hr d følgende regler for mtriseregning (der størrelsene på mtrisene er slik t den ktuelle formelen gir mening): A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A A A = 0 A(BC) = (AB)C AI = IA = A A(B + C) = AB + AC I tillegg er opersjonen A k der k N definert som å gnge A med seg selv k gnger M 0 er definert til å være lik I

Den inverse til en mtrise Hvis A er en kvdrtisk mtrise, så er A definert slik t A A = A A = I En mtrise A er inverterbr det A 0 Inversen til en -mtrise er [ [ b d b = c d d bc c Inverser i likningsløsing Hvis Y = AX og A = 0 så er X = A Y Negtive eksponenter Vi definerer A k = (A ) k k N Som fører til A p A q = A p+q og (A p ) q = A qp Inversen til et produkt Determinnter (AB) = B A Det generelle likningssystemet Kn løses slik: [ b p c d q Som gir x = x + bx = p cx + dx = q dp bq d bc, [ 0 dp bq 0 x = d bc q cp d bc q cp d bc Dette betyr t det generelle -systemet hr en entydig bestemt løsning når den såklte determinnten d bc 0 Hvis vi hr følgende generelle system v n likninger med n ukjente: x + + n x n = b x + + n x n = b n x + + nn x n = b n så klles systemet homogent hvis b = b = = b n = 0 og inhomogent hvis minst en b i 0 Generelt kn vi d si t hvis D er determinnten til et lineært likningssystem med n likninger med n ukjente så hr vi følgende fire muligheter: D 0 D = 0 inhomogent entydig bestemt løsning homogent kun triviell løsning x =x = x n =0 enten uendelig mnge løsninger, eller ingen løsninger uendelig mnge ikke-trivielle løsninger Determinnten til en -mtrise er: [ b det = c d b c d = d bc Determinnten til en -mtrise er: b c d e f g h i = e f h i b d f g i + c d g e h For n kn determinnten til en n n-mtrise defineres rekursivt på følgende måte: n n n n nn = det(m ) det(m )+ +( ) n+ n det(m n ) der det(m i ) er determinnten til den (n ) (n )- mtrisen som kommer frem når vi stryker rd og kolonne i Crmers regel L D 0 være determinnten til koeffisientmtrisen til likningssystemet x + + n x n = b x + + n x n = b n x + + nn x n = b n D hr likningssystemet løsningen b n b n b n n nn x =, D b n b n n b n nn x =, D b b n n b n, x n = D

Determinnt ved kofktorekspnsjon Kofktorekspnsjon v - 7 4 7 9 5 8-7 4 4 4-7 4 7 9 5 8-7 4 4 4-7 4 7 9 5 8-7 4 4 4 lngs kolonne: - 7 4 7 9 5 8-7 4 4 4-7 4 7 9 5 8-7 4 4 4 (-) + 7 5-4 - 4-4 7 8 4 4 4 (-)+ 9 8 4 4 4 (-)+ -7 7 5 4 4 (-)4+ 7 5 8 4 = 7 44 = ( 9) ( ) = ( 7) 8 = ( ) 47 = 748 = 088 = 966 = 46 Det = 748 + 088 966 46 = 454 Egenverdi og egenvektor L A være en kvdrtisk mtrise Et tll λ klles en egenverdi for A hvis det finnes en vektor x 0 slik t A x = λ x x klles en egenvektor for A med λ som tilhørende egenverdi Vi hr d t A k x = λ k x Egenverdiene til mtrisen A er de tllene λ som gir det(a λi) = 0 Metode for å finne egenverdiene og egenvektorene Regn ut determinnten det(a λi), som blir et polynom i λ v grd n Løs likningen det(a λi) = 0 Egenverdiene til A er lle løsningene λ v denne likningen Eventuelle komplekse løsninger regnes også som egenverdier til A For hver reell egenverdi λ, løs likningen (A λi)x = 0 De løsningene X som ikke er lik 0, er egenvektorene til A med λ som tilhørende egenverdi Lengden (eller normen) til v er den ikke-negtive sklren v = v v = v + v + + v n Grm-Schmidt-prosessen Hvis { x, x,, x p } er en bsis for et underrom W i R n, så er { v, v,, v p } en ortogonl bsis for W der v = x 4 v = x v x v v v v = x v x v x v v v v v v v p = x p xp v v v v xp v p v p v p v p I tillegg så hr Spn{ v,, v k } = Spn{ x,, x k } for k p En ortonorml bsis { u, u,, u p } får vi ved å dele hver v vektorene i den ortogonle bsisen på sin egen norm: uk = v k v k for k p Omforming v uttrykket cos ωt + b sin ωt L, b og ω være gitte tll 0 med ω > 0 Funksjonen f(t) = cos ωt + b sin ωt kn skrives på formen f(t) = C cos (ω(t t 0 )) der (C, ωt 0 ) er polrkoordintene til punktet (, b) Spesielt hr vi C = + b og tn(ωt 0 ) = b Vinkelen ωt 0 ligger i intervllet [0, π og hører til smme kvdrnt som punktet (, b) Differensillikninger Hvis y(t) er kontinuerlig på et intervll I, så hr vi følgende løsninger v forskjellige differensillikninger på intervllet: y = y + by + c y = y y = Ce t y = y + b y = Ce t b = (y A)(y B) y = A + og y A B A + ke (B A)t Første ordens inhomogen lineær difflikning hr løsningen y = e P (t) y + p(t)y = g(t) e P (t) P (t) g(t) dt + Ce der P (t) er en vilkårlig ntiderivert v p(t)

Mtrisetrnsformsjoner Seprble differensillikninger dy = f (t) g(y) dt dy = g(y) f (t) dt Høyere ordens differensilligninger med konstnte koeffisienter En høyere ordens differensilligning med konstnte koeffisienter er en ligning n y (n) + + y () + y + y + 0 y = f (t) Komplementær / homogen løsning Den tilhørende homogene differensilligningen får vi ved å bytte ut høyresiden f (t) med 0 Vi får d n y (n) + + y () + y + y + 0 y = 0 Vi løser en homogen høyere ordens differensilligninger med konstnte koeffisienter ved først å løse den krkteristiske ligningen n rn + + r + r + r + 0 = 0 som hr røtter r, r,, rn Deretter finner vi løsningene y, y,, yn til den homogene differensilligningen ved følgende regel: Hvis rk = + bi, og denne roten hr forekommet m gnger før, er { m t t e cos(bt) hvis b 0 yk (t) = tm et sin(bt) hvis b < 0 «ploss rimer på cos, minus rimer på sinus» Den komplementære løsningen yc er d yc = c y + c y + + cn yn Prtikulær løsning Prtikulær løsning kn du finne når du kjenner y, y,, yn Hvis differensilligningen vr v orden hr du kun løsninger y og y, og d hr du en snrvei for yp som ser slik ut (bruk ikke +C for integrlene): y f (t) y f (t) yp = y dt + y dt W W der W er Wronski-determinnten v y, y : W = y y y y Hvis differensilligningen er v orden n >, kn du ikke bruke denne snrveien D må du løse følgende mtriseligning (Feks med Crmers regel): y y yn u (t) 0 y u (t) y yn = 0 (n ) (n ) (n ) un (t) f (t) y y yn Deretter finner du u(t) = u (t)dt (bruk ikke +C for integrlene), og til slutt Todimensjonle vektorer En todimensjonl vektor består v to tll og kn feks representere en posisjon eller en forflytning i et todimensjonlt koordintsystem Som nvn på vektorer brukes som regel små bokstver To vnlige skrivemåter er ) Nvn med fet skrift,, er vnlig i trykt tekst ) Pil over nvn,, er vnlig i håndskrevet tekst [ x-komponent Skrivemåte: = y-komponent [ 0 Nullvektor: 0 = 0 [ k Multipliksjon