Prising av opsjoner på OBXindeksen

Transkript

1 NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Prising av opsjoner på OBXindeksen Evaluering av ulike volailiesmodeller Av Jan-Ivar Kemi og Rune Bråen Lihol Veileder: Førseamanuensis Jonas Andersson Maseruredning i Bedrifsøkonomisk analyse ved Insiu for foreaksøkonomi NORGES HANDELSHØYSKOLE Denne uredningen er gjennomfør som e ledd i masersudie i økonomisk-adminisraive fag ved Norges Handelshøyskole og godkjen som sådan. Godkjenningen innebærer ikke a høyskolen innesår for de meoder som er anvend, de resulaer som er fremkomme eller de konklusjoner som er rukke i arbeide.

2

3 3 Sammendrag Denne uredningen evaluerer empirisk presasjonen il ulike volailiesmodeller il å predikere volailieen ilknye avkasningsserien på OBX-indeksen. Her finner vi a EWMA-modell modeller på bakgrunn av e begrense anall observasjoner, er den modellen som predikerer indeksens volailie bes. Dereer følger den konsan modellen og il slu GARCH-modellene. I illegg il en volailiesevaluering, benyer vi vinnerne av undersøkelsen il å vurdere prisingsmodellen il Black-Scholes med konsan volailie mo Black-Scholes med volailie beregne fra EWMA-modellen og Duan s GARCH opsjonsprisingsmodell med sokasiske volailie. Analysen er gjennomfør med hjelp av OBX-indeksens kjøpsopsjoner. I vår uredning finner vi a Black-Scholes prisingsmodell baser på 5-dagers EWMArullering klarer å predikere prisene bes både ved å nye in-sample og ou-sample il esimering av prisene. Som for prediksjon av volailieen så egner Duans GARCH-modell seg dårlig siden disse prisingsesimaene avviker sor fra de opsjonsprisene vi finner i markede.

4 4

5 5 Forord Denne oppgaven er en skriflig maseruredning i finansiell økonomi ved Insiu for foreaksøkonomi ved Norges Handelshøyskole. De er mange som forjener en påskjønnelse for a oppgaven ble gjennomfør. Vi vil i førse omgang ree en sor akk il vår veileder, Assosier professor Jonas Andersson, for gode ips og råd ved idligere ukas. Randi Hovde ved Oslo Børs Informasjon AS forjener honnør fordi hun skaffe oss de nødvendige daa slik a oppgaven kunne gjennomføres. All modellesimering er gjennomfør i programmeringsspråke il S-plus og E-views, og ineressere kan a konak med forfaerne for å få ilsend kodene il de ulike beregningene gjor i oppgaven. Vi vil her i fororde meddele a vi er svær sole over innholde i denne uredningen. Dee fordi vi ikke har funne ilsvarende sudier der noen både har gjennomfør en evaluering av ulike volailiesmodeller og en empirisk analyse av prisingen av opsjoner i en og samme oppgave. Dee beyr ikke a framgangsmåen er hel ny, men a vi har bygge videre på idligere arikler og uredninger som har a opp emnene hver for seg.

6 6 INNHOLDSOVERSIKT SAMMENDRAG... 3 FORORD... 5 INNLEDNING... 9 STATISTISKE EGENSKAPER VED TIDSSERIEDATA FOR AKSJEINDEKSER STATISTISKE BEGREPER/STOKASTISKE PROSESSER DATABESKRIVELSE EMPIRISKE OBSERVASJONER AV OBX-INDEKSEN Sasjonærie Auokorrelasjon Heeroskedasisie OPPSUMMERING AV INNLEDENDE EMPIRISKE RESULTATER STATISTISKE VOLATILITETSMODELLER HISTORISK VOLATILITET Hisorisk volailie med eksponeniell veking Hisorisk volailie og skalering ARMA-MODELL MA-modellen AR modeller ARMA-modeller GARCH-MODELLER ARCH Lineær GARCH (p,q) modell Varianer av GARCH-modeller Maximum Likelihood Meode MODELLSPESIFIKASJON OG ESTIMERING AV VOLATILITETSMODELLER PARAMETERVERDIER FOR DE ULIKE GARCH-MODELLENE METODE ESTIMERING AV DE ULIKE MODELLENE Frekvens: Dag Frekvens: Uke BETINGET VOLATILITET I ESTIMERINGSPERIODEN PREDIKSJONSEGENSKAPER VED VOLATILITETSMODELLENE UNDERSØKELSESMETODE STATISTISK SAMMENLIGNING AV VOLATILITETSMODELLENE RESULTATER FRA UNDERSØKELSEN Frekvens: Dag Frekvens: Uke HVILKEN MODELL BØR MAN VELGE? PRESENTASJON AV OPSJONSTEORI OPSJONER TEORETISK RAMMEVERK: OPSJONSPRISINGSMODELLER BLACK-SCHOLES OPSJONSPRISINGSMODELL DUANS OPSJONSPRISINGSMODELL IMPLEMENTERING OG ESTIMERING AV VOLATILITETSMODELLENE FORUTSETNINGER VED IMPLEMENTERING OG ESTIMERING IMPLEMENTERING OG ESTIMERING AV BS OPSJONSPRISNINGSMODELL IMPLEMENTERING OG ESTIMERING AV DUANS OPSJONSPRISNINGSMODELL SAMMENLIGNING AV DE ULIKE MODELLENE... 93

7 7 8 OPPSUMMERING OG KONKLUSJON OPPSUMMERING AV RESULTATENE UTVIDELSER OG FORBEDRINGSPOTENSIALE REFERANSER... 99

8 8

9 9 Innledning En av de mes senrale sørrelsene innenfor finansfage er volailieen, som blan anne blir bruk i CAPM - og APT -modellene for prising av aksjer sam i opsjonsprisingseorien. I opsjonseorien avhenger de avledede akivas verdi av volailieen il de underliggende akivas avkasning og en rekke andre fakorer. Alle disse fakorene uenom volailieen er observerbar i markede og har en besem verdi il e gi idspunk. En korrek prising av derivaer kan være av sor beydning for akører i ehver finansiel marked fordi ved hjelp av for eksempel opsjoner kan man hindre muligheen for arbirasje. Derivaer er blan anne en nøkkelkomponen i mange invesorers poreføljer der vi nevner blan anne sikring av akivumene og spekulasjon. Black og Scholes(973) var de førse il å inrodusere en prisingsmodell for opsjoner. Denne modellen har ha sor innvirkning på hvordan akører i markede priser dee derivae. En grunnleggende anakelse i den såkale Black-Scholesmodellen er a aksjekursen er lognormalfordel med konsan volailie. Denne anagelsen om a volailieen er konsan er dessverre ikke observerbar empirisk gjennom å sudere den implisie volailieen avlede fra opsjonsprisene i markede og id il uløp. Fenomene blir ofe kal volailiessmil der volailieen på en opsjon a-he-money 3 er ulike de implisie verdiene vi får fra opsjoner dyp in- og ou-of-he-money. Med moivasjon fra dee smile så innfører Dumas, Fleming og Whaley(998) Ad-hoc Black-Scholes modellen der man illaer a volailieen avhenger deerminisisk av uøvelsespris og id il uløp. I illegg il volailieen il de underliggende akivum besemmes opsjonsprisen av prisen på underliggende akivum, risikofri rene, uøvelsespris, id il forfall og evenuel dividende. Som e resula av a volailieen ikke er observerbar så viser de seg a de er e beydelig avvik mellom prisene avlede fra (sandard) Black-Scholes modellen og den observere (markeds)prisen. Dee skaper e sor usikkerhesmomen for alle markedsakørene og fører il a forskere forsøker å lage modeller som er bedre ilpasse markedsprisene. I mosening il anagelsen om konsan volailie finner de flese empiriske sudier u a fordelingen il CAPM - Capial Asse Pricing Model (Sharpe, 964) APT Arbirage Pricing Theory(Ross, 976) 3 A-he-money beyr a dagens spokurs på akivume er ilnærme lik uøvelsesprisen ved uøvlesesidspunke. In-he-money da er dagens spokurs (lang) over uøvelsesprisen, imens ou-of-he-money er spokurs (lang) under uøvelsesprisen.

