Analyse av strukturerte spareprodukt

NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell økonom NORGES HANDELSHØYSKOLE Denne utrednngen er gjennomført som et ledd masterstudet økonomsk-admnstratve fag ved Norges Handelshøyskole og godkjent som sådan. Godkjennngen nnebærer kke at høyskolen nnestår for de metoder som er anvendt, de resultater som er fremkommet eller de konklusjoner som er trukket arbedet.

1 Sammendrag Strukturerte spareprodukt består typsk av et garantelement og et avkastnngselement. Garantelementet skrer at du kke taper sparepengene dne, mens avkastnngselementet skal g deg avkastnng knyttet tl en markedsvarabel som for eksempel en aksjendeks. Produktene har bltt svært populære blant prvate småsparere. En vktg grunn tl dette er nok en utbredt forestllng om at nvestor får både pose og sekk; lke god avkastnng som aksjemarkedet og lke skkert som banken. Fnansekspertene har kke vært lke begestret, og omtaler produktene som dyre, uoversktlge og med dårlge avkastnngsmulgheter. Denne rapporten vser at kundene typsk betaler 8-10 % samlede gebyr, noe som gjerne er 2-4 % høyere enn det som opplyses om prospektet. Forventet avkastnng er 1-2 % per år ved egenkaptalfnanserng før tegnngsgebyrene tas hensyn tl. En kunde som velger full lånefnanserng og betaler de høyeste tegnngsgebyrene og kan forvente å tape penger på nvesterngen sn. Dette vser at mne analyser langt på ve støtter krtkken fra ekspertene.

2 Forord Denne rapporten baseres på en masterutrednng som nngår som en del av masterstudet ved Norges Handelshøyskole. Rapporten er todelt. I første del presenterer jeg to metoder for å verdsette eksotske opsjoner. Den ene metoden er en modfsert Black 76 opsjonsprsngsformel, mens den andre metoden er Monte Carlo smulerng. Den sstnevnte metoden er speselt nyttg ved prsng av eksotske opsjoner uten lukket løsnng. Teordelen anvendes tl å verdsette og beregne forventet avkastnng tl seks garanterte spareprodukt. Tl en vss grad går teordelen lenger enn det som er nødvendg for å analysere garanterte spareprodukt. Det kan ses at teordelen er ltt som å skyte spurv med kanon forhold tl anvendelsen rapporten. Lkevel vl jeg bruke en del plass på å vse hvordan det er mulg å bygge en effektv prsngsmodell, som er raskere og mer effektv også andre anvendelser enn prsng av opsjonselementet garanterte spareprodukt. Jeg vl rette en stor takk tl mn veleder, Professor Petter Bjerksund, som med konstruktve tlbakemeldnger og gode deer har bdratt tl at arbedet med rapporten både har vært spennende og lærerkt. Ellers vl jeg takke Insttutt for foretaksøkonom og SNF for stpendet jeg ble tldelt for å skrve denne rapporten. Takk også tl Steen Koekebakker ved Unverstetet Agder for å ha tatt seg td tl å svare på spørsmål underves. Rapporten forutsetter grunnleggende kunnskap nnen opsjonsprsng. Norges Handelshøyskole Bergen, oktober 2007 Ger Magne Bøe

3 Innholdslste SAMMENDRAG...1 FORORD...2 INNHOLDSLISTE...3 1. INNLEDNING...5 1.1 INTRODUKSJON...5 1.2 PROBLEMSTILLINGER...7 1.3 OPPBYGGING AV RAPPORTEN...8 2. STRUKTURERTE SPAREPRODUKTER...10 2.1 DET NORSKE MARKEDET...10 2.2 LITT MER OM PRODUKTENE...12 2.3 OPPBYGGING OG VERDSETTELSE AV STRUKTURERTE PRODUKTER...14 2.4 FORUTSETNINGER BAK BLACK 76 OPSJONSPRISINGSMODELL...20 3. AKSJEKURSENS BEVEGELSE OG MONTE CARLO SIMULERING...22 3.1 AKSJEKURSENS BEVEGELSE...22 3.2 MONTE CARLO SIMULERING...27 3.3 VARIANSREDUSERENDE TEKNIKKER...33 3.4 QUASI-MONTE CARLO SIMULERING...36 3.5 ANDRE UTVIDELSER AV MONTE CARLO METODEN...39 4. VERDSETTELSE AV STRUKTURERTE SPAREPRODUKT...41 4.1 STOREBRAND SPREAD AKSJEINDEKSOBLIGASJON 2006 2010...41 4.2 ORKLA FINANS ABSOLUTT EUROPA II 2007-2012...48 4.3 FOKUS BANK RÅVAREINDEKSOBLIGASJON OLJE 2007 2008...53

4 4.4 ACTA JAPANSK EIENDOM 2007 2010... 59 4.5 NORDEA LOCK-IN BASKET 2006 2010... 64 4.6 DNB NOR KRAFT 2007/2009... 69 4.7 DRØFTING AV RESULTATENE... 75 5. ANALYSE AV AVKASTNING PÅ STRUKTURERTE PRODUKT... 77 5.1 GENERELT OM SANNSYNLIGHETER OG RISIKOPREMIER... 77 5.2 FORVENTET AVKASTNING FRA DE ULIKE PRODUKTENE... 78 5.3 DRØFTNING AV RESULTATENE... 90 6. ANALYSE AV GEBYRESTIMATENE I 117 PROSPEKT... 95 7. AVSLUTNING... 99 7.1 PÅ TIDE MED EN NY TYPE STRUKTURERTE PRODUKT?... 99 7.2 OPPSUMMERING ER KRITIKKEN BERETTIGET?... 100 7.3 SVAKHETER VED RAPPORTEN OG FORSLAG TIL VIDERE UNDERSØKELSER... 101 8. REFERANSER... 103

5 1. Innlednng 1.1 Introduksjon Et ordtak ser at kjært barn har mange navn. Dette gjelder også for den relatvt nye typen garanterte spareprodukter som tlbys norske prvate og nsttusjonelle nvestorer. Jeg vl denne rapporten se på de verdpaprene som går under betegnelsene strukturerte spareprodukter, aksjendeksoblgasjoner, garanterte spareprodukter eller banksparng med aksje-, valuta-, råvare- eller børsavkastnng. Felles for alle produktene er at de egentlg er en pakke bestående av mer grunnleggende fnanselle verdpapr. Pakken skal g nvestor et garantert beløp ved forfall, tllegg tl mulghet for avkastnng knyttet tl utvklngen en eller flere varabler, som for eksempel en aksjendeks. Det er ngen tvl om at slke spareprodukter har bltt en suksess dersom dette måles etter salgsvolumet. Men er det kundene eller tlbyderne som kommer best ut? Ved å kombnere forskjellge verdpapr kan produktene skreddersys slk at nvestor får den rskoeksponerngen og gevnstpotensal han ønsker. Dette bør ses på som en fordel for nvestor. For noen kunder vl garanterte produkter g en bedre rsko- og avkastnngsprofl enn aksjer, fond, oblgasjoner eller banknnskudd. Alle nnovasjoner er ønskelge dersom det kan dekke et behov hos kundene bedre enn de ekssterende produktene markedet. Investorer som kke ønsker slke produkter kan la være å kjøpe de. Garanterte spareprodukter kan være med å forbedre nvestors mulgheter tl å nvestere utenlandske og eksotske verdpapr, og dermed oppnå en bedre rskoeksponerng sn samlede portefølje. Det er vanlgvs ngen valutauskkerhet knyttet tl garanterte spareprodukter. Bankene tar et tegnngsgebyr ved kjøp, men tl gjengjeld vl banken åpne et nvesterngsunvers som tdlgere kke har vært lett tlgjengelg for småsparere. Det er derfor ngen tvl at hvs strukturerte produkter tlbys tl korrekt prs og på rktge premsser, er de et godt supplement og nvesterngsalternatv for så vel småsparere som større nvestorer. De garanterte spareproduktene har tl tross for dette fått kraftg krtkk meda, og nærmest bltt betegnet som svndel. Hva er grunnen tl denne voldsomme krtkken?

