UNIERSITETET I ADER imsad E K S A M E N S O P P A E : A: MA-9 Mamaikk LÆRER: P nik ogsad Klass: Dao:.5. Eksamnsid a-il: 9.. Eksamnsoppgavn bså av ølgnd Anall sid: 5 inkl. osid vdlgg Anall oppgav: 5 Anall vdlgg: Tilla hjlpmidl : Kalklao ogsad: oml MA-9 agan: oml og abll Ikk illa å skiv i omlsamlingn KANDIDATEN MÅ SEL KONTROLLERE AT OPPAESETTET ER ULLSTENDI
MA-9 Odinæ Eksamn å Oppg n Pong a b a b c d 6 6 a b a b 5 a b --------------------- Sm 5 Pongn vis vk-odlingn o d nkl dl-spøsmåln. d kaaksing vklggs slvølglig i illgg n oal-vding bl.a. n vding av i hvilkn gad kandidan ha knnskap innno d lik omådn gi i oppgav-s. LYKKE TIL!
. i ha gi ølgnd dobbl-ingal dd a Tgn n skiss som dlig vis ingasjonsomåd og ingasjonsgnsn. b Bgn d gi dobbl-ingal vd å ski ingasjonskkølg.. ig. vis n kjgl avgns av av kjgllan S og plan S gi vd: S : S : id ha vi gi ølgnd vkol: [ ] a Bsm divgns og cl il d gi vkol. b Bk ass divgnsom il å bsmm nolksn av d gi vkol av dn lkkd lan S S S som omsl hl kjgl-lgm. c Bsm nolks av d gi vkol a sidlan S av kjgln. La væ dn lkkd kvn som mkomm vd skjæing av sidlan S av kjgln og plan. La S væ dn dln av lan som innno dvs ha som and. Kvn ha posiiv omløpsning mo klokka s ovna ndov langs -aksn. id ha vi gi ølgnd vkol: [ ] d Bsm kv-ingaln d og d dik n bk av Soks om. Samm oppgav som spøsmål d mn dnn gang bgning vha Soks om. ig.
. ig. vis laskk S i øs kvadan avgns av andkvn som bså av dl av gan il ligningn / og. Dn lkkd kvn skal gjnnomløps i ning mo klokka posiiv omløpsning. a Bsm n gla paamising o hv av d i kvskkn som dn lkkd kvn sammnsa av. Spsiis dlig paaminvall o hv av d i kvskkn. v av d i paamis kvn skal gjnnomløps i posiiv ning o øknd paamvdi og paamvdin skal sa på o hv av dlkvn. b Bn ølgnd ns oml o aalbgning A d il å bsmm aal av laskk S. ig.. i ha gi ølgnd paill dinialligning: a Bsm dn gnll løsningn av dn gi dinialligningn. b Bsm n paiklæ løsning av dn gi dinialligningn som oppll ølgnd o illggsbingls: 5. is ølgnd gnskap kn il dl-opaon: a. hvo n skalanksjon og n vkonksjon b hvo lik lngdn av [ ]
dlgg: ± ± ± vd v dv v v v v v v ' h ' h h ' h ' ' ln
Løsning:. a Ingasjonsomåd S: Ingasjonsomåd S bsmms av d nd og øv gnsn i ingaln ingandn ha ingn bdning o avgnsning av ingasjonsomåd. Ingasjons-omåd S bgns av / skålinjn vikal linj i posisjon -aksn og hoisonal linj i hød. b Bgning av dobbl-ingal vd ski av ingasjonskkølg: d d dd dd I d oppinnlig ingal ings øs mhp dvs holds as. d ombing av ingasjonskkølgn ings øs mhp dvs holds as. o valg vil da ha nd gns og øv gns. D ings mh som vil ha nd gns og øv gns.
