UNIVERITETET I AGDER Gimstad E K A M E N O P P G A V E : AG: MA-9 Matmatikk ÆRER: P Hnik Hogstad Klass: Dato:.. Eksamnstid, fa-til: 9.. Eksamnsoppgavn bstå av følgnd Antall sid: 6 inkl. fosid vdlgg Antall oppgav: 5 Antall vdlgg: Tillatt hjlpmidl : Kalklato Hogstad: oml MA-9 Don t Panic Rottmann: Matmatisk fomlsamling Ikk tillatt å skiv i fomlsamlingn KANDIDATEN MÅ EV KONTROERE AT OPPGAVEETTET ER UTENDIG
MA-9 Odinæ Eksamn Høst Oppg n Pong a b a b a b a b c d f g h 5 --------------------- m 5 Pongn vis vkt-fodlingn fo d nklt dl-spøsmåln. Vd kaaktstting vktlggs slvfølglig i tillgg n total-vding, bl.a. n vding av i hvilkn gad kandidatn ha knnskap innnfo d lik omådn gitt i oppgav-sttt. Bsvalsn skal innhold mllomgning. Kalklato skal ikk bntts i bgningn, kn til vntll kontoll av gn sva. YKKE TI!
. Vi ha gitt følgnd dobblt-intgal: dd a Vis vd hjlp av n fig dt intgasjonsomådt som dt h intgs ov. b Bgn dobblt-intgalt vd å btt om intgasjons-kkfølgn.. Vi ha t lgm T bgnst av d t koodinatplann -plant, -plant og -plant samt d to plann og 6. a Tgn n skiss av lgmt T. b Bstm vha tipplintgal volmt av lgmt T.. Vi ha gitt følgnd to pola kv: - [, ] a Tgn gafn til diss to pola kvn i t -koodinatsstm. b Bgn aalt av dt avgnsd flls-omådt som ligg innnfo bgg diss to kvn.
. a T væ dt lgmt i ommt som avgnst av følgnd to flat: lat n : lat n : a Tgn n skiss av lgmt T. b Bstm ligningn fo pojksjonn nd i -plant av skjæingskvn C mllom d to flatn flat n og flat n. okla hva slags kv dnn pojksjonn. c Bstm volmt av lgmt T. Vi ha gitt følgnd vktoflt:,, [-,,] d Bstm divgns og cl av dt gitt vktofltt. Bstm ntto flks av dt gitt vktofltt t av lgmt T. f Bstm vd dikt bgning kv-intgalt d C av -vkto langs skjæingskvn C i tning mot klokka stt ovnfa ndov langs -aksn. g a C væ kvn som pojksjonn nd i -plant av skjæingskvn C. Bstm vd hjlp av toks tom kv-intgalt d C av -vkto langs kvn C i tning mot klokka stt ovnfa ndov langs -aksn h a væ dn lkkd ovflatn av lgmt T. a og væ d to dln av hnholdsvis flat n og flat n som til sammn tgjø flatn, dvs og Ø. okla hvofo d to flat-intgaln av cl til -vkto ov hnholdsvis og motsatt lik sto, dvs: nd - nd n-vkto h nhtsnomalvkto t av ovflatn av lgmt T.