10 0 aksje- og indeksavkasningen inneholder feere haler 4 enn anagelsene gjor i Black- Scholes og a avkasningsserien har perioder med såkale volailiesklynger 5. Disse egenskapene blir forolke som bevis for a aksjeavkasningen har sokasisk volailie. På bakgrunn av dee har en rekke forskere bidra med sudier der de inkorporerer nye modeller som ar høyde denne ype volailie. Man snakker da gjerne om ulike yper volailiesmodeller baser på koninuerlig id 6 (eks. Laen sokasisk volailiesmodeller) og diskre id 7 (eks Generalized AuoRegressive Condiional Heeroskedasic models(garch)). Valge mellom disse modellene er ikke enydig. Koninuerlige modeller er bedre enn de diskree modellene på enkele punker. Man anar a de gir bedre innsik i de finansielle markeders koninuerlig uvikling og a de er bedre å arbeide med eoreisk og analyisk. Her bør man føye il a alle finansielle idsserier opprer i diskre id, noe som gjør a man i mange ilfeller forerekker de diskree modellene. Disse modellene har også en beydelig fordel a volailieen er mulig å observere fra de hisoriske akiva prisene. Som resula for dee gir eksempelvis en GARCH opsjonsmodell muligheen il å finne verdien av en opsjon ved bruk av spo volailieene esimer av de hisoriske verdiene uenom å benye seg av implisie volailieer fra andre opsjoner på samme idspunk (Heson og Nandi, 000). På bakgrunn av disse avveiningene ønsker vi å sudere implemeneringen av de sokasiske volailiesmodellene i diskre id fremfor de i koninuerlig id. De sokasiske diskree volailiesmodellene som vi vil benye oss av er blan anne den velkjene AuoRegressive Heeroskedasiske(ARCH)-modellen inroduser av Engle(98). Fra denne arikkelen er de bli foreae en rekke uvidelser der kanskje den mes kjene av dem er GARCH-modellen(Bollerslev, 986). Blan GARCH-modellene som er bli bruk il prisfasseelse av opsjoner kan vi nevne Bollerslevs(987)Threshold GARCH modell, Nelsons(99) Exponeial GARCH, Engle og Ngs(993), NGARCH modell, Duans(995) 4 Fee haler referes il excess kurosis. 5 Volailiesklynge er periode i avkasningserien il e akivum der de virker som om uslagene øker en lien periode 6 Se Hull&Whie(987) og Heson(993) 7 Se Duan(995) og Heson&Nandi(000)

11 GARCH modell med mean reversion 8 modell og Heson og Nandis (000) GARCH modell med lukke prisurykk. Innenfor implemenering av disse modellene i praksis er de gjor en rekke forskning. Blan anne bruker Engle & Musafa (99), Amin & Ng (994) og Duan (995) Mone Carlo simulering il å prissee opsjonene. Eer dee har de komme nyere meoder som empiriske maringal simulering, Duan & Simonaos (998), laice meode, Richken og Trevor (999), markovkjede meoden, Duan & Simonaos (999), og lukkede form meode, Heson og Nandi(000). Selv om de er skreve en rekke arikler der man sammenligner prisingsmodeller av opsjoner med konsan, sokasisk og deerminisisk volailie så finner disse sudiene forskjellige og mosridene resulaer. Vi kan blan anne nevne a Engle & Musafa (99) og Hjorshøj e al.(003) finner grunnlag for å mene a GARCH(,)- modellen er bedre enn Black & Scholes-modellen il å esimere call opsjoner, imens Heson & Nandis (000) argumenere for a Black & Scholes modellen ilpasser seg bedre enn GARCH(,). Bruk av ulik observasjonsperiode, modell og esimeringsmeode fører nok il de ulike konklusjonene. Hensiken med denne oppgaven er odel. )Den førse delen undersøker vi om de er en signifikan forskjell i evnen il randow walk, Exponenial Weighed Moving Average(EWMA) og ulike GARCH-modeller il å predikere den realisere volailieen av OBX-indeksen besående av 379 daglige observasjoner og 484 ukenlige. Vi har a for oss slukursen il indeksen i perioden , der vi har benye perioden juli 04 il juli 05 som evalueringsperiode såkal ou-of-sample 9 periode. I løpe av denne perioden reesimeres de ulike modellene hver enese måned slik a vi får 0- ulike måneders grunnlag il å avgjøre hvilken av modellene som predikere bes. De er gjor en rekke ulike eser på å finne u prediksjonsegenskapene il de ulike modellene. Vi kan her nevne sudien gjor av Akgiray(989) som var en av de førse il å sudere hvordan GARCH-modellene egner seg il prediksjon. Han fan u a GARCH(,)-modellen egne seg bedre il prediksjon enn ulike ARCH-modeller og modeller for hisorisk gjennomsni(ewma og randow walk). Andre sudier som Engle, Kane og Noh(993) og Heynen og Ka(994) underbygger sandpunke il Akgiray, men derimo kommer Pagan og Schwer(990), Hansson og 8 Fra Engle, Lilien & Robins (987) ARCH-M modell 9 Ou-of-sample er den perioden som man bruker il å sammenligne modellene med de virkelige verdiene.

