Rette linjer og lineære funksjoner

Rette linjer og lineære funksjoner 3.1 Læreplanmål 1 4.1 Rette linjer 2 4.2 Digital graftegning 6 4.3 Konstantledd og stigningstall 13 4.4 Grafisk avlesning 19 4.5 Digital løsning av likninger 26 4.6 Funksjonsbegrepet 31 4.7 Lineær vekst 38 4.8 Lineære modeller 44 4.9 Lineær regresjon 48 3.9 Symboler, formler og eksempler Læreplanmål for 2P-Y Gjøre rede for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt Omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller Bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon Bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger

4.1 Rette linjer Oppgave 4.10 Tegn linjene. a) y = 2x 1 b) y = x 2 c) y = 2x + 4 d) y = x + 5 y 6 a) 5 4 b) 3 2 1-6 - 5-4 - 3-2 - 1-1 1 2 3 4 5 6 d) x - 2-3 - 4-5 - 6 c) Oppgave 4.11 Tegn linjene. a) y = 0,5x 2 b) y = 2 3 x + 1 3 c) y = 4,2x 5,4 d) y = 7,8x + 12,4 y 6 d) c) 5 4 b) 3 2 1 a) - 6-5 - 4-3 - 2-1 - 1 1 2 3 4 5 6 x - 2-3 - 4-5 - 6 2

Oppgave 4.12 Per er nå 10 år og er 140 cm høy. Han regner med å vokse 7 cm per år de neste 6 årene. a) Hvor høy er Per når han er 15 år? 140 cm + (7 cm 5) = 140 cm + 35 cm = 175 cm b) Forklar at om x år er høyden til per, målt i centimeter, gitt ved: h = 7x + 140 Vi har: y = ax + b der a er stigning per år og b er konstantleddet (starthøyden). c) Lag en rett linje som viser sammenhengen mellom x og høyden h. h = Høyde i cm 190 180 h = 7x + 140 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 1 år 7 cm 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x = Alder i år 3

Oppgave 4.13 Prisen for elektrisk strøm her i landet er en sum av to beløp: først en fast avgift og så et beløp som er avhengig av hvor mye strøm som er brukt. Et år betalte en familie 1200 kr i fast avgift og 42 øre per kwh (kilowattime) for bruk av elektrisk strøm. a) Finn strømutgiftene for denne familien når de dette året brukte 20 000 kwh. 0,42 kroner kwh 20 000 kwh + 1200 kroner = 9600 kroner b) Forklar at utgiftene y i kroner kan skrives: y = 0,42x + 1200 der x er tallet på kilowattimer. c) Forklar at likningen i oppgave b gir ei rett linje, og tegn linja i et koordinatsystem når x er mellom 0 og 30 000. y = Pris i kroner 14000 12000 y = 0,42x + 1200 10000 8000 6000 4000 2000 10000 20000 30000 x = kwh 4

Oppgave 4.14 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare 2,5 grader per time. a) Hva er temperaturen etter 5 timer? Temperaturen er i startøyeblikket 86 C og faller med 2,5 grader per time. Temperaturen etter 5 timer = 86 (5 2,5 ) = 86 C 12,5 = 73, 5 b) Hva er temperaturen y etter t timer? y = 2,5t + 86 c) Forklar at likningen i oppgave b framstiller ei rett linje, og tegn linja i et koordinatsystem når t er mellom 0 og 10. y = Temperatur i C 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 y = 2,5 t + 86 1 time 2,5 C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t = Tid i timer 5

4.2 Digital graftegning Oppgave 4.20 Tegn linjene digitalt. a) y = 3x 1 b) y = 2x + 7 c) y = 3,7x 2,4 d) y = 2 3 x + 1 3 Velger å bruke GeoGebra. Men først, husk: Og så: og aktiver: I inntastingsfeltet: Bytter navn på linjene slik at de heter a, b, c, og d ved å høyreklikke på navnet og. Farge og Stil på linjene endres ved å høyreklikk på linjen, velg Hvordan kopier Grafikkfelt med beste kvalitet fra GeoGebra til et tekstdokument (f.eks. Word): 6

Oppgave 4.21 Tante Maggi har 10 000 kroner i et skrin på kjøkkenet. Hun sparer fra nå av 1500 kroner per måned og legger pengene i skrinet. Etter x måneder er beløpet y i kroner gitt ved y = 1500x + 10000 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye penger det er i skrinet de neste 24 månedene. Viser her to måter å skrive inn funksjonen y = 1500x + 10000 i GeoGebra. Oppgaven sier «de neste 24 månedene» som betyr fra nå som er 0 og til 24 som er sluttpunktet. For å få til dette i GeoGebra skriver vi inn verdiene på en litt annen måte. Funksjonen skrevet slik at den ikke har noen start og slutt, men fortsetter i det uendelige: Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved 24: For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: 7

