Ekskt løsning Newtons metode - Integrsjon Forelesning i Mtemtikk TMA00 Hns Jko Rivertz Institutt for mtemtiske fg 0. septemer 0 Kpittel.7. Newtons metode Den ekskte løsningen v x x = 0er ikke særlig rukelig og heller ikke forståelig. x = + i + + i x = + i ( + i + i + i ) + i x = + i ( + i i + i ) + i 5 Newtons metode Newtons metode er en itertiv metode for å løse likninger på formen f (x) =0 : x x = 0 Tilnærmings skjem (Newtons metode) Vi velger å finne tilnærmet løsning v f (x) =0: Først gjetter vi på en løsning x Så finner vi lineriseringen v f (x) i x = x : L(x) =f (x )+f (x )(x x ) Newtons itersjonsformel Newtons itersjonsformel for å løse f (x) =0ergittved x n+ = x n f (x n) f (x n ) Newtons itersjons-prosess er Velg x Vi løser L(x) =0ogkllerløsningenx : x = x f (x ) f (x ) Vi fortsetter med punkt og inntil vi er fornøyde. x = x f (x ) f (x ) x = x f (x ) f (x ) x = x f (x ) f (x ) 5 x 5 = x f (x ) f (x ). x x x x 7 9 Det gyldene snitt Antideriverte Det gyldene snitt φ er den største løsningen v x x = 0Bruk newtons metode for å finne φ. Newtons itersjnsformel: x n+ = x n x n x n x n Gjetter x =. x = x + x =,7 x = x + x =,9079 x = x + x =,808 x 5 = x + x =,80989 x = x 5 + x5 =,80989 = x n + x n Kpittel.8. Antideriverte (Antiderivert) Funksjonen F (x) klles for en ntiderivert v f (x) på intervllet I hvis F (x) =f (x) for lle x iintervlleti. Teorem Hvis F(x) er en ntiderivert v f (x) på intervllet I så vil lle ntideriverte v f (x) på intervllet I være F (x)+c
0 Tell over noen ntideriverte Funkjson f (x) Antiderivert F (x) 0. f (k x) k F (k x)+c. x n n+ x n+, n + C. cos x sin x + C. sin x cos x + C. /cos x tn x + C 5. /x ln x + C, x 0. e x e x + C 7. / x sin x + C, x < 8. /( + x ) tn x + C 9. /( x x ) sec x + C, x > Lineritet Regel (Lineritet) Funkjson f (x) Antiderivert F(x). Konstnt multippel kf(x) kf(x)+c. Sum f (x) ± g(x) F (x) ± G(x)+C Finn den ntideriverte til f (x) =e x cos x på løsning v enkel differensillikning Finn y = f (x) slik t dx =, y(0) =. + x Antideriverte og differensillikninger Hver løsning definert på et intervll I v differensillikningen = f (x) er en ntiderivert v f (x). dx Dvs y = F (x)+cergenerell løsning v y = f (x). y = sin x + C, x < utgjørlleløsningenev differensillikningen dx = x Anvendelse C 50 meter fr kken står Glileo Glilei i det skjeve tårn i Pis og slipper to knonkuler. De treffer kken smtidig, men etter hvor mnge sekunder? 5 Anvendelse Løsning C 50 meter fr kken står Glileo Glilei i det skjeve tårn i Pis og slipper to knonkuler. De treffer kken smtidig, men etter hvor mnge sekunder? Tyngdens kselersjon er g = 9,8 m/s. Den deriverte v frten er v = g. v(t) er en ntiderivert v v (t) =g: v = gt+ C, v(0) =0gir C = 0. Frt er den deriverte v strekning: v(t) =s (t). s(t) er en ntiderivert v s (t) =v(t): s = gt + C, s(0) =0 gir C = 0. Den inverse v s(t) = gt er t(s) = s g. Regner ut t(50) = 50 9,8, sekunder. Uestemt integrl L F (x) være den ntideriverte v f (x). DkllerviogsåF (x) for det uestemte integrlet v f (x): F (x) = f (x) dx Notsjonen F (x) = f (x) d x estår v integrltegn, integrnd og integrsjonsvriel. 7 Eksempler på uestemt integrl e x dx =? (x x + ) dx =? ( ) x + cos x dx =? Kpittel 5.. Estimering med endelige summer