12 Hørdahl(996) og Koekebakker(997) frem il a henholdsvis EGARCH(,), Asymmerisk SV og EWMA(denne sudien er gjor i valuamarkede) gir bedre resulaer enn GARCH(,). Som for de ulike esene på Black & Scholes-modellen har disse esene mosvarende konklusjoner på grunn av ulik idsperiode, modellvalg og evalueringsmeode. )De andre formåle med oppgaven er å evaluere og sammenligne den empiriske yelsen il Black & Scholes modellen med konsan volailie og Duans(995) GARCH opsjons prisfasseelses modell med sokasisk volailie. I løpe av oppgaven vil vi presenere ulike esimeringsmeoder og de beskrevne egenskapene kommer il å bli illusrer ved bruk av virkelige daa. Vi bruker også her de daglige daaene fra OBX-indeksen il våre esimeringer, sam som ugangspunk ved vår Mone Carlo simulering. Vi vil i illegg innhene daglig slukurser på OBX call-opsjoner 0 i vår ou-of-sample-periode og vi vil her begrense daamengden il opsjonspriser der uøvelsesprisen er 5 % lavere og 5 % høyere enn verdien på de underliggende akivume. Ved implemenering av de ulike modellene vil vi benye oss av S-Plus 6., Eviews og Excel. Disse programmene har en rekke begrensninger men vi har valg å se bor i fra disse og nye oss av de funksjonene som er gi i programvarene. Oppbygningen i resen av denne uredningen er som følger: I avsni så har vi en gjennomgang av de ulike saisiske egenskapene il vår daaserie og suderer disse grundig. Avsni 3 seer lys på de ulike volailiesmodellene som vi ønsker å bruke. Disse modellene skal bli bruk videre i uredningen for å avgjøre hvilken av modellene som predikerer volailieen bes. Avsni 4 ar for seg paramerene il de ulike modellene, imens del 5 suderer vi nærmere deres predikaive egenskaper. I avsni 6 presenerer vi opsjonseorien for prisseing av opsjoner og i avsni 7 prøver vi å avgjøre hvilken opsjonsprisingsmodell som gir bes resulaer i forhold il markede. Avsni 8 vil vi forsøke å rekke noen overordnede konklusjoner som kan gjenspeile vår undersøkelse. 0 OBX callopsjoner av europeisk ype der uøvelse bare er mulig ved uløpsdaoen.

13 3 Saisiske egenskaper ved idsseriedaa for aksjeindekser I dee kapiele ar vi for oss de ulike saiske egenskapene ved de underliggende akiva som vi ønsker å sudere OBX-indeksen. Førs ar vi for oss noen saiske begreper som er vikig å beskrive for å ha e grunnlag il å forså undersøkelsen. Her vil vi inrodusere en rekke begreper som vi vil benye oss av i løpe av vår uredning. De nese sege er en grundig daabeskrivelse, der vi blan anne går igjennom hva indeksen inneholder. Dereer seer vi oss inn i de ulike empiriske observasjoner ved vår indeks. Avsluningsvis i kapiele vil vi oppsummere de ulike resulaene.. Saisiske begreper/sokasiske prosesser En idsrekke kan analyseres ved å bli represener på en måe som reflekerer vår forsåelse av de fenomen som suderes, og som bekrefes ved observasjon av idsrekken, alså represener ved en modell. Vi beraker den observere idsrekken som del av en prosess i diskre id. Vi legger en sokasisk modell il grunn da vi i hovedsak er ineresser i vurdere egenskapene ved meodene, herunder usikkerhe i prognoser. De fenomenene vi er ineresser i å sudere er også ofe delvis dominer av ilfeldigheer (Lillesøl, 997). Vi lar { X )} ( være en sokasisk prosess, som kan beskrives ved angivelse av den simulane sannsynlighesfordelingen il X ( ), X ( ),..., X ( n ) for e vilkårlig uvalg idspunker ( n,,..., ). Av spesiell ineresse er såkale sasjonære prosesser der X + k), X ( + k),..., X ( + n ) har den samme sannsynlighesfordelingen uanse valg av ( k k. De vil si a de er de innbyrdes avsandene mellom idspunkene som beyr noe, og ikke hvor på idsaksen vi befinner oss. Videre lar vi µ ( ) beegne prosessens forvening. Variansen og (auo)kovariansen er henholdsvis gi ved ( ) σ og (, s). γ For en sasjonær prosess vil vi uavhengig av ha følgende sammenheng;

14 4 µ () = µ σ ) = ( σ γ ( k ) = cov( x( ), x( + k)) om disse eksiserer (.) (.) (.3) Dee ugjør førse og andre ordens momen il variablene X, og gir oss auokorrelasjonsfunksjonen il den sasjonære prosessen, som er gi ved; ρ ( k ) = γ ( k) / γ (0) = korr( x( ), x( + k)) (.4) ρ ( 0) = og ρ ( k) = ρ( k) Hvis den sokasiske prosessen har endelig forvenning og varians, og kovariansfunksjonen er endelig og uavhengig av for alle x, er prosessen svak sasjonær. For en svak sasjonær idsserie er de ikke gjor noen anagelser om høyere ordens momener. Derimo en idsserie som er sreng (srik) sasjonær er de ikke bare forveningen og variansen som er konsan, men de silles også krav il a fordelingen av X() er uavhengig av. Dee er en mege sreng anagelse og sasjonærie blir gjerne definer på en mindre resrikiv måe i form av førse og andre ordens momenene, som nevn over kal svak sasjonærie. I mer økonomiske ermer beyr sasjonærie a e sjokk ikke er vedvarende (persisence) og heller ikke represenerer en sar på en ny likevek. En sasjonær idsserie reurnerer il den gamle likeveken eer e sjokk. Hvis X ), X ( ),..., X ( ) følger en mulivarier normalfordeling er svak sasjonærie ( n ekvivalen med sreng (srik) sasjonærie. Dee fordi en mulivarier normalfordeling er enydig gi ved førse og andre ordens momen. For andre fordelinger er ikke dee ilfelle. En ren ilfeldig prosess er en diskre prosess { X }, som besår av en rekke gjensidig uavhengig idenisk fordele ilfeldige variable (IID). Denne prosessen har konsan forvenning og varians. Auokorrelasjonsfunksjonen er gi ved ρ ( k) = for ρ ( k) = 0 for k=. En slik ren ilfeldig prosess beegnes også hvi søy (Maddala, 00). k=0 og En prosess som ofe er bruk for å beskrive aksjeprisers uvikling er Random Walk. Vi anar ε er en ren ilfeldig serie med forvenning µ og varians. Prosessen kalles da a { } en Random Walk hvis vi har følgende; X σ { }

15 5 X = + ε (.5) X Vi anar videre a X o er lik null. Prosessen uvikler seg da videre som følger; X = ε X osv = X + ε = ε + ε Ved suksessiv innseing får vi; X = i= ε i (.6) som gir E( X ) = µ og var( X ) = σ. Fordi forvenningen og variansen endrer seg med, så er prosessen ikke-sasjonær. Differensiering gir X = ε. På differensier form er Random Walk reduser il hvi søy, og dermed sasjonær. Hvis vi har en prosess på formen X = µ + + ε sier vi a vi har en X Random Walk med drif. En mulighe for modellering av en idsrekke X er å urykke den beingede forvenningen og variansen il X gi den ilgjengelige informasjonen F ved idspunk -. F kan for e ksempel være hisoriske verdier av idsrekken gi ved; gjøre en anagelse om a; F ( X, X, X,...). Vi kan da = µ E( X F ) (.7) = σ var( X F ) (.8) = der µ er den beingede forvenningen og σ er variansen il X. De modellene vi skal sudere senere i denne oppgaven, er av denne ypen.

