Fakor - en eksamensavis ugi av ECONnec Pensumsammendrag: FIN3005 Makrofinans Forfaer: Marin Frøland E-pos: marinom@sud.nnu.no Skreve: Høsen 009 Anall sider: 41
FIN3005 - Pensumsammendrag Om ECONnec: ECONnec er en frivillig sudenorganisasjon for sudenene på samfunnsøkonomi- og finansøkonomisudie ved NTNU. Vi arbeider for øk faglig kompeanse blan våre sudener sam eere konak med næringslive. De gjør vi ved å arrangere fagdager, gjeseforelesninger, bedrifspresenasjoner m.m. I dag går de ca. 00 sudener på bachelornivå (1.-3. klasse og ca. 70 sudener på masernivå (4.-5. klasse. Sudenene på masernivå er fordel på de o linjene samfunnsøkonomi (ca. 50 sk og finansiell økonomi (ca. 0 sk. Mer om ECONnec og akuelle arrangemener på www.econnec-nnu.no. ECONnec besår av følgende personer ved ugivelsesidspunk: Bjørn Berghol (Leder Sophie S. Srømman (Bedrifsansvarlig Maiken Weidle (Fagdagsansvarlig Joakim Bjørkhaug (Økonomi- og IT-ansvarlig Elise Caspersen Tiril Tofedahl Louis Dieffenhaler Andreas H. Jung Mari Benedike Ellingsen Herman Wesrum Thorsen bjorn@econnec-nnu.no sophie@econnec-nnu.no maiken@econnec-nnu.no joakim@econnec-nnu.no elise@econnec-nnu.no iril@econnec-nnu.no louis@econnec-nnu.no andreas@econnec-nnu.no mari@econnec-nnu.no herman@econnec-nnu.no Pos- og besøksadresse: Organisasjonsnummer: Hjemmeside: ECONnec, NTNU Dragvoll NO 994 65 314 www.econnec-nnu.no Insiu for samfunnsøkonomi Bygg 7, Nivå 5 7491 Trondheim Merk: Alle pensumsammendrag og ekser som ugis av Fakor er skreve av og for sudener. ECONnec sår ikke ansvarlig for selve faginnholde. Spørsmål om eksen kan rees il eksforfaeren. 1 Organisasjon: ECONnec NTNU Hjemmeside: www.econnec-nnu.no
FIN 3005 Makrofinans Senrale problemsillinger: - Hvordan fassees priser på finansielle akiva? - Er prisene korreke? - Hvordan kan vi gjenkjenne bobler eller feilprising? DEL 1 Grunnmodell for prisseing i Relaiv prising parielle likeveksmodeller ii Absolu prising generelle likeveksmodeller Senrale realøkonomiske variable påvirker prising -periode modell, en grunnleggende prisingsformel Anar invesorer som lever i o perioder, og +1. De inveserer i periode, og kjøper ε anall av de finansielle akivume. Anar videre a akivume gir ubealing lik prisen i periode +1 og ubye/dividende, slik; x +1 = P +1 + d +1 Anar så a invesorene har en eksogen arbeidsinnek i de o periodene gi ved e og e +1, slik a vi kan fremsille budsjebeingelsene for de o periodene som følger; c = e P ε c +1 = e +1 + x +1 ε Anar a invesorene er risikoavers, med konkav periodenye, og definerer en forvenningsoperaor, E. Fremsiller da invesorenes preferanser som følger: U(c,c +1 = u(c + β u(c +1 [ ], der 0 < β < 1 beegner idspreferanser Invesorenes maksimeringsproblem er nå å finne hvor mange enheer av de finansielle akivume de skal invesere i. Maemaisk blir dee som følger: maxu(e P ε + β u(e +1 + x +1 ε ε FOB: [ ] u '(c P + β [ x +1 u'(c +1 ] = 0 Kan skrive om denne il en sandard marginalbeingelse, som sier a nyeap i periode av å øke inveseringene må være lik forvene neddiskoner nyegevins i periode +1. i u '(c P = β [ x +1 u '(c +1 ] Kan videre omformulere urykke il følgende; ii P = β u '(c +1 u '(c x +1 NB! Vi kan gjøre dee siden vi anar a konsumprobleme er løs og dermed er u(c konsaner. Definerer så m +1 = β u '(c +1 som den sokasiske diskoneringsfakoren (SDF. Denne u '(c ransformerer fremidig payoff il en pris idag ved å fange opp uålmodighe og risikoaversjon. Denne kan vi beregne når konsume i begge periodene og nyefunksjonen er kjen. FOB en vil da se slik u: iii P = m +1 x +1 [ ] En mer generell modell Anagelser for denne modellen er bl.a. uendelig idshorison og flere finansielle akiva. 1/41
Budsjebeingelsen invesorene sår ovenfor her ser u som følger: W +1 = (1+ R (W + Y C, der W formue Y innek C konsum Her er R definer som gjennomsnilig avkasning på invesorens inveseringer; R = w r + (1 w z, der w andel inveser i obligasjoner r risikofri rene z sokasisk avkasning på aksjer Maksimeringsprobleme i dee ilfelle blir som følger: maxu C,C +1 C,w ( = u( C + βeu( C +1 ( ( W + Y C gi a: W = 1+ R +1 R = w r + ( 1 w z og a man i sluperioden konsumerer al man har slik a C +1 = W +1 FOB: u i = u '( C + βe u' ( C +1 C +1 C C = 0 ii u = u' ( C + βe u' ( C +1 W +1 C C = 0 u = u' ( C βe C ( 1+ R u'( C +1 = 0 u = βe u '( C +1 C +1 w w = 0 u = βe u' C +1 w ( W +1 w = 0 u = βe u' ( C +1 ( W + Y C R w w = 0 u = βe w u' ( C +1 ( W + Y C ( r z = 0 FOB forenkles il: i u'(c = β (1+ R u'(c +1 [ ] konsumbesluningen [ ] = 0 poreføljebesluningen ii (r z u'(c +1 Tolkninger av førseordensbeingelsene: i Dersom sparingen øker, dvs. a (Y C øker, så viser vensre side av beingelsen nyeape som følge av reduser konsum, og høyre side viser forvene neddiskoner nyegevins som følge av mer avkasning i periode +1. ii Siden den risikofri rena er konsan, kan vi skrive om denne beingelsen il følgende: r u'(c +1 [ ] = [ z u'(c +1 ] Vensre side viser forvene nyegevins av å øke andelen obligasjoner, mens høyre side viser forvene nyegevins av å øke andelen aksjer i poreføljen. Siden avkasningen på aksjer er usikker er også konsumnivåe i periode +1 usikker. Benyer følgende regel: /41
