Faktor - en eksamensavis utgitt av ECONnect

Transkript

1 Fakor - en eksamensavis ugi av ECONnec Pensumsammendrag: FIN3005 Makrofinans Forfaer: Marin Frøland E-pos: [email protected] Skreve: Høsen 009 Anall sider: 41

2 FIN Pensumsammendrag Om ECONnec: ECONnec er en frivillig sudenorganisasjon for sudenene på samfunnsøkonomi- og finansøkonomisudie ved NTNU. Vi arbeider for øk faglig kompeanse blan våre sudener sam eere konak med næringslive. De gjør vi ved å arrangere fagdager, gjeseforelesninger, bedrifspresenasjoner m.m. I dag går de ca. 00 sudener på bachelornivå (1.-3. klasse og ca. 70 sudener på masernivå (4.-5. klasse. Sudenene på masernivå er fordel på de o linjene samfunnsøkonomi (ca. 50 sk og finansiell økonomi (ca. 0 sk. Mer om ECONnec og akuelle arrangemener på ECONnec besår av følgende personer ved ugivelsesidspunk: Bjørn Berghol (Leder Sophie S. Srømman (Bedrifsansvarlig Maiken Weidle (Fagdagsansvarlig Joakim Bjørkhaug (Økonomi- og IT-ansvarlig Elise Caspersen Tiril Tofedahl Louis Dieffenhaler Andreas H. Jung Mari Benedike Ellingsen Herman Wesrum Thorsen [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] Pos- og besøksadresse: Organisasjonsnummer: Hjemmeside: ECONnec, NTNU Dragvoll NO Insiu for samfunnsøkonomi Bygg 7, Nivå Trondheim Merk: Alle pensumsammendrag og ekser som ugis av Fakor er skreve av og for sudener. ECONnec sår ikke ansvarlig for selve faginnholde. Spørsmål om eksen kan rees il eksforfaeren. 1 Organisasjon: ECONnec NTNU Hjemmeside:

3 FIN 3005 Makrofinans Senrale problemsillinger: - Hvordan fassees priser på finansielle akiva? - Er prisene korreke? - Hvordan kan vi gjenkjenne bobler eller feilprising? DEL 1 Grunnmodell for prisseing i Relaiv prising parielle likeveksmodeller ii Absolu prising generelle likeveksmodeller Senrale realøkonomiske variable påvirker prising -periode modell, en grunnleggende prisingsformel Anar invesorer som lever i o perioder, og +1. De inveserer i periode, og kjøper ε anall av de finansielle akivume. Anar videre a akivume gir ubealing lik prisen i periode +1 og ubye/dividende, slik; x +1 = P +1 + d +1 Anar så a invesorene har en eksogen arbeidsinnek i de o periodene gi ved e og e +1, slik a vi kan fremsille budsjebeingelsene for de o periodene som følger; c = e P ε c +1 = e +1 + x +1 ε Anar a invesorene er risikoavers, med konkav periodenye, og definerer en forvenningsoperaor, E. Fremsiller da invesorenes preferanser som følger: U(c,c +1 = u(c + β u(c +1 [ ], der 0 < β < 1 beegner idspreferanser Invesorenes maksimeringsproblem er nå å finne hvor mange enheer av de finansielle akivume de skal invesere i. Maemaisk blir dee som følger: maxu(e P ε + β u(e +1 + x +1 ε ε FOB: [ ] u '(c P + β [ x +1 u'(c +1 ] = 0 Kan skrive om denne il en sandard marginalbeingelse, som sier a nyeap i periode av å øke inveseringene må være lik forvene neddiskoner nyegevins i periode +1. i u '(c P = β [ x +1 u '(c +1 ] Kan videre omformulere urykke il følgende; ii P = β u '(c +1 u '(c x +1 NB! Vi kan gjøre dee siden vi anar a konsumprobleme er løs og dermed er u(c konsaner. Definerer så m +1 = β u '(c +1 som den sokasiske diskoneringsfakoren (SDF. Denne u '(c ransformerer fremidig payoff il en pris idag ved å fange opp uålmodighe og risikoaversjon. Denne kan vi beregne når konsume i begge periodene og nyefunksjonen er kjen. FOB en vil da se slik u: iii P = m +1 x +1 [ ] En mer generell modell Anagelser for denne modellen er bl.a. uendelig idshorison og flere finansielle akiva. 1/41

4 Budsjebeingelsen invesorene sår ovenfor her ser u som følger: W +1 = (1+ R (W + Y C, der W formue Y innek C konsum Her er R definer som gjennomsnilig avkasning på invesorens inveseringer; R = w r + (1 w z, der w andel inveser i obligasjoner r risikofri rene z sokasisk avkasning på aksjer Maksimeringsprobleme i dee ilfelle blir som følger: maxu C,C +1 C,w ( = u( C + βeu( C +1 ( ( W + Y C gi a: W = 1+ R +1 R = w r + ( 1 w z og a man i sluperioden konsumerer al man har slik a C +1 = W +1 FOB: u i = u '( C + βe u' ( C +1 C +1 C C = 0 ii u = u' ( C + βe u' ( C +1 W +1 C C = 0 u = u' ( C βe C ( 1+ R u'( C +1 = 0 u = βe u '( C +1 C +1 w w = 0 u = βe u' C +1 w ( W +1 w = 0 u = βe u' ( C +1 ( W + Y C R w w = 0 u = βe w u' ( C +1 ( W + Y C ( r z = 0 FOB forenkles il: i u'(c = β (1+ R u'(c +1 [ ] konsumbesluningen [ ] = 0 poreføljebesluningen ii (r z u'(c +1 Tolkninger av førseordensbeingelsene: i Dersom sparingen øker, dvs. a (Y C øker, så viser vensre side av beingelsen nyeape som følge av reduser konsum, og høyre side viser forvene neddiskoner nyegevins som følge av mer avkasning i periode +1. ii Siden den risikofri rena er konsan, kan vi skrive om denne beingelsen il følgende: r u'(c +1 [ ] = [ z u'(c +1 ] Vensre side viser forvene nyegevins av å øke andelen obligasjoner, mens høyre side viser forvene nyegevins av å øke andelen aksjer i poreføljen. Siden avkasningen på aksjer er usikker er også konsumnivåe i periode +1 usikker. Benyer følgende regel: /41

5 cov(x, y = E(x y E(x E(y E(x y = E(x E(y + cov(x, y Skriver om beingelsen igjen il følgende: r [ u'(c +1 ] = (z u'(c +1 [ (z r ] u'(c +1 [ ] + cov[ z,u '(c +1 ] [ ] = cov[ z,u'(c +1 ] [ (z r ] = cov [ z,u'(c +1 ] [ u'(c +1 ] Dee urykke refereres il som CCAPM (den konsumbasere kapialverdimodellen. Vi ve a risikopremien (forvene meravkasning på aksjer er posiiv. Dvs. a kovariansen mellom aksjeavkasning og marginalnye av konsum i periode +1 er negaiv. Dee kommer av a dersom avkasningen øker, kan man oppnå høyere konsum i den sene perioden og da reduseres marginalnyen. Vi kan videre se på dee som a invesorene krever en risikopremie for å invesere i usikre akiva, og a dersom e verdipapir er posiiv korreler med konsume og dermed negaiv korreler med marginalnyen (siden u''(c < 0. Da vil dee verdipapire ha en posiiv risikopremie uover den risikofri rena. Vi har nå se o meoder for konsumbaser verdseing via prisen direke i o-periode modellen, og ved å sudere avkasningen i CCAPM. Skal nå se a disse o er ekvivalene. Husker da a vi i -periode modellen fan følgende: [ ], hvor m +1 = β u '(C +1 p = m +1 x +1 u '(C Videre har vi a avkasningen på verdipapire er gi som: r x = p +1 + d +1 p p = x +1 p 1 x +1 = p (1 + r x Ved å unye dee urykke i førseordensbeingelsen ovenfor kan vi skrive om denne som følger: p = m +1 p (1+ r x p = p m +1 (1+ r x 1 = β u'(c +1 u '(C (1+ r u'(c 1 = β +1 u'(c (1+ r x x u '(C = β u'(c +1 (1+ r x I CCAPM kan vi skrive om førseordensbeingelsene (konsum- og poreføljebesluningene ved å unye a R = w r + (1 w z som følger. Tar ugangspunk i beingelsene: [ ] (4 [ ] = 0 (5 u'(c = β (1+ R u'(c +1 (r z u'(c +1 Skriver så om (4 il følgende: 3/41

6 u '(c = β [(1+ w r + (1 w z u'(c +1 ] u '(c = β [(1+ z + w (r z u'(c +1 ] u '(c = β [(1+ z u '(c +1 ] + β [ w (r z u'(c +1 ] u '(c = β [(1+ z u '(c +1 ] + β w [(r z u'(c +1 ] [ ] = 0, kan vi forkore dee il: u'(c = β [(1+ z u'(c +1 ] (6 Siden vi fra (5 ser a (r z u '(c +1 Kan så skrive om (5 som følger: r [ u'(c +1 ] = [ z u'(c +1 ] Unyer så a (6 kan skrives om il: 1 β u'(c = z u'(c +1 [ ] + [ u'(c +1 ] [ z u'(c +1 ] = 1 β u'(c [ u'(c +1 ] og kan da skrive om urykke fra (5 il: [ ] = 1 β u'(c [ u '(c +1 ] r u'(c +1 u'(c = β u'(c +1 [ ] + r [ u'(c +1 ] [ ] (7 u'(c = β(1+ r u'(c +1 Kombinerer nå (6 og (7 ved å dele gjennom med u'(c og see lik. Får da følgende: 1 = β (1 + z u'(c +1 u'(c = β(1+ r u'(c +1 u'(c 1 = (1+ z β u'(c +1 u'(c = (1 + r β u'(c +1 u'(c 1 = [(1+ z m +1 ] = [(1 + r m +1 ] (8 Inuisjonen: Avkasningen på akiva x (her: aksjemarkede og de risikofrie alernaive må alle oppfylle samme førseordensbeingelse i likevek. I e finansmarked hvor alle akiva kan handles fri må alle akiva oppfylle denne beingelsen. De blir alle prise ved hjelp av SDF (den Sokasiske DiskoneringsFakoren. Mer srukur: To vanlige foruseninger. For å komme lenger med modellen og førseordensbeingelsene vi har funne så lang må de legges mer srukur på modellen. De o vanligse foruseningene er å ana en besem form på nyefunksjonen (CRRA og pålegge spesiell fordeling på konsumveksen. Nyefunksjonen: en mye bruk nyefunksjon i makro og finans er den følgende formen; u(c = C1 γ 1, hvor γ gir e mål på risikoaversjonen. 1 γ Ifølge Arrow-Pra er e mål på relaiv risikoaversjon gi som C u '', og med denne u ' nyefunksjonen finner vi a u ' = C γ og u'' = γ C 1 γ, slik a den relaive risikoaversjonen er 4/41

7 gi som konsanen C u'' 1 γ γ C = C = γ. Denne nyefunksjonen gir også en konsan u' C γ ineremporær subsiusjonselasisie, lik den inverse av risikoaversjonskoeffisienen, dvs. lik 1 / γ. Konsumfordelingen: en vanlig anakelse rund konsume er å ana a fremidig konsumnivå er normalfordel, som er ekvivalen med å ana a konsumveksen er lognormalfordel. To vikige resulaer fra saisikk som rengs for å behandle denne anakelsen: For en normalfordel sokasisk variabel X gjelder: Ee X = e E[ X]+ 1 var( X For en lognormalfordel sokasisk variabel X gjelder: ln E X [ ] = E ln( X ( + 1 var ln X Klassiske resulaer i finans: Vi skal nå se hvordan den grunnleggende prisformelen (ligning (7 kan brukes il å illusrere mange klassiske resulaer i finans. Den risikofrie rena: Anar nå a vi har CRRA (consan relaive risk aversion nye og a fremidig konsum er normalfordel. Da kan vi skrive om (7 som følger: u'(c = β(1+ r u'(c +1 [ ] c γ γ = β(1 + r c +1 γ c 1 = β(1 + r +1 c Tar så den naurlige logarimen il dee urykke og får: γ c ln1 = ln β + ln(1 + r + ln +1 c Her har vi a c +1 c er konsumveksen (+1, og med anakelsen om a denne er lognormalfordel kan vi benye følgende regel: ln E( X = E ln( X + 1 var ln ( X Skriver da om urykke ovenfor il: 0 = lnβ + ln(1+ r + ln c γ +1 c + 1 var ln c γ +1 c Har så videre a ln c +1 vi videre får: c ln(1+ r = ln β 1 var γδ lnc +1 γ = γ ( ln c +1 ln c = γδ ln c, hvor Δ lnc er konsumveksen, slik a [ ] E[ γδ lnc +1 ] ln(1+ r = ln β 1 γ var[ Δ ln c +1 ] + γ E[ Δ ln c +1 ] (9 U ifra (9 her kan vi idenifisere flere effeker: 5/41