16 6 { } Hvis vi lar X være en prosess, og F represenerer den ilgjengelige informasjonen idspunk, sier vi a { X } er en maringal med hensyn på { } F dersom; ved E ( X F = X (.9) ) D ersom F X, X, X,...) har vi a E = { } X = ( ( X + X, X,...) er ukorreler med forvenning lik null kan vi skrive: X. Dersom vi videre anar a X = i= ε i (.0) som gir X = + ε. Dee urykke kjenner vi igjen fra idligere som en Random Walk. X Til sammen gir dee oss resulae; E ( X + X, X,...) = E( X + ε + X, X,...) (.) = + E( ε X, X X +,...) = X slik a en Random Walk uen drif{ X } er en maringal. En inegrer sokasisk prosess er en prosess besående av kumulere feilledd. En sokasisk prosess med endelig varians, som ikke akkumulerer feilledd er sasjonær og inegrer av orden null, som beegnes I(0). Den ikke-sasjonære prosessen før differensiering beegnes I(). I(n) beegner en prosess som er inegrer av orden n. Dee beyr a prosessen må differensieres n ganger før den blir I(0), og sasjonær. Hvis inegrere prosesser er ilsede kan de oppså flere problemer i forbindelse med regresjonsanalyse. Vi kan få problemer med spuriøse regresjoner, men for å unngå dee blir de inegrere prosessene differensier for å oppnå sasjonærie(brooks, 00) Som nevn idligere vil en prosess { X } være en Random Walk hvis vi har følgende; X = + ε (.) X

17 7 En Random Walk er en ikke-sasjonær prosess og feilledde er hvi søy. På differensier form er Random Walk reduser il hvi søy (sasjonær) og gi ved; X = ε (.3) Empirisk er de av sor beydning å slå fas hvilken fordeling spekulaive priser har, da mange finanseorier er ulede på grunnlag av ulike anagelser om spekulaive priser. Innenfor opsjonsprisingseori bygger for eksempel den velkjene Black-Scholes modellen for prising av Europeiske opsjoner på en rekke anagelser. Modellen er ulede i koninuerlig id, hvor de underliggende akivum anas å følge en geomerisk brownsk bevegelse. I diskre id beyr dee a logarimen av prisen på de underliggende akivum følger en random walk. I resen av dee kapiele skal vi i førs omgang analysere daglige/ukenlige endringer på OBX-indeksen empirisk. Vi ønsker å karlegge den underliggende sokasiske prosessen (dynamikken) som genererer indeksen, samidig som vi ønsker å slå fas hvilken modell for OBX-daaene som er empirisk rimelig.. Daabeskrivelse Uvalge i undersøkelsen besår av daglige/ukenlige priser på OBX indeksen mål ved slunoeringer i idsromme Anall observasjoner i serien er (henholdsvis) 379/484. Daaene er hene fra kilden Daasream ved biblioeke på NHH. Oslo Børs har normal åpen fra mandag il fredag. I perioder når Oslo Børs er seng rapporerer Daasream gårsdagens kurs. Disse observasjonene er srøke fra uvalge. Deler av daamaeriale ( ) er også korriger mo daa fra Oslo Børs for å få de mes korreke daamaeriale. OBX-indeksen besår av de 5 mes likvide verdipapirene i OSEBX (Oslo Børs oalindeks) ranger eer seks måneders oal omsening. Verdipapirene er friflyjuser og indeksen revideres på halvårlig basis, med endringer som implemeneres redje fredag i desember og redje fredag i juni. I perioden mellom revideringsdaoene holdes anall aksjer for hver indeksmedlem fas, med unnak av kapialjuseringer med uvanning for eksiserende aksjonærer. OBX-indeksen er en indeks der man kan handel børsnoere fuures og opsjoner (europeiske) ilknye indeksen. OBX er ikke juser for ordinær ubye (Oslo børs). Vi

18 8 bemerker her a dee burde ha bli juser for, men vi har besem oss for å se i bor i fra dee i vår oppgave. I illegg il OBX-indeksen så har vi lase ned -måneds og måneds NIBOR fra Daasream og få prisene på opsjonene il OBX-indeksen fra Oslo Børs Informasjonsjenese. Disse daaene ønsker vi å benye i kapiel 7 der vi prøver å avgjøre hvilken opsjonsprisningsmodell som ilpasser seg nærmes opsjonsprisene i markede. For NIBORseriene så har vi lag il 5 basispunker fordi vi mener a de er nesen ingen akører i markede som oppnår en så lav alernaivkosnad på kapialen, evenuel lånekosnad. Som ugangspunk for den videre sudien vil vi bruke logarimiske avkasninger (Logarimisk differensier from) for serien av OBX-indekskurser. Dee er i overenssemmelse med lierauren, da logarimiske avkasninger har mer egnede analyiske egenskaper enn arimeiske avkasninger. For små kursendringer gir logarimiske avkasninger en god ilnærming il prosenuell avkasninger. La {X } beegne kursen på OBX-indeksen. Den logarimiske avkasningen er da gi ved: r i X = ln( X ) (.4) Vi ar videre ugangspunk i a den enkle Random Walk-modellen for sammenhengen i OBX-indeksen gi ved; å beskrive ln X = µ + ln X + ε (.5) h vor µ er e drifledde og ε er e uspesifiser feilledd. Vår sudie viser a { ln X } ikke er sasjonær, og de er derfor nødvendig med differensiering for å oppnå sasjonærie. Dee er mulig å se ui fra figur. og figur. da serien ikke vender ilbake il gjennomsnie. Ved differensiering får vi; ln X = ln X ln X = µ + ln X + ε ln X = µ + ε (.6) Vi ser a anagelsen om Random Walk fører il a den logarimiske avkasningen er lik drifledde pluss feilledde. Videre vil vi forsøke å beskrive de egenskapene som serien av

19 9 { } viser, og se om (.6) er en rimelig modell for OBX-indeksen og evenuel hvorfor X ikke. Figur.: Daglige OBX-daa på nivå- og avkasningsform Daglig OBX-daa på nivå- og avkasningsform Prosenvis daglig avkasning Daglig avkasning 00 OBX OBX-verdi -8 0 Figur.: Ukenlig OBX-daa på nivå- og avkasningsform Ukenlig OBX-daa på nivå- og avkasningsform Prosenvis ukenlig avkasning Ukenlig avkasning 00 OBX OBX-verdi

20 0.3 Empiriske observasjoner av OBX-indeksen Den svare linjen i figur. og i figur. viser daglige/ukenlige noeringer av OBX indeksen i perioden januar 996 juli 005. De daglige indeksdaaene varier fra verdier opp mo 96,84 il verdier ned mo 377,7. Vi kan se a indeksen har både mer enn fordoble seg og halver seg i dee idsromme. De ukenlige verdiene har en spennvidde fra 96,84 il 386,. Som nevn i forrige avsni så er ikke denne serien sasjonær over si gjennomsni. Derimo den grå linjen i figur. og figur. viser den daglige/ukenlige avkasningen på OBX indeksen i perioden januar 996 juni 005. I fig ur. k an vi se a volailieen fremsår i klynger. Fra lierauren er de også kjen a vola ilieen i finansie lle markeder har en endens il å fremså i klynger - e fenomen som gjerne kalles Vo lailies clusering eller Volailies pooling. De beyr a sore avkasningsall (med begge foregn) forvenes å følge sore avkasningsall, mens små avkasningsall (med begge foregn) forvenes å følge små avkasningsall. Dee innebærer a den nåværende volailieen har en endens il å være posiiv korreler med si nivå i den umiddelbar påfølgende perioden. Dee fenomene er ydelig i figuren som viser daglige avkasningsall for OBX indeksen. I begynnelsen av perioden, på miden av 990-alle, kan de se u il a de har vær relaiv beskjeden posiiv og negaiv avkasning. Mo sluen av 997 og frem mo sluen av 998 observerer vi mye sørre volailie. Noe av de samme finner vi mo sluen av 00, og fra miden av 00 il 003. Empiriske undersøkelser viser a finansielle avkasningsserien inneholder en rekke silisiske karakerisikker deriblan volailiesklynger(bollerslev, 986). I abell. så har vi gi de den deskripive saisikken for den daglige/ukenlige avkasningsserien. Begge disse seriene Tabell.: Deskripiv saisikk for avkasningsserien i perioden Gj.sni Median Maximum Minimum Sandard Skjevhe a Kurosis b An. Obs. avvik Daglig OBX avk. 0,0 0,0757 6,338-7,4,73-0,4667 6,33 38 Ukenlig OBX avk. 0,644 0,53 4,3-9,04,94-0,7665 8, T T a: skjevhe er gi ved 3 b ( x x) ( x x) = i T i= T i= skjevheen være 0, alså symmerisk ved gjennomsnie. T T b: Kurosis er gi ved b ( x x) 4 ( x x) = i T i= T i= i i 3, der x er uvalges gjennomsni. For en normalfordel variabel vil. For normalfordele variabler vil kurosis være ca. 3.