cov(x, y = E(x y E(x E(y E(x y = E(x E(y + cov(x, y Skriver om beingelsen igjen il følgende: r [ u'(c +1 ] = (z u'(c +1 [ (z r ] u'(c +1 [ ] + cov[ z,u '(c +1 ] [ ] = cov[ z,u'(c +1 ] [ (z r ] = cov [ z,u'(c +1 ] [ u'(c +1 ] Dee urykke refereres il som CCAPM (den konsumbasere kapialverdimodellen. Vi ve a risikopremien (forvene meravkasning på aksjer er posiiv. Dvs. a kovariansen mellom aksjeavkasning og marginalnye av konsum i periode +1 er negaiv. Dee kommer av a dersom avkasningen øker, kan man oppnå høyere konsum i den sene perioden og da reduseres marginalnyen. Vi kan videre se på dee som a invesorene krever en risikopremie for å invesere i usikre akiva, og a dersom e verdipapir er posiiv korreler med konsume og dermed negaiv korreler med marginalnyen (siden u''(c < 0. Da vil dee verdipapire ha en posiiv risikopremie uover den risikofri rena. Vi har nå se o meoder for konsumbaser verdseing via prisen direke i o-periode modellen, og ved å sudere avkasningen i CCAPM. Skal nå se a disse o er ekvivalene. Husker da a vi i -periode modellen fan følgende: [ ], hvor m +1 = β u '(C +1 p = m +1 x +1 u '(C Videre har vi a avkasningen på verdipapire er gi som: r x = p +1 + d +1 p p = x +1 p 1 x +1 = p (1 + r x Ved å unye dee urykke i førseordensbeingelsen ovenfor kan vi skrive om denne som følger: p = m +1 p (1+ r x p = p m +1 (1+ r x 1 = β u'(c +1 u '(C (1+ r u'(c 1 = β +1 u'(c (1+ r x x u '(C = β u'(c +1 (1+ r x I CCAPM kan vi skrive om førseordensbeingelsene (konsum- og poreføljebesluningene ved å unye a R = w r + (1 w z som følger. Tar ugangspunk i beingelsene: [ ] (4 [ ] = 0 (5 u'(c = β (1+ R u'(c +1 (r z u'(c +1 Skriver så om (4 il følgende: 3/41
u '(c = β [(1+ w r + (1 w z u'(c +1 ] u '(c = β [(1+ z + w (r z u'(c +1 ] u '(c = β [(1+ z u '(c +1 ] + β [ w (r z u'(c +1 ] u '(c = β [(1+ z u '(c +1 ] + β w [(r z u'(c +1 ] [ ] = 0, kan vi forkore dee il: u'(c = β [(1+ z u'(c +1 ] (6 Siden vi fra (5 ser a (r z u '(c +1 Kan så skrive om (5 som følger: r [ u'(c +1 ] = [ z u'(c +1 ] Unyer så a (6 kan skrives om il: 1 β u'(c = z u'(c +1 [ ] + [ u'(c +1 ] [ z u'(c +1 ] = 1 β u'(c [ u'(c +1 ] og kan da skrive om urykke fra (5 il: [ ] = 1 β u'(c [ u '(c +1 ] r u'(c +1 u'(c = β u'(c +1 [ ] + r [ u'(c +1 ] [ ] (7 u'(c = β(1+ r u'(c +1 Kombinerer nå (6 og (7 ved å dele gjennom med u'(c og see lik. Får da følgende: 1 = β (1 + z u'(c +1 u'(c = β(1+ r u'(c +1 u'(c 1 = (1+ z β u'(c +1 u'(c = (1 + r β u'(c +1 u'(c 1 = [(1+ z m +1 ] = [(1 + r m +1 ] (8 Inuisjonen: Avkasningen på akiva x (her: aksjemarkede og de risikofrie alernaive må alle oppfylle samme førseordensbeingelse i likevek. I e finansmarked hvor alle akiva kan handles fri må alle akiva oppfylle denne beingelsen. De blir alle prise ved hjelp av SDF (den Sokasiske DiskoneringsFakoren. Mer srukur: To vanlige foruseninger. For å komme lenger med modellen og førseordensbeingelsene vi har funne så lang må de legges mer srukur på modellen. De o vanligse foruseningene er å ana en besem form på nyefunksjonen (CRRA og pålegge spesiell fordeling på konsumveksen. Nyefunksjonen: en mye bruk nyefunksjon i makro og finans er den følgende formen; u(c = C1 γ 1, hvor γ gir e mål på risikoaversjonen. 1 γ Ifølge Arrow-Pra er e mål på relaiv risikoaversjon gi som C u '', og med denne u ' nyefunksjonen finner vi a u ' = C γ og u'' = γ C 1 γ, slik a den relaive risikoaversjonen er 4/41