v vektor med tll: k = k [ /k Divisjon v vektor med tll: /k = /k [ + b Addisjon v to vektorer: + b = + b [ b Differnse v to vektorer: b = b Lengden v en vektor: = + Sklrprodukt (prikkprodukt): b = b + b Dette betyr t = Hvis står vinkelrett på b skrives det slik: b Det viser seg t b = 0 b En enhetsvektor er en vektor med lengde For å regne ut en enhetsvektor n som peker smme retning som en vektor v brukes formelen v n= v Kryssprodukt/vektorprodukt er en regneopersjon definert for tredimensjonle vektorer: b b v = b = b b b b v vil nå stå vinkelrett både på og b Det er også slik t b = b En teknikk for å regne ut kryssproduktet mellom to vektorer: 5 4 6 5 5 6 5 = = 4 6 = 6 = 6 4 6 5 4 5 8 5 yp = u y + u y + un yn 5

Mtriser En mtrise er en smling med tll som er rrngert i rder og kolonner Som nvn på mtriser brukes som regel store bokstver I trykt tekst er det vnlig å bruke fet skrift på nvnet, mens i håndskreven tekst er det vnlig å bre skrive en stor bokstv En m n-mtrise ( m gnger n mtrise ) er en mtrise med m rder og n kolonner m og n trenger ikke å være forskjellige tll En -mtrise kn skrives slik: [ A = 4 5 Et tll i en mtrise klles et element Nvn på elementer i mtriser følger dette systemet med to indekser: [ A = Dvs: =, =, =, = 4, = 5, = Multipliksjon v -mtrise med D-vektor: [ [ [ Ap = p p = + p p p + p Hvis ntllet kolonner i en mtrise likt ntllet rder i en nnen mtrise, så kn de gnges smmen som i eksempelet her: B A A B = 5 7 8 4 7 4 7 4 4 68 9 5 8 0 7 74 80 7 4 4 7 6 6 4 Feks så hr 7 her kommet frem ved å plusse smmen produktet v tll fr rd i A og kolonne i B slik: 0 + ( 8) + 7 = 7 Merk t A B som regel ikke er lik B A! Rotsjonsmtrise i D Rotsjon som dreier en vektor mot klokk en vinkel θ: [ cos θ sin θ R(θ) = sin θ cos θ 4 Rotsjon v en grf y = f(x) Grfen til en likning med y og x roteres med en vinkel θ ved å bytte ut x og y i likningen med hhv x- og y-komponenten til [ [ x x cos θ + y sin θ R( θ) = y x sin θ + y cos θ 5 Sklering med digonlmtriser En kvdrtisk mtrise hr like mnge rder og kolonner Digonlen i en kvdrtisk mtrise betyr elementene fr øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne Kvdrtiske mtriser kn være symmetriske D er verdien på elementene speilet om digonlen like En symmetrisk -mtrise kn skrives slik: [ b M = b 6 En digonlmtrise er en symmetrisk mtrise der lle de symmetriske verdiene er lik 0 En - digonlmtrise kn skrives: [ 0 D = 0 En digonlmtrise sklerer vektorer lngs x- og y- ksene: [ [ [ 0 p p Dp = = 0 p p 6 Sklering med symmetriske mtriser Sporet (trsen) til en mtrise: tr M = + Determinnten til en mtrise: det M = En mtrise M er positiv hvis tr M 0 og det M 0 Egenverdier En symmetrisk mtrise sklerer vektorer med fktorer som klles mtrisens egenverdier Egenverdiene til mtrisen M regnes ut med formelen g = ( m + m ± M er positiv g 0 og g 0 (m m ) + 4m Egenverdiene g og g utgjør spekteret til M Det å finne dem klles spektrlnlyse Hvis M er en digonlmtrise så er egenverdiene lik elementene på digonlen til M Sklering skjer lngs mtrisens egenkser som går lngs mtrisens egenvektorer Egenvektorene u og v regnes ut med formlene [ u = m g m [ v = m