21 har posiiv gjennomsni noe som man forvener siden invesorene legger il grunn a sine inveseringer i aksjemarkede skal gi en årlig gjennomsnilig avkasning. Vi nevner her a begge avkasnings gjennomsniene ligger innenfor sandardavvik avsand fra null, slik a en radisjonell -es vil forkase hypoesen om a forvenning 0 på 5 % -nivå. Seriene viser relaiv lie innslag av skjevhe. En normalfordel fordeling som er naurlig å sammenligne med, er symmerisk ved en skjevhe = 0. Ser vi på figur.3 der e hisogram av den daglige avkasningsserien er gi, er de mulig å skime den posiive skjevheen i avkasningsserien. De virker som om den posiive er sørre enn den negaive. På grunn av a skjevheen il disse seriene er så lien, vil vi i de videre arbeide anse seriene våre som symmeriske. Figur.3. Hisogram av daglig OBX-avkasning. Hisogram av daglig OBX-avkasning 0 5 Percen of Toal x De som kanskje er mes urovekkende ved abell. er a verdiene il kurosisen er så høye. Dee er en annen av de silisiske karakerisikkene ved avkasningsserier i aksjemarkede. Kurosis kan defineres som endensen il a avkasningen på finansielle akiva har en fordeling med feere haler og smalere opper enn normalfordeling. Denne egenskapen finner også vi ved våre avkasningsall for OBX indeksen. En normalfordel serie (Brooks, 00) vil en sandard es rapporere en kurosis koeffisien på ca. 3. Vi har i illegg il å se på kurosisalle gjennomfør en normalieses av inroduser av Jarque og Bera(980), og vis e QQ-plo i figur.4. Normaliesesen er gjengi i abell. og olkes på følgende måe:

22 Nullhypoesen er a avkasningsserien er normalfordel imens den alernaive hypoesen er a den ikke er normalfordel. Da viser de seg a både den daglige og ukenlige avkasningsserien ikke er normalfordel, fordi p-verdien = 0 forkaser nullhypoesen. I QQploe bør den observasjonsverdiene ligge på en re linje for a serien skal være normalfordel. Fra figur.4 ser vi a dee ikke er ilfelle. Vi nevner her a QQ-ploene har en form lik en omvend S og man olker dee som om a serien innholder feere haler enn normalfordeling. Problemene med a serien ikke er normalfordel er a vi kan komme il å forkase modell parameere som egenlig burde ha vær med i modellering. Figur.4: QQ-plo for daglig OBX-avkasning. QQ-plo for daglig OBX-avkasning Tabell.: Normalieses Jarque-Bera Sannsynlighe Dag 86,987 0,0000 Uke 738,348 0, Sasjonærie Vi benyer en Augmened Dickey-Fuller (ADF, 979) es for Uni Roo i Eviews for å avgjøre om hvorvid idsserien er Ikke-sasjonær (Uni Roo) eller Sasjonær. Denne modellen kan beskrives med følgende formel:

23 3 y = ψ y p + α i y i + u i= (.7) I ADF-esen eser vi nullhypoesen; Tidsserien er Ikke-sasjonær (Uni Roo) mo alernaivhypoesen; Tidsserien er Sasjonær. Vi finner a de daglige/ukenlige OBXforskjellig fra nullhypoesen, mens på daaene så er idsserien ikke signifikan avkasningsform så er begge idsseriene signifikan forskjellig fra null (se abell.3). I denne abellen så er esverdiene gi under slik a man le ser hvilken serie som er signifikan forskjellig fra 0 og hvilken som ikke er de. Tabell.3 Augmened Dickey-Fuller es for den daglige/ukenlige avkasningsserien. -Saisic Prob.* ADF es saisic (Daglig OBX) -0, ,7779 ADF es saisic (Daglig OBX avkasningsserie) -3,3430 0,0000 ADF es saisic (Ukenlig OBX) -,336 0,699 ADF es saisic (Ukenlig OBX avkasningsserie) -3, ,0000 Tes criical values: % level -3, % level -, % level -, *MacKinnon (996) one-sided p-values. Tabell.4 Kviakovski-Phillips-Schmid-Shin es for den daglige/ukenlige avk.serien. LM-Sa. Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin es saisic (Daglig OBX) 0,89907 Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin es saisic (Daglig OBX avkasningsserie) 0,570 Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin es saisic (Ukenlig OBX) 0, Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin es saisic (Ukenlig OBX avkasningsserie) 0,854 Asympoic criical values*: % level 0, % level 0, % level 0, *Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin (99, Table ) For a vår konklusjon skal være mer robus, benyer vi en KPSS es (Kwaikowski e al., 99) sammen med ADF esen, i en bekrefende daa analyse. Her eser vi nullhypoesen;

24 4 Tidsserien er Sasjonær mo alernaivhypoesen; Tidsserien er Ikke-sasjonær. Vi finner a på nivåform så er idsserien signifikan forskjellig fra nullhypoesen på 0 % -nivå, mens på avkasningsform er idsserien ikke signifikan forskjellig (se abell.4). Begge esene konkluderer alså med a OBX-idsserien i avkasningsform er sasjonær både for ukenlig og daglige daa..3. Auokorrelasjon En av anakelsene ved modellering av idsserier er a auokovariansen il feilleddene er 0, Cov(u,u -j )= 0 der j 0. De finnes flere måer å ese ilsedeværelsen av auokorrelasjon i idsseriene på, men blan de vanligse meodene er visuell sjekk av auokorrelasjonsfunksjon sammen med Ljung-Box (978) eller Box-Pierce-esen. Auokorrelasjonen av vår daglig/ukenlig avkasningsserie og lag s er esimer ved å benye følgende formel: τ s COV ( y = y s, y ) = E( y s E( y µ )( y µ )( y µ ), der s µ ) (.8) og µ er uvalgsgjennomsnie av hele uvalge. Dee er korrelasjonskoeffisienen for s perioder ilbake. Hvis τ er forskjellig fra 0 så sier vi a serien er førseordens seriekorreler. For å sjekke om sørrelsen på τ er signifikan forskjellig fra 0, og benyer vi oss av e konfidensinervall for korrelasjonskoeffisienene. Ved uregning av konfidensinervalle på 95 % så bruker vi,96 approksimere sandardavvik fra gjennomsnie i normalfordelingen, Figur.5 ACF/PACF på den daglig avkasn. serien, 0,8 0,6 ACF PACF 0,4 0, 0-0, Lag Ljung-Box-esen er gi ved: m Q( K) = T ( T + ) ( T i) r i ~ χm k=

