1 Jon Vislie; ril 014 ECO 00 våren 014 Prosedyre for løsning v ogver Jeg skl ved hjel v to ogver; én i roduksjonsteori og én i konsumentteori, gi noen forslg til rosedyre/hjel/veivlg til å løse ogver i ECO 00. Det er tre tyer v sørsmål jeg tror mnge stiller seg: «Hv er rolemet; hvor skl jeg strte?», «Hvordn skl jeg gå frm?» og «Hvorfor skl jeg gjøre det kkurt sånn?». Dette nottet er kun ment som en støtte til den mer generelle teorien som er resentert i Strøm & Vislie det kn å ingen måte ersttte den grunnleggende teorien. Ogver vil (nesten) lltid være sesiltilfeller v mer generelle modeller. (Det kn også være nyttig å studere de veiledningene som er lget fr de to lenumsøvelsene; der er det én roduksjonsteoriogve (ogve 1, lenum 1.mrs), og en kominert konsument og roduksjonsteoriogve (ogve 1, lenum 6.mrs.) Prolem 1: Produsenttilsning L oss først se å en ogve som skulle h vært løst tidligere, nemlig følgende: Vi etrkter en edrift som hr en roduktfunksjon = F( ) der F ( ) = = 1 som er strengt voksende og strengt konkv, med F (0) = 0. Vi kn tenke oss, i første omgng, t er et mål å ruk v reidskrft (ntll nstte) og er rodusert mengde er tidsenhet. Sørsmål: Angi egensker til denne roduktfunksjonen. Sentrle egreer som kjennetegner en roduktfunksjon er gjennomsnitts og grenseroduktivitet. Disse egreene må en kjenne til! For denne roduktfunksjonen hr vi t grenseroduktiviteten er 1 1 F ( ) = - og gjennomsnittsroduktiviteten er -1 =. Vi ser t = F ( ) > F ( ). Videre hr vi roduktkselersjonen
1 3 F ( ) =- - < 0. (Siden grenseroduktiviteten er mindre enn 4 gjennomsnittsroduktiviteten, vil vi vente (vite?) t er synkende med. Sett nå t vi skulle esvre en ogve om hvordn gjennomsnittsroduktiviteten vrierer med innstsfktoren. D må vi se hvordn F( ) -1 = = selv vrierer med. Deriver d 1 - med hensyn å, hvilket gir d -1 1-3 ( ) =- < 0. d Gjennomsnittsroduktiviteten er overlt fllende i ruken v reidskrft. Et tredje kjennetegn er gitt ved grenseelstisiteten; dvs. F ( ) 1 El F( ) = F ( ) = =. F ( ) este sørsmål: Utled kostndsfunksjonen, med tilhørende grense og gjennomsnittskostnd. Hvordn vrierer gjennomsnittskostnden med rodusert kvntum? Vi skl d frm til en smmenheng mellom (minste) smlet fktorutlegg og rodusert kvntum v ferdigvren. (Med flere roduksjonsfktorer må en velge den fktorkominsjon å en gitt isokvnt som gir lvest smlet fktorutlegg. Her er det kun én roduksjonsfktor.) Vi skl nt t edriften ønsker å mksimere overskuddet, og derfor vil den ikke sløse med ruk v reidskrft. Det etyr t om den skl rodusere en (foreløig vilkårlig) mengde v ferdigvren, vil den ikke ruke mer reidskrft enn nødvendig. Dermed vil, om den skl rodusere enheter (innenfor den erioden vi ser å; f.eks. en uke) v ferdigvren, vil den ikke ruke mer enn enheter reidskrft. Vi finner d, fr roduktfunksjonen, nødvendig innsts v reidskrft er uke ved å rodusere enheter v ferdigvren over en uke. Invertering v roduktfunksjonen gir d X = =. Om hver enhet reidskrft koster edriften W kroner er uke (denne lønn tr edriften som en eksogent, gitt størrelse), vil kostndsfunksjonen for å rodusere enheter er uke, i kroner, være CW (; ) = W. (Husk t kostndsfunksjonen viser smmenhengen mellom minste fktorutlegg i kroner for enhver gitt roduktmengde.) Denne hr følgende egensker:
3 dc(; W ) C(; W ) dc C(0; W ) = 0, = W, = W <, og med d dc dc d = W. Grensekostnden er stigende og større enn gjennomsnittskostnden som selv er stigende i rodusert kvntum. Vi ser jo t W stiger med rodusert kvntum. Sørsmål: Hvor mye vil edriften ønske å rodusere om målet er rofittmksimering? Den kostndsfunksjonen vi hr utledet skl nå rukes til å estemme hvor mye edriften vil ønske å rodusere v ferdigvren om overskuddet er uke skl mksimeres. Ved utledningen v kostndsfunksjonen vr vilkårlig nå skl den estemmes eller vledes fr et overskuddsmål. Under selve rofittmksimeringen er rodusert kvntum d en endogen vriel. L hver enhet v ferdigvren selges til en (gitt) ris å et mrked. D kn vi utlede et uttrykk for edriftens overskudd målt i kroner er uke som en funksjon v : (; W, ) CW (; ) W é Wù = - = - = êë - úû. Her er den vriel edriften selv skl fstlegge, mens risene ( W, ) er eksogent gitte størrelser. Bedriftens mål er nå: Velg ³ 0 slik t (; W, ) mksimeres. D ruker vi mtemtikken og leter etter et mksimum. For det første, ser vi t ³ 0 for lle 0. Det vil derfor ldri være lønnsomt å rodusere utover W W enheter v roduktet er uke. (Mens hr enevning kroner er enhet v, vil W være lønn er nstt er uke; der «hver nstt svrer til kvdrtet v».) Vi ser d å den førstederiverte v rofitten med hensyn å. Vi finner: d(; W, ) : = ( W ;, ) = - W, slik t (0; W, ) = > 0 og d ( ;, ) 0 W = - =- <. Fordi (; W, ) er en kontinuerlig funksjon v å W é det lukkede intervllet 0, ù, vil den h et mksimum (og et minimum). Vi er å ê W ú ë û jkt etter et mksimum. Fordi vi hr t (0; W, ) > 0 og ( ;, ) 0 W <, smtidig W
4 som (; W, ) =- W < 0, vil (; W, ) h et entydig glolt mksimum i det indre v det området der rofitten er ikke negtiv; dvs. for en W = Î (0, ) der W ( ; W, ) = - W = 0 =. Videre hr vi t rofitten selv er ositiv for denne roduktmengden siden é ù W = - W = = > W ê Wú ë û W 4W ( ;, ) ê ú 0. (Her kn vi også ruke førstederivert testen; er voksende (vtkende) til venstre (høyre) for.) este sørsmål: Hvordn åvirkes tilsningen v en økning i W? Det er vnlig å sørre hvordn edriften regerer å «sjokk» eller risendringer. Vi skl nå se hvordn edriften vil endre tilsning om «relrisen» W øker eller t roduktrisen øker mer enn lønn er nstt er uke. Vi trenger ikke «regne» så mye nå, siden vi ser t tiludt kvntum = d vil øke. D må selvsgt også ettersørsel eller ruk v W reidskrft er uke øke. Utvidelse: For å få litt mer nlyse skl vi nå nt en noe mer generell roduktfunksjon, nemlig = AF( hn), der er roduktmengden er uke, A en roduktivitetsrmeter, n ntll nstte og h reidstid er nstt er uke; slik t hn er ntll timeverk er uke. Funksjonen F er to gnger kontinuerlig deriverr, med F(0) = 0, F > 0 og F < 0. (Alle størrelser vrierer kontinuerlig.) Ant t reidstiden er konstnt og l hver nstt h en lønn er time, gitt ved w kroner. Det ferdige roduktet kn selges til en gitt ris kroner er enhet. Sørsmål: Hvor mnge nstte vil edriften velge å h når den ønsker mksimlt overskudd?