8 o Realrena er høy hvis folk er uålmodige, dvs. hvis β er lav. o Realrena er høy når gjennomsnilig konsumveks er høy, siden høy rene gjør de lønnsom å spare idag, slik a konsume vris mo fremiden. Merk a dersom ineremporær subsiusjonselasisie er lav (dvs. om γ er høy, er realrena mer sensiiv il konsumveksen. Dersom konsumenene er lie villige il å subsiuere konsum over id ved reneendringer må disse endringene være sore for a de skal holde seg il en besem konsumbane. o Realrena er lav dersom variasjonen i konsumveksen er høy. Dee reflekerer forsikighesmoiver sparing. Folk (gi denne nyefunksjonen responderer på øk usikkerhe ved å øke sparingen, slik a rena drives ned. Merk a dee moive er serkere jo mer risikoavers konsumenene er. E puzzle her er a med CRRA nye syrer parameeren γ både ineremporær (movilje mo konsum som varierer over id og risikoaversjon (movilje mo konsum som varierer mellom realisere ilsander. Dee er en veldig serk link, som gir problemer med daa. Korreksjon for risiko: I den prisbasere modellen fan vi a p = m +1 x +1 cov( m, x = E( m x E( m E( x, og skriver om urykke il følgende: ( E( x +1 + cov( m +1, x +1 [ ]. Benyer så regelen p = E m +1 Har så videre a en risikofri plassering kan fremsilles som: 1 = ( 1 + r E( m +1 Dee er kun urykke for den prisbasere modellen der prisen er sa lik 1 og payoff sa lik 1 (1+r. Når vi skriver om dee il E( m +1 =, kan vi kombinere dee med urykke ( 1+ r ovenfor og får da: ( ( (10 p = E x +1 ( 1+ r + cov m +1, x +1 Dee urykke viser nå hvordan prisen på e verdipapir besemmes: Førse ledd er nåverdien av de forvenede fremidige konansrømmer. Dee ville ha vær prisen på verdipapire i en risikonøyral verden. Andre ledd represenerer risikojusering. De foreller a e verdipapir har høyere pris, jo høyere kovariansen er mellom akivumes payoff og SDF. Merk a de er kun sysemaisk risiko som kompenseres i kapialmarkede og som fremkommer av denne kovariansen. Usysemaisk risiko blir ikke kompenser da denne kan diversifiseres bor. Dersom vi har e akivum med cov(m, x=0 så beyr dee a akivume kan ha sor usikkerhe il avkasningen uen a dee gir noen risikopremie. Dee kommer da av a denne risikoen er usysemaisk og dermed kan diversifiseres bor. En annen måe å si dee på er a invesorene bryr seg om volailieen i konsume, ikke om volailieen i de enkele akivume. Vi kan le se analogien il CCAPM ved å subsiuere inn for m i (10: p = E ( x +1 ( 1 + r + cov β u '(c +1 u'(c, x +1 ( ( + β cov ( u'(c, x u'(c p = E x r 6/41

9 Avkasningsformulering: Husk a prisingsformelen (8 gjelder for ehver akivum som kan handles fri. Selv om forvene avkasning kan variere over id, så er forvene neddiskoner avkasning allid den samme, nemlig 1. La oss se på e vilkårlig akiva i: 1 = E m(1+ r i = E[ m]e (1 + r i + cov m,(1+ r i 1, og skriver om urykke ovenfor il: ( 1 + r 1 = E m(1+ r i = 1 1+ r E (1+ ri + cov m,(1+ r i Unyer så begrunnelsen for (10, a E( m +1 = 1+ r = E (1+ r i + (1+ rcov m,(1+ r i E (1+ r i (1+ r = (1+ rcov m,(1+ r i E(r i r = (1+ rcov m,(1+ r i E(r i r = cov m,(1+ ri E(m cov β u'(c +1 u'(c E(r i r =,(1+ ri E β u '(c +1 u'(c β u'(c E(r i r = cov u'(c +1,(1+ r i β u'(c E u'(c +1 ( E(r i r = cov u'(c +1,(1+ r i E u'(c +1 ( Av dee urykke ser vi a alle akiva har forvene avkasning lik den risikofri rena pluss risikojusering. Akiva hvis forvene avkasning har posiiv kovarians med konsume (og dermed negaiv kovarians med marginalnyen av konsume bidrar il en mer volail konsumbane, og må derfor gi en risikopremie for a invesorene skal ville holde dem. Akiva med negaiv kovarians kan ha lavere forvene avkasning enn den risikofrie rena og folk vil likevel invesere i dem (enk: forsikring. Risikopremien i aksjemarkede: Anar forsa CRRA nye og lognormalfordel konsumveks. Har da a risikofri rene er gi ved (9 som følger: ln(1+ r = ln β 1 γ var Δ ln c +1 (11 [ ] + γ E[ Δ ln c +1 ] (1 Tilsvarende urykk kan vi finne for aksjeavkasningen og risikopremien. Tar ugangspunk i ligning (6 og unyer foruseningene nevn ovenfor, og skriver om som følger: u'(c = β (1+ z u'(c +1 [ ] 7/41

10 c γ γ = β (1+ z c +1 1 = β (1+ z c +1 c γ ln1 = lnβ + ln (1+ z c +1 c γ Unyer igjen regelen om a ln E[ X] = E[ ln(x ] = lnβ + ln (1+ z 0 = lnβ + ln(1+ z c +1 c γ [ ] γ ln c var ln (1+ z + 1 γ var ln c +1 c γ cov ln(1+ z, c +1 c ln(1+ z [ ] = ln β + γ ( Δ ln(c +1 c var[ ln(x ], og skriver om urykke il: c +1 c + 1 var ln(1+ z [ ] [ ] + γ var ( Δ ln(c +1 γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] 1 var (13 ln(1 + z Trekker nå ifra urykke for den risikofri rena (1 fra (13 og finner risikopremien: [ ] ln(1 + r = 1 var [ ln(1 + z ] + γ cov[ ln(1 + z, Δ ln(c +1 ] ln(1 + z Dee urykke kan forenkles yerligere ved å unye a [ ] = [ ln(1 + z ] + 1 var [ ln(1+ z ], slik a vi kan skrive: ln (1 + z [ ] ln(1+ r = γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] (14 ln (1 + z Risikopremien gi ved (14 viser her a risikopremien er lik risikoaversjonen (γ, kan olkes som en pris på risiko mulipliser med mengden risiko (her represener ved kovariansen mellom avkasning og konsumveks. Inuisjon: Ligningene (1 og (14 gir oss en dypere forsåelse av sammenhengen mellom renenivå og avkasning i aksjemarkede enn de den vanlige kapialverdimodellen gjør. La oss forea en enkel omskriving ved å benye regelen; cov(x, y = corr(x, y sd(x sd(y slik a (14 kan skrives som følger: ln[ (1 + z ] = ln(1 + r + γ corr[ ln(1 + z,δ ln(c +1 ] Var [ ln(1 + z ] Var Δ ln(c +1 [ ] Av dee urykke ser vi følgende: o Risikofri rene og avkasning i aksjemarkede beveger seg i ak for gi konsumvolailie og varians i aksjemarkede. Dvs. hvis risikofri rene reduseres, så vil forvene aksjeavkasning reduseres og dermed øker dagens aksjepriser. o Makronyheer kan ha flere virkninger. F.eks. kan en nyhe som medfører øk konsumvolailie (dvs. a Var [ Δ ln(c +1 ] øker forårsake redusere rener (risikofri rene γ 8/41

11 reduseres når denne øker. Se (1. Når de risikofrie renene reduseres har dee i nese omgang o effeker: Direke effek ved a forvene aksjeavkasning reduseres, og dermed øker dagens aksjekurser. Risikopremien øker, dvs. a dagens aksjekurser rekkes ned. Er lave rener bra for aksjemarkede? o Den radisjonelle kapialverdimodellen indikerer dee (pga høyere meravkasning. o Denne modellen anyder a dee kommer an på grunnen il de lave renene. Dersom disse skyldes øk usikkerhe kan de være a usikkerheen i seg selv dominerer effeken av de lave renene. Bearepresenasjon: I finans er de en lang radisjon for å urykke risikojusering ved hjelp av bea-koeffisiener. Dee kan vi gjøre også her ved å omskrive avkasningsformuleringen i uledelsen av (11 som følger: E(r i r = cov m,(1 + ri E(m E(r i = r cov m,(1 + ri E(m E(r i = r + cov m,(1+ ri var(m var(m E(m E(r i = r + β i,m λ m Denne formuleringen sier a forvene avkasning på akivum i er proporsjonal med des beakoeffisien. Koeffisienen λ m er lik for alle akiva og blir gjerne omal som prisen på risiko og avhenger av volailieen il SDF. DEL Grunnmodellen konfroneres med daa, Puzzles, alernaive modeller Ved å konfronere grunnmodellen vi har ulede med daa (se Campbell Kap. 13, finner vi a mye forklares god med modellen, men a noe ikke semmer like god. Dee refereres il som såkale puzzles. Noen silisere faka fra Campbells daa: o Aksjemarkedene i den veslige verden har i gjennomsni lever en gjennomgående høy avkasning, bedre enn 4,5% p.a. for landene i uvalge. o Sandardavvike il den gjennomsnilige avkasningen varierer mellom 15% og 7%. o Den risikofrie rena (mål ved avkasningen på sasserifikaer ligger sjelden over 3% p.a., men de er verd å merke a denne rena ikke allid har vær hel risikofri. o Ifølge Barro har vi vær vine il en risikopremie i aksjemarkede på rund 7%. o Konsumveksen ser u il å ha vær sabil, med e sandardavvik på kun 1%-,5%. o Korrelasjonen mellom aksjeavkasning og konsumveks varierer mellom land. Dee reflekerer muligens den ulike beydningen aksjemarkede har for økonomisk uvikling mellom veslige land. The risk free ineres rae puzzle: Inuisjon: Høy meravkasning i aksjemarkede kan forklares med høy risikoaversjon (γ. CRRA-nye innebærer imidlerid a vi da får lav ineremporær subsiusjonselasisie, dvs. a folk generel har lien vilje il å flye konsum over id. Fra daa finner vi a risikoaversjonen er høy og a dee forklarer meravkasningen, men a konsumveksen er sabil. Dee semmer med inuisjonen om a risikoaverse invesorer krever høy meravkasning (risikopremie fra aksjer og 9/41

12 a de ønsker sabilie i konsume over id. Probleme er a vi observerer konsumveks, og a dee kan forklares med høy idspreferanserae, β, som innebærer a man veklegger fremidig konsum serkere enn dagens konsum. Dee bryer med foruseningene for modellen og med hva som er konsensus rund nyefunksjonen (nemlig a 0 < β < 1. I modellen med CRRA-nye og lognormalfordel konsumveks fan vi følgende urykk for den risikofri rena: ln(1+ r = ln β 1 γ var Δ ln c +1 [ ] + γ E[ Δ ln c +1 ] Gi den verdien på γ som kreves for å forklare risikopremien i aksjemarkede kan vi finne den verdien på β som macher daaene. I de flese ilfellene fra Campbells daa finner vi a β > 1, noe som innebærer a idspreferanseraer som er svær nær null eller il og med negaive. Dee er lie plausibel, og derfor er dee e såkal puzzle. The equiy premium puzzle: La oss se nærmere på urykke for risikopremien i ligning (14: ln[ (1 + z ] ln(1+ r = γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] Ved å løse dee urykke for γ, kan vi finne e urykk for relaiv risikoaversjon forklar av modellen: γ = ln [ E (1+ z ] ln(1 + r cov ln(1+ z, Δ ln(c +1 [ ] Daaene il Campbell viser a for alle landene i uvalge ligger disse verdiene for den relaive risikoaversjonen fra 10 og oppover. Ifølge de flese økonomer er 10 e absolu maksimum på relaiv risikoaversjon. Dee probleme er referer il som he equiy premium puzzle. Noen forsøk på løsninger av puzzles: Separering av risikoaversjon og ineremporær subsiusjon: En problemaisk egenskap ved CRRA nyefunksjonen er den ee linken mellom riskoaversjon og den ineremporære subsiusjonselasisieen. Epsein-Zin preferanser beholder mange av de arakive egenskapene men bryer dee ee forholde. Lar nå γ forsa beegne den relaive risikoaversjonen, men lar ψ beegne den represenaive akørs ineremporære subsiusjonselasisie. Denne nyefunksjonen kan preseneres slik: θ 1 γ 1 1 γ θ θ U = (1 βc + β U +1 Anar her a θ ( 1 γ 1 1, slik a dersom γ = 1 kan denne nyefunksjonen reduseres il CRRA ψ ψ nyefunksjonen. Resulaer fra denne nyeformuleringen er: o Høy risikoaversjon renger ikke lenger bey høy rene (eller negaiv idspreferanserae, dvs. δ 0 β 1. Her renger nå ikke ψ være lien selv om γ er sor. Dee kan da forklare konsumveksen uen negaiv idspreferanserae. Probleme blir nå a de empiriske verdiene for den ineremporære subsiusjonselasisieen, ψ, er lave. Vanedanning: 10/41