25 5 regne ved,96/( T), dvs. ±0,0407/±0,08873 (daglig/ukenlig) i vår ilfelle. Faller verdiene på en gi korrelasjonskoeffisien, τ k, uenfor inervalle er de en bekrefelse på a vi har auokorrelasjon av orden k i idsserien på 5 % signifikansnivå. Figur.6: ACF/PACF på den ukenlige avkasn. serien, 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, ACF PACF Lag Figur.5 og.6 viser den esimere auokorrelasjonsfunksjonen og den parielle auokorrelasjonsfunksjonen for den daglige/ukenlige avkasningsserien il OBX-indeksen. De horisonale linjene er øvre og nedre 5 % grense for å forkase nullhypoesen om a serien ikke innholder auokorrelasjon. Figurene gir små indikasjoner på a auokorrelasjon er il sede, unna lag og lag 4 for de daglige daaene og lag for de ukenli ge. Suderer vi auokorrelasjonskoeffisienene (abell.6) er de ingen s om oversige r 0, 06 for d en daglig avkasningsserien og 0,4 for den ukenlige, n oe som o gså indik erer lie auokorrelasjon i daaserien. Disse allene sammenlignes med grens ene il konfidensinervallene for å avgjøre ilsedeværelsen av auokorrelasjon alså ±0,0407/±0,08873(dag/uke). Som vis i abell.5 rapporerer vi også Ljung-Box Q-saisikk med ilhørende p-verdier, som indikerer a auokorrelasjon er il sede(pverdi < 0,05). Vi konkluderer med a de fins li auokorrelasjon i avkasningsseriene, noe som vi vil a høyde for noe vi lager modellen senere i oppgaven. Tabell.5: Ljung-Box-abell for daglig og ukenlig avk. serie Daglig Q-abell Ukenlig Q-abell lag Saesikk P-verdi lag Saesikk P-verdi 0 9,0708 0,0394 0,4890 0, ,7676 0,0053 9,353 0, ,68 0, ,3683 0, ,8067 0, ,098 0, ,66 0, ,0533 0, ,3303 0, ,9507 0, ,4738 0, ,84 0, ,3834 0, ,74 0, ,385 0, ,4496 0, ,8609 0, ,333 0,58

26 6 ll Tabell.6 ACF- og PACF-koeffisiener for den ukenlig og daglige avkasningsserien Lag Daglig ACF 0,0559 0,005-0,0337 0,0546-0,003 0,094-0,063-0,09-0,0083 0,09 0,033 0,0038 0,03-0,007 PACF 0,0074-0,0348 0,0586-0,008 0,0038-0,0079-0,0065 0,0493 0,0070 0,006 0,0073-0,004-0,08 0,0074 Ukenlig ACF 0,036 0,344-0,0056 0,0366 0,0069-0,096-0,038-0,046-0,0743 PACF 0,335-0,037 0,096 0,0080 0,00-0,0447 0,0735-0,00 0, Heeroskedasisie De er en vanlig anagelse a finansielle idsserier blir relaiv god approksimer ved randow walk, men de vi ønsker å vise nå er a man bør kanskje sudere andre modeller også. Suderer vi figurene. og. så ser vi indikasjoner på a serien ikke har konsan volailie, og vi bemerker a de viser grad av volailiesklynge. En visuell es er som regel ikke holdbar, hvis de ikke derimo er enorme ulikheer mellom periodene, og vi vil nå gå innpå enkle eser som viser heeroskedasisie i vår obx-avkasningsserien. Bruk av Ljung-Box es på absolu og kvadrer avkasing er en anse es for heeroskedasisie, og er gjengi i de påfølgende figur.7.0 og abell.7 og.8. Figur.7 ACF/PACF på den daglig absolue avkasningsserien., 0,8 ACF PACF 0,6 0,4 0, 0-0, Lag Figur.7 og.8 viser den esimere auokorrelasjonsfunksjonen for avkasningsserien il OBX indeksen i absolu verdier. Vi kan se a auokorrelasjonskoeffisienene for absolu verdiene il avkasningen er mye sørre enn for den rene avkasningsserien. Når vi ser på Ljung-Box Q-saisikken med ilhørende p-verdier (se abell.7) ser vi en klar indikasjon på

27 7 a auokorrelasjon er il sede, og nullhypoesen om ikke auokorrelasjon i den absolue avkasningsserien forkases. Figur.8: ACF/PACF på den ukenlige absolue avkasningsserien., 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, ACF PACF Lag Figuren.9 og.0 viser den esimere auokorrelasjonsfunksjonen for den kvadrere avkasningsserien il OBX indeksen. I abellen.8 har vi gjengi p-verdiene av den gjennomføre Ljung-Box-esen for de kvadrere serien. Vi bemerker her a de er auokorrelasjon i de kvadrere verdiene. Dee gir oss en indikasjon på a vi har beinge heeroskedasisie i vår serie, og må a høyde for dee ved modellering. Figur.9: ACF/PACF på den daglige kvadrere avkasningsserien, 0,8 ACF PACF 0,6 0,4 0, 0-0, Lag I figuren.5-.0 h ar vi fremsil de forskjellige auokorrelasjonsfunksjonene il den rene avkasningsser ien sammen med absolu serien og den kvadrere serien. Vi nevner a uslagene i den ren e avkasningsserien skifer mellom posiive og negaive uslag, mens uslage ne il de absolue og kvadrere seriene er alle posiive.

28 8 Figur.0 ACF/ PAC F på den ukenlige kvadrere avkasningsserien, 0,8 0,6 0,4 ACF PACF 0, 0-0, Lag Tabell.7: Ljung-Box-abell for den daglige og ukenlige absolue avk. serie Daglig Q-abell Ukenlig Q-abell lag Saesikk P-verdi lag Saesikk P-verdi 0 99,45 0, ,4799 0, ,708 0, ,048 0, ,855 0, ,0 0, ,455 0, ,755 0, ,446 0, ,694 0, ,645 0, ,9008 0, ,65 0, ,573 0, ,034 0, ,609 0, ,497 0, ,099 0, ,8006 0, ,6304 0,0000 Tabell.8: Ljung-Box-abell for daglige og ukenlige kvadrere avk. serie Daglig Q-abell Ukenlig Q-abell lag Saesikk P-verdi lag Saesikk P-verdi 0 966,938 0, ,08 0, ,0938 0,0000 6,54 0, ,769 0, ,63 0, ,5599 0, ,684 0, ,4894 0, ,674 0, ,800 0, ,0493 0, ,7446 0, ,646 0, ,6707 0, ,48 0, ,0733 0, ,305 0, ,7488 0, ,040 0, Oppsummering av innledende empiriske resulaer Vi har funne a avkasningsserien har lien auokorrelasjon. Dee er i overenssemmelse med silisere faka (forelesningsnoaer, vår 005) og annen lieraur, hvor de påpekes a de for avkasningsserier er ingen eller lav auokorrelasjon. Vi har dermed en svak form av markedseffesiens. Resulaene vi finner for avkasningsserien i absolu- og kvadrer form er også ypiske. Mens uavhengighe mellom o ilfeldig variabler ilsier a de også er ukorrelere, kan vi ikke si a o variable som er ukorreler også er uavhengige. Unnake er når de o ilfeldig