Oppgave 4.22 For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0,42x + 1200 der x er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 30 000. Velger å bruke i GeoGebra sitt Inntastingsfelt. Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved 30 000: For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: x-aksen blir da i kilowattimer og y-aksen i kroner. 8

Oppgave 4.23 Tegn linja digitalt når a) y = 2x + 10 og x er mellom 10 og 10. Funksjonen skrevet slik at den starter på 10 og avsluttes ved 10 : For bare å vise både x-akse og y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Fjern avkrysning for Bare i positiv retning: 9

b) y = 0,05x + 10 og x er mellom 0 og 20. Funksjonen skrevet slik at den starter på 0 og avsluttes ved 20 : For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: 10

c) y = 0,02x + 1000 og x er mellom 0 og 100 000. For bare å vise positiv x-akse og positiv y-akse: Høyreklikk i Grafikkfelt og velg Kryss av for Bare i positiv retning for x og yakse: 11

Oppgave 4.24 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 90 C på ei termosflaske. Temperaturen i flaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. y = 3t + 90, 3 fordi temperaturen synker og 90 er starttemperaturen. b) Tegn digitalt ei linje som viser sammenhengen mellom y og t når t er mellom 0 og 10. Legg merke til at vi bruker x og ikke t: 12

4.3 Konstantledd og stigningstall Oppgave 4.30 Finn likningene for linjene ved å lese av konstantleddet og stigningstallet. a) b) y y 5 4 4 3 1 1 y) 3 2 3 y) 2 x) 1 2 1-4 - 3-2 - 1 x) 1 2 3 4 x - 4-3 - 2-1 - 1 1 2 3 4 x) x - 1-2 x) - 2-3 1 2 y) - 3-4 1 1 y) - 4-5 Ligningen for Rød linje: y = 1 x + 2 = x + 2 y 1 Ligningen for Rød linje: = 3 x 2 = 1, 5x 2 2 Stigningstallet: x fordi stigningen y x = 1 1 = 1 Konstantleddet: +2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 Stigningstallet: y 1, 5x fordi stigningen = 3 = 1,5 x 2 Konstantleddet: 2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 Ligningen for Blå linje: y = 2 x + 2 = 2x + 2 y 1 Ligningen for Blå linje: = 1 x 2 = x 2 1 Stigningstallet: Stigningstallet: 2x fordi stigningen y = 2 y = 2 x fordi stigningen = 1 = 1 x 1 x 1 Konstantleddet: +2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 Konstantleddet: 2 fordi linjen krysser y-aksen ved 2 13

Oppgave 4.31 Ei linje går gjennom punktene (1, 1) og (3, 3). a) Tegn linja. Bruker GeoGebra. Lager først punktene (1, 1) og (3, 3) ved å: I Algebrafeltet vises: Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. Vi får da denne linjen i GeoGebra. 14

b) Finn konstantleddet og stigningstallet for linja. I Algebrafeltet vises funksjonen 2x + y = 3 slik som vi ser her: men denne skriveformen er vi ikke vant til, så vi høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = 2x 3 som vi ser her: Vi leser av stigningstallet 2 og konstantleddet som er 3. Finne stigningstallet (a) ved regning: Vi har to punkter ( 1, 1 ) og ( 3, 3 ). Da er ( x 1, y 1 ) = ( 1, 1 ) og ( x 2, y 2 ) = ( 3, 3 ). Bruker formelen: a = y 2 y 1 = 3 ( 1) = 4 = 2 Stigningstallet = 2 x 2 x 1 3 1 2 Finne konstantleddet (der linja krysser y-aksen) manuelt: Vi setter x = 0 i ligningen y = 2x 3 y = 2 0 3 = 3 Konstantleddet = 3 c) Finn likningen for linja. I Algebrafeltet vises funksjonen 2x + y = 3 slik som vi ser her: men denne skriveformen er vi ikke vant til, så vi høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = 2x 3 som vi ser her: Ligningen for linja er: y = 2x 3 15

Oppgave 4.32 Ei linje går gjennom punktene ( 1, 2) og (3, 0). Finn likningen for linja digitalt. Lager først punktene ( 1, 2) og (3, 0) ved å: Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. I Algebrafeltet vises: Vi får denne linjen i GeoGebra: 16

Oppgave 4.33 Ei linje går gjennom punktene (1, 7) og (4, 2). a) Finn likningen for linja digitalt. Bruker GeoGebra. Lager først punktene (1, 7) og (4, 2) ved å Bruker funksjonen:. Klikker først på punktet A så på punktet B. I Algebrafeltet vises:. Høyreklikker på funksjonen og velger Likning y = a x + b. Vi får da y = 3x + 10 som vi ser her: Ligningen for linja er : y = 3x + 10 b) Finn stigningstallet og konstantleddet. Vi leser av stigningstallet 3 og konstantleddet 10 fra ligningen y = 3x + 10. Oppgave 4.34 Utnytt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. a) y = 2x 1 b) y = 2x + 2 c) y = 1 2 x + 3 2 d) y = x + 1 17

