Høpassltre INF3 Dtal bldebeandln FORELESNING 7 FILTRERING I BILDEDOMENET II Andreas Kleppe Høpassltrern: Bldeorbedrn o kantdetekson Gradent-operatorer Laplace-operatoren o LoG-operatoren Canns kantdetektor G&W: 3. o.-.. F7 3.3. INF3 Slpper ennom øe rekvenser o demper eller erner lave rekvenser. Tpsk ernes den aller laveste rekvensen elt dvs. at omoene områder år ut-verd. Eekt: Demper lansomme varasoner.eks. bakrunn. Fremever skarpe kanter lner o detaler. Tpske mål: «Forbedre» skarpeten detektere kanter. Q: Hva sker med stø? F7 3.3. INF3 Høpassltrern med konvoluson Summen av vektene konvolusonslteret er tpsk. Q: Hvoror er dette lurt når v skal øpassltrere? Da blr oså summen av ut-bldets pkselverder bl. Antar nullutvdelse o bruker alle possoner med overlapp. => Postve o neatve pkselverder ut-bldet. Ikke alltd en od de å bruke. For ramvsnn: Gør postv ved å addere med en konstant o skaler resultatet tl ønsket ntervall. F7 3.3. INF3 3 Høpassltrern med konvoluson kursorsk Når summen av vektene konvolusonslteret er så blr oså summen av ut-bldets pkselverder. Antar nullutvdelse o bruker alle possoner med overlapp. M a N b a b antar nullutvdelse a satb a a satb m M N m b M a N b b m n s t s t satb b M N s t m n satb s t s t s t F7 3.3. INF3 a b M s N t a s b t
Punkt-detekson Eksempel på et øpasslter; Konvolusonslteret: Dette lteret kan bl.a. brukes tl detekson av solerte punkter: Beren konvolusonen av lteret betenet o nn-bldet : Isolerte punkter vl sklle se ut med ø respons absoluttverd. For passende terskel T> er de detektert punktene: Q: Hva er responsen omoene områder? Q: Hva med en ellende råtone-late? F7 3.3. INF3 5 s t t s t s T Eksempel: Punkt-detekson Oppave: Detekson av pore turbnblad. F7 3.3. INF3 Eksempel: Punkt-detekson Oppave: Detekson av skp radar-blde over sø. F7 3.3. INF3 7 De små lse punktene er skpene. Flteret vl lere øe responser or vert skp. O nesten lke ø respons kanter o speselt ørner. Bedre å bruke et større lter av samme «tpe»: Bldeorbedrn ved øpassltrern Konvolusonslteret kan oså brukes tl bldeorbedrn. Grunntanke: Fltrernen detekterer starten o slutten av kanter. Andre områder blr omtrent. Deror: Ved å addere ltrernen tl ornalen år v sterkere kanter bldet vrker skarpere. F7 3.3. INF3
Eksempel: Bldeorbedrn ved øpassltrern Oppave: Øk skarpeten ølende blde av Nordpolen: Mul løsnn:. Fltrer med. Summer ltrernen o ornalen. Bldeorbedrn ved øpassltrern Konvolusonslteret v ar sett på kan uttrkkes slk: 9 øpass = ornal lavpass Husk: Konvoluson er dstrbutv: *+ = * + * G&W. 3.3: a Ornal e Resultat F7 3.3. INF3 9 Bldeorbedrnen vl ar sett på tlsvarer altså:. Lavpassltrer med 33-mddelverdlter.. Subtraer resultatet ra ornalen. 3. Adder 9*deransen tl ornalen. Dette er én orm or boost-ltrern. Husk: Konvoluson er assosatv ved skalar multplkason: a* = *a F7 3.3. INF3 Unsarp maskn o boost-ltrern Gtt et blde ornal: tl venstre: et D-blde av en rampe. Lavpassltrer. tl venstre er ornalen stplet. Beren deransen: ornal ltrern 3. Resultatet er: ornal + k deransen k er en postv konstant. Unsarp maskn: k = G&W. 3.39 Hboost-ltrern: k > F7 3.3. INF3 Eksempel: Unsarp maskn. Lavpassltrern => uskarpt blde. Bruk.eks. et mddelverdlter.. Subtraer uskarpt blde ra ornalen. Ornal Lavpass = Høpass 3. Adder deransen tl ornalen. Fremever kanter resultatet vrker skarpere enn ornalen. F7 3.3. INF3
