Transkript

1

2

3

4

5

6 Forord Denne maseroppgaven er skreve ved Norges eknisk-naurvienskapelige universie, våren 2006, ved insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse. Denne oppgaven ble ufør i samarbeid med Trondheim Energiverk Kraf AS. Jeg vil ree en sor akk il Sein-Erik Fleen for god veiledning og verdifulle innspill gjennom hele semesere. Takk il Erling Kylling ved Trondheim Energiverk Kraf AS for god søe, raske og konsrukive ilbakemeldinger, og ilgang il vikige daa. Anders Gjelsvik ved Sinef Energiforskning forjener også en akk for diskusjoner rund eksiserende meoder og innfallsvinkler. Trondheim, 25. juni 2006 Marin Geving Pedersen I

7 Sammendrag Vannkrafprodusenens hovedufordring er å ilsrebe opimal forvalning av vanne i magasiner. Sor usikkerhe i framidig srømpris og ilsig kompliserer besluningsprosessen. Denne maseroppgaven vedrører hvordan den deerminisiske ekvivalenen il de sokasiske probleme, i form av scenariorær, kan anvendes for å analysere og løse produksjonsplanleggingsprobleme. Eer dereguleringen av de norske krafmarkede i 1991 har norske vannkrafprodusener vær nød il å forholde seg il en svær volail srømpris. Som handelsvare er srøm spesiell, siden lagringsmuligheene er svær begrensede. Sandard arbirasjeargumener kan derfor ikke brukes for å prise framidige leveranser. I 1993 ble den fellesnordiske krafbørsen Nord Pool ASA eabler og i eerid har de uvikle seg e relaiv likvid marked for ulike konraker. Spoprisen uviser imidlerid av fundamenale grunner forsa spesielle egenskaper som mange og høye spisser, sesongavhengighe og mean reversion (Lucia og Schwarz, 2002). Lucia og Schwarz (2002) påviser også unge haler og posiiv skjevhe i fordelingen for avkasningen il spoprisen. For å maksimere markedsverdien bør produsenen il ross for dee unye ilgjengelig informasjon i erminmarkede under produksjonsplanleggingen. I rapporen preseneres en sokasisk opimeringsformulering for produksjonsplanleggingsprobleme. Modellen gjelder for e sysem med flere magasiner og sasjoner. De anas også a produsenen er prisaker og a måle for planleggingen er å maksimere markedsverdien av produksjonen. Den sokasiske formuleringen er bli implemener som e lineær program i Malab, Scenred og Mosel Xpress. Prisbeskrivelsen som er bruk er baser på Ornsein-Uhlenbeckprosessen, og er kalibrer il erminsrukuren for fuure- og forwardkonraker. Ved å kjøre modellen for mange ulike scenarier for pris og ilsig finnes en forvenningsverdi av produksjonen og e forløp for opimal forvene produksjonssraegi og magasinforvalning. Verdien av den forvenede produksjonen konvergerer for økende anall noder i de generere scenarioræne. Løsningsiden anas aksepabel for e vannkrafverk besående av 14 magasiner og 10 sasjoner. Sensiivieen il de periodevise konansrømmene finnes ved å forea e II

8 parallel skif i forwardkurven, men for hedging anbefales de en prismodell baser på andre ordens markedsinformasjon. Løsningsmeoden bruk i oppgaven virker lovende med anke på konvergens av verdi og løsningsid, men en mer dealjer modell anbefales for en evenuell esing mo kommersielle produksjonsplanleggingsverkøy. III

9 Innholdsforegnelse 1 INNLEDNING PRODUKSJONSPLANLEGGINGSPROBLEMET VANNVERDIKRITERIET KLASSISK PLANLEGGINGSHIERARKI Langidsplanlegging Sesongplanlegging Koridsplanlegging Koblinger mellom de ulike nivåene i planleggingshierarkie Analysehorison og reguleringsgrad Kommersielle løsninger for produksjonsplanlegging PRODUKSJONSPLANLEGGING I ET FINANSIELT PERSPEKTIV ANTAGELSER Vannmagasine som opphav il merverdi Vannkraf som spread opsjon KRAFTMARKEDET DET FYSISKE MARKEDET DET FINANSIELLE MARKEDET SAMMENHENG MELLOM SPOT OG FORWARDPRIS STRØMPRISENS OPPFØRSEL Sprang i pris Mean reversion Tunge haler i prisfordelingen Sesongavhengighe HEDGING AV KRAFTPRODUKSJON IKKE-KOMPLETT MARKED MARKEDSPRIS PÅ TILSIGSRISIKO POTENSIELLE HEDGEPRODUKTER OG FORVENTEDE POSISJONER DELTAHEDGING MODELLER STOKASTISKE MODELLER Vikige fakorer ved valg av prismodell for bruk i produksjonsplanlegging Prismodell Esimering av parameere i prismodellen Tilsigsmodell Esimering av parameere i ilsigsmodellene MODELLERING AV SCENARIOTRÆR RESTRIKSJONER I SYSTEMET Magasinnivå Vannføring Vannbalanse Rampingresriksjoner Begrense overføringskapasise Kosnader Topologi Ska DETERMINISTISK OPTIMERINGSMODELL STOKASTISK OPTIMERINGSMODELL DETERMINISTISK EKVIVALENT IMPLEMENTERING AV MODELLEN IV

10 7.1 SKALERING AV ANALYSEPERIODEN KALIBRERING AV PRISMODELL SIMULERING AV PRIS OG TILSIG SCENARIOTREGENERERING BRUK AV ENERGIEKVIVALENTER DISKONTERINGSFAKTOR TOPOLOGI I NEA-NIDELVVASSDRAGET VERDI AV SLUTTMAGASIN VED ANALYSEHORISONTEN PRESENTASJON AV RESULTATER SCENARIOTREGENERERING OPTIMERINGSANALYSE VERDI AV PRODUKSJON FORVENTET PRODUKSJONSSTRATEGI FORVENTET KONTANTSTRØM SENSITIVITET DISKUSJON ANBEFALING TIL VIDERE ARBEIDE REFERANSELISTE VEDLEGG 1: ALGORITMER FOR SCENARIOREDUKSJON OG GENERERING AV SCENARIOTRÆR VEDLEGG 2: NEA-NIDELVVASSDRAGET...64 VEDLEGG 3: VASSDRAGSSKJEMA VEDLEGG 4: GRAFER AV FORVENTET PRODUKSJON OG TOTALT MAGASININNHOLD VEDLEGG 5: GRAF AV FORVENTEDE KONTANTSTRØMMER VEDLEGG 6: DIAGRAMMER FRA ANALYSE AV TILSIGSDATA FOR AUNE VANNMERKE VEDLEGG 7: DIAGRAMMER FRA ANALYSE AV TILSIGSDATA FOR RATHE VANNMERKE VEDLEGG 8: RESULTATER FRA SPOTPRISANALYSE VEDLEGG 9: SCENARIOTRÆR VEDLEGG 10: PROGRAMSTRUKTUR...77 V

11 1 Innledning Eer dereguleringen av de nordiske krafmarkede er siuasjonen for norske vannkrafprodusener berakelig endre. Omsillingen har medfør a akørene må a hensyn il e kompliser og volail marked under produksjonsplanleggingen. Både framidig pris og ilsig er forbunde med høy grad av usikkerhe. Generel er modellene som brukes for produksjonsplanlegging likevel baser på deerminisiske formuleringer. Dee skyldes a sokasiske opimeringsmodeller er mer krevende å løse. Kommersialisere modeller for produksjonsplanlegging, som Samkjøringsmodellen og Vansimap, baserer seg videre på fundamenalmodeller for å beskrive uviklingen il srømprisen. De kan imidlerid argumeneres for a måle bør være å maksimere markedsverdien av produksjonen. Med e finansiel forankre ugangspunk vil derfor en ideell modell for produksjonsplanlegging basere seg på en sokasisk opimeringsmodell med en prisbeskrivelse som beinger på ilgjengelig markedsinformasjon. I maseroppgaven er de a ugangspunk i e krafverk dreve av Trondheim Energiverk Kraf AS. En sokasisk modell preseneres, og er implemener for de akuelle syseme. Prisbeskrivelsen i modellen beinger på informasjon i erminsrukuren for fuure- og forwardkonraker. Rapporens srukur er som følger: I kapiel 2 analyseres og drøfes produksjonsplanleggingsprobleme generel og i kapiel 3 i e finansiel perspekiv. Dereer følger i kapiel 4 en beskrivelse av de nordiske krafmarkede, egenskaper ved srømprisen og de ulike konrakene som handles. I kapiel 5 diskueres hedging av vannkrafproduksjon generel og pris på ilsigsrisiko. Modeller for pris og ilsig, en beskrivelse av de konkree syseme og opimeringsmodeller preseneres i kapiel 6. Implemeneringen av den deeminisiske ekvivalenen er beskreve i kapiel 7, og resulaene fra den deerminisiske modellen preseneres i kapiel 8 før diskusjonen i kapiel 9. I kapiel 10 foreslås de anbefalinger il uvidelser av modellen. 1

12 2 Produksjonsplanleggingsprobleme Forvalning av vanne i magasiner er vannkrafprodusenens 1 ulimae ufordring. Generel ønsker produsenen å besemme opimal mengde vann som skal slippes gjennom syseme il enhver id. Dee er ekvivalen med a produsenen må besemme hvor mye vann som skal lagres il e senere idspunk. Planlegging av produksjonen er avgjørende i denne sammenheng. For å komme fram il en bes mulig produksjonsplan er de nødvendig å a hensyn il usikkerheen i probleme. Sokasikken knyer seg hovedsakelig il usikkerhe i krafpriser og ilsig 2. Måle for opimaliseringen avhenger imidlerid av i hvilken grad krafmarkede er reguler. I e reguler marked gir produksjonsplanleggingen opphav il e kosnadsminimaliseringsproblem med gie eerspørselsresriksjoner (Wallace og Fleen, 2003). Når produsenen er forplike il å møe en prisuelasisk eerspørsel, vil ikke krafprisen inngå i opimeringsprobleme. De bese produsenen kan oppnå er å minimere kosnader. Dee var ilnærme siuasjonen for norske vannkrafprodusener idligere. Eer dereguleringen av de norske krafmarkede i 1991 og oppreelsen av krafbørsen Nord Pool i 1993 er produksjonsplanleggingsprobleme endre. Produsenen kan nå gjøre ransaksjoner i markede, for å møe forplikelser, som alernaiv il egen produksjon. Wallace og Fleen (2003) gir e formel argumen for a eerspørselsresriksjonene blir overflødige i e dereguler marked. Måle i dagens siuasjon bør dermed være å maksimere forvene markedsverdi av produksjonen (Wallace og Fleen, 2003). 2.1 Vannverdikrierie For å vise konkre hvordan avveiningen mellom å lagre vanne og å produsere umiddelbar gir føringer for produksjonsplanen er de hensiksmessig å innføre en formell noasjon for verdien av anlegge. La V være markedsverdien av anlegge på idspunk. Vi kan da skrive: 1 Hereer kun referer il som produsenen. 2 De vil også være usikkerhe knye il forhold som uforuse havari. 2