6 Krtkken er hovedsak rettet mot tre forhold. For det første er produktene satt sammen slk at de er vanskelg for nvestor å komme frem tl rktg verd på det han kjøper, kombnert med at bankene krever forholdsvs høye gebyrer. I denne rapporten verdsettes seks strukturerte produkter som tlbys det norske markedet høsten 2006 og våren 2007. Analysene vser at det kan være krevende å prse garanterte spareprodukt, og det kke kan forventes at nvestorer uten solde fnanskunnskaper kan estmere rktg prs på produktet. Noen eksperter 1 hevder at bankene tlbyr unødvendg komplserte produkter nettopp for at kundene kke skal være stand tl å prse de, samtdg som de komplekse elementene kan fremstlles bedre enn de faktsk er markedsførngsmateralet. Forskjellen mellom hva kunden betaler for produktet (eksklusv tegnngskostnader) og den vrkelge verden av pakken er et gebyr som går tl tlbyder. I prospektene omtaltes dette gebyret som tlretteleggngsgebyr eller bruttofortjeneste. Tdlgere ble det kke opplyst om dette gebyret prospektene. I dag er dette et krav fra Kredttlsynet, men det er langt fra skkert at gebyret som det opplyses om prospektet er det kunden reelt sett betaler. Størrelsen på tlretteleggngsgebyret drøftes kaptlene 4 og 6 denne rapporten. Krtkken fra ekspertene rettes også mot prospektene som brukes markedsførngen og kompetansen tl selgerne. Prospektene gr nntrykk av at nvestor får både pose og sekk; lke god avkastnng som aksjemarkedet tl samme rsko som banksparng. Dette er beste fall en sannhet med modfkasjoner. Flotte fgurer av hstorsk avkastnng preger de første sdene av prospektet, mens sentrale opplysnnger står med lten skrft helt mot slutten. Hvlke forutsetnnger og modeller som er benyttet verdsettelsen prospektet opplyses det dessverre kke om. Samtdg har kke alle selgerne den nødvendge kunnskapen eller forståelsen tl å kunne forklare hvordan avkastnngen beregnes, og langt sjeldnere prse produktene de tlbyr. V har fra td tl annen sett råsalg 2 av strukturerte produkter mot godtroende prvatpersoner uten fnanskunnskap. Rådgverne mottar ofte bonus etter hvor mye de selger, og flnke rådgvere er gjerne de som selger mest og tl høyest margn. Her må det nevnes at det trolg er stor forskjell mellom de ulke aktørene bransjen. Personlg tror jeg at dette kan være med på å forklare at hele tre av fre strukturerte produkt er lånefnanserte. 1 Allerede 2000 advarte journalstene Rune Pedersen og Bjørn Erk Sættem Dne Penger (Nr 9/2000) om dette. 2 Se blant annet Dne Penger Nr 3/2006

7 Det tredje forholdet som har vært gjenstand for krtkk er effekten av lånefnanserng 3. Bankene tlbyr å lånefnansere hele kjøpesummen slk at nvestor kan geare nvesterngen og øke mulgheten for høy avkastnng. For banken sn del kan de tlby lån med mnmal rsko, sden de har skkerhet penger på egen konto gjennom det garanterte produktet de tlbyr. Jeg vl se på hvordan dette spller nn på sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen kapttel 5. Samlet sett kan dette vrke som et Knderegg for banken. Garanterte spareprodukter oppfyller tre ønsker på en gang; tegnngsgebyr, tlretteleggngsgebyr og en god rentemargn på et tlnærmet rskofrtt utlån. Kredttlsynet har fra 1.1.2007 nnført en ny forskrft der det stlles strengere krav tl blant annet opplysnng om verden av produktet, effekten av lånefnanserng og sannsynlghetsfordelngen tl forventet avkastnng. Dette gjør det enklere for nvestor å analysere strukturerte spareprodukt. Lkevel opplyser kke utstederne hvlke estmater og forutsetnnger som lgger tl grunn for de ulke beregnngene. Forventet avkastnng med og uten lånefnanserng er noe som det foreløpg kke må opplyses om, men som etter mn menng er et av de vktgste estmatene som burde vært med prospektene. 1.2 Problemstllnger Denne utredngen vl fokusere på tre problemstllnger: 1. Verdsettelse med senstvtetsanalyse av seks ulke strukturerte produkt. Hva er rktg prs? 2. Estmerng av sannsynlghetsfordelngen tl avkastnngen for produktene med og uten lånefnanserng. 3. Analyse av prospektene tl alle produktene som tlbys mellom høst 2006 og vår 2007. Hva er tlbydernes egne estmat på tlretteleggngsgebyret? Er det forskjell mellom tlbyderne? Ved å vurdere mne seks estmat på tlretteleggngsgebyret opp mot de som er oppgtt prospektene, er det kanskje mulg å s noe om hvorvdt tlbydernes anslag på 3 Se blant annet Dne Penger nr 9/2000, nr 9/2001, nr 4/2006, nr 7/2006 og nr 6/2007

8 tlleggsgebyrene er realstske. Tl slutt vl jeg vurdere, ut fra mne analyser, om krtkken fra ekspertene er berettget. 1.3 Oppbyggng av rapporten I kapttel 2 drøftes kort utvklngen det norske markedet for garanterte spareprodukt. Vdere presenteres teoren bak oppbyggngen av en aksjendeksoblgasjon, basert på en artkkel Praktsk økonom og fnans av Bjerksund, Carlsen og Stensland (1999). Ved å justere volatlteten og dvdenderaten, kan v komme frem tl en tlnærmet verd på en aksjendeksoblgasjon ved å bruke Black 76 opsjonsprsngsformel. Denne vl benyttes, og noen tlfeller tlpasses, for å komme frem tl en closed-form approxmaton verd på opsjonene de tlfellene strukturene kke er for komplekse. I kapttel 3 forklares det først hvordan v kan modellere aksjekursens bevegelser, og hvlke antakelser som lgger bak en slk modell. Resten av kaptlet brukes tl å presentere hvordan opsjoner kan prses ved Monte Carlo smulerng. Mot slutten av kaptlet vl jeg drøfte ulke varansreduserende teknkker som kan mplementeres for å kunne bygge en modell som gr et mest mulg nøyaktg resultat. Presentasjon og verdsettelse av de utvalgte garanterte spareproduktene er tema kapttel 4. Verden av strukturerte produkter avhenger stor grad av forutsetnnger og verder på varablene som benyttes analysen. Slke varabler er uskre, og vanlgvs estmeres de basert på hstorske data. En senstvtetsanalyse med ulke verder på de mest sentrale varablene vl g nyttg nnskt forhold tl hva som er en objektv verd på spareproduktene. I kapttel 5 analyseres den forventede avkastnngsfordelngen tl hvert enkelt produkt. Her vl jeg blant annet beregne effekten av tegnngskostnader og lånefnanserng, fnne forventet avkastnng og estmere sannsynlgheten for at produktene gr postv avkastnng. Kapttel 6 fokuserer på prospektene. Her analyseres prospektene tl 117 produkter som er utstedet det sste året. Et av spørsmålene som stlles er om det er forskjell tegnngs- og tlretteleggngsgebyr mellom de ulke tlbyderne. Et annet spørsmål som vurderes er om

9 mne estmat på tlrettelegnngsgebyr er nærheten av det estmatet utsteder har oppgtt prospektet. Tl slutt oppsummeres resultatene av analysene rapporten kapttel 7. Her vl jeg også dskutere svakheter ved rapporten og forslag tl vdere analyser nnen strukturerte produkter.