gi som konsanen C u'' 1 γ γ C = C = γ. Denne nyefunksjonen gir også en konsan u' C γ ineremporær subsiusjonselasisie, lik den inverse av risikoaversjonskoeffisienen, dvs. lik 1 / γ. Konsumfordelingen: en vanlig anakelse rund konsume er å ana a fremidig konsumnivå er normalfordel, som er ekvivalen med å ana a konsumveksen er lognormalfordel. To vikige resulaer fra saisikk som rengs for å behandle denne anakelsen: For en normalfordel sokasisk variabel X gjelder: Ee X = e E[ X]+ 1 var( X For en lognormalfordel sokasisk variabel X gjelder: ln E X [ ] = E ln( X ( + 1 var ln X Klassiske resulaer i finans: Vi skal nå se hvordan den grunnleggende prisformelen (ligning (7 kan brukes il å illusrere mange klassiske resulaer i finans. Den risikofrie rena: Anar nå a vi har CRRA (consan relaive risk aversion nye og a fremidig konsum er normalfordel. Da kan vi skrive om (7 som følger: u'(c = β(1+ r u'(c +1 [ ] c γ γ = β(1 + r c +1 γ c 1 = β(1 + r +1 c Tar så den naurlige logarimen il dee urykke og får: γ c ln1 = ln β + ln(1 + r + ln +1 c Her har vi a c +1 c er konsumveksen (+1, og med anakelsen om a denne er lognormalfordel kan vi benye følgende regel: ln E( X = E ln( X + 1 var ln ( X Skriver da om urykke ovenfor il: 0 = lnβ + ln(1+ r + ln c γ +1 c + 1 var ln c γ +1 c Har så videre a ln c +1 vi videre får: c ln(1+ r = ln β 1 var γδ lnc +1 γ = γ ( ln c +1 ln c = γδ ln c, hvor Δ lnc er konsumveksen, slik a [ ] E[ γδ lnc +1 ] ln(1+ r = ln β 1 γ var[ Δ ln c +1 ] + γ E[ Δ ln c +1 ] (9 U ifra (9 her kan vi idenifisere flere effeker: 5/41
o Realrena er høy hvis folk er uålmodige, dvs. hvis β er lav. o Realrena er høy når gjennomsnilig konsumveks er høy, siden høy rene gjør de lønnsom å spare idag, slik a konsume vris mo fremiden. Merk a dersom ineremporær subsiusjonselasisie er lav (dvs. om γ er høy, er realrena mer sensiiv il konsumveksen. Dersom konsumenene er lie villige il å subsiuere konsum over id ved reneendringer må disse endringene være sore for a de skal holde seg il en besem konsumbane. o Realrena er lav dersom variasjonen i konsumveksen er høy. Dee reflekerer forsikighesmoiver sparing. Folk (gi denne nyefunksjonen responderer på øk usikkerhe ved å øke sparingen, slik a rena drives ned. Merk a dee moive er serkere jo mer risikoavers konsumenene er. E puzzle her er a med CRRA nye syrer parameeren γ både ineremporær (movilje mo konsum som varierer over id og risikoaversjon (movilje mo konsum som varierer mellom realisere ilsander. Dee er en veldig serk link, som gir problemer med daa. Korreksjon for risiko: I den prisbasere modellen fan vi a p = m +1 x +1 cov( m, x = E( m x E( m E( x, og skriver om urykke il følgende: ( E( x +1 + cov( m +1, x +1 [ ]. Benyer så regelen p = E m +1 Har så videre a en risikofri plassering kan fremsilles som: 1 = ( 1 + r E( m +1 Dee er kun urykke for den prisbasere modellen der prisen er sa lik 1 og payoff sa lik 1 (1+r. Når vi skriver om dee il E( m +1 =, kan vi kombinere dee med urykke ( 1+ r ovenfor og får da: ( ( (10 p = E x +1 ( 1+ r + cov m +1, x +1 Dee urykke viser nå hvordan prisen på e verdipapir besemmes: Førse ledd er nåverdien av de forvenede fremidige konansrømmer. Dee ville ha vær prisen på verdipapire i en risikonøyral verden. Andre ledd represenerer risikojusering. De foreller a e verdipapir har høyere pris, jo høyere kovariansen er mellom akivumes payoff og SDF. Merk a de er kun sysemaisk risiko som kompenseres i kapialmarkede og som fremkommer av denne kovariansen. Usysemaisk risiko blir ikke kompenser da denne kan diversifiseres bor. Dersom vi har e akivum med cov(m, x=0 så beyr dee a akivume kan ha sor usikkerhe il avkasningen uen a dee gir noen risikopremie. Dee kommer da av a denne risikoen er usysemaisk og dermed kan diversifiseres bor. En annen måe å si dee på er a invesorene bryr seg om volailieen i konsume, ikke om volailieen i de enkele akivume. Vi kan le se analogien il CCAPM ved å subsiuere inn for m i (10: p = E ( x +1 ( 1 + r + cov β u '(c +1 u'(c, x +1 ( ( + β cov ( u'(c, x +1 +1 u'(c p = E x +1 1+ r 6/41
Avkasningsformulering: Husk a prisingsformelen (8 gjelder for ehver akivum som kan handles fri. Selv om forvene avkasning kan variere over id, så er forvene neddiskoner avkasning allid den samme, nemlig 1. La oss se på e vilkårlig akiva i: 1 = E m(1+ r i = E[ m]e (1 + r i + cov m,(1+ r i 1, og skriver om urykke ovenfor il: ( 1 + r 1 = E m(1+ r i = 1 1+ r E (1+ ri + cov m,(1+ r i Unyer så begrunnelsen for (10, a E( m +1 = 1+ r = E (1+ r i + (1+ rcov m,(1+ r i E (1+ r i (1+ r = (1+ rcov m,(1+ r i E(r i r = (1+ rcov m,(1+ r i E(r i r = cov m,(1+ ri E(m cov β u'(c +1 u'(c E(r i r =,(1+ ri E β u '(c +1 u'(c β u'(c E(r i r = cov u'(c +1,(1+ r i β u'(c E u'(c +1 ( E(r i r = cov u'(c +1,(1+ r i E u'(c +1 ( Av dee urykke ser vi a alle akiva har forvene avkasning lik den risikofri rena pluss risikojusering. Akiva hvis forvene avkasning har posiiv kovarians med konsume (og dermed negaiv kovarians med marginalnyen av konsume bidrar il en mer volail konsumbane, og må derfor gi en risikopremie for a invesorene skal ville holde dem. Akiva med negaiv kovarians kan ha lavere forvene avkasning enn den risikofrie rena og folk vil likevel invesere i dem (enk: forsikring. Risikopremien i aksjemarkede: Anar forsa CRRA nye og lognormalfordel konsumveks. Har da a risikofri rene er gi ved (9 som følger: ln(1+ r = ln β 1 γ var Δ ln c +1 (11 [ ] + γ E[ Δ ln c +1 ] (1 Tilsvarende urykk kan vi finne for aksjeavkasningen og risikopremien. Tar ugangspunk i ligning (6 og unyer foruseningene nevn ovenfor, og skriver om som følger: u'(c = β (1+ z u'(c +1 [ ] 7/41