Oppgave 4.35 Tegn linjene. a) y = x b) y = 3 + 2x c) y = 1 d) x = 1 Bruker GeoGebra. Høyreklikker på den enkelte linje: Deaktiver Vis navn. Lager ny tekst: Høyreklikker på den nye teksten og velger. Har her vi valgt Stor som tekststørrelse og ulike farger for de ulike linjene. Har også valgt en Linjebredde = 3. 18

4.4 Grafisk avlesning Oppgave 4.40 Når vi bruker drosje, begynner taksameteret på et fast beløp idet turen starter. Dette faste beløpet kaller vi påslaget. Vi setter det her til 40 kr. Under turen blir det med jevne mellomrom automatisk lagt til et beløp på taksameteret. Dette tillegget regner vi om til en kilometerpris. I denne oppgaven setter vi den til 15 kr. a) Hva må vi betale for en drosjetur på 12 km? Påslaget = 40 kr Kilometerpris = 15 kr Antall kilometer = x 40 + 15x = 40 + (15 12) = 220 kroner b) Forklar at drosjeutgiftene, U, etter x km kan skrives: U = 15x + 40 15 er prisen per kilometer, og for å finne prisen for hele strekningen må vi multiplisere med antallet. 40 er utgangspunktet for prisen av turen og summen av prisen for turen vil aldri bli mindre enn 40. c) Tegn linja i oppgave b når x er mellom 0 og 30. I GeoGebra: Får da dette: Endrer f(x) til U(x): 19

d) Finn av denne linja hva en drosjetur på 20 km koster. e) Hvor langt kan du kjøre drosje for 300 kr? Skriver inn: og Lager punktene A og B med verktøyet: Når vi lager punktene A og B får vi: A=(20, 340) og B=(17,3333, 300) Det betyr at: d) En drosjetur på 20 km koster 340 kroner. e) Du kan kjøre 17,33 km for 300 kroner. 20

Oppgave 4.41 Vanja Vespa betaler 3500 kr i året i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per år er gitt ved: U = 0,50x + 3500. Når hun kjører x kilometer per år. 0,50 er prisen per kilometer. For å finne prisen for hele strekningen (kjørelengden) må vi multiplisere med antallet (x). + 3500 er prisen for forsikringen som ikke er variabel, men fast. b) Tegn linja i oppgave a når x er mellom 0 og 5000. Vi kan skrive:, men jeg fortrekker og skriver inn: får da tegnet en linje som går fra 0 til 5000. c) Bruk linja til å finne ut hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. Skriver inn: og lager punktet A med verktøyet: Leser av:, som betyr at Vanja Vespa kan kjøre 3000 kilometer for 5000 kroner. 21

Oppgave 4.42 Løs likningen grafisk og ved regning. a) 2x + 1 = 5 b) 1 x 1 = 2 2 = 5 betyr at y = 5 = 2 betyr at y = 2 Grafisk, bruker GeoGebra: Grafisk, bruker GeoGebra: Skriver inn: og Skriver inn: og... og lager punktet A med:... og lager punktet A med: Som viser at x = 2 når y = 5. Som viser at x = 6 når y = 2. Ved regning: 2x + 1 = 5 2x = 5 1 2x = 4 x = 2 Ved regning: 1 2 x 1 = 2 1 2 x = 2 + 1 1 x = 3 2 x = 6 22

Oppgave 4.43 Adam har 50 000 kr og bruker 700 kr per uke. Eva har 20 000 kr og sparer 500 kroner per uke. a) Forklar at kronebeløpet til Adam etter x uker er gitt ved A = 50 000 700x Adam (A) har i utgangspunktet 50 000 kr. For hver uke (x) som går reduseres ( ) pengebeholdningen til Adam med 700 kroner. og at beløpet til Eva er gitt ved E = 20 000 + 500x Eva (E) har i utgangspunktet 20 000 kr. For hver uke (x) som går øker (+) pengebeholdningen til Eva med 500 kroner. b) Finn grafisk hvor mange uker det går før Adam og Eva har like mye penger. Omtrent hvor mange penger har de da? Skriver inn: og. Lager punktet A med: Får da: Når vi bruker GeoGebra får en nøyaktig løsning på at både Adam og Eva har 32 500 kr etter 25 uker. c) Løs oppgave b ved regning. Setter de to ligningene lik hverandre: 50 000 700x = 20 000 + 500x 30 000 = 1200x x = 25 uker Bruker en av ligningene f.eks. Adam sin: 50 000 700x. Bytter så ut x med 25. Har da: 50 000 (700 25) = 50 000 17 500 = 32 500 23

