Prosedyre for oppgaveløsning

Transkript

1 1 Jon Vislie; ril 217 ECON Prosedre for ogveløsning Vi skl nå, so i den forrige rosedren se nærere å hvordn vi kn løse en ogve hentet fr konsuentens tilsning. Igjen er vi ottt v å finne en vei gjenno roleet og se hv vi kn eller skl gjøre å ethvert trinn. Prole 2: Konsuenttilsning Betrkt en konsuent ed en nttefunksjon over to vrer gitt ved U(, ) ( c) der, er ositive konstnter, c er et «instekonsu» v vren, (, ) er konsuerte engder v de to vrene so kjøes til (for konsuenten) gitte riser (, ) kroner er enhet v hhv. -vren og -vren. Konsuenten hr en gitt inntekt. Vi ntr t c. Sørsål: Utled tilsningen til konsuenten når ntteksiering er ålet. Hv er roleet? Jo, roleet er å velge det konsur (godevektor) so ksierer ntten gitt udsjettetingelsen:. Hvordn skl vi løse dette roleet? Vi kn løse det ved Lgrnges etode og dnner d Lgrngefunksjonen, ed L(,, ) ( c). so Lgrngeultiliktor: Vi leter d o (ved indre løsning;, c) stsjonærunktene til denne Lgrngefunksjonen, gitt so (ruker regler for derivsjon og otensregning): L U c c L 1 ( ) U c 1 ( ) Disse to etingelsene, sen ed udsjettetingelsen, dnner et sste estående v tre likninger ello tre (endogene) ukjente vrile:,,, ed (,, ) so eksogene størrelser. Vi kn eliinere U U førsteordensetingelsene hr: ( c), so vi ikke her skl ruke, siden vi fr de to. Bruk den første v disse likhetene

2 2 til å utlede: ( c) ( c) so vi så kn ruke i udsjettetingelsen for å løse ut for eller so funksjoner v riser og inntekt dvs. de ordinære ettersørselsfunksjonene. Tilsnings- eller tngeringsetingelsen kn dered skrives so: vi kn sette inn i udsjettetingelsen. D finner vi: c (1 ) c, so vi kn løse for c c ( c) (1 ) ( ) Bruker vi denne i c, så finner vi: c, so. (Vi ser t forutsetningen c sikrer t.) ( c) ( c) ( ) c c c c c ( ) ( ) ( ) skrives: c ( ). so kn Norlt er vi nå ottt v å krkterisere disse ettersørselsfunksjonene, st ndre egensker ved tilsningen. Her er noen rolestillinger: Proleer: Hvordn vrierer ettersørselen ed endringer i riser og inntekt? 1. Hv skjer o c? 2. Gitt c, hvordn vrierer ettersørselen etter de to vrene o inntekten øker? 3. Hvordn åvirkes ettersørselen o øker? 4. Hv skjer ed ettersørselen o risene og inntekten doles? 5. Hv lir vrenes udsjettndeler? Kn du si noe o hvorvidt vrene er riselstiske eller risuelstiske i ettersørselen; eller hvorvidt de, ved å se å senhengen ello ettersurt engde og inntekt, kn krkteriseres so luksusgoder eller nødvendighetsgoder? 6. Kn en eregne sustitusjonsvirkningene v en økning i å kgrunn v det so så lngt hr vært utledet? Gjør dette for c.

3 3 Sørsål 1: Vi ser t når utlegget til instekonsu v -vren kkurt dekkes v inntekten, vil, c. Sørsål 2: Vi kn d se å de inntektsderiverte eller Engel-elstisiteter. Her de deriverte:,. Begge vrene er fullverdige i ( ) ( ) ettersørselen. Engelelstisitetene er: E ( ) ( c) ( ) ( c) ( ) c ( ) 1. Denne vren er derfor et luksusgode, ålt ved størrelsen å inntekts- eller Engelelstisiteten; ettersurt engde øker reltivt er enn inntekten. E ( ) ( ) c c ( ) c ( ) c ( ) 1. Denne vren er derfor en nødvendighetsvre, ålt ved størrelsen å inntektselstisiteten; ettersurt engde øker reltivt indre enn inntekten. (Med to vrer og når en v vrene hr Engelelstisitet større enn én, d å den ndre vren h Engelelstisitet indre enn én.) c Sørsål 3: Vi kn d se å de risderiverte:, og ( ) ( ) 2. Når risen å -vren øker, går ettersørselen etter egge vrer ned. Vi kn også se å Cournotelstisitetene: e El 2 ( ) 1 der : er -vrens udsjettndel. Tilsvrende for -vren: e El c c ( ) c c.