13 V Π i wm ( i, qi) = max E, (2.1) i i= ( 1+ r) der Π er den sokasiske srømprisen, w er srømproduksjon som funksjon av magasinnivå, m, og vannsrøm, q 3, og r er en passende diskoneringsrene. Verdien av anlegge er alså en sum av de neddiskonere innekene fra hver periode. De vil si a alle kosnader ved drifen er neglisjer, sam a de er gjor en diskreisering av den i ugangspunke koninuerlige besluningsprosessen. Verdien av anlegge kan åpenbar også formuleres rekursiv: [ ] EV V = max E[ Π w( m, q) ] + q, m 1+ r + 1. (2.2) Gi a vi sår i saren av periode og anar a ufalle for prisen, π, dermed er kjen så blir (2.2): [ ] EV V = max π w( m, q) + q, m 1+ r + 1. (2.3) De er ønskelig å finne e krierium for opimal forvalning av vanne, og urykke som maksimeres i (2.3) deriveres derfor med hensyn på vannsrømmen: [ ] d EV μv 1 (, ) ( (, )) m + π wm q + = π wm q + dq r q m q (2.4) μ V+1 = μ V+1 (m +1, ψ, π ) er forvene verdi av anlegge i periode +1 neddiskoner og ψ er ufalle for ilsige. Den derivere av magasinnivåe med hensyn på vannsrømmen må være lik -1. Dee gjenspeiler direke flybalansen i den maemaiske formuleringen av 3 [q ] = m 3 3

14 produksjonsplanleggingsprobleme 4. Ved å kreve førseordensbeingelsene for opimalie oppfyl får vi dermed: μ m wm (, q). (2.5) V + 1 = π + 1 q Ligning (2.5) beyr i økonomisk forsand a produsenen i enhver periode bør produsere innil den marginale endringen av den forvenede verdien av anlegge i den påfølgende periode neddiskoner blir lik den marginale innjeningen fra produksjonen i inneværende periode. De er denne sørrelsen, μ V+1 / m +1, som omales som marginal vannverdi. I resen av oppgaven vil vi referere il denne sørrelsen kun som vannverdi. I den forugående analysen er de ikke a hensyn il a de kan være resriksjoner på vannsrømmen, q, eller på magasinnivåe, m. Hvis magasine er full, og ilsige er sørre enn maksimal vannsrøm, vil de oppså overløp. m +1 / q vil bli null og vannverdien er følgelig null. E anne spesialilfelle som kan oppså er a prisen i en periode er så høy a de er opimal å produsere så mye som mulig, selv om de ikke er fare for overløp. (2.5) vil da ikke nødvendigvis kunne oppfylles som likhe. Dee er illusrer i figur 2.1, hvor Q max er maksimal vannsrøm. Mer generel vil dermed krierie for opimal produksjon være på formen: max q s.. μ m V wm (, q) π q (2.6) 4 Se kapiel 6.4, 6.5 og

15 π wm (, q) + μ V + 1 lav høy Q max Q max q Figur 2.1: Illusrasjon av verdi av produksjon som funksjon av q. 2.2 Klassisk planleggingshierarki 5 Vannverdikrierie gir oss e formel vilkår for hvordan vi bør uforme produksjonsplanen. Imidlerid er kompleksieen i produksjonsplanleggingsprobleme forsa beydelig. De er usikkerhe i priser og ilsig, de fysiske syseme kan beså av flere magasiner med ulike koblinger og flere sasjoner, deler av probleme er ulineær og mange ulike resriksjoner og føringer spiller inn. Samidig er de nødvendig med en lang analysehorison for å fange opp langsikige render og sesongvariasjoner. En enkel modell med ilsrekkelig dealjeringsgrad og horison vil bli uhånderbar regnemessig. De har derfor vær vanlig å dele opp planleggingen ved å bruke flere modeller med ulik dealjeringsgrad for ulike idshorisoner. Tabell 2.1 angir omrenlige idshorisoner og ilsvarende meoder som er i bruk for planleggingen. 5 Delkapiele er baser på noae Produksjonsplanlegging i vannkrafbasere sysemer, Insiu for elkrafeknikk, NTNU,

16 Horison Langidsplanlegging (1-5 år) Sesongplanlegging (3-18 måneder) Koridsplanlegging (1-2 uker) Meode Sokasiske modeller for opimalisering og simulering Muli-scenario deerminisiske opimeringsmodeller Deerminisiske opimaliseringsmodeller Tabell 2.1: Meoder bruk for ulike idshorisoner Langidsplanlegging I langidsanalysen vil en søke å fange opp langsikige svingninger i pris og ilsig. Med en lang analysehorison er de vanlig å gjøre en rekke forenklinger. Eksempelvis aggregeres reservoarene i syseme il e magasin. Resulaene fra langidsplanleggingen gir syringssignaler il nese seg i planleggingshierarkie Sesongplanlegging Hensiken med sesongplanleggingen er å øke dealjeringsgraden og gi yerligere signaler il koridsplanleggingen. Analysen må samidig kobles opp mo resulaene fra langidsplanleggingen. Koblingen mellom de ulike rinnene er diskuer under. Gi ilsrekkelig regnekraf vil sesongplanleggingen kunne bli overflødig (Fosso, 2005) Koridsplanlegging For de nærmese dagene og ukene forusees prisuvikling og ilsig kjen. Modellene bør være en ilsrekkelig realisisk beskrivelse av syseme il a kjøreplaner kan genereres med idsoppløsning på en ime eller korere. Kjøreplanene fra koridsplanleggingen må i illegg simuleres for å sikre a de ikke oppsår konfliker med regler og føringer som ikke fanges opp av modellene. 6

17 2.2.4 Koblinger mellom de ulike nivåene i planleggingshierarkie Hensiksmessige koblinger mellom de ulike planleggingsnivåene er svær vikig for å skape konsisens i analysen. Ulike løsninger er skisser i abell 2.2. Type kobling Volumkobling Volumkobling med sraff Vannverdikobling Karakerisikk Nivåene kobles gjennom e fassa magasinnivå på e gi idspunk. Dee er en enkel løsning, men gir lie fleksibilie. Avvik fra gi volum illaes, men gir en sraff i målfunksjonen. Dee gir sørre fleksibilie, men de kan være problemaisk å besemme en hensiksmessig sraff. Nivåene kobles ved å sike mo en gi vannverdi på koblingsidspunke. Dee gir sørre fleksibilie, og gjør de enklere å oppnå konsisens når eksempelvis magasiner er aggreger i langidsmodellen. Tabell 2.2: Koblinger mellom planleggingsnivåer. Tidspunke for kobling mellom nivåene kan også være av sor beydning. Deler av åre vil koblingene være forbunde med sørre usikkerhe enn andre. Eksempelvis er de vanlig å koble langidsanalysen og sesonganalysen under vårflommen eller på høsen når snøen legger seg Analysehorison og reguleringsgrad Inervallene som er indiker for analysehorisonen har e relaiv sor spenn, særlig for sesong- og langidsplanleggingen. En av grunnene il dee er a de er sor variasjon i hvor god ulike sysem er reguler. I den forbindelse innfører vi begrepe reguleringsgrad. La U være midlere årsilsig og M max og M min være henholdsvis maksimal og minse magasinnivå. Reguleringsgrad for e vannmagasin er da definer som følger: R M M U max min =. (2.7) 7

18 Når produsenen forear e valg av analysehorison, bør reguleringsgraden aes i berakning (Gjelsvik, 2006). Med e god reguler 6 magasin er de mulig å forea disponeringer som er mer langsikige enn med en lavere reguleringsgrad. Generel vil dermed en høy reguleringsgrad ilsi en lang analysehorison. Grunnen il dee er a analysen er endelig, og vi må dermed gjøre beseme anagelser med hensyn il grensebeingelser i sise periode. Hvis reguleringsgraden eksempelvis er så lav a vi forvener flom hver vår, uavhengig av produksjonsplan, renger vi ikke å planlegge lenger enn il vårflommen, siden vi kan ana a vannverdien er lik null. For e sysem med høy reguleringsgrad vil feilakige grensebeingelser kunne gi sore uslag dersom analysehorisonen velges for kor Kommersielle løsninger for produksjonsplanlegging De mes anvende planleggingsmodellene i bruk i Norden er de SINTEF-uviklede verkøyene Samkjøringsmodellen og Vansimap (sinef.no, 2005). Samkjøringsmodellen er beregne for analyse av sørre sysem og gir blan anne spoprisprognoser. Vansimap er beregne for sesong- og langidsplanlegging for den enkele produsen. SHOP er e anne SINTEF-produk som er spesiel ilpasse koridsplanlegging av vannkraf. 6 Med god reguler menes høy reguleringsgrad. 8

19 3 Produksjonsplanlegging i e finansiel perspekiv Srømpriser og ilsig har som idligere nevn en høy grad av sokasikk, og de grunnleggende probleme i produksjonsplanleggingen er å besemme hvordan fleksibilieen bes kan unyes. I e finansperspekiv er de derfor nærliggende å vurdere realopsjonsanalyse som ilnærming for å prise produksjonen. Dee kapiele vil see fokus på hva opsjonalieen i produksjonsplanleggingsprobleme innebærer. For øvrig gir Dixi og Pindyck (1994) og Trigeorgis (1996) helhelige innføringer i realopsjonsanalyse generel. Eydeland og Wolyniec (2003) presenerer meoder for realopsjonsanalyse ree mo energibransjen. Davison, Rasmussen og Thompson (2004) og Tseng og Barz (2002) er represenaner for nyere uvikling av realopsjonsmeoder anvend på krafproduksjon. 3.1 Anagelser I den videre analysen ligger flere anagelser il grunn. Anagelsene er som følger: 1. Kapialmarkedene er velfungerende og komplee i den forsand a måle for produsenen allid vil være å maksimere markedsverdien av produksjonen. 2. Produsenens disposisjoner påvirker ikke priser eller andre akørers disposisjoner. 3. Produksjonskosnader neglisjeres. Anagelse 1 vil ikke være oppfyl i praksis for e vannkrafverk. Hovedgrunnen il de er a de ikke eksiserer noe marked for ilsigsrisiko. Hvorvid krafmarkede er ilnærme komple er også diskuabel. Dee er nærmere diskuer i 5.1. For mindre akører er de grunn il å ro a anagelse 2 holder. For sore produsener, eksempelvis Sakraf, vil rolig anagelsen ikke holde. En sor akør vil kunne gjøre nye av spilleoreiske ilnærminger for å løse probleme. Dee vil ikke bli nærmere diskuer i denne oppgaven. 9

20 3.1.1 Vannmagasine som opphav il merverdi E elvekrafverk uen magasin har ingen lagringsmuligheer for vanne. Produsenen har i denne siuasjonen ingen muligheer il å gjøre disposisjoner vedrørende produksjonen i forskjellige perioder. 7 Å finne verdien av krafverke reduseres da il å forså og modellere ilsigs- og prisprosessene (Eydeland & Wolyniec, 2003). Verdien av e magasin i ilknyning il e krafverk er en følge av a magasine gir muligheer for arbirasje i id. Srømpriser uviser sore og delvis forusigbare sesongvariasjoner 8. Magasine gir da muligheer for å lagre vann fra perioder med lav pris il perioder med høy pris. Følgende eksempel søker å illusrere hvordan magasine gir opphav il merverdi, og hvordan denne verdien er e resula av en opsjon med amerikansk karaker: Berak en diskre siuasjon med kun o perioder og null ilsig. Prisen i periode 0 er kjen og k er en konsan. La videre: l h {, } Π Π Π Π = n π l 1 0 Π = u π h 1 0 wmq (, ) = kq n 1+ r u Produsenen har i denne siuasjonen en amerikansk opsjon på å produsere nå eller i nese periode, gi a muligheen for produksjon er begrense il disse o periodene. Merk a den lineære produksjonsfunksjonen fører il a de aldri vil være opimal å produsere i begge perioder. Teorien for binom opsjonsprising (se for eksempel McDonald (2003)) gir da verdien, V 0, som følger: 7 Vedlikehold kan imidlerid legges il perioder med lav srømpris / lav vannføring. 8 Se