Oppgave 4.44 I lønnsforhandlingene i et datafirma kan en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) Fast månedslønn på 15 000 kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. 2) Fast månedslønn på 16 500 kr pluss 250 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to likninger som gir lønna y i kroner når han selger x datamaskiner per måned. 1) y = 15 000 + 500x 2) y = 16 500 + 250x b) Tegn de to linjene i et koordinatsystem og finn ut hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. Bruker GeoGebra. Skriver inn: og Lager punkt A med:. Får da: Som vi ser av grafen over har vi her valgt å starte med y = 14 000 for å få en bedre oversikt. Leser av A=(6, 18000). Selgeren må selge 6 datamaskiner for at de to tilbudene skal være like gode. c) Hva er månedslønna i dette tilfelle? Leser av A=(6, 18000). Månedslønna er 18 000 kroner. 24

Oppgave 4.45 Løs likningene grafisk og ved regning. a) 2x + 1 = x + 4 b) 1 2 x + 1 = 3 2 x 2 Grafisk, bruker GeoGebra: Grafisk, bruker GeoGebra: Skriver inn: og Skriver inn: og Ved regning: 2x + 1 = x + 4 2x x = 4 1 x = 3 Ved regning: 1 x + 1 = 3 x 2 2 2 1 x 3 x = 2 1 2 2 2 x = 3 2 x = 3 x = 3 25

4.5 Digital løsning av likninger Oppgave 4.50 Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare 2,5 grader per time. a) Forklar at temperaturen etter x timer er gitt ved y = 2,5x + 86 Temperaturen i termosflaska er i utgangspunktet 86 C, konstantleddet er: +86. Temperaturen synker ( ) med 2,5 grader for hver time (x), førstegradsleddet er: 2,5x. b) Tegn digitalt ei linje som viser temperaturen når x er mellom 0 og 10. I GeoGebra, skriver vi inn: og c) Finn digitalt temperaturen etter 8 timer. d) Finn digitalt hvor mange timer det går før temperaturen er 71 C. Skriver inn: og for å lage hjelpelinjene og så kan lage punktene C og D. Lager punktene C og D ved hjelp av: c) Av punkt C leser vi at etter 8 timer er det 66 C i termosen. d) Av punkt D leser vi at temperaturen i termosen er 71 C etter 6 timer. 26

Oppgave 4.51 Vanja Vespa betaler 3500 kr i året i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. Utgiftene i kroner per år er da gitt ved y = 0,50x + 3500 når hun kjører x kilometer per år. a) Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 5000. Skriver inn: og får da: b) Finn digitalt hva det koster hvis hun et år kjører 1500 km. Skriver inn:, lager punktet A ved hjelp av: c) Finn digitalt hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. Skriver inn:, lager punktet B ved hjelp av: b) Av punkt A leser vi at det det å kjøre 1500 kilometer koster 4250 kroner. c) Av punkt B leser vi at Vanja Vespa for 5000 kroner kan kjøre 3000 kilometer. 27

Oppgave 4.52 Løs likningen digitalt og ved regning: a) 2x + 3 = 1 b) 2 3 x + 3 2 = 3 2 a) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: b) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: A = (1, 1) A = (4.5, -1.5) som betyr at: x = 1 når y = 1 som betyr at: x = 4,5 når y = 1,5 Ved regning: Ved regning: 2x + 3 = 1 2 3 x + 3 2 = 3 2 2x = 1 3 2 3 x = 3 2 3 2 2x = 2 2 3 x = 6 2 6 x = 1 4x = 18 x = 4, 5 28

Oppgave 4.53 Et firma skal produsere skistaver. Kostnaden ved å produsere stavene kan deles i to deler. Den faste kostnaden er på 15 000 kr og er uavhengig av hvor mange enheter som blir produsert. Denne kostnaden dekker blant annet utgifter til produksjonsutstyr. Den variable kostnaden er knyttet direkte til produksjonen av hver stav. Utgiftene ved å produsere et par staver er 250 kr. a) Forklar at totalkostnaden K i kroner når det blir produsert x par staver, er gitt ved K = 250x + 15 000 Den faste kostnaden ved å produsere staver er uavhengig av antallet, har da +15 000. For hver stav (x) som produsere er kostnaden 250 kroner, har da: 250x b) Framstill kostnaden K digitalt. Velg x mellom 0 og 200. I GeoGebra, velger: og skriver inn: c) Firmaet selger stavene for 400 kroner per par. Forklar at inntekten I er gitt ved I = 400x Når hvert par staver koster 400 kroner er verdien av produksjonen proporsjonal med antallet (x) som produseres. d) Finn digitalt hvor mange par staver firmaet må produsere og selge for at inntektene av salget skal dekke utgiftene. I GeoGebra, velger: Velger her å begrense linjen til 163 for at den ikke skal tegnes utenfor rutearket. d) De to linjene Produksjonskostnader og Salgsinntekter krysser hverandre i punktet A. Det betyr at det må produseres 100 staver, som gir en inntekt på 40 000 kr, for at inntektene skal dekke utgiftene. 29

