Finansielle metoder for produksjonsplanlegging av vannkraft

Transkript

1 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Forord Denne rapporen er skreve ved Norges eknisk-naurvienskapelige universie, høsen 2005, i forbindelse med fordypningsemne Invesering, finans og økonomisyring ved Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse. Vi vil ree en sor akk il Sein-Erik Fleen for god veiledning og verdifulle innspill gjennom hele semesere. Takk il Håvard Hvarnes ved Elkem Energi AS for nyige diskusjoner, ilgang il daa og for iniiaive il prosjeke. Vi ønsker også å akke Marin Nowak ved Sinef eknologi og samfunn for diskusjon rund den grunnleggende problemsillingen. Anders Gjelsvik ved Sinef energiforskning forjener en akk for å gi oss bedre innsik i eksiserende meoder og innfallsvinkler. Sis vil vi også akke Olav Fosso ved Insiu for elkrafeknikk, NTNU, for mege relevane forelesninger og informasjon om eksiserende analyseappara. Trondheim, 17. desember 2005 Marin Geving Pedersen Marcus Navjord Winnem I

2 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Sammendrag Vannkrafprodusenens hovedufordring er å ilsrebe opimal forvalning av vanne i magasiner. Sor usikkerhe i framidig srømpris og ilsig kompliserer besluningsprosessen. Denne rapporen vedrører hvordan finanseori kan anvendes for å analysere og løse produksjonsplanleggingsprobleme. I e finansiel perspekiv kan e vannkrafverk berakes som e kompleks deriva på srømpris og ilsig. Magasine gir vannkrafprodusenen en opsjon på å velge mellom å produsere umiddelbar og å spare vanne i magasine. Denne opsjonen er av amerikansk karaker. Andre forhold som kompliserer er a vannverdien, som kan olkes som innløsningskurs, er en sokasisk funksjon av pris, ilsig og magasinnivå. Eer dereguleringen av de norske krafmarkede i 1991 har norske vannkrafprodusener vær nød il å forholde seg il en svær volail srømpris. Som handelsvare er srøm spesiell, siden lagringsmuligheene er svær begrensede. Sandard arbirasjeargumener kan derfor ikke brukes for å prise framidige leveranser. I 1993 ble den fellesnordiske krafbørsen Nord Pool ASA eabler og i eerid har de uvikle seg e relaiv likvid marked for ulike konraker. Spoprisen uviser imidlerid av fundamenale grunner forsa spesielle egenskaper som mange og høye spisser, sesongavhengighe og mean reversion (Lucia og Schwarz, 2002). Lucia og Schwarz (2002) påviser også unge haler og posiiv skjevhe i fordelingen for avkasningen il spoprisen. For å maksimere markedsverdien bør produsenen il ross for dee unye ilgjengelig informasjon i erminmarkede under produksjonsplanleggingen. I rapporen preseneres en deerminisisk og en sokasisk opimeringsformulering for produksjonsplanleggingsprobleme. Modellene gjelder for e sysem begrense il e magasin og én sasjon. De anas også a produsenen er prisaker og a måle for planleggingen er å maksimere markedsverdien av produksjonen. For den sokasiske formuleringen foreslår vi en algorime baser på Leas Square Mone Carlo simulering (Longsaff og Schwarz, 2001). Den deerminisiske formuleringen er bli implemener som e lineær program i Malab. Prisbeskrivelsen som er bruk er baser på Ornsein-Uhlenbeck-prosessen, og er kalibrer il erminsrukuren for fuure- og forwardkonraker. Ved å kjøre modellen for mange ulike scenarier for pris og ilsig finner vi en øvre grense for verdien av produksjonen og e forløp for opimal forvene produksjonssraegi og magasinforvalning. Resulaene for opimal forvene produksjon uviser fornufige sesongmessige variasjoner. Imidlerid blir, som en følge av a pris og ilsig er deerminisisk kjen, resriksjonene ofe unye hel il grensene. E fassa sluvolum innebærer også a variansen il magasinnivåe over scenariene blir kunsig lav mo sluen. Som en følge av a produksjonsfunksjonen er reduser il produke av en konsan og vannsrømmen, blir de også inroduser bias mo for lave magasinnivåer i løsningen. En deerminisisk modell baser på scenarioopimering kan være e nyig redskap for å illusrere dynamikken i probleme og for å finne en øvre grense for verdien av produksjonen. Løsningen unyer imidlerid grensene for god. For å finne en mer realisisk produksjonssraegi bør en sokasisk modell benyes. Den foreslåe LSM-algorimen ar høyde for dee. II

3 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Innholdsforegnelse FORORD...I SAMMENDRAG... II INNHOLDSFORTEGNELSE...III 1 INNLEDNING PRODUKSJONSPLANLEGGINGSPROBLEMET VANNVERDIKRITERIET KLASSISK PLANLEGGINGSHIERARKI Langidsplanlegging Sesongplanlegging Koridsplanlegging Koblinger mellom de ulike nivåene i planleggingshierarkie Analysehorison og reguleringsgrad Kommersielle løsninger for produksjonsplanlegging PRODUKSJONSPLANLEGGING I ET FINANSIELT PERSPEKTIV ANTAGELSER Vannmagasine som opphav il merverdi Vannkraf som spread opsjon KRAFTMARKEDET DET FYSISKE MARKEDET DET FINANSIELLE MARKEDET SAMMENHENG MELLOM SPOT OG FORWARDPRIS STRØMPRISENS OPPFØRSEL Sprang i pris Mean reversion Tunge haler i prisfordelingen Sesongavhengighe HEDGING AV KRAFTPRODUKSJON IKKE-KOMPLETT MARKED MARKEDSPRIS PÅ TILSIGSRISIKO POTENSIELLE HEDGEPRODUKTER OG FORVENTEDE POSISJONER MODELLER STOKASTISKE MODELLER Prismodell Tilsigsmodell SYSTEMBESKRIVELSE Produksjonsfunksjonen RESTRIKSJONER I SYSTEMET DETERMINISTISK OPTIMERINGSMODELL Anvendelser av modellen STOKASTISK OPTIMERINGSMODELL LØSNINGSMETODER PRISING AV AMERIKANSKE OPSJONER VED SIMULERING Leas Square Mone Carlo LSM-algorimen LSM-ALGORITME FOR PRODUKSJONSPLANLEGGINGSPROBLEMET Forklaring av LSM-algorime Verdi av slumagasin ved analysehorisonen III

4 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 8 IMPLEMENTERING AV DEN DETERMINISTISKE MODELLEN KALIBRERING AV PRISMODELL SIMULERING AV PRIS OG TILSIG LINEARISERING AV PRODUKSJONSFUNKSJONEN DISKONTERINGSFAKTOR PRESENTASJON AV RESULTATER OG DISKUSJON INNVIRKNING AV FORENKLING AV PRODUKSJONSFUNKSJONEN VERDIEN AV PRODUKSJONEN SENSITIVITET FORVENTET PRODUKSJONSSTRATEGI FORVENTEDE KONTANTSTRØMMER FORBEDRINGSPOTENSIALE MED EN STOKASTISK OPTIMERINGSMODELL ANBEFALINGER TIL VIDERE ARBEID KONKLUSJON REFERANSER IV

5 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 1 Innledning Eer dereguleringen av de nordiske krafmarkede er siuasjonen for norske vannkrafprodusener berakelig endre. Omsillingen har medfør a akørene må a hensyn il e kompliser og volail marked under planleggingen av produksjonen. Hensiken med dee prosjeke har vær å gi forfaerne innsik i ulike aspeker og akuelle løsningsmeoder forbunde med produksjonsplanlegging av vannkraf i dagens siuasjon. Både framidig pris og ilsig er forbunde med høy grad av usikkerhe. Generel er modellene som brukes for produksjonsplanlegging likevel baser på deerminisiske formuleringer. Dee skyldes a sokasiske opimeringsmodeller er mer krevende å løse. Kommersialisere modeller for produksjonsplanlegging, som Samkjøringsmodellen og Vansimap, baserer seg videre på fundamenalmodeller for å beskrive uviklingen il srømprisen. De kan imidlerid argumeneres for a måle bør være å maksimere markedsverdien av produksjonen. Med e finansiel forankre ugangspunk vil derfor en ideell modell for produksjonsplanlegging basere seg på en sokasisk opimeringsmodell med en prisbeskrivelse som beinger på ilgjengelig markedsinformasjon. I prosjeke er de a ugangspunk i e krafverk eid av Elkem Energi AS 1. En deerminisisk modell preseneres, og er implemener for de akuelle syseme. Prisbeskrivelsen i modellen beinger på informasjon i erminsrukuren for fuure- og forwardkonraker. En sokasisk formulering for probleme preseneres også. En algorime, baser på Leas Square Mone Carlo simulering (LSM), for å løse de sokasiske probleme blir foreslå. I forbindelse med prosjeke er relevan lieraur suder. Wallace og Fleen (2003) beskriver produksjonsplanleggingsprobleme og presenerer både deerminisiske og sokasiske problemformuleringer. Lucia og Schwarz (2002) presenerer en inngående sudie av de nordiske krafmarkede og srømprisens egenskaper. Davison, Rasmussen og Thompson (2004) analyserer produksjonsplanleggingsprobleme med realopsjonseori. Longsaff og Schwarz (2001) uvikle LSM for prising av opsjoner med amerikansk karaker. Rapporens srukur er som følger: I kapiel 2 analyseres og drøfes produksjonsplanleggingsprobleme generel og i kapiel 3 i e finansiel perspekiv. Dereer følger i kapiel 4 en beskrivelse av de nordiske krafmarkede, egenskaper ved srømprisen og de ulike konrakene som handles. I kapiel 5 diskueres hedging av vannkrafproduksjon generel og pris på ilsigsrisiko. Modeller for pris og ilsig, en beskrivelse av de konkree syseme og opimeringsmodeller preseneres i kapiel 6. I kapiel 7 behandles eorien bak LSM og en algorime for produksjonsplanleggingsprobleme blir presener. Implemeneringen av den deerminisiske modellen er beskreve i kapiel 8, og resulaene fra den deerminisiske modellen drøfes i kapiel 9 før konklusjonen i kapiel Hereer referer il som Elkem. 1