4 4 Sørsål 4: O vi nå ultiliserer risene og inntekten ed tllet 2, ser vi t ettersørselen etter de to vrene er uåvirket. De ordinære ettersørselsfunksjonene er hoogene v grd null i riser og inntekt. Sørsål 5: Vi hr udsjettndelene, ettersørselsfunksjonene, ser vi t. Bruker vi c, so er stigende i risen og snkende i inntekten. Når øker, å dette et t utlegget til -vren, stiger; vren er ed ndre ord risuelstisk. Videre ser vi t snker ed inntekten. Med ositiv inntektsderivert etr dette t -vren er et nødvendighetsgode (ikke et luksusgode so ville h ovist en ositiv senheng ello udsjettndel og inntekt, so vist over). Siden vi hr vist t, er -vren ikke ( ) indreverdig. 1 ( c) c so er voksende i inntekten ; vren ( ) hr derfor krkter v å være et luksusgode. Sørsål 6: Vi hr t Slutsklikningen å elstisitetsfor er e S E, der S er den direkte Slutskelstisiteten for -vren. Vi kn d, ved å sette inn våre tidligere resultter for disse elstisitetene, finne ekslisitte uttrkk for disse Slutskelstisitetene. Også S e E kn eregnes. L oss gjøre det når vi setter c. D hr vi: E 1, konstnt siden E 1; hvorfor?) og fr tidligere e 1 (so å være 1 (nøtrlelstisk ettersørsel). D følger: S e E 1. Videre, siden vi nå hr e, og E 1, å vi h t: S e E 1 ed ndre ord sustitutter ålt etter fortegnet å krss-slutskelstisiteten.. Vrene er

5 5 Prole 3: «Selvettersørsel» Vi skl nå se å en rolestilling so er relevnt også for tilud v reid (jfr. ogve 1 i k. 4 i SS&JV). Mens den vnlige konsuentteorien ensidig legger vekt å kjø, kn den også rukes til å se å roleer der konsuenten eier noe v en vre so kn osettes i et rked. Hv skjer d o risen å denne vren, so konsuenten selv kn konsuere noe v, øker? Dette kn være relevnt so kgrunn for å se å de ne lttforene so åner for er «delingsøkonoi. Ekseler: Du eier et hus so du kn eregne en leieris for og so kn leies ut (i hvert fll deler v huset). Hv skjer o leierisen øker? Du hr en eholdning v eksklusive viner so du v og til nter, en so kn selges i et rked for slike viner. Hv skjer ed ditt forruk o vinrisen øker? Se ed reid versus fritid slik vi hr frestilt dette i ok. Sett t en husholdning hr en viss engde v to vrer initilt og l kvnt v de to vrene so forrukes være og. Konsuenten hr en eholdning en eierrettighet svrende til enheter v -vren, og enheter v -vren i utgngsunktet. Dette gir oss et unkt i godedigret, og vil i den odellen vi ser å, gi «inntekten» til husholdningen so rkedsverdien v eierrettigheter. Hvis vi ikke hdde htt uligheter for å tte i rkedet, ville vi h vært tvunget til å konsuere ksilt disse engdene v de to vrene. (Kjennetegn å en nturlhusholdning uten rkedsdgng.) Sett t vi hr «vnlige» refernser for de to vrene gitt ved nttefunksjonen U(, ) ; strengt voksende og ed vtkende MSB; dvs. ed indifferenskurver so kruer ot origo. Siden vi hr ulighet til å konsuere kkurt denne initile eholdningen, å udsjettlinjen unsett risforhold gå gjenno dette unktet. Btteuligheter i et rked utvider konsuulighetene; ntten kn ikke li lvere enn o husholdningen åtte leve i isolsjon (utrki). Hvis risene er hhv og, hr vi t «inntekten» - lik foruen siden vi hr kun én eriode være gitt so :. Tegner vi d inn en udsjettlinje, for et gitt risforhold, gjenno initilunktet, vil vi h:

6 6 Tllverdien til stigningstllet til udsjettlinjen er d d ; rkedstteforholdet. Det so er vgjørende for hv vi vil selge og hv vi vil kjøe er vhengig v hvordn itt sujektive tteforhold i unktet (, ); dvs. reservsjonsrisen MSB(, ) forholder seg til rkedstteforholdet. Hvis «reservsjonsrisen» for -vren, MSB(, ), so illustrert i figuren, slik t indifferenskurven gjenno (, ) er rttere enn udsjettlinjen, vil jeg ønske å selge noe v in -eholdning for å finnsiere kjø v -vren, slik t jeg får et høere nttenivå enn i utgngsunktet. Ved å selge en enhet v -vren, vil jeg kunne skffe eg flere enheter v -vren enn hv jeg å h i koenssjon for å kunne holde se nttenivå so i utgngsunktet. Tilsningen er igjen estet v to etingelser; tngeringsetingelsen og udsjettetingelsen: MSB(, ) og :

7 7 Disse gir oss to likninger til å estee forruk v de to vrene; dvs. fstlegger de to ettersørselsfunksjonene: (,, ) og (,, ), og dered nettotilud v hhv. nettoettersørsel etter vrene;, so nettotilud v -vren, og so nettoettersørsel etter -vren. Vi legger erke til t når en ris endres, vil det de fcto skje en «forues-endring» i tillegg til den rene risendringen. I tillegg til trdisjonelle inntekts- og sustitusjonseffekter v en risendring, får vi også ed en «forues-effekt». Se den ne stilede rislinjen i figuren. (Vi ser i figuren t o risen å den vren so vi er nettokjøer v, øker, lir vi «fttigere». Og otstt, o risen å den vren vi selger øker, lir vi «rikere».) L oss se hvordn en økning i dered kn nlseres. Vi ser d å den totlderiverte siden inngår sert i to rguenter i den ordinære ettersørselsfunksjonen for -vren: d d Bruker vi nå Slutsklikningen å derivertfor so: h ; ed vnlige sustitusjons- og inntektseffekter v en risøkning, der h (,, u ) er koensert ettersørsel etter -vren, ser vi t: d h h ( ) d SE ÎE FE Sustitusjonseffekten (SE) er negtiv: Den direkte sustitusjonseffekten er negtiv ed vtkende MSB. IE er negtiv hvis -vren er fullverdig so nts. Forues-effekten (FE) er ositiv vi lir de fcto rikere; og ed fullverdig vre, vil vi ønske å forruke er.

8 8 Netto-effekten FE IE er vhengig v o vi er netto-kjøer eller netto-selger v - vren. Hvis vi er netto-kjøer v -vren, ed, slik so i figuren, og -vren er fullverdig, vil lle effektene trekke i se negtive retning. Ettersørselen etter går helt sikkert ned. Vren lir reltivt drere, stidig so vi får lvere kjøeevne. Hvis vi skulle være nettoselger v den fullverdige -vren ( ), vil SE og den slede inntekts- og forues-effekten gå i hver sin retning. Den slede effekten er dered ikke entdig estet. L oss se å roleet ed en sesifisert eller ekslisitt nttefunksjon.. Ant t U(, ) ln og l :, slik so over. Ant t. 1. Utled nå etingelser for otil konsusensetning og vis hvordn ettersørselen etter de to vrene vrierer ed. 2. Fstlegg de to vrenes udsjettndeler. 3. Deretter skl du se hv so skjer o øker. 4. Tilslutt; hv skjer ed tilsningen o? Svr 1: Vi dnner d Lgrngefunksjonen L ln ( ) En otil (indre) løsning å oflle: L L 1 1, slik t eller. Sett denne etingelsen inn i udsjettetingelsen:. Ettersørselen etter -vren er kun vhengig v risforholdet, ens ettersørselen etter -vren vhenger v risforhold og initile eierrettigheter (inntekt).

9 9 Høere : 2 e 1, st e. Svr 2: Budsjettndeler: og. Svr 3: Økt initil tilgng v vren; dvs. øker, gir: og 1. Svr 4: ettersørselen er uåvirket (kjøer det se kvntu unsett inntekt), reduseres til, og vi hr d.