c γ γ = β (1+ z c +1 1 = β (1+ z c +1 c γ ln1 = lnβ + ln (1+ z c +1 c γ Unyer igjen regelen om a ln E[ X] = E[ ln(x ] + 1 0 = lnβ + ln (1+ z 0 = lnβ + ln(1+ z c +1 c γ [ ] γ ln c +1 + 1 var ln (1+ z + 1 γ var ln c +1 c γ cov ln(1+ z, c +1 c ln(1+ z [ ] = ln β + γ ( Δ ln(c +1 c var[ ln(x ], og skriver om urykke il: c +1 c + 1 var ln(1+ z [ ] [ ] + γ var ( Δ ln(c +1 γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] 1 var (13 ln(1 + z Trekker nå ifra urykke for den risikofri rena (1 fra (13 og finner risikopremien: [ ] ln(1 + r = 1 var [ ln(1 + z ] + γ cov[ ln(1 + z, Δ ln(c +1 ] ln(1 + z Dee urykke kan forenkles yerligere ved å unye a [ ] = [ ln(1 + z ] + 1 var [ ln(1+ z ], slik a vi kan skrive: ln (1 + z [ ] ln(1+ r = γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] (14 ln (1 + z Risikopremien gi ved (14 viser her a risikopremien er lik risikoaversjonen (γ, kan olkes som en pris på risiko mulipliser med mengden risiko (her represener ved kovariansen mellom avkasning og konsumveks. Inuisjon: Ligningene (1 og (14 gir oss en dypere forsåelse av sammenhengen mellom renenivå og avkasning i aksjemarkede enn de den vanlige kapialverdimodellen gjør. La oss forea en enkel omskriving ved å benye regelen; cov(x, y = corr(x, y sd(x sd(y slik a (14 kan skrives som følger: ln[ (1 + z ] = ln(1 + r + γ corr[ ln(1 + z,δ ln(c +1 ] Var [ ln(1 + z ] Var Δ ln(c +1 [ ] Av dee urykke ser vi følgende: o Risikofri rene og avkasning i aksjemarkede beveger seg i ak for gi konsumvolailie og varians i aksjemarkede. Dvs. hvis risikofri rene reduseres, så vil forvene aksjeavkasning reduseres og dermed øker dagens aksjepriser. o Makronyheer kan ha flere virkninger. F.eks. kan en nyhe som medfører øk konsumvolailie (dvs. a Var [ Δ ln(c +1 ] øker forårsake redusere rener (risikofri rene γ 8/41
reduseres når denne øker. Se (1. Når de risikofrie renene reduseres har dee i nese omgang o effeker: Direke effek ved a forvene aksjeavkasning reduseres, og dermed øker dagens aksjekurser. Risikopremien øker, dvs. a dagens aksjekurser rekkes ned. Er lave rener bra for aksjemarkede? o Den radisjonelle kapialverdimodellen indikerer dee (pga høyere meravkasning. o Denne modellen anyder a dee kommer an på grunnen il de lave renene. Dersom disse skyldes øk usikkerhe kan de være a usikkerheen i seg selv dominerer effeken av de lave renene. Bearepresenasjon: I finans er de en lang radisjon for å urykke risikojusering ved hjelp av bea-koeffisiener. Dee kan vi gjøre også her ved å omskrive avkasningsformuleringen i uledelsen av (11 som følger: E(r i r = cov m,(1 + ri E(m E(r i = r cov m,(1 + ri E(m E(r i = r + cov m,(1+ ri var(m var(m E(m E(r i = r + β i,m λ m Denne formuleringen sier a forvene avkasning på akivum i er proporsjonal med des beakoeffisien. Koeffisienen λ m er lik for alle akiva og blir gjerne omal som prisen på risiko og avhenger av volailieen il SDF. DEL Grunnmodellen konfroneres med daa, Puzzles, alernaive modeller Ved å konfronere grunnmodellen vi har ulede med daa (se Campbell Kap. 13, finner vi a mye forklares god med modellen, men a noe ikke semmer like god. Dee refereres il som såkale puzzles. Noen silisere faka fra Campbells daa: o Aksjemarkedene i den veslige verden har i gjennomsni lever en gjennomgående høy avkasning, bedre enn 4,5% p.a. for landene i uvalge. o Sandardavvike il den gjennomsnilige avkasningen varierer mellom 15% og 7%. o Den risikofrie rena (mål ved avkasningen på sasserifikaer ligger sjelden over 3% p.a., men de er verd å merke a denne rena ikke allid har vær hel risikofri. o Ifølge Barro har vi vær vine il en risikopremie i aksjemarkede på rund 7%. o Konsumveksen ser u il å ha vær sabil, med e sandardavvik på kun 1%-,5%. o Korrelasjonen mellom aksjeavkasning og konsumveks varierer mellom land. Dee reflekerer muligens den ulike beydningen aksjemarkede har for økonomisk uvikling mellom veslige land. The risk free ineres rae puzzle: Inuisjon: Høy meravkasning i aksjemarkede kan forklares med høy risikoaversjon (γ. CRRA-nye innebærer imidlerid a vi da får lav ineremporær subsiusjonselasisie, dvs. a folk generel har lien vilje il å flye konsum over id. Fra daa finner vi a risikoaversjonen er høy og a dee forklarer meravkasningen, men a konsumveksen er sabil. Dee semmer med inuisjonen om a risikoaverse invesorer krever høy meravkasning (risikopremie fra aksjer og 9/41