g m Egenkser står lltid vinkelrett på hverndre For en symmetrisk mtrise M med egenverdier g og g og tilhørende egenvektorer u og v så er de følgende såklte egenverdilikningene oppfylt: Mu = g u 7 Mtriserotsjon Mv = g v Egenksene til en symmetrisk mtrise M kn roteres med en vinkel θ med formelen N = R(θ)MR( θ) Hvis M roteres slik t egenksene går lngs x- og y- ksene så blir N en digonlmtrise Dette klles å digonlisere M Omvendt så kn en digonlmtrise D som sklerer lngs x- og y-ksene roteres med en vinkel θ for å sklere lngs ndre kser, slik: M = R( θ)dr(θ) )

8 Trnslsjon (flytting) Et punkt p kn trnsleres ved å legge til en vektor d slik t punktet blir flyttet til p slik: p = p + d Å flytte i retningen til d, en lengde på k, gjøres slik: p = p + d d k Men for å trnslere punkter med mtrisemultipliksjon trengs homogene koordinter 9 Homogene D-koordinter Et punkt i plnet kn representeres med vektoren [ = Det smme punktet representeres i homogene koordinter slik: = 0 Homogene trnsformsjoner Homogene trnsformsjoner utføres lltid ved å gnge en såklt trnsformsjonsmtrise med en vektor Resulttet er en ny vektor som er den trnsformerte vektoren Homogen trnslsjon i D Et punkt p kn trnsleres til punktet p med en vektor og trnslsjonsmtrisen T () definert slik: T () = 0 0 0 0 Homogen rotsjon i D Rotsjon som dreier en vektor mot klokk en vinkel θ: cos θ sin θ 0 R(θ) = sin θ cos θ 0 0 0 Homogen sklering i D Trnsformsjon med en symmetrisk mtrise M: M = m b 0 b m 0 0 0 Kombinsjoner v trnsformsjoner En trnsformsjon kn settes smmen v ndre Feks for å først rotere p med en vinkel på 45, så trnslere med vektoren, og til slutt rotere med en vinkel på : p = R( )T ()R(45 )p Merk t trnsformsjonen som utføres sist skl stå først! Rotsjon/sklering om et punkt En vnlig rotsjonstrnsformsjon vil utføres med origo som sentrum For å rotere om en vilkårlig kse brukes trnsformsjonen R(θ, ) = T ()R(θ)T ( ) Tilsvrende gjelder for sklering Rotsjoner i rommet Rotsjon v en tredimensjonl vektor r kn utføres med en -mtrise M med to prmetere: ) En enhetsvektor n som bestemmer rotsjonskse og rotsjonsretning; Om n står vinkelrett ut fr midten v en klokke, vil rotsjonen foregå motstt vei v viserene ) Rotsjonsvinkelen θ Den roterte vektoren r kn regnes ut uten å bruke en rotsjonsmtrise, slik (Goldstein, Chrles P Poole & Sfko, 000): r = r cos θ + n(n r)( cos θ) + (n r) sin θ Rotsjonsmtrisen blir slik: R(n, θ) = I cos θ + N( cos θ) + A sin θ Der I, N og A er definert som følger: I er den såklte identitetsmtrisen, som er en digonlmtrise med lngs digonlen, ltså 0 0 I = 0 0 0 0 N er tensorproduktet n n, dvs N ij = n i n j : n n n n n n N = n n n n n n n n n n n n 0 n n A = n 0 n n n 0 4 Homogene D-koordinter Et punkt i rommet kn representeres med vektoren r = r r r Det smme punktet representeres i homogene koordinter slik: r r = r r 7

