4 110
Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme nullpunktene til disse løse andregradslikninger med en og to ukjente løse likninger av høyere grad som kan omformes til andregradslikninger sette opp fortegnsskjema for polynomer og rasjonale uttrykk
4.1 Funksjonsbegrepet Vi kaster en stein opp i lufta. Etter t sekunder er steinen y meter over bakken, der y er gitt ved formelen y = 5t + 0t Etter 3 s er høyden y = 5 3 + 0 3 = 15 Steinen er 15 m over bakken etter 3 s. Når vi kjenner t, kan vi regne ut en bestemt verdi for y. Vi sier at høyden y er en funksjon av tida t. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Steinen har samme høyde over bakken to ganger, på vei opp og på vei ned. Steinen er 15 m over bakken etter 1 s og etter 3 s. Når vi kjenner høyden y, kan vi ikke fastsette én bestemt verdi for tida t. Tida t er dermed ikke en funksjon av høyden y. Uttrykket 5t + 0t kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for et funksjonsuttrykk. Når y er høyden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket h(t) og skriver h(t) = 5t + 0t Her er h den første bokstaven i ordet høyde. Vi sier også at funksjonen h er gitt ved h(t) = 5t + 0t Når vi skal finne høyden etter 1 s, skriver vi h(1) = 5 1 + 0 1 = 15 Høyden etter s er h() = 5 + 0 = 0 Tallene 15 og 0 kaller vi funksjonsverdier. Vi regner ut flere funksjonsverdier og samler dem i en tabell: t 0 1 3 4 h(t) 0 15 0 15 0 11 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
Så tegner vi grafen til funksjonen h. Vi markerer da punktene i tabellen i et koordinatsystem og trekker en glatt kurve gjennom dem. m 5 y 0 15 h 10 5 t 1 3 4 5 s Langs førsteaksen finner vi variabelen t. Langs andreaksen finner vi funksjonsverdiene. Vi ser at steinen er tilbake på bakken etter 4 sekunder. Ferden stopper der. Altså må vi forutsette at variabelen t her er et tall mellom 0 og 4. Vi må forutsette at 0 t 4 eller at t [0, 4]. Vi sier at funksjonen h har definisjonsmengden [0, 4] og skriver D h = [0, 4] D er den første bokstaven i definisjonsmengde, og h er navnet på funksjonen. Vi ser at steinen på det høyeste punktet er 0 m over bakken. Med andre ord kan høyden være alle tall fra og med 0 m til og med 0 m. Funksjonsverdiene kan dermed være alle tall i intervallet [0, 0]. Dette intervallet kaller vi verdimengden til funksjonen. Vi skriver V h = [0, 0] Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, bruker vi gjerne x som variabel. Funksjonsuttrykket kaller vi ofte f(x), der f er navnet på funksjonen. 113
EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4x + 3 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen f(x) = 8 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Løsning: a) Vi regner ut noen funksjonsverdier og samler dem i en tabell: x 1 0 1 3 4 5 f(x) 8 3 0 1 0 3 8 Nå markerer vi punktene (x, f(x)) i et koordinatsystem og tegner en glatt kurve gjennom punktene. Vi får denne grafen: y 10 9 f 8 7 6 5 4 3 1 1 1 1 3 4 5 6 x b) Avlesing av grafen viser at likningen f(x) = 8 har løsningene x = 5 og x = 1 c) Vi ser av grafen at den minste funksjonsverdien er 1. Det er når x =. Verdimengden består dermed av alle tall som er større enn eller lik 1. Vi skriver V f = [ 1, 114 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
? Oppgave 4.10 Regn ut f( ), f(0) og f() når funksjonen f er gitt ved a) f(x) = 3x + b) f(x) = x + x + 3 c) f(x) = x 3 + x 9x + 1 Oppgave 4.11 Vi skyter opp ei kule. Høyden i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 50t a) Når er kula tilbake på bakken? b) Finn definisjonsmengden til funksjonen. c) Finn verdimengden. d) Når er kula 50 m over bakken? Oppgave 4.1 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 6x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Bruk grafen til å løse likningen x 6x + 8 = 0 c) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.13 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Løs likningen x + x + 8 = 5 grafisk. c) Finn verdimengden til f. Når du skal tegne grafer, trenger du ikke regne ut verdiene i tabellen for hånd. Du kan lage tabellen på lommeregneren. Du kan også bruke lommeregneren til å få fram grafen. Vi tar for oss funksjonen f gitt ved f(x) = x 4x + 3 115