21 p V 0 ( 1 r) + n = u n = km max π0, ( ( ) ) * h * l p Π + 1 p Π r Eksempele over er svær forenkle. I realieen vil drifsbesluningen være av koninuerlig karaker, de vil være e sokasisk ilsig, fysiske resriksjoner på magasinnivå og vannføring og en ulineær produksjonsfunksjon. Opsjonalieen i probleme vil like full være ilsede, men i en lang mer kompleks form Vannkraf som spread opsjon I avsni 2.1 ble de vis a opimal produksjon er gi ved vannverdikrierie. Davison, Rasmussen og Thompson (2004) uleder e alernaiv krierium i koninuerlig id. Krierie gjelder i e relaiv generel univers med hensyn il pris- og ilsigsprosess. Gi a vi sår i gir krierie a opimal vannsrøm ilfredssiller urykke V max π wm (, q ) q, (3.1) q m der w er produser effek som funksjon av magasinnivå og momenan vannsrøm, q. Hvis vi går over il diskre id ved å gjøre ilnærmingen V m μ m V (3.2) og lar wm (, q ) wm (, q), (3.3) så får vi følgende urykk: 11

22 μv + 1 max π hm (, q) q. (3.4) q m + 1 (3.4) gir oss ikke ubealingssrukuren fra opsjonen direke, men viser a vanne har en verdi og hvordan denne verdien er med på å besemme opimal produksjon. Hvis vi olker μ V+1 / m +1 som enheskosnaden for vanne, så gir (3.4) a opimal produksjonssraegi maksimerer differansen mellom innjeningen og alernaivkosnadene il vanne. I en siuasjon der de kun er mulig å enen forbruke e konsan volum eller ikke produsere ar (3.4) form av en spread opsjon med differansen mellom markedsverdien av produser kraf og verdien av vanne som underliggende. La q * benevne opimal produksjonsvolum. Verdien av produksjonen kan da ved (2.3) urykkes som følger: V * h( m, q ) V + 1 =Π +μ. (3.5) For å undersøke feilen i (3.2) deriverer vi (3.5) med hensyn på magasinnivåe: V h( m, q ) μ m m m m m * V + 1 =Π (3.6) Gi a de ikke oppsår overløp så vil m +1 / m = 1, og feilen i (3.4) vil avhenge av hvor bra produksjonsfunksjonen er i m-reningen. Hvis de oppsår overløp vil ikke lenger m +1 / m være definer. Vi har imidlerid idligere argumener for a vannverdien i denne siuasjonen er lik null. (3.4) fører da il a produksjonen vil gå il maksimal produksjon, som er e fornufig resula. De presiseres a innføringen av (3.4) er gjor for å illusrere dynamikken i probleme, og ikke er e resula av en sringen maemaisk analyse. For å oppsummere så har produsenen i hver periode en opsjon på å løse inn vann for å produsere kraf. Opsjonen er som idligere diskuer av amerikansk karaker. Yerligere 12

23 forhold som kompliserer prisingen er a innløsningskursen er en sokasisk funksjon av ilsandsvariablene. Framidig innløsningskurs påvirkes videre av de disposisjoner vi gjør i dag og e sokasisk ilsig. Verdien på underliggende avhenger heller ikke kun av srømprisen, men også av magasinnivå og hvor mye vann vi velger å løse inn. 13

24 4 Krafmarkede I 1991 ble de forea en deregulering av de norske markede for elekrisk kraf. I kjølvanne av dee ble den fellesnordiske krafbørsen Nord Pool oppree. Denne krafbørsen har øk i omfang eer hver som de andre nordiske landene også har åpne for å deregulere markedene. Nord Pools oppgaver er å drife de fysiske markede (Elspo) og adminisrere de finansielle (Elermin og Elopion). Nord Pool garanerer også for enighe og leveranse, ved å være en nøyral mopar for både kjøper og selger. 4.1 De fysiske markede Elspo er e marked hvor de blir handle krafkonraker for fysisk leveranse for hver av de 24 imene de påfølgende døgne. Markede fungerer på den måen a de som ønsker å kjøpe eller selge kraf angir pris og kvanum for de de vil handle i de ulike imene. For hver ime i de nese døgne får man da en sysempris, som kommer frem av krysningen mellom den oale ilbuds- og eerspørselskurven for alle delakerne i markede (se figur 4.1). Dersom de ikke er begrensninger i overføringskapasie blir spoprisen lik sysemprisen. Figur 4.1: Sammenheng mellom sysempris og ilbud/eerspørsel i markede. 14

25 Fakorer som påvirker sysemprisen er i særlig grad sesong (emperaur) og periode på døgne (Lucia & Schwarz, 2002). Ved lave emperaurer vil eerspørselen øke og sysemprisen gå opp. I Norge kommer 99% av elkrafen fra vannkrafverk og i Norden 55% (nordpool.no, 2006). På grunn av dee vil sysemprisen være svær avhengig av fyllingsgraden i magasinene. Variasjonene kan observeres i figur 4.2, der sysemprisen er ypisk høy i vinermånedene og lav om sommeren. De er også verd å merke seg hvordan sysemprisen blir påvirke av perioder med lie nedbør slik som i vineren 2002/2003. Figur 4.2: Sysempris i NOK pr MWh fra 1992 il 2004, (Nordpool.no). 4.2 De finansielle markede På markede Elermin blir de handle forskjellige yper fuure- og forwardkonraker oppdel u ifra ulike leveringsperioder. De handles i dag fuurekonraker for dager og uker og forwardkonraker for måneder, kvaraler og år. Konrakene er sandardisere og er på 1 MW, innenfor sine respekive leveringsperioder. I 2004 ble de omsa for 148,5 Mrd NOK noe som ilsvare 590 TWh (se figur 4.3). Hovedforskjellen på fuures og forwards ligger i a førsnevne har mark-o-marke oppgjør, mens sisnevne har akkumuler oppgjør eer sise leveringsdag. De handles konraker med levering oppil re år frem i id. Ingen av forwardkonrakene på Nord Pool innebærer fakisk fysisk leveranse, men blir gjor opp mo sysemprisen i spomarkede. Elekrisie er en bulkvare og må i praksis brukes samidig som den lages. Forwardkonrakene er derfor en ype swaps. Prisene blir besem u ifra en forvene gjennomsnilig pris over en periode og ikke for e viss leveringsidspunk. 15

26 Siden høsen 1999 har de også vær mulig å handle europeiske opsjoner eller swapions på markede Elopion. Dersom en kjøps- swapion er lønnsom ved innløsningsidspunk vil man inna en posisjon i den underliggende swap mo en innløsningspris. Ubealingen fra å inneha en posisjon i opsjonen vil skje i løpe av leveranseperioden il den underliggende swap, og følgelig ikke ved innløsning av opsjonen (Gaarder Haug, 2005). For en vannkrafprodusen vil informasjonen som ligger i de finansielle markede være nyig når den opimale ressursunyelsen skal avgjøres. Eersom prisene på de ulike konrakene er offenlige, kan de være med og hjelpe vannkrafprodusenen il å besemme sannsynlig risikopremie (Eydeland & Wolyniec, 2003). Figur 4.3: Omsening i TWh pr uke på Elermin (Nordpool.no) 4.3 Sammenheng mellom spo og forwardpris En forward skal eer prinsippe om nullarbirasje være prise lik spoprisen ved leveringsidspunk, T, diskoner med en risikofri rene r subraher med dividenden δ: F = Se T, ( r δ )( T ). (4.1) For handelsvarer er de ofe snakk om lagringskosnader og convenience yield. Convenience yield er verdien av å holde en fysisk vare i erminmarkede. Eersom de er svær begrensede muligheer for fysisk lagring av elekrisie er de vanlig å neglisjere lagringskosnadene og convenience yield. Arbirasjemuligheer i id og rom blir derfor svær 16

27 begrense. Sammenhengen mellom spo- og forwardpris blir som følge av dee ikke like enkel som beskreve i grunnleggende finansiell eori Forvene spopris i idspunk T er spopris i med en forvene avkasning α: E[ S ] = Se α ( T ) T. (4.2) For å unngå risikofri profiering er de nødvendig a forwardkonraken prises slik a verdien av å holde en konrak og eie en andel i underliggende blir den samme i en risikonøyral vurdering: FT, = E[ ST] e ( r α )( T ). (4.3) I e elkrafmarked er de ikke nødvendigvis sammenheng mellom eerspørsel i dag og i fremiden. De er derfor vanlig å se på elkraf handle på o ulike idspunk som o forskjellige varer. Sammenhengen i ligning (4.3) holder likevel også i elkrafmarkeder (McDonald, 2003). 4.4 Srømprisens oppførsel Deregulere markeder for elekrisk kraf er relaiv nye. De finnes derfor begrensede mengder hisoriske daa for likvide spopriser og derivaer. De er likevel gjor flere sudier vedrørende egenskapene il srømprisen (Lucia & Scwarz, 2002). Vikige observere egenskaper ved srømprisen er sprang i pris, mean reversion, unge haler i prisfordelingen og sesongavhengighe Sprang i pris Prisen på elekrisk kraf kan være mege volail eer sandard mål på volailie (Lucia & Schwarz, 2002). De kan ofe forekomme pluselige, uvenede og diskoninuerlige forandringer i spoprisen. Figur 4.4 er e plo av spoprisen på Nord Pool fra januar 2005 il mai

28 Figur 4.4: Spopriser fra Nord Pool fra Januar 2005 om. Mai 2006 (nordpool.no). En sannsynlig forklaring er a disse sprangene kommer av sor variasjon i eerspørselen og lav elasisie i ilbude. Den lave elasisieen kommer av begrense overføringskapasie og små muligheer for lagring av elekrisie Mean reversion En annen veldokumener egenskap ved råvarepriser er mean reversion. Denne egenskapen kan illusreres med følgende modell (Clewlow & Srickland, 2000): ( ) ds = κ μ Π Π d +Πσ dz. (4.4) Her vil spoprisen rekkes ilbake il de langsikige nivåe Π = e μ med en hasighe som er gi av mean reversion raen κ. Denne raen er besandig posiiv. Dersom spoprisen ligger over de langsikige nivåe Π så vil drifen μ i spoprisen være negaiv, og prisen vil ha en endens il å gå ilbake il de langsikige nivåe. På samme måe vil drifen være posiiv dersom spoprisen ligger under de langsikige nivåe. Spoprisen renger ikke nødvendigvis vende ilbake il de langsikige nivåe ved ehver idspunk. Den ilfeldige endringen i spoprisen kan være sørre enn drifen og inneha mosa foregn. 18

29 Teser for ilsedeværelse av mean reversion hos srømpriser har ikke gi enydige resulaer. Dee skyldes a de er vanskelig å skille mellom mean reversion som følge av prishopp i srømdaaene de eses på og fakisk mean reversion. (Eydeland & Wolyniec, 2003) Tunge haler i prisfordelingen En konsekvens av sprang i spoprisen og høy sokasisk volailie er jukke haler i prisfordelingen. Dee kommer av a sannsynligheen for sore uslag fra empiriske daa ypisk vil overgå de eoreiske sannsynlighesfordelingene som spoprismodellene baseres på. E esima av kurosen hos spoprisfordelingen i de nordiske krafmarkede har gi verdier som ligger berakelig høyere enn kurose for sandard normalfordeling (Lucia & Schwarz, 2002). Forekoms av høy og lav avkasning vil følgelig ha sørre sannsynlighe enn for en normalfordeling med samme varians. De er også påvis en posiiv skjevhe i avkasningen hos spoprisen, som ilsier høyere sannsynlighe for høy enn for lav avkasning (Lucia & Schwarz, 2002) Sesongavhengighe Srømpriser i Norden er påvis å være avhengig av sesong (Clewlow & Srickland, 2000). Sysemprisen for vinersesongen har median, middel-, maksimum- og minimumverdier som ligger over den varme sesongen. Den midlere prisen for kalde sesonger er 28% høyere enn for varme (Lucia & Schwarz, 2002). En nøyakig esimering av de årlige sesongavhengige mønsere krever derimo e høy anall år. I Norge er 70% av oppvarmingsbehove dekke med elekrisie (Olje- og energideparemene, 2005). Dee fører il a klima i sor grad er med og besemmer konsume av elekrisk kraf. Korere dager i vinerhalvåre fører også il øk bruk av kunsig lys, som igjen øker srømforbruke. Sesongavhengigheen er inkluder i verdiseingen hos delakere i markede (Lucia & Schwarz, 2002). Formen på fuure-kurven viser a de er en opp og en bunn for hver år noe som er i samsvar med oppførselen il spoprisen. Den midlere spoprisen for helge- og helligdager ligger også under den midlere spoprisen for vanlige ukedager (Lucia & Schwarz, 2002). 19