29 9 variablene er normalfordel. Så selv om vi har funne a avkasningsserien er ilnærme ukorreler og har forvenning null, er ikke serien IID, da vi påviser serk avhengighe i andreordensmomene. For å kunne a hensyn il disse effekene i vår sudie vil vi da renge en ikke-lineær modell og dee vil vi sudere nærmere i nese kapiel. De saiske egenskapene vi har funne her er avhengig av inervalle mellom observasjonene. Vi ser fra alle figurene a auokorrelasjonen synker når man legger il flere lag. De er også mulig å observere forskjellen mellom de daglige og ukenlige observasjonene. Auokorrelasjonen il de daglige daaene er høyere enn for de ukenlige ved a acfkoeffisienene er sørre. Her har vi ikke ese om de er en signifikan forskjell. Vi bare bemerker den.

30 30

31 3 3 Saisiske volailiesmodeller Volailie er en av de vikigse parameerne innenfor finansfage. Volailieen blir gjerne uryk ved variansen σ, eller kanskje hels ved sandardavvike, σ, il de variablene man beraker, og vi vil i dee kapiele beskrive ulike meoder og deres egenskaper for å komme frem il denne parameeren. Volailie uryk på denne måen blir også mye bruk for å beskrive den oale risikoen il finansielle akiva. Den er også som idligere nevn en vikig komponen i den velkjene Black-Scholes modellen for å avlede opsjonspriser. 3. Hisorisk volailie En enkel og velbruk meode for å finne en parameer for volailieen i aksjeavkasningen i en periode, er å beregne de hisoriske sandardavvike for serien i denne perioden. På grunn av sin enkelhe er modellen relaiv populær, men av samme grunn har modellen få kriikk fra flere hold. Vi anar a en serie r av finansielle daa represenerer avkasningsallene for en aksje, og den gjennomsnilige avkasningen for perioden er r. Vi kan da finne e urykk for volailieen på idspunk T for de n foregående dagene ved hjelp av variansen over de sise n dagene, gi ved; ( r r) σ = (3.) T = T = T n n Sandardavvike for avkasningsallene for de n dagene blir dermed σ T = σ T. Ved å beregne såkal n-periodisk volailie σ T ved hver idspunk T i idsserien får vi en idsserie av volailiesesimaer. Volailiesesimaer beregne som slike glidende sandardavvik har radisjonel (Hull, 003) bli benye som prognose på volailieen i en fremidig periode. Vanligvis benyer man de sise n observasjonene som grunnlag for e esima over den eerfølgende perioden av en lengde på n dager.

32 3 I figur 3. og 3. så har vi gi den konsane volailieene i hele perioden sammen med en konsan volailie med -dagers/4ukeres glidende gjennomsni 3. Fra disse figurene så kan vi se a påsanden om konsan volailie virker veldig urealisisk. Her legger vi merke il a volailieen siger mye i idsrom i 4. kvaral 998 og 4 kvaral 00. Den konsane volailieen for hele perioden er beregne il å være 0,4 % ved årlig basis. Figur 3.. Hisorisk daglig konsan volailie Hisorisk volailie(daglige) 0,6 0,5 Konsan dagers volailie Volailie Årlig 0,4 0,3 0, 0, Dao Figur 3.. Hisorisk ukenlig konsan volailie Hisorisk volailie(ukenlig) rlig volailie Å 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 Konsan 4 ukers volailie Dao dagers volailie il de glidende gjennomsni er beregne på følgende måe: ˆ σ x i x j i= j= =

33 Hisorisk volailie med eksponeniell veking Til nå har vi se på en modell for hisorisk volailie som ilordner hver observasjon i uvalge samme vek uanse hvor i uvalge observasjonen er plasser. En slik meode innebærer for eksempel a e avkasningsall for en aksje vil påvirke den esimere volailiesparameeren like mye uavhengig om de er n dager gammel, eller om de er avkasningsalle for foregående dag. For å fange opp dynamikken i idsserien bedre, kan man ilordne observasjonene ulike veker. Hvis vår ønske er å esimere dagens volailiesnivå, vil de være naurlig å gi de sise observasjonene i idsserien en høyere vek enn de førse. En konkre måe å gjøre dee på er å benye eksponeniel vekede glidende gjennomsni (EWMA 4 ). I EWMA modellen gis observasjonene veker som avar eksponeniel med avsanden i id fra esimeringsidspunke. Hvis α i er e urykk for veken og λ er en konsan mellom null og en, har vi mer spesifik gi α i+ = λα i (Hull, 003). Hvis vi for eksempel skal esimere volailieen på bakgrunn av en idsserie med lengde n, og ilordner den ferskese observasjonen en vek mellom null og en, gis de foregående 3 4 n observasjonene eksponeniel avakende vek λ, λ, λ,..., λ. Den førse observasjonen i uvalge får dermed mins vek. Hvis vi ar ugangspunk i en idsserie x, kan en slik esimaor urykkes ved x λx λ... λ x n n n λ i = n n λ + λ + λ λ λ i= 0 x i der 0 p λ p. (3.) I EWMA ilnærmingen gis alså de sise observasjonene i idsserien en høyere vek enn de førse, og har en design som kan sies å spore endringer i volailieen. Jo lavere verdi vekingsparameeren λ har, jo raskere avar påvirkningen. Esimering med en høy λ - verdi produserer volailiesesima som reagerer relaiv sake på ny informasjon om endringer, og observasjoner som ligger lang ilbake i id får sor innvirkning på esimae (Hull, 003). Value a Risk programpakken RiskMerics fra J.P. Morgan bruker EWMA meoden med λ = 0.94 il å oppdaere daglige esimaer for volailie. De virker veldig drøy å bruke en 4 EWMA Exponenial Weighed Moving Average

34 34 meode der λ er gi, siden de kan være naurlig å esimere sørrelsen selv slik a den er ilpasse vår daaserie. I denne undersøkelsen vil vi ikke see lys på dee så vi godar J.P.Morgans esimae, men har dee i bakhode når vi skal rekke våre konklusjoner. Ved bruk av EWMA for lange idsserier benyer man ofe en ilnærming il formelen i likning 3.. Siden nevneren i brøken il vensre i urykke konvergerer mo ( λ) når n, kan man for sore verdier av n i sede for formelen il høyre i (3.) benye formelen: n i= 0 i σ = ( λ) λ x (3.3) i Hvis man benyer denne meoden på en idsserie av avkasningsall for en aksje med gjennomsnilig avkasning r = 0, får vi a x = r i formel (3.3) n i σ = ( λ) λ r i (3.4) i= 0 Denne likningen kan omskrives il de urykke som vanligvis benyes il å beregne vekede hisoriske volailiesparameere (For en uledning refererer vi il Hull, 003). Formelen som benyes er: σ = ( λ) r + λσ (3.5) Vi ser a e esima som beregnes ved iden påvirkes i sørre eller mindre grad av korsikige bevegelser i avkasningsallene avhengig av sørrelsen på koeffisienen ( λ). Denne koeffisienen kalles derfor ofe for reaksjonskoeffisienen. Koeffisienen foran den laggede variansen σ er vekingsparameeren λ. Denne sammenhengen kan den berakes som en vedvarenheskoeffisien, siden sørrelsen på denne påvirker i hvor sor grad e esima er påvirke av de foregående esimaene. I en EWMA modell er de o koeffisienene ikke uavhengige summen av de o vil fakisk allid være lik én (Rakkesad, 003). I en mer generell GARCH-modell skal vi se a uavhengighe kan være ilfelle.