13 Eksempel på dee kan være a c = 100 gir høyere nye dersom c 1 = 80 enn dersom c 1 = 90. Dee kommer av a man legger sine idligere nyenivåer il grunne når man vurderer kommende nye. Inuisjonen bak dee er a man kan forklare konsumveksen med vanedanning isede for høy diskoneringsfakor, β. De kan videre vises a de oppsår e problem ved a vanedanning vil forårsake sore svingninger i realrena, og dee er svingninger som ikke observeres i daa. Kore daaserier: Selv om vi for enkele markeder har daaserier som srekker seg over mer enn 100 år, er forsa den saisiske usikkerheen il esimere serier sor. Overlevelsesskjevhe og kaasroferisiko: Vi bruker daa fra markeder som har overlevd og voks i løpe av de forrige århundre. Hva med markeder som ikke har klar seg. Vil inkludering av disse endre daasee vår? Ved å overse risikoen for kaasrofale begivenheer (finanskriser, depresjoner, verdenskriger, masseødeleggelsesvåpen, jordskjelv, sunamier, aseroidekollisjon, svaredauden, fugleinfluensa ec, så overser vi poensiel en sor risikokilde, og dermed overesimerer vi meravkasningen il aksjeinveseringer. Dee inkluderes i modellen baser på Lucas (1978 asse-pricing model. Lucas-modellen : Anar her en byeøkonomi, dvs. hvor produksjonen i hver periode er eksogen og ikke kan lagres. Beegner så produksjonen i periode med A. Med en lukke økonomi beyr dee i likevek a all produksjon går il konsum, slik a også konsume er eksogen. Dermed kan vi benye Euler-ligningene (dvs. førseordensbeingelsene for opimal konsum il å verdsee akiva som en funksjon av eksogen konsum. Anar så a vi kan velge mellom o akiva i enhver periode: - Aksjemarkede gir krav på produksjonen. Bruoavkasning her er gi ved R 1 e = A +1 P 1. - Risikofri alernaiv med bruoavkasning lik R 1 f. Definerer her ρ som en subjekiv diskoneringsrae, og formulerer nyefunksjonen slik: C 1 θ U = e ρi +i 1 1 θ, der vi har a e ρi ugjør de vi idligere kale β, og i=0 brøken med konsumparameeren er lik den vi hadde da vi definere CRRA-nye. Vi ve så videre a for alle akiva som kan handles i periode gjelder Euler-ligningen: u'(c = e ρ e u'(c +1 R 1 Ved å unye CRRA-nye (dvs. a u'(c = C θ og a vi har en lukke byeøkonomi (dvs. a C = A, kan vi skrive om Euler-ligningen il e urykk med produksjon: A θ = e ρ A θ e +1 R 1 A θ = e ρ A θ +1 A +1 P P A θ = e ρ 1 θ A +1 P = e ρ A θ 1 θ A +1 (15 11/41

14 Ligning (15 her gir e urykk for aksjeprisen i periode som funksjon av produksjon idag og forvene produksjon i nese periode. Vi renger nå en produkfunksjon, og anar a denne kan represeneres som følger: A +1 = A e γ e u +1 ev +1 (16 Her har vi a produksjonen avhenger av produksjonen i perioden før, en rendveks i produksjonen sam noen sokasiske sjokk. Nærmere spesifiser har vi a: γ - parameer for konsan rendveks (. u +1 - hvi søy (eks. Konjunkursvingninger. Anar a denne er N 0,σ v +1 - kaasrofeparameer. Påvirkningskraf på produksjonen av evenuelle kaasrofehendelser. Anar a denne har følgende egenskaper: v +1 = 0 ssh e p ln(1 b ssh (1-e p Dee innebærer a dersom p = 0 e p = 1 p e p 0 Og a dersom en kaasrofe skulle innreffe, så reduseres produksjonen med en fakor b. Sammenlign sise ledde i (16 med og uen kaasrofeinnreffelse: A +1 = A e γ e u +1 (1 b vs A = A +1 eγ e u +1 Ta nå den naurlige logarimen il produkfunksjonen (16: ln A +1 = ln A + γ + u +1 + v +1 Δ ln A +1 = γ + u +1 + v +1 (17 E esima på b, baser på empiri, er 0,4. De er imidlerid en veldig lien sannsynlighe for a noe innreffer slik a produksjonen reduseres med hele 40%. Derfor velger vi i førse omgang å se på en benchmark siuasjon uen kaasroferisiko. Dvs. a vi kuer bor de sise ledde i ligning (17. Benchmark: ingen kaasroferisiko: Benyer da en lien forenkling av produkfunksjonen (16, og seer denne inn i prisligningen for aksjeavkasning gi ved ligning (15. Dvs. A +1 = A e γ +u +1 inn i P = e ρ A θ 1 θ A +1 ( 1 θ P = e ρ A θ A e γ +u +1 P = e ρ A e (γ +u +1 (1 θ P = e γ (1 θ ρ A e u +1 (1 θ Dersom en uavhengig variabel, X, er normalfordel, så er: E e X Unyer så a u +1 N 0,σ ( = e E X (, slik a vi kan skrive om urykke il: P = e γ (1 θ ρ A e E ( u +1 (1 θ + 1 var ( u +1 (1 θ P = e γ (1 θ ρ A e E ( u +1 E( 1 θ+ 1 (1 θ var( u +1 1 P = e γ (1 θ ρ A e (1 θ σ ( + 1 var X P = A e γ (1 θ ρ+ 1 (1 θ σ (18 (. 1/41

15 Ligning (18 gir her e endelig urykk for prisen i aksjemarkede idag som funksjon av idspreferanserae, risikoaversjon, konjunkurrisiko (gi ved variansen il parameeren u, σ og av dagens produksjonsnivå. [ ] = E A e γ +u +1 Siden vi har a E A +1 = A e γ e E(u var(u +1 = A e γ + 1 σ, kan avkasningen i aksjemarkede nå represeneres ved følgende urykk: [ ] e E R = E A +1 A = e γ + 1 σ = e P A e γ (1 θ ρ+ 1 (1 θ σ Tar nå den naurlige logarimen il bruoavkasningen og får e penere urykk: e ln E R γ + 1 σ γ (1 θ ρ+ 1 (1 θ σ = e ρ+γθ 1 θ σ +θσ ( = ρ + γθ 1 θ σ + θσ (19 Dee minner mye om CCAPM gi ved (13. Husk a denne var gi som: ln(1+ z [ ] = ln β + γ ( Δ ln(c +1 [ ] + γ var ( Δ ln(c +1 γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] 1 var ln(1 + z Vi kan nå sammenligne ved å se følgende linker: ln β ρ ( γθ ( θ σ [ ] θσ γ Δ ln(c +1 γ var Δ ln(c +1 γ cov ln(1 + z, Δ ln(c +1 Vi kan ikke finne igjen ledde 1 var [ ln(1+ z ] i (19, men dee kommer kun av en e omskrivning. Merk ln E R ( vs ln(1+ z [ ]. Ved å skrive CCAPM på samme form finner vi a [ ln(1+ z ] = ln[ (1+ z ] 1 var [ ln(1+ z ], og dermed faller dee ledde bor. Slik modellen vår er gi i (19 er den pålag mer srukur enn sandardmodellen. Ser nå på den risikofri rena med denne ilnærmingen. Tar da ugangspunk i Euler-ligningen: u '(C = e ρ R f u '(C +1 [ ] Unyer så de samme foruseningene om produkfunksjonen, byeøkonomi og CRRA-nye: A θ = e ρ R f θ A +1 ( ( θ A θ = e ρ R f A θ e γ +u +1 A θ = e ρ R f A θ e θγ e θu +1 1 = e ρ R f e θγ e E ( θu θ σ 1 = e ρ R f e θγ e E ( θu θ σ 1 = R f e ρ θγ + 1 θ σ f R = e ρ+θγ 1 θ σ Tar så den naurlige logarimen il dee urykke og får da: 13/41

16 f ln R = ρ + θγ 1 θ σ Dee ligner også på urykke fra CCAPM gi i ligning (1 som: ln(1+ r = ln β 1 γ var Δ ln c +1 Har her følgende linker: lnβ ρ [ ] θ σ [ ] θγ γ var Δ lnc +1 γ E Δ ln c +1 [ ] + γ E[ Δ ln c +1 ] Konklusjoner vi foreløpig kan rekke er a Lucas spesifiserer resen av økonomien (f.eks. med produkfunksjon, men urykkene semmer likevel overens med CCAPM. Konsumveks er lik produksjonsveksen. Risikopremien i denne modellen er nå gi som: e e p = ln ( R ln R f = θσ Husk a denne i CCAPM er gi ved (14 som: ln[ (1 + z ] ln(1+ r = γ cov[ ln(1+ z, Δ ln(c +1 ] Dee er også ekvivalen, hvilke beyr a vi kommer frem il samme resula selv med mer e e e srukur pålag modellen. Merk også a: ln R = ln 1+ r r Konfronasjon med daa (ref. Tabell 5 i Barro s arikkel: Daaene il Barro anyder følgende parameerverdier: θ = 4 ρ = 0,03 σ = 0,0 γ = 0,05 Dee innbærer følgende resulaer fra modellen: e ln ( R = 0,184 = 1,84% f ln R = 0,168 = 1,68% e p = 0,16% Disse daaene anyder en svær lien risikopremie, sam en mege høy risikofri rene. Dee semmer ikke overens med observere daa, og gir dermed forsa e equiy premium puzzle. Inkluderer kaasroferisiko: Har a produksjonen er gi ved urykke i (16: A +1 = A e γ e u +1 ev +1 Aksjeprisen er gi ved (15 som: P = e ρ A θ 1 θ A +1 Aksjeavkasningen er da forsa definer ved: [ ] e E R = E A +1 P Anar forsa følgende egenskaper ved parameerne: u +1 N 0,σ ( ( = 0 cov u +1,v +1 14/41