30 5 Hedging av krafproduksjon Gjennombrudde for moderne opsjonsprisingseori regnes for å være arikkelen The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies (Black og Scholes, 1973). Fundamene for eorien er a de er mulig å see sammen andre finansielle produker som, uavhengig av prisuviklingen på underliggende, gir den samme ubealingssrukuren som derivae. Dee alernaive see med produker kalles hedgeporeføljen. I kapiel 3 ble de illusrer hvordan e vannkrafverk kan berakes som e kompleks deriva på krafpris og ilsig. For å kunne hedge krafproduksjonen ønsker vi analog med Black- Scholes-eorien å finne e se av produker som bes mulig replikerer konansrømmene fra krafverke. De kan være flere grunner il a produsenen ønsker å hedge produksjonen. Wallace og Fleen (2003) poengerer a friksjon i markede kan føre il a de vil være skalaøkonomi i risikosyring; de kan være billigere for produsenen å hedge enn for individuelle invesorer i selskape. En annen grunn il å hedge kan oppså, som illusrer i figur 5.1, dersom resulae fra produksjonen som funksjon av innekene har negaiv andrederiver. Resula Innek Figur 5.1: Illusrasjon av resula som funksjon av innek. Wallace og Fleen (2003) presenerer e argumen for a hedging kun bør gjøres ved ransaksjoner i markede og ikke ved å endre produksjonsplanen. Argumene går kor som følger: Markedsverdien av en finansiell konrak i e likvid marked er null i de den inngås og vil derfor ikke endre markedsverdien av produksjonen. En endring av produksjonsplanen fører imidlerid il en endring av markedsverdien il produksjonen. Derfor bør 20

31 produksjonsplanen uformes for å maksimere markedsverdien il produksjonen, og dereer kan en gjøre ransaksjoner i markede for å begrense risikoen. Dee argumene vil være ugangspunke for resen av diskusjonen. 5.1 Ikke-komple marked Som idligere nevn finnes de ikke noe marked for ilsigsrisiko. De vil dermed allid være en viss basisrisiko forbunde med produksjonen. Elkrafmarkede er rolig heller ikke komple i den forsand a de er mulig å kvie seg med all prisrisiko. Tidsoppløsningen for produksjonsplanleggingen er ypisk korere enn de ilgjengelige konrakene på lang og mellomlang sik. Hvis de enese ilgjengelige insrumene er en årskonrak, kan ikke risiko på ukesbasis hedges, siden insrumene kun avspeiler gjennomsnilig risiko over hele perioden. I illegg er de nødvendig å gjøre en anakelse om verdien av slumagasine 9. Analysehorisonen som er anvend i kapiel 7 srekker seg ikke il sluen av sise erminkonrak. Prisrisiko forbunde med slumagasine kan dermed hedges il en viss grad. I de videre forusees imidlerid likevel e ilnærme komple krafmarked. 5.2 Markedspris på ilsigsrisiko A vi ikke kan hedge all risiko forbunde med krafproduksjonen kompliserer framgangsmåen for risikonøyral prising og dermed også hedging. Eydeland og Wolyniec (2003) påpeker a en bør finne markedsprisen på den risikoen som ikke kan hedges og bruke den i sede for den risikofrie renen. La α være forvene avkasning, σ volailie og r f risikofri rene. Pris på risiko per volailiesenhe, λ, kan da defineres som α r λ= f σ. (5.1) 9 Selv om e modellen fordrer e fas slumagasin vil de innebære en implisi verdivurdering av resmagasine. 21

32 (5.1) kalles også Sharpe-forhold (McDonald, 2003). Hvis en ror a risikopremien på vannkrafaksjer i hovedsak skyldes ilsigsrisiko kan kapialverdimodellen forslagsvis benyes for å finne risikopremien for en porefølje av rene vannkrafaksjer 10 : ( r ) α r =β α. (5.2) vannkraf vannkraf marked f For o eiendeler som er idenisk korreler med markede forøvrig vil Sharpe-forholde være de samme (McDonald, 2003). Ana a markedsverdien av egen produksjon er lik korreler med markede som poreføljen av vannkrafaksjer, og videre a risikopremien for vannkrafaksjer kun skyldes ilsigsrisiko. Risikopremien for ege ilsig blir da: σ α r = α ( r ) produksjon ilsig f vannkraf f σvannkraf, (5.3) der σ produksjon er volailieen il markedsverdien av egen produksjon. Eydeland og Wolyniec (2003) foreslår også å bruke selskapes generelle avkasningskrav i lignende siuasjoner. Evenuel kan en vurdere hvorvid ilsigsrisiko er en sysemaisk eller usysemaisk risiko. Hvis ilsigsrisiko er usysemaisk innebærer de a invesorene kan eliminere risikoen ved å holde en veldiversifiser porefølje. I e ilsrekkelig likvid marked vil en premie for ilsigsrisiko da innebære en arbirasjemulighe, som ikke kan vedvare. Risikopremien bør i denne siuasjonen være lik null. 10 Aksjer på selskaper som hovedsakelig er vannkrafprodusener. 22

33 5.3 Poensielle hedgeproduker og forvenede posisjoner Selv om de er høys usannsynlig å finne en perfek hedge for vannkrafproduksjonen kan likevel variansen i konansrømmene begrenses, ved å a posisjoner i de produker som fakisk handles. For å låse inn framidig pris kan produsenen ypisk inngå kore posisjoner i fuure- og forwardkonraker. De er imidlerid usikkerhe knye ikke bare il prisen, men også il produser kvanum. For å oppnå e konsisen resula er produsenen derfor avhengig av å planlegge og prise produksjonen på en måe som gir sensiivieer for produksjonsvolum i forhold il de ilgjengelige fuure- og forwardkonrakene. Eydeland og Wolyniec (2003) diskuerer prising og hedging av gasslagre og hevder a de samme eknikkene, med modifikasjoner, kan brukes il å prise og hedge vannkrafproduksjon. De resulerende hedgene for gasslagere besår av opsjoner. Dee kan yde på a opsjoner kan være egne også il å hedge vannkrafproduksjon. 5.4 Delahedging Delahedging innebærer å inneha både en posisjon og en opsjon i den samme underliggende konraken. Prosessen fører il en dynamisk rading av posisjonen i den underliggende energikonraken slik a for alle idsinervaller mellom rading, vil en endring i opsjonsprisen ilsvares av en lik og mosa endring i verdien av posisjonen i den underliggende. På denne måen vil ikke poreføljen endre verdi, og akøren er derfor immun mo risiko fra endringer i pris på underliggende. For å kunne hedge perfek må ΔF 0. Dee fører il definisjonen av dela: ΔC C = = dela ΔF F ΔF 0 (5.4) Enhver forandring i den underliggende forwardprisen fører il en forandring i dela. Dee fører il en koninuerlig rading i den underliggende konraken for å holde posisjonen i 23

34 underliggende lik dela, og holde poreføljen hedge. I praksis er de verken mulig eller nødvendig å rade den underliggende koninuerlig, men kun når den underliggende har forandre seg nevneverdig (Clewlow & Srickland, 2001). Glassermann (2003) beskriver en esimaor for å finne den ilnærmede forandringen i opsjonverdier med hensyn på forandring i underliggende. Denne esimaoren kaller han cenral-difference esimaor (se figur z.zz). V Δ+ V Δ- Δ - Pris på underliggende Δ + Figur 5.2: Illusrasjon av den ilnærmede angenen il prisen på underliggende ved bruk av cenraldifference esimaor. Dersom de anas a de opimal forvenede konansrømmene fra vannkrafproduksjonen er en opsjon som beinger på forwardkurven, vil dela kunne urykkes som: - Δ F 2 Δ+ Δ V V V kurve, der er e idsinervall. (5.5) 24

35 6 Modeller For å være i sand il å finne en adveka løsning på produksjonsplanleggingsprobleme er de nødvendig med beskrivelser av srømpris, ilsig og produksjonssyseme. Når forunevne er eabler, er de videre nødvendig å formulere probleme maemaisk. Dee kapile vedrører disse forholdene. 6.1 Sokasiske modeller Både pris og ilsigsprosessen er uforusigbare i den grad a en modell som ikke ar hensyn il sokasikken vil være urealisisk. For å kunne oppnå en fornufig hedgesraegi er de videre ønskelig med en prismodell i produksjonsplanleggingen som beinger på markedsinformasjon. I denne oppgaven er de valg idskoninuerlige sokasiske prosesser baser på Brownsk bevegelse for både pris og ilsig. Varianer av Brownsk bevegelse er hyppig bruk som modell innen finans og er inngående suder. For en analyse av egenskapene il Brownsk bevegelse se for eksempel Ross (2003). McDonald (2003) gir en innføring i anvendelsen av Brownsk bevegelse som byggesein for modeller i finans Vikige fakorer ved valg av prismodell for bruk i produksjonsplanlegging Produksjonsplanlegging av vannkraf er påvirke av den korsikige dynamikken hos spoprisen, men også av den langsikige dynamikken hos forward-kurven. I sysemer med høy reguleringsgrad kan ilsanden og dynamikken i den lange enden av forward-kurven ha sor påvirkning på produksjonsplanleggingen. E vannkrafverk kan berakes som e kompleks deriva il spoprisen, men dee umuliggjør hedging da spoprisen ikke kan lagres. De er derfor hensiksmessig å bruke en modell som baseres på eksiserende finansielle konraker, sam dynamikken i de finansielle markede. En prismodell som ar hensyn il alle egenskaper ved srømprisen ville vær en sor oppgave i seg selv, med anke på avvikene il anagelsene 25

36 om sandard normalfordeling (som diskuer i avsni 4.4). De er derfor a forenklede anagelser med hensyn på spoprisen i denne oppgaven Prismodell Som diskuer i 4.4 har srømprisprosessen en rekke særegenheer. Kor oppsummer uviser srømpriser en ydelig sesongvariasjon og mean reversion. Samidig har fordelingen unge haler og sore sprang i prisen forekommer ofe. En modell som ar hensyn il alle forhold blir relaiv kompliser og vil ha mange parameere som må esimeres. Fokuse for denne oppgaven er ikke å foreslå en bes mulig modell for srømpriser. Likevel er de nødvendig å benye en modell som er i en viss overensemmelse med markede, for å oppnå fornufige resulaer. For en sudie av ulike modeller som kan være akuelle i krafmarkeder se Clewlow og Srickland (2000) eller Eydeland og Wolyniec (2003). Schwarz (1997) regnes forøvrig å være e vikig bidrag il modellering av råvarepriser. Prismodellen som er valg i denne oppgaven er en varian av Ornsein-Uhlenbeck prosessen med idsavhengig forvenning. Modellen er beskreve i de re referansene nevn over og urykkes generel: d Π Π = κ( θ ln Π ) d + σdz (6.1) der dz er e inkremen il en sandard brownsk bevegelse, κ er mean reversion parameeren, θ er idsvarierende forvenning og σ er sandardavvike il den brownske bevegelsen. For å simulere denne modellen er de hensiksmessig å gjøre ransformasjonen f = ln Π (6.2) Iôs formel gir da 2 ( ), ˆ σ df = κ θ f d + σdz θ = θ (6.3) 2κ 26