ON CASIO Vi velger TABLE på ikonmenyen. Først sletter vi eventuelle uttrykk som er der fra før. Det gjør vi ved å trykke på F (DEL) etterfulgt av F1 (YES). Så legger vi inn uttrykket som vist nedenfor. Vi får fram X ved å trykke på X,θ,T etterfulgt av x. TEXAS Vi trykker på Y= og sletter eventuelle uttrykk som er der fra før, ved å trykke på CLEAR. Så legger vi inn uttrykket som vist nedenfor. Vi får fram X ved å trykke på X,T,θ,n etterfulgt av x. Vi trykker nå på EXE for å lagre uttrykket. Deretter trykker vi på F5 (RANG) og velger verdier i samsvar med figuren nedenfor. Trykk på TBLSET ( nd og WINDOW ) og still inn lommeregneren som vist nedenfor. Husk å bruke tasten ( ) når du skal legge inn tallet 1. Tallet pitch bestemmer differansen mellom x-verdiene i tabellen. Husk å trykke på EXE etter hvert tall. Vi trykker nå på EXIT og deretter på F6 (TABL). Vi får fram tabellen som står øverst på neste side. Vi bruker piltastene for å få se resten av tabellen. Tallet Tbl bestemmer differansen mellom x-verdiene i tabellen. Nå trykker vi på TABLE ( nd og GRAPH ) og får fram tabellen som står øverst på neste side. Vi får fram flere verdier i tabellen ved å bruke piltastene. 116 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på V-Window og velger verdier slik som på denne figuren: Så skal vi tegne grafen og må da først velge vindu. Derfor trykker vi på WINDOW og velger verdier slik som på denne figuren: Nå trykker vi på MENU og velger GRAPH. Et trykk på F6 (DRAW) gir denne grafen: Nå trykker vi på GRAPH og får fram denne grafen: OFF? Oppgave 4.14 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x + 4x 3 a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Løs likningene 1) x + 4x 3 = 0 ) x + 4x 3 = x 7 på lommeregneren. 117
? Oppgave 4.15 En bil kjører med farten v målt i kilometer per time. Utslippet av karbondioksid målt i gram per kilometer er da gitt ved formelen C(v) = 0,045v 6,75v + 393 a) Tegn grafen til C på lommeregneren når farten er mellom 0 km/h og 10 km/h. Du kaller variabelen v for X når du taster inn dette uttrykket. b) Hvor stort er utslippet per kilometer når farten er 50 km/h? c) Hvor stor er farten når utslippet er 00 g/km? d) Ved hvilken fart er utslippet lavest mulig, og hvor stort er utslippet da? e) Hvor mange kilogram karbondioksid slipper vi ut når vi kjører fra Bergen til Oslo i 75 km/h med denne bilen? Sett avstanden til 500 km. f) Bilen bruker 0,8 l bensin per mil. En liter bensin veier omtrent 0,8 kg. Hvor mange kilogram bensin bruker bilen på turen fra Bergen til Oslo? Hvordan kan du forklare at utslippet veier mer enn forbruket av bensin? 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Uttrykkene x + 3 og x + 3x 5 kaller vi polynomer. Uttrykket x + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket x + 3x 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet x 3 + 3x 6x + 4 er av tredje grad, og polynomet x 4 + x + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + x + 3x 3 + 5x skriver vi som 3x 3 + x + 5x + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. 10 y f Til høyre har vi tegnet grafen til polynomfunksjonen f gitt ved f(x) = x 4x + 3 Dette er en andregradsfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. 8 6 4 Nullpunkt Nullpunkt De punktene der grafen til en funksjon krysser x-aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at 4 6 Bunnpunkt (, 1) x 118 f(x) = 0 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