a de ønsker sabilie i konsume over id. Probleme er a vi observerer konsumveks, og a dee kan forklares med høy idspreferanserae, β, som innebærer a man veklegger fremidig konsum serkere enn dagens konsum. Dee bryer med foruseningene for modellen og med hva som er konsensus rund nyefunksjonen (nemlig a 0 < β < 1. I modellen med CRRA-nye og lognormalfordel konsumveks fan vi følgende urykk for den risikofri rena: ln(1+ r = ln β 1 γ var Δ ln c +1 [ ] + γ E[ Δ ln c +1 ] Gi den verdien på γ som kreves for å forklare risikopremien i aksjemarkede kan vi finne den verdien på β som macher daaene. I de flese ilfellene fra Campbells daa finner vi a β > 1, noe som innebærer a idspreferanseraer som er svær nær null eller il og med negaive. Dee er lie plausibel, og derfor er dee e såkal puzzle. The equiy premium puzzle: La oss se nærmere på urykke for risikopremien i ligning (14: ln[ (1 + z ] ln(1+ r = γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] Ved å løse dee urykke for γ, kan vi finne e urykk for relaiv risikoaversjon forklar av modellen: γ = ln [ E (1+ z ] ln(1 + r cov ln(1+ z, Δ ln(c +1 [ ] Daaene il Campbell viser a for alle landene i uvalge ligger disse verdiene for den relaive risikoaversjonen fra 10 og oppover. Ifølge de flese økonomer er 10 e absolu maksimum på relaiv risikoaversjon. Dee probleme er referer il som he equiy premium puzzle. Noen forsøk på løsninger av puzzles: Separering av risikoaversjon og ineremporær subsiusjon: En problemaisk egenskap ved CRRA nyefunksjonen er den ee linken mellom riskoaversjon og den ineremporære subsiusjonselasisieen. Epsein-Zin preferanser beholder mange av de arakive egenskapene men bryer dee ee forholde. Lar nå γ forsa beegne den relaive risikoaversjonen, men lar ψ beegne den represenaive akørs ineremporære subsiusjonselasisie. Denne nyefunksjonen kan preseneres slik: θ 1 γ 1 1 γ θ θ U = (1 βc + β U +1 Anar her a θ ( 1 γ 1 1, slik a dersom γ = 1 kan denne nyefunksjonen reduseres il CRRA ψ ψ nyefunksjonen. Resulaer fra denne nyeformuleringen er: o Høy risikoaversjon renger ikke lenger bey høy rene (eller negaiv idspreferanserae, dvs. δ 0 β 1. Her renger nå ikke ψ være lien selv om γ er sor. Dee kan da forklare konsumveksen uen negaiv idspreferanserae. Probleme blir nå a de empiriske verdiene for den ineremporære subsiusjonselasisieen, ψ, er lave. Vanedanning: 10/41
Eksempel på dee kan være a c = 100 gir høyere nye dersom c 1 = 80 enn dersom c 1 = 90. Dee kommer av a man legger sine idligere nyenivåer il grunne når man vurderer kommende nye. Inuisjonen bak dee er a man kan forklare konsumveksen med vanedanning isede for høy diskoneringsfakor, β. De kan videre vises a de oppsår e problem ved a vanedanning vil forårsake sore svingninger i realrena, og dee er svingninger som ikke observeres i daa. Kore daaserier: Selv om vi for enkele markeder har daaserier som srekker seg over mer enn 100 år, er forsa den saisiske usikkerheen il esimere serier sor. Overlevelsesskjevhe og kaasroferisiko: Vi bruker daa fra markeder som har overlevd og voks i løpe av de forrige århundre. Hva med markeder som ikke har klar seg. Vil inkludering av disse endre daasee vår? Ved å overse risikoen for kaasrofale begivenheer (finanskriser, depresjoner, verdenskriger, masseødeleggelsesvåpen, jordskjelv, sunamier, aseroidekollisjon, svaredauden, fugleinfluensa ec, så overser vi poensiel en sor risikokilde, og dermed overesimerer vi meravkasningen il aksjeinveseringer. Dee inkluderes i modellen baser på Lucas (1978 asse-pricing model. Lucas-modellen : Anar her en byeøkonomi, dvs. hvor produksjonen i hver periode er eksogen og ikke kan lagres. Beegner så produksjonen i periode med A. Med en lukke økonomi beyr dee i likevek a all produksjon går il konsum, slik a også konsume er eksogen. Dermed kan vi benye Euler-ligningene (dvs. førseordensbeingelsene for opimal konsum il å verdsee akiva som en funksjon av eksogen konsum. Anar så a vi kan velge mellom o akiva i enhver periode: - Aksjemarkede gir krav på produksjonen. Bruoavkasning her er gi ved R 1 e = A +1 P 1. - Risikofri alernaiv med bruoavkasning lik R 1 f. Definerer her ρ som en subjekiv diskoneringsrae, og formulerer nyefunksjonen slik: C 1 θ U = e ρi +i 1 1 θ, der vi har a e ρi ugjør de vi idligere kale β, og i=0 brøken med konsumparameeren er lik den vi hadde da vi definere CRRA-nye. Vi ve så videre a for alle akiva som kan handles i periode gjelder Euler-ligningen: u'(c = e ρ e u'(c +1 R 1 Ved å unye CRRA-nye (dvs. a u'(c = C θ og a vi har en lukke byeøkonomi (dvs. a C = A, kan vi skrive om Euler-ligningen il e urykk med produksjon: A θ = e ρ A θ e +1 R 1 A θ = e ρ A θ +1 A +1 P P A θ = e ρ 1 θ A +1 P = e ρ A θ 1 θ A +1 (15 11/41