5 Vi ser å rofitt er uke; ( nwha ;,,, ) = AFhn ( )- whn. å går vi direkte å rofitten som en funksjon v ntll nstte. Bedriftens eslutningsvriel er ntll nstte, n. Deriver rofitten med hensyn å n : d = AF ( hn) h - wh = h é AF ( hn) -w ù dn êë úû L oss nt t AF (0) > w og t AF ( hn) e < w re n lir tilstrekkelig stor. (Hvis vi hdde htt AF (0) < w og F < 0, ville drift ikke være lønnsomt. Hvorfor?) Med våre ntkelser vil det, fordi F < 0, finnes en entydig ositiv verdi å ntll nstte, n, som mksimerer overskuddet er uke og estemt ved førsteordensetingelsen: AF hn ( ) = w. (Med våre ntkelser er ndreordensetingelsen for et mksimum ofylt. Her er det imidlertid igjen nok å ruke førsteordenstesten for å vgjøre om vi hr et mksimum.) Vår tilsningsetingelse sier t merinntekten er uke, AF ( hn) h, v å nsette ytterligere en mrginl reidstker som reider h timer, kkurt motsvres v merkostnden v et ukesverk, nemlig wh. (Alterntivt kn vi se å AF ( hn) som merinntekten er timeverk, som skl lnseres mot timelønn.) Vi kn nå (i det minste) stille fire sørsmål: Hvordn åvirkes edriftens tilsning v t reidstiden for hver nstt går ned, for gitt timelønn? Hvordn åvirkes svret i foregående unkt om lønn er uke er uendret? Hv skjer med tilsningen om roduktiviteten øker, for gitt timelønn? Hv skjer med tilsningen i foregående unkt om timelønn øker like mye som økningen i A? Sørsmål 1: Et slikt sørsmål inneærer t en skl se hvordn en eksogen nedgng i h åvirker tilsningsetingelsen. Her kreves det t w holdes fst. Siden tilsningsetingelsen skl holde hele tiden (så lenge edriften roduserer med det gitte målet om å mksimere overskuddet er uke), må den også gjelde for nye
6 verdier å de eksogene størrelsene. Vår tilsningsetingelse er AF hn ( ) = w, med wa,, konstnte. Siden denne skl holde, vil en nedgng i h måtte ledsges v en like stor økning i uendret. n. Med ntkelsen om konstnt timelønn, må ltså ( ) være F hn Sørsmål : Areidstidsforkortelsen skl nå gå smmen med en lønnskomenssjon slik t ukelønn for hver reider er uendret; dvs. når h går ned, skl w øke så mye t wh holdes konstnt. Igjen må vi se hvordn tilsningsetingelsen åvirkes. L nå wh : = W være ukelønn, med tilsningsetingelsen for mrginle ukeverk gitt som =, der W nå er konstnt. Deriver denne tilsningsetingelsen med AF ( hn ) h W hensyn å h, med W konstnt, smtidig som vi tr hensyn til t den endogene vrielen n, d normlt åvirkes v en endring i en eksogen vriel. Vi finner d: é ù ë h û n h hn F n h n F AF + AhF n h ê + ú = 0 =-1-, der siste ledd, - F, er hn F større enn null. år høyresiden lt i lt er mindre enn null, så etyr det t når h går ned, så vil n øke. (De vrierer i motstt retning.) Om uttrykket er ositivt, vil h og n evege seg i smme retning; dvs. de går egge ned. Sørsmål 3: å er det A som øker, smtidig som w, og h holdes uendret. Igjen tr vi utgngsunkt i tilsningsetingelsen, AF hn ( ) = w, og ser nå hvordn n åvirkes v en økning i roduktiviteten A. Siden w er uendret, må AF også holdes uendret når A øker. D må F ( hn ) synke tilsvrende og like mye som A øker. Med h uendret, må derfor n øke, for t grenseroduktiviteten skl gå ned (husk t F < 0 ). At det må være sånn, ser vi ved å derivere gjennom tilsningsetingelsen med hensyn å A. Vi finner d n n F F + AF h = 0 =- > 0. år roduktiviteten øker for A A AhF fstholdt timelønn, vil sysselsettingen (ntll nstte er uke) øke.