6 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 2 Produksjonsplanleggingsprobleme Forvalning av vanne i magasiner er vannkrafprodusenens 1 ulimae ufordring. Generel ønsker produsenen å besemme opimal mengde vann som skal slippes gjennom syseme il enhver id. Dee er ekvivalen med a produsenen må besemme hvor mye vann som skal lagres il e senere idspunk. Planlegging av produksjonen er avgjørende i denne sammenheng. For å komme fram il en bes mulig produksjonsplan er de nødvendig å a hensyn il usikkerheen i probleme. Sokasikken knyer seg hovedsakelig il usikkerhe i krafpriser og ilsig 2. Måle for opimaliseringen avhenger imidlerid av i hvilken grad krafmarkede er reguler. I e reguler marked gir produksjonsplanleggingen opphav il e kosnadsminimaliseringsproblem med gie eerspørselsresriksjoner (Wallace og Fleen, 2003). Når produsenen er forplike il å møe en prisuelasisk eerspørsel, vil ikke krafprisen inngå i opimeringsprobleme. De bese produsenen kan oppnå er å minimere kosnader. Dee var ilnærme siuasjonen for norske vannkrafprodusener idligere. Eer dereguleringen av de norske krafmarkede i 1991 og oppreelsen av krafbørsen Nord Pool i 1993 er produksjonsplanleggingsprobleme endre. Produsenen kan nå gjøre ransaksjoner i markede, for å møe forplikelser, som alernaiv il egen produksjon. Wallace og Fleen (2003) gir e formel argumen for a eerspørselsresriksjonene blir overflødige i e dereguler marked. Måle i dagens siuasjon bør dermed være å maksimere forvene markedsverdi av produksjonen (Wallace og Fleen, 2003). 2.1 Vannverdikrierie For å vise konkre hvordan avveiningen mellom å lagre vanne og å produsere umiddelbar gir føringer for produksjonsplanen er de hensiksmessig å innføre en formell noasjon for verdien av anlegge. La V være markedsverdien av anlegge på idspunk. Vi kan da skrive: V Π i wm ( i, qi) = max E, (2.1) i i= ( 1+ r) der Π er den sokasiske srømprisen, w er srømproduksjon som funksjon av magasinnivå, m, og vannsrøm, q 3, og r er en passende diskoneringsrene. Verdien av anlegge er alså en sum av de neddiskonere innekene fra hver periode. De vil si a alle kosnader ved drifen er neglisjer, sam a de er gjor en diskreisering av den i ugangspunke koninuerlige besluningsprosessen. 1 Hereer kun referer il som produsenen. 2 De vil også være usikkerhe knye il forhold som uforuse havari. 3 [q ] = m 3 2

7 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Verdien av anlegge kan åpenbar også formuleres rekursiv: [ ] EV V = max E[ Π w( m, q) ] + q, m 1+ r + 1. (2.2) Gi a vi sår i saren av periode og anar a ufalle for prisen, π, dermed er kjen så blir (2.2): [ ] EV V = max π w( m, q) + q, m 1+ r + 1. (2.3) Vi ønsker å finne e krierium for opimal forvalning av vanne, og deriverer derfor urykke som maksimeres i (2.3) med hensyn på vannsrømmen: [ ] d EV μv 1 (, ) ( (, )) m + π wm q + = π wm q + dq r q m q (2.4) μ V+1 = μ V+1 (m +1, ψ, π ) er forvene verdi av anlegge i periode +1 neddiskoner og ψ er ufalle for ilsige. Den derivere av magasinnivåe med hensyn på vannsrømmen må være lik -1. Dee gjenspeiler direke flybalansen i den maemaiske formuleringen av produksjonsplanleggingsprobleme 1. Ved å kreve førseordensbeingelsene for opimalie oppfyl får vi dermed: μ m wm (, q). (2.5) V + 1 = π + 1 q Ligning (2.5) beyr i økonomisk forsand a produsenen i enhver periode bør produsere innil den marginale endringen av den forvenede verdien av anlegge i den påfølgende periode neddiskoner blir lik den marginale innjeningen fra produksjonen i inneværende periode. De er denne sørrelsen, μ V+1 / m +1, som omales som marginal vannverdi. I resen av oppgaven vil vi referere il denne sørrelsen kun som vannverdi. I den forugående analysen er de ikke a hensyn il a de kan være resriksjoner på vannsrømmen, q, eller på magasinnivåe, m. Hvis magasine er full, og ilsige er sørre enn maksimal vannsrøm, vil de oppså overløp. m +1 / q vil bli null og vannverdien er følgelig null. E anne spesialilfelle som kan oppså er a prisen i en periode er så høy a de er opimal å produsere så mye som mulig, selv om de ikke er fare for overløp. (2.5) vil da ikke nødvendigvis kunne oppfylles som likhe. Dee er illusrer i figur 2.1, hvor Q max er maksimal vannsrøm. Mer generel vil dermed krierie for opimal produksjon være på formen: max q s.. μ m wm (, q) V + 1 π + 1 q (2.6) 1 Se kapiel 6.4 og

8 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf π wm (, q) + μ V + 1 lav høy Q max Q max q Figur 2.1: Illusrasjon av verdi av produksjon som funksjon av q. 2.2 Klassisk planleggingshierarki 1 Vannverdikrierie gir oss e formel vilkår for hvordan vi bør uforme produksjonsplanen. Imidlerid er kompleksieen i produksjonsplanleggingsprobleme forsa beydelig. De er usikkerhe i priser og ilsig, de fysiske syseme kan beså av flere magasiner med ulike koblinger og flere sasjoner, deler av probleme er ulineær og mange ulike resriksjoner og føringer spiller inn. Samidig er de nødvendig med en lang analysehorison for å fange opp langsikige render og sesongvariasjoner. En enkel modell med ilsrekkelig dealjeringsgrad og horison vil bli uhånderbar regnemessig. De har derfor vær vanlig å dele opp planleggingen ved å bruke flere modeller med ulik dealjeringsgrad for ulike idshorisoner. Tabell 2.1 angir omrenlige idshorisoner og ilsvarende meoder som er i bruk for planleggingen. Horison Langidsplanlegging (1-5 år) Sesongplanlegging (3-18 måneder) Koridsplanlegging (1-2 uker) Meode Sokasiske modeller for opimalisering og simulering Muli-scenario deerminisiske opimeringsmodeller Deerminisiske opimaliseringsmodeller Tabell 2.1: Meoder bruk for ulike idshorisoner. 1 Delkapiele er baser på noae Produksjonsplanlegging i vannkrafbasere sysemer, Insiu for elkrafeknikk, NTNU,

9 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Langidsplanlegging I langidsanalysen vil en søke å fange opp langsikige svingninger i pris og ilsig. Med en lang analysehorison er de vanlig å gjøre en rekke forenklinger. Eksempelvis aggregeres reservoarene i syseme il e magasin. Resulaene fra langidsplanleggingen gir syringssignaler il nese seg i planleggingshierarkie Sesongplanlegging Hensiken med sesongplanleggingen er å øke dealjeringsgraden og gi yerligere signaler il koridsplanleggingen. Analysen må samidig kobles opp mo resulaene fra langidsplanleggingen. Koblingen mellom de ulike rinnene er diskuer under. Gi ilsrekkelig regnekraf vil sesongplanleggingen kunne bli overflødig (Fosso, 2005) Koridsplanlegging For de nærmese dagene og ukene forusees prisuvikling og ilsig kjen. Modellene bør være en ilsrekkelig realisisk beskrivelse av syseme il a kjøreplaner kan genereres med idsoppløsning på en ime eller korere. Kjøreplanene fra koridsplanleggingen må i illegg simuleres for å sikre a de ikke oppsår konfliker med regler og føringer som ikke fanges opp av modellene Koblinger mellom de ulike nivåene i planleggingshierarkie Hensiksmessige koblinger mellom de ulike planleggingsnivåene er svær vikig for å skape konsisens i analysen. Ulike løsninger er skisser i abell 2.2. Type kobling Volumkobling Volumkobling med sraff Vannverdikobling Karakerisikk Nivåene kobles gjennom e fassa magasinnivå på e gi idspunk. Dee er en enkel løsning, men gir lie fleksibilie. Avvik fra gi volum illaes, men gir en sraff i målfunksjonen. Dee gir sørre fleksibilie, men de kan være problemaisk å besemme en hensiksmessig sraff. Nivåene kobles ved å sike mo en gi vannverdi på koblingsidspunke. Dee gir sørre fleksibilie, og gjør de enklere å oppnå konsisens når eksempelvis magasiner er aggreger i langidsmodellen. Tabell 2.2: Koblinger mellom planleggingsnivåer. Tidspunke for kobling mellom nivåene kan også være av sor beydning. Deler av åre vil koblingene være forbunde med sørre usikkerhe enn andre. Eksempelvis er de vanlig å koble langidsanalysen og sesonganalysen under vårflommen eller på høsen når snøen legger seg. 5

10 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Analysehorison og reguleringsgrad Inervallene som er indiker for analysehorisonen har e relaiv sor spenn, særlig for sesong- og langidsplanleggingen. En av grunnene il dee er a de er sor variasjon i hvor god ulike sysem er reguler. I den forbindelse innfører vi begrepe reguleringsgrad. La U være midlere årsilsig og M max og M min være henholdsvis maksimal og minse magasinnivå. Reguleringsgrad for e vannmagasin er da definer som følger: R M M U max min =. (2.7) Når produsenen forear e valg av analysehorison, bør reguleringsgraden aes i berakning (Gjelsvik, 2005). Med e god reguler 1 magasin er de mulig å forea disponeringer som er mer langsikige enn med en lavere reguleringsgrad. Generel vil dermed en høy reguleringsgrad ilsi en lang analysehorison. Grunnen il dee er a analysen er endelig, og vi må dermed gjøre beseme anagelser med hensyn il grensebeingelser i sise periode. Hvis reguleringsgraden eksempelvis er så lav a vi forvener flom hver vår, uavhengig av produksjonsplan, renger vi ikke å planlegge lenger enn il vårflommen, siden vi kan ana a vannverdien er lik null. For e sysem med høy reguleringsgrad vil feilakige grensebeingelser kunne gi sore uslag dersom analysehorisonen velges for kor Kommersielle løsninger for produksjonsplanlegging De mes anvende planleggingsmodellene i bruk i Norden er de SINTEF-uviklede verkøyene Samkjøringsmodellen og Vansimap (sinef.no, 2005). Samkjøringsmodellen er beregne for analyse av sørre sysem og gir blan anne spoprisprognoser. Vansimap er beregne for sesong- og langidsplanlegging for den enkele produsen. SHOP er e anne SINTEF-produk som er spesiel ilpasse koridsplanlegging av vannkraf. 1 Med god reguler menes høy reguleringsgrad. 6