10 2. Strukturerte spareprodukter 2.1 Det norske markedet Strukturerte spareprodukter ble ntrodusert Norge 1992, og var de første årene hovedsaklg rettet mot nsttusjonelle nvestorer. I 1996 kom DnB med banksparng med aksjeavkastnng som var rettet mot prvatmarkedet. De sste t årene har prvatpersoner stått for en stadg større andel av nytegnngene. Sommeren 2006 ede husholdnngene over 90 % av de utestående strukturerte produktene 4. Fgur 2.1 vser totalt utestående volum 5 av strukturerte produkter fra 2000 2006. Veksten har vært jevn og sterk nesten hele peroden, og 2005 var verden av de utestående produktene n ganger høyere enn 2000. 50 Fgur 2.1 - Utestående strukturerte produkt 45 40 35 Mllarder NOK 30 25 20 15 10 5 0 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 År Tallene fra Statstsk Sentralbyrå vser mdlertd at det har vært en stagnasjon og svak nedgang den totale verd av utestående strukturerte produkter det sste året. Samtdg har lånefnanserngsandelen fortsatt å stge. Dette er llustrert fgurene 2.2 og 2.3. Per mars 2007 er det nvestert rundt 45 mllarder garanterte spareprodukt, og andelen som er fnansert med lån har passert 75 %. I meda har eksperter 6 som Thore Johnsen, Steen 4 Tall fra Norges Banks tdsskrft Penger og Kredtt nr 3 2006. 5 Data basert på to tabeller fra Statstsk Sentralbyrå, se ltteraturlste. Tallene for 2000 er fra februar fra artkkelen tl Axelsen og Rakkestad (2000). De resterende er fra desember. For 2001 er et estmat fra Dne penger nr 6 benyttet. 6 Ulke klder; Dne Penger, Na24 og Dagens Nærngslv. Se ltteraturlste.

11 Koekebakker, Petter Bjerksund, Are Slettan og Tom Staav alle vært krtske tl lånefnanserng av slke verdpapr. Nesten uten unntak er lånerenten høyere enn produktenes forventede avkastnng. I kapttel 5 analyserer jeg seks ulke produkter der jeg blant annet estmerer forventet avkastnng med og uten lånefnanserng. Full lånefnanserng gr negatv forventet avkastnng for alle produktene. I de fleste tlfeller er det mulg å selge produktene før forfall. Tlretteleggeren vl da enten kjøpe tlbake produktet, eller fnne en annen kjøper annenhåndsmarkedet. Prospektene presserer vanlgvs at produktene er ment for nvestorer med henskt å holde produktene tl forfall. Ved salg før forfall er det kke skkert at nvestor får tlbake det garanterte beløpet. Dne Penger 7 har estmert salgsgebyret tl å være størrelsesorden 0.5 2 %. 50 Fgur 2.2 - Utvklngen utestående ndekserte oblgasjoner Fgur 2.3 - Andel lånefnanserte ndekserte oblgasjoner 80 % Verd mllarder kroner 45 40 35 30 Andel lånefnansert 75 % 70 % 65 % 60 % 55 % 25 des.05 mar.06 jun.06 sep.06 des.06 mar.07 Samlet verd garanterte produkt Verd av lånefnansert 50 % des.05 mar.06 jun.06 sep.06 des.06 mar.07 Andel lånefnansert Mye negatv medeomtale, mer presse opplysnnger prospektene og msfornøyde kunder er trolg noen av årsakene tl salget at strukturerte produkter kke vokser lke raskt som før. Dne Penger hjelper for tden msfornøyde kunder med å kjøre sak mot utstederne Bankklagenemda. Dersom de når frem med en klage, vl nok den etterfølgende negatve mededeknngen redusere nysalget av slke produkt betraktelg. Personlg tror jeg at toppen er nådd både for det totale salget og andelen som er lånefnansert. 7 Dne Penger 4/2006

12 2.2 Ltt mer om produktene Garanterte produkter består av en skker og en uskker del. Den skre delen er enten en nullkupongsoblgasjon eller et banknnskudd som garanterer at du får tlbake hele, mer enn hele eller deler av det nvesterte beløpet. Banknnskuddet er skret gjennom Bankenes Skrngsfond for opp tl 2 mlloner kroner. Selv om banken går konkurs vl du lkevel få tlbake nnskuddet. Hvs det garanterte elementet er en nullkupongsoblgasjon vl eeren være vanlg kredtor, og kredttrskoen tl utsteder må tas hensyn tl. Majorteten av produktene garanterer at nvestor får tlbake hele det nvesterte beløpet, fratrukket tegnngsgebyr, ved forfall. Noen produkter har høyere eller lavere kaptalgarant, vanlgvs mellom 90 % og 110 %. En alternatv struktur på nnskuddet er å garantere 90-110 % av pålydende og utstede produktet tl overkurs. I prospektene refereres det gjerne tl begrepet emsjonskurs, som er summen av pålydende og overkursen. Dersom overkursen er 5 % vl du betale nn 105 kroner og du er typsk garantert å få tlbake 100 kroner ved forfall. Nedsden produktene er begrenset, sden det eneste du rskerer å tape er avkastnng ved alternatv plasserng av pengene. Dette er forlokkende for mange små prvate nvestorer. Et sentralt spørsmål rapporten er å vurdere om nvestor har for høy betalngsvlje for denne skkerheten. Verden av å motta 100 kroner om 5 år er dag rundt 80 kroner, dersom v antar en rskofr rente på 4.5 %. Hvs tlbyder kke opererer med andre gebyrer vl det da være 20 kroner gjen per hundrelapp tl å kjøpe rskable verdpaprer som skal skre kunden postv avkastnng dersom underlggende går rett ve. Den høye etterspørselen etter strukturerte produkter gjør at bankene har sett mulgheten tl å tlby stadg mer eksotske strukturer. Tdlgere var den uskre delen knyttet tl avkastnngen på en eller to kjente utenlandske aksjendekser. I dag kan nvestor velge mellom produkter som har kraft-, valuta-, råvare- eller rentekontrakter som underlggende. Lkevel er fortsatt aksjendeksoblgasjoner mest utbredt. Noen tlbydere har opsjoner på selvkomponerte porteføljer eller aksjekurver bestående av 10-25 aksjer, mens andre velger en kurv av kjente ndekser. I denne rapporten vl jeg hovedsak undersøke strukturerte produkter med aksjendekser som underlggende, men noen av de andre strukturene vl også bl analysert. Produktene markedsføres ofte med mulghet for aksjeavkastnng. I realteten er kke dette det samme som avkastnngen aksjemarkedet. Aksjendekserte oblgasjoner tlbyr avkastnng fra en prsndeks som kke justerer for utbytte. Avkastnngen tl ndeksen er derfor lavere enn