17 0 m/ssh e-p dvs e v +1 v +1 = = e0 = 1 ln(1 b m/ssh (1-e -p dvs e v +1 = eln(1 b = 1 b Gi disse egenskapene, kan vi a forvenningsverdien il fremidig produksjon: [ A +1 ] = A e γ e u +1 ev +1 [ ] = A e γ e u +1 ev +1 [ ] = A e γ e u +1 A +1 A +1 e v +1 [ A +1 ] = A e γ e E ( u var ( u +1 1 [ ] = A e γ e A +1 σ e p + 1 e p e p e 0 + ( 1 e p 1 b ( 1 b ( ( 1 θ For å komme frem il urykke for aksjeprisen må vi finne e urykk for A +1. A 1 θ +1 = A 1 θ e ( 1 θγ e ( 1 θu +1 e ( 1 θv +1 1 θ ( 1 θ A +1 = A e ( 1 θγ e ( 1 θ σ e p + 1 e p Seer så inn dee i urykke for aksjepris: P = e ρ A θ ( 1 θ A e 1 θ ( γ e θ ( σ e p + 1 e p ( 1 b ( 1 b ( 1 b ( ( 1 θ ( ( 1 θ ρ+ 1 θ P = A e ( γ + 1 ( 1 θ σ e p + 1 e p ( ( 1 θ (1 Ser her a forskjellen, som kommer av kaasroferisiko, fra (18 er de sise ledde. Hva gjør dee med aksjeprisen? Dee kommer an på sørrelsen av risikoaversjonskoeffisienen, θ : o Siden parenesen er e veid sni av 1 og 1 b (, så kan vi se a: ( 1 θ ( 1 θ Hvis θ > 1 så er 1 b > 1 og aksjeprisen øker som følge av inkludering av kaasroferisiko. Hvis derimo θ < 1 så er ( 1 b < 1 og aksjeprisen reduseres. To effeker på aksjeprisene: i Invesorene vrir poreføljesammensening mo de risikofrie alernaive. Dvs. a eerspørselen eer aksjer reduseres og prisene går ned. ii Øk sparing som følge av øk usikkerhe vil bidra il øk eerspørsel eer aksjer slik a prisene øker. Tier så på forvene avkasning på aksjer: [ ] e E R = E A +1 = P 1 A e γ e σ e p + 1 e p ( 1 b ρ+ 1 θ A e ( γ + 1 ( 1 θ σ e p + 1 e p e E R = e γ + 1 σ + ρ ( 1 θγ 1 ( 1 θ σ e p + 1 e p e p + 1 e p e E R = e ρ+θγ +θσ 1 θ σ e p + 1 e p e p + 1 e p ( ( 1 b ( 1 b ( 1 b ( ( 1 b ( ( 1 b 1 θ ( ( ( 1 θ ( ( 1 θ (0 ( ( Forskjellen i forvene bruoavkasning som følge av a vi inkluderer kaasroferisiko er gi ved de sise ledde (brøken i ligning (. 15/41

18 ( 1 θ (, dvs. a kaasroferisiko reduserer forvene avkasning. Gi a θ > 1, så vil 1 b ( > 1 b Merk a logarimen il bruoavkasning er ilnærme lik neo avkasning, slik a vi kan skrive: e ln E R = ln e ρ+θγ +θσ 1 θ σ e p + 1 e p ( ( 1 b e p + ( 1 e p ( 1 b ( 1 θ ( 1 b ( ( 1 b ( ( 1 θ e ln E R = ρ + θγ + θσ 1 θ σ + ln e p + 1 e p ln e p + 1 e p Kan så benye en førseordens Taylor-approksimasjon for de o sise leddene her, slik a vi får e penere urykk for neo avkasning: 1. ordens Taylor-approksimasjon for en generell funksjon g(p rund g(0 er gi ved g(0 + g (0p I dee ilfelle har vi da a: g(p = ln e p + 1 e p g(0 = ln e e 0 Og dermed a: ( 1 b ( 1 b g'(p = e p + e p 1 b e p + 1 e p ( ( 1 θ ( ( 1 θ ( ( 1 θ ( ( 1 b g'(0 = e0 + e 0 1 b e e 0 ( ( 1 θ ( = 1 b ( 1 b Ved å benye disse approksimasjonene kan vi skrive om urykke ovenfor il: ( 1 θ e ln E R = ρ + θγ + θσ 1 θ σ bp 1 b ( 1 p [ ] = 0 = ln 1+ 0 ( ( 1 θ 1 Kan dermed skrive approksimasjonen av de o sise leddene i urykke ovenfor som hhv: ln e p + ( 1 e p ( 1 b bp og ln e p + ( 1 e p ( 1 b ( 1 θ 0 + ( 1 b ( 1 θ 1 p ( θ 1 e ln E R = ρ + θγ + θσ 1 θ σ p(1 b 1 b (3 Ser så på obligasjonsavkasningen for å få e mål på den risikofri rena: Anar dermed implisi a de ikke eksiserer noen risiko for defaul, dvs. a skriveren av obligasjonene ikke bealer for seg. Tar ugangspunk i Euler-ligningen: A θ = e ρ R f θ A +1 θ Finner så e urykk for A +1 på følgende måe: A θ +1 = A θ e θγ e θu +1 e θv +1 ( 1 b θ A +1 = A θ e θγ + 1 θ σ e p + 1 e p Seer så inn dee i Euler ligningen: ( θ 16/41

19 A θ = e ρ R f A θ e θγ + 1 θ σ A θ = R f A θ e ρ θγ + 1 θ σ e p + ( 1 e p 1 b ( θ e p + ( 1 e p 1 b ( 1 b ( θ ( θ f R = e ρ+θγ 1 θ σ e p + 1 e p Tar så logarimen il denne risikofri bruoavkasningen, og får da risikofri neo avkasning: ln R f = ρ + θγ 1 θ σ ln e p + 1 e p 1 ( 1 b ( θ Benyer så en førseordens Taylor approksimasjon også her: ln R f ( θ 1 = ρ + θγ 1 θ σ p 1 b Kan her se a (gi a θ > 1 den risikofrie rena også er reduser som følge av inkluderingen av kaasroferisiko. Kan også se a denne reduseres mer enn aksjeavkasningen gjorde. Vi har også her o effeker: i Vridning i poreføljesammenseningen fra aksjer mo obligasjoner. Dee innebærer øk eerspørsel eer obligasjoner, som gir øke priser og dermed reduser avkasning. ii Øk sparing (som følge av øk usikkerhe gir generel øk eerspørsel eer sparealernaiver (både aksjer og obligasjoner. Dee gir øke priser og reduserer avkasningen. Vi kan nå se a risikopremien øker. Denne er gi ved differansen mellom (3 og (4: Risikopremie = θσ + pb ( 1 b θ 1 Kalibrering av modellen: Fra Barro har vi følgende parameerverdier: θ = 4 γ = 0,05 σ = 0,0 p = 0,017 ρ = 0,03 b = 0, 4 Parameerverdien b=0,4 innebærer a ved en kaasrofe vil BNP reduseres med 40%. Gi disse parameerverdiene har vi følgende: Forvene aksjeavkasning: 5,99% Risikofri rene: 1,6% Forvene risikopremie: 4,73% Denne modellen kan forklare he equiy premium puzzle. (4 Behavioral Finance Dee er en fellesbeegnelse på eori som forsøker å forklare finansielle fenomener hvor akørene ikke er full u rasjonelle. De forskes mye på område som er en del av de sørre emae behavioral economics. Område baserer seg på o grunnpilarer, grenser for arbirasje og psykologi. Ikke-rasjonalie og arbirasje: En av de vikigse prediksjonene fra finanseori med rasjonelle akører er a priser i finansmarkedene reflekerer fundamenale forhold: Markedene er effisiene. Argumene hviler på a priser som avviker 17/41

20 fra sin fundamenalverdi vil bli korriger ved arbirasje fra rasjonelle invesorer. Dee argumene hviler igjen på o anagelser: o Så for de er e avvik fra fundamenale forhold (dvs. vi har feilprising så skapes en arakiv inveseringsmulighe. o Rasjonelle invesorer vil rask unye muligheen, og dermed korrigeres feilprisingen. Behavioral finance argumenerer for a førse del av denne logikken er feil. Feilprising skaper ikke nødvendigvis en arakiv inveseringsmulighe fordi den kan være risikofyl og de kan være kosbar å unye feilprisingen. Dermed åpner man for muligheen a vi kan ha sore og langvarige avvik fra fundamenale priser. Vi skal nå se nærmere på en modell som ar hensyn il o yper invesorer; o Rasjonelle invesorer som søker å unye arbirasjemuligheer. o Såkale Noise raders som opererer uavhengig av fundamenale sørrelser. Dee dreier seg f.eks. om invesorer som blind baserer sine inveseringer på medieomale, råd fra meglere ec. I slike ilfeller sår de rasjonelle invesorene ovenfor en Noise rader risiko i illegg il den fundamenale risikoen. Denne nye risikoen kan være a en feilprising som forsøkes unye av de rasjonelle invesorene blir forverre på kor sik som følge av noise rader akivie. De er derfor vikig å merke seg a rasjonelle invesorer av denne grunn ikke allid vil ønske å unye seg av arbirasjemuligheer selv om de ser a de er il sede. Noise-rader modell (Schleifer; Inefficien markes, kap. : Grunnlage for modellen: o Hva om vi har begrense arbirasjeakivie? o Hva om noen invesorer er irrasjonelle og opererer i flokk? Senrale foruseninger: o Rasjonelle akører har risikoaversjon og kor inveseringshorison. Dee ser u il å være en rimelig forusening siden: De er begrensninger på shor-salg. Fondsforvalere evalueres og avlønnes baser på kore perioder. Begrense informasjon mellom invesorer og forvalere. o Noise-raders har feil oppfaning om fremidig pris. Denne feiloppfaningen varierer over id. Lar ρ være feiloppfaningen i periode om prisen i periode +1, ρ = Eρ +1. Anar a feiloppfaningen er normalfordel, ρ N ( ρ*,σ ρ. Fenomene noise raders virker også rimelig siden: Dee kan forklare bobler. De eksiserer mye kvasi-informasjon (meglerråd, finanspressen ec. Psykologiske mekanismer. Vi normaliserer befolkningen il 1, og definerer andelen noise raders som µ. Formulerer modellene som en overlappende generasjonsmodell, der; o Alle lever i o perioder, men de kommer nye generasjoner il eersom gamle dør. o Periode 1: som unge inveserer invesorene sin iniialformue. o Periode : som gamle konsumerer de sin sluformue. To akiva som gir samme sikre dividende, r: o Sikker akivum: Fullsendig elasisk ilbud (uendelig ilbud. Pris = 1. o Risikabel akivum: Fullsendig uelasisk ilbud (1 enhe. Ukjen pris. Eerspørsel eer de usikre akivume er λ R I fra hver rasjonell akør og λ fra hver irrasjonell akør (noise rader. Begge yper har CARA-nye (consan absolue risk aversion, definer over sluformue, x: U(x = e γ x 18/41

21 U '' Den absolue risikoaversjonen er her represener ved = 4γ e γ x = γ. U ' γ e γ x Anar også a usikkerheen er normalfordel, dvs. a vi kan a forvenningsverdien il nyefunksjonen og få: [ ] = Ee γ x = e E U(x 1 γ E(x+ [ ] 4γ var(x = e γ E(x γ var(x Ser da a å maksimere forvene nye er ekvivalen med å maksimere E(x γ var(x. Rasjonelle invesorer: Sluformue: R x +1 = ( W λ R P (1+ r + λ R ( P +1 + r Her er W eksogen iniialformue, den førse parenesen er andelen av formuen som inveseres i obligasjoner og jener en bruoavkasning (1+r. De sise ledde er andelen inveser i aksjer mulipliser med den payoff som aksjer gir. Tar så forvenningsverdien il dee urykke: R x +1 = ( W λ R P (1 + r + λ R ( [ P +1 ] + r Fremidig aksjepriser er de enese usikre i dee urykke, slik a variansen er gi ved: ( Var [ P +1 ] R R Var x +1 = λ Seer vi disse urykkene inn i maksimeringsprobleme får vi: R R max E R x +1 λ ( γ var ( x +1 FOB: max λ R ( W λ R P (1 + r + λ R P +1 P (1 + r + P +1 λ R = P +1 R ( [ ] + r γ ( λ Var [ P +1 ] ( [ ] + r γλ R Var [ P +1 ] = 0 [ ] + r P (1+ r γ Var [ P +1 ] Telleren her gir differansen mellom forvene ubealing fra aksjer og fremidig ubealing fra obligasjoner (dvs. elleren urykker forvene meravkasning av å invesere i aksjer. Nevneren ugjør risikoaversjon mulipliser med usikkerheen il fremidig aksjeprisen. Noise raders: I x +1 = W λ I I ( P (1+ r + λ ( P +1 + r I x +1 = W λ I I I ( P (1+ r + λ ( [ P +1 ] + r I x +1 = W λ I I ( P (1+ r + λ ( E R [ P +1 ] + ρ + r Løsningen på dee maksimeringsprobleme er analog med denne for de rasjonelle invesorene. Anar også a samlige invesorer beregner variansen på samme måe. λ I λ I = I [ P +1 ] + r P (1 + r γ Var [ P +1 ] [ ] + ρ + r P (1+ r γ Var [ P +1 ] = E R P +1 19/41