37 For å simulere modellen gjøres diskreiseringen ( ˆ ) Δ f =κ θ f Δ +σ Δ N (6.4) der N er en sandard normalfordel variabel. Clewlow og Srickland (2000) påpeker a f inngår i drifen, og a diskreiseringen derfor kun er eksak i grensen Δf df. Tidssegene bør derfor velges kore relaive il mean reversion hasigheen. For å gjøre prisprosessen risikonøyral kan drifen kalibreres ved hjelp av erminsrukuren. Clewlow og Srickland (2000) viser da a 1 dln F σ θ = +κ + κ d 4κ 2 0, T ln F 2 0, T 1 κt ( e ) (6.5) der F 0,T er erminprisen for srøm lever i idspunk T på nåidspunk. Modellen er per definisjon kalibrer il erminsrukuren i forvenning, men beinger ikke på andre ordens markedsinformasjon. Modellen kan derfor ikke venes å gi korreke opsjonspriser Esimering av parameere i prismodellen Esimering av paramerene il prismodellen er gjor i Excel. Daagrunnlage for analysen er ukenlige spopriser i Trondheim i idsromme Paramerene i srømprismodellen er esimer med ugangspunk i a Ornsein-Uhlenbeck (Schwarz) prosessen har felles fordeling med en AR(1)-prosess, der paramerene er gi som funksjoner av paramerene il ohrnsein-uhlenbeck prosessen, når observasjonene har lik avsand. 2 2κ κ κ ˆ σ (1 e ) 1 e B Yn = 1 e B θ + ξn, ξn N 0, (6.6) 2κ ( ) ( ) Her er B en back shif operaor (Brockwell & Davis, 2002). 27

38 Dikreiseringen i (6.5) ble bruk il å esimere σ og κ samidig ved å minimere de midlere kvadraiske feilene. Esimere parameere og deskripiv saisikk fra analysen av de hisoriske prisene finnes i vedlegg Tilsigsmodell Modellen for ilsige er også modeller som en Ornsein-Uhlenbeck prosess. Tilsigsmodellen har i illegg il sesongavhengig forvenning også sesongavhengig varians. I følge Gjelsvik(1992) er auokorrelasjon ofe en signifikan fakor i ilsigsserier. Ornsein-Uhlenbeck prosessen er den idskoninuerlige versjonen av en AR(1)-prosess. AR(1)-prosessen er auokorreler ved lag 1 (Brockwell og Davis, 2002) Esimering av parameere i ilsigsmodellene Esimering av parameerne il ilsigsmodellen er gjor i Excel. Analysegrunnlage er observere ukenlige ilsig fra vassmerkene Aune og Rahe i Nea/Nidelvvassdrage i idsromme Esimeringen av mean-reversion koeffesienene og de ukenlige volailieene er gjor ved bruk av minse kvadraers meode. Esimere parameere og resulaer fra ilsigsanalysen il henholdsvis Aune og Rahe vannmerke finnes i vedlegg 6 og 7. 28

39 6.2 Modellering av scenariorær En vannkrafprodusen er som nevn i kapiel 3, vunge il å a avgjørelser under usikkerhe. Presenasjon av fremidige hendelser i form av scenarier kan være en vikig besluningsøe, der hver scenario samsvarer med e enkel ufall av en ilfeldig mengde. Sampling fra hisoriske idsrekker eller fra saisiske modeller er de mes anvend meodene for å lage scenarier. Scenariene og de ilhørende sannsynligheene blir da en ilnærme beskrivelse av den sokasiske prosessen. Dersom man anar a førse periode i en sokasisk prosess er kjen (deerminisisk), vil generere scenarier a form som en vife, der alle scenariene har samme sarverdier. En slik vife kan være en god beskrivelse av den underliggende sokasiske prosessen, men er ikke anvendelig i rinnvise besluningsprosesser. E vikig hjelpemiddel i å løse flerrinns sokasiske programmer er en ilnærme fremsilling av den underliggende sokasiske prosessen i form av e scenariore. E scenariore kan fremsilles ved e endelig se med noder. Scenarioree sarer i ronoden i den førse perioden og forgreiner seg il noder i nese periode. Hver node har en enkel forgjengernode, men kan ha flere eerfølgere. E enkel eksempel er illusrer i figur 6.1 Hver si fra ronoden n1 il en av dens endeilsander n6,,n10 er e scenario. Figur 6.1: Eksempel på scenariore, med 10 noder og 5 scenarier. 29

40 Å lage scenariorær som beskriver den sokasiske prosessen på en ilfredssillende måe er en ufordring. E gi anall forgreininger i hver node vil gi en eksponeniell økning i anall noder for hver diskree idsseg. Dee vil føre il dimensjonsproblemer ved mange forgreiningsperioder. I illegg vil e forenkle scenariore kunne gi en svær misvisende ilnærming il den underliggende sokasiske prosessen. Heisch og Römisch (2003 & 2005) har beskreve meoder for å konsruere scenariorær baser på scenariovifer, slik a sannsynlighesfordelingen og filreringssrukuren hos daaene i scenariene ilnærmelsesvis gjenopprees. Algorimene reduserer den opprinnelige vifen il e scenariore ved å modifisere resrukuren og bune lignende scenarier. Flying av øvre grenser for sannsynlighe- og filreringsavsand gir mulighe il å påvirke prosessen for rekursiv scenarioreduksjon og forgreining, og dermed indireke besemme anall scenarier og noder i de resulerende ree. Heisch og Römisch presenerer o algorimer for scenarioregenerering i sine arikler; forover- og baklengs redusering av scenariovifer. Begge reduseringsmeodene ar ugangspunk i vilkårene for sabilie hos opimale verdier for flersegs sokasiske programmer. Dee er gjennomgående beskreve i Heisch og Römisch (2003). Figur 6.2 viser rinn i genereringen av e scenariore ved bruk av algorimen beskreve i appendix zz for foroverredusering av en scenariovife. Figur 6.2: Illusrajon av en rinnvis generering av e scenariore med T = 5 idsperioder og med ugangspunk i en scenariovife med N = 58 scenarier. 30

41 6.3 Resriksjoner i syseme Produksjonsplanleggingsprobleme innbefaer en rekke resriksjoner. Beskrankninger oppsår i hovedsak av ekniske, miljømessige og fysiske årsaker. Her gir vi en oversik over de vikigse resriksjonene og redegjør for hvilke som er uela fra de maemaiske formuleringene i 6.4, 6.5 og Magasinnivå Alle vannmagasiner har en øvre og nedre grense for vannsand. De er opplag a ehver magasin vil ha e endelig maksimal volum og heller ikke kan ha e negaiv volum. Om den nedre grensen er null eller om e minse volum er påkrevd vil ikke påvirke analysen. Resriksjonen på magasinnivå og vannføring kan enkes å være forskjellig på ulike ider av åre, eksempelvis av hensyn il gyeforhold i vassdrage. I denne oppgaven anas disse grensene imidlerid konsane Vannføring I de flese ilfeller vil de være en øvre og nedre grense på hvor mye vann som kan slippes u av magasine il enhver id. I modellen presener i 6.4 er de en øvre grense på produksjonsvolume, men imidlerid ingen grense for hvor sor overløpe eller forbiappingen kan være Vannbalanse Al vann som kommer inn i magasine må enen lagres eller srømme videre. Uen en vannbalanse vil problemformuleringen få e åpen løsningsrom. Modellmessig blir da resulae a vann srømmer u av magasine uen a de påvirker magasinnivåe. 31

42 6.3.4 Rampingresriksjoner Ramping indikerer endring i produksjonshasighe. Ved vannkrafproduksjon vil de i de aller flese ilfeller være en begrensning på hvor rask gjennomsrømningsvolume og dermed produksjonshasigheen kan endres. Dee skyldes både ekniske, miljømessige og sikkerhesmessige forhold. Innvirkningen av rampingresriksjoner på løsningen vil rolig være lie uale ved en idsoppløsning som er berakelig lengre enn iden for å gå fra maksimum il minimum volumsrøm indiker av resriksjonen. Vi velger derfor å neglisjere rampingresriksjoner med bakgrunn i idsoppløsning på en uke i vår problem Begrense overføringskapasise I realieen er de begrensninger på overføringskapasie for elekrisk kraf både innen og mellom delområder. Begrense overføringskapasie kan føre il flaskehalser i syseme og er en direke årsak il a de oppsår områdepriser. I oppgaven anar vi ubegrense overføringskapasie med de resula a områdeprisen blir lik sysemprisen Kosnader Kosnader er i seg selv ikke en resriksjon, men bør inngå i målfunksjonen. I denne oppgaven er kosnader valg uela fra den maemaiske formuleringen av probleme. Anagelsen er a kosnadene er så små a de ikke vil påvirke drifsbesluningene. 11 Nilsson og Sjelvgren (1997) hevder a kosnader knye il oppsar av vannkrafproduksjon hovedsakelig er knye il vedlikehold, men a ap av vann også er e problem. De påpeker a dee kan være av beydning ved koridsplanlegging. Ved langidsplanlegging, med idsoppløsning på en uke, er rolig probleme mindre ual. I følge Fosso (2005) er kosnader knye il en oppsar i sørrelsesorden NOK 2,500. Sar- og soppkosnader er derfor uela av den maemaiske problemformuleringen. 11 Med kosnader menes de her kosnader som medfører ubealinger, og alså ikke alernaivkosnaden il vanne. 32

43 6.3.7 Topologi E vassdrag kan beså av mange magasiner og sasjoner. Topologien beskriver hvilke koblinger som finnes mellom enheene i vassdragssyseme. Vann som er lagre i magasiner høy oppe i syseme kan ha sørre verdi enn vann som ligger lenger nede 12. Dee skyldes a vann som er lagre høy oppe i opologien kan kjøres gjennom flere urbiner før de når havnivå Ska De eksiserer lover og regler som vedrører unying av naurressurser i Norge. For vannkrafproduksjon regnes de med en grunnrene fordi nedbør, magasiner og vannfall har en implisi verdi som innsasfakor. Grunnrenen er den delen av overskudde som oversiger normal avkasning på realkapialen som er inveser i selskape. De er dog ikke a hensyn il beskaning i modellene presener her. 12 Gi a de ikke oppsår overløp. 33

44 6.4 Deerminisisk opimeringsmodell Hvis krafpriser og ilsig er kjen for alle perioder i planleggingsperioden reduserer produksjonsplanleggingsprobleme il e deerminisisk opimeringsproblem. En opimal løsning vil da simpelhen allokere mes mulig vann il perioder med høyes priser. 13 I de følgende preseneres e maemaisk program for å gjøre en slik deerminisisk opimering av e enkel scenario for pris og ilsig. Indeks i Indeks for periode. =0 indikerer førse periode. Indeks for magasin. Daa π Krafpris i periode. ψ,i Tilsig i periode for magasin i. M max,i Øvre grense på magasinnivå for magasin i. M min,i Nedre grense på magasinnivå for magasin i. M 0,i Sarmagasin for magasin i. M T+1,i Slumagasin for magasin i. Q max,i Øvre grense på vannsrøm gjennom sasjonen for magasin i. r Diskoneringsrene. N Anall magasiner. Variable V Verdi av produksjonen for oalperioden. m,i Magasinnivå i saren av periode for magasin i. l,i Overløp i periode for magasin i. p,i Krafproduksjon i periode for magasin i. 13 Produksjonsfunksjonen er imidlerid generel ulineær, slik a allokeringen ikke generel er riviell. 34