13 avkastnng fra nvesterng drekte en portefølje av selskapene ndeksen. Slke prsndekser er mest vanlg, men det fnnes også avkastnngsndekser slk som tyske Dax-ndeksen, der utbytte automatsk renvesteres. Forskjellen gjør at en prsndeks kke vl vokse lke raskt som en avkastnngsndeks. Konsekvensen av dette er at høye utbytter typsk reduserer verden av opsjonselementet, og eeren av en aksjendeksert oblgasjon kommer dårlgere ut enn om utbyttene var lave. Alle de fre analyserte aksjendeksoblgasjonene rapporten har prsndekser som underlggende. I de aller fleste strukturerte produkt er det en eller flere opsjoner som skal g kunden mulghet tl god avkastnng. Kompleksteten slke opsjoner varerer, og pressjonen verdanslaget på opsjonen reduseres ofte ved økende grad av komplekstet. En stor andel av opsjonselementene de strukturerte produktene som tlbys markedet dag har ngen closedform soluton eller lukket løsnng, hvlket vl s at v kke kan prse de ved kjente formler. I slke tlfeller kan v gjerne bruke closed-form approxmaton, altså bruk av prsngsformler selv om kke alle forutsetnngene er oppfylt. Tlnærmngsmetodene kan g verder som avvker betydelg fra vrkelg verd. Andre ganger vl forutsetnngene som er brutt kke være av særlg betydnng for prsngsresultatet. En alternatv framgangsmåte er å prse opsjonene ved Monte Carlo smulerng. Denne metoden drøftes kapttel 3. Et sentralt poeng som jeg vl trekke frem flere ganger rapporten er at resultatene v kommer frem tl basert på modeller eller formler kun er rmelge dersom de verdene v putter nn er fornuftge. Verdestmatene mne stor grad vl være gjenstand for dskusjon, sden det er mange uskre verder som må estmeres for å kunne verdsette opsjonselementene. Varablene blr hovedsak estmert ut fra hstorske data, og v har ngen garant for at hstorske data er representatv for fremtden. De vktgste varablene er volatlteten tl underlggende, korrelasjoner mellom ulke underlggende ndekser, nnenlandsk- og utenlandsk rentenvå og dvdenderaten tl underlggende. Estmatene mne baseres på de nputvarablene jeg mener er mest realstske. For å kunne vurdere hvor følsom prsen er forhold tl de verdene jeg har valgt, vl jeg gjennomføre senstvtetsanalyser på de mest sentrale varablene.

14 2.3 Oppbyggng og verdsettelse av strukturerte produkter I dette avsnttet presenteres det formelt hvordan en aksjendeksoblgasjon er satt sammen. Denne delen er stor grad basert på artkkelen Aksjendekserte oblgasjoner både pose og sekk? av Bjerksund, Carlsen og Stensland (1999). Den uskre delen består de fleste tlfeller av en eller flere eksotske opsjoner, som gjør det krevende eller umulg å komme frem tl korrekt verd. Ofte er opsjonene knyttet tl et artmetsk gjennomsntt av avkastnngen på flere ndekser (basket optons), sluttverden beregnes som et artmetsk gjennomsntt av kursutvklngen mot slutten av løpetden (artmetsk asatsk hale) og opsjonene har vanlgvs ngen valutaeksponerng (quanto-opsjoner). I tllegg kan opsjonene ha knock-out eller lock-n element seg. V antar at q(0) og q ~ (t) er verden på underlggende ndeks ved henholdsvs tdspunkt 0 og t. Ved forfall er ndeksverden en uskker varabel. Aksjendeksoblgasjonen betaler kke rente før forfall, og sden nvestor er garantert å få tlbake nnbetalt beløp kan den fremtdge ~ verden av aksjendeksoblgasjonen B ( T ) uttrykkes som ~ q~ ( T ) q(0) B ( T ) = B (0) 1 + Max, 0 (2.1) q(0) Dette kan også uttykkes slk: ~ ( T ) B(0) + (2.2) q(0) B = B( 0) Max[ q~ ( T ) q(0),0] Det første leddet på høyre sde (2.2) er det opprnnelge beløpet som er garantert å bl tlbakebetalt. Det andre leddet kan tolkes som B(0) q(0) europeske call opsjoner med ndeksen som underlggende, der hver opsjon har forfalltdspunkt T og strke q(0). I verdsettelsen antar jeg verdaddtvtet, hvlket vl s at verden av en kombnasjon av fnanselle aktva er lk summen av verden av hvert enkelt aktvum. V kan derfor verdsette den rskofre plasserngen og opsjonselementet hver for seg. Matematsk kan dette formuleres slk:

15 V [ ~ B(0) B( T )] V [ B(0) ] + V [ Max( q ~ ( T ) (0),0)] = 0 0 (2.3) q(0) 0 q hvor V 0 [ ] er dagens markedsverd. Første leddet er markedsverden av det garanterte beløpet. Denne fnnes ved å dskontere det garanterte beløpet med rskofr renter (eventuelt rt med en kredttrskopreme) peroden frem tl forfall T. Dette gr V [ B(0) ] e (0) =. 0 B Det andre leddet på høyre sde lgnng (2.3) er verden av call opsjonen. Noen strukturerte produkter har put opsjoner eller både put og call opsjoner som underlggende. Da må v justere lgnng (2.3) for å ta hensyn tl dette. De strukturerte spareproduktene som vurderes denne rapporten har avkastnnger som er drekte knyttet tl en fremtdg observert ndeksverd. Dette betyr at dersom avkastnngsfaktoren er 100 % og den utenlandske ndeksen stger med 10 %, vl avkastnngen på call opsjonen være 10 % uavhengg av hvordan valutakursen norske kroner per utenlandsk valuta har utvklet seg. Investor har derfor ngen valutarsko. Opsjonen på den underlggende ndeksen kan ses på som et uskkert kvantum og kalles gjerne quantos fnansltteraturen. V kan også skrve lgnng (2.3) som V 0 [ ~ rt B(0) ] [ ( ~ B( T ) = e B(0) + V Max q( T ) q(0),0)] q(0) 0 (2.4) hvor q ( 0) og q ~ ( T ) er verden av ndeksen notert utlandet henholdsvs på tdspunkt 0 og T. Neste steget verdsettelsen er å fnne termnprsen for en fremtdg utbetalng på q ~ ( T ) norske kroner. Termnprsen norske kroner tar hensyn tl at avkastnngen tl ndeksen kke nkluderer utbytte fra selskapene. Denne termnprsen er gtt ved lgnng (2.5). F r T [ q ~ ( ) ( T ) ] q(0 e δ 0 ) = (2.5) Her kan v tolke δ som rate of return shortfall eller mplstt dvdenderate, og er gtt ut fra følgende lgnng δ δ + ( r r ) + c (2.6)

16 I lgnng (2.6) er r nnenlandsk rente, r renten utlandet og δ er dvdenderaten tl den utenlandske ndeksen. c er defnert ved c T = Cov 0 S ln S ( T ) q~ ( T ), ln. Her er S (T) (0) q (0) den fremtdge valutakursen og S (0) er dagens valutakurs. Dette vser at samvarasjonen mellom de logartmske avkastnngene tl den utenlandske ndeksen og tlhørende valutakurs spller nn gjennom den mplstte dvdenderaten. Fra lgnng (2.6) ser v at rentedfferansen mellom Norge og utlandet nngår den mplstte dvdenderaten. Grunnen tl dette er at når v kke har valutaeksponerng foretas det en mplstt avkastnngswap, der hjemmerente byttes mot utenlandsrente. Hvs den norske renten er høyere enn utenlandsrenten, forventes det at den utenlandske valutaen vl styrke seg forhold tl den norske kronen. En slk postv rentedfferanse og høy korrelasjon mellom avkastnngene tl ndeksen og den tlhørende valutakursen vl begge g høyere mplstt dvdenderate. Senere vl jeg vse at en høyere mplstt dvdenderate vl typsk g lavere verd på opsjonselementet. Dette gjelder både ved prsng etter Black 76 opsjonsprsngsformel og ved prsng basert på Monte Carlo smulerng. En annen sentral nputvarabel opsjonsprsngen er volatlteten σ. Volatlteten er uavhengg av uskkerheten knyttet tl valutakursen, sden avkastnngen er uavhengg av valutakursendrng. Dette gjør at volatlteten er lavere uten valutarsko enn med, bortsett fra de tlfeller der avkastnngen tl ndeksen og valuta er sterkt negatvt korrelert. Valutarsko er derfor de aller fleste tlfeller ønskelg for en opsjonseer. Volatlteten er defnert ved ~ 2 q ( T ) σ T = Var ln 0 (2.7) q (0) Dersom v antar at forutsetnngene bak Black 76 formelen holder (se avsntt 2.4) kan markedsverden av den aksjendekserte oblgasjonen uttrykkes ved: V [ ~ rt δt rt B( T )] = e B(0) + B(0) [ e N( d ) e N( )] 0 1 d 2 (2.8) hvor N( ) er den kumulatve sannsynlghetsfunksjonen tl standard normalfordelngen og