22 ρ I λ = λ R + γ Var [ P +1 ] Dersom dee sise ledde er posiiv (negaiv har vi a noise-raderne er bullish (bearish og inveserer mer (mindre i aksjer enn de rasjonelle invesorene. Markedslikevek: Vi anar e eksogen, normaliser ilbud av aksjer, slik a µλ I + (1 µλ R = 1. Seer så inn urykke vi fan for noise raderne: ρ µ λ R + + (1 µλ γ Var [ P +1 ] R = 1 µρ λ R + γ Var P +1 [ ] = 1 Seer så inn urykke vi fan for de rasjonelle invesorene: E R P +1 = 1 [ ] + r + µρ P (1 + r γ Var [ P +1 ] [ ] + r + µρ P (1 + r = γ Var [ P +1 ] E R P +1 Løser urykke for likeveksprisen: P = 1 1+ r E R [ P +1 ] + r + µρ γ Var [ P +1 ] Dee urykke kan fremså noe vanskelig å olke, fordi de innebærer a dagens pris avhenger av forvene fremidig pris, samidig som forvene fremidig pris avhenger av dagens pris. Fokuserer derfor på sasjonære likeveker, og anar a den ubeingede fordelingen il fremidig pris er lik fordelingen il dagens pris, dvs: ( ( E E R P +1 = E R P Tar så forvenningsverdien av likeveksløsningen: ( = 1 E R P 1+ r E R P Løser så dee urykke mhp E R r E R r 1+ r E R P P ( + r + µρ * γ Var [ P +1 ] ( : P ( = 1 ( = 1 [ ] 1 + r r + µρ * γ Var P +1 [ ] 1+ r r + µρ * γ Var P +1 [ ] E R ( P = 1 r r + µρ * γ Var P +1 Usikkerheen ved aksjeprisen er knye il noise radernes feiloppfaning (husk; var( ρ = σ ρ. Kan da a fra likeveksurykke a var( P = ( 1+ r σ ρ, og anar videre a var P +1 Unyer dee og skriver om urykke ovenfor: E R ( P = 1 γµ r + µρ * r ( 1+ r σ ρ Seer så disse funnene inn i urykke for likeveksprisen: µ ( = var P (. 0/41

23 P = 1 1+ r P = 1 1+ r P = r P = r 1 γµ r + µρ * r ( 1 + r σ ρ + r + µρ γµ 1+ r µρ * 1+ r + + µρ γµ r r( 1 + r σ ρ γµ 1 + r P = 1 γµ r 1 + r µρ * r µρ * r ( σ ρ P = 1 γµ ( σ ρ ( r 1+ r P = 1+ µ ρ ρ * 1+ r γµ + µρ r 1+ r + µρ γµ (1+ r r 1+ r ( + γµ r r( 1 + r ( σ ρ + µρ 1+ r + µρ * r(1+ r + µρ 1+ r + µρ * r + µρ * r µρ * (1+ r γµ r( 1+ r σ ρ ( σ ρ ( σ ρ σ ρ Tolkning av dee endelige urykke: o Ser a dersom vi ikke har noen noise raders (dvs. dersom µ = 0, så vil aksjeprisen være lik 1 (dvs. lik fundamenalverdien, slik a de sikre og de usikre alernaive har lik fremidig ubealing. o Dersom vi har noise radere: Den førse brøken i urykke gir urykk for hvordan feiloppfaningen skifer over id. Om denne er; Posiiv, så er noise raderne bullish if gjennomsnie. Negaiv, så er noise raderne bearish if gjennomsnie. Den andre brøken i urykke fanger opp gjennomsnilig feiloppfaning, dvs. om denne er posiiv (negaiv viser de a noise raderne i gjennomsni over id er bullish (bearish, og dee bidrar il å øke (redusere aksjeprisene. De sise ledde i urykke fanger opp invesorenes krav il kompensasjon som følge av noise rader risiko. Noise radere gjør markede mer risikabel for rasjonelle invesorer. De reflekerer også a en høyere risikoaversjon vil dempe dagens aksjepriser som følge av høyere krav il avkasning. I en økonomi med noise raders blir akiva uen fundamenalrisiko usikre som en følge av a man ikke ve hva NT vil ro og forvene i fremiden. E vikig spørsmål som dukker opp, er naurligvis hvorvid prisen er høyere eller lavere enn uen NT? Relaiv avkasning for de o ypene invesorer: Kan irrasjonelle akører overleve i markede over id, dersom de konsan feiloppfaer forvenningene? Har a avkasningen il de o invesor-ypene er gi ved: 1/41

24 A I I I r + P = ( W P λ r + P λ +1 P A R R R r + P = ( W P λ r + P λ +1 P P Kan så skrive den relaive meravkasningen for NT som: A I A R = λ I R ( λ P r + λ I R λ E urykk for λ I λ R ( ( r + P +1 P A I A R = λ I R ( λ ( r + P +1 (1+ rp ( har vi allerede funne under invesorenes ilpasning: ρ λ I λ R = γ Var [ P +1 ] = (1 + r ρ γµ σ ρ Tar så den beingede forvenningen på idspunk av meravkasningen ovenfor: A I R A = λ I R ( λ E R ( r + P +1 (1+ rp A I R A = λ I R λ Tar så ugangspunk i likeveksprisen for å finne e urykk for den sise parenesen av dee urykke: P = 1 1+ r E R [ P +1 ] + r + µρ γ Var [ P +1 ] P (1 + r = R P +1 r + R P +1 P ( ( r + E R [ P +1 ] (1+ rp [ ] + r + µρ γ Var [ P +1 ] [ ] P (1+ r = γ Var [ P +1 ] µρ [ ] P (1+ r = γµ σ ρ r + E R P +1 (1+ r µρ Seer nå dee urykke inn i urykke for forvene meravkasning: γµ A I R A = λ I R ( λ σ ρ (1+ r µρ Seer så inn urykke for forskjellen i poreføljevalg: A I R A = (1+ r ρ γµ σ ρ γµ σ ρ (1+ r µρ A I R A = ρ (1+ r ρ γµσ ρ Kan nå omgjøre dee il den ubeingede forvenningen, dvs. hvilken meravkasning NT vil oppnå over de rasjonelle akørene i gjennomsni over id: E A I A R = ρ * (1+ r ρ * γµσ ρ ( + (1+ r σ ρ Ser av dee urykke a den sise delen vil allid være posiiv, slik a for a NT skal oppnå meravkasning over id i forhold il de rasjonelle invesorene, vil e minimumskrav være a ρ *> 0. Vi kan imidlerid se a denne gjennomsnilige feiloppfaningen ikke kan være for sor, fordi da vil de andre ledde dominere, og meravkasningen være negaiv. En nærmere olkning av urykke: /41

25 o Førse ledde, ρ *, foreller oss a jo mer bullish NT er i gjennomsni, jo høyere meravkasning vil de oppnå fordi de vil invesere mer i aksjer i forhold il d rasjonelle invesorene. o Andre ledde: (, foreller a NT s gjennomsnilige Hold-more effeken, gi ved (1+ r ρ * opimisme driver prisen opp, slik a avkasningen reduseres. Friedman effeken, gi ved (1+ r σ ρ, sier a NT kjøper mye når andre kjøper mye. Denne øke eerspørselen, som følge av feiloppfaningen, presser prisene videre opp og dermed avkasningen ned. creae space effeken, gi ved γµσ ρ, reflekerer a når NT-risikoen øker blir de rasjonelle invesorene mindre villige il å gå imo NT, dvs. de søker i mindre grad å unye feilprisinger (og arbirasjemuligheer i fryk for a NT skal forverre siuasjonen yerligere. Denne moviljen øker også med de rasjonelle invesorenes risikoaversjon. Kan denne modellen forklare he equiy premium puzzle? Ja, den kan de dersom E R [ P ] < 1, fordi: o Vi har i dee ilfelle ingen kursgevinser over id, dvs. a kapialgevinser og ap vil nulle u hverandre i gjennomsni. o Aksjene gir fas ubealing/dividende, r. o Gjennomsnilig avkasning vil da være gi ved; r E R [ P ] > r når E R P [ ] < 1 Forvene aksjepris Tar ugangspunk i den eksake aksjeprisen vi har funne idligere: P = 1+ µ ( ρ ρ * + µρ * γµ 1+ r r r( 1+ r σ ρ Tar så den rasjonelle forvenningen av dee: E R ( P = 1+ µρ * γµ r r( 1+ r σ ρ Ser da a den forvenede aksjeprisen er den fundamenale verdien, pluss e illegg for den gjennomsnilige feiloppfaningen, minus e urykk for risikokompensasjon som følge av NTrisiko. Dersom denne kompensasjonen overgår den gjennomsnilige feiloppfaningen, så har vi a E R [ P ] < 1. Ser alså a modellen kan forklare EPP dersom ρ * forsa er posiiv (krav for a NT skal holde seg i markede men ikke for høy. DEL 3 Uvidelse av grunnmodellen - Teoreiske svakheer: o Langsikige invesorer o Arbeidsinnek korreler med avkasningen i finansielle akiva o Inveseringer over livsløpe Poreføljevalg og myopiske ( nærsyne løsninger Økonomer har radisjonel baser sine analyser på forvennings-varians modellen, som ble uvikle allerede på 60-alle. Den vikigse konklusjonen fra denne modelleringen er a alle rasjonelle invesorer holder den samme poreføljen av risikable akiva (dvs. markedsporeføljen av aksjer og obligasjoner. 3/41

26 Dee er referer il som Tobins muual-fund eorem. I praksis gis de imidlerid ikke allid råd som er i råd med denne analysen. Mulige forklaringer kan være: o Finansbransjen søker å referdiggjøre ege levebrød. F.eks. hvordan kan de a høye gebyrer for å forvale en porefølje som i gjennomsni preserer dårligere enn markedsporeføljen? o De kan også være legiime grunner il a invesorer velger andre poreføljer enn markedsporeføljen av usikre akiva. F.eks. i forbindelse med: Skaeregler Inveseringshorison Ulik risiko i arbeidsinnek (Humankapial er e såkal non-radeable asse o E ypisk råd er a unge invesorer bør a mer risiko enn eldre. o E anne ypisk råd er a konservaive invesorer anbefales å holde mer obligasjoner if aksjer enn mer agressive invesorer (se abell 1.1 fra Campbell/Viceira. Disse anbefalingene er konsisene med forvennings-varians modelleringen i den forsand a mer konservaive invesorer skal holde mer cash, men er inkonsisen i form av a sammenseningen av de risikable akiva (obligasjoner og aksjer skal være konsan, fordi alle skal holde den samme markedsporeføljen. En mer aggressiv invesor skal bevege seg oppover kapialmarkedslinjen (CML ved å invesere mer i markedsporeføljen og evenuel låne cash. Grunnmodellen vi har se på med konsumbaser verdseing gir e god grunnlag for å se på når opimale poreføljer avviker fra prediksjonene vi finner gjennom forvenning-varians modelleringen. F.eks. kan vi se a inveseringshorison og arbeidsinnek kan ha innvirkning: o En lengre inveseringshorison kan gi e anne relevan mål på risiko. Selv konaner gir risiko på lang sik, som følge av inflasjon Empiri anyder a aksjemarkede i noen grad kan predikeres på lang sik I enkele land kan man handle med realreneobligasjoner som dermed gir lavere risiko da inflasjonen ikke får innvirkning. Eksempel på dee er a Norge forsøke å låne NOK fra andre land il oljeuvinning på 70-alle, men fikk avslag. USA har lån vanviige summer USD fra andre land, og dee skaper en friselse il å rykke penger for å beale ilbake. Probleme blir øk inflasjon, som gir dårligere realavkasning for de som låne bor penger. o Arbeidsinnek sammer fra humankapial. Humankapial kan berakes som e ikkeomsebar akivum som gir en usikker dividende (lik arbeidsinneken. Kan dee ha innvirkning på hvordan poreføljen av risikable akiva skal sees sammen? Tradisjonell ilnærming (dvs. forvennings-varians modellen når er den gyldig? De er ilfeller med en mer generell ilnærming hvor resulaene fra radisjonell analyse er gyldige. I disse ilfellene er inveseringshorisonen uen beydning, og boka refererer da il disse poreføljevalgene som myopiske. Foreløpig ser vi også bor fra andre innekskilder enn finansinneker, i likhe med den radisjonelle eorien. Korsikig poreføljevalg: Ana her a invesorene har en horison over en periode, og a R +1 her gir neoavkasning fra periode il +1. Ser så førs på en forvenning/varians analyse av dee. Ana da førs a vi kun har o ilgjengelige akiva, e risikofri med avkasning R f, +1 sam e [ ], med beinge varians σ. A disse er risikabel med beinge forvene avkasning R +1 beinge innebærer a forvene avkasning og varians i periode +1 bygger på ilgjengelig informasjon i periode. 4/41