Funksjonen har dermed nullpunktene x = 1 og x = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = og y = 1. Bunnpunktet har koordinatene (, 1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen. Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Løsning: a) Vi tegner grafen til f. y 4 f Toppunkt 3 ( 1, ) Nullpunkter 1 x 1 1 1 3 3 Bunnpunkt (1, ) 4 b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = 1,7 og x = 1,7 c) Funksjonen har toppunktet ( 1, ). Funksjonen har bunnpunktet (1, ). 119
Funksjonen i eksempelet på forrige side har et toppunkt i ( 1, ) og et bunnpunkt i (1, ). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin største verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner. Eksempelet på forrige side viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f(x) = x 3 ser slik ut: 5 4 3 1 y f x 1 1 3 4 5 1 3 Denne tredjegradsfunksjonen har bare ett nullpunkt og ingen toppunkter eller bunnpunkter. EKSEMPEL Tegn grafen til funksjonen f(x) = x 4 5x + 4. Finn nullpunktene, toppunktet og bunnpunktene grafisk. Løsning: Vi bruker lommeregneren og får denne grafen: 5 4 3 1 y f x 3 1 1 3 1 3 10 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
Funksjonen har fire nullpunkter: x =, x = 1, x = 1 og x = Funksjonen har to bunnpunkter og ett toppunkt. Bunnpunkter: ( 1,6,,) og (1,6,,) Toppunkt: (0, 4)? Oppgave 4.0 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.1 En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved T(x) = 3 8 x + 1 x 135, x [8, 0] a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Oppgave 4. Funksjonen g er gitt ved g(x) = x 3 3x + 4 a) Tegn grafen til g. b) Finn nullpunktene til g. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til g. d) Finn verdimengden til g. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter kan vi også finne ved hjelp av lommeregneren. Vi skal nå bruke lommeregneren og finne nullpunktene og toppunktet til funksjonen g gitt ved g(x) = x + x + 3. 11
ON CASIO Vi velger GRAPH på ikonmenyen og legger inn funksjonsuttrykket Y1 = X + X + 3 Deretter trykker på V-Window og velger et vindu bestemt av at x [ 3, 6] og y [ 3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren. For å finne nullpunktene trykker vi på G-Solv ( SHIFT og F5 ) og deretter på F1 (ROOT). Etter noen sekunder står markøren i nullpunktet lengst til venstre, og vi kan lese av nullpunktet x = 1. TEXAS Vi trykker på Y= og legger inn funksjonsuttrykket Y1 = X + X + 3 Deretter trykker vi på WINDOW og velger et vindu bestemt av at x [ 3, 6] og y [ 3, 6]. Nå tegner vi grafen på lommeregneren. For å finne nullpunktene trykker vi på CALC og velger :zero. Deretter bruker vi piltastene og flytter markøren like til venstre for nullpunktet og trykker på ENTER. Deretter flytter vi markøren til høyre for nullpunktet og trykker to ganger på ENTER. Vi trykker så på piltasten, og markøren flytter seg til det andre nullpunktet x = 3. For å finne toppunktet trykker vi på G-Solv og trykker F (MAX). Etter noen sekunder står markøren i toppunktet. I toppunktet er x = 1 og y = 4. Toppunktet har koordinatene (1, 4). Vi finner det andre nullpunktet x = 3 på tilsvarende måte. For å finne toppunktet trykker vi nå på CALC og velger 4:maximum. Vi flytter markøren til venstre for toppunktet og trykker på ENTER. Så flytter vi markøren til høyre for toppunktet og trykker deretter to ganger på ENTER. Toppunktet har koordinatene (1, 4). OFF 1 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
? Oppgave 4.3 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 3 1x a) Tegn grafen til f på lommeregneren. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x 4 4x a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktene og bunnpunktene. Oppgave 4.5 Bruk lommeregneren og tegn grafen til f der f(x) = x 5 5x 3 + 4x a) Hvor mange nullpunkter har grafen? b) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har grafen? c) Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? d) Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? 4.3 Andregradslikninger med to ledd Likningen x 5x + 6 = 0 er et eksempel på en andregradslikning. Vi skal nå lære å løse slike likninger. Andregradslikningen x 4 = 0 mangler førstegradsledd. Vi løser den på denne måten: x 4 = 0 x = 4 x = eller x = Ofte skriver vi bare x = ± i stedet for x = eller x =. x = ±a betyr x = a eller x = a. 13
EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) x 10 = 0 b) (x ) + 4 = 0 c) x + 3 = 0 Løsning: a) x 10 = 0 x = 10 x = 5 x = 5 eller x = 5 x = ± 5 Likningen har to løsninger. b) (x ) + 4 = 0 x 4 + 4 = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Her får vi bare én løsning, for x = 0 er det eneste tallet som passer i x = 0. c) x + 3 = 0 x = 3 Likningen har ingen løsning. Det fins ingen tall x som er slik at x blir mindre enn null. Tallet x kan derfor ikke bli lik 3, og likningen x = 3 har dermed ingen løsning. At denne likningen ikke har noen løsning, kan vi også se hvis vi tegner grafen til funksjonen gitt ved f(x) = x + 3 Grafen når ikke ned til x-aksen.? Oppgave 4.30 Løs likningene. a) x = 9 b) x = 10 c) d) x = 4 e) 3x + 1 = 1 4x 5 = 0 14 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
? Oppgave 4.31 Løs likningene. a) (x + 1) = 10 b) 3x + = x 4 c) (x 1) = 4 d) (x + ) = 1 Oppgave 4.3 a) Et kvadrat har arealet 18 cm. Hvor lange er sidene i kvadratet? b) En sirkel har arealet 1,56 m. Hvor stor er radien i sirkelen? c) En sirkel har det samme arealet som et kvadrat der sidene er 5 cm lange. Finn radien i sirkelen. Når vi multipliserer to tall som ikke er null, kan vi ikke få null som svar. Dersom vi vet at produktet av to tall er null, må altså ett av tallene være null. Denne slutningen kaller vi produktregelen. Vi kan uttrykke den slik: Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. EKSEMPEL Løs likningen x 3x = 0 og sett prøve på svaret. Løsning: Vi setter x utenfor en parentes. x 3x = 0 (x 3) x = 0 Når produktet av disse to tallene er null, må ett av tallene være null. x 3 = 0 eller x = 0 x = 3 eller x = 0 Vi får to løsninger: x = 3 og x = 0. Nå setter vi disse verdiene inn i x 3x = 0 for å se om vi har regnet riktig. x = 3 gir x 3x = 3 3 3 = 9 9 = 0 x = 0 gir x 3x = 0 3 0 = 0 0 = 0 Begge x-verdiene passer. 15
? Oppgave 4.33 Løs likningene og sett prøve på svarene. a) x(x ) = 0 b) x + 3x = 0 c) x 4x = 0 d) 5x + 3x = 0 Oppgave 4.34 Løs likningene grafisk og ved regning. a) x + x + 3 = x + 7 b) x + x + 3 = 4x + 3 4.4 Andregradsformelen Ved hjelp av metoden med fullstendige kvadrater kan vi utlede en formel som vi kan bruke hver gang vi skal løse en andregradslikning. Vi kaller den andregradsformelen. Utledningen av formelen finner du på slutten av dette delkapittelet. Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene x = b ± b 4ac a når b 4ac 0. Vi viser nå hvordan vi bruker denne formelen til å løse andregradslikninger. EKSEMPEL Løs andregradslikningene. a) 3x + 5x = 0 b) x 6x = 9 c) x + x + 3 = 0 Løsning: a) Når vi sammenlikner likningen 3x + 5x = 0 med likningen ax + bx + c = 0, ser vi at a = 3, b = 5 og c =. Vi setter inn i andregradsformelen. 3x + 5x = 0 x = 5 ± 5 4 3 ( ) 3 x = 5 ± 5 + 4 6 16 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
5 ± 49 x = 6 x = 5 ± 7 6 x = 5 + 7 6 eller x = 5 7 6 x = 6 eller x = 1 6 x = 1 3 eller x = b) Vi ordner først likningen slik at vi får 0 på høyre side. Deretter bruker vi andregradsformelen. x 6x = 9 x 6x + 9 = 0 Her er a = 1 fordi x = 1 x. Videre er b = 6, og c = 9. x = ( 6) ± ( 6) 4 1 9 1 x = 6 ± 0 x = 6 + 0 x = 3 eller x = 3 x = 3 eller x = 6 0 Denne likningen har bare én løsning. Det kommer av at x 6x + 9 er et fullstendig kvadrat. c) x + x + 3 = 0 a = 1, b =, og c = 3. ± x = 4 1 3 1 x = ± 4 1 x = ± 8 Likningen har ingen løsning. Kvadratrota av 8 fins ikke. Derfor er det ingen løsning på likningen.! Vi kan løse alle typer andregradslikninger med andregradsformelen, også likninger med to ledd. Men slike likninger løser vi enklere med metodene i kapittel 4.3. Vi kan også løse andregradslikninger på lommeregneren. På neste side viser vi hvordan vi løser likningen x + x + 3 = 0. 17