17 d 1 1 2 ( r δ + σ ) T = 2, d 2 = d 1 σ T σ T (2.9) Hvs opsjonselementet aksjendeksoblgasjonen er av europesk type kan v benytte Black 76 formelen gtt ved lgnng (2.8) tl å fnne prsen på aksjendeksoblgasjonen. Dessverre er det de aller fleste tlfeller kke standard europeske opsjoner strukturerte produkter, og v kan kke prse opsjonene ved å benytte lgnng (2.8) drekte. Spread opsjoner, barrereopsjoner, og chooseropsjoner kan kke prses ved (2.8), men har egne prsngsformler. Opsjonselementene strukturerte produkter har ofte et artmetsk sntt (kurv) av flere ndekser som underlggende, og kalles gjerne basket optons. Dette gr en dversfserngseffekt, eller en slankng av volatlteten. For en aksjenvestor er det ønskelg å redusere rskoen ved å unngå å putte alle eggene en kurv. Dersom ndeksene kke er perfekt postv korrelert vl noen av ndeksene gjerne gå opp mens andre går ned. En opsjonseer har dermot begrenset nedsde og det er ønskelg med høyest mulg volatltet for å øke oppsdepotensalet. Dversfserng reduserer volatlteten og er kke fordelaktg for opsjonseere. Utstedere hevder lkevel gjerne at det er fornuftg å spre avkastnngsrskoen på flere ndekser, selv om dette reduserer verden av opsjonselementet. I så fall er nvestor bedre tjent med en portefølje av opsjoner på ulke ndekser enn en opsjon på en kurv av ndekser. Avkastnngen på en kurv av ndekser kan formuleres slk: q~ ( T ) q(0) q(0) = w q~ ( T ) q (0) q (0) (2.10) Vektene hver ndeks er gtt ved w, og summerer seg tl 1. Toppskrft ndkerer hvlken ndeks det er snakk om. Artkkelen tl Bjerksund, Carlsen og Stensland vser et appendks at den mplstte dvdenderaten δ kan fnnes ut fra (2.11) og volatlteten kan tlnærmes ved (2.12). e δt = w e ( δ + ( r r ) + c ) T (2.11)

18 σ 2 ww j σ σ j ρj (2.12) j Her er volatlteten tl hver enkelt ndeks σ og korrelasjonen mellom ndeksene ρ j defnert ved henholdsvs (2.13) og (2.14). ~ 2 q ( T ) σ T Var0 ln (2.13) q (0) j q% ( T) q% ( T) σσ jρjt Cov0 ln,ln j q (0) q (0) (2.14) Verden av en aksjendeksoblgasjon med en kurv av ndekser som underlggende kan tlnærmes ved formlene (2.8) og (2.9) over, basert på mplstt dvdenderate og volatltet gtt fra formlene (2.11) tl (2.14). En annen måte utsteder kan redusere volatlteten (og verden av produktet) er ved å bruke tdsgjennomsntt. I stedet for å beregne avkastnngen fra ndeksene kun ved forfall, kan avkastnngen beregnes ut fra et gjennomsntt over flere observasjoner. Månedlge observasjoner de 6 tl 24 sste månedene av produktets levetd er vanlg. Sluttverden tl ndeksen kan defneres ved (2.15), der M er antall observasjoner tdsperoden τ tl T. M q ~ 1 ( T ) = q ( + k t) M τ (2.15) k = 1 Avkastnngen tl en ndeks med asatsk sluttavregnng kan uttrykkes ved å sette høyresden (2.15) nn for q ~ ( T ) på venstresden av (2.16). M qt %( ) q(0) 1 q% ( τ + k t) q(0) = q(0) M q (0) k = 1 (2.16)

19 T τ Tden mellom hver observasjon er gtt ved t =, og er typsk en måned for produktene M som analyseres denne rapporten. De fleste strukturerte produkt benytter tdsgjennomsntt, og slke opsjoner kalles asatske opsjoner eller opsjoner med asatsk hale. Kemna og Vorst (1990) vste at v kan justere volatlteten og dvdenderaten ved henholdsvs lgnng (2.17) og (2.18) for å få tlnærmet rktg verd på termnprsen, og benytte Black 76 formelen fra lgnng (2.8) og (2.9) verdsettelsen. Her benyttes volatlteten tl det geometrske gjennomsnttet som en tlnærmng tl volatlteten tl det artmetske snttet. e ( r δ ) T 1 M [ r ( δ + ( r r ) + c )]( τ+ k t ) = M k= 1 e (2.17) 2 σ T 2 = σ τ + 1 6 ( T τ + t)(2( T τ ) + t) T τ (2.18) Strukturerte produkter med både kurv- og tdsgjennomsntt oppnår høyeste dversfserngseffekt og lavest volatltet. Avkastnngen på underlggende kan slke tlfeller beregnes ved lgnng (2.19) M qt %( ) q(0) w q% ( τ + k t) q(0) = q(0) M q (0) k= 1 (2.19) V kan beregne dvdenderate δ gtt mplstt fra lgnng (2.20) og volatlteten gtt mplstt fra lgnng (2.21). Med den nye justerte dvdendraten og volatlteten kan v benytte lgnng (2.8) og (2.9) tl å verdsette aksjendeksoblgasjoner med både kurv og tdsgjennomsntt. e ( r M = k= 1 w e M δ ) T [ r ( δ + ( r r ) + c )]( τ+ k t ) (2.20) 2 σ T j w w jσ σ j ρj τ + 1 6 ( T τ + t)(2( T τ ) + t) T τ (2.21)

20 Dette avsnttet har httl vst hvordan v kan fnne en tlnærmet prs på en aksjendeksert oblgasjon med en call som opsjonselement. Hvs opsjonen har tdsgjennomsntt eller består av en kurv av underlggende ndekser, må v justere mplstt dvdende og volatltet. Lgnng (2.4) vste hvordan v kan verdsette oblgasjonselementet og opsjonsdelen separat. Denne lgnngen forutsetter at 100 % av nvestert beløp (eksklusve tegnngskostnader) utbetales ved forfall. Mange produkt markedet har både høyere og lavere garant enn dette. Avkastnngsfaktoren varerer også mellom ulke strukturerte produkt. Dersom ndeksen stger 10 % og avkastnngsfaktoren er 1.2, vl nvestor få 12 % avkastnng på sn nvesterng. Investor ønsker høyest mulg garant og avkastnngsfaktor. Sden det er lte trolg at utstederne selger et produkt de forventer å tape penger på, vl det derfor være en avveng mellom garantert beløp og avkastnngsfaktor. De produktene som lokker med garantert beløp på over 100 % og høy avkastnngsfaktor har gjerne andre eksotske element som slanker volatlteten. Lgnng (2.4) kan derfor skrves om tl (2.22), der G er andelen av det nvesterte beløpet som er garantert, og AF er avkastnngsfaktoren. V 0 [ ~ rt ] [ ( ~ B( T ) = G e B(0) + AF V Max q( T ) q(0),0)] 0 (2.22) 2.4 Forutsetnnger bak Black 76 opsjonsprsngsmodell I forrge avntt vste jeg hvordan v kan prse en opsjon basert på Black 76 modellen. Dette er en versjon av Black & Scholes modellen som benyttes tl å prse termnkontrakter. Forutsetnngene bak modellene er omtrent de samme og er gjengtt under. ds 1. Aksjen (termnprsen) følger en geometrsk Brownsk bevegelse = µ dt + σdbt S 2. Det er ngen transaksjonskostnader 3. Både volatlteten σ og renten r er konstante gjennom opsjonens levetd 4. Handel underlggende foregår kontnuerlg td 5. Det er ngen arbtrasjemulgheter markedet 6. Investorer har ngen begrensnnger forhold tl shortsalg eller lånefnanserng