27 Se nå på invesorens poreføljeavkasning, R P, +1, og la α være andelen av poreføljen som er inveser i de usikre akivume. Vi har da a: R P, +1 = R f, +1 + α R +1 R f, +1 ( ( = R f, +1 + α ( R +1 R f, +1 R P, +1 Variansen il poreføljeavkasningen er da gi ved: σ P, = var R f, +1 + α ( ( R +1 R f, +1 = var α ( R +1 = α σ Anar så a invesoren ønsker å maksimere følgende funksjon: max R P, +1 α ( 1 kσ P, Kan olke k som e mål på risikoaversjonen. Seer så inn urykkene for forvene poreføljeavkasning og poreføljevariansen, og maksimerer så probleme: max R f, +1 + α R +1 α ( R f, +1 1 kα σ FOB: ( R +1 R f, +1 k α σ = 0 Løser så dee for andelen som inveseres i risikabel akiva, α : ( R f, +1 α = R +1 ligning (3 i noaene kσ Kan skrive om dee i form av Sharpe-brøken for poreføljen: ( R f, +1 α = S der hvor S = R +1 kσ σ Hvordan olker vi ligning (3? o Jo sørre meravkasning man kan oppnå av de risikable akivume, jo mer vil man invesere i dee. o Jo mer risikoavers invesor er (dvs. høyere k er, jo mindre vil man plassere i de risikable akivume. o Jo mer risikabel de risikable akivume er (dvs. jo høyere variansen il dee er, jo mindre vil man plassere i de risikable akivume. Hva om de risikofrie akivume ikke er risikofri, men bærer lav risiko? Da vil vi ha følgende urykk for forvene poreføljeavkasning og poreføljevariansen: R P, +1 ( + ( 1 α R 0, +1 ( = α R +1 = var α ( R α ( ( σ P, ( R 0, +1 = α σ + ( 1 α σ 0, + α ( 1 α σ R0,R Maksimering av de samme urykke som ved e risikofri alernaiv gir oss nå følgende: max α R +1 α ( + ( 1 α ( R 0, +1 1 kα σ + ( 1 α σ 0, + α ( 1 α σ R0,R FOB: ( R +1 ( R 0, +1 k α σ ( 1 α σ 0, + ( 1 α σ R0,R = 0 5/41

28 ( R +1 ( R 0, +1 + k σ 0, ( ( R 0, +1 + k σ 0, α = R +1 α = R +1 k σ + σ 0, σ R0,R σ R0,R k σ ( + σ 0, σ R0,R ( ( R 0, +1 ( + σ 0, ( ( R 0, +1 ( σ R0,R = k α σ + σ 0, σ R0,R σ + σ 0, σ R0,R σ R0,R α = R +1 + σ 0, σ R0,R ligning (4 i noaene kσ R+1 R 0,+1 σ R+1 R 0,+1 I dee ilfelle ser vi a α besår av o deler. Den førse delen er den samme som ved e risikofri akivum, mens de andre ledde viser hvordan opimal allokering endres med risikoen il obligasjonene. La oss se hva som skjer hvis risikoen il obligasjonene går mo 0: 0 σ R0,R 0 σ 0, σ R+1 R 0,+1 = σ + σ 0, α ( R +1 R f, +1 kσ σ R0,R σ Tenk også på følgende sammenhenger: Dersom σ R0,R < 0, så vil oal risiko reduseres, og man vil ønske å plassere en sørre andel i de mes risikable akivume for å oppnå meravkasning (dvs. a α blir høyere. Dersom σ R0,R > 0, så vil oal risiko øke pga a begge akivaene vil samvariere ved sysemaiske svingninger, og man vil plassere mer i lavrisiko-akivume (dvs. α blir lavere. Hva om vi har mange usikre og e risikofri akiva? o Generaliserin av ligning (3, men hvor andelen inveser i risikable akiva, α, er en vekor av meravkasninger mulipliser med inverse av de usikre akivaenes varians/kovariansmarise. o Grafisk vil denne løsningen se u som den radisjonelle løsningen (gi ved figur 1.1 i boka, og de som vil skille invesorene fra hverandre er hvor mye som inveseres risikofri. Dee besemmes av risikoaversjonen, k. Nye definer over slukonsum: Ser nå på invesorer hvis nye blir besem over slukonsum, dvs. den formuen de sier med i periode når vi anar a de vil konsumere al de har før de dør. Å definere nyen over slukonsum eller sluformue er ekvivalen her siden dee er en saisk modell. Dee innebærer a probleme deres blir å maksimere U ( W +1 under beingelsen a W +1 = ( 1+ R P, +1 W. Tre former på nyefunksjonen som gir resulaer konsisene med forvenning/varians analyser: o Kvadraisk nye: U ( W +1 = aw +1 bw +1 Nyemaksimering vil her være ekvivalen med å maksimere en lineær kombinasjon med forvenning og varians som var de vi gjorde idligere. Vi renger da ingen foruseninger om avkasningsfordeling, men vi må se på hva som skjer med risikoaversjonen når formuen endres: 6/41

29 Vi ve a målene på absolu risikoaversjon (ARA og relaiv risikoaversjon (RRA er gi ved hhv: ARA = U '' og RRA = U '' W U ' U ' Med denne nyefunksjonen får vi da a: b ARA = og RRA = bw a bw a bw Ser da a den relaive risikoaversjonen er sigende i formuen. Dee er derfor en urimelig nyefunksjon (se s. 4 i boka. o Eksponeniell nye: U ( W +1 = e θw +1 Foruseer her også normalfordel avkasning. I dee ilfelle har vi følgende: ARA = θ og RRA = θw Kan da se a den absolue risikoaversjonen er konsan, men a den relaive risikoaversjonen siger med formuen. Dee er forsa en urimelig egenskap. o Se så på CRRA-nye: U ( W +1 = W 1 γ γ Kombinerer dee med forusening om lognormalfordel avkasning. Dee er som i grunnmodellen vår, og viser seg å være nyig når vi diskuerer poreføljevalg. Her har vi konsan relaiv risikoaversjon, som viser seg å være rimelig if daa. En ufordring er å konverere avkasning på individuelle akiva il avkasningen på poreføljen. Vi skal imidlerid bruke denne formen på nyefunksjonen videre. Husk på følgende regneregel: log X +1 = log X var log X +1 x σ x, der vi har definer log X = x Korsikig porefølje med CRRA-nye og lognormalfordel avkasning: Ved å ana a avkasningen på invesors porefølje er lognormalfordel kan vi rekke konklusjonen a sluformuen også er lognormalfordel, siden denne er gi som: W +1 = 1 + R P, +1 ( W Skal så omskrive CRRA-nyefunksjonen slik a den passer log-rammeverke bedre. Merk i den forbindelse o ing: o Å maksimere nyen er de samme som å maksimere logarimen il nyen. o Vi kan overse skaleringsfakoren (1 γ 1 i nyefunksjonen fordi dee er en konsan som ikke påvirker løsningen vi kommer frem il. Egenskapen il lognormalfordele variable gir oss følgende urykk for logarimen il forvene nye (når vi har uelukke skaleringsfakoren: log W 1 γ +1 = logw 1 γ var logw 1 γ +1 = ( 1 γ logw var ( 1 γ logw +1 = ( 1 γ w ( 1 γ σ w, Kan også skrive budsjebeingelsen på log-form: logw +1 = log 1+ R P, +1 ( + logw 7/41

30 w +1 = r P, +1 + w der r P, +1 = log( 1 + R P, +1 R P, +1 Nå har vi følgende maksimeringsproblem: max ( 1 γ w ( 1 γ σ w, Dee er ekvivalen med: max w ( 1 γ σ w, Kan så unye følgende: w +1 = r P, +1 + w = r P, +1 + w siden w er en konsan som ikke påvirker maksimeringsprobleme, så kan vi ignorere denne videre. σ w, = var [ w +1 ] = var r P, +1 + w = var r P, +1 = σ P, Plugger dee inn i maksimeringsurykke og sier da igjen med: max ( r P, ( 1 γ σ P, Dee kan igjen omskrives som følger: max ( r P, σ P, γ σ P, max log ( 1+ R P, +1 γ σ P, ligning (6 i noaene Har her en analogi il radisjonell forvenning/varians analyse, hvor relevan forvene avkasning er den arimeiske forvenede avkasningen, mens relevan varians er variansen il log avkasning. Koeffisienen γ spiller her samme rolle som k gjorde idligere. o Merk spesialilfelle der γ =1, dvs. hvor vi har log nye. Da ønsker invesoren å maksimere forvene log avkasning. Hvis γ >1 søker invesoren en sikrere porefølje, mens hvis γ <1 søker invesoren en mer usikker porefølje (fordi man da kan oppnå en høyere forvene arimeisk avkasning. For å komme videre i denne analysen må vi relaere log poreføljeavkasning il log avkasning på underliggende akiva. Ana da a vi igjen har e sikker og e usikker akiva, slik a poreføljeavkasningen da er gi som: R P, +1 = R f, +1 + α R +1 R f, +1 Log poreføljeavkasning er da log av denne lineære kombinasjonen (ikke de samme som en lineær kombinasjon av logarimer!. Vi kan imidlerid benye en Taylor-approksimasjon for å relaere log poreføljeavkasning il log avkasning på de underliggende akivaene. Resulae av dee er som følger: r P, +1 r f, +1 = α r +1 r f, α ( 1 α σ Merk a de sise ledde i denne approksimasjonen viser forskjellen fra å bare bye u avkasningene med log avkasninger, og a dee ledde forsvinner dersom α er 0 eller 1, dvs. dersom hele poreføljen besår av kun risikabel akiva eller kun av risikofri. Denne ilnærmingen kan også generaliseres for ilfeller med mange akiva. Unyer videre følgende: 8/41

31 r P, +1 = r f, +1 + α r +1 r f, α σ P, = α σ ( 1 α σ Vi kan dermed skrive invesorenes objekfunksjon og løse denne som følger: max ( r P, ( 1 γ σ P, FOB: max r f, +1 + α r +1 r f, +1 α + 1 α ( 1 α σ + 1 ( 1 γ α E r +1 r f, ( 1 α σ + ( 1 γ α σ = 0 E r +1 r f, σ α σ ( 1 γ σ = 0 E r +1 r f, σ = α γσ E r +1 r f, α = σ γσ Merk her likheen il forvenning/varians resulae. Telleren i dee urykke er log meravkasning på de usikre akivae, pluss en halv ganger variansen for å konverere fra log il sandard avkasning (siden de il syvende og sis er de invesor bryr seg om. Da ser vi a urykke er veldig lik de vi fan idligere. Myopisk langsikig poreføljevalg: Ser nå på konsekvensene av a invesorene har en lang inveseringshorison. Anar førs a de er sluformuen om K perioder som beyr noe, dvs. a invesoren har nyen U = U ( W + K. Anar forsa CRRA-nye, og definerer bruoavkasningen som ( 1 + R pk, + K, slik a sluformuen er gi ved; W + K = ( 1+ R pk, + K W W + K = ( 1+ R p, +1 ( 1+ R p, +...( 1+ R p, + K W Log avkasning er dermed per definisjon; log 1+ R pk, + K ( = r pk, + K = r p, +1 + r p, r p, + K Ana nå a invesoren ikke kan rebalansere poreføljen i løpe av inveseringshorisonen. Invesoren må dermed evaluere avkasningen over K perioder på samme måe som en korsikig invesor. Videre foruseer vi følgende: - Avkasningen er uavhengig og idenisk over id (IID, slik a; o Log risikofri rene er konsan, og risikofri avkasning over K perioder er Kr f. o Log forvene avkasning for de usikre akivume er konsan og lik E(r, slik a man over K perioder får KE(r. o Variansen il log avkasning er konsan over id, lik σ, og avkasninga er ukorreler over id, slik a var( r K, + K = var( r +1 = Kσ - Kan uifra dee se a med IID avkasning blir alle forvenningsverdier og varianser skaler opp med K, hvor K er anall perioder i inveseringshorisonen. Avveiningen mellom forvene σ 9/41