Homogen trnslsjon i D Trnslsjonsmtrisen T () nert slik: 0 T () = 0 0 for dimensjoner er defi 0 0 0 0 0 0 4 Anvendt mtemtikk 4 Periodiske fenomener Et periodisk fenomen kn ofte tilpsses med funksjo( ) nen π y = C0 + C cos (t t0 ) T Homogen rotsjon i D Dette fungerer på tilsvrende måte som i D; Rotsjonsmtrisen R regnes ut og representeres i homogene koordinter med mtrisen r r r 0 r r r 0 R= r r r 0 0 0 0 Rotsjon om vilkårlig kse Sirkelfrekvens/vinkelfrekvens/vinkelhstighet En rotsjon en vinkel θ om en kse som er prllell til vektoren n, men som går gjennom punktet er representert v mtrisen Hvis T er perioden til en hrmonisk svingning, så kller vi størrelsen π/t svingningens sirkelfrekvens ω ω= R(n, θ, ) = T ()R(n, θ)t ( ) 5 Syntks i Mxim Kommndoer gis til progrmmet med tekst + Shift+Enter For å regne på vektorer og mtriser må mn først kjøre kommndoen lod(vect) Alle svr får nvn på formen %o+tll og kn refereres til ved dette nvnet i følgende utregninger Sinus og cosinus regnes ut med funksjonene sin() og cos() Progrmmet regner kun med rdiner Referer til π med %pi Lge en vektor: p:[,, Legge smmen vektorer: p+q Tll gnger vektor: *p Sklrprodukt: pq (med punktum) Lengde v vektor: sqrt(pp) Lge mtrise: Velg i menyen: Algebr Enter Mtrix Gnge mtrise med vektor: Ap Gnge mtrise med mtrise: AB Kryssprodukt: p q Noen uttrykk må tvinges frem med: express() Svr som desimltll: flot() Antll siffer i svr kn stilles med: fpprintprec:4 Dette setter ntll siffer i svr til 4 Funksjoner kn lges med opertoren := Feks kn mn bruke menyen for å sette inn en rotsjonsmtrise og så nvigere seg til uttrykket med piltstene og redigere så det ser slik ut (med shift+enter etterpå): R(t):= mtrix( [cos(t),-sin(t), [sin(t),cos(t) ); For filer som åpnes i progrmmet wxmxim, så må progrmmet regne ut lle uttrykkene på nytt Dette gjøres med menyvlget Cell Evlute All Cells (Ctrl+R) 8 π T T = π ω L ω være et positivt tll Funksjonene cos ωt og sin ωt gir hrmoniske svingninger med sirkelfrekvens ω og periode T = π/ω Interferens Gitt C, C 0 og og f (t) = C cos(ωt ϕ ) g(t) = C cos(ωt ϕ ) Amplituden C til funksjonen f (t) + g(t) er d gitt ved C = C + C + C C cos(ϕ ϕ ) og middelverdien er 0 4 Eksponentilfunksjon med som grunntll Funksjoner på formen f (t) = t der t R og R+ klles eksponentilfunksjoner klles grunntllet En funksjon på formen f (t) = c t kn tilpsses til å gå gjennom punktene (t, y ) og (t, y ) hvis t = t og ingen v punktene ligger i origo Formlene for det ( ) t t te ser slik ut: y = y c= y y = t t Hvis t < t så hr vi t f (t ) c t = = t t f (t ) c t Dvs t eksponentilfunksjoner hr smme vekstfktor over lle intervller v smme lengde

4 Økning/minking med p % per år En størrelse y som vokser/vtr eksponentiellt med p % per år og er lik y 0 ved tiden t 0 kn beskrives med funksjonen y(t) = c t der = ± p 00 og c = y 0 t 0 44 Eksponentilfunksjon med e som grunntll Funksjonen f(x) = x kn skrives: f(x) = e λx der λ = ln 0, hvis 0 < < f(x) = e λx der λ = ln 0, hvis > Hvis f er voksende, er doblingstiden T = ln λ Hvis f er vtkende, er hlveringstiden T / = ln λ 45 Funksjonen ph ph er en funksjon som gir et mål på hvor mnge H O + -molekyler det finnes per liter i en væskeløsning Denne konsentrsjonen skrives som [ H O + og hr benevning mol/l Denne funksjonen er definert slik: ph ([ H O +) = log ([ H O +) ph > 7 betyr en bsisk løsning ph < 7 betyr en sur løsning 46 Aldersbestemmelse etter 4 C- metoden Hvis I 0 er