21 Når det gjelder den første forutsetnngen, vl denne bl forklart og dskutert kapttel 3. Den opprnglge Black & Scholes formelen forutsatte ngen dvdendeutbetalng. Black 76 modellen for prsng av opsjonselementet strukturerte spareprodukt tar hensyn tl en kontnuerlg dvdenderate. Kapttel 3 vser en alternatv metode for å prse strukturerte spareprodukt. Her benyttes Monte Carlo smulerng, som mange tlfeller kan prse eksotske opsjoner hvor closed form soluton kke er tlgjengelg. I analysedelen kapttel 4 vl jeg bruke både teoren fra dette kaptlet og Monte Carlo smulerng tl å prse strukturerte spareprodukt.

22 3. Aksjekursens bevegelse og Monte Carlo smulerng Dette kaptlet forklarer hvordan v kan modellere aksjekursens bevegelse og bruke Monte Carlo smulerng tl å verdsette opsjoner. Beskrvelsen av aksjekursens bevegelse er basert på fremstllngene tl John Hull (2006) og Kerry Back (2005). I sste del av kaptlet vl jeg presentere ulke metoder for å forbedre den tradsjonelle Monte Carlo metoden ved å benytte varansreduserende teknkker og Quas-Monte Carlo smulerng. Avslutnngsvs drøftes kort mulgheten for å modellere hopp aksjekursene. 3.1 Aksjekursens bevegelse Modellerng og forutsetnngene bak aksjekursenes bevegelse er sentralt all opsjonsprsng. I vrkelgheten skjer aksjehandel når børsene er åpne, og noen aksjer er mer omsatt enn andre. Handelen skjer altså dskret td. Aksjekursene må tllegg handles vsse enheter, for eksempel steg på 50 øre. Dette gjør at aksjekursene er en dskret varabel. Tl tross for dette modelleres aksjekurser fnansltteraturen basert på kontnuerlg handel og at aksjekursene er kontnuerlge varabler. På kort skt beveger aksjekurser seg opp og ned på en tlfeldg og usystematsk måte, noe som gjør at v modellerer kursen som en stokastsk prosess. En Markov prosess er en spesell type stokastske prosess der kun dagens verd på varabelen har betydnng for den fremtdge verden. Hvs aksjekurser kan modelleres som Markov prosesser, har den hstorske kursutvklngen ngen betydnng for hvordan den fremtdge kursen vl utvkle seg. Markov egenskapen er konsstent med en svak form for markedseffesens. Dette betyr at all offentlg tlgjengelg nformasjon er tatt hensyn tl dagens aksjekurs. En del emprske studer blant annet av Fama (1965) og (1970) tyder på at velutvklede fnansmarkeder utgangspunktet har en svak form for effesens. Dette gjør at jeg kan ta utgangspunkt en Markov prosess når jeg skal beskrve aksjekursens utvklng matematsk. En Wener prosess er en type Markov prosess, med forventet endrng på null og en varansrate på en per år. Et annet navn på slke prosesser er Brownsk bevegelse. En wener prosess z har to vktge egenskaper:

23 1. Endrngen z en kort tdsperode t er gtt ved tall trukket fra standard normalfordelngen. 2. Verden z for to ulke korte tdsntervall z = ε t, hvor ε er et tlfeldg t er uavhengge Fgur 3.1 llustrerer utvklngen en wenerprosess som starter på 100 og hvor t er en dag. Verd 130 125 120 115 110 105 100 95 90 85 80 Fgur 3.1 - Utvklng en wenerprosess Wener prosess 1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 Dager Fguren over vser at wenerprosessen beveger seg opp eller ned hver dag. Drftraten er null, og kursen varerer mellom 92 og 107 peroden. Trekker v 252 nye tlfeldge tall vl prosessen bl annerledes. Noen ganger vl wenerprosessen vse klar postv eller negatv drft på grunn av tlfeldgheter. Dersom v estmerer mange wenerprosesser vl gjennomsnttet lgge nær utgangspunktet på 100. Hvs aksjekurser fulgte en standard wener prosess, vlle ngen nvestorer ee aksjer. Grunnen tl dette er at alle aksjer da vlle hatt forventet avkastnng lk null. Neste steg er å beskrve en generell wenerprosess. En generell wenerprosess trenger kke å ha forventnng lk null og varans lk en. Ved å ta hensyn tl en postv forventet drftrate kan v lage en modell som stemmer bedre med aksjekursens utvklng. Hvs t 0, kan den standardserte wenerprosessen z skrves som dz. Den generalserte wenerprosessen kan da kontnuerlg td skves som ( x, t) dt σ ( x t)dz dx = µ +, (3.1) Første ledd på høyre sde (3.1) er drftsleddet tl prosessen, og ser noe om hvor mye prosessen forventes å stge eller falle med tdsperoden dt. Det andre leddet er støyleddet

24 σ dz, og kan eventuelt skrves som σε dt. Her er σ er størrelsen på støyen, og som multplseres med en standard wenerprosess. Dersom σ er stor, vl v ha større svngnnger aksjekursene fra dag tl dag. Den generalserte wenerprosessen forventes å svnge rundt drftsleddet, mens en standard wenerprosess forventes å svnge rundt startverden tl prosessen. Dette er llustrert fgur 3.2, med µ = 0. 25 og σ =1. 7. Den blå kurven vser at den generalserte wenerprosess svnger rundt forventnngslnjen med stgnng 0.25 per dag. Den røde kurven er en standard wenerprosess med forventet drft lk null. Verd 180 170 160 150 140 130 120 110 100 90 80 Fgur 3.2 - Generalsert Wenerprosess Wener prosess med drft Forventet verd Standard wener prosess 1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 Dager Den blå prosessen fgur 3.2 gr en bedre beskrvelse av aksjeprsens bevegelse enn den standardserte wenerprosessen. Den har lkevel en betydelg mangel. Aksjekursene kan bl negatve, og dette er strd med at aksjonærer har begrensede forplktelser. En aksje kan kke bl mndre verdt enn null. Løsnngen er å benytte en prsprosess der drften og volatlteten er proporsjonal med aksjekursen S. At forventet avkastnng er proporsjonal med aksjekursen vrker rmelg. En nvestor vl kreve samme forventet avkastnng prosent uavhengg av om kursen er 5 eller 100 kroner. Lgnng (3.2) tar hensyn tl at både forventnng og volatltet er proporsjonal med aksjekursen S. Dette kalles en geometrsk Brownsk bevegelse. ds = µ Sdt + σsdz (3.2) Dersom v deler begge sder lgnng (3.2) på S, får v den prosentvse avkastnngen peroden dt: ds = µ dt + σdz (3.3) S