Ligning (15 her gir e urykk for aksjeprisen i periode som funksjon av produksjon idag og forvene produksjon i nese periode. Vi renger nå en produkfunksjon, og anar a denne kan represeneres som følger: A +1 = A e γ e u +1 ev +1 (16 Her har vi a produksjonen avhenger av produksjonen i perioden før, en rendveks i produksjonen sam noen sokasiske sjokk. Nærmere spesifiser har vi a: γ - parameer for konsan rendveks (. u +1 - hvi søy (eks. Konjunkursvingninger. Anar a denne er N 0,σ v +1 - kaasrofeparameer. Påvirkningskraf på produksjonen av evenuelle kaasrofehendelser. Anar a denne har følgende egenskaper: v +1 = 0 ssh e p ln(1 b ssh (1-e p Dee innebærer a dersom p = 0 e p = 1 p e p 0 Og a dersom en kaasrofe skulle innreffe, så reduseres produksjonen med en fakor b. Sammenlign sise ledde i (16 med og uen kaasrofeinnreffelse: A +1 = A e γ e u +1 (1 b vs A = A +1 eγ e u +1 Ta nå den naurlige logarimen il produkfunksjonen (16: ln A +1 = ln A + γ + u +1 + v +1 Δ ln A +1 = γ + u +1 + v +1 (17 E esima på b, baser på empiri, er 0,4. De er imidlerid en veldig lien sannsynlighe for a noe innreffer slik a produksjonen reduseres med hele 40%. Derfor velger vi i førse omgang å se på en benchmark siuasjon uen kaasroferisiko. Dvs. a vi kuer bor de sise ledde i ligning (17. Benchmark: ingen kaasroferisiko: Benyer da en lien forenkling av produkfunksjonen (16, og seer denne inn i prisligningen for aksjeavkasning gi ved ligning (15. Dvs. A +1 = A e γ +u +1 inn i P = e ρ A θ 1 θ A +1 ( 1 θ P = e ρ A θ A e γ +u +1 P = e ρ A e (γ +u +1 (1 θ P = e γ (1 θ ρ A e u +1 (1 θ Dersom en uavhengig variabel, X, er normalfordel, så er: E e X Unyer så a u +1 N 0,σ ( = e E X (, slik a vi kan skrive om urykke il: P = e γ (1 θ ρ A e E ( u +1 (1 θ + 1 var ( u +1 (1 θ P = e γ (1 θ ρ A e E ( u +1 E( 1 θ+ 1 (1 θ var( u +1 1 P = e γ (1 θ ρ A e (1 θ σ ( + 1 var X P = A e γ (1 θ ρ+ 1 (1 θ σ (18 (. 1/41
Ligning (18 gir her e endelig urykk for prisen i aksjemarkede idag som funksjon av idspreferanserae, risikoaversjon, konjunkurrisiko (gi ved variansen il parameeren u, σ og av dagens produksjonsnivå. [ ] = E A e γ +u +1 Siden vi har a E A +1 = A e γ e E(u +1 + 1 var(u +1 = A e γ + 1 σ, kan avkasningen i aksjemarkede nå represeneres ved følgende urykk: [ ] e E R = E A +1 A = e γ + 1 σ = e P A e γ (1 θ ρ+ 1 (1 θ σ Tar nå den naurlige logarimen il bruoavkasningen og får e penere urykk: e ln E R γ + 1 σ γ (1 θ ρ+ 1 (1 θ σ = e ρ+γθ 1 θ σ +θσ ( = ρ + γθ 1 θ σ + θσ (19 Dee minner mye om CCAPM gi ved (13. Husk a denne var gi som: ln(1+ z [ ] = ln β + γ ( Δ ln(c +1 [ ] + γ var ( Δ ln(c +1 γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] 1 var ln(1 + z Vi kan nå sammenligne ved å se følgende linker: ln β ρ ( γθ ( θ σ [ ] θσ γ Δ ln(c +1 γ var Δ ln(c +1 γ cov ln(1 + z, Δ ln(c +1 Vi kan ikke finne igjen ledde 1 var [ ln(1+ z ] i (19, men dee kommer kun av en e omskrivning. Merk ln E R ( vs ln(1+ z [ ]. Ved å skrive CCAPM på samme form finner vi a [ ln(1+ z ] = ln[ (1+ z ] 1 var [ ln(1+ z ], og dermed faller dee ledde bor. Slik modellen vår er gi i (19 er den pålag mer srukur enn sandardmodellen. Ser nå på den risikofri rena med denne ilnærmingen. Tar da ugangspunk i Euler-ligningen: u '(C = e ρ R f u '(C +1 [ ] Unyer så de samme foruseningene om produkfunksjonen, byeøkonomi og CRRA-nye: A θ = e ρ R f θ A +1 ( ( θ A θ = e ρ R f A θ e γ +u +1 A θ = e ρ R f A θ e θγ e θu +1 1 = e ρ R f e θγ e E ( θu +1 + 1 θ σ 1 = e ρ R f e θγ e E ( θu +1 + 1 θ σ 1 = R f e ρ θγ + 1 θ σ f R = e ρ+θγ 1 θ σ Tar så den naurlige logarimen il dee urykke og får da: 13/41