ON CASIO Vi velger EQUA på ikonmenyen og velger Polynomial ved å trykke på F. Deretter velger vi andre grad ved å trykke på F1. Vi legger så inn verdier for tallene a, b og c på denne måten: TEXAS Denne lommeregneren har ikke innebygd noe program som løser andregradslikninger. Men vi kan legge inn et program selv. Det kan vi gjøre på to måter: Den ene måten er å få overført et program fra en annen lommeregner der formelen er lagt inn. Alternativet er å taste inn programmet selv. Du finner framgangsmåten og programmet bak i boka. Nå trykker vi på F1 (SOLV) og får fram løsningene x = 1 og x = 3. OFF? Oppgave 4.40 Løs andregradslikningene og sett prøve på svaret. a) x 5x + 6 = 0 b) x + x 1 = 0 c) x 4x + = 0 d) x x + = 0 e) 6x 17x + 1 = 0 Oppgave 4.41 Løs likningene. a) x 4x = b) x x = x c) x x + 1 = x + 1 Oppgave 4.4 Funksjonen f er gitt ved f(x) = x x 3 a) Finn nullpunktene grafisk. b) Finn nullpunktene ved regning. 18 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
Andregradslikninger får vi bruk for i praktiske sammenhenger. Noen ganger har begge løsningene av andregradslikningen praktisk betydning. I andre tilfeller er det bare én av løsningene som kan brukes. EKSEMPEL I et rektangel er den korteste siden 3 cm kortere enn den lengste. Hvor lange er sidene når arealet av rektangelet er 108 cm? Løsning: Vi setter lengden av den lengste siden lik x cm. Lengden av den korteste siden blir (x 3) cm. 108 cm (x 3) cm x cm Arealet i kvadratcentimeter blir A(x) = x (x 3) = x 3x Ettersom arealet er 108 cm, får vi likningen x 3x = 108 x 3x 108 = 0 x = ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 108) 1 x = 3 ± 441 x = 3 ± 1 x = 4 eller x = 18 x = 1 eller x = 9 En side i et rektangel kan ikke ha negativ lengde. Oppgaven har bare løsningen x = 1. Den lengste siden er 1 cm, og den korteste er 1 cm 3 cm = 9 cm. 19
? Oppgave 4.43 Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved h(t) = 5t + 10t a) Når er steinen m over bakken? b) Når er steinen 5 m over bakken? c) Når er steinen 7 m over bakken? d) Bruk utregningene ovenfor til å finne ut hvor høyt kastet var. Oppgave 4.44 Et rektangulært jordstykke har omkretsen 380 m og arealet 8800 m. a) Vis at dersom den ene siden er x meter, er lengden av den andre siden målt i meter gitt ved y = 190 x b) Forklar hvorfor arealet er gitt ved A(x) = x(190 x) c) Vis at x må være en løsning av andregradslikningen x 190x + 8800 = 0 d) Regn ut lengden og bredden av jordstykket. Oppgave 4.45 Summen av to tall er 10, og produktet av tallene er 565. Finn tallene. Beviset for andregradsformelen Vi skal nå bevise andregradsformelen. I den generelle andregradslikningen ax + bx + c = 0 er a, b og c tre tall, og a er ikke lik 0. Vi bruker metoden med fullstendige kvadrater fra kapittel.6. Først flytter vi konstantleddet over på høyre side av likhetstegnet. ax + bx = c Deretter deler vi alle leddene med tallet a foran x. x + b a x = c a 130 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
Nå legger vi til ( b ) på begge sidene av likhetstegnet. a der x + b a x + ( b a ) = ( b a ) c a a ) = b c 4a a a ) = b 4a c 4a 4a a a ) = b 4ac 4a d 4a ( x + b ( x + b ( x + b ( x + b a ) = d = b 4ac Vi har fullstendig kvadrat på venstre side av likhetstegnet. Tallet d kaller vi diskriminanten (avgjøreren, den som skiller) til likningen. Det er nemlig d som avgjør om vi kan løse likningen eller ikke. Dersom d ikke er negativ, kan vi regne ut d. Da får vi x + b a = ± d 4a x + b a = ± d a x = b a ± d a x = b ± d a Vi setter inn for diskriminanten d og får b ± b x = 4ac a Vi har bevist andregradsformelen. 4.5 Noen spesielle likninger Det er bare når vi løser likninger av andre grad at vi kan bruke andregradsformelen. Men noen ganger kan vi omforme likninger av høyere grad slik at vi deretter kan bruke andregradsformelen. 131