forholdet mellom 4 C og C i en levende orgnisme når den dør, så vil følgende funksjon I(t) beskrive forholdet mellom mengden 4 C som er igjen i liket i forhold til I 0 etter tiden t: ) t/570 49 Logritmisk skl Brukes for å smmenlikne størrelser v ulik størrelsesorden, der størrelsesordenen til et tll er gitt ved logritmen (med grunntll 0) til tllet Å plssere et (positivt) tll r på en logritmisk skl svrer til å plssere log r på den tilsvrende lineære sklen Et enkeltlogritmisk koordintsystem med to kser hr logritmisk skl på den ene ksen og lineær skl på den ndre ksen Et dobbeltlogritmisk koordintsystem med to kser hr logritmisk skl på begge ksene Enhver eksponentilfunksjon y = c x gir en rett linje når den plottes i et enkeltlogritmisk koordintsystem med logritmisk skl på y-ksen og lineær skl på x-ksen Enhver potensfunksjon y = cx r gir en rett linje når den plottes i et dobbeltlogritmisk koordintsystem 40 Anvendelser v bestemt integrl s(t) = tilbkelgt veilengde s (t) = v(t) = bnehstighet t S = v(t) dt = s(t ) s(t 0 ) t 0 = tilbkelgt veilengde i løpet v [t 0, t V (t) = vnnvolum i et kr ved tiden t V (t) = v(t) = tilstrømningshstighet t t 0 v(t) dt = V (t ) V (t 0 ) = økning i vnnvolum i løpet v [t 0, t I(t) = I 0 ( 47 Potensfunksjonen f(x) = c x r Hvis punktene (x, y ) og (x, y ) ligger i første kvdrnt og x x, så vil prmeterene r og c til potensfunksjonen som går gjennom begge punktene være gitt ved r = ln(y /y ) ln(x /x ) c = y x r = y x r 48 Allometrisk vekst L y = y(t) er størrelsen v et gitt orgn ved tiden t og x = x(t) være størrelsen v orgnismen som helhet ved tiden t Ofte så hr vi følgende smmenheng mellom x og y: y = cx r Der c og r er konstnter c vhenger v hvilke måleenheter en bruker for x og y Denne smmenhengen klles llometriloven t F (t) = Effekten i kw ved tiden t t 0 F (t) dt = Energien i kwh i løpet v [t 0, t 4 Mlthus modell L spesifikk vekstrte være definert som dn N dt, som kn tolkes som ntll vkom et individ i en befolkning produserer per tidsenhet Antr vi t denne størrelsen er konstnt får vi N dn dt = dn dt 4 Verhulsts modell = N N = Cet L bæreevnen B til befolkningen være så mnge individer omgivelsene kn livnære Om vi ntr t spesifikk vekstrte er proporsjonl med forskjellen i bæreevne og ntll individer, får vi dn N dt = (B N) dn dt = N(N B) B N = + ke Bt 9

4 Rdioktiv nedbrytning Om vi ntr t endringen i ntll rdioktive tomkjerner er proporsjonl med ntllet kjerner får vi dn dt = λn N = Ce λt med hlveringstid t / = ln λ 44 Newtons vkjølingslov Ant t et legeme vkjøles i omgivelser med konstnt tempertur T L T = T (t ) være legemets tempertur ved tiden t og T = T (t ) være legemets tempertur ved tiden t og t < t Vi definerer vkjølingsrten til å være dt dt Hvis vi ntr t vkjølingsrten er proporsjonl med temperturdiffernsen T T får vi der og dt dt = k(t T ) dt dt = k(t T ) T = T + Ce kt k = ln((t T )/(T T )) t t C = (T T )e kt = (T T )e kt 45 Allometrisk vekst Om vi lr kroppens vekstrte være dx dt og en kroppsdels vekstrte være dy dt og ntr t kroppdelens spesifikke vekstrte er proporsjonl med kroppens spesifikke vekstrte får vi y dy dt = r x dx dt y = Cx r 0