. a ølgnd vkol gi: ign ndno vis pojksjonn av vkol nd i -plan. Divgns il vkol psn vd -vko gnsn av nolks p ininisimal volmnh nå volm gå mo nll og lik skalapodk mllom dl-opao og -vko. div l il vkol psn vd -vko gnsn av siklasjon p nhsaal nå aal gå mo nll og lik ksspodk mllom dl-opao og -vko. k j i cl
b Nolks av dn lkkd lan S: Nolks av vkol psn vd -vko av n la S skalapodk av -vko og nhsnomalvko n-vko il lan ing ov lan S. Nå lan S lkk vil nolks av vkol av lan S væ skalapodk av -vko og nhsnomalvko n-vko il lan ing ov dn lkkd lan S. Nå lan S lkk og -vko ha koninlig paill-div på og innno S si ass om av nolksn divgnsn il -vko ing ov d lgm som omsl av lan S. lddn all av smmignn og Φ S s d d dd dd dd d d d d d d d nds Ell: Bn ass divgnsom sam a ingal av og md a il lik nll. Φ S s d d dd dd dd d ddd ddd d d nds
c Bgning av lksn av sidlan S i kjgln kan bgns dik. lksn av dn lkkd S lan lik smmn av lksn av opplan S og lksn av sidlan S. i bsmm do øs lksn av opplan S d nolks av opplan S vil nhsnomalvko n-vko væ lik []. Do vil lksn av opplan væ gi vd mk a vi ikk kan bn ass lov h sidn opplan ikk n lkk la: Φ nds [ ] ds ds ds ds S S S S S Nolks av sidlan S : Bn a lksn av dn lkkd lan S lik smmn av lksn av opplan S og lksn av sidlan S. Φ S Φ S Φ S Φ S Φ S Φ S d Sidn cl il -vko lik nllvko dvs -vko psn konsvaiv vkol så vil kv-ingal av -vko langs nhv lkk kv væ lik nll dvs: d i bsmm cl il -vko o å ndsøk hvovid -vko psn konsvaiv vkol vnl il sn bgning vha Soks om. i j k cl Sidn cl il -vko lik nll-vko bsmm vi n paamising av kvn il dikbgning av siklasjonn av -vko. i bsmm øs pojksjonn av kvn og dmd også pojksjonn av lan S nd i -plan. D vil væ il hjlp vd paamising av kvn sam vnl il aalbsmmls av dn nvn pojksjonn. ign ndno vis pojksjonn av vkol nd i -plan.
9 Pojksjonn av kvn nd i -plan alså n llips md snm i -/ og halvaks /^.5 og /. Paamising av kvn : d d -komponnn i paamisingn gi vd / - / -vko k vd dn gi paamisingn: Siklasjonn av -vko langs dn lkkd kvn : 9 d d d d d d
Siklasjonn av -vko langs dn lkkd kvn idlig bgn il sidn -vko psn konsvaiv vkol i oppgav d. D sla kan vi også s av Soks om sidn cl il -vko lik nll-vko: Tds S S nds d ds nds ds S d nds S nds Til bsmmls av siklasjonn av -vko langs dn lkkd kvn ng vi n skalanksjon hvo S n nivåla il n nhsnomalvko og kk o pojksjonn av d ininisimal la-lmn ds nd i -plan. i innø ølgnd skalanksjon : lan S da gi vd nivålan. adinn il vil da væ n nomalvko il lan S. 5 p [ ] p n [ ] 5 5 ds da da p [ ] Siklasjonn il -vko langs dn lkkd kvn vha Soks om: Tds S S nds d ds nds ds S d nds 5 5 9 [ ] da da R R I bgning av d sis ingal bn a aal av n llips md halvaks a og b gi vd ab.
. Omåd S og dn lkkd kvn dl opp i i dl-kv I II III og I: a Paamising av d nkl dlkvn: I II : : III : I : d d d [ ] d d d d -d d d [ ] d -d d d b Aal av lan S: A d d III d d I II III d d d I d d [ ln ] [ ln ] ln ln ln d III I d d Konoll: Bgn aal av kann nd linjn a il og aal nd / a il : A d I d [ ln ] ln ln ln
b os. Ell kan også bn ns aal-om n å bn paamisingn i a: ln ln ln ln I III I III I III II I d d d d d d d d d d d A. a nll løsning av dn gi dinialligningn: d d d d d b Paiklæ løsning som oppll d gi illggsbinglsn:
5. a Y Y b