9 0 Areltilnærming Vi ønsker å finne relet til et område. Vi kn finne relet til området ved å dele området inn i små firknter og telle opp firkntene. 5 Nøyktigheten vhenger v ntll firknter. Arel Arelet v et rektngel med redde og høyde h er lik A = h. h Arelet er lik = 8. Areler v smmenstte områder. Arelet v ikke-overlppende smmenstte områder er lik summen v relet v hvert v områdene. A A A = A + A Finn relet v 0 firknter hver med redde og der høyden er,,, etc: 5 7 8 9 0 Arelet er + + + + 5 + + 7 + 8 + 9 + 0 = 55. Finn relet v området under en kurve Arel y 8 y = f (x) x x x x x5 x x7 x8 8 f (x i ) x Smplingspunkter Tilkelgt strekning - prolemer Strekning = frt tid Vi ønsker å estimere tilkelgt strekning når vi kjenner frten ved noen tidspunkter. Tid, s Frt, m/s t = 0 v =,,0,,0,5 5,0,,0 5, 8,0 5, 5 t t t t t 5 5 7 8 Tilkelgt strekning eregnet ved å ruke venstre endepunkt regel 5 v i t i =, +, +,5 +, + 5, = 9,. Tilkelgt strekning eregnet ved å ruke høyre endepunkt regel 5 v i+ t i =, +,5 +, + 5, + 5, =,. Tilkelgt strekning eregnet ved å ruke venstre endepunkt regel 5 v i t i =, +, +,5 +, + 5, = 9,. Tilkelgt strekning eregnet ved å ruke høyre endepunkt regel 5 v i+ t i =, +,5 +, + 5, + 5, =,. Kpittel 5.. Sigm-notsjonen og Riemnnsummer
8 Summenotsjon Med i mener vi summen + + + + n + n For eksempel er 0 i = + + + + 5 + + 7 + 8 + 9 + 0 = 55 9 Summenotsjon Vi trenger ikke l i strte med For eksempel er 0 i = 5 + + 7 + 8 + 9 + 0 = 55 i=5 0 Regneregler for summer ( k ± k )= k ± k c k = c k c = nc ( Riemnn -sum) L f (x) være en funksjon definert på [, ] [, ] oppdelt i n intervller v lengde x = n. Ett smplingspunkt i hvert delintervll: x, x, x,...,x n Kpittel 5.. Bestemt integrl (Bestemt Integrl) L f (x) være en funksjon definert på [, ] og l R n = f (x i ) x Summen x R n = klles for en Riemnn-sum. f (x i ) x D er integrlet v f (x) på intervllet [, ] f (x) dx = lim n R n Direkte utregning v integrlet Finn det estemte integrlet cdx Finn det estemte integrlet Du vil få ruk for k = xdx 0 n(n + ) Direkte utregning v integrlet Finn det estemte integrlet Du vil få ruk for k = x dx 0 n(n + )(n + )
7 8 9 Midtpunktsregelen. Egenskper til estemt integrl er Midtpunktsregelen er en metode for å estimere et estemt integrl. x i er midtpunktet til [x i, x i ]. f (x) dx f ( x i ) x (Midtpunktsregelen med n = ) Bruk midtpunktsregelen med n = tilåestimere x dx. cdx = c ( ). når c er en konstnt (f (x) ± g(x)) dx = f (x) dx ± g(x) dx cf(x) dx = c f (x) dx, når c er konstnt. c f (x) dx + c f (x) dx = f (x) dx f (x) dx = f (x) dx f (x) dx = 0 Løsning: x = 9/8, x = /8, x = /8, x = 5/8 og x =. x dx x x + x x + x x + x x = 9 + + + 5 = 0,9 0 Smmenliknings-egenskper Hvis f (x) 0 på [, ] så er f (x) dx 0. Hvis f (x) g(x) på [, ] så er f (x) dx g(x) dx. Hvis m f (x) Mpå[, ] så er. m( ) f (x) dx M( )