Oppgave 4.54 Løs likningene digitalt og ved regning. a) x + 2 = 2x 4 b) 3 4 x + 1 2 = 1 2 x + 3 I GeoGebra: I GeoGebra: a) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: b) Av punkt A ser vi at ligningene har løsning: A = (2, 0) A = (2, 2) som betyr at: x = 2 når y = 0 som betyr at: x = 2 når y = 2 Ved regning: x + 2 = 2x 4 x 2x = 4 2 Ved regning: 3 x + 1 = 1 x + 3 4 2 2 3 4 x + 1 2 x = 3 1 2 4 3x = 6 3x + 2x = 12 2 x = 2 5x = 10 x = 2 30

4.6 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.60 På treningsinstituttet «Komiform» betaler du 3000 kr året i treningsavgift. I tillegg må du betale 50 kr per dag de dagene du er på instituttet. Hvis du en dag trener flere ganger, betaler du bare én gang denne dagen. a) Forklar hvorfor de årlige treningsutgiftene i kroner er gitt ved U(x) = 50x + 3000 der x er tallet på treningsdager i året. Den faste kostnaden ved å trene 3000 kr, har da +3 000. For hver dag (x) er kostnaden 50 kroner, har da: 50x b) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 300 dager. I inntastingsfeltet:, får da i Algebrafeltet: c) Bruk grafen til å finne ut hvor mye det koster å trene 100 dager. Fordi x-aksen er antall dager skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: d) Hvor mange ganger kan du trene for 10 000 kr? Fordi y-aksen er kostnaden skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: c) Lager punktet A, får da A=(100, 8000). Det betyr at det koster 8000 kr å trene i 100 dager. d) Lager punktet B, får da B=(140, 10000). Det betyr at for 10 000 kr kan du trene i 140 dager. 31

Oppgave 4.61 Per har et mobiltelefonabonnement der han betaler 59 øre idet samtalen begynner, og deretter 3 øre per sekund. a) Forklar at prisen i øre for en samtale som varer i x sekunder, er gitt ved P(x) = 3x + 59 Den faste kostnaden for en samtale er 59 øre, har da +59. For hvert sekund (x) er kostnaden 3 øre, har da: 3x b) Tegn grafen til P når x er mellom 0 og 200. c) Hvor mye koster en samtale som varer i 120 s? Fordi x-aksen er antall sekunder (s) skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: d) Hvor lenge kan Per snakke for 2 kr? Fordi y-aksen er Prisen (P) i øre, skriver vi i inntastingsfeltet:, og får da: c) Lager punktet A, får da A=(120, 419). Det betyr at det koster 419 øre å ringe i 120 sekunder. d) Lager punktet B, får da B=(47, 200). Det betyr at for 200 øre kan ringe i 47 sekunder. 32

Oppgave 4.62 En funksjon f er gitt ved f(x) = 2x + 1 a) Regn ut f( 2) og f(2). Bytter ut x med 2 : Bytter ut x med 2 : f( 2) = (2 2) + 1 = 4 + 1 = 3 f(2) = (2 2) + 1 = 4 + 1 = 5 b) Tegn grafen til f. c) Finn f( 1) grafisk. d) Løs likningen f(x) = 3 grafisk. x = 1, følger blå stiplet linje y = 3, følger blå stiplet linje og leser av y-aksen som er ( 1) og leser av x-aksen (x = 1) merket med punkt A merket med punkt B c) Løser f( 1) for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f( 1) = (2 1) + 1 = 2 + 1 = 1 Det betyr at y = 1 når x = 1 d) Løser f(x) = 3 for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f(x) = 2x + 1 = 3 2x + 1 = 3 2x = 3 1 x = 3 1 = 1 2 Det betyr at y = 3 når x = 1 33

Oppgave 4.63 En funksjon f er gitt ved f(x) = 2x + 5 a) Regn ut f(0) og f(2). Bytter ut x med 0 : Bytter ut x med 2 : f(0) = (2 0) + 5 = 0 + 5 = 5 f(2) = (2 2) + 5 = 4 + 5 = 1 b) Tegn grafen til f. c) Finn f(3) grafisk. d) Løs likningen f(x) = 3 grafisk. x = 3, følger blå stiplet linje y = 3, følger blå stiplet linje og leser av y-aksen som er ( 1) og leser av x-aksen (x = 1) merket med punkt A merket med punkt B c) Løser f(3) for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f(3) = ( 2 3) + 5 = 6 + 5 = 1 Det betyr at når x = 3 er y = 1 d) Løser f(x) = 3 for å se om dette stemmer med den grafiske løsningen: f(x) = 2x + 5 = 3 2x + 5 = 3 2x = 3 5 x = 3 5 = 1 2 Det betyr at y = 3 når x = 1 34

