Sensorveiledning ECON2200 Våren 2014

Transkript

1 Oppgave a) Sensorveiledning ECON00 Våren 04 f( ) + ln f ( ) 6 b) ( ) ( ) f( ) + f ( ) De er ikke krav om å forenkle il en besem form, alle svar er ree. c) f( ) ln g ( ) g ( ) f ( ) g ( ) d) e) f) f( ) g ( ) f ( ) g g g ( ) ( ) ( ) Fy (, ) ( ) y F 4( ) y F y ( ) y y f( s, ) ln( s ) ln( s+ ) f f s s s+ s s+

2 Oppgave a) (4 + i) 4i sann da (4 + i) (( + i)) i i i i i i b) c) d) ln( ) ln ln y + y sann usann ln(e ) usann e) ln ln ln Sann Oppgave f ( ) ma ln a) Omhylningseoreme sier a vi får svare ved å pariellderivere med hensyn på og evaluere funksjonen for den opimale som vi kaller f () b) FOB: f( ) ln ln Seer inn for : f( ) ln ln c) Kaller maksimanden g(, ) ln Tilsrekkelig beingelse er negaiv andrederiver: g < 0 d) Siden vi ve fra b a f( ) ln får vi: f () e) Vi har o ulike urykk for f ()

3 men f ( ) fra a) f ( ) fra d) da vi fan i oppgave b) Oppgave 4 a) Profien er p p+ p Sasjonærpunkene il denne funksjonen ilfredssiller førseordensbeingelsene p p 0 () p p 0 () Gang ligning () med og rekk fra () p p p p Tilsvarende: Gang ligning () med og rekk fra (): p p p p b) Tilsrekkelige beingelser oppfyl da π < 0 π < 0 ( ) π π π π > 0 Oppgave 5 a) Sann. Om prisen øker er subsiusjonseffeken negaiv. For a de skal bli e Giffengode må vi ha en posiiv innekseffek og de er bare mulig om reduser innek gir øk konsum, alså e mindreverdig og ikke normal gode. b) Sann. En krone eksra gir enheer mer av gode, og hver enhe gir nyeøkning U c c) Gal. Subsiumalen er løsningen av kosnadsminimeringsprobleme for ulike nivå på produksjonen. Produkprisen inngår ikke i minimeringsprobleme. d) Gal. Gjennomsniskosnaden er mininmal når grensekosnadgjennomsniskosnad. Oppgave 6 (8 poeng) Markede for bankulån kan beskrives på en enkel måe som e perfek konkurransemarked, der eerspørselen eer lån, fra mange lånakere, er gi ved Lr (; a ), der r er rena lånakere må beale for å låne, mens a er en skifparameer. De anas a eerspørselen er lavere jo høyere lånerena er; dvs.

4 4 Lr (; a) L ( r; a): < 0. Ana også L r r en indikasjon på hvor «opphee» boligmarkede er. a Lr (; a) ( r; a): > 0. Vi kan enke oss a a gir a Tilbude av lån kommer fra mange banker, som hver kan låne u en andel av de innskuddene banken får (de er ingen andre måer bankene kan finansiere seg på). Innskuddene il bankene er D, men kun en andel k av disse innskuddene kan lånes u. (Vi kan derfor oppfae (- k) som e «reservekrav» bankene er pålag.) Samle ilbud av lån fra bankene er dermed kd() r, der vi regner med D () r > 0. a) Illusrer i en figur hva rena må være for a markede skal være i likevek, for gie verdier på de eksogene sørrelsene a og k. Svar: Re fram i figur, med rena langs den loddree aksen og lånevolum langs den vannree. Fallende eerspørselskurve L, og saigende ilbudskurve kd. Likeveksrena der de skjærer hverandre. b) Vis ufra likeveksbeingelsen, hvordan samlede lån og markedsrene påvirkes av a reservekrave - k økes; dvs. a k sees ned. Svar: Negaiv skif i ilbudskurven, fordi for enhver gi rene, vil långiverne ilby e mindre volum for gie innskudd. E slik skif fører normal il lavere lånevolum og høyere rene. Virkningen avhengig av braheen i eerspørselskurven: Jo braere denne er, dvs. jo mer uelasisk eerspørselen er, jo mindre volumeffek og jo serkere priseffek. Formel se: L(; r ) kd() r r (, k ) som likeveksrene for gie verdier på de o skifparamerene. Deriverer vi gjennom denne med hensyn på k, samidig som vi bruker a rk (, ), finner vi: r r r Dr () L D() r + kd < 0; vi har dermed: Når k går ned, må rena opp. r k k k kd L r (Her er de sikker noen som ikke ser a r og k går mosa vei!) Når rena nå går opp, vil eerspørrerne ønske å låne mindre; alså går lånevolume ned. c) Hva skjer i lånemarkede når a går opp (boligmarkede blir mer «opphee»)? Svar: E posiiv skif i eerspørselen; for enhver rene vil eerspørrerne nå ønske å låne mer. Igjen i figuren ser vi da a både volum og rene vil sige. Fra likeveksbeingelsen finner vi da: r r r L L + L kd > 0, og øke ulån ser vi fra ilbudssiden; kd() r vil r kd L r nå øke. Igjen virkning på volum og rene avhengig av braheen i ilbudskurven: Jo braere denne er, jo mer må rena øke for a innskyerne skal være villige il å øke sine innskudd.