Motvason or kant-detekson Intenstets-later -kanter o -lner Det meste av normasonen et blde nnes ved kantene tl obektene/reonene bldet. Med «kanter» menes er ntenstets-kanter are-kanter tekstur-kanter osv. Boloske vsuelle sstemer er basert på kant-detekson. Slke sstemer arbeder ote både parallelt o sekvenselt: Alle lokale omvelser beandles uaven av verandre. Lokale resultat kan være aven av tdlere resultater. Homoen late: Et område der alle pkselverdene er lke. Kant: Overanen mellom to områder med orskell mddelverd. Ste-kant: Én-pksels overan. Rampe: Fler-pksels overan med konstant ntenstetsendrn dvs. konstant radent. «Kant» brukes oså om skllepunktet mellom de to områdene. Forskelle måter å modellere vor skller er. For ste-kanter: Et alternatv er mdt mellom nabo-pksler som tlører orskell områder. I sementern ønsker man tpsk å nne ørste pksel på sden som tlører obektet. Merk at en lne består av to kanter. Hver kan.eks. være ste-kant eller rampe. Idealstrukturer er ntt or modellern men prakss nner v otest strukturer som bare lner. F7 3.3. INF3 3 F7 3.3. INF3 Kant-tper Dtal dervason En kant kennetenes ved endrn ntenstetsverd. Sden en ntenstetskant er overanen mellom to områder med orskell mddelverd så må ntensteten endres kanten. Ste-kant Rampe Tak-kant Den derverte av en unkson er denert som: lm o anr stnnstallet tl punktet så anr vor me endrer se punktet. Lne ltt lattet Kant med stø F7 3.3. INF3 5 Den derverte er kke denert or dskrete unksoner men v kan tlnærme den ved å la densonen. => Tlnærme vba. deranser mellom nærlende pksler. F7 3.3. INF3
Dervason av blder Et dtalt blde er en to-varabel dskret unkson. En kontnuerl unkson kan derveres mp. o. Kalles å partell-dervere mp. o. Betenes enoldsvs / o / Vektoren av de to partell-derverte kalles radenten o betenes : F7 3.3. INF3 7 Gradent et kontnuerl blde Gradenten peker retnnen der unksonen øker mest: Den retnnsderverte tl retnn dvs. lans r er: r r r cos sn Når den retnnsderverte er størst er: r r Dvs. vnkelen der den retnnsderverte er størst oppller: sn cos cos sn F7 3.3. INF3 θ δ/δr r Gradent et kontnuerl blde Gentar: Når den retnnsderverte er størst er vnkelen : cos sn sn cos tan Deror: Gradenten peker retnnen der unksonen øker mest: tan o øknnen er som kalles radent-mantuden er: r F7 3.3. INF3 9 anr bare en lne som er parallell med radenten men ved å dobbeltdervere den retnnsderverte kan man vse at unksonen øker mest med radentretnnen o avtar mest mot radentretnn. / r er den retnnsderverte radentretnnen. Gradent Kant Gradenten peker retnnen der unksonen øker mest o kanten år vnkelrett på radenten. F7 3.3. INF3
Dtale radent-tlnærmner V ønsker å tlnærme radenten med deranser mellom nærlende pksler. Tl dette kan v bruke to konvolusonsltre som tlnærmer ver sn radent-komponent. To slke konvolusonsltre kalles en radent-operator. Konvolusonsltrene betenes ote som o F.eks. tlnærmer den partell-dervert -retnn ved å berene deransen vertkal retnn av nærlende pksler. Mane muleter! F7 3.3. INF3 Dtale radent-tlnærmner Asmmetrsk D-operator: = + - = + - Densonene er tt slk at radent-komponentene er postve or en kant der ntensteten øker nedover o ra venstre mot øre bldet. Problemer med denne operatoren: Hver av radent-estmatene reererer tl et punkt mdt mellom to pksler. - o -estmatet reererer kke tl samme punkt bldet. F7 3.3. INF3 Dtale radent-tlnærmner Smmetrsk D-operator: = + - - = + - - Gradent-estmatene reererer nå tl. Tlsvarer å mldt latte av den asmmetrske Doperatoren retnnen or radent-tlnærmnen: Normalt sett uproblematsk kanske t.o.m. postvt. F7 3.3. INF3 3 Gradent-operatorer Asmmetrsk D-operator: Oså kalt «pel derence»-operatoren. Smmetrsk D-operator: Oså kalt «separated pel derence»-operatoren. Roberts-operatoren oså kalt Roberts krssradent-operator: F7 3.3. INF3 PS: V anr konvolusonsltre den tanke at de skal brukes tl konvoluson. G&W anr ltermasker som skal brukes tl korrelason. Fltrene vl deror avvke med en raders rotason.