25 Emprske observasjoner av daglge logartmske aksjeavkastnnger vser at de er tlnærmet normalfordelte. Dette betyr at aksjekursen er lognormal fordelt. Itô s lemma er vktg verktøy stokastsk analyse, og ble oppdaget av matematkeren K. Itô 1951. Anta at en varabel x er gtt ved prosessen dx = µ ( x, t) dt + σ ( x, t) dz (3.4) Denne prosessen kalles en Itô prosess. Her er dz en wenerprosess og der drftraten µ og volatlteten σ er funksjoner av x og t. Itô s lemma vser at en funksjon G av x og t følger prosessen G G dg = µ + + x t 1 2 G 2 G σ dt + σdz 2 x x (3.5) Dersom v defnerer G = ln S, det vl s at dg er den logartmske avkastnngen tl aksjen, kan v ved Itô s lemma vse at 2 σ dg = d(ln S) = µ dt + σdz 2 (3.6) Lgnng (3.3) og lgnng (3.6) er følge Back (2005) ekvvalente. Neste steg er å løse lgnng ln (3.6) for S. V ntegrerer og bruker at e S = S gtt ved den geometrske Brownske bevegelsen. Aksjeprsen på et vlkårlg tdspunkt t er da St 0 2 σ µ t + σdz 2 = S e (3.7) Lgnng (3.7) kan også skrves på dskret form. Aksjekursen på tdspunkt t + t er gtt ved S t+ t = S e t 2 σ µ t 2 + σε t (3.8)

26 Lgnng (3.8) danner grunnlaget for Monte Carlo smulerngen. Før v går over tl dette må konseptet rskonøytral verdsettelse ntroduseres. I kapttel 2 så v hvordan opsjonselementet aksjendeksoblgasjoner kunne prses ved Black 76 formelen. Her benyttet v rskonøytral verdsettelse uten å pressere det. Gtt at forutsetnngene avsntt 2.4 holder, kan Black- Scholes-Mertons (BSM) dfferensallgnng fra lgnng (3.9) utledes. En fullstendg utlednng vses kke her, men utledngen bygger på at opsjoner han hedges ved å kjøpe delta antall aksjer, låne penger banken for å fnansere aksjekjøpet, og rebalansere kontnuerlg. Det er da mulg å oppnå en rskofr portefølje. For at det kke skal oppstå arbtrasjemulgheter må en slk rskofr portefølje g avkastnng lk rskofr rente. For utlednng av (3.9), se for eksempel Björk (1998). BSM lgnngen er gtt ved f t f + rs S 2 1 f + σ 2 2 S = rf 2 (3.9) 2 S Løsnngen av denne lgnngen avhenger av grensebetngelsene tl den enkelte opsjon som v ønsker å prse. Det var denne lgnngen Black og Scholes (B&S) brukte for å utlede sn velkjente formel for prsng av europeske kjøpsopsjoner. Verken B&S sn formel eller BSM lgnngen nneholder aksjens forventede avkastnng µ, og de er derfor uavhengge av rskopreferanser. Rskonøytral verdsettelse forutsetter kke at nvestorene er rskonøytrale. Når v beveger oss fra en rskonøytral verden tl en rskoavers verden skjer to tng. Både forventet avkastnng og dskonterngsrenten tl avkastnngen endres. Heldgvs slår dsse to effektene hverandre hel, og v kan verdsette opsjoner basert på rskonøytral verdsettelse. Hvs v benytter lgnng (3.8) tl å verdsette opsjoner ved Monte Carlo smulerng må v estmere aksjens forventede avkastnng µ. Heldgvs er det en ve ut av dette problemet. I følge Øksendal (2003) kan v benytte Grsanov teorem på lgnng (3.2). Dersom v tllegg tllater at aksjer kan utbetale en kontnuerlg dvdenderate δ, kan lgnng (3.2) skrves som ( r δ ) Sdt + σsdz ds = ~ (3.10) Den nye prosessen (3.10) har nå drftrate (r-δ ) og wenerprosess d ~ z. Volatlteten σ endres kke. Sannsynlghetsmålet tl prosessen har også endret seg fra det subjektve

27 sannsynlghetsmålet P tl det ekvvalente martngalmålet Q. Dette betyr at v kan bruke rskonøytral smulerng av aksjeprser tl å prse opsjoner ved å bruke (3.10), og dskontere avkastnngen ved forfall med rskofr rente. Ut fra samme fremgangsmåte som tdlgere kan aksjeprsens utvklng dskret td under rskonøytral verdsettelse skrves som S t+ t = S e t 2 σ 2 ( r δ ) t + σε t (3.11) 3.2 Monte Carlo smulerng Monte Carlo smulerng ble første gang benyttet 1930 nnen fyskk tl å beregne nøytronenes egenskaper. Da de elektronske datamasknene kom etter andre verdenskrg ble Monte Carlo metoder populære nnen forskjellge forsknngsfelt som fyskk, kjem og matematkk. Phelm Boyle var den første som brukte Monte Carlo smulerng tl å prse opsjoner 1977. Boyle ntroduserte også varansreduserende teknkker samme artkkel. Etter hvert som datamasknene har bltt kraftgere og programmerngsspråkene mer effektve har Monte Carlo smulerng fått en stadg større utberedelse nnen fnans og opsjonsprsng. 3.2.1 Generelt om Monte Carlo smulerng Opsjonsprsng ved Monte Carlo smulerng er en mye brukt opsjonsprsngsmetode både akadema og fnansbransjen. Mange eksotske opsjoner har ngen kjente closed form soluton. Lgnng (3.11) kan benyttes tl å smulere en prsbane tl underlggende over løpetden og beregne opsjonens avkastnng ved forfall. Tl slutt dskonteres opsjonsverden ved forfall med rskofr rente tlbake tl verdsettelsestdspunktet. Ved å gjenta smulerngen mange ganger og beregne gjennomsnttet av de dskonterte utfallene fnner v Monte Carlo estmatet på opsjonsprsen. I følge Glasserman (2003) vl den sterke talls lov skre at estmatet vl konvergere mot rktg verd når antall smulernger øker. Sentralgrensesetnngen gr nformasjon om størrelsen på felestmatet ved et endelg antall smulernger. Felestmatet tl Monte Carlo smulerngene er tlnærmet normalfordelt med σ f forventnng 0 og standardfel, der σ f er standardavvket tl hver enkelt smulerng og n n er antall smulernger. Kvalteten på estmatet øker derfor med flere smulernger, og med en

28 konvergerngsrate på O ( / n ) 1. Dersom v vl halvere felestmatet må v fredoble antall smulernger. En reduksjon felestmatet tl en tdel krever at v multplser antall smulernger med hundre. En europesk kjøpsopsjon betaler ut max[0, S t - S 0 ] ved forfall. I dette tlfelle vl en smulerng kreve at v kun trekker et tlfeldg tall mellom null og en og deretter transformerer tallet tl et tlfeldg standard normalfordelt tallε. Monte Carlo smulerng av europeske opsjoner betyr at v kke har behov for å smulere hele prsbanen slk som fgur 3.2, men kun aksjekursen ved forfall. For asatske og andre st-avhengge 8 opsjoner må hele eller deler av prsbanen smuleres. Da trekkes flere tlfeldge tall per smulert prsbane, noe som gjør smulerngen mer tdkrevende. Lkevel er det slke tlfeller at Monte Carlo smulernger kommer tl sn rett. Matematsk sett handler Monte Carlo smulerng om å beregne multdmensjonale ntegral. Innen opsjonsprsng beskrver Jäckel (2002) dmensjonen tl slke ntegral som d = k l, hvor k er antall aktva som underlggende og l er antall tdssteg v må smulere. Felestmatet tl Monte Carlo smulerngen er uavhengg av dmensjonen problemet. Dette gjør at Monte Carlo smulerng høye dmensjoner er overlegen forhold tl lattce metoder, sden felestmatet tl sstnevnte øker med antall dmensjoner. Mange st-avhengge opsjoner kan kke prses ved enkle formler, men det er mulg å estmere opsjonsverden ved smulerng. De fleste opsjonene denne rapporten er st-avhengge. 3.2.2 Eksempel på opsjonsprsng ved Monte Carlo smulerng I analysedelen kaptlene 4 og 5 vl Monte Carlo smulerng benyttes tl å verdsette opsjonselementene de strukturerte produktene. Jeg bruker Vsual Basc som programmerngsspråk, selv om dette språket er tregere enn for eksempel C++. Monte Carlo smulerng kan llustreres ved å prse en spread opsjon. Denne opsjonen gr en utbetalng lk dfferanseavkastnngen mellom verden tl ndeks 1 og ndeks 2 ved forfall, hvs denne er postv og null ellers. V antar at begge ndeksene starter på 100 dag, og at v kke har noen asatsk hale. En slk opsjon kan da verdsettes med Margrabe s formel for bytte et aktvum 8 En stavhengg opsjon har utbetalng ved forfall som avhenger av utvklngen aksjekursen før forfall.