f ln R = ρ + θγ 1 θ σ Dee ligner også på urykke fra CCAPM gi i ligning (1 som: ln(1+ r = ln β 1 γ var Δ ln c +1 Har her følgende linker: lnβ ρ [ ] θ σ [ ] θγ γ var Δ lnc +1 γ E Δ ln c +1 [ ] + γ E[ Δ ln c +1 ] Konklusjoner vi foreløpig kan rekke er a Lucas spesifiserer resen av økonomien (f.eks. med produkfunksjon, men urykkene semmer likevel overens med CCAPM. Konsumveks er lik produksjonsveksen. Risikopremien i denne modellen er nå gi som: e e p = ln ( R ln R f = θσ Husk a denne i CCAPM er gi ved (14 som: ln[ (1 + z ] ln(1+ r = γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] Dee er også ekvivalen, hvilke beyr a vi kommer frem il samme resula selv med mer e e e srukur pålag modellen. Merk også a: ln R = ln 1+ r r Konfronasjon med daa (ref. Tabell 5 i Barro s arikkel: Daaene il Barro anyder følgende parameerverdier: θ = 4 ρ = 0,03 σ = 0,0 γ = 0,05 Dee innbærer følgende resulaer fra modellen: e ln ( R = 0,184 = 1,84% f ln R = 0,168 = 1,68% e p = 0,16% Disse daaene anyder en svær lien risikopremie, sam en mege høy risikofri rene. Dee semmer ikke overens med observere daa, og gir dermed forsa e equiy premium puzzle. Inkluderer kaasroferisiko: Har a produksjonen er gi ved urykke i (16: A +1 = A e γ e u +1 ev +1 Aksjeprisen er gi ved (15 som: P = e ρ A θ 1 θ A +1 Aksjeavkasningen er da forsa definer ved: [ ] e E R = E A +1 P Anar forsa følgende egenskaper ved parameerne: u +1 N 0,σ ( ( = 0 cov u +1,v +1 14/41
0 m/ssh e-p dvs e v +1 v +1 = = e0 = 1 ln(1 b m/ssh (1-e -p dvs e v +1 = eln(1 b = 1 b Gi disse egenskapene, kan vi a forvenningsverdien il fremidig produksjon: [ A +1 ] = A e γ e u +1 ev +1 [ ] = A e γ e u +1 ev +1 [ ] = A e γ e u +1 A +1 A +1 e v +1 [ A +1 ] = A e γ e E ( u +1 + 1 var ( u +1 1 [ ] = A e γ e A +1 σ e p + 1 e p e p e 0 + ( 1 e p 1 b ( 1 b ( ( 1 θ For å komme frem il urykke for aksjeprisen må vi finne e urykk for A +1. A 1 θ +1 = A 1 θ e ( 1 θγ e ( 1 θu +1 e ( 1 θv +1 1 θ ( 1 θ A +1 = A e ( 1 θγ e ( 1 θ σ e p + 1 e p Seer så inn dee i urykke for aksjepris: P = e ρ A θ ( 1 θ A e 1 θ ( γ e 1 1 1 θ ( σ e p + 1 e p ( 1 b ( 1 b ( 1 b ( ( 1 θ ( ( 1 θ ρ+ 1 θ P = A e ( γ + 1 ( 1 θ σ e p + 1 e p ( ( 1 θ (1 Ser her a forskjellen, som kommer av kaasroferisiko, fra (18 er de sise ledde. Hva gjør dee med aksjeprisen? Dee kommer an på sørrelsen av risikoaversjonskoeffisienen, θ : o Siden parenesen er e veid sni av 1 og 1 b (, så kan vi se a: ( 1 θ ( 1 θ Hvis θ > 1 så er 1 b > 1 og aksjeprisen øker som følge av inkludering av kaasroferisiko. Hvis derimo θ < 1 så er ( 1 b < 1 og aksjeprisen reduseres. To effeker på aksjeprisene: i Invesorene vrir poreføljesammensening mo de risikofrie alernaive. Dvs. a eerspørselen eer aksjer reduseres og prisene går ned. ii Øk sparing som følge av øk usikkerhe vil bidra il øk eerspørsel eer aksjer slik a prisene øker. Tier så på forvene avkasning på aksjer: [ ] e E R = E A +1 = P 1 A e γ e σ e p + 1 e p ( 1 b ρ+ 1 θ A e ( γ + 1 ( 1 θ σ e p + 1 e p e E R = e γ + 1 σ + ρ ( 1 θγ 1 ( 1 θ σ e p + 1 e p e p + 1 e p e E R = e ρ+θγ +θσ 1 θ σ e p + 1 e p e p + 1 e p ( ( 1 b ( 1 b ( 1 b ( ( 1 b ( ( 1 b 1 θ ( ( ( 1 θ ( ( 1 θ (0 ( ( Forskjellen i forvene bruoavkasning som følge av a vi inkluderer kaasroferisiko er gi ved de sise ledde (brøken i ligning (. 15/41
( 1 θ (, dvs. a kaasroferisiko reduserer forvene avkasning. Gi a θ > 1, så vil 1 b ( > 1 b Merk a logarimen il bruoavkasning er ilnærme lik neo avkasning, slik a vi kan skrive: e ln E R = ln e ρ+θγ +θσ 1 θ σ e p + 1 e p ( ( 1 b e p + ( 1 e p ( 1 b ( 1 θ ( 1 b ( ( 1 b ( ( 1 θ e ln E R = ρ + θγ + θσ 1 θ σ + ln e p + 1 e p ln e p + 1 e p Kan så benye en førseordens Taylor-approksimasjon for de o sise leddene her, slik a vi får e penere urykk for neo avkasning: 1. ordens Taylor-approksimasjon for en generell funksjon g(p rund g(0 er gi ved g(0 + g (0p I dee ilfelle har vi da a: g(p = ln e p + 1 e p g(0 = ln e 0 + 1 e 0 Og dermed a: ( 1 b ( 1 b g'(p = e p + e p 1 b e p + 1 e p ( ( 1 θ ( ( 1 θ ( ( 1 θ ( ( 1 b g'(0 = e0 + e 0 1 b e 0 + 1 e 0 ( ( 1 θ ( = 1 b ( 1 b Ved å benye disse approksimasjonene kan vi skrive om urykke ovenfor il: ( 1 θ e ln E R = ρ + θγ + θσ 1 θ σ bp 1 b ( 1 p [ ] = 0 = ln 1+ 0 ( ( 1 θ 1 Kan dermed skrive approksimasjonen av de o sise leddene i urykke ovenfor som hhv: ln e p + ( 1 e p ( 1 b bp og ln e p + ( 1 e p ( 1 b ( 1 θ 0 + ( 1 b ( 1 θ 1 p ( θ 1 e ln E R = ρ + θγ + θσ 1 θ σ p(1 b 1 b (3 Ser så på obligasjonsavkasningen for å få e mål på den risikofri rena: Anar dermed implisi a de ikke eksiserer noen risiko for defaul, dvs. a skriveren av obligasjonene ikke bealer for seg. Tar ugangspunk i Euler-ligningen: A θ = e ρ R f θ A +1 θ Finner så e urykk for A +1 på følgende måe: A θ +1 = A θ e θγ e θu +1 e θv +1 ( 1 b θ A +1 = A θ e θγ + 1 θ σ e p + 1 e p Seer så inn dee i Euler ligningen: ( θ 16/41