5 5 d) Kan myndigheene, om a endrer seg, jusere reservekrave ( k) slik a samle lånevolum og markedrene holder seg uendre? Diskuer dee ved hjelp av figuren fra punk a. Svar: Nei; hvis eerspørselen skifer oppover, kan ikke ilbudskurven juseres slik a samme likevekspunk realiseres eer en jusering som før. (To må uendre rene og uendre lånevolum, men kun e virkemiddel reservekrav.) Oppgave 7 (5 poeng) En bedrif produserer en vare i mengde ved en produkfunksjon ( ) fv () v- A a. Vi må mins bruke en mengde A av produksjonsfakoren v for å få en posiiv produkmengde. a er en posiiv konsan, sreng mindre enn én; dvs. 0< a <. a) Uled grense- og gjennomsnisprodukivie for denne produkfunksjonen for de ilfelle a A 0 og a. Svar: Vi har nå: fv () v, slik a v og f () v v <. v v v v b) Gjør de samme som under punk a, men for en vilkårlig og sreng posiiv verdi for a <, sam A > 0. For hvilken verdi av v vil gjennomsnisprodukivieen ha e maksimum? ( v A) Svar: Vi finner nå: som er lik null for v A, og f () v ( v A). v v d Maksimum av gjennomsnisprodukivieen er kjenneegne ved: ( ) 0 dv v og d ( ) < 0, dv v eller v ( v A ) ( v A ) ( ) 0 v A v ( v A) 0 v( ) A v A v v A Førsederiveresen kan benyes il å vise a dee er e maksimum: For v <, er d ( ) 0 dv v >, og negaiv for A v >. fv () c) Skisser grafen il fv (), f () v og, når du seer 0 v A > og a. Svar: Vi har nå: fv () v A, f () v ( v A) v A finner vi a f () v ( v A) < 0for v > A 4 og ( v A). Videre v v

6 6 I den øverse figuren er produkfunksjonen selv illusrer, mens i den andre er gjennomsnisprodukivieen (siple) og grenseprodukivieen (helrukken) skjærer gjennom gjennomsniskurven ovenifra., d) Hva blir minse nødvendige fakorinnsas om bedrifen skal produsere en gi produkmengde? 0 Svar: Poenge er her å inverere produkfunksjonen: ( v A) v A ( ) v A + ( ) G( ) er nødvendig fakorinnsas for gi produkmengde.

