Kpittel 8 Tutorils nd cses (exmple problems) re collected in this chpter. The tutorils re exmples ( in detil) of how to solve problems with MATLAB nd FEMLAB. The CASES re smples of problems to be solved more indepently. The cses re chosen to emphsize how to use dvnced numericl tools to solve prcticl power engineering problems. 21
Kpittel 8 TUTORIALS 1 B-FELT OG H-FELT RUNDT LEDERE Denne tutorilen skl gi en innføring i bruk v progrmsystemet MATLAB. Eksempler på bruk v MATLAB skl gjennomføres i beregninger v mgnetfeltet konsentrisk rundt strømføre ledere. MATLAB er et integrert teknisk beregnings miljø som kombinerer numeriske beregninger, vnsert grfikk og visulisering, smt et høy-nivå progrm språk. MATLAB inkluderer hundrevis v funksjoner for: Dt nlyse og visulisering Numeriske og symbolske beregninger Vitenskpelig grfikk Modellering, simulering og prototyping Progrmmering og GUI design MATLAB blir brukt i et stort spekter v områder. Den åpne rkitekturen gjør det enkelt å bruke MATLAB og nært tilknyttede progrmmer for å utforske dt og skpe verktøy som gir tidlig innsikt og konkurrere fordeler. 1.1 Grunnlegge MATLAB kunnskper Det første som må gjøres er å dobbelt klikke på MATLAB ikonet. Et vindu dukker opp, MATLAB Commnd Window (MCW). Verktøy linj er v enkleste windows stil og hr ingen nye funksjoner reltert for eksempel Word. Det er i MCW-vinduet kommndoer blir innskrevet. Kommndoer er godt beskrevet under Help, så er det noe som er uklrt så bruk Help flittig. Det finnes også demoer og nnen informsjon for nybegynnere, skriv demo eller tour i MCW vinduet. Andre orgner for brukerveiledning er for eksempel internett: http://www.mthworks.com/. Det skl videre bli gjennomgått noen enkle MATLAB kommndoer og eksempel. 1.2 Vribler og funksjoner I MATLAB er mnge vrible og funksjoner llerede definert. Noen vrible er pi og j, og noen funksjoner er sin(x), cos(x), bs(x), sqrt(x), exp(x), rel(z), img(z), conj(z). Flere funksjoner er å finne i MAT- LAB, bruk Help for å finne flere. For å bruke disse funksjonene er det bre å skrive uttrykket og trykke enter, og svret vil dermed dukke opp. Får mn problemer med syntksen i progrmspråket, vil progrmmet lrmere om dette. 22
TUTORIALS 1.3 Mtriser Den grunnlegge dttypen i MATLAB er mtriser. En todimensjonl mtrise er et rektngulært skjem,eller en tbell, med elementene ordnet i rder, m, og kolonner, n. For å lge en 2 x 3 mtrise kn følge kommndoer brukes: A = [1 2 3;4 5 6]; %Dette tegnet betyr kommentr Her skiller semikolon de to rdene. Trykk enter og skriv A og trykk enter igjen for å se mtrisen. Nå skl en 1 x 3 og en 3 x 1 mtrise bli lgd: rdvektor = [1 2 3]; kolvektor = [4 5 6]; %Definerer en rd vektor %Definerer en kolonne vektor Skriv rdvektor eller kolvektor for å se resulttene. Tildeling v en 2 x 3 mtrise elementvis: B(1,1) = 1; B(1,2) = 2; B(1,3) = 3; B(2,1) = 4; B(2,2) = 5; B(2,3) = 6; %Legger tllet 1 inn i element B11 %Legger tllet 2 inn i element B12 %Legger tllet 3 inn i element B13 %Legger tllet 4 inn i element B21 %Legger tllet 5 inn i element B22 %Legger tllet 6 inn i element B23 1.4 Eksempel Vi skl tegne sin(2x), sin(x 2 ) og sin 2 x i intervllet fr til 6, med noen enkle MATLAB kommndoer. x = linspce(,6); y1 = sin(2*x); y2 = sin(x.^2); y3 = (sin(x)).^2 %Skper en vektor med verdiene til %6 %Vektor y1 er sin(vektor x gnget %med 2) %Her viser (.) t utregningen skl %utføres elementvis, (^) betyr %opphøyd i ndre. %Skper vektor y3 For å tegne grfer v vektorene kn plot funksjonen benyttes. Skriv plot(x,y1) for å se vektoren y1 som funksjon v vektor x. 1.5 Beregning v H-felt og B-felt i strømføre leder I figur 1-1 er strømtettheten, =3 A/mm 2 og rdiusen, =6 mm. Det GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 23