Oppgave 4.64 Vi kaster en stein. Grafen viser høyden (h) i meter etter t sekunder. f(h) = 5h 2 + 30h, (0 < h <= 6) a) Finn høyden etter 2 s og etter 5 s. c) Når er steinen 40 m over bakken? Bruker GeoGebra. Bruker GeoGebra. Leser av og ser at høyden etter 2 s er 40 meter Leser av grafen og ser at steinen er 40 Leser av og ser at høyden etter 5 s er 25 meter. meter over bakken etter 2 og 4 sekunder. b) Forklar hvorfor høyden er en funksjon av tida t. Høyden (h) har bare en verdi for hver verdi tiden (t) har. d) Er tida en funksjon av høyden? Nei, høyden (h) er en funksjon av tiden (t). Hvis vi f.eks. velger høyden (h) = 20 vil tiden både være 0,76 og 5,24. Det er ikke mulig at en høyde oppstår samtidig på to tidspunkter når vi kaster én stein. 35

Oppgave 4.65 Grafen viser gjennomsnittsvekten for norske gutter fra fødselen til de er 19 år. kg y 70 60 50 40 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x År b) Forklar hvorfor gjennomsnittsvekten er en funksjon av alderen. Det er alderen som bestemmer vekten og ikke vekten som bestemmer alderen. Har du én alder har du én helt bestemt vekt. Du kan ikke bestemme alderen ut ifra hvor mye du veier. kg y 70 60 a) Finn gjennomsnittsvekten for norske gutter når de er 2 år og når de er 14 år. 50 40 30 Se på grafen og svarte stiplede linjer. Gjennomsnittsvekten er omtrent 12,5 kg og 55 kg. 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 x År c) Finn alderen når gjennomsnittsvekten er 30 kg. Se på grafen og blå stiplet linje. Alderen er omtrent 9,15 år. d) Forklar hvorfor alderen er en funksjon av gjennomsnittsvekten når alderen er 19 år eller mindre. Gjelder dette også når alderen er over 19 år? Når vi har en funksjonslinje som er utformet med alder og vekt som kriterier vil man kunne lese av alder utfra vekt. Én alder tilsvarer én vekt. Nei, grafen stopper ved 19 år og vi har da ingen informasjon om sammenhengen mellom alder og vekt utover dette. 36

Oppgave 4.66 a) b) c) y 8 6 4 2 0 2 4 6 8 x Funksjon[0.625x+2,0,8] Funksjon[0.32x 2-1.95x+3.5,0,8] Kurve[2u², 2u + 4, u, -2, 2] y = 0,625x + 2 f(x) = 0,32x 2 1,95x + 3,5 x = 2u 2 y = 2u+4 } 2 u 2 y er en funksjon av x og y er en funksjon av x. x er en funksjon av y. x er en funksjon av y. Vi kan endre x eller y Hvis vi velger y = 2 får vi to svar, Hvis vi velger x = 2 får vi to svar, for å beregne y eller x. x kan da ikke være en funksjon y kan da ikke være en funksjon av y. x 1 0,90 og x 2 5,19. av x. 37

4.7 Lineær vekst Oppgave 4.70 Vanja Vespa er på langtur med skuteren sin. Hun finner ut at antallet kilometer hun kjører på x timer, er gitt ved grafen nedenfor. 250 y = km 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 x = timer a) Finn vekstfaktoren. Vekstfaktoren er 50 fordi for hver time (x) så øker y med 50. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfaktoren? Vanja kjører 50 km per time (50 km/t). c) Finn en formel for strekningen s i kilometer som Vanja har tilbakelagt etter x timer. s = 50x + 0 s er strekning og x er timer, men vi skriver ikke +0 så funksjonen er: s = 50x 38

Oppgave 4.71 Vanja kjører en fast strekning hver dag med skuteren sin. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom kilometerstanden y på skuteren og antallet dager x når x er mellom 0 og 100. 5000 y = km 4000 3000 2000 1000 0 20 40 60 80 100 x = dager a) Finn vekstfaktoren. Ser av grafen at Vanja i løpet av 100 dager har kjørt 2500 km. 2500 km = 25 km 100 dager dag Vekstfaktoren er 25. b) Finn en formel som viser kilometerstanden y etter x dager. y = 25x + 2000 25x fordi hun kjører 25 km per dag og 2000 fordi kilometerstanden til skuteren var 2000 i startøyeblikket. 39

Oppgave 4.72 Skuteren til Vanja synker i verdi. Hun regner med at verdien i kroner etter x måneder er gitt ved V(x) = 300x + 18 000 a) Lag en graf som viser verdien av skuteren i de neste fem årene. Når x er måneder betyr det at fem år = 60 måneder. x-linjen er da fra 0 til 60. Bruker GeoGebra. b) Bruk grafen til å finne vekstfarten. I GeoGebra: får da: Vekstfarten er 300. Det betyr at verdien faller med 300 kroner per måned fordi y-aksen er i kroner og x-aksen i måneder. c) Kontroller svaret i oppgave b ved hjelp av funksjonsuttrykket. V(x) = 300x + 18 000 Når x = 0 : V(0) = 300 0 + 18000 = 18000 Det stemmer, når x=0 er y=18000 Når x = 60 : V(60) = 300 60 + 18 000 = 18 000 + 18 000 = 0 Det stemmer, når x=18 000 er y=0 40