45 q,i,j h,i,j g,i,j Produser vannsrøm i periode for magasin i il magasin j, gi a magasin j er re nedsrøms i opologien. Forbiappe vann i periode fra magasin i il magasin j, gi a magasin j er re nedsrøms i opolgien. Tilsig i periode il magasin i fra magasin j, gi a magasin j er re oppsrøms i opologien. Målfunksjon (1) max qi,, j, mi,, li,, hi,, j, gi,, j V = T = 0 π (1 + r) p i, Resriksjoner N (2) i, j i i, i,, j p = w( m, q ) 1,.., T, 1,..,N N N N (3) + 1, i i, i,, j i, ψ j i, j= 1 i,, j j= 1 i,, j m m + q + l = + g h 1,.., T, 1,..,N (4) m0, = M0, 1...N i i (5) m 1, = M 1, 1...N T+ i T+ i (6) Mmin, m, Mmax, 1,.., T, 1,..,N i i i N (7) Qmin, q,, Qmax, 1,.., T, 1,..,N (8) i,, j i, i j i j i q, l 0 1,.., T, 1,..,N N N N (9) j i,, j j= 1 i,, j j= 1, ji, q + h = g 1,..., T, 1,..., N Målfunksjonen, (1), er en sum av de neddiskonere innekene fra hver periode. Ligning (2) gir mengde produser kraf i en periode som en funksjon av vannsrømvolume og magasinnivåe i saren av perioden. Produksjonsfunksjonen er generel ulineær og gir ikke nødvendigvis e konveks mulighesområde. Resriksjon (3) er flybalansen og formulerer krave om a mengden vann som overføres fra en periode il nese må være lik sarmagasine i den foregående perioden pluss neo ilførsel av vann il magasine i den foregående perioden. 35

46 Ligning (4) og (5) er resriksjoner henholdsvis på nivåe på sarmagasine og slumagasine. Krav il minse og sørse magasinnivå er formuler i resriksjon (6). Ligning (7) begrenser maksimal produksjon, mens (8) er ikke-negaivieskrav il produksjons- og overløpsvolum. Ligning (9) legger resriksjon på flybalansene mellom magasiner. 6.5 Sokasisk opimeringsmodell De er idligere argumener for a pris og ilsig er forbunde med sor usikkerhe. Den følgende opimeringsformuleringen ar eksplisi høyde for dee, ved å la pris og ilsig være sokasiske variable. Målfunksjon (1) V V+ 1, i = max E Π p + 1,.., T, 1,..,N (1 + r) i, i, qi,, j, mi,, li,, hi,, j, gi,, j Resriksjoner N (2) i, j i i, i,, j p = w( m, q ) 1,.., T, 1,..,N N N N (3) + 1, i i, j i,, j i, i, j= 1 i,, j j= 1 i,, j m m + q + l =Ψ + g h 1,.., T, 1,..,N (4) μ = f ( Π, Ψ, m ) 1,..., N VT 1, i T, i T, i T 1. i + + (5) m0, = M0, 1,..,N i i (7) Mmin, m, Mmax, 1,.., T, 1,..,N i i i N (8) Qmin, q,, Qmax, 1,.., T, 1,..,N (9) i,, j i, i j i j i q, l 0 1,.., T, 1,..,N N N N (10) j i,, j j= 1 i,, j j= 1, ji, q + h = g 1,..., T, 1,..., N 36

47 Målfunksjonen er lik (2.2), borse fra a overløp, forbiapping og ilsig fra andre oppsrøms magasiner også er innfør som argumen. Merk a denne modellen, i mosening il den deerminisiske, er formuler rekursiv. De er innfør en resriksjon, (4), for verdien av slumagasine i sede for volumresriksjonen i de deerminisiske programme. De øvrige resriksjonene korresponderer med den deerminisiske formuleringen. 6.6 Deerminisisk ekvivalen E flersegs sokasisk programmeringsproblem kan beskrives som en kombinasjon av en flersegs dynamisk modell og en sokasisk prosess i diskre id. Dersom den sokasiske prosessen kan beskrives ved e endelig anall ilsander, kan de sokasiske programme formuleres som e ilnærme deerminisisk problem. Denne deerminisiske ilnærmingen kalles den deerminisiske ekvivalenen. Den deerminisiske ekvivalenen il produksjonsplanleggingsprobleme er beskreve nedenfor. De er a ugangspunk i a den sokasiske prosessen kan beskrives i form av e scenariore med noder n som represenerer unike ilsander i den sokasiske prosessen (se avsni 6.2). Usikkerheen i probleme er gjengi i form av ubeingede sannsynligheer for ransisjonene il nese ilsand i hver node. Her er: n indeks for node S See med noder i periode. a(,n,k) Indeksen il forgjengeren il node (,n) i periode -k. P,n Den ubeingede sannsynligheen for ilsanden i node (,n). 37

48 Målfunksjon T π n, max V = [ Pn, pin,, ] (1 + r) qi,, jn,, min,,, lin,,, hi,, jn,, gi,, jn, n S Resriksjoner N (2) pin,, = wi( min,,, qi,, jn, ) 1,.., T, 1,..,N, n S j N N N (3) m m + q + l = ψ + g h 1,.., T, 1,..,N, n S in,, ian,, (,,1) j i,, jn, in,, in,, j = 1 i,, jn, j = 1 i,, jn, (4) m0,,1 = M 1,..,N, n 0,,1 S i i T (5) m 1,, = M 1,, 1,..,N, n S T+ i n T+ i n T (6) M min,, m,, Mmax,, 1,.., T, 1,..,N, n S in in in N (7) Qmin,, q,,, Qmax,, 1,.., T, 1,..,N, n S i j i jn i q, l 0 1,.., T, 1,..,N, n S (8) i,, jn, in,, N N N (9) qi,, jn, + h 1 i,, jn, = g 1, jin,, 1,..., T, 1,..., N, n S j j= j= Målfunksjonen er en sum av de forvenede neddiskonere innekene fra hver periode. I resriksjon (3) er magasine i hver node (,n) beinge på magasine i forgjengernoden a(,n,1). Resriksjonen på vannsrømmene (7) har idsindeks grunne ulike lengder på idsinervallene. De øvrige resriksjonene er de samme som i den deerminisiske modellen. 38

49 7 Implemenering av modellen I forbindelse med maseroppgaven er produksjonsplanleggingsprobleme løs for Nea- Nidelvvassdrage, ved å implemenere modellene presener i avsni 6 i Malab, Scenred og Mosel Xpress. Programsrukuren kan suderes i vedlegg 10. Selve opimeringen ble forea på en 2,4GHz Inel Celeron CPU med 3,71 GB RAM. E anall scenarier ble generer ved å simulere prismodellen i og ilsigsmodellen i U ifra de simulere scenariene ble de konsruer scenariorær med algorimen beskreve i vedlegg 1. Opimal forvene produksjon ble dereer funne ved å løse opimeringsprobleme beskreve i 6.6. Forunevne og andre resulaer er presener i kapiel 8 og diskuer i kapiel 9. Analysens idshorison var fra il Her følger en mer inngående beskrivelse av hvordan modellen ble implemener. 7.1 Skalering av analyseperioden Analyseperioden ble skaler i 14 idsinervall med ulik lengde. De seks førse inervallene er uker, de 4 nese er måneder og de 4 sise er kvaraler (figur 7.1). Inervallene ble inndel slik a de har samme sar- og soppidspunk som handlede fuure- og forwardkonraker på Nord pool. uke uke T = 14 Figur 7.1: Skalering av analyseperioden. For periodene med grovere idsoppløsning ble spoprisen sa il gjennomsnilig spopris for de simulere ukene i idsinervalle. De ukenlige ilsigene fra simuleringene ble summer for periodene med grovere idsoppløsning. 39

50 7.2 Kalibrering av prismodell Spoprismodellen ble kalibrer mo erminsrukuren for forward- og fuurekonraker med daa hene fra nordpool.no. Terminsrukuren ble glae ad hoc ved å inerpolere med kubiske splines. Hvis erminsrukuren egnes i plane danner bid og ask for hver konrak e rekangel. Den glaede erminsrukuren reffer disse punkene. Under glaingen ble de imidlerid ikke sa noen resriksjoner på den gjennomsnilige konrakprisen. Resulae innebærer derfor sannsynligvis arbirasjemuligheer i forhold il den opprinnelige erminsrukuren. Ved endene på erminsrukuren ble de gjor yerligere juseringer for å oppnå en mer realisisk sesongeffek. Resulae kan suderes i figur Uke Uke Uke Uke Uke Figur 7.2: Gla forwardkurve. 40

51 7.3 Simulering av pris og ilsig Pris og ilsig ble simuler ved å gjøre diskreiseringen i 6.4. Sarpris ble sa il sarpunke på den glae forwardkurven, og sarilsigene ble sa il midlere ilsig for uke 16. Onsdag i hver uke ble valg som punk for simulering av pris og ilsig. De simulere oale ilsigene for hver uke ble del mellom de ulike magasinene u ifra fraksjonen mellom de lokale årsmiddelilsige for magasine og de oale årsmiddelilsige for de akuelle område. De ble inroduser korrelasjon mellom prosessene ved å rekke de sandardnormalfordele variablene korreler. Dee ble gjor ved Cholesky fakorisering. Imidlerid er de ikke gjor noen analyse av den fakiske korrelasjonssrukuren mellom idsserier for pris og ilsigene. Grunnen il a de likevel er valg å inrodusere korrelasjon er baser på en anagelse om a de er negaiv korrelasjon mellom pris-og ilsigsprosessene. Korrelasjonsfakoren mellom pris og ilsig ble valg il ρ = Tilsigsprosessene anas perfek korreler. De ble også gjor simuleringer uen korrelasjon mellom pris og ilsigprosessene. 7.4 Scenarioregenerering I denne oppgaven er programme Scenred benye. Dee er e C++ - baser program for generering av scenariorær, uvikle av Holger Heisch (2005). De implemenere algorimene for scenarioregenerering, sam grunnliggende eoremer finnes i vedlegg 1. For å see e mål for avsanden mellom de opprinnelige og de ilnærmede sannsynlighesfordelingene, ble de bruk en relaiv oleranse: ε ε rel = (7.1) ε max 41

52 ,der ε max er den bes mulige avsanden mellom sannsynlighesfordelingen il den opprinnelige scenariovifen og fordelingen il de redusere scenarioree (se vedlegg 1). For generering av ulike scenariorær blir da oleransen i hver forgreningspunk ε valg slik a ε 1 ε = [1 + q( )], = 2,.., T (7.2) T 2 T,der q [0,1] er en parameer som påvirker forgreningssrukuren il de konsruere scenariorærne (Heisch & Römisch, 2005). I denne oppgaven ble ulike scenariorær konsruer med en parameer som besemmer reduksjonsnivåe for scenarioregenereringen i Scenred. Sammenhengen mellom reduksjonsnivå og anall noder i de resulerende rærne kan suderes i figur Bruk av energiekvivalener Dersom magasinene appes il e lav nivå vil virkningsgraden være reduser i forhold il full magasin på grunn av mindre vannsøyle. I denne oppgaven vil en fas midlere energiekvivalen benyes, slik a endring i virkningsgrad på grunn av endre magasindisponering ikke blir a hensyn il. For Nesjøen, som er de sørse magasine i Nea-Nidelvvassdrage, vil denne ilnærmingen ikke være urealisisk, på grunn av høy energiekvialen il have og sore volum pr høydemeer. Denne ilnærmingen anas derfor bedre for enkele sasjoner. Ved implemeneringen ble produksjonsfunksjonene ilnærme som en konsan ganger vannsrømmen: w k q, k = energiekvivalen (EK). (7.3) i i i i 42