Kpittel 8 nts t lederen er uelig lng, med retning inn i ppirplnet. I denne deloppgven skl B-feltet og H-feltet beregnes ved hjelp v MATLAB. Bruker Mxwell s ligninger: og, hvor µ=µ µ Hdl = I B = µh r Gjør denne mellomregningen selv. Dette gir H = x for og for. 2 -- x H = ----- 2 x > 2x Leder x Figur 1 1: Tverrsnitt v en strømføre leder. Disse ligningene kn enkelt løses i MATLAB. Ved å se på koden og prøve litt selv, kommer dere rskt inn i notsjonene i MATLAB. I det grå feltet under er det vist en mulig måte å finne H-feltet til lederen i figur 1-1.Tverrsnitt v en strømføre leder. Figur 1 2: H-feltet i x-retning. 45 3 15 H-felt.1.2.3.4.5 Gå på File>New>M-file i MCW vinduet. Et nytt vindu kommer opp, MATLAB editor (ME). I dette vinduet kn progrmmer skrives. Kopier teksten i det grå feltet under og lgre det. Prøv å forstå koden. Gå deretter på Tools>Run i ME vinduet og figur 1-2 skl poppe opp. Filen som ble lgret, kn også kjøres i MCW vinduet. Det er bre skrive nvnet på fil i MCW vinduet og trykke enter. cler ll =3e6; rnd = 5e-3; =3e-3; x1=:.5e-3:; H1 = (x1.*)/2; plot(x1,h1) hold on x2 = :.5e-3:rnd; H2 = x2.^-1*.5*(*^2); title('h-felt') plot(x2,h2) 24
TUTORIALS Legg merke til den første linjen i progrmmet. Cler ll kn være en viktig kommndo, fordi MATLAB hr et minne og er ikke dette minnet slettet, kn tidligere oppgitte prmetre føre til uriktige beregninger. Figur 1-2 viser hvordn H-feltet forndrer seg i x-retningen. Oppgve 1: Hvorfor blir B-feltet identisk med H-feltet? 1.6 H-felt og B-felt i leder med kppe I figur 1-3 er strømtettheten, =3 A/mm 2,rdiusene, =6 mm, b=2mm og c=25mm. Det nts t lederen er uelig lng, med retning inn i ppirplnet. Lederen er innkpslet i en kppe med µ r =1. Også i denne deloppgven skl B-feltet og H-feltet beregnes ved hjelp v MATLAB. Leder µ r =1 µ c b x Figur 1 3: Tverrsnitt v strømføre leder med kppe. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 25
Kpittel 8 Figur 1 4: Bilde v B-feltet i strømføre leder med skjerm..9.6.3 B-felt.1.2.3.4.5 MATLAB koden for å finne H-feltet er vist under. cler ll =3e6; x=; ntll_skritt=2; rnd = 5e-3; skritt = rnd/ntll_skritt; =3e-3; for i=1:ntll_skritt, x_vektor(i)=x; if x <= H(i)=(*x)/(2) elseif x > H(i)=(*^2)/(2*x) x=x+skritt; plot(x_vektor,h) title('h-felt') Oppgve 2: Finn ved hjelp v MATLAB, B-feltet. Et bilde v løsningen for B-feltet er vist i figur 1-4. 1.7 H-felt og B-felt i to prllelle ledere I figur 1-5 er strømtettheten, =3 A/mm 2,rdiusen, =6 mm og vstnden mellom lederene, d=5mm. Det nts t lederene er uelig lnge, med retning inn i ppirplnet. Leder d x Figur 1 5: Tverrsnitt v to strømføre ledere med strømretning som vist i 26
TUTORIALS figurene. MATLAB koden for dette problemet er vist under. Det er her som i oppgve 1.2, brukt en for løkke og if setninger for å løse problemet. I figur 1-6 er H-feltet vist. Figur 1 6: H-feltet fr -d/2 til d/2. 5 H-felt cler ll =3e6; ntll_skritt=1; d = 5e-3; skritt = d/ntll_skritt; =3e-3; x=-d/2; for i=1:ntll_skritt, x_vektor(i)=x; if x < - H(i) = (*^2/2)*((1/x)+(1/(d+2*-x))); elseif bs(x)<= H(i) = (/2)*(x+(^2/(d+2*-x))); elseif x > H(i) = (*^2/2)*((1/x)+(1/(d+2*-x))); x=x+skritt; plot(x_vektor,h) title('h-felt') -5 -.3 -.2 -.1.1.2.3 Oppgve 3: Finn B-feltet ved hjelp v MATLAB fr x=-d/2 til x=d/2. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 27