11 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 3 Produksjonsplanlegging i e finansiel perspekiv Srømpriser og ilsig har som idligere nevn en høy grad av sokasikk, og de grunnleggende probleme i produksjonsplanleggingen er å besemme hvordan fleksibilieen bes kan unyes. I e finansperspekiv er de derfor nærliggende å vurdere realopsjonsanalyse som ilnærming for å prise produksjonen. Dee kapiele vil see fokus på hva opsjonalieen i produksjonsplanleggingsprobleme innebærer. For øvrig gir Dixi og Pindyck (1994) og Trigeorgis (1996) helhelige innføringer i realopsjonsanalyse generel. Eydeland og Wolyniec (2003) presenerer meoder for realopsjonsanalyse ree mo energibransjen. Davison, Rasmussen og Thompson (2004) og Tseng og Barz (2002) er represenaner for nyere uvikling av realopsjonsmeoder anvend på krafproduksjon. 3.1 Anagelser I den videre analysen ligger flere anagelser il grunn. Anagelsene er som følger: 1. Kapialmarkedene er velfungerende og komplee i den forsand a måle for produsenen allid vil være å maksimere markedsverdien av produksjonen. 2. Produsenens disposisjoner påvirker ikke priser eller andre akørers disposisjoner. 3. Anlegge begrenses il e sysem med e magasin og én sasjon med én urbin. 4. Produksjonskosnader neglisjeres. Anagelse 1 vil ikke være oppfyl i praksis for e vannkrafverk. Hovedgrunnen il de er a de ikke eksiserer noe marked for ilsigsrisiko. Hvorvid krafmarkede er ilnærme komple er også diskuabel. Dee er nærmere diskuer i 5.1. For mindre akører er de grunn il å ro a anagelse 2 holder. For sore produsener, eksempelvis Sakraf, vil rolig anagelsen ikke holde. En sor akør vil kunne gjøre nye av spilleoreiske ilnærminger for å løse probleme. Dee vil ikke bli nærmere diskuer i denne oppgaven Vannmagasine som opphav il merverdi E elvekrafverk uen magasin har ingen lagringsmuligheer for vanne. Produsenen har i denne siuasjonen ingen muligheer il å gjøre disposisjoner vedrørende produksjonen i forskjellige perioder. 1 Å finne verdien av krafverke reduseres da il å forså og modellere ilsigs- og prisprosessene (Eydeland & Wolyniec, 2003). Verdien av e magasin i ilknyning il e krafverk er en følge av a magasine gir muligheer for arbirasje i id. Srømpriser uviser sore og delvis forusigbare sesongvariasjoner 2. Magasine gir da muligheer for å lagre vann fra perioder med lav pris il perioder med høy pris. 1 Vedlikehold kan imidlerid legges il perioder med lav srømpris / lav vannføring. 2 Se

12 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Følgende eksempel søker å illusrere hvordan magasine gir opphav il merverdi, og hvordan denne verdien er e resula av en opsjon med amerikansk karaker: Berak en diskre siuasjon med kun o perioder og null ilsig. Prisen i periode 0 er kjen og k er en konsan. La videre: l h {, } Π Π Π Π = π Π = π wmq (, ) = kq n 1+ r u l 1 n 0 h 1 u 0 Produsenen har i denne siuasjonen en amerikansk opsjon på å produsere nå eller i nese periode, gi a muligheen for produksjon er begrense il disse o periodene. Merk a den lineære produksjonsfunksjonen fører il a de aldri vil være opimal å produsere i begge perioder. Teorien for binom opsjonsprising (se for eksempel McDonald (2003)) gir da verdien, V 0, som følger: p V 0 ( 1 r) + n = u n = km max π0, ( ( ) ) * h * l p Π + 1 p Π r Eksempele over er svær forenkle. I realieen vil drifsbesluningen være av koninuerlig karaker, de vil være e sokasisk ilsig, fysiske resriksjoner på magasinnivå og vannføring og en ulineær produksjonsfunksjon. Opsjonalieen i probleme vil like full være ilsede, men i en lang mer kompleks form Vannkraf som spread opsjon I avsni 2.1 ble de vis a opimal produksjon er gi ved vannverdikrierie. Davison, Rasmussen og Thompson (2004) uleder e alernaiv krierium i koninuerlig id. Krierie gjelder i e relaiv generel univers med hensyn il pris- og ilsigsprosess. Gi a vi sår i gir krierie a opimal vannsrøm ilfredssiller urykke V max π wm (, q ) q, (3.1) q m der w er produser effek som funksjon av magasinnivå og momenan vannsrøm, q. Hvis vi går over il diskre id ved å gjøre ilnærmingen 8

13 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf V m μ m V (3.2) og lar wm (, q ) wm (, q), (3.3) så får vi følgende urykk: μv + 1 max π hm (, q) q. (3.4) q m + 1 (3.4) gir oss ikke ubealingssrukuren fra opsjonen direke, men viser a vanne har en verdi og hvordan denne verdien er med på å besemme opimal produksjon. Hvis vi olker μ V+1/ m +1 som enheskosnaden for vanne, så gir (3.4) a opimal produksjonssraegi maksimerer differansen mellom innjeningen og alernaivkosnadene il vanne. I en siuasjon der de kun er mulig å enen forbruke e konsan volum eller ikke produsere ar (3.4) form av en spread opsjon med differansen mellom markedsverdien av produser kraf og verdien av vanne som underliggende. La q * benevne opimal produksjonsvolum. Verdien av produksjonen kan da ved (2.3) urykkes som følger: V * h( m, q ) V + 1 = Π +μ. (3.5) For å undersøke feilen i (3.2) deriverer vi (3.5) med hensyn på magasinnivåe: V h( m, q ) μ m m m m * V =Π m. (3.6) Gi a de ikke oppsår overløp så vil m +1 / m = 1, og feilen i (3.4) vil avhenge av hvor bra produksjonsfunksjonen er i m-reningen. 1 Hvis de oppsår overløp vil ikke lenger m +1 / m være definer. Vi har imidlerid idligere argumener for a vannverdien i denne siuasjonen er lik null. (3.4) fører da il a produksjonen vil gå il maksimal produksjon, som er e fornufig resula. De presiseres a innføringen av (3.4) er gjor for å illusrere dynamikken i probleme, og ikke er e resula av en sringen maemaisk analyse. For å oppsummere så har produsenen i hver periode en opsjon på å løse inn vann for å produsere kraf. Opsjonen er som idligere diskuer av amerikansk karaker. Yerligere forhold som kompliserer prisingen er a innløsningskursen er en sokasisk funksjon av ilsandsvariablene. Framidig innløsningskurs påvirkes videre av de disposisjoner vi gjør i dag og e sokasisk ilsig. Verdien på underliggende avhenger heller ikke kun av srømprisen, men også av magasinnivå og hvor mye vann vi velger å løse inn. 1 Se og vedlegg 5 for e eksempel på hvordan en produksjonsfunksjon kan se u. 9

14 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 4 Krafmarkede I 1991 ble de forea en deregulering av de norske markede for elekrisk kraf. I kjølvanne av dee ble den fellesnordiske krafbørsen Nord Pool oppree. Denne krafbørsen har øk i omfang eer hver som de andre nordiske landene også har åpne for å deregulere markedene. Nord Pools oppgaver er å drife de fysiske markede (Elspo) og adminisrere de finansielle (Elermin og Elopion). Nord Pool garanerer også for enighe og leveranse, ved å være en nøyral mopar for både kjøper og selger. 4.1 De fysiske markede Elspo er e marked hvor de blir handle krafkonraker for fysisk leveranse for hver av de 24 imene de påfølgende døgne. Markede fungerer på den måen a de som ønsker å kjøpe eller selge kraf angir pris og kvanum for de de vil handle i de ulike imene. For hver ime i de nese døgne får man da en sysempris, som kommer frem av krysningen mellom den oale ilbuds- og eerspørselskurven for alle delakerne i markede (se figur 4.1). Dersom de ikke er begrensninger i overføringskapasie blir spoprisen lik sysemprisen. Figur 4.1: Sammenheng mellom sysempris og ilbud/eerspørsel i markede. Fakorer som påvirker sysemprisen er i særlig grad sesong (emperaur) og periode på døgne (Lucia & Schwarz, 2002). Ved lave emperaurer vil eerspørselen øke og sysemprisen gå opp. I Norge kommer 99% av elkrafen fra vannkrafverk og i Norden 55% (nordpool.no, 2005). På grunn av dee vil sysemprisen være svær avhengig av fyllingsgraden i magasinene. Variasjonene kan observeres i figur 4.2, der sysemprisen er ypisk høy i vinermånedene og lav om sommeren. De er også verd å merke seg hvordan sysemprisen blir påvirke av perioder med lie nedbør slik som i vineren 2002/

15 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Figur 4.2: Sysempris i NOK pr MWh fra 1992 il 2004, (Nordpool.no). 4.2 De finansielle markede På markede Elermin blir de handle forskjellige yper fuure- og forwardkonraker oppdel u ifra ulike leveringsperioder. De handles i dag fuurekonraker for dager og uker og forwardkonraker for måneder, kvaraler og år. Konrakene er sandardisere og er på 1 MW, innenfor sine respekive leveringsperioder. I 2004 ble de omsa for 148,5 Mrd NOK noe som ilsvare 590 TWh (se figur 4.3). Hovedforskjellen på fuures og forwards ligger i a førsnevne har mark-o-marke oppgjør, mens sisnevne har akkumuler oppgjør eer sise leveringsdag. De handles konraker med levering oppil re år frem i id. Ingen av forwardkonrakene på Nord Pool innebærer fakisk fysisk leveranse, men blir gjor opp mo sysemprisen i spomarkede. Elekrisie er en bulkvare og må i praksis brukes samidig som den lages. Forwardkonrakene er derfor en ype swaps. Prisene blir besem u ifra en forvene gjennomsnilig pris over en periode og ikke for e viss leveringsidspunk. Siden høsen 1999 har de også vær mulig å handle europeiske opsjoner eller swapions på markede Elopion. Dersom en kjøps- swapion er lønnsom ved innløsningsidspunk vil man inna en posisjon i den underliggende swap mo en innløsningspris. Ubealingen fra å inneha en posisjon i opsjonen vil skje i løpe av leveranseperioden il den underliggende swap, og følgelig ikke ved innløsning av opsjonen (Gaarder Haug, 2005). For en vannkrafprodusen vil informasjonen som ligger i de finansielle markede være nyig når den opimale ressursunyelsen skal avgjøres. Eersom prisene på de ulike konrakene er offenlige, kan de være med og hjelpe vannkrafprodusenen il å besemme sannsynlig risikopremie (Eydeland & Wolyniec, 2003). Figur 4.3: Omsening i TWh pr uke på Elermin (Nordpool.no) 11