F7 3.3. INF3 5 Dtale radent-tlnærmner Problem: D-operatorene er veld ølsom or stø. Stø kan da lett bl detektert som kanter. «Løsnn»: Beren deransen or tre smmetrske par: Gradent-estmatene blr mer robuste mot stø bldet. F7 3.3. INF3 Gradent-operatorer Prewtt-operatoren: Sobel-operatoren: Fre-Cen-operatoren: PS: V anr konvolusonsltre den tanke at de skal brukes tl konvoluson. G&W anr ltermasker som skal brukes tl korrelason. Fltrene vl deror avvke med en raders rotason. F7 3.3. INF3 7 Separason av radent-operatorer Separason av Prewtt-operatoren: Separason av Sobel-operatoren: Separason av Fre-Cen-operatoren: F7 3.3. INF3 Eenskaper ved radent-operatorer Operatoren øres mndre ølsom or stø ved å lavpassltrere en retnn o dervere den ortoonale retnnen. Sees tdel ra separasonene. Eksempler: Prewtt Sobel Fre-Cen. Prewtt er mer ølsom or orsontale o vertkale enn or daonale kanter. Det motsatte er tlelle or Sobel. Fre-Cen r samme radent-mantude om kanten ler lans aksene eller daonalt. Fre-Cen Prewtt Sobel
Gradent-berenn V nner de orsontale kantene: Beren: = * V nner de vertkale kantene: Beren: = * Beren radent-mantude o -retnn: F7 3.3. INF3 9 tan M Gradent-mantude Gradent-retnn Eksempel: Gradent-berenn med Sobel-operatoren F7 3.3. INF3 3 = * + / Inn-blde = * Merk: Hvert blde er skalert ved å dele på stt maksmum. De neatve verdene o er satt tl. Større radent-operatorer Gradent-operatorer kan øres mer stø-robuste ved å be nn mer lavpassltrern. Eksempel: Følende 5 5-Sobel-operator: er resultatet av konvolusonene: F7 3.3. INF3 3 Implementasoner av radent-operatorer Som vanl lurt å utntte separabltet. For 55-Sobel-operatoren på orre ol: Med 55-ltrene kreves 5 multplkasoner. Ved bruk av de re 33-ltrene kreves 3 multplkasoner. Fnnes mane måter man dele opp på men det raskeste blr å separere 55-ltrene drekte: Dsse krever bare multplkasoner. F7 3.3. INF3 3
55-55 - 5 5 Gradent tl kant-detekson Gradent tl kant-detekson Gradent-mantuden ndkerer strken av kanten en pksel. Gradent-mantuden ar «bred respons» men v ønsker eksakt tnn kant. Kantene radent-mantuden blr tpsk brede / tkke. Kan være uønsket. Bredden avener av størrelsen på ltrene o bredden på kanten bldet. Mule remansmåter or å nne eksakt tnn kant: Terskle rad.ma. o tnne. Fnne maksmum rad.ma. / bruke den andrederverte. For en ste-kant: Merk: Bredden på responsen er aven av størrelsen på lteret. For en bred kant lattet med [ 3 ]/9: Merk: Bredden på responsen er aven av bredden på kanten. Maksmumet er lkt o ornut lokalsert! Bruke den andrederverte tl å nne maksmumene? step [- ] [- - ] smoot [- ] [- - ] PS: Fltrene tl venstre er brukt tl korrelason. F7 3.3. INF3 33 F7 3.3. INF3 3 Laplace-operatoren D-Laplace-operator Laplace-operatoren er tt ved: smoot Den endrer orten der et vendepunkt. [- -] = markerer kant-posson. [- -] ar to ekstremverder per kant; på starten o på slutten av kanten. Deror brukte v den tdlere tl - å orbedre bldeskarpeten! Kantens eksakte posson er nullennomanen. Dette r tnne kanter. V nner bare kant-possoner kke kant-retnner. 5 5 Kontnuerl = Dtalt +- +- = [+-+] - [+-] = +-++ I D er ekvvalent med den andrederverte. Av smmetr-ensn sentrerer v om. Dessuten btter v orten av konvenson. Altså år v: - = -- + - + F7 3.3. INF3 35 F7 3.3. INF3 3