Oppgave 4.73 Greta Gartner setter ned en plante i et blomsterbed. Hun regner med at planten kommer til å vokse like mye hver dag den første måneden slik at det blir lineær vekst. Etter 4 dager er planten 18 cm, og etter 14 dager er den 33 cm. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (dager) 4 14 y (høyde) 18 33 Vi har nå laget de to punktene (4, 18) og (14, 33) i GeoGebra. a) Bruk et digitalt verktøy og b) Hvor høy var planten da Greta finn vekstfarten til planten. satte den ned i jorda? I algebrafeltet i GeoGebra ser vi at funksjonen for veksten til plantene er: y = 1,5x + 12 Det betyr at planten vokser med 1,5 cm per dag og at planten var 12 cm høy når den ble plantet. Det er altså ikke absolutt nødvendig å tegne funksjonen som vist under for å kunne finne vekstfarten og høyden til planten når den ble satt i jorda, men det gir en god oversikt. Bruker funksjonen: Eller bruk funksjonen: for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. der du først klikker på A og så på B for å lage linjen. 41

Oppgave 4.74 Vanja Vespa har en god bensinmåler på skuteren sin. Hun kjører hjemmefra med full tank. Når hun har kjørt i 10 mil, er det 4 liter bensin på tanken. Når hun har kjørt 26 mil, er det 1 liter igjen. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (mil) 10 26 y (liter) 4 1 Bruker funksjonen: Eller bruk funksjonen: for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. der du først klikker på A og så på B for å lage linjen. a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og tegn ei linje som viser hvordan bensinmengden y i liter varierer med kjørelengden x i mil. b) Finn vekstfaktoren til bensinmengden. c) Hvor stor tank er det på skuteren til Vanja, og hvor mye bensin bruker den per mil? b) I algebrafeltet ser vi av funksjonen at vekstfaktoren er: -0.1875. c) Bruker funksjonen, og får samme resultat: -0.1875. c) I algebrafeltet ser vi at konstantleddet er 5.875 som er tankstørrelsen. c) Lager et punkt C som også viser tankstørrelsen: 5.875. 42

Oppgave 4.75 Ei rett linje går gjennom punktene (1, 3) og (3, 7). a) Bruk et digitalt hjelpemiddel b) Finn stigningstallet og og finn likningen for linja. konstantleddet for linja. Lager først de to punktene (1, 3) og (3, 7): Bruker nå dette verktøyet Bruker også verktøyet, istedenfor å gå veien om å lage en Liste. for å finne stigningen digitalt. I algebrafeltet leser vi av ligningen for linjen til å være: -2x+y=1, men dette er ikke en skrivemåte vi kjenner så vi høyreklikker på funksjonen og velger denne formen: Ligningen til linja er: y = 2x + 1 Stigningstallet er 2 slik som også a = 2 viser. Konstantleddet er +1 slik som ligningen viser (det betyr at funksjonen krysser y-aksen ved +1). 43

4.8 Lineære modeller Oppgave 4.80 Tabellen viser folketallet i verden i milliarder fra 1970 og frem til 2010. Her er x antall år etter 1970. Årstall 1970 1980 1990 2000 2010 x (år) 0 10 20 30 40 Folketall (milliarder) 3,7 4,4 5,3 6,1 6,8 a) Bruk folketallet i 1970 og folketallet i 2010 til å lage en lineær modell for folketallet i milliarder x år etter 1970. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (år) 0 40 y (folketall) 3,7 6,8 Bruker funksjonen: Eller bruk funksjonen:, og klikker på A og så på B for å lage linjen. for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. b) Hvordan passer modellen med de andre folketallene i tabellen? Skriver inn : og får tre nye punkter D, E og F. Som vi ser passer disse godt inn i modellen. c) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9,4 milliarder. Hvordan passer modellen i oppgave a med denne prognosen? Skriver inn: fordi år 2050 er 80 år etter 1970. Lager ett punkt med. Punktet har her navnet C og viser oss at i følge modellen skal det være 9,9 mrd mennesker i 2050. Modellen viser et for høyt folketall i følge prognosen. 44

Oppgave 4.81 Figuren er hentet fra Adresseavisen og viser hvor mange millioner minutter vi i Norge snakket i fasttelefon, i mobiltelefon og i bredbåndstelefon i hvert av årene fra 2001 til 2012. Antall millioner taleminutter 20000 18000 16000 14000 Fasttelefon 12000 10000 8000 6000 4000 2000 Mobiltelefon Bredbåndstelefoni 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 a) Hvor mange minutter snakket hver nordmann i fasttelefon i 2012? Antall millioner taleminutter 20000 18000 16000 14000 Fasttelefon 12000 10000 8000 6000 4000 Mobiltelefon 2000 Bredbåndstelefoni 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Bruker rød stiplet linje i oppgave a). Leser av grafen og finner at det var 3250 millioner taleminutter i 2012 som skal fordeles på 5 millioner nordmenn: 3 250 000 000 minutter 5 000 000 = 650 minutter per nordmann Hvor mange minutter snakket vi i mobiltelefon det året? Regn med at vi er 5 millioner mennesker. Leser av grafen og finner at det var 12 850 millioner taleminutter i 2012 som skal fordeles på 5 millioner nordmenn: 12 850 000 000 minutter 5 000 000 = 2570 minutter per nordmann 45