I noen likninger kan vi sette variabelen utenfor en parentes og bruke produktsetningen. EKSEMPEL Løs likningene. a) x 3 5x + 6x = 0 b) x 4 + x 3 + x = 0 Løsning: a) Dette er en tredjegradslikning. Ettersom alle leddene inneholder faktoren x, kan vi sette x utenfor en parentes. x 3 5x + 6x = 0 x(x 5x + 6) = 0 x = 0 eller x 5x + 6 = 0 x = 0 eller x = ( 5) ± ( 5) 4 1 6 x = 0 eller x = 5 ± 5 4 x = 0 eller x = 5 ± 1 x = 0 eller x = 5 ± 1 x = 0 eller x = eller x = 3 Produktsetningen b) I denne fjerdegradslikningen kan vi sette x utenfor en parentes. Det gir x 4 + x 3 + x = 0 x (x + x + 1) = 0 x = 0 eller x + x + 1 = 0 x = 0 eller x = ± 4 1 1 1 x = 0 eller x = ± 0 x = 0 eller x = x = 0 eller x = 1 13 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
? Oppgave 4.50 Løs likningene. a) x 3 3x + x = 0 b) x 3 + 6x + 9x = 0 c) x 4 5x 3 + 6x = 0 EKSEMPEL Løs likningene. a) x 4 5x + 4 = 0 b) x 6 4x 3 + 5 = 0 Løsning: a) Vi omformer likningen slik: x 4 5x + 4 = 0 (x ) 5x + 4 = 0 Dette kan vi se på som en andregradslikning med x som ukjent. Vi kan nå gå fram på to måter. Metode 1 Vi setter u = x Innsatt i likningen gir det u 5u + 4 = 0 Andregradsformelen gir u = ( 5) ± ( 5) 4 1 4 1 u = 5 ± 9 u = 5 ± 3 u = 1 eller u = 4 Nå erstatter vi u med x. Det gir x = 1 eller x = 4 x = ±1 eller x = ± x = 1, x = 1, x = eller x = 133
Metode Vi løser likningen direkte. (x ) 5x + 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 1 4 1 x = 5 ± 9 x = 5 ± 3 x = 1 eller x = 4 x = ±1 eller x = ± x = 1, x = 1, x = eller x = b) Vi omformer likningen og går fram omtrent som i metode ovenfor. Vi kan også bruke metode 1 med u = x 3. x 6 4x 3 + 5 = 0 (x 3 ) 4x 3 + 5 = 0 x 3 = ( 4) ± ( 4) 4 1 5 x 3 = 4 ± 4 4 fins ikke. Dermed fins det heller ikke noen verdi for x 3, og det er heller ikke mulig å finne noen verdi for x som passer. Likningen har ingen løsning.? Oppgave 4.51 Løs likningene. a) x 4 10x + 9 = 0 b) x 4 8x + 16 = 0 c) x 4 3x 4 = 0 Oppgave 4.5 Løs likningene. a) x 6 8x 3 + 7 = 0 b) x 6 + 9x 3 + 8 = 0 c) x 6 x 3 + = 0 Oppgave 4.53 Løs likningen. x 5 x + 6 = 0 134 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
4.6 Ikke-lineære likningssett I kapittel 3.9 lærte vi å løse lineære likningssett ved hjelp av innsettingsmetoden. Den metoden kan vi også bruke når vi for eksempel skal løse to likninger med to ukjente der den ene likningen er av andre grad. EKSEMPEL Løs likningssettet ved regning. x y = 3 x x + y = 1 Løsning: Vi finner et uttrykk for y fra en av likningene. Vi velger å finne y fra den andre likningen. x x + y = 1 y = x + x + 1 Vi setter nå inn dette uttrykket for y i den første likningen. x y = 3 x ( x + x + 1) = 3 x + x x 1 = 3 x = 4 x = eller x = Nå finner vi verdiene av y ved å sette inn i uttrykket for y. x = gir y = x + x + 1 = + + 1 = 4 + 4 + 1 = 1 x = gir y = x + x + 1 = ( ) + ( ) + 1 = 4 4 + 1 = 7 Løsningen er x = og y = 1 eller x = og y = 7? Oppgave 4.60 Løs likningssettene. a) x y = 1 b) x y = 1 c) x + 5x + y = 6 x + 4x + y = 3 x 3x + y = 4x + y = 5 135
I de likningene vi har løst til nå, forekommer x og ikke y. Vi kan også løse likninger der både x og y er med i en av likningene. EKSEMPEL Løs likningssettet. 3x + y = 3 3x y = 9 Løsning: Først finner vi et uttrykk for y ut fra den første likningen. y = 3 3x Dette uttrykket for y setter vi inn i den andre likningen. 3x (3 3x) = 9 3x (9 18x + 9x ) = 9 3x 9 + 18x 9x = 9 6x + 18x = 9 + 9 6x(x 3) = 0 6x = 0 eller x 3 = 0 x = 0 eller x = 3 Det fins to x-verdier som er løsning. For hver x-verdi regner vi ut en tilhørende y-verdi. x = 0 gir y = 3 3x = 3 3 0 = 3 x = 3 gir y = 3 3x = 3 3 3 = 3 9 = 6 Løsningen blir x = 0 og y = 3 eller x = 3 og y = 6? Oppgave 4.61 Løs likningssettene. a) x + y = 10 b) x + y = x + y = 5 x 4x + y 6y = 4 Oppgave 4.6 Løs likningssettet grafisk og ved regning. x 3x + y = x + 4x y = 4 136 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