32 meravkasning og varians blir derfor den samme som ved en periodes horison, og de blir dermed også opimal allokering. Tillaer så rebalansering, og ser på ilfeller: Tilfelle 1 er med CRRA-nye, lognormalfordel og IID avkasning. Anar perioder, der vi er ineresser i sluformuen: W + = 1+ R p, + ( W Tar logarimen av dee og får: w +1 = r p, + + w w +1 = r p, +1 + r p, + + w Objekfunksjonen vår kan nå skrives, på samme måe som idligere, som: ( 1 γ var ( r p, + max log 1 + R p, + max log( 1+ R p, var ( r p, + 1 γ var ( r p, + max ( r p, var ( r p, + 1 γ var ( r p, + Skal så finne e urykk for r p, +. Vi ve fra før a; r p, + = r p, +1 + r p, + ( + ( r p, + r f r p, + r f = r p, +1 r f Alså er meravkasningen over den risikofrie avkasningen i perioden lik summen av meravkasningen i førse og andre periode. De kan vises (og de er gi ved ligning (.1 i boka a: r p, +1 r f = α r +1 r f ( σ ( + 1 α 1 α Merk her a variansen er konsan og dermed uavhengig av iden. Vi seer så inn dee urykke for de o leddene på høyre side i urykke over: r p, + r f = α r +1 r f ( σ + α +1 r + r f ( σ ( + 1 α 1 α Tar så variansen il avkasningen, og finner a denne er: var r p, + ( = var ( r p, +1 + var ( r p, + + cov ( r p, +1,r p, + ( = var ( r p, +1 + var ( r p, + ( = α σ + α +1 σ = α ( + α +1 σ var r p, + var r p, + ( + 1 α +1 1 α +1 Merk a vi kjenner verdien på α +1 på idspunk, fordi med CRRA-nye er andelene inveser i usikre akiva uavhengig av formuen, og derfor uavhengig av hvordan de går med avkasningen frem il nese periode. Dee kan vi unye il å finne e urykk for de o førse av de re leddene i objekfunksjonen. Har da følgende: r p, + ( r f ( σ + α +1 ( r r f ( σ ( = r f + α ( r + 1 α 1 α ( = 1 α + α +1 ( + 1 α +1 1 α +1 1 var r p, + ( σ Ved å see dee sammen får vi uryk de o førse leddene av objekfunksjonen som: 30/41

33 ( r p, var ( r p, + = r f + α ( ( r r f + 1 α 1 α +α +1 ( ( r r f + 1 α +1 1 α +1 ( σ + 1 α ( + α +1 σ ( σ ( r p, var ( r p, + = r f + α ( ( r r f + 1 α σ + α +1 ( ( r r f + 1 α +1σ ( r p, var ( r p, + = r f + α + α +1 Måle vår er å maksimere denne mh poreføljevekene; FOB; max α,α +1 r p, + ( ( r r f + 1 σ ( + 1 var ( r p, + 1 γ var ( r p, + = max α,α +1 r f + α + α +1 ( ( r r f + 1 σ ( r r f + 1 σ γα σ = 0 α = 1 γ α ( + α +1 σ ( r r f + 1 σ ( r r f + 1 E σ r γα +1 σ = 0 α +1 = γσ Ser alså a poreføljesammenseningen vil være lik i begge periodene, dvs. a de vil være opimal for invesor å ikke rebalansere poreføljen mellom periode og +1. I illegg ser vi a denne konsane poreføljeandelen er lik den vi fan for korsikige invesorer. γσ ( r f + 1 σ Tilfelle innebærer a invesorene har log-nye. Da vil poreføljevalge være myopisk selv når avkasningen ikke er IID. Dee kommer av a slike invesorer også velger den poreføljen som maksimerer forvene log avkasning. En o-periodes log avkasning er lik summen av log avkasning for o enkelperioder. Derfor blir summen maksimer ved å i enhver periode velge den poreføljen som er opimal for en log-invesor med en periodes horison. Hva om vi har CRRA-nye over konsum isede for sluformue? Dvs. a invesorene bryr seg om levesandard mellom periode og periode +K, i illegg il sluformuen. Kan represenere dee ved følgende nyefunksjon: C 1 γ U = δ i +i 1 i=0 1 γ δ - idspreferanseraen (jo høyere denne er, jo mer ålmodig er invesor γ - relaiv risikoaversjon Ana a vi ikke har noen innek vil budsjebeingelsen for hver periode nå se slik u; W +1 = ( 1+ R p, +1 ( W C Videre ve vi a dee vil gi opphav il Euler ligninger for alle akiva/poreføljer j slik; U '( C = δu '( C +1 ( 1+ R j, +1 Gi CRRA-nye og a avkasning og konsumveks er lognormalfordel, har vi idligere se a vi kan skrive om Euler ligningen som følger: 31/41

34 ( C γ γ = δc R j, +1 1 = δ C γ +1 C ( 1 + R j, +1 Ana så a vi ser på den sikre avkasningen, R f, +1 : 1 = ( 1 + R f, +1 δ C +1 C 1 = δ C γ R f, +1 C Tar så log av dee urykke og løser il slu for forvene konsumveks: γ C r f, +1 = logδ + log +1 C r f, +1 = logδ + log C γ +1 C + 1 var log C γ +1 C r f, +1 = logδ + γ log C γ var log C +1 ( = logδ Δ logc +1 γ C + r f, +1 γ + 1 γσ C γ Tolkning av dee urykke: - Tålmodige invesorer (høy δ er mer villig il å spare, som gir høyere veks i konsume. - Høyere risikofi rene gjør de mer lønnsom å spare, og konsume vil igjen øke over id. - Risikoaversjonen, γ, har flere effeker: o Høy risikoaversjon innebærer a invesorene ønsker å jevne u konsume over id. Dee innebærer a de o effekene ovenfor reduseres. o Høy usikkerhe i konsume (dvs. høy σ C gjør a risikoaverse invesorer ønsker å spare mer for å sikre ilsrekkelig høy fremidig konsum. Videre har vi se a Euler-ligningene med lognormalfordeling gir følgende urykk for meravkasningen på de risikable akivume (en versjon av CCAPM: r +1 r f, σ = γ cov ( r +1,Δ logc +1 Tidligere bruke vi denne il å forklare hva som besemmer risikopremien. Nå skal vi a risikopremien for gi og søke å finne konsum- og poreføljeregler som oppfyller dee urykke. De er generel vanskelig å løse denne ypen problemer, men ana førs a vi har e konsan forhold mellom konsum og formue (da kan modellen løses eksplisi, og så lee eer beingelser der dee fakisk er opimal: C / W = b, der b er en konsan Skriver da om budsjebeingelsen som følger: W +1 = ( 1+ R p, +1 1 C W W C 3/41

35 log W +1 = log 1+ R p, +1 W Δw +1 = r p, +1 + log 1 b ( + log 1 b ( ( Uny så a r p, +1 = r f, +1 + α ( r +1 r f, α ( 1 α σ Δw +1 = r f, +1 + α ( r +1 r f, α ( 1 α σ + log( 1 b ( = ( α σ. De konsane forholde mellom C og W innebærer a Merk videre a var Δw +1 formuesveksen er lik konsumveksen, dvs. a Δw +1 = Δc +1. Vi finner dermed a fra urykke over a: r +1 r f, σ = γ cov ( r +1,Δw +1 r +1 r f, σ = γ corr ( r +1,Δw +1 σ α σ r +1 r f, σ = γα σ r +1 r f, α = σ γσ Ser her a vi igjen, under disse foruseningene, kommer frem il den samme myopiske regelen. E konsan forhold mellom C og W er opimal; Dersom avkasningen er IID Med log-nye, selv uen IID avkasning. Så lang har vi alså se a den myopiske ( radisjonelle ilnærmingen kan være gyldig også på lang sik, men a dee bygger på serke foruseninger. Skal nå se nærmere på re avvik fra dee: 1 Tidsvarierende realrener (kap. 3 Prediksjonsmuligheer av fremidig avkasning i aksjemarkede (kap. 4 3 Eksisens av arbeidsinnek (kap. 6 Tidsvarierende realrener: Den konsumbasere modellen ovenfor er gyldig dersom inveseringsmuligheene er konsane (dvs. a vi har IID avkasning. Skal nå se på konsekvensene av variasjon i muligheene som følge av a realrena varierer. Anar imidlerid a risikopremien er konsan, sam a alle varianser og kovarianser er konsane over id. Når inveseringsmuligheene ikke lenger er konsane over id er de heller ikke lenger opimal med e konsan forhold mellom C og W. Ana nå a vi har Epsein-Zin preferanser. Disse beholder samme egenskaper som CRRA-nye, men skaper e skille mellom relaiv risikoaversjon og ineremporær subsiusjonselasisie. Med lognormal avkasning og konsumveks har vi idligere se a slike preferanser gir opphav il risikopremien som kan urykkes ved: r +1 r f, σ = θ ψ cov [ r +1,Δc +1 ] + 1 θ ( cov r +1,r p, +1 (1 Husk her a ψ gir urykk for den ineremporære subsiusjonselasisieen, og a θ = 1 γ 1 1. ψ 33/41

36 Merk a når ψ = 1 γ får vi a θ = 1, og vi sår igjen med sandardpreferansene. Med e sikker og e usikker akivum er den sise kovariansen i urykke over gi ved cov r +1,r p, +1 = α σ. Med ikke-konsan forhold mellom konsum og formue er ufordringen nå å finne e urykk for den førse kovariansen. Campbell & Viceira viser a man kan finne følgende approksimasjon for sammenhengen mellom konsum og poreføljeavkasning: c +1 c +1 = r p, +1 r p, +1 + ( 1 ψ ( +1 ρ j r p, +1+ j ( Tolkning av (: - Vensre side viser overraskelsen i konsume, dvs. avvike mellom fakisk og forvene konsumnivå. - Høyre side viser a dee kan komme av o årsaker: o Overraskelse i poreføljeavkasning. Høyere avkasning enn forvene vil medføre høyere konsum enn forvene. o Dersom ny informasjon kommer frem og endrer forvenningene il fremidig avkasning vil dee slå u i konsume. Effeken av dee avhenger av ψ : Dersom ψ < 1 vil innekseffeken av a øk forvene fremidig avkasning vil øke dagens konsum dominere subsiusjonseffeken av a øk forvene avkasning syrker insenivene il å spare mer. Dermed vil en økning i forvenede avkasninger medføre øk konsum. Dersom ψ > 1 vil derimo subsiusjonselasisieen dominere. Fra ( kan man finne e urykk for konsumveksen gi ved; Δc +1 = r p, +1 + ( 1 ψ ( +1 ρ j r p, +1+ j j =1 for å finne e urykk for den førse kovariansen i (1: cov [ r +1,Δc +1 ] = cov r +1,r p, +1 + ( 1 ψ ( +1 ρ j r p, +1+ j j =1 cov [ r +1, Δc +1 ] = cov r +1,r p, +1 + ( 1 ψ cov r +1,( +1 ρ j r p, +1+ j j =1 cov [ r +1, Δc +1 ] = α σ + ( 1 ψ cov r +1,( +1 ρ j r f, +1+ j (3 j =1 Merk a man i den sise linja skifer fra poreføljeavkasningen il risikofri avkasning. Dee kommer av a risikopremien er konsan og dermed vil all variasjon i poreføljeavkasningen kunne forklares av variasjonen i risikofri rene. Ved å see inn urykkene for kovariansene i (1 finner vi a: r +1 r f, σ = θ ψ α σ + ( 1 ψ cov r +1,( +1 ρ j r f, +1+ j j =1 + ( 1 θα σ r +1 r f, σ = θ ( ψ 1 ψ cov r +1,( +1 ρ j r f, +1+ j j =1 + 1 θ + θ ψ α σ (4 Unyer så a; θ = 1 γ 1 1 ψ og skriver da om vekene i (4 over il følgende; j =1 34/41