b) Bruk tallene fra 2001 og 2012 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i fasttelefon i perioden 2001-2012. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: Årstall 2001 2012 x (år) 0 11 y (taleminutter) 17 350 3250 Bruker funksjonen:, og klikker på A og så på B for å lage linjen. c) Når kommer vi til å slutte å snakke i fasttelefon ut fra modellen i oppgave b? I 2001 + 13,5355 år = 195 dager inn i 2014 d) Bruk tallene for 2001 og 2012 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i mobiltelefon i perioden 2001-2012. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: Årstall 2001 2012 x (år) 0 11 y (taleminutter) 3550 12 850 Bruker funksjonen:, og klikker på D og så på E for å lage linjen. e) Når snakket vi like mye i fasttelefon som i mobiltelefon ut fra modellen fra oppgavene b og d? Lager punktet F ved hjelp av: Vi snakket like mye i fasttelefon som mobiltelefon 6,4872 år etter 2001. 178 dager inn i 2007. 46

Oppgave 4.82 Tabellen viser ventet levealder for et nyfødt barn i Botswana. Her er x antall år etter 1950. År 1950 1960 1970 1980 1990 x (år) 0 10 20 30 40 Levealder (år) 48 52 56 62 63 a) Bruk tallene for 1950 og 1990 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana. Lager en tabell: I GeoGebra: Merk området og: x (år) 0 40 y (levealder) 48 63 b) Hvor godt passer modellen for året 1970? Bruker funksjonen: for å tegne en tilpasset linje til de to punktene. Eller bruk funksjonen: der du først klikker på A og så på B. For å lage punktet C for 1970 (1950 +20) og levealder = 56: Modellen passer meget godt for levealderen til nyfødte barn i Botswana for året 1970. c) Hvilken ventet levealder gir modellen for året 2010? Skriver inn: og lager punktet D med som viser en forventet levealder på 70.5 i 2010. Som er 70,5 år. d) I 2010 var ventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan forklarer du at modellen passer så dårlig for 2010? Når ventet levealder i Botswana i 2010 er lavere enn ventet levealder i 1970 betyr det at populasjonen mennesker har blitt utsatt for ytre påvirkninger som er av en spesiell art, her kan tenkes epidemier, krig og sultkatastrofer... 47

4.9 Lineære regresjon Oppgave 4.90 Tabellen viser folketallet i verden i millioner i perioden 1970-2010. Her er x antallet år etter 1970. Årstall 1970 1980 1990 2000 2010 x (år) 0 10 20 30 40 Folketall (millioner) 3708 4447 5274 6073 6852 a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for folketallet y i millioner x år etter 1970. I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager punktet F med og en vertikal linje for året 2050: b) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9404 millioner. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen? Modellen viser at folketallet i 2050 vil være 10019.2. (1970+80) Dette er 615 millioner mer. Modellen passer ikke så godt. 48

Oppgave 4.91 Tabellen viser den gjennomsnittlige høyden h for norske guttebarn etter alderen x. x (år) 4 6 8 10 12 14 y (cm) 104 118 131 142 153 167 a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for gjennomsnittshøyden y i centimeter når guttene er x år. I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager også en vertikal linje for alder = 18 år til oppgave c): Lager en vertikal linje for alder = 18 år til oppgave c): og punktet H med. b) Hvor høye er guttene i gjennomsnitt ved fødselen ifølge denne modellen? Er det en rimelig verdi? Punktet G, viser at modellen gir en høyde ved fødselen som er 80.419 cm. 48 54 er det normale. c) Hvilken høyde gir modellen for gutter på 18 år? Vurder gyldighetsområdet ved å finne ut hvilken aldergruppe denne modellen kan passe for. Punkt H gir oss en høyde på 191.2476 cm. Gyldighetsområdet ser ut til å være noe mindre enn 4 år og noe mer enn 14 år. 49

Oppgave 4.92 a) Bruk tabellen i oppgave 4.82 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana x år etter 1950. Tabellen hentet fra oppgave 4.82: År 1950 1960 1970 1980 1990 x (år) 0 10 20 30 40 Levealder (år) 48 52 56 62 63 I GeoGebra: Merk området og: Lager punktene: Lager punktet H med og en vertikal linje for året 2010: b) Hvor godt passer modellen for året 1970? For 1970, punkt C (x=20), passer modellen meget godt. c) I 2010 var forventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan passer modellen for dette året? Modellen viser en levealder på 72.2 år, dette passer meget dårlig med modellen. 50

Stigningstallet (a)= y x eller a = y 2 y 1 x 2 x 1 51