F7 3.3. INF3 37 D-Laplace-operator Anvend D-Laplace-tlnærmnen bee retnner o summer: Dette kan berenes ved å konvolvere med F7 3.3. INF3 3 Full 33-Laplace-operator Hvs v tlle anvender D-Laplace-tlnærmnen lans bee daonaler år v det som kan berenes med: Dette konvolusonslteret kenner v en. Punkt-detekson. Øke bldeskarpeten. Laplace på andreradspolnom La de lokale ntenstetene omkrn være modellert ved andreradspolnomet mn er koordnater relatvt tl : mn = k +k m +k 3 n+k m +k 5 mn+k n I et 33-naboskap rundt ar v da ntenstetene: Den korrekte Laplace-verden er tt ved: Både -nabo- o -nabo- Laplace-operatoren øre r korrekt estmat! F7 3.3. INF3 39 k -k -k 3 +k +k 5 +k k -k +k k -k +k 3 +k -k 5 +k k -k 3 +k k k +k 3 +k k +k -k 3 +k -k 5 +k k +k +k k +k +k 3 +k +k 5 +k k k 3 F7 3.3. INF3 Sobel vs Laplace Sobel-ltrern => bred kant Laplace-ltrern => dobbelt-kant
F7 3.3. INF3 Ste-kanter o ste-kantede lner Merk: «Grad.ma.» bruker smmetrsk D-operator: + - «Laplace» er D-Laplace-operatoren: -- + + For ste-kanter: Gradentmantuden r samme respons ørste pksel utenor o ørste pksel nnenor kanten. Laplace r responser med motsatt orten o rkt kant null-ennoman. På tvers av en lne med to ste-kanter: Én-pksels lne r respons på ver sde av lna med radentmantuden nen respons. Laplace r rkte kanter nullennomanene. Grad.ma. Laplace Andre Laplace-operatorer Kan bl.a. nnes ved å bruke radent-operatorer. Eksempel: Bruker 33-Sobel-operatoren: F7 3.3. INF3 5 5 Implementason av Laplace-operatorer Generelt kke separable. Flere Laplace-operatorer kan lkevel deles opp D-operasoner. Eksempel: Laplace-operatoren ra orre ol: er kke separabel men kan deles opp D-operasonene: Krever da 37 operasoner stedet or 9 vba. 55-lteret. F7 3.3. INF3 3 5 5 T T F7 3.3. INF3 Fra Laplace tl LoG V orde radent-operatorene stø-robuste ved å be nn en lavpassltrern. Eksempel: 33-Sobel-operatoren: V kan øre det samme med en Laplace-operator. Det er vanl å be nn et Gauss-lter G med tt σ : er en Laplace-operator o er en Laplacan-o-Gaussan-operator. LoG G G Husk: Konvoluson er assosatv: ** = ** LoG G
En 7 7-LoG-operator Oså lavpassltrere? Konvolverer v 33-Gauss-tlnærmnen: * T G 33 med Laplace-operatoren vl kk ved å bruke 33-Sobel-operatoren: T T 55 or å å ølende 77-LoG-operator: 3 LoG 7 7 5 5 * G3 3 3 3 3 F7 3.3. INF3 5 Snal Dervert Laplace F7 3.3. INF3 To måter å lae LoG-operatorer Utlednn av LoG-unksonen Ote laes o mplementeres en LoG-operator som konvolusonen av en Laplace-operator o et Gauss-lter. Ote deneres en LoG-operator som en sampln av LoG-unksonen som er resultatet av å anvende Laplace-operatoren på Gauss-unksonen det kontnuerle domenet. Dsse remansmåtene r enerelt kke elt lke ltre men bee resulterer ltre v kaller LoG-operatorer. D - Gauss - unkson : G e Derverer mp. : G e Derverer mp. : G e Andredervert mp. : G e Andredervert mp. : G e Laplace er summen av dsse : G e F7 3.3. INF3 7 F7 3.3. INF3
-5-5 -5 5-5 5-5 -5-5 5-5 5 LoG-unksonen Kalles noen aner «Mecan at»-operatoren. LoG-operator ra LoG-unksonen Får en LoG-operator ved å sample en varant av LoG-unksonen or eltalle o. G V brr oss denne anen kke om mplementasonsdetalene; ustern slk at vektene summerer se tl o eventuell eltallstlnærmn av vektene. e er standard-avvket tl Gauss-en o er en parameter. G & W denerer G som LoG - unksonen men v denerer den som G F7 3.3. INF3 9 I de leste tleller er størrelsen av operatoren 3w.5 LoG-unksonen omtrent utenor dette området. Den postve toppen tl LoG-unksonen kalles kernen o w = er bredden av denne. Et kvadrant av LoG-unksonen F7 3.3. INF3 5 Bruk av LoG-operatorer Laplace-operator detekterer kanter men er ølsomme or stø. Ote må man lavpassltrere ør Laplace-ltrern. En LoG-operator ør bee dsse operasonene ett. Funerer ellers som en Laplace-operator: I omoene områder vl en