16 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 4.3 Sammenheng mellom spo og forwardpris En forward skal eer prinsippe om nullarbirasje være prise lik spoprisen ved leveringsidspunk, T, diskoner med en risikofri rene r subraher med dividenden δ: F = Se T, ( r δ )( T ). (4.1) For handelsvarer er de ofe snakk om lagringskosnader og convenience yield. Convenience yield er verdien av å holde en fysisk vare i erminmarkede. Eersom de er svær begrensede muligheer for fysisk lagring av elekrisie er de vanlig å neglisjere lagringskosnadene og convenience yield. Arbirasjemuligheer i id og rom blir derfor svær begrense. Sammenhengen mellom spo- og forwardpris blir som følge av dee ikke like enkel som beskreve i grunnleggende finansiell eori Forvene spopris i idspunk T er spopris i med en forvene avkasning α: E[ S ] = Se α ( T ) T. (4.2) For å unngå risikofri profiering er de nødvendig a forwardkonraken prises slik a verdien av å holde en konrak og eie en andel i underliggende blir den samme i en risikonøyral vurdering: FT, = E[ ST] e ( r α )( T ). (4.3) I e elkrafmarked er de ikke nødvendigvis sammenheng mellom eerspørsel i dag og i fremiden. De er derfor vanlig å se på elkraf handle på o ulike idspunk som o forskjellige varer. Sammenhengen i ligning (4.3) holder likevel også i elkrafmarkeder (McDonald, 2003). 4.4 Srømprisens oppførsel Deregulere markeder for elekrisk kraf er relaiv nye. De finnes derfor begrensede mengder hisoriske daa for likvide spopriser og derivaer. De er likevel gjor flere sudier vedrørende egenskapene il srømprisen (Lucia & Scwarz, 2002). Vikige observere egenskaper ved srømprisen er sprang i pris, mean reversion, unge haler i prisfordelingen og sesongavhengighe Sprang i pris Prisen på elekrisk kraf kan være mege volail eer sandard mål på volailie (Lucia & Schwarz, 2002). De kan ofe forekomme pluselige, uvenede og diskoninuerlige forandringer i spoprisen. Figur 4.4 er e plo av spoprisen på Nord Pool fra Januar 2004 il november

17 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Figur 4.4: Spopriser fra Nord Pool fra Januar 2004 om. Okober 2005 (nordpool.no). En sannsynlig forklaring er a disse sprangene kommer av sor variasjon i eerspørselen og lav elasisie i ilbude. Den lave elasisieen kommer av begrense overføringskapasie og små muligheer for lagring av elekrisie Mean reversion En annen veldokumener egenskap ved råvarepriser er mean reversion. Denne egenskapen kan illusreres med følgende modell (Clewlow & Srickland, 2000): ( ) ds = κ μ Π Π d +Πσ dz. (4.4) Her vil spoprisen rekkes ilbake il de langsikige nivåe Π = e μ med en hasighe som er gi av mean reversion raen κ. Denne raen er besandig posiiv. Dersom spoprisen ligger over de langsikige nivåe Π så vil drifen μ i spoprisen være negaiv, og prisen vil ha en endens il å gå ilbake il de langsikige nivåe. På samme måe vil drifen være posiiv dersom spoprisen ligger under de langsikige nivåe. Spoprisen renger ikke nødvendigvis vende ilbake il de langsikige nivåe ved ehver idspunk. Den ilfeldige endringen i spoprisen kan være sørre enn drifen og inneha mosa foregn. Teser for ilsedeværelse av mean reversion hos srømpriser har ikke gi enydige resulaer. Dee skyldes a de er vanskelig å skille mellom mean reversion som følge av prishopp i srømdaaene de eses på og fakisk mean reversion. (Eydeland & Wolyniec, 2003) Tunge haler i prisfordelingen En konsekvens av sprang i spoprisen og høy sokasisk volailie er jukke haler i prisfordelingen. Dee kommer av a sannsynligheen for sore uslag fra empiriske daa ypisk vil overgå de eoreiske sannsynlighesfordelingene som spoprismodellene baseres på. E esima av kurosen hos spoprisfordelingen i de nordiske krafmarkede har gi verdier som ligger berakelig høyere enn kurose for sandard normalfordeling (Lucia & Schwarz, 2002). Forekoms av høy og lav avkasning vil følgelig ha sørre sannsynlighe enn for en 13

18 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf normalfordeling med samme varians. De er også påvis en posiiv skjevhe i avkasningen hos spoprisen, som ilsier høyere sannsynlighe for høy enn for lav avkasning (Lucia & Schwarz, 2002) Sesongavhengighe Srømpriser i norden er påvis å være avhengig av sesong (Clewlow & Srickland, 2000). Sysemprisen for vinersesongen har median, middel-, maksimum- og minimumverdier som ligger over den varme sesongen. Den midlere prisen for kalde sesonger er 28% høyere enn for varme (Lucia & Schwarz, 2002). En nøyakig esimering av de årlige sesongavhengige mønsere krever derimo e høy anall år. I Norge er 70% av oppvarmingsbehove dekke med elekrisie (Olje- og energideparemene, 2005). Dee fører il a klima i sor grad er med og besemmer konsume av elekrisk kraf. Korere dager i vinerhalvåre fører også il øk bruk av kunsig lys, som igjen øker srømforbruke. Sesongavhengigheen er inkluder i verdiseingen hos delakere i markede (Lucia & Schwarz, 2002). Formen på fuure-kurven viser a de er en opp og en bunn for hver år noe som er i samsvar med oppførselen il spoprisen. Den midlere spoprisen for helge- og helligdager ligger også under den midlere spoprisen for vanlige ukedager (Lucia & Schwarz, 2002). 14

19 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 5 Hedging av krafproduksjon Gjennombrudde for moderne opsjonsprisingseori regnes for å være arikkelen The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies (Black og Scholes, 1973). Fundamene for eorien er a de er mulig å see sammen andre finansielle produker som, uavhengig av prisuviklingen på underliggende, gir den samme ubealingssrukuren som derivae. Dee alernaive see med produker kalles hedgeporeføljen. I kapiel 3 ble de illusrer hvordan e vannkrafverk kan berakes som e kompleks deriva på krafpris og ilsig. For å kunne hedge krafproduksjonen ønsker vi analog med Black- Scholes-eorien å finne e se av produker som bes mulig replikerer konansrømmene fra krafverke. De kan være flere grunner il a produsenen ønsker å hedge produksjonen. Wallace og Fleen (2003) poengerer a friksjon i markede kan føre il a de vil være skalaøkonomi i risikosyring; de kan være billigere for produsenen å hedge enn for individuelle invesorer i selskape. En annen grunn il å hedge kan oppså, som illusrer i figur 5.1, dersom resulae fra produksjonen som funksjon av innekene har negaiv andrederiver. Resula Innek Figur 5.1: Illusrasjon av resula som funksjon av innek. Wallace og Fleen (2003) presenerer e argumen for a hedging kun bør gjøres ved ransaksjoner i markede og ikke ved å endre produksjonsplanen. Argumene går kor som følger: Markedsverdien av en finansiell konrak i e likvid marked er null i de den inngås og vil derfor ikke endre markedsverdien av produksjonen. En endring av produksjonsplanen fører imidlerid il en endring av markedsverdien il produksjonen. Derfor bør produksjonsplanen uformes for å maksimere markedsverdien il produksjonen, og dereer kan en gjøre ransaksjoner i markede for å begrense risikoen. Dee argumene vil være ugangspunke for resen av diskusjonen. 5.1 Ikke-komple marked Som idligere nevn finnes de ikke noe marked for ilsigsrisiko. De vil dermed allid være en viss basisrisiko forbunde med produksjonen. Elkrafmarkede er rolig heller ikke komple i den forsand a de er mulig å kvie seg med all prisrisiko. Tidsoppløsningen for produksjonsplanleggingen er ypisk korere enn de ilgjengelige konrakene på lang og mellomlang sik. Hvis de enese ilgjengelige insrumene er en årskonrak, kan ikke risiko på ukesbasis hedges, siden insrumene kun avspeiler gjennomsnilig risiko over hele 15

20 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf perioden. I illegg er de nødvendig å gjøre en anakelse om verdien av slumagasine 1. Analysehorisonen som er anvend i kapiel 8 srekker seg il sluen av sise erminkonrak. Prisrisiko forbunde med slumagasine kan dermed ikke hedges. I de videre forusees imidlerid likevel e ilnærme komple krafmarked. 5.2 Markedspris på ilsigsrisiko A vi ikke kan hedge all risiko forbunde med krafproduksjonen kompliserer framgangsmåen for risikonøyral prising og dermed også hedging. Eydeland og Wolyniec (2003) påpeker a en bør finne markedsprisen på den risikoen som ikke kan hedges og bruke den i sede for den risikofrie renen. La α være forvene avkasning, σ volailie og r f risikofri rene. Pris på risiko per volailiesenhe, λ, kan da defineres som α r λ= f σ. (5.1) (5.1) kalles også Sharpe-forhold (McDonald, 2003). Hvis en ror a risikopremien på vannkrafaksjer i hovedsak skyldes ilsigsrisiko kan kapialverdimodellen forslagsvis benyes for å finne risikopremien for en porefølje av rene vannkrafaksjer 2 : ( ) α r =β α r. (5.2) vannkraf vannkraf marked f For o eiendeler som er idenisk korreler med markede forøvrig vil Sharpe-forholde være de samme (McDonald, 2003). Ana a markedsverdien av egen produksjon er lik korreler med markede som poreføljen av vannkrafaksjer, og videre a risikopremien for vannkrafaksjer kun skyldes ilsigsrisiko. Risikopremien for ege ilsig blir da: σ α = α produksjon r ( r ) ilsig f vannkraf f σvannkraf der σ produksjon er volailieen il markedsverdien av egen produksjon., (5.3) Eydeland og Wolyniec (2003) foreslår også å bruke selskapes generelle avkasningskrav i lignende siuasjoner. Evenuel kan en vurdere hvorvid ilsigsrisiko er en sysemaisk eller usysemaisk risiko. Hvis ilsigsrisiko er usysemaisk innebærer de a invesorene kan eliminere risikoen ved å holde en veldiversifiser porefølje. I e ilsrekkelig likvid marked vil en premie for ilsigsrisiko da innebære en arbirasjemulighe, som ikke kan vedvare. Risikopremien bør i denne siuasjonen være lik null. 1 Selv om e modellen fordrer e fas slumagasin vil de innebære en implisi verdivurdering av resmagasine. 2 Aksjer på selskaper som hovedsakelig er vannkrafprodusener. 16