7 7 e) Faslegg bedrifens kosnadsfunksjon med gi pris lik q kroner per enhe av produksjonsfakoren. Hva blir grense- og gjennomsniskosnad? Svar: Kosnadsfunksjonen er dermed: C ( ; q) qg( ) qa + q, med grensekosnad som dc C qa q og gjennomsniskosnad q + d Bedrifen ønsker å maksimere profien. Den kan selge de ferdige produke il en gi pris p kroner per enhe. Den fase kosnaden qa er en drifsavhengig fas kosnad som faller hel bor ved drifssans. Du kan see i de gjenværende spørsmålene. f) Besem de kvanum som maksimerer profien. Når vil drifssans være opimal? Svar: Om bedrifen ikke produserer, er profien π 0. Derfor må prisen være sørre enn gjennomsniskosnadene for a drif skal lønne seg, all den id qa er en drifsavhengig fas kosnad. De beyr a bare prisen er sørre enn minimum av gjennomsniskosnadene, vil drif lønne seg. Ana a de er ilfelle. Da er p C q p q qa p q qa p ( ) ( ; ), med p ( ) p q og π ( ) q < 0. Siden minimum av gjennomsniskosnaden C qa + q er der d C qa ( ) q A, med lavese pris forenlig med drif gi ved d C( A) q A. Dermed om p > q A, er profimaksimum besem ved A p p q som er de kvanum som maksimerer overskudde. Om produkprisen q faller under q A, vil de lønne seg å sanse drifen. g) Ved hjelp av en figur, skisser forløpe il ilbudskurven for denne bedrifen; dvs. ilbud kvanum som funksjon av produkprisen. Svar: Tilbudskurven i e p,-diagram, er slik a for p q A, vil ilbud kvanum være lik null, mens for p > q A, er ilbudskurven lineær i p. Ana a prisene er slik a de lønner seg for bedrifen å ilby e posiiv kvanum av produke.

8 8 h) I figuren fra punk g, hvordan påvirkes den profimaksimerende ilpasningen av a fakorprisen q øker? Svar: Når fakorprisen q øker, vil ilbudskurven som funksjon av produkprisen få e lavere signingsall, samidig som den kriiske produkprisen q A øker. Oppgave 8 (5 poeng) Berak en konsumen med en nyefunksjon U( c, ) ln + b ln( c a), der ( c, ) er kvana av o varer, a angir e konsan «minsekonsum» av c -varen, mens b er en posiiv konsan. Konsumenen har en gi innek på m kroner og sår overfor gie priser: p kroner per enhe av -varen og q kroner per enhe av c -varen. Ana a qa < m. a) Uled den marginale subsiusjonsbrøk for denne nyefunksjonen. Hva beyr de a parameeren b ar en høyere verdi? Svar: Den marginale subsiusjonsbrøk (MSB) mellom de o varene kan urykkes som U b c c a b. Når b ar en høyere verdi bery de a MSB øker; indifferenskurvene blir U c a braere hvilke beyr a de anall enheer av -varen en er villig il å bye bor for å få en marginal enhe il av c-varen siger. b) Uled den nyemaksimerende ilpasningen ved Lagranges meode, og uled eerspørselsfunksjonene for de o varene. Svar: Lagrangefunksjonen er L ln + b ln( c a) l p + qc m. En nyemaksimerende ilpasning må oppfylle: L λp 0 L b λq, sam budsjebeingelsen. Eliminering av y c a b q Lagrangemuliplikaoren gir som gir oss qc qa + bp. Seer vi denne inn i c a p m qa budsjebeingelsen, får vi: ( + b) p + qa m og + b p p qc qa + b ( m qa) c b m + a, som er de ordinære eerspørselsfunksjonene. + b + bq + b c) Hvordan påvirkes eerspørselen eer de o varene av a prisen på -varen øker?

9 9 Svar: En økning i p har ingen virkning på eerspørselen eer c-varen. Siden vi har a p m qa, vil en høyere pris p, for konsan m og q, føre il en ilsvarende nedgang i. + b Denen varen er derfor nøyralelasisk i eerspørselen; med direke eerspørselselasisie lik. Se nå a 0 i de nese spørsmålene. d) Vis a de o varenes budsjeandeler da vil være konsane. Hva kan du da si om sørrelsen på inneks- eller Engelelasisieene? Svar: Med a 0, finner vi de o varenses budsjeandeler som: p m + b og qc b c m + b. Begge er kosnane; de må bey a når inneken øker, vil p ; hhv. qc øke like mye. Dermed vil de o vaene ha innekselasisieer lik. Vi kan skrive de ordinære eerspørselsfunksjonene generel som ( pqm,, ) og cpqm (,, ), og de kompensere eerspørselsfunksjonene som h( pqu,, ) og h( pqu,, ). Da ve vi a Sluskylikningen for -varen ved endring i hhv. prisen p og i q, kan skrives som h + p p m og h + c. q q m e) På grunnlag av de eerspørselsfunksjonene du har ulede idligere, skal du besemme de o kompensere eerspørselsderivere («Sluskyderivere») for -varen. m b m m Svar: Vi har nå, med a 0, a og c. Da følger:, ( + bp ) + bq p ( + bp ) 0, q. Da følger: m ( + bp ) h m m + + ( + bp ) ( + ) ( + ) p p m bp bp m bm b ( ) + og videre a ( ) + bp + b + b p p + b h bm b + c 0 + c. q q m ( + bp ) p( + b) q q + b c Oppgave 9 (8 poeng) En bedrif produserer en vare i mengde med en produkfunksjon fn ( ), der n er bruk av arbeidskraf. Produkfunksjonen er slik a f(0) 0, f ( n) > 0, f ( n) < 0. Du