4.7 Nullpunkter og faktorisering I kapittel.6 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk ved å lage fullstendige kvadrater. Vi faktoriserte blant annet og fant ut at x 1x + 10 x 1x + 10 = (x 1)(x 5) Uttrykkene på høyre og venstre side av likhetstegnet er like for alle verdier av x. Høyre side har nullpunktene x = 1 og x = 5. Dermed må venstre side også være null når x = 1 og når x = 5. Dette kan vi utnytte når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med to nullpunkter, for førstegradsfaktorene må ha de samme nullpunktene som andregradsuttrykket. Vi finner først nullpunktene til andregradsuttrykket og bruker dem til å sette opp førstegradsfaktorene. Noen andregradsuttrykk har bare ett nullpunkt. Uttrykket x x + 1 er et eksempel på det. Det eneste nullpunktet er x = 1. Men x x + 1 er et fullstendig kvadrat, for x x + 1 = (x 1) Da kan vi bruke nullpunktet når vi skal faktorisere andregradsuttrykk med bare ett nullpunkt. Vi må ta med førstegradsuttrykket to ganger. Alle førstegradsuttrykk har nullpunkter. Et andregradsuttrykk som er et produkt av førstegradsfaktorer, har altså nullpunkter. Et andregradsuttrykk uten nullpunkter kan vi dermed ikke skrive som et produkt av førstegradsfaktorer. Dersom ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene. a) x 4x 6 b) x 5x + 7 c) x 1x + 18 137
Løsning: a) Først bruker vi andregradsformelen og finner nullpunktene.! x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 = 4 ± 8 4 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Husk å ta med tallet foran x i faktoriseringen. b) Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 5x + 7 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 1 7 x = 5 ± 3 3 fins ikke, og likningen har derfor ikke noe nullpunkt. Uttrykket kan ikke være et produkt av to førstegradsfaktorer. Det er ikke mulig å faktorisere uttrykket. c) Vi bruker lommeregneren eller andregradsformelen og finner nullpunktene til uttrykket x 1x + 18. Uttrykket har bare det ene nullpunktet x = 3. Det gir faktoriseringen x 1x + 18 = (x 3)? Oppgave 4.70 Faktoriser uttrykkene. a) x 8x + 1 b) x 3x + c) x 4x 30 d) 6x 5x + 1 Oppgave 4.71 Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) x 6x + 8 b) x 6x + 9 c) x 6x + 10 d) x 6x Oppgave 4.7 For hvilke verdier av c er det mulig å faktorisere uttrykket x 3x + c? 138 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
4.8 Andregradsulikheter I kapittel 3.3 lærte vi hvordan vi kan løse lineære ulikheter ved hjelp av regneregler som likner de reglene vi bruker når vi skal løse likninger. Når vi arbeider med ulikheter som ikke er lineære, må vi bruke helt andre metoder. Vi bestemmer fortegnet til uttrykket ved hjelp av ei fortegnslinje. La oss tenke oss at vi ønsker å undersøke hvordan fortegnet til uttrykket x + 3 varierer med x. Vi vil finne ut hvor x + 3 er negativt, hvor x + 3 er null, og hvor x + 3 er positivt. Negativt område for x + 3: x + 3 < 0 når x < 3 Nullpunkt for x + 3: x + 3 = 0 når x = 3 Positivt område for x + 3: x + 3 > 0 når x > 3 Så lager vi ei tallinje der vi markerer nullpunktet til x + 3. Deretter lager vi ei fortegnslinje for uttrykket x + 3: 6 5 4 3 1 0 x x + 3 0 På slike fortegnslinjer bruker vi disse symbolene: 0 markerer nullpunktene til uttrykket ------- markerer at uttrykket er negativt markerer at uttrykket er positivt EKSEMPEL Lag ei fortegnslinje for uttrykket x + 6. Løsning: Først finner vi nullpunktet til uttrykket. Denne utregningen gjør vi ofte i hodet. x + 6 = 0 x = 6 x = 3 Når x > 3, blir x + 6 et negativt tall. Når x < 3, blir x + 6 et positivt tall. Det gir denne fortegnslinja: 1 0 1 3 4 5 6 x x + 6 0 139