21 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 5.3 Poensielle hedgeproduker og forvenede posisjoner Selv om de er høys usannsynlig å finne en perfek hedge for vannkrafproduksjonen kan likevel variansen i konansrømmene begrenses, ved å a posisjoner i de produker som fakisk handles. For å låse inn framidig pris kan produsenen ypisk inngå kore posisjoner i fuure- og forwardkonraker. De er imidlerid usikkerhe knye ikke bare il prisen, men også il produser kvanum. For å oppnå e konsisen resula er produsenen derfor avhengig av å planlegge og prise produksjonen på en måe som gir sensiivieer for produksjonsvolum i forhold il de ilgjengelige fuure- og forwardkonrakene. Eydeland og Wolyniec (2003) diskuerer prising og hedging av gasslagre og hevder a de samme eknikkene, med modifikasjoner, kan brukes il å prise og hedge vannkrafproduksjon. De resulerende hedgene for gasslagere besår av opsjoner. Dee kan yde på a opsjoner kan være egne også il å hedge vannkrafproduksjon. 17

22 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 6 Modeller For å være i sand il å finne en adekva løsning på produksjonsplanleggingsprobleme er de nødvendig med beskrivelser av srømpris, ilsig og produksjonssyseme. Når forunevne er eabler, er de videre nødvendig å formulere probleme maemaisk. Dee kapiele vedrører disse forholdene. 6.1 Sokasiske modeller Både pris og ilsigsprosessen er uforusigbare i den grad a en modell som ikke ar hensyn il sokasikken vil være urealisisk. For å kunne oppnå en fornufig hedgesraegi er de videre ønskelig med en prismodell i produksjonsplanleggingen som beinger på markedsinformasjon. I denne oppgaven er de valg idskoninuerlige sokasiske prosesser baser på Brownsk bevegelse for både pris og ilsig. Varianer av Brownsk bevegelse er hyppig bruk som modell innen finans og er inngående suder. For en analyse av egenskapene il Brownsk bevegelse se for eksempel Ross (2003). McDonald (2003) gir en innføring i anvendelsen av Brownsk bevegelse som byggesein for modeller i finans Prismodell Som diskuer i 4.4 har srømprisprosessen en rekke særegenheer. En modell som ar hensyn il alle forhold blir relaiv kompliser og vil ha mange parameere som må esimeres. Fokuse for denne oppgaven er ikke å foreslå en bes mulig modell for srømpriser. Likevel er de nødvendig å benye en modell som er i en viss overenssemmelse med markede for å oppnå fornufige resulaer. For en sudie av ulike modeller som kan være akuelle i krafmarkeder se Clewlow og Srickland (2000) eller Eydeland og Wolyniec (2003). Schwarz (1997) regnes forøvrig å være e vikig bidrag il modellering av råvarepriser generel. Prismodellen som er valg i denne oppgaven er en varian av Ornsein-Uhlenbeck prosessen med idsavhengig forvenning. Modellen er beskreve i de re overnevne referansene og urykkes generel d Π Π = κ( θ ln Π ) d + σdz. (6.1) der dz er e inkremen il en sandard brownsk bevegelse, κ er mean reversion parameeren, θ er idsvarierende forvenning og σ er sandardavvike il den brownske bevegelsen. For å simulere denne modellen er de hensiksmessig å gjøre ransformasjonen f = ln Π. (6.2) 18

23 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Iôs formel gir da For å simulere modellen gjøres diskreiseringen 1 df κ( θ f) σ 2 = d + σdz 2. (6.3) 1 2 Δ f = κ( θ f) σ Δ +σ ΔN, (6.4) 2 der N er en sandard normalfordel variabel. Clewlow og Srickland (2000) påpeker a f inngår i drifen, og a diskreiseringen derfor kun er eksak i grensen Δf df. Tidssegene bør derfor velges kore relaive il mean reversion hasigheen. For å gjøre prisprosessen risikonøyral kan drifen kalibreres ved hjelp av erminsrukuren. Clewlow og Srickland (2000) viser da a dln F 2 σ 4 0, T ln ( 2 κt θ( T) = + κ F0, T + 1 ) d e, (6.5) der F 0,T er erminprisen for srøm lever i idspunk T på nåidspunk. Modellen er per definisjon kalibrer il erminsrukuren i forvenning, men beinger ikke på andre ordens markedsinformasjon. Modellen kan derfor ikke venes å gi korreke opsjonspriser. Verdiene for de øvrige paramerene, σ og κ, som er bruk for simulering av modellen er esimer av Elkem Tilsigsmodell Modellen som er bruk for ilsige er av samme ype som modellen for elekrisiesprisen. De er i denne oppgaven ikke gjor noen egen sudie av ilsigsdaa; modellen og paramerene er gi av Elkem 2. Tilsigsmodellen har i illegg il sesongavhengig forvenning også sesongavhengig varians. I følge Fosso (2005) er auokorrelasjon ofe en signifikan fakor i ilsigsserier. Ornsein-Uhlenbeck prosessen er den idskoninuerlige versjonen av en AR(1)- prosess. AR(1)-prosessen er auokorreler ved lag 1 (Brockwell og Davis, 2002). De er imidlerid uklar om denne auokorrelasjonssrukuren er en god beskrivelse av den fysiske prosessen. 1 Se vedlegg 1 for parameere. 2 Se vedlegg 1 for parameere. 19

24 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 6.2 Sysembeskrivelse I denne rapporen er de a ugangspunk i krafverke ilhørende Elkem Energi Siso AS 1 i Sørfold kommune i Nordland 2. Krafverke besår av kun e magasin og én sasjon. Dee forenkler analysen ved a de ikke er koblinger mellom ulike magasiner og sasjoner som må aes i berakning Produksjonsfunksjonen Yelsen il e vannkrafverk kan beskrives med en produksjonsfunksjon. Denne produksjonsfunksjonen vil i hovedsak variere med vannføringen og vannivåe i magasine. Her følger en redegjørelse for produksjonsfunksjonen for Siso. Virkningsgraden er gi av q q η q a b + c. (6.6) η 2 ( ) = η ( ) + η( ) qmax qmax q a, b, c η η η Vannføring Parameere for virkningsgraden il vannkrafverke Tilnærme ligning for uregning av fallhøyden i vannkrafverke er min max max max m Mmin fhøyde ( ) Mmax Mmin hmm ( ;, M, h ) h d e. (6.7) høyde h m M min M max h max d høyde f høyde Fallhøyde Nåværende magasinnivå Minimum illae magasinnivå for vannkrafverke Maks magasinnivå for vannkrafverke Maksimal fallhøyde for vannkrafverke Høydeparameer Høydeparameer 1 Hereer referer il som Siso. 2 Se vedlegg 2 for sysemdaa og parameere il produksjonsfunksjonen. 20

25 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Produksjonsfunksjonen gir produser effek og urykkes 2 ( ) wqh (, ) = η ( q ) q h k q g. (6.8) k g Friksjonskoeffesien for vann Graviasjonskonsan Ved å egne denne funksjonen med gie verdier i e redimensjonal rom (figur 6.1), får en e bilde av produksjonsflaen. Produksjonsflae Effek 0 magasinnivå 0 vannføring Figur 6.1: Produksjonsflae for Siso 6.3 Resriksjoner i syseme Produksjonsplanleggingsprobleme innbefaer en rekke resriksjoner. Beskrankninger oppsår i hovedsak av ekniske, miljømessige og fysiske årsaker. Her gir vi en oversik over de vikigse resriksjonene og redegjør for hvilke som er uela fra de maemaiske formuleringene i 6.4 og 6.5. Magasinnivå Alle vannmagasiner har en øvre og nedre grense for vannsand. De er opplag a ehver magasin vil ha e endelig maksimal volum og heller ikke kan ha e negaiv volum. Om den nedre grensen er null eller om e minse volum er påkrevd vil ikke påvirke analysen. Resriksjonen på magasinnivå og vannføring kan enkes å være forskjellig på ulike ider av åre, eksempelvis av hensyn il gyeforhold i vassdrage. I vår ilfelle anas disse grensene imidlerid konsane. 21

26 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Vannføring I de flese ilfeller vil de være en øvre og nedre grense på hvor mye vann som kan slippes u av magasine il enhver id. I modellen presener i 6.4 er de en øvre grense på produksjonsvolume, men imidlerid ingen grense for hvor sor overløpe kan være. Vannbalanse Al vann som kommer inn i magasine må enen lagres eller srømme videre. Uen en vannbalanse vil problemformuleringen få e åpen løsningsrom. Modellmessig blir da resulae a vann srømmer u av magasine uen a de påvirker magasinnivåe. Rampingresriksjoner Ramping indikerer endring i produksjonshasighe. Ved vannkrafproduksjon vil de i de aller flese ilfeller være en begrensning på hvor rask gjennomsrømningsvolume og dermed produksjonshasigheen kan endres. Dee skyldes både ekniske, miljømessige og sikkerhesmessige forhold. Innvirkningen av rampingresriksjoner på løsningen vil rolig være lie uale ved en idsoppløsning som er berakelig lengre enn iden for å gå fra maksimum il minimum volumsrøm indiker av resriksjonen. Vi velger derfor å neglisjere rampingresriksjoner med bakgrunn i idsoppløsning på en uke i vår problem. Begrense overføringskapasise I realieen er de begrensninger på overføringskapasie for elekrisk kraf både innen og mellom delområder. Begrense overføringskapasie kan føre il flaskehalser i syseme og er en direke årsak il a de oppsår områdepriser. I oppgaven anar vi ubegrense overføringskapasie med de resula a områdeprisen blir lik sysemprisen. Kosnader Kosnader er i seg selv ikke en resriksjon, men bør inngå i målfunksjonen. I denne oppgaven er kosnader valg uela fra den maemaiske formuleringen av probleme. Anagelsen er a kosnadene er så små a de ikke vil påvirke drifsbesluningene. 1 Nilsson og Sjelvgren (1997) hevder a kosnader knye il oppsar av vannkrafproduksjon hovedsakelig er knye il vedlikehold, men a ap av vann også er e problem. De påpeker a dee kan være av beydning ved koridsplanlegging. Ved langidsplanlegging, med idsoppløsning på en uke, er rolig probleme mindre ual. I følge Fosso (2005) er kosnader knye il en oppsar i sørrelsesorden NOK 2,500. Sar- og soppkosnader er derfor uela av den maemaiske problemformuleringen. 1 Med kosnader mener vi her kosnader som medfører ubealinger, og alså ikke alernaivkosnaden il vanne. 22