10 0 kan også ana a f (0). Ana i førse omgang a bedrifen selger denne varen som en prisfas kvanumsilpasser, il gi pris p. Arbeidskrafen beales med en gi lønn, w, per enhe av n. a) Løs bedrifensprofimaksimeringsproblem, og vis hvordan bedrifens eerspørsel eer arbeidskraf varierer med lønna. Svar: Profien er p ( n) pf ( n) wn, som maksimeres når pf ( n) w. Når lønna øker, vil pf ( n) måe økes, hvilke bare er mulig om n går ned; dvs. n n pf < 0 w w pf Ana nå i sede a bedrifen opprer som monopolis i ferdigvaremarkede med en eerspørselsfunksjon gi ved p D ( ), som er avakende i omsa kvanum. Bedrifen har samme produkfunksjon som over og bealer samme lønn il arbeidskrafen. Den velger nå n slik a profien, p ( n) Dfn ( ( )) fn ( ) wn, maksimeres. b) Uled førseordensbeingelsen for bedrifens bruk av arbeidskraf. Svar: π ( n) Df ( ) ( n) + D ( f ) ( n ) w 0 som vi anar kaakrsierer e profimaksimum. Denne beingelsen kan skrives som: p + D ( ) f ( n) w. D ( ) c) Gi en forklaring på hvorfor ilpasningsbeingelsen ved monopol er forskjellig fra den ved prisfas kvanumsilpasning. Svar: Monopolisen må a hensyn il a om den ønsker å ansee en arbeider il, vil merulegge w måe veies mo den grenseinnekskorrigere verdi av grenseprodukivieen, siden mer arbeidskraf beyr øk omsa kvanum og dermed en lavere pris på ferdigvaren. Vi kan også skrive dee som a grenseinneken, p + D ( ), er lik grensekosnaden D ( ) w produksjonen. (De som vil, kan egne denne grenseinnekskurven opp sammen med f ( n) eerspørselskurven og forklare a øk kvanum beyr lavere pris på alle «inframarginale» enheer, men en marginal bruoinneksøkning på den sise enheen lik p.) Oppgave 0 (8 poeng) En bedrif produserer en vare i mengde med en produkfunksjon Fnk (, ), som er sreng voksende i hver argumen og med sreng avakende grenseprodukivieer. Produksjonsfakorene anas å være eknisk komplemenære. a) Hva beyr de a produksjonsfakorene er eknisk komplemenære?

11 F Svar: De beyr a n k grenseprodukivieen av den andre. : F > 0: Øk bruk av en fakor vil øke (gjennom e skif) nk Bedrifen maksimerer overskudde il gie priser på produke og hver av deo produksjonsfakorenemed, medprisene p per enhe av produke, w per enhe av n og q per enhe av k. E indre profimaksimum er kjenneegne ved F F førseordensbeingelsene p w og p q. n k b) Illusrer disse o beingelsene i hver sin figur. Bruk dem (uen regning) il å vise hva virkningen på på begge yper fakorbruk når q øker, når du oppreholder anakelsen om eknisk komplemenarie. Svar: Se figur. (s. 98 i Srøm & Vislie): Øk q vil føre il mindre bruk av k selv. Lavere k F vil føre il a kurven for p vil skife nedover. Mindre bruk av k, vil gi lavere n grenseprodukivie av n; dermed skifer denne innover. Også bruken av n går da ned.