? Oppgave 4.80 Lag fortegnslinje for uttrykkene. a) x 3 b) x + 4 c) x + d) 3x + 9 Ulikheten x 4x 6 < 0 er et eksempel på en andregradsulikhet. Når vi skal løse slike ulikheter, får vi bruk for å faktorisere andregradsuttrykk. Vi kan da enten bruke metoden med fullstendige kvadrater eller bruke nullpunktene slik vi lærte i kapittel 4.7. Nå skal vi faktorisere andregradsuttrykket x 4x 6. Vi velger å utnytte nullpunktene og bruker derfor andregradsformelen.! x 4x 6 = 0 x = ( 4) ± ( 4) 4 ( 6) x = 4 ± 64 4 x = 4 ± 8 4 x = 1 eller x = 3 Nå faktoriserer vi andregradsuttrykket. x 4x 6 = (x ( 1))(x 3) = (x + 1)(x 3) Husk å ta med tallet foran x i faktoriseringen. Så lager vi fortegnslinje for hver av faktorene, (x + 1) og (x 3) og setter dem under hverandre i det samme skjemaet. 3 1 0 1 3 4 5 x x + 1 0 x 3 0 (x + 1)(x 3) 0 0 Nå utnytter vi fortegnsreglene for tallregning. Når x > 3, er alle tre faktorene positive, og produktet er da positivt. Se den røde linja nederst. Når x er et tall mellom 1 og 3, er det én negativ faktor og to positive. Da blir produktet negativt. Når x < 1, har vi to negative faktorer og én positiv. Da blir svaret positivt, og vi tegner sammenhengende rød linje. Når x = 1 og når x = 3, er en faktor lik null, og da blir produktet null. 140 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
Vi har dermed funnet fortegnslinja til (x + 1)(x 3). Ettersom x 4x 6 er lik (x + 1)(x 3) for alle verdier av x, er dette også fortegnslinja for x 4x 6. Vi skulle løse ulikheten x 4x 6 < 0 og må da se etter hvor vi har stiplet linje på forrige side. Det er mellom 1 og 3. Løsningen er x 4x 6 < 0 når 1 < x < 3 EKSEMPEL Løs ulikheten x + x 3 > 3x + 5 Løsning: Vi ordner ulikheten ved å samle alle leddene på venstre side. x + x 3 > 3x + 5 x + x 3 3x 5 > 0 x x 8 > 0 Vi bruker andregradsformelen eller lommeregneren og finner nullpunktene x = 4 og x =. Dermed er x x 8 = (x 4)(x + ). Ulikheten blir (x 4)(x + ) > 0 Nå tegner vi fortegnslinjer for faktorene x 4 og x + og lager deretter ei fortegnslinje for (x 4)(x + ) ved å utnytte at to negative faktorer gir et positivt svar, at en positiv og en negativ faktor gir et negativt svar, og at to positive faktorer gir et positivt svar. 4 3 1 0 1 3 4 5 6 x x 4 x + (x 4)(x + ) 0 0 0 0 Vi skulle finne de verdiene av x der (x 4)(x + ) > 0. Da må vi plukke ut de x-verdiene der fortegnslinja for uttrykket er sammenhengende. (x 4)(x + ) > 0 når x < eller x > 4. Ulikheten vi begynte med, har den samme løsningen: x + x 3 > 3x + 5 når x < eller x > 4. 141
EKSEMPEL Løs ulikheten x 4x + 6 > 0 Løsning: Vi bruker andregradsformelen og finner nullpunktene. x 4x + 6 = 0 x = 4 ± 16 4 x = 4 ± 8 Kvadratrota av 8 fins ikke. Dermed har ikke x 4x + 6 noen nullpunkter, og uttrykket kan da heller ikke skifte fortegn. Uttrykket er dermed enten positivt for alle verdier av x, eller så er uttrykket negativt for alle verdier av x. Det finner vi ut ved å sette inn én verdi av x. Vi velger x = 0. Det gir x 4x + 6 = 0 4 0 + 6 = 6 Ettersom uttrykket er positivt for x = 0, må uttrykket være positivt for alle verdier av x. x 4x + 6 > 0 for alle x. Det kan du også se ved å tegne grafen til funksjonen f(x) = x 4x + 6? Oppgave 4.81 Løs ulikhetene ved å bruke fortegnslinjer. a) x 5x + 6 > 0 b) x + x < 0 c) x + x 1 0 d) x x + 6 0 Oppgave 4.8 Løs ulikhetene. a) 6x 5x + 1 < 0 b) x 4x + 4 > 0 c) x + 6x 9 0 d) x 8x + 9 < 0 14 Sinus for forkurset > Funksjoner og andregradsuttrykk
SAMMENDRAG Polynom Et polynom er et uttrykk av typen x 3 + 3x x + 5. Dette polynomet er av grad 3. Funksjon Vi sier at y er en funksjon av x dersom hver mulig verdi av x gir nøyaktig én verdi av y. Parabel Grafen til en andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Definisjonsmengden D f Definisjonsmengden D f til funksjonen f er alle de verdiene som vi kan velge for x. Verdimengden V f Verdimengden V f til funksjonen f er alle de funksjonsverdiene f(x) vi får når x D f. Nullpunkt x er et nullpunkt for f dersom f(x) = 0. Produktregelen Dersom r s = 0, så er r = 0 eller s = 0. Andregradsformelen Andregradslikningen ax + bx + c = 0 har løsningene b ± b x = 4ac a når b 4ac 0. Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom ax + bx + c har nullpunktene x = x 1 og x = x, er ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) Dersom andregradsuttrykket bare har ett nullpunkt, x = x 1, er ax + bx + c = a(x x 1 ) Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, kan det ikke faktoriseres i førstegradsfaktorer. 143