53 Opimeringsprobleme reduseres da il e lineær program. De er ikke gjor noen kvaniaiv analyse av feilen ved å gjøre dee. Energiekvivalenene for Nea-Nidelvvassdrage er gi av Trondheim Energiverk og finnes i vassdragsskjemae i vedlegg Diskoneringsfakor De benyes ingen diskoneringsrene i dagens produksjonsplanleggingsverkøy i TEV, dvs a fremidige konansrømmer diskoneres med en rene på 0%. De er i oppgaven ikke a sandpunk il hva som vil være e fornufig avkasningskrav. De er gjor simuleringer både med en risikofri rene 14 og med e risikojuser avkasningskrav 15. De som i praksis bør velges som avkasningskrav vil ha sammenheng med forholdene diskuer i kapiel 5. Diskoneringsrenen er juser for perioder med ulik lengde. 7.7 Topologi i Nea-Nidelvvassdrage Trondheim Energiverks produksjonsanlegg i Nea-Nidelvvassdrage besår i skrivende sund av 10 magasiner og 14 krafsasjoner med en insaller effek på 614 MW. Vassdrage har si uspring i Sverige og srekker seg 160 km il si uløp i Trondheim. På grunn av sin relaiv høye reguleringsgrad på 64 prosen er dee anlegge god egne il en analyse av produksjonsplanlegging og risikosyring. Topologien er implemener som o mariser, der den ene beskriver koblingene oppsrøms i vassdrage, og den andre beskriver koblingene nedsrøm. Nøkkelall for vassdrage, sam e oversikskar og vassdragsskjema finnes henholdsvis i vedlegg 2 og Den risikofrie renen ble valg ilnærme lik eårig NIBOR. 15 WACC = 8,9 %. 43

54 7.8 Verdi av slumagasin ved analysehorisonen De er ikke gjor noen vurdering av hvordan slumagasine kan prises, men funksjonen for denne verdien bør rolig være økende i pris og slumagasinvolum. Å idenifisere en fornufig funksjon for verdien av slumagasine kan eksempelvis baseres på fundamenalmodeller for framidig forvene spopris. De påpekes a ved valg av en analysemeode som baserer seg på å reffe e gi slumagasin, gjøres en implisi verdivurdering av slumagasine. Hvis de er mulig vil de derfor være gunsig å gjøre denne anagelsen eksplisi, ved å inrodusere en funksjon for denne verdien. I denne oppgaven blir slumagasinene fassa og gi ved definisjonen i (7.4): f M i, i (7.4) M imaks, Alle sarmagasin i analysene ble sa il fakiske magasiner per uke 16, 2006, dvs. f 0 0,49. 44

55 8 Presenasjon av resulaer Løsningen av modellen i 6.6, gir den maksimal forvenede verdien av vannkrafproduksjonen i analyseperioden. I de følgende preseneres resulaene fra opimeringen. 8.1 Scenarioregenerering Sammenhengen mellom sa reduksjonsnivå i Scenred og anall noder i de resulerende scenarioree, kan suderes i figur 8.1. Anall noder i de generere scenarioree minker med økende reduksjonsnivå. Anall noder ,2 0,4 0,6 0,8 1 Reduksjonsnivå Figur 8.1: Anall noder i generer scenariore gi reduksjonsnivå. Figurene 8.2 og 8.3 illusrerer o ulike scenariorær generer ved reduksjonsnivå 0,12 og 0,6. Begge scenariorærne er generer av den samme scenariovifen. De er her a ugangspunk i en scenariovife med kun 300 scenarier, av illusraive årsaker. Scenaiorær generer ved reduksjonsnivå 0,25 og 0,4 finnes i vedlegg 9. 45

56 Figur 8.2: Scenariore generer med reduksjonsnivå = 0,12. Anall noder og scenarier er henholdsvis 2515 og 284. Figur 8.3: Scenariore generer med reduksjonsnivå = 0,6. Anall noder er 583 og anall scenarier

57 8.2 Opimeringsanalyse Opimeringen ble gjennomfør med algorimen dual simplex i Mosel Xpress. Opimeringsanalysen ble gjor med følgende escase. f T S vife Rene Korrelasjon 0, ,5-0,2 Tabell 8.1: Case for opimeringsanalyse. Ved å benye minkende reduksjonsnivå for escase i abell 8.1, ble de generer scenariorær med økende anall noder. Den opimale verdien av den forvenede produksjonen i perioden observeres å konvergere for økende anall noder i scenarioree. Opimal verdi 126 Opimal verdi [mill ] Anall Noder Figur 8.4: Opimal verdi gi anall noder i scenarioree. 47

58 Figur 8.5 viser iden de ok å finne opimal løsning gi anall noder i scenarioree. Opimeringsiden øker med anall noder i scenariorærne. Opimeringsid Tid [sek.] Anall noder Figur 8.5: Opimeringsid gi anall noder i scenarioree. Figur 8.6 viser anall simplex ierasjoner forea før opimal løsing ble funne. Anall ierasjoner øker med anall noder i scenarioree. Anall simplex ierasjoner Anall ierasjoner Anall noder Figur 8.6: Anall simplexierasjoner ved opimering gi anall noder i scenarioree. 48

59 8.3 Verdi av produksjon Opimal verdi av vassdrage ble funne med case i abell 8.2: S vife Reduksjonsnivå S re Noder , Tabell 8.2: Case for es av verdi. Tabell 8.3 viser resulaer for verdien av produksjonen i perioden for ulike slumagasin. Som vene er verdien høyere for mindre slumagasin, enn for sor slumagasin. f T ρ r [%] Verdi [M ] 0,75-0,2 3,5 123,7 0,725-0,2 3,5 126,0 0,7-0,2 3,5 128,3 0,675-0,2 3,5 130,5 Tabell 8.3: Verdi av produksjon for ulike slumagasin med negaiv korrelasjon og r = 3,5%. Ved å sammenligne abell 8.3 og abell 8.4 ser vi a verdien er sørs ved den lavese diskoneringsrenen. Disse observasjonene yder på a modellen gir fornufige resulaer. f T ρ r [%] Verdi [M ] 0,75-0,2 8,9 118,5 0,725-0,2 8,9 120,7 0,7-0,2 8,9 122,8 0,675-0,2 8,9 125,0 Tabell 8.4: Verdi av produksjon for ulike slumagasin med negaiv korrelasjon og r = 8,9%. 49

60 Ved å see korrelasjonskoeffisienen lik null under simuleringen får vi verdier som er ilnærme like verdiene med korrelasjon (abell 8.5). Dee kan yde på a en lav korrelasjon ikke nødvendigvis har en sor innvirkning på verdien. f T ρ r Verdi [M ] 0,75 0,0 3,5 124,1 0,725 0,0 3,5 126,4 0,7 0,0 3,5 128,6 0,675 0,0 3,5 130,9 Tabell 8.5: Verdi av produksjon ved ulike slumagasin, uen korrelasjon og r = 3,5%. 8.4 Forvene produksjonssraegi Forvene produksjonssraegi ved opimal unyelse av vassdrage ble funne for følgende escase: f T ρ S vife Reduksjonsnivå r Noder S re 0,7-0, ,12 3,5 % Tabell 8.6: Case for es av produksjonssraegi. Figur 8.7 og 8.8 viser eksempler på forvene nivå for henholdsvis produksjon og magasinnivå De mosvarende grafene for r = 8,9 % er vis i vedlegg 6. De forvenede verdiene for produksjonen uviser en klar sesongvariasjon og en nedadgående rend. Sesongvariasjonen er delvis e resula av sesongvariasjonen i erminsrukuren. De er vikig å være oppmerksom på den grove idsoppløsningen mo sluen av analyseperioden. 50

61 Forvene produksjon Produksjon [GWh] Uker Figur 8.7: Forvene ukenlig produksjon for case i abell 8.6 Ulik diskoneringsrene gir også uslag i magasinnivå, som forvenningsmessig ligger lavere med høy diskoneringsrene (sammenlign figur V6.1 og figur 8.8). Forvene oalmagasin Toalmagasin [Mm3] Uker Figur 8.8: Forvene magasininnhold for case i abell

62 8.5 Forvene konansrøm Som en følge av ulik produksjonssraegi blir også konansrømmene for ulike diskoneringsrener forskjellige. E eksempel på forvene konansrøm er egne i figur 8.9 og den mosvarende grafen for r = 8,9 % er vis i vedlegg 7. Konansrømkurvene har visse likhesrekk med forwardkurven. Dee er inuiiv eersom forwardkurven innehar informasjon om spoprisuviklingen Forvene konansrøm Konansrøm [k ] Uker Figur 8.9: Forvenede ukenlige konansrømmer for case i abell

63 8.6 Sensiivie Ved å addere og subrahere en enhe for alle konraker i forwardkurven oppnås, ved å bruke ligning 8.1, e urykk for sensiivieen il konansrømmene i de ulike periodene, og den oale verdien av produksjonen, med hensyn på e parallel skif i erminsrukuren. KS + Δ +Δ 2 [ ] = dela [ MWh] ΔF [ ] MWh (8.1) Sensiivieen ble ese med case beskreve i abell 8.7 nedenfor: f T ρ S vife Reduksjonsnivå r Noder S re 0,7-0, ,12 3,5 % Tabell 8.7: Case for es av sensiivieer. Resulaene fra sensiiviesanalysen for hver inervall kan sees i abell 8.8. For hver periode kan dela observeres i form av e kvaniaiv avvik i de forvenede konansrømmene. Periode [] KS + [k ] Δ 1382,1 1222, , ,3 1989, , ,7 KS [k ] Δ 1779, , , , , , ,34 dela[ GWh ] -198,77-393, ,86-128,02-66,465-12, , Hele perioden 7776,6 7668, , , , , , ,9 9047, , , , , , , ,8-635, , , , , ,3 +765, ,07 Tabell 8.8: Sensiivie i konansrømmer mhp e parallel skif i forwardkurven. 53

64 9 Diskusjon Løsningene av den deerminisiske ekvivalenen kan sies å ha gi fornufige resulaer. Den opimale verdien konvergere for høy anall noder i de generere scenariorærne. Verdien av den forvenede produksjonen øke for lavere sa slumagasin. For høyere diskoneringsrene sank den forvenede oalverdien. Ved inroduksjon av en lav negaiv korrelasjon kunne de dog ikke observeres en berakelig innvirkning på forvene verdi. De observeres sesongvariasjon i både forvene produksjonssraegi og magasinforløp. En sor ulempe med presenasjon av sokasikken i form av e scenariore er foruseningen om a framidige ilsander i ree ikke påvirkes av avgjørelser underveis. Srømpriser vil kunne påvirkes av produsenenes produksjonsplan. Denne påvirkningen anas å være mer beydelig for sørre produsener. Spoprismodellen i denne oppgaven ar ikke hensyn il alle de ypiske egenskapene ved srømprisen, men ukesoppløsningen gjør a koridsegenskapene ved srømprisen forsvinner. De er også avgjor a anagelsene om sandard normalfordeling ikke holder for avkasningen hos srømpriser. Vikigheen av en god modell for prising kan underbygges med o vikige poenger; for de førse må modellen brukes il å finne hvilken fremidig pris vanne selges il, for de andre så må modellen brukes il å besemme de forløpende delaene som brukes i hedge-sraegien. En hedging-sraegi bør funderes på en prismodell som ar hensyn il andre ordens markedsinformasjon. En forwardkurvemodell ar hensyn il dee, og anas å gjengi dynamikken il forward-kurven bedre. De kan også være ønskelig med en modell som beskriver korrelasjonssrukuren mellom spopris og ilsig. Spoprismodellen kan le oppgraderes i modellen som anvendes i denne oppgaven. En hedging-sraegi som innebærer mange og hyppige handler vil kunne føre il sore ransaksjonskosnader. Lange inervaller mellom hver gang de hedges kan føre il uønskede ap. Manglende innsyn i ilbude opsjonspriser kan også føre il problemer ved kalibrering av en modell som baseres på andre ordens markedsinformasjon. 54