29 med et annet. Opsjonen dette eksempelet er basert på opsjonselementet Storebrand Spread som verdsettes kapttel 4, men uten den asatske halen. 13,5 Fgur 3.3 - Verdsettelse av Spread opsjon 13,0 12,5 Monte Carlo smulerng Margrabes formel Prs 12,0 11,5 11,0 100 1 000 5 000 10 000 50 000 100 000 1 000 000 Antall smulernger Fgur 3.3 vser Monte Carlo estmatet for forskjellge antall smulernger sammenlgnet med den korrekte verden fra Margrabe s formel (11.898). 100 smulernger gr et estmat på 13.08, noe som er ca 10 % for høyt. Ved 1000 smulernger er prsen 11.16, omtrent 6 % lavere en korrekt verd. Flere smulernger gjør at den estmerte verden konvergerer korrekt verd. Benyttes 50 000 smulernger er estmat 0.7 % for lavt. Ved mllon smulernger er det kke lenger mulg å se forskjell på den smulerte og korrekte verden fguren. Her er den smulerte verden rundt 0.01 % for høy. Monte Carlo metoden kan g betydelge avvk fra korrekt verd ved få smulernger. Derfor er det vktg å konstruere en Monte Carlo modell som er rask og effektv, slk at v kan prse komplekse produkter med stor grad av skkerhet på relatvt kort td. 3.2.3 Smulerng av korrelerte aktva Mange av opsjonselementene strukturerte produkter består av en kurv med flere ulke aktva som underlggende. For å kunne prse denne typen opsjoner må v ta hensyn tl at aktvaene kan være postvt eller negatvt korrelerte. Første steg er å estmere korrelasjonsmatrsen tl aktvaene kurven. Dette kan for eksempel gjøres ved å beregne korrelasjonen mellom daglge logartmske avkastnnger for hver ndeks fra hstorske data. I denne llustrasjonen vl jeg benytte tre aktva. Fremstllngen er da mest oversktlg på matrseform, og er basert på Koekebakker og Zakamoulne (2006) og Back (2005). V får da en korrelasjonsmatrse gtt ved (3.12). Elementene langs hoveddagonalen er lk en, sden dsse elementene angr aktvumets korrelasjon med seg selv.

30 1 ρ ρ 12 13 1 Σ= 21 23 ρ ρ 31 32 ρ ρ 1 (3.12) For hver av de tre ndeksene må v smulere en prsbane gtt ved lgnng (3.8). Dersom aktvaene er ukorrelerte kan v smulere tre ukorrelerte prsbaner og beregne opsjonens avkastnng ved forfall. Det er lte sannsynlg at aktvaene ndeksene er ukorrelerte. En metode for å smulere korrelerte aktva er å anvende en Cholesky dekomponerng før smulerngen. V må da regne ut en nedre trangulermatrse, som lgnng (3.13). Den nedre trangulærmatrsen C, må oppfylle kravet T C C =Σ, der toppskrft T betyr transponert. På matrseform kan dette kravet formuleres som lgnng (3.14). Beregnngen av trangulærmatrsen bygger på at v løser ut for en og en varabel av gangen. Løsng av smultane lgnngssystem er krevende, men heldgvs er VBA koden tl Cholesky dekomponerngen strukturert på en slk måte at det kke oppstår problemer knyttet tl dette. c 0 0 C c c 11 = 21 22 0 c c c 31 32 33 (3.13) c11 0 0 c11 c21 c31 1 ρ12 ρ13 c c 0 0 c c = ρ 1 ρ 21 22 22 32 21 23 c31 c32 c 33 0 0 c 33 ρ31 ρ32 1 (3.14) Dette er kun mulg dersom Σ matrsen er postv semdefntt. Ved estmerng av store korrelasjonsmatrser er kke dette alltd tlfelle, og v kan for eksempel få problemer med å smulere en kurv bestående av 10-20 underlggende ndekser dersom korrelasjonsmatrsen kke er postv semdefntt. I en slk stuasjon kan det være bedre å benytte en Sngular Value Decomposton (SVD) på korrelasjonsmatrsen stedenfor Cholesky dekomponerngen. Dette er utenfor rammen av denne rapporten, men se for eksempel Dahl og Benth (2001) for anvendelse av SVD på Quas-Monte Carlo smulerng av opsjonsprser.

31 For hvert tdspunkt t k v ønsker å smulere må v trekke tre tlfeldge tall, ett for hver at de tre ndeksene og transformere dsse tl standard normalfordelte tlfeldge varabler ξ t ). Bunnskrft ndkerer hvlken ndeks det er snakk om. Endelg kan v fnne de korrelerte tlfeldge standard normalfordelte varablene ε t ) fra lgnng (3.15) ( k ( k ε1( tk) c11 0 0 ξ1( tk) ε ( t ) = c c 0 ξ ( t ) 2 k 21 22 2 k ε3( tk) c31 c32 c 33 ξ3( tk) (3.15) V bruker nå ε t ) Monte Carlo smulerngen for hver av de tre ndeksen basert på lgnng ( k (3.8). En call opsjon med en kurv av tre underlggende ndekser og asatsk hale kan da for hver smulerng beregnes som 3 forfall start S S C = max w ;0 start (3.16) = 1 S hvor w representerer vektene tl den enkelte delndeks, start S er startverden tl ndeksen, og forfall S er det artmetske gjennomsnttet av M antall observasjoner slutten av produktets levetd. I kapttel 4 brukes Vsual Basc tl å beregne Cholesky dekomponerngen, for kldekode se appendks A.1 3.2.4 Klarer datamaskner å generere tlfeldge tall? Kjernen Monte Carlo smulerng er å trekke tlfeldge standard normalfordelte tall ε. Dette gjøres vanlgvs to operasjoner. Først trekkes tlfeldge tall mellom null og en fra en unform fordelng, og deretter transformeres de tl standard normalfordelte tall. Her drøftes kort den første delen. Jäckel (2002) bruker et eget kapttel på dette. Alle tlfeldge tall trukket av en datamaskn kommer fra en determnstsk algortme. Dette gjør at alle tlfeldg tall generatorer kke genererer tall som er helt tlfeldge, og blr ltteraturen ofte referert tl som pseudorandom numbers. Mange matematkere har forsket på dette og resultatet er at noen generatorer er bedre enn andre. Excel/VBA sn generator med 1000 tlfeldge tall to dmensjoner er llustrert fgur 3.4a. Denne fguren vser det som er typsk for slke