27 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 6.4 Deerminisisk opimeringsmodell Hvis krafpriser og ilsig er kjen for alle perioder i planleggingsperioden reduserer produksjonsplanleggingsprobleme il e deerminisisk opimeringsproblem. En opimal løsning vil da simpelhen allokere mes mulig vann il perioder med høyes priser. 1 I de følgende preseneres e maemaisk program for å gjøre en slik deerminisisk opimering av e enkel scenario for pris og ilsig. Mengde P Mengde av perioder. P={0,1,2,,T}. Indeks Indeks for periode. =0 indikerer førse periode. Daa π Krafpris i periode. ψ Tilsig i periode. M max Øvre grense på magasinnivå. M min Nedre grense på magasinnivå. M 0 Sarmagasin. M T+1 Slumagasin. Q max Øvre grense på vannsrøm gjennom sasjonen. r Diskoneringsrene. Variable V Verdi av produksjonen for oalperioden. m Magasinnivå i saren av periode. l Overløp i periode. p Krafproduksjon i periode. q Produksjonsvolum i periode. 1 Produksjonsfunksjonen er imidlerid generel ulineær, slik a allokeringen ikke generel er riviell. 23

28 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Målfunksjon (1) maxv q, m, l T = π (1 + r) = 0 p Resriksjoner (2) p = wm (, q) P (3) m 1 m q l + P (4) m0 = M0 (5) mt+ 1 = MT+ 1 M m M P (6) min max (7) max q Q P (8) q, l 0 P Målfunksjonen, (1), er en sum av de neddiskonere innekene fra hver periode. Ligning (2) gir mengde produser kraf i en periode som en funksjon av vannsrømvolume og magasinnivåe i saren av perioden. Produksjonsfunksjonen er generel ulineær og gir ikke nødvendigvis e konveks mulighesområde. Resriksjon (3) er flybalansen og formulerer krave om a mengden vann som overføres fra en periode il nese må være lik sarmagasine i den foregående perioden pluss neo ilførsel av vann il magasine i den foregående perioden. Ligning (4) og (5) er resriksjoner henholdsvis på nivåe på sarmagasine og slumagasine. Krav il minse og sørse magasinnivå er formuler i resriksjon (6). Ligning (7) begrenser maksimal produksjon, mens (8) er ikke-negaivieskrav il produksjonsvolum og overløpsvolum Anvendelser av modellen Gi a vi fakisk kjenner alle priser og ilsig vil de ikke være noen risiko knye il V. Variansen il V er alså lik null, og den rikige diskoneringsrenen vil dermed være den risikofrie renen. Modellen vil gi opimal produksjonssraegi og verdi av produksjonen. Modellen kan også brukes med forvene ilsig og forvene krafpris. Den risikofrie renen vil da ikke lenger være e rikig avkasningskrav. En må da esimere e risikojuser avkasningskrav, eksempelvis med kapialverdimodellen. En redje anvendelse av modellen kan være å løse e anall ulike scenarier for pris og ilsig. Gi a scenariene gir en god represenasjon av ufallsromme, kan resulaene brukes il å finne midlere verdier for produksjon, magasinnivå, konansrømmer og verdi av produksjonen 1. 1 Løsningen gir sreng a en øvre grense for verdien av produksjonen. Dee er nærmere diskuer i 9. 24

29 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 6.5 Sokasisk opimeringsmodell De er idligere argumener for a pris og ilsig er forbunde med sor usikkerhe. Den følgende opimeringsformuleringen ar eksplisi høyde for dee, ved å la pris og ilsig være sokasiske variable. Målfunksjon (1) V V = max E Π + (1 + r) + 1 p P q, m, l Resriksjoner (2) p = wm (, q) P (3) m 1 m + q + l =Ψ + P (4) μ = f( Π, Ψ, m ) VT + 1 T T T+ 1 (5) m0 = M0 M m M P (7) min max (8) max q Q P (9) q, l 0 P Målfunksjonen er lik (2.2), borse fra a overløp også er innfør som argumen. Merk a denne modellen, i mosening il den deerminisiske, er formuler rekursiv. De er innfør en resriksjon, (4), for verdien av slumagasine i sede for volumresriksjonen i de deerminisiske programme. De øvrige resriksjonene korresponderer med den deerminisiske formuleringen. 25

30 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 7 Løsningsmeoder Den deerminisiske problemformuleringen løses for gie pris- og ilsigsscenarier ved sandard opimeringsmeoder. A produksjonsfunksjonen generel er ulineær og gir e ikkekonveks mulighesområde, kan imidlerid komplisere. De deerminisiske probleme er løs i forbindelse med prosjeke, og implemeneringen er beskreve i kapiel 8. For å løse den sokasiske modellen må sokasiske opimeringseknikker benyes. Ved NTNU og SINTEF arbeides de med meoder baser på sokasisk dynamisk dual programmering (Fosso, 2005). I de følgende vil imidlerid Leas Square Mone Carlo (Longsaff og Schwarz, 2001) som løsningsmeode foreslås. Førs preseneres den generelle eorien, og dereer preseneres en algorime for løsning av de akuelle probleme. 7.1 Prising av amerikanske opsjoner ved simulering Prising og opimal innløsning av derivaer med amerikanske egenskaper er en av de sore ufordringene innen opsjonsprising. En eier av en amerikansk opsjon må ved ehver idspunk vurdere lønnsomheen av å løse inn opsjonen mo den forvenede verdien av å holde opsjonen i live. Derivaer med slike egenskaper kan man finne på de aller flese finansielle markeder, eksempelvis markeder for energi, handelsvarer, uenlandsk kapial og eiendom Leas Square Mone Carlo Longsaff & Schwarz (2001) har uvikle en meode for å prise amerikanske opsjoner ved hjelp av simulering. Denne meoden ar ugangspunk i a beingede forvenninger kan esimeres u ifra ilsandsvariable. Til denne esimeringen brukes minse kvadraers meode. Man regresserer payoff av å holde opsjonen i live, på basisfunksjoner som gjelder for verdien av de relevane ilsandsvariablene. Den beregnede verdien gir e esima for den beingede forveningsfunksjonen. Ved å esimere den beingede forvenningsfunksjonen for hver uøvelsesdao, får man e se med funksjoner som besemmer den opimale innløsningssraegien for hver scenario. Denne meoden kaller Longsaff & Schwarz Leas Square Mone Carlo (LSM) LSM-algorimen Som forusening for LSM-algorimen anas de e komple underliggende sannsynlighesrom ( Ω, F,Pr) og en endelig idshorison (0, T), hvor Ω ugjør e se med alle mulige ufall av en sokasisk økonomi mellom idspunk 0 og T. s defineres som e scenario i dee ufallsromme. F ugjør e subse av Ω som beskriver de forskjellige hendelsene ved idspunk T. Pr er sannsynligheene for elemenene i F. Videre defineres F={ F ; [0, T]} il å være filreringen gi av prisprosessene for de relevane verdipapirene i økonomien, og de anas a F = F T. I overenssemmelse med argumene for nullarbirasje anas de e eksiserende maringal mål Q for denne økonomien. 26

31 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Man er i ugangspunke ineresser i å verdisee amerikanske derivaer med ilfeldige konansrømmer som kan forekomme i (0,T). CsuT (, ;, ) er sien av konansrømmer som er generer av opsjonen, beinge på a opsjonen ikke er innløs ved eller før idspunk, og på a eieren av opsjonen følger den opimale innløsningssraegien for alle u, < u T. Mange amerikanske opsjoner er koninuerlig innløsbare, men de fokuseres her bare på amerikanske opsjoner med e anall Y innløsningsidspunk 0 < Y = T. Dersom man vil evaluere koninuerlige amerikanske opsjoner kan man ilnærme verdien på denne ved å see Y ilsrekkelig sor. Ved idspunk er konansrømmen ved innløsning kjen for opsjonsholderen. Konansrømmen for å holde opsjonen i live er derimo ikke kjen ved idspunk. Teorien om verdiseing ved nullarbirasje, ilsier a verdien ved å holde opsjonen i live er gi ved å se på forvenningen av de gjenværende diskonere konansrømmene Csu (, ; k, T) med hensyn på de risikonøyrale måle for prising Q. Ved idspunk kan verdien av å holde opsjonen i live F( s ; y ) y urykkes som y y Y y Q j y, F, (7.1) y y j= y+ 1 j F(; s) = E[ exp( rsudu (, ) ) Cs (, ; T) ] hvor rsu (, ) er den risikofrie diskoneringsraen, og forvenningen er beinge på see av informasjon F y ved idspunk y. Med denne fremsillingen sammenligner man den umiddelbare verdien av innløsning med denne beingede forvenningen, for dereer å løse inn opsjonen så snar a konansrømmen for innløsning er posiiv og sørre enn eller lik den beingede forveningen. LSM-algorimen arbeider seg bakover, siden sien av konansrømmer CsuT (, ;, ) fra opsjonen er definer rekursiv. Csu (, ; y, T) kan være forskjellig fra Csu (, ; y+ 1, T) eersom de kan være opimal å soppe ved idspunk +, og dermed forandre alle følgende y 1 konansrømmer langs e scenario s. Ved idspunk Y 1 anas de a den funksjonelle formen F( s ; Y 1) i ligning (7.1) kan beskrives som en lineær kombinasjon av e viss anall se med -målbare basisfunksjoner. F Y 1 I vedlegg 3 kan e enkel eksempel på prising av en amerikansk kjøpsopsjon ved LSM suderes. 27

32 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 7.2 LSM-algorime for produksjonsplanleggingsprobleme I kapiel 3 ble de argumener for a vannkrafproduksjon kan berakes som e kompleks deriva av amerikansk karaker. De er derfor nærliggende å vurdere eksiserende opsjonsprisingsmeoder for å løse probleme. Mooren i algorimen som preseneres her er a den forvenede verdien av magasine i nese periode kan esimeres som en funksjon av pris, ilsig og slumagasinnivå i inneværende periode. Disse funksjonene besemmes ved LSM, og algorimen er beskreve i dealj under. Indekser P : Periode s S : Scenario Se Perioder : P = { 0,1,...,T} Sarmagasiner i en periode: sar sar sar sar sar M = m = M m m m = M Scenarier: S = { 1 min, 2,..., K 1, K max} { 1,2,..., N} Sarvolumene brukes kun i punk 2. i algorimen. Scenariene besår av pris- og ilsigsscenarier, som simuleres fra passende modeller. er henholdsvis pris og ilsig i periode i scenario s. s π og s ψ Definisjoner 1 reg E [ V+ 1( Π, Ψ, m+ 1) ] =μv 1 1 r + + reg = reg ( Π = π, Ψ =ψ, m ) E V Π, Ψ [ ] s reg er en regresjon på e se av basisfunksjoner av ilsandsvariablene, Π, Ψ, m +1, mo verdien i nese periode, V +1, neddiskoner. 28