7 Sørsmål 4: Det nts nå t timelønn skl øke like mye som økningen i roduktiviteten; dvs. t rosentvis økning i timelønn er lik rosentvis vekst i roduktiviteten; dw w = da. Bruk dette i tilsningsetingelsen for timeverk, skrevet A som w A ( ) =. Med lønnskomenssjon lik økningen i roduktiviteten, vil F hn høyresiden i denne etingelsen være konstnt; d må også venstre side være konstnt. Med og h uendret, må derfor n være uendret. Vi ser dette ved å differensiere tilsningsetingelsen: A øker med da (som måles som ntll roduktenheter er uke), w øker med dw kroner er time, mens den endogene endringen i ntll nstte er dn : dw da F da + AF hdn = dw AhF dn = w - AF. Bruker vi igjen w A tilsningsetingelsen, ser vi t vi kn skrive dette som: dw da édw daù = - = - = 0 w A ê w A ú ë û AhF dn AF AF AF når dw w = da. D må A dn = 0 ; dvs. uendret sysselsetting målt etter ntll nstte. Med konstnt reidstid er uke, er ntll ukesverk også uendret. Prolem : Konsumenttilsning Betrkt en konsument med en nyttefunksjon over to vrer gitt ved Uy (, ) = ( - c) y der, er ositive konstnter, c er et «minstekonsum» v - vren, med ( y, ) som konsumerte mengder v de to vrene som kjøes til (for konsumenten) gitte riser ( q,) kroner er enhet v hhv. vren og y vren. Konsumenten hr også en gitt inntekt m. Vi ntr t m > c. Sørsmål: Utled tilsningen til konsumenten når nyttemksimering er målet. Hv er rolemet? Jo, rolemet er å velge det konsumr som mksimerer nytten gitt udsjettetingelsen, gitt ved + qy = m. Hvordn skl vi løse dette rolemet? Vi kn løse det ved Lgrnges metode og dnner d Lgrngefunksjonen, med l som Lgrngemultiliktor: Ly (,, l) = ( -c) y - lé+ qy-mù êë úû.
8 Vi leter d o (ved indre løsning; > c) stsjonærunktene til Lgrngefunksjonen: L U = - c y - l = - l = -c -1 ( ) 0 0 L U = - c y - q = - q = y y -1 ( ) l 0 l 0 Disse to etingelsene, smmen med udsjettetingelsen, dnner et system v tre likninger mellom tre (endogene) ukjente: yl,,, med ( qm,, ) som eksogene størrelser. Vi kn eliminere l, siden vi fr de to førsteordensetingelsene hr: U U ( - c) = =l. Fr den første likheten følger: = ( - c) = qy ( -c) qy qy som vi kn ruke i udsjettetingelsen for å løse ut for eller y som funksjoner v riser og inntekt dvs. ettersørselsfunksjonene. Tilsningsetingelsen gir t = c + qy, som vi kn ruke i udsjettetingelsen: + qy = m qy c qy qy(1 ) c m + + = + + =, som vi kn løse for m -c m -c ( m -c) y = = =. Bruker vi denne for + q(1 + ) q ( + ) q q q ( m -c) ( m - c) ( + ) c + m -c = c + y = c + = c + = som vi ( + q ) ( + ) ( + ) kn skrive som: = m + c ( + ) +. Prolemer: Hvordn vrierer ettersørselen med endringer i riser og inntekt? Hv skjer om c m? Gitt c > m, hvordn vrierer ettersørselen etter de to vrene om inntekten øker? Hvordn åvirkes ettersørselen om øker? Hv skjer med ettersørselen om risene og inntekten doles? Hv lir vrenes udsjettndeler? Kn du si noe mer om hvorvidt vrene er riselstiske eller risuelstiske i ettersørselen; eller hvorvidt de er luksusgoder? Sørsmål 1: Vi ser t når utlegget til minstekonsum v vren kkurt dekkes v inntekten, vil y = 0, = c.
9 Sørsmål : Vi kn d se å de inntektsderiverte eller Engel elstisiteter. Her de y deriverte: = > 0, = > 0. Begge vrene er fullverdige i m ( + ) q m ( + ) ettersørselen. y c Sørsmål 3: Vi kn d se å de risderiverte: =- < 0, og ( + ) q m =- 0 <. år risen å vren øker, går ettersørselen etter egge ( + ) vrer ned. Sørsmål 4: Om vi nå multiliserer risene og inntekten med tllet, ser vi t ettersørselen etter de to vrene er uåvirket. qy Sørsmål 5: Vi hr udsjettndelene =, =. Bruker vi nå y m m c ettersørselsfunksjonene, ser vi t = = +, som er stigende i m + + m risen og synkende i inntekten m. år øker, må dette ety t utlegget til vren, stiger; vren er med ndre ord risuelstisk. Videre ser vi t synker med inntekten. Med ositiv inntektsderivert etyr dette t vren er et nødvendighetsgode (ikke et luksusgode som ville h ovist en ositiv smmenheng mellom udsjettndel og inntekt). qy 1 ( m - c) c = = = - som er voksende i inntekten; y - vren y m m + + ( + ) m hr derfor krkter v å være et luksusgode.