5. Vi ha n stav md lngd og diffsivitt k. Til stdi av vamldning i dnn stavn bntts følgnd patill diffnsialligning: t k,t tmpatn som fnksjon av posisjonn på stavn og tidn t. Vd å hold stavns ndpnkt på C fa og md tidn t, få vi følgnd tillggsbtingls:, t, t Dn gnll løsningn av dnn diffnsialligningn md diss to tillggsbtinglsn :, t cn n n k t n Vi ha n tdj tillggsbtingls, nmlig at stattmpatn som fnksjon av posisjonn vd tidn t gitt vd:, f okla kot md tgangspnkt i dn gnll løgn fo,t gitt ovnfo sammn md oi-kk-btaktning at koffisintn c n gitt vd: c n n f d
Vdlgg: f f f n f f vd v dv v v v v v v n nivåflat til som n flat nhtsnomalvkto til n nivåflat til som n flat nomalvkto til ' h ' h h ' h ' ' ln ± ± ±
. a Illstasjon av intgasjons-omådt: b Bgning av dobblt-intgalt: [ ] - d d d dd dd
. a kiss av lgmt T: b Volm av lgmt T: [ ] 8 8 8 6 6 6 T d d d d d dd dd ddd dv V Kontoll: Volmt gitt vd: 8 h G V
. a kiss av d to pola kvn: D to pola kvn hnholdsvis n sikl md sntm i oigo og adis og n kadoid smmtisk om -aksn. b Aalt av fllsomådt som innnfo bgg kvn: llsomådt bstå av to smmtisk omåd innnfo kadoidn og n halvsikl. [ ] 8 5 8 6 8 6 8 d d d d d dd dd da A G R
. a kiss av lgmt T fign skal gjøs litt bd sn: b igningn fo pojksjonn nd i -plant av skjæingskvn C. mllom d to flatn: Dnn pojksjonskvn n sikl i -plant md sntm i oigo og adis. Hød-vaiasjonn -vdi til skjæingskvn C gitt vd: kjæingsskvn C høst ov -aksn 8 og lavst ov -aksn. c Volmt av lgmt T. [ ] [ ] d d dd dd da da da da da d dv V R R R R R R T
d Divgns og cl av vktofltt:,, Divgns: [-,,] div,, [-,,] Cl: cl,, i j k - [,,] [-,,],, Ntto flks av vktofltt t av lgmt T: a væ dn lkkd ovflatn av lgmt T. Vi bntt Gass lov og volmsltatt fa oppgav c. Φ nd dv dv dv 96 T T T
f Kvintgalt av -vkto langs kvn C: t t t [ t, t, t ] t [, ] [ t, t, t] d t [ t, t, 8 t t]dt,, t d C d [,,] [ t, t, t ] [ t,t,6 6 t ] [ t,t,6 6 t ] [ t, t, 8 t t] t 8 t 8 t t 8 t t dt t t t t t t t t t 8 t 8 t t 8 t t dt t t 8 8 t t 8 t t dt t t 8 t t 8 t t dt 6 t 8 t t 8 t t dt 8 8 6t t t t t t 6 dt g Kvintgalt av -vkto langs kvn C vha toks tom: Vi la væ dn flatn i -plant som ha C som and vi må vlg n flat som ha C som and. Dn positiv nhtsnomalvkto på flatn gitt vd [,,} C d nd [,,] [,,] d d d Mk at d to kv-intgaln i f og g fogå langs to lik kv C og C. Vi kan dfo ikk tn vid fovnt samm sva i d to oppgavn. Non vil kanskj hvd sidn flatn plan ligg i -plant at dtt bk av Gns tom og ikk toks tom. Dt kokt å si at vi bntt Gns tom, mn dt også kokt å si at vi bntt toks tom sidn Gns tom t spsialtilfll av toks tom.
h Bgg flatn og ha kvn C som and. I følg toks tom ha vi da fo hv av flatn og følgnd: C C nd d n d nd d Kommnta til dn sist ligningn: Md dn tningn som kvn C skal gjnnomløps, så vil dn positiv sidn av flatn væ på innsidn av paaboloidn, dvs vi må i toks tom h bk n-vkto som nhtsnomalvkto. Hav følg at: - nd nd Ell vd bk av Gass tom sidn flatn lkkt og og Ø. : T dv nd nd nd Dn sist likhtn følg av at s bvis ndnfo: Hav ha vi: - nd nd Bvis fo,,,,,, k j i
h fots.: I dnn spsill oppgavn kan man også mn dt gi t mind gnlt bvis bgnn ligningn md at cl til -vkto n konstant vkto avhngig av, og og at d to flatn og lik botstt fa at dn n sndd opp nd og vidd 9 gad i fohold til dn and dtt må bgnns. Dmd vil man fo hvt flat-lmnt på dn n flatn finn t tilhønd flatlmnt på dn and flatn md motsatt ttt nomalvkto, dvs d to intgandn skalapodktt av cl til -vkto og nhtsnomalvkto n-vkto ha motsatt fotgn og gi dmd motsatt lik vdi til d to flatintgaln. Nå dtt t mind gnlt bvis, så sklds dt at ligningn gitt i oppgavn gjld også slv om cl til -vkto ikk n konstant vkto og/ll slv om d to flatn ikk lik. 5. Vamligning: Dn gnll løsningn av dnn diffnsialligningn md diss to tillggsbtinglsn :, t cn n n k t n a dn tdj tillggsbtinglsn:, f få vi: n t n, c c n n n n n f Vi fota n odd smmti om oigo piodising fo å ivata d to føst tillggsbtinglsn. Vi oi-s-tvikl dfo f md piod og få: f n n bn hvo i følg oi toi : bn n f d Hav få vi: n n cn n n bn Dnn ligningn skal stmm fo all og t. Hav få vi: c b n n n f d