65 Den numeriske ilnærmingen i scenarioregenereringen gjør de mulig å implemenere komplisere pris- og ilsigsmodeller. Gi den kore løsningsiden for e relaiv sor problem har meodene, eer forfaerens mening, e sor poensial innen planlegging og risikosyring av vannkrafproduksjon. De er dog nødvendig med uvidelser og oppgraderinger av modellene ved en evenuell esing mo kommersielle planleggingsverkøy. 55

66 10 Anbefaling il videre arbeide Muligheene for uvidelse av modellen er mange. Nedenfor er de presener noen mulige ubedringer: Implemenere ulineære produksjonsfunksjoner. Kjøreid er da vene å øke berakelig. Produksjonsfunksjonene kunne evenuel bli ilnærme med flere plane resriksjoner som danner e konveks mulighesområde. Probleme vil da forsa kunne løses med lineær programmering Anvende en funksjon som gir verdien på slumagasin u ifra forvenninger om pris og ilsig. Tese u med en prismodell er kalibrer il andre ordens markedsinformasjon, og som dermed beskriver dynamikken il forwardkurven bedre. Lage en skyggeporefølje og ese modellen mo kommersielle verkøy uvikle for produksjonsplanlegging av vannkraf. 56

67 11 Referanselise Black, F. & Scholes, M. (1973). The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies. The Journal of Poliical Economy, 81(3), Brockwell, P. J & Davis, R. A. (2002). Inroducion o Time Series and Forecasing (2. ugave). New York: Springer-Verlag New York, Inc. Clewlow, L. & Srickland, C. (2000). Energy Derivaives. Pricing and Risk Managemen. London: Lacima Publicaions. Davison, M., Rasmussen, H. & Thompson, M. (2004). Valuaion and Opimal Conrol of Elecric Power Plans in Compeiive Markes. Operaions Research, 53(4), Dixi A. K. & Pindyck, R. S. (1994). Invesmen Under Uncerainy. Princeon: Princeon Universiy Press. Eydeland, A. & Wolyniec, K. (2003). Energy and Power Risk Managemen. New Developmens in Modeling, Pricing and Hedging. Hoboken: John Wiley & Sons, Inc. Fleen, S. E. & Wallace, S. W. (2003). Sochasic programming models in energy. A. Ruszczynski & A. Shapiro (Red.), Sochasic programming, Fleen, S. E., Wallace, S. W., Ziemba T. (2002). Hedging elecriciy porfolios via sochasic programming. Decision making under ucerainy: Energy and power, Fosso, O. B. (2005). Produksjonsplanlegging i vannkrafbasere sysemer. Noa, insiu for elkrafeknikk, NTNU. Gjelsvik A. (1992). Sokasisk ilsigsmodell for drifsplanlegging. Energiforsyningens Forskningsinsiu AS. Glassermann (2003). Mone Carlo Mehods in Financial Engineering. Springer-Verlag New York, Inc. Haug, E. G. (2005). Pracical Valuaion of Power Derviaives. Working paper, NTNU. Heisch, H. & Römisch, W. (2003). Scenario reducion algorihms in sochasic programming. Compuaional Opimizaion and Applicaions 24, Heisch, H. & Römisch, W. (2005) Scenario ree modelling for mulisage sochasic programs. Humbold-Universiy Berlin, Insiue of Mahemaics. Lucia, J. J. og Schwarz, E. (2001) Elecriciy Prices and Power Derivaives: Evidence from he Nordic Power Exchange. Review of Derivaives Research, 5, McDonald, R. L. (2003). Derivaives Markes. Boson: Addison Wesley. 57

68 Nilsson, O. & Sjelvgren, D. (1997). Hydro Uni Sar-up coss and Their Impac on he Shor Term Scheduling Sraegies of Swedish Power Producers. IEEE Transacions on Power Sysems,12(1), Ross, S.M. (2003). Inroducion o Probabiliy Models (8. ugave). London: Academic Press. Schwarz, E. S. (1997). The Sochasic Behavior of Commodiy Prices: Implicaions for Valuaion and Hedging. The Journal of Finance, 52(3), Trigeorgis, L. (1996). Real Opions. Managerial Flexibiliy and Sraegy in Resource Allocaion. Cambridge: The MIT Press. Tseng, C.L. & Barz, G. (2002) Shor Term Generaion Asse Valuaion: A Real Opion Approach. Operaions Research, 50(2), Elekroniske ressurser Nord Pool. (2006). Daa fra FTP-server. Olje- og energideparemene. (2005). Faka 2005 om energi- og vassdragsvirksomheen. Sinef (2006) hp:// aspx Samale Gjelsvik, A. (2006). Samale April,

69 Vedlegg 1: Algorimer for Scenarioreduksjon og generering av scenariorær. Alle uledninger, eoremer og algorimer er baser på arikler av Heisch & Römisch (2003 & 2006). { ξ } ξ,, ξ, T { ξ} = 1 T = 1 - n-dimensjonal sokasisk prosess med parameerse definer for {1,,T}. i j ξ, ξ - Scenarier (simulere baner av ξξ, ) p, q - Scenariosannsynligheer, dvs p 0, q 0, p = q = 1 i j i j i j i j PQ, - Sannsynlighesfordelingene il prosessene ξ og ξ. S J J - Anall scenarier i de opprinnelige see med scenarier. - De indeksere see av de fjernede scenariene. - Kardinalieen il de indeksere see J, dvs analle fjernede scenarier. s = S J - Anall gjenværende scenarier. ε - De illae avvike for reduksjonen. ( i j i c ξ, ξ ) - Avsand mellom scenario { ξ } τ 1 j ξ og { } = τ 1 =. Ana a sannsynlighesfordelingen P for den n-dimensjonale sokasiske prosessen,{ } 1 i i ilnærme gi av e endelig anall scenarier ξ,{ ξ } = 1 sannsynligheene S i= 1 T,i = 1,,S, og de ilhørende T ξ ξ = er p, p = 1. Velg en sannsynlighesmerikk slik a de opimale verdiene i i for de sokasiske programmene blir sabile med hensyn på avvike fra den underliggende sannsynlighesfordelingen mål i den angie merikken. Her måles sannsynlighesmerikken i Kanorovich-avsander. For diskree sannsynlighesfordelinger med e endelig anall scenarier er Kanorovich-avsanden D K den opimale verdien av e lineær ransporeringsproblem. La Q være fordelingen il en annen n-dimensjonal sokasisk prosess j ξ med scenarier ξ og sannsynligheer q, j = 1,..., S. Da er j nt 59

70 S S S S i j DK ( P, Q) = inf ηijct ( ξ, ξ ): ηij 0, ηij = qj, ηij = pi, i, j, i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 hvor c ( ξ, ξ ) : = ξ ξ, = 1,..., T og. angir en sandard for i j i j τ = 1 τ τ på avsanden mellom scenarier for hele idshorisonen { 1,...,T }. Dersom Q er den redusere sannsynlighesfordelingen il ξ, vil den minimale il P være, n, dvs c T er e mål DK - avsanden i j D ( P, Q) = p min c ( ξ, ξ ), (1) K i T j J i j j og sannsynligheene il de gjenværende scenariene ξ, j J for Q vil være gi av regelen q : = p + p, (2) j j i i J( j) i j J( j): = i J : j = j( i), j( i) argmin c ( ξ, ξ ), i J hvor { } j J T Beydningen av den opimale omfordelingsregelen (2) er a den nye sannsynligheen for e bevar scenario er lik summen av dens foregående sannsynlighe og alle sannsynligheene il de fjernede scenariene som var nærmes med hensyn på c T. Alle fjernede scenarier har sannsynlighe lik null. De opimale valge for e indekser se J for scenarioreduksjon med kardinalie J er gi av løningen il de opimale reduksjonsprobleme, min min (, ) : 1,...,, j J i J i j pi ct ξ ξ J { S} J = S s, (3) hvor s = S J > 0 er anall bevare scenarier. 60

71 Fra ligning (1) og (3) kan den maksimale reduseringssraegien (mrs) avledes for å besemme en reduser sannsynlighesfordeling Q av ξ, slik a see med fjernede scenarier har maksimal kardinalie, og a DK ( P, Q) < ε blir overhold. Da vil Q være ilnærme den opprinnelige fordelingen med nøyakighe ε > 0. Besem e indekser se J med maksimal kardinalie J slik a i J i j p min c ( ξ, ξ ) ε. i j J T Omfordelingsregelen (2) gir sannsynligheene qj, j J, il de bevare scenariene. Algorime 1 Foroverreduksjon Seg 0: Beregn avsandene mellom par av scenarier: [1] k u c : = c ( ξ, ξ ), k, u = 1,... S. ku T Seg 1: Beregn: z : = p c, u = 1,..., S. [1] [1] u k = 1 k ù k ku Velg u 1 [1] arg min u. u { 1,..., S} [1] Se J = { S} { u } z : 1,..., \. 1 Seg i: Beregn: { 1} c : = min c, c, k, u J [ i ] [ i i [ i ku ku ku og 61

72 z : = p c, u J. [] i [] i [ i 1] u k ku [ i 1] k J \{} u [] i Velg u i arg min [ i z. 1] u u J [] i [ i 1] Se : \{ } J = J u i. Seg s+1: J : [ S s] = J er de indeksere see av fjernede scenarioer. Beregn de opimale sannsynligheene for de bevare scenariene med (2). Algorime 2 Generering av scenariore La illae avvik ε > 0, = 1,..., T være gi. Seg k = 1: Anvend (mrs) og algorime 1 il å beregne de indeksere see JT { 1,..., S} I T + 1 = slik a i JT i j p min c ( ξ, ξ ) ε i T T j JT i i Se I : = I 1 \ J og ξ : = ξ, i I. Beregn de opimale sannsynligheene T T+ T i π, i I for de bevare scenariene med (2) T T app T k= +1 Reduksjon: Anvend (mrs) og algorime 1 for å besemme de indeksere see J I + 1 slik a i J p min c ( ξ, ξ ) ε. i j i 1 \ j I + J Se I : = I+ 1 \ J. 62

73 Scenario buning For hver i j j i* j J velg en index i* arg min i I c( ξ, ξ ), legg π + 1 il π + og bun scenario j med i*, dvs ξ ξ j, app : j, app : = ξ for τ = 2,...,, i* = ξ for τ = +1,,T. j i i i Se ξ, app : = ξ + 1, app, π, + 1 i I. 1 Seg k = T i Se ξ i : = ξ. De resulerende ree besår av scenariene {, } * 1, app 1 T ξ app = 1 for i I. T 63

74 Vedlegg 9: Scenariorær Figur V9.1: Scenariore generer med reduksjonsnivå= 0,25. Figur V9.2: Scenariore generer med reduksjonsnivå= 0,40. 76

75 Vedlegg 10: Programsrukur vass Bearbeiding av daa: Excel, SPSS scenario scenred lesdafil xpressda vannprod ukema scnsim reecon scnsim kaller førs ukema for å oppree ukenummer, og daoer på e hensiksmessig forma. Dereer kaller scnsim ilsig og sposim som reurerer henholdsvis ilsig- og prisscenarier. Pris og ilsigsscenariene kan rekkes korreler. ilsig sposim Excel: Tilsigsparameere hea ilsig hener parameere for ilsigsmodellen fra Excel, mens sposim kaller hea som generer parameere il prismodellen. hea generer parameere u i fra erminsrukuren, som henes fra Excel. scenario hener daa fra scnsim og formaerer dem il e nødvendig forma som kreves av scenred. scenred hener parameere for scenarioregenerering fra recon. Rød skrif: Malab kode Grønn skrif: Scenred Blå skrif Mosel Xpress kode Excel: Terminsrukur lesdafil leser resulafilen fra scenred og hener den inn i Malab. xpressda hener vassdragsdaa fra vass og scenariodaa fra lesdafil, og lager en daafil på e forma som kreves av Mosel-Xpress. Vannprod opimerer vannkrafproduksjonen og gir u daa il bearbeiding i Excel og SPSS. 77