37 θ ( ψ 1 ψ = 1 1 γ ( 1 ψ = 1 γ ( ψ ψ 1 1 ψ = γ ψ ( 1 θ + θ 1 γ ψ = γ ψ 1 1 = ψ 1 ψ 1 ψ 1 γ ψ 1 ψ ψ ( + 1 γ ψ 1 = γ ψ 1 ψ 1 = γ Unyer dee og skriver om (4 il: r +1 r f, σ = ( γ 1cov r +1, +1 Løser så (5 for α : ( ρ j r f, +1+ j j =1 + γα σ (5 α = r +1 r f, σ γ 1 γσ γσ cov r +1, +1 ( ρ j r f, +1+ j j =1 α = 1 r +1 r f, σ γ σ γ σ cov r +1, ( +1 ρ j r f, +1+ j (6 j =1 Ser av (6 her a dersom γ = 1, så sår vi igjen med den myopiske løsningen. Eerspørselen eer de usikre akivume er alså e veke gjennomsni av o komponener: o Den førse delen er den myopiske eerspørselen, dvs. den vanlige avveiningen av forvene avkasning mo risiko. o Den andre delen avhenger av kovariansen mellom akivume og reduksjoner i forvene fremidig avkasning. Dee refereres il som ineremporær sikringseerspørsel (ineremporal hedging demand. Merk her følgende: - Hvis risikofri rene er konsan er kovariansen lik null (dvs. avkasningen er IID, og vi sår igjen med myopisk ilpasning. Dersom vi har log nye er γ = 1 og vi sår da også igjen med myopisk ilpasning. - For en svær konservaiv invesor (dvs. en invesor med høy γ vil den myopiske eerspørselen bey lie. En slik invesor vil kun kjøpe usikker akivum dersom des avkasning er posiiv korreler med e fall i risikofri rene. Poreføljevalg når avkasning kan predikeres: Hva om aksjeavkasningen ikke er IID, men a usikkerheen il aksjeavkasningen avar med inveseringshorisonen? Dee yder på predikerbarhe i aksjemarkede (ref. Bibelen; eer sju magre kommer sju fee. De observeres a variansen i aksjeavkasningen har ava med inveseringshorisonen, dvs. a markede har vær såkal mean-revering. Ser nå på en modell med e sikker og e usikker akivum, og anar en konsan risikofri rene med log avkasning, r f. Anar videre a log avkasning på usikker akivum er gi som; ( r +1 = r +1 + u +1 der u +1 N 0,σ u Definerer så log forvene meravkasning ilknye de risikable akivume som; x = r +1 r f + 1 σ u og a x her følger en såkal AR(1-prosess med gjennomsni µ og persisens φ : x +1 = µ + φ x µ ( ( + η +1 der η +1 N 0,σ η 35/41

38 Kan se på x som en ilsandsvariabel, dvs. inveseringsmuligheene på ehver idspunk. La så cov( u +1,η +1 = σ u,η. Dee er kovariansen mellom avkasningen på de sikre akivume og ilsandsvariabelen. Således er kovariansen e mål på i hvilken grad de usikre akivume kan brukes il å sikre seg mo variasjon i inveseringsmuligheene. Vi har alså fra (4.8: cov( r +1, x +1 = cov r +1, r + r f + σ u Seer så inn fra (4.7: cov( r +1, x +1 = cov r +1, r + u + r f + σ u = cov ( r +1,r + = σ u,η Videre ser vi på ilfelle der σ u,η < 0, da dee er konsisen med mean-reversion. Dersom vi har en uvene høy avkasning idag, så reduseres forvene avkasning i fremiden. Dee innebærer a den beingede variansen knye il langsikig aksjemarkedsavkasning, siden: var( r +1 + r + = var( r +1 + cov( r +1,r + = var( r +1 + σ u,η < var r +1 Variansen vokser alså mindre enn proporsjonal med horisonen, dvs. a aksjer virker relaiv se ryggere for mer langsikige invesorer. Poreføljevalge har Campbell og Viceira vis a kan skrives som følger: α = a 0 + a 1 x der; a 0 = 1 1 b 1 γ 1 ψ + µ ( 1 φ b 1 ψ σ ηu σ u og; a 1 = 1 γσ u γ φ b 1 ψ σ ηu σ u Tolkning av dee: o Den opimale allokeringen varierer nå over id. Dersom σ ηu = 0, så reduseres parameeren il α = x γσ u (, som er ekvivalen med den myopiske ilpasningen vi har se idligere. o Hele a 0 og sise delen av a 1 viser invesorenes sikringseerspørsel. Merk a dersom γ = 1, forsvinner denne. Dersom γ < 1, blir denne sikringseerspørselen negaiv, men dersom γ > 1 (dvs. vi ser på konservaive invesorer, vil sikringseerspørselen være posiiv selv dersom forvene meravkasning, x, den perioden er null. Dee er en sor forskjell fra mer korsikige modeller. o En forklaring il dee er en endens il a aksjene gir høy realiser avkasning når den fremidige forvenede avkasningen faller. E fall i forvene fremidig avkasning kan anses som en forverring av inveseringsmuligheene. En konservaiv invesor vil ønske å sikre seg mo en slik forverring ved å holde akiva som gir øk formue/konsummuligheer når inveseringsmuligheene er dårlige. Dee gjør aksjene når σ ηu < 0 (se figur 4.1 i boka. Aksjer har alså mindre risiko på lang sik dersom de er slik mean-reversion i aksjeavkasningen, men de beyr ikke a de er opimal å øke den konsane aksjeandelen som i myopiske modeller. De opimale i dee ilfelle er å drive såkal markedsiming. 36/41

39 Humankapial, arbeidsinnek og poreføljevalg: Skal nå a hensyn il a invesors formue ikke kun besår av finansformue. Andre yper formue kan være humankapial som vil gi arbeidsinnek, eller som a pensjonsfonde har oljereserver på bunnen av Nordsjøen. Arbeidsinnek kan berakes som ubye beal på humankapial, og den sore forskjellen fra annen formue er a humankapialen i seg selv ikke er omseelig. Tenker oss a invesor har en sikker srøm av arbeidsinnek. Ser så på en modell med CRRA-nye, e sikker og e usikker akivum, sam IID avkasning. Log forvene meravkasning er da gi ved; r +1 r f + 1 σ µ + 1 σ der σ er den konsane variansen knye il avkasningen på de usikre papire. La så H være invesors humanformue i periode, slik a W + H er oal formue. Dersom de fakisk var slik a humanformuen kunne omsees, ville vi få a opimal beløp inveser i de usikre akivume ville være: α^ µ + 1 ( W + H = σ ( W γσ + H der poreføljeandelen, α^, er konsan over id. Reserende formue ville vær inveser i de risikofrie alernaive. I praksis derimo, vil invesor være vunge il å holde humanformuen. Denne er lik den neddiskonere verdien av all fremidig arbeidsinnek. Sag anneredes; humanformuen med sikker arbeidsinnek er ekvivalen med e beløp, H, inveser risikofri. Invesoren kan dermed replikere allokeringen de ville forea hvis humanformuen kunne omsees, ved å invesere de samme beløpe i de usikre akivume. Andelen av finansformuen som opimal plasseres usikker er dermed; α = α^ ( W + H µ + 1 = σ W γσ 1+ H W Ser av dee urykke a dersom vi ikke har humanformue (dvs. H = 0, så reduseres løsningen il den for myopisk allokering. Med (posiiv humankapial vil andelen av finansformuen inveser i de usikre akivume øke. Alså bør en invesor som har en risikofri arbeidsinnek, vri sin porefølje mo aksjer, sammenligne med en invesor som kun har finansinneker. Merk a forholde H W er ofe høy idlig i livsløpe, og de vil ypisk synke med alderen. Innebærer a man bør holde relaiv mer aksjer som ung enn som gammel. Dee er i råd med finansielle rådgivere (f.eks. Sorebrands generasjonsfond som rapper gradvis ned aksjeandelen mo pensonsalderen. Analogi il oljefonde: dersom de ikke uvunnede reservene hadde vær risikofrie, burde en enda sørre andel av fonde vær alloker il aksjemarkede. Tidsvarierende porføljeandeler: o Tenk a finansformuen har øk serk en periode. o Dee innebærer a forholde H W reduseres, og dermed a andelen av finansformuen inveser i aksjemarkede reduseres. o Invesor bør alså redusere aksjeeksponeringen eer en periode hvor aksjemarkede har gå bra. 37/41

40 En saisk modell for poreføljevalg når arbeidsinnek ikke er risikofri. Definerer nye som følger; 1 γ C max δ +1 α 1 γ Anar videre a arbeidsilbude og dermed arbeidsinneken er eksogen, og kan dermed uelae friid fra nyefunksjonen. Budsjebeingelsen blir her som følger; W +1 = ( 1 + R p, +1 W + L +1 der poreføljeavkasningen er; R p, +1 = α ( R +1 R f + R f Anar videre konsane inveseringsmuligheer, dvs. log risikofri rene er gi ved r f, forvene log meravkasning er gi ved ( r +1 r f µ, og variansen il innovasjonen i log avkasning er konsan og ( lik σ u. Arbeidsinneken er lognormalfordel: l +1 log L +1 N l,σ l Kan ha en vilkårlig korrelasjon mellom avkasningen på de usikre papire og realiser arbeidsinnek, dvs. cov ( l +1,r +1 σ lu. Videre for å løs modellen er vi nød il å bruke approksimasjonen il poreføljeavkasningen (gi ved.1 i boka: r p, +1 = r f, +1 + α r +1 r f, +1 ( + 1 α 1 α ( σ Kan vises a ved bruk av Taylor-approksimasjon av budsjebeingelsen (se ligning i boka, så kan log slukonsum skrives som; c +1 k + ρ( w + r p, +1 + ( 1 ρl +1 der k er en konsan, mens 0 < ρ < 1 er en parameer som følger av lineariseringen. Fra Euler-ligningene for opimale inveseringer i de o akivaenehar vi forsa en varian av CCAPM. Tar ugangspunk i ligning.37 i boka: γ γ δc +1 ( 1 + R +1 = δc +1 ( 1+ R f ( ( γ γ C R +1 = C R f ar så log på begge sider: γ γ log C +1 ( 1 + R +1 = log C R f ( γ ( ( 1 + R var γ γ ( log C +1 ( 1+ R +1 = log C +1 ( 1+ R f log C +1 ( γ c +1 + ( r var ( γ c +1 + var ( r +1 γ cov ( c +1,r +1 ( + 1 var γ ( log C +1 ( 1 + R f = γ c +1 ( + 1 var ( r +1 γ cov( c +1,r +1 r +1 = r f ( r +1 r f + 1 var ( r +1 = γ cov ( c +1,r +1 ( r +1 r f + 1 σ u = γ cov ( c +1,r +1 Seer så inn fra (6.8 i boka, slik a: ( r f + 1 σ u r +1 ( ( + ( 1 ρl +1,r +1 = γ cov k + ρ w + r p, +1 ( + r f + 1 var ( γ c +1 38/41

41 ( r +1 r f + 1 σ u ( r +1 r f + 1 σ u ( r +1 r f + 1 σ u = γ cov k,r +1 ( + cov ( ρw,r +1 + cov ρr p, +1,r +1 ( + 1 ρ = γ ρ cov r,r p, = γ ρα σ u + ( 1 ρσ l,u Løser så for α og finner; ( r +1 r f + 1 σ u ( cov l +1,r +1 σ l,u σ u ( + cov (( 1 ρl +1,r +1 ( α = ρ γσ u ρ Dee er urykk (6.11 i boka. Ser her a opimal allokering il de usikre alernaive igjen er en veke sum av den myopiske ilpasningen og en sikringseerspørsel. Ser a dersom arbeidsinneksrisikoen er idiosynkraisk (dvs. a arbeidsinneksrisikoen er uen sammenheng med annen risiko, σ l,u = 0, så vil invesoren ikke ha noen slik sikringseerspørsel. Siden vi har a 0 < ρ < 1, så ser vi a dersom arbeidsinneken er negaiv korreler med avkasningen, dvs. σ l,u < 0, så vil eerspørselen eer de usikre akivume øke, siden dee da vil fungere som en hedge mo flukuasjoner i arbeidsinnek. Ana nå a invesorene kan selv velge hvor mye de skal jobbe. Kan da definere nyefunksjonen som; ( = C 1 γ +1 U C +1, N +1 ( 1 λ 1 γ + θ 1 N +1 1 λ ( å olke som invesorens friid, og dermed er N +1 den iden invesoren bruker Her er 1 N +1 på å jobbe. λ sier noe om uviljen il å variere arbeidsiden (på samme måe som risikoaversjonen måler en uvilje il å variere konsume, mens θ er en skaleringsparameer som foreller noe om vikigheen av friid