35 Hisorisk volailie og skalering Som nevn ovenfor er de esimeringsmeodene som hiil er omal baser på a man esimerer en konsan volailiesparameer. Slik se kan man si a de hisoriske meodene med og uen veking kun er esimeringsmeoder og ikke e prognoseverkøy, som kan brukes il prediksjon. Hvis man likevel skal lage en prognose baser på en enkel hisorisk esimeringsmeode, må man gjøre en anagelse om a dagens volailiesesima er den bese prognosen på volailieen i fremiden. Dee gjøres vanligvis ved å la dagens esimere verdi for éndags-volailieen, være prognosen for éndags-volailieen for hver av de eerfølgende dagene. Under denne foruseningen kan man på bakgrunn av volailieen over en idshorison på én dag, si noe om volailieen over lengre idshorisoner. Éndags-esimae kan alså skaleres opp il å være esima for en idshorison på for eksempel en uke. Hvordan denne skaleringen gjøres avhenger av hvilke anagelser man har gjor om den idsserien man beraker. Hvis man esimerer volailieen il en idsserie av finansielle daa som anas å være uavhengig og ha idenisk sannsynlighesfordeling (IID 5 ), vil variansen over en idshorison på -dager være ganger variansen over en idshorison på én dag. Usikkerheen angående en fremidig aksjekurs mål ved sandardavvike kan dermed skaleres opp ilsvarende ved å muliplisere éndags-sandardavvike med. Å bruke regelen om skalering med kvadraroen av iden er ekvivalen med anagelsene i den veleablere Black-Scholes modellen for opsjonsprising, om a volailieen er konsan i fremiden. Denne anagelsen vil bli diskuer nærmere senere i oppgaven. I en Black-Scholes modell er volailiesparameeren de annualisere sandardavvike il den underliggende idsserien i modellen. Ved en annualisering, og en anagelse om 50 handledager 6 per år, vil skaleringsfakoren være 50 hvis man skalerer éndags-volailieer og 50 hvis man ar ugangspunk i volailieer over en idshorison på dager. A regelen om skalering med kvadraroen av iden impliserer konsan volailie kan vi se ved å berake følgende urykk: (50 ) ( σ ) = (50σ ) (3.6) Annualiser -dagers volailie er lik annualiser -dags volailie. 5 IID Independen Idenical Disribuion. 6 Empirisk forskning viser a i diskusjonen mellom å bruke kalenderdager versus handledager indikeres de a sisnevne bør brukes (Fama, 965 og French, 980).

36 36 Vi ser alså a en slik skalering impliserer a de ikke spiller noen rolle hvilken idshorison man ar ugangspunk i når man skalerer volailiesesimaene il annualisere verdier, eller med andre ord a volailiessrukuren er konsan over id. Dee er en klar begrensning ved denne ype modeller. Empirisk har man observer a volailieen i finansielle serier har en endens il å hope seg opp innenfor korere idsperioder. De kan derfor argumeneres for å benye beingede volailiesparameere som varierer over id. De mer sofisikere GARCHmodellene esimerer slike beingede parameere. 3. ARMA-modell I dee avsnie vil vi presenere dynamikken og egenskapene il ARMA prosesser. Disse modellene ble inroduser av Box og Jenkins (976), og de ble i denne arikkelen vis a ARMA-modeller fungerer il å modellere ulike idsserier. Innenfor idsrekkemodellering er kanskje denne ype modellering den enklese, og per i dag så blir de se på som e god ugangspunk for videre sudie av de ulike seriene. Vi benyer oss av disse prosessene il å innlemme den auokorrelasjonen som ble påvis i idsserien vår i avsni.3.. Dee er vikig fordi de er ønskelig å lage en modell som skal kunne predikere idsserien.. ARMA er en forkorelse for Auoregressive Moving Average 7. De er som idligere nevn ønskelig å ilpasse en modell der modellen syres av e n hvi søy-prosess. Definisjonen er gi kapiel, men vi gjenar den her: E(y ) = µ (3.7) VAR(y ) = σ (3.8) σ for = r = (3.9) 0 for r γ r 3.. MA-modellen Blan de simplese klassene av idsrekkemodellering er den såkale moving averageprosessen. La oss ana a u, der =,, 3,, er en sekvens med uavhengig, ideniske 7 Her ønsker vi å beholde den engelske erminlogien moving averege selv om man kunne ha kal de glidende gjennomsni. Dee pga av a moving averge er e velkjen begrep for saisikere.

37 37 disribuere(iid) ilfeldig variabler med E(u ) = 0 og VAR(u = σ. Hvis vi bare anar a {u }e r ukorreler, ikke uavhengige, vil {u } være lik en Whie Noise-prosess beskreve i kapiel, der u ~ WN(0, σ ). Hvis vi konsruerer en e veke gjennomsni av u får vi de som defineres som en MA modell: ) y = µ + u + θ L θ u + θ u + + qu (3.0 q ) der µ er gjennomsni il idsrekken. Dee er en q e orden moving average mode, beskreve som MA(q). En MA modell er dermed bare en lineær kombinasjon av hvi søy prosesser, slik a y er avhengig av dagens og de idligere verdiene av den hvie søy prosessens feilledd. Siden våre idsserier er sasjonære så er de vikig a modellen har den samme egenskapen. En MA(q) modellen vil allid være sasjonær på grunn av dens auokorrelasjonsfunksjon vil være forskjellig fra 0 innil lag q, og dereer AR modeller En annen enkel modell i denne klassen er såkale auoregressive(ar) modeller. En auoregressiv modell er a den ønskede verdien av en variable, y, bare er avhengig av verdiene som variabelen hadde i idligere perioder pluss e feilledd, u. En auoregressiv m odell av orden, p, beskreve som AR(p), kan bli uryk på følgende måe. y = µ + φ y + φ y + L + φ p y p + u (3.) der u er en hvi søy feilledd, u ~ WN(0,σ ). Som for MA modellen så er de vikig a modellen er sasjonær. AR prosessen er sasjonær hvis de eksiserer en sekvens av konsaner { } j ψ slik a j y = µ + ψ u j. 0 j= 3..3 ARMA-modeller Ved å kombinere AR(p) og MA(q) modellene, oppnår vi en ARMA(p,q)-modell. En slik modell foreller oss a den akuelle verdien av en serie, y, er lineær avhengig av dens egne