LoG-operator respons. Den vl a postv respons på den ene sden av kanten er deelt sett kantskllet o ar neatv respons på den andre sden. Nullennomaner anr kanter. Intenstetsprol av en ste-kant LoG-ltrernen av prolen NB: Fltrernen er utørt med den neerte av en LoG-operator. PS: LoG-operatorer med varerende σ unerer oså odt som «blob»-detektorer. F7 3.3. INF3 5 Kantdetekson ved LoG-nullennomaner Tommelnerreel or strukturer: LoG-kernen må være smalere enn strukturen. Strukturen er mndre enn alvparten av LoG-kernen => Nullennomanene er utenor kantskllene Strukturen er større enn alvparten av LoG-lteret => Nullennomanene er nøakt kantskllene Et sted mellom: Avener av dskretsernen o tlnærmnen av LoG-lteret. Tommelnerreel or ramper: LoG-lteret må være større enn rampen. Rampen er bredere enn LoG-lteret => Inen nullennoman bare et null-platå. Ellers: Nullennoman mdt på rampen kan å én -respons akkurat på mdten altså en ornut denson av kantskllet tl rampen. P..a. stø krever ote at nullpassernen er skarp => LoG-lteret må være betdel større enn rampen. => Vel kerne- o lterstørrelsen med omu! Ans ørst o remst av standardavvket tl Gauss-unksonen som r bredden av LoG-kernen o antder størrelsen av LoG-lteret. F7 3.3. INF3 5
Eksempel: LoG-kantdetekson Oppave: Fnn remtredende kanter. Inn-blde LoG-ltrern Alle nullennomaner De med større d. enn T F7 3.3. INF3 53 Robust kantdetekson Vanlvs tre ste robust kantdetektor:. Stø-redukson: Forsøker å erne så me stø som mul uten å latte ut kantene or me. Lavpassltrern.. Kant-ltrern: Fnner kantene. Høpassltrern; anvender.eks. radent-operatorer. 3. Kant-lokalsern: Etterbeandler resultatet ra kant-ltrernen or å nne eksakte kantpossoner. Kantresponsen skal elst være én pksel tkk o være lokalsert der kanten aktsk er nn-bldet. F7 3.3. INF3 5 Hva kennetener en od kantdetektor? Fnner alle o bare de relevante kantene. Possonen tl detektert kant samsvarer med der kanten aktsk nnes nn-bldet. En kant r én enkelt respons. Robust or stø. Trade-o / kompromss mellom stø-robustet o kant-lokalsern. F7 3.3. INF3 55 Ideen tl Cann La en kantdetektor som er optmal orold tl ølende tre krterer: Best mul detekson alle kanter o bare kanter God kant-lokalsern Én enkelt respons Optmer ved bruk av et blde med stø. Resultat: Følende enkle alortme oppnår nesten optmumet: F7 3.3. INF3 5
Canns alortme. Lavpassltrer med Gauss-lter med tt.. Fnn radent-mantuden o radent-retnnen. 3. Tnnn av radent-mantude ortoonalt på kant. F.eks.: Hvs en pksel radent-mantude-bldet ar en -nabo eller mot radent-retnnen med øere verd så settes pkselverden tl.. Hsterese-terskln to terskler T o T l : a. Merk alle pksler der T b. For alle pksler der [T l T : Hvs eller -nabo tl en merket pksel så merkes denne pkselen oså. c. Genta ra trnn b tl konverens. F7 3.3. INF3 57 Eksempel: Kantdetekson Oppave: Fnn remtredende kanter. Inn-blde Tersklet lattet rad.ma. LoG-kantdetektor Canns kantdetektor F7 3.3. INF3 5 Eksempel: Kantdetekson Oppave: Fnn remtredende kanter. Inn-blde Tersklet lattet rad.ma. LoG-kantdetektor Canns kantdetektor F7 3.3. INF3 59 Oppsummern V ar utledet enkle kant-deteksonsoperatorer. Gradent-operatorene latter den ene retnnen o ør kantdetekson den andre retnnen. Gradent-operatorer r både kant-strke o retnn. Laplace-operatorer r press lokalsern av kanten men orsterker stø. LoG-operatoren er en mer robust verson av Laplace som nkluderer Gauss-lattn. Kernens o lterets størrelse må passe tl oppaven! Canns kantdetektor r et kompromss mellom støredukson o kantlokalsern. F7 3.3. INF3