33 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Anagelse Algorimen foruseer en eksplisi anagelse om verdien av slumagasine: regt+ 1 f ( ΠT, ΨT, mt+ 1) μ V T + 1 Algorime 1. Lås = T Gå il For alle s S For alle m sar sm, s sar s s V = max (, ) reg s s π w mi q + s.. s q, l s sar s s s + 1 i min sar i M s max s min + 1 max 0 sar Løs opimeringsprobleme: m = m q l +ψ Q q Q M m M l Slu løkke Slu løkke Gå il Bruk resulaene fra 2. il å gjøre regresjon for å finne reg μ V. Gå il Hvis = 0 Gå il 5. Ellers Lås = 1 Gå il For alle s S Lås m Slu løkke Gå il 6. s = M

34 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 6. For alle s S Løs opimeringsprobleme : V = max π w( m, q ) + reg s s s s q, l s.. s s s s s + 1 min Slu løkke Gåil Hvis = T Gå il 8. Ellers Lås = + 1 Gå il For alle s S For alle p P s max s min + 1 max 0 s + 1 m = m q l +ψ Q q Q M m M l PVCF Slu løkke Slu løkke s s s π hm (, q ) = s ( 1+ r) s V 0 T+ 1 N 1 j = PVCFi i= 0 N j= Forklaring av LSM-algorime Punk 1 il 5 i algorimen sørger for å esimere en funksjon for den forvenede verdien av vanne i nese periode, for alle perioder i analysen. Dee gjøres rekursiv med ugangspunk i en anagelse om verdien av vanne i slumagasine. I punk 6-7 brukes de esimere funksjonene forover, med ugangspunk i de fakiske sarmagasine, for å besemme opimal produksjon i hver periode for hver scenario. Til slu beregnes i punk 8 forvene oalverdi av produksjonen med ugangspunk i idligere beregninger. Informasjon om forvene produksjon, forvenede konansrømmer i hver periode og forvene magasinnivå kan også enkel henes u. En mer dealjer beskrivelse av hver skri følger: 1. Indeks låses il T, i den beydning a kun periode T berakes ved førse ankoms il 2. 30

35 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 2. Verdien av anlegge i periode maksimeres ved å maksimere innjeningen i perioden pluss forvene verdi av slumagasine i perioden innenfor beskrankningene. Den forvenede verdien av slumagasine er en funksjon av prisen og ilsige sam slumagasinvolume i perioden. Opimeringsprobleme som løses i 2. er dermed e enperiode problem med kun o frie variable. Imidlerid vil en for hver periode måe løse K N problemer. Hver problem er alså lie, men med mange ulike sarmagasiner kan de bli svær mange problemer il sammen. 3. Fra 2. har vi en verdi for anlegge for hver scenario i den akuelle perioden,. For å esimere en funksjon for forvenningsverdien av denne verdien i -1 gjøres en regresjon på ilsandsvariablene pris og ilsig i -1 sam sarmagasin i periode. Dee kan gjøres ved å minimere den midlere kvadraiske prediksjonsfeilen for e urykk av polynomype. Regresjonene må lagres il bruk i punk Hvis er sørre enn 0 låses il -1 og punk 2. og 3. gjenas. Når blir lik 0 har vi forvenningsfunksjoner for alle perioder =1,,T. Ved overgang il punk 5. forblir lås il Ved førse ankoms il 5. låses variablene for sarmagasine il de fakiske sarmagasine. Ved senere ankomser il 5. låses sarmagasine for den akuelle perioden il slumagasine for den forrige perioden. 6. For den akuelle perioden finner en opimal produksjon i hver scenario ved å maksimere innjening pluss forvene verdi av slumagasine. Den forvenede verdien av slumagasine represeneres ved regresjonene fra Hvis opimal produksjon er besem for alle perioder går algorimen il 8. Ellers går algorimen ilbake il 5 og 6 for å besemme opimal produksjon i nese periode. 8. Når vi kjenner opimal produksjon og magasinnivå i alle perioder og scenarier, brukes denne informasjonen il å beregne nåverdien av produksjonen i alle perioder og scenarier. Toalverdien av anlegge i analyseperioden beregnes ved å summere midlere nåverdi av produksjonen for alle perioder Verdi av slumagasin ved analysehorisonen De er ikke gjor noen vurdering av hvordan slumagasine kan prises, men funksjonen for denne verdien bør rolig være økende i pris og slumagasinvolum. Å idenifisere en fornufig funksjon for verdien av slumagasine kan eksempelvis baseres på fundamenalmodeller for framidig forvene spopris. De påpekes a ved valg av en analysemeode som baserer seg på å reffe e gi slumagasin, gjøres en implisi verdivurdering av slumagasine. Hvis de er mulig vil de derfor være gunsig å gjøre denne anagelsen eksplisi, ved å inrodusere en funksjon for denne verdien. 31

36 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 8 Implemenering av den deerminisiske modellen I forbindelse med prosjeke er produksjonsplanleggingsprobleme løs for Siso ved å implemenere modellen presener i avsni 6.4 i Malab. Programsrukuren og Malabkoden kan suderes i vedlegg 4. E anall scenarier ble generer ved å simulere prismodellen i og ilsigsmodellen i Opimal forvene produksjon ble dereer funne ved å a gjennomsnie over alle scenariene opimer enkelvis. Forunevne og andre resulaer er presener og diskuer i kapiel 9. Analysens idshorison var fra il Her følger en mer inngående beskrivelse av hvordan modellen ble implemener. 8.1 Kalibrering av prismodell Spoprismodellen ble kalibrer mo erminsrukuren for forward- og fuurekonraker med daa hene fra nordpool.no. Terminsrukuren ble glae ad hoc ved å inerpolere med kubiske splines. Hvis erminsrukuren egnes i plane danner bid og ask for hver konrak e rekangel. Den glaede erminsrukuren reffer disse punkene. Under glaingen ble de imidlerid ikke sa noen resriksjoner på den gjennomsnilige konrakprisen. Resulae innebærer derfor sannsynligvis arbirasjemuligheer i forhold il den opprinnelige erminsrukuren. Ved endene på erminsrukuren ble de gjor yerligere juseringer for å oppnå en mer realisisk sesongeffek. Resulae kan suderes i figur 8.1. Figur 8.1: Gla forwardkurve. 32

37 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 8.2 Simulering av pris og ilsig Pris og ilsig ble simuler ved å gjøre diskreiseringen (6.4). Sarpris ble sa il sarpunke på den glae forwardkurven, og sarilsig ble sa il midlere ilsig for uke 41. Onsdag i hver uke ble valg som punk for simulering av pris og ilsig. De ble inroduser korrelasjon mellom prosessene ved å rekke de sandardnormalfordele variablene korreler. Dee ble gjor ved Cholesky fakorisering. Imidlerid er de ikke gjor noen analyse av den fakiske korrelasjonssrukuren mellom idsserier for pris og ilsig. Grunnen il a de likevel er valg å inrodusere korrelasjon er baser på en anagelse om a de er negaiv korrelasjon mellom prosessene. Korrelasjonsfakoren ble valg il ρ = De ble også gjor simuleringer uen korrelasjon. 8.3 Linearisering av produksjonsfunksjonen Ved implemeneringen ble produksjonsfunksjonen ilnærme som en konsan ganger vannsrømmen: w k q, k = konsan. (8.1) Opimeringsprobleme reduserer da il e lineær program. De er ikke gjor noen kvaniaiv analyse av feilen ved å gjøre dee, men som påpek i avsni 9.1 synes ikke ilnærmingen oal urealisisk. Den fakiske produksjonsfunksjonen ble imidlerid bruk eer opimeringen for å beregne reell produksjon. La nedre indeks benevne periode og øvre indeks benevne scenario. Beregningen av generer kraf ble da gjor som følger: s s m 1 m + s m =, (8.2) 2 s q s og wm (, q) w, m Δ. (8.3) Δ 8.4 Diskoneringsfakor De er i oppgaven ikke a sandpunk il hva som vil være e fornufig avkasningskrav. De er gjor simuleringer både med en risikofri rene 1 og med e risikojuser avkasningskrav 2. De som i praksis bør velges som avkasningskrav vil ha sammenheng med forholdene diskuer i kapiel 5. 1 Den risikofrie renen ble valg ilnærme lik eårig NIBOR. 2 r = 8,9 %. 33

38 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 9 Presenasjon av resulaer og diskusjon 1 Den deerminisiske scenarioopimeringen gir en øvre grense for verdien av produksjonen i perioden. Grunnen il de er en opimal løsning av modellen innebærer a vanne allokeres beinge på sikre, framidige verdier for pris- og ilsig. I realieen er ikke dee ilgjengelig informasjon og verdien av anlegge må derfor være lavere i praksis. Løsningen gir imidlerid en mulighe for å ese resulaene fra mer realisiske modeller. I de følgende preseneres og diskueres resulaene fra den deerminisiske modellen. 9.1 Innvirkning av forenkling av produksjonsfunksjonen I vedlegg 5 er ulike sni av produksjonsfunksjonen egne ved ulike verdier for vannsrøm og magasinnivå. Ved konsan magasinnivå er funksjonen ilnærme lineær og den relaive endringen i effek er også begrense. De er derfor nærliggende å ro a å forenkle produksjonsfunksjonen il en konsan ganger vannsrømmen ikke vil medføre sore feil. Imidlerid ser vi av figur 9.1 a løsningen svær ofe fører il a produksjonen er enen på den øvre grensen eller null. Dee er også illusrer for e enkel scenario i vedlegg 6. Av figur 6.1 er de synlig a ved full produksjon er de gunsig å ligge høy i magasine. Forenklingen som er gjor innfører dermed bias mo lave magasinnivåer i løsningen. En løsning på dee, som forsa ville kunne løses ved lineær programmering, kan være å ilnærme produksjonsfunksjonen med flere plane resriksjoner som danner e konveks mulighesområde. 9.2 Verdien av produksjonen Tabell 9.1 viser resulaer for verdien av produksjonen i perioden for ulike sar- og slumagasin. Som vene er verdien høyere for sor sarmagasin og lie slumagasin, enn for lav sarmagasin og sor slumagasin. Ved å sammenligne abell 9.1 og abell 9.3 ser vi også a verdien er sørs ved den lavese diskoneringsrene. Disse observasjonene yder på a modellen gir fornufige resulaer. m 0 m T V0 ρ N [Mm 3 ] [Mm 3 ] [MNOK] ,5-0,2 10k ,5-0,2 10k ,3-0,2 10k ,5-0,2 10k ,7-0,2 10k ,8-0,2 10k ,7-0,2 10k ,3 0,0 30k ,4 0,0 30k Tabell 9.1: Verdi av produksjon for ulike sar- og slumagasiner. r = 2,5% og N er anall scenarier. 1 Tallverdier i abeller er uela i denne versjonen av rapporen for å beskye Elkems ineresser. 34