A θ = e ρ R f A θ e θγ + 1 θ σ A θ = R f A θ e ρ θγ + 1 θ σ e p + ( 1 e p 1 b ( θ e p + ( 1 e p 1 b ( 1 b ( θ ( θ f R = e ρ+θγ 1 θ σ e p + 1 e p Tar så logarimen il denne risikofri bruoavkasningen, og får da risikofri neo avkasning: ln R f = ρ + θγ 1 θ σ ln e p + 1 e p 1 ( 1 b ( θ Benyer så en førseordens Taylor approksimasjon også her: ln R f ( θ 1 = ρ + θγ 1 θ σ p 1 b Kan her se a (gi a θ > 1 den risikofrie rena også er reduser som følge av inkluderingen av kaasroferisiko. Kan også se a denne reduseres mer enn aksjeavkasningen gjorde. Vi har også her o effeker: i Vridning i poreføljesammenseningen fra aksjer mo obligasjoner. Dee innebærer øk eerspørsel eer obligasjoner, som gir øke priser og dermed reduser avkasning. ii Øk sparing (som følge av øk usikkerhe gir generel øk eerspørsel eer sparealernaiver (både aksjer og obligasjoner. Dee gir øke priser og reduserer avkasningen. Vi kan nå se a risikopremien øker. Denne er gi ved differansen mellom (3 og (4: Risikopremie = θσ + pb ( 1 b θ 1 Kalibrering av modellen: Fra Barro har vi følgende parameerverdier: θ = 4 γ = 0,05 σ = 0,0 p = 0,017 ρ = 0,03 b = 0, 4 Parameerverdien b=0,4 innebærer a ved en kaasrofe vil BNP reduseres med 40%. Gi disse parameerverdiene har vi følgende: Forvene aksjeavkasning: 5,99% Risikofri rene: 1,6% Forvene risikopremie: 4,73% Denne modellen kan forklare he equiy premium puzzle. (4 Behavioral Finance Dee er en fellesbeegnelse på eori som forsøker å forklare finansielle fenomener hvor akørene ikke er full u rasjonelle. De forskes mye på område som er en del av de sørre emae behavioral economics. Område baserer seg på o grunnpilarer, grenser for arbirasje og psykologi. Ikke-rasjonalie og arbirasje: En av de vikigse prediksjonene fra finanseori med rasjonelle akører er a priser i finansmarkedene reflekerer fundamenale forhold: Markedene er effisiene. Argumene hviler på a priser som avviker 17/41
fra sin fundamenalverdi vil bli korriger ved arbirasje fra rasjonelle invesorer. Dee argumene hviler igjen på o anagelser: o Så for de er e avvik fra fundamenale forhold (dvs. vi har feilprising så skapes en arakiv inveseringsmulighe. o Rasjonelle invesorer vil rask unye muligheen, og dermed korrigeres feilprisingen. Behavioral finance argumenerer for a førse del av denne logikken er feil. Feilprising skaper ikke nødvendigvis en arakiv inveseringsmulighe fordi den kan være risikofyl og de kan være kosbar å unye feilprisingen. Dermed åpner man for muligheen a vi kan ha sore og langvarige avvik fra fundamenale priser. Vi skal nå se nærmere på en modell som ar hensyn il o yper invesorer; o Rasjonelle invesorer som søker å unye arbirasjemuligheer. o Såkale Noise raders som opererer uavhengig av fundamenale sørrelser. Dee dreier seg f.eks. om invesorer som blind baserer sine inveseringer på medieomale, råd fra meglere ec. I slike ilfeller sår de rasjonelle invesorene ovenfor en Noise rader risiko i illegg il den fundamenale risikoen. Denne nye risikoen kan være a en feilprising som forsøkes unye av de rasjonelle invesorene blir forverre på kor sik som følge av noise rader akivie. De er derfor vikig å merke seg a rasjonelle invesorer av denne grunn ikke allid vil ønske å unye seg av arbirasjemuligheer selv om de ser a de er il sede. Noise-rader modell (Schleifer; Inefficien markes, kap. : Grunnlage for modellen: o Hva om vi har begrense arbirasjeakivie? o Hva om noen invesorer er irrasjonelle og opererer i flokk? Senrale foruseninger: o Rasjonelle akører har risikoaversjon og kor inveseringshorison. Dee ser u il å være en rimelig forusening siden: De er begrensninger på shor-salg. Fondsforvalere evalueres og avlønnes baser på kore perioder. Begrense informasjon mellom invesorer og forvalere. o Noise-raders har feil oppfaning om fremidig pris. Denne feiloppfaningen varierer over id. Lar ρ være feiloppfaningen i periode om prisen i periode +1, ρ = Eρ +1. Anar a feiloppfaningen er normalfordel, ρ N ( ρ*,σ ρ. Fenomene noise raders virker også rimelig siden: Dee kan forklare bobler. De eksiserer mye kvasi-informasjon (meglerråd, finanspressen ec. Psykologiske mekanismer. Vi normaliserer befolkningen il 1, og definerer andelen noise raders som µ. Formulerer modellene som en overlappende generasjonsmodell, der; o Alle lever i o perioder, men de kommer nye generasjoner il eersom gamle dør. o Periode 1: som unge inveserer invesorene sin iniialformue. o Periode : som gamle konsumerer de sin sluformue. To akiva som gir samme sikre dividende, r: o Sikker akivum: Fullsendig elasisk ilbud (uendelig ilbud. Pris = 1. o Risikabel akivum: Fullsendig uelasisk ilbud (1 enhe. Ukjen pris. Eerspørsel eer de usikre akivume er λ R I fra hver rasjonell akør og λ fra hver irrasjonell akør (noise rader. Begge yper har CARA-nye (consan absolue risk aversion, definer over sluformue, x: U(x = e γ x 18/41