39 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Av abell 9.3 ser vi a verdien av anlegge endres marginal ved en økning fra il scenarier med m 0 =400, m T =500 og ρ=-0,2. Lignende observasjoner ble gjor også for andre kombinasjoner av sar- og slumagasin. Dee yder på a scenarier er ilsrekkelig for å få en rimelig konvergens for verdien. 9.3 Sensiivie Ved å addere og subrahere en enhe for alle konraker i forwardkurven oppnås, ved å bruke ligning (9.1), e urykk for sensiivieen il verdien av produksjonen med hensyn på e parallel skif i erminsrukuren. Resulaer for denne sensiivieen er presener i abell 9.2. V V - V Δ F 2 kurve Δ+ Δ- 0 0 (9.1) m 0 [Mm 3 ] m T [Mm 3 ] + V Δ - 0 V Δ 0 ρ N Δ [MNOK] [MNOK] [MNOK] ,1 691,1-0,2 10k 2, ,9 654,1-0,2 10k 1, ,3 735,6-0,2 10k 2, ,3 698,6-0,2 10k 2,4 Tabell 9.2: Forandring i magasinverdi som følge av forandring i forwardpriser med gie sar- og slumagasiner. Ved å see korrelasjonskoeffisienen lik null under simuleringen får vi verdier som er ilnærme like verdiene med korrelasjon (abell 9.3). Dee kan yde på a en lav korrelasjon ikke nødvendigvis har en sor innvirkning på verdien. m 0 m T V 0 ρ N [Mm 3 ] [Mm 3 ] [MNOK] ,1-0,2 30k ,3-0,2 10k ,5-0,2 30k ,6 0,0 30k ,7 0,0 30k ,1 0,0 30k Tabell 9.3: Verdier av magasin med gi sar- og slumagasin, diskoneringsrene er r = 8,9 %. 9.4 Forvene produksjonssraegi Figur 9.1 og 9.2 viser eksempler på midlere nivå og proseniler for henholdsvis produksjon og magasinnivå med r = 8,9 %. De mosvarende grafene for r = 2,5 % er vis i vedlegg 7. De midlere verdiene for produksjonen uviser en klar sesongvariasjon og en nedadgående rend. Sesongvariasjonen er delvis e resula av sesongvariasjonen i erminsrukuren. I illegg er de en opp i produksjonen rund uke 30 hver år. Dee skyldes sannsynligvis fare for flom i en 35

40 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf del scenarier. Effeken er serkere med r = 8,9 %. Grunnen il de kan være a verdien av produksjon i nær id er relaiv sørre med høyere diskoneringsrene. Ulik diskoneringsrene gir også uslag i magasinnivå, som forvenningsmessig ligger lavere med høy diskoneringsrene (sammenlign vedlegg 7 og figur 9.2). Magasinnivåe ligger videre for mange scenarier svær nær minimumsgrensen om sommeren (se figur 9.2). Dee illusrerer hvordan den deerminisiske modellen unyer grensene il de fulle. Produksjon 0 uke uke uke uke Forvene produksjon 10% 20% 25% 50% 90% Figur 9.1 Forvene produksjon for gi sar- og slumagasin med proseniler, diskoneringsrene er r = 8,9 %. Magasinnivå 50 uke uke uke uke Forvene magasin 10% 25% 75% 90% Figur 9.2 Forvene forandring i magasinnivå med proseniler for gi sar- og slumagasin, diskoneringsrener er r = 8,9 %. 36

41 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 9.5 Forvenede konansrømmer Som en følge av ulik produksjonssraegi blir også konansrømmene for ulike diskoneringsrener forskjellige. E eksempel for midlere konansrøm med sandardavvik er egne i figur 9.3 og den mosvarende grafen for r = 2,5 % er vis i vedlegg 6. Konansrømkurvene har visse likhesrekk med forwardkurven. Dee er inuiiv eersom forwardkurven innehar informasjon om spoprisuviklingen. De kan også observeres en økning i konansrømmene på forsommeren, noe som rolig skyldes vårflom i denne perioden. De er som nevn sannsynligvis nødvendig med ilsrekkelig apping i disse periodene for å hindre overløp, selv om spoprisen ikke nødvendigvis er høy. Figurene viser a sandardavvike er høy, noe som ilsier sor usikkerhe i konansrømmene i perioden. Dee er igjen e resula av av/på løsningen som en deerminisisk scenariomodell gir. I vedlegg 6 er produksjonsforløpe for e enkel scenario illusrer, og viser ydelig hvordan løsningen veksler mellom svær høy produksjon og null produksjon. Når de samidig ikke er noen kobling mellom scenariene under opimeringen, blir nødvendigvis variansen svær høy over scenariene, og dee gir igjen uslag i konansrømmene. Figur 9.3 Konansrømmer for gi sar- og slumagasin, diskoneringsrene er r = 8,9 % 9.6 Forbedringspoensiale med en sokasisk opimeringsmodell Den sørse og mes åpenbare svakheen il en deerminisisk modell er a den ikke ar hensyn il sokasikken i en problemsilling. Resulaene vil, som vis, i realieen føre il en produksjonssraegi som er mer drisig enn de ilgjengelig informasjon skulle ilsi. 37

42 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Ved å benye en sokasisk modell forvenes de a produksjonen blir mer forsikig og a magasingrensene ikke unyes like eksrem. Ved å samidig see en verdi på vanne i slumagasine kan en oppnå en mer realisisk fordeling for magasinnivå 1 også i sluen av analyseperioden. Den foreslåe LSM-algorimen ar høyde for begge de nevne forhold. 9.7 Anbefalinger il videre arbeid Videre arbeid med uspring i denne prosjekoppgaven kan innebære en implemenering av LSM-algorimen for e enkel eksempel. Dersom implemeneringen og esingen viser lovende resulaer for e forenkle anlegg, så vil de videre være hensiksmessig å ese anvendelsen av meoden på mer realisiske sysemer. For å få e benchmark for verdien av produksjonen kan den deerminisiske scenariomodellen brukes. Den deerminisiske modellen bør da også benye verdifunksjonen for slumagasine, isedenfor e fassa sluvolum. Algorimen kan også eses mo anerkjene løsningsmeoder baser på sokasisk dual dynamisk programmering. Gi a LSM-algorimen fungerer i praksis vil de være svær ineressan å bruke modellen også il å finne hedgesraegier for produksjonen. En prismodell som beinger på informasjon både i forwardkurven og informasjon om volailie bør da brukes. Forholdene forbunde med ilsigsrisiko bør i denne forbindelse også analyseres nærmere. 1 E fassa slumagasin fører il a variansen over scenariene blir svær lien mo sluen av analyseperioden. 38

43 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 10 Konklusjon E magasin i ilknyning il e vannkrafverk kan berakes som e kompleks deriva av amerikansk karaker på krafpris og ilsig. For å maksimere markedsverdien av produksjonen bør en prismodell som er kalibrer il markede benyes i produksjonsplanleggingen. Produksjonsplanleggingsprobleme preges av sor usikkerhe i forhold il framidig pris og ilsig. En sokasisk modell for langidsplanlegging vil derfor være å forerekke. Årsaken il dee er a en deerminisisk modell foruseer kjene inngangsdaa, som i realieen er usikre. En deerminisisk scenarioopimering fører dermed il a grensene blir for god unye. For å oppnå sørre fleksibilie mo sluen av analysehorisonen bør også verdien av slumagasine urykkes som en funksjon av slumagasinnivå, pris- og ilsigsforvenninger. Ved å bruke en modell som fanger opp sokasikken i produksjonsplanleggingsprobleme er man bedre ruse il å a fornufige avgjørelser. Den foreslåe LSM-algorimen er en meode som ar hensyn il slike forhold. Denne meoden er ikke kommersiel uvikle for planlegging av vannkrafproduksjon. De er nødvendig med implemenering og esing i sorskala før man kan konkludere om algorimen er egne il de ilenke formåle. 39

44 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf 11 Referanser Black, F. & Scholes, M. (1973). The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. The Journal of Poliical Economy, 81(3), Brockwell, P. J & Davis, R. A. (2002). Inroducion o Time Series and Forecasing (2. ugave). New York: Springer-Verlag New York, Inc. Clewlow, L. & Srickland, C. (2000). Energy Derivaives. Pricing and Risk Managemen. London: Lacima Publicaions. Davison, M., Rasmussen, H. & Thompson, M. (2004). Valuaion and Opimal Conrol of Elecric Power Plans in Compeiive Markes. Operaions Research, 53(4), Dixi A. K. & Pindyck, R. S. (1994). Invesmen Under Uncerainy. Princeon: Princeon Universiy Press. Eydeland, A. & Wolyniec, K. (2003). Energy and Power Risk Managemen. New Developmens in Modeling, Pricing and Hedging. Hoboken: John Wiley & Sons, Inc. Fleen, S. E. & Wallace, S. W. (2003). Sochasic programming models in energy. A. Ruszczynski & A. Shapiro (Red.), Sochasic programming. (ss ). Fosso, O. B. (2005). Produksjonsplanlegging i vannkrafbasere sysemer. Noa, insiu for elkrafeknikk, NTNU. Haug, E. G. (2005). Pracical Valuaion of Power Derviaives. Working paper, NTNU. Lucia, J. J. og Schwarz, E. (2001) Elecriciy Prices and Power Derivaives: Evidence from he Nordic Power Exchange. Review of Derivaives Research, 5, McDonald, R. L. (2003). Derivaives Markes. Boson: Addison Wesley. Nilsson, O. & Sjelvgren, D. (1997). Hydro Uni Sar-up coss and Their Impac on he Shor Term Scheduling Sraegies of Swedish Power Producers. IEEE Transacions on Power Sysems,12(1), Olje- og energideparemene. (2005). Faka 2005 om energi- og vassdragsvirksomheen. Ross, S.M. (2003). Inroducion o Probabiliy Models (8. ugave). London: Academic Press. Schwarz, E. S. (1997). The Sochasic Behavior of Commodiy Prices: Implicaions for Valuaion and Hedging. The Journal of Finance, 52(3), Trigeorgis, L. (1996). Real Opions. Managerial Flexibiliy and Sraegy in Resource Allocaion. Cambridge: The MIT Press. Tseng, C.L. & Barz, G. (2002) Shor Term Generaion Asse Valuaion: A Real Opion Approach. Operaions Research, 50(2),

45 Finansielle meoder for produksjonsplanlegging av vannkraf Elekroniske ressurser Programvare. (2005). Lase ned 13. november 2005, fra hp:// aspx Nord Pool. (2005). Lase ned 25. okober 2005, fra hp:// Samaler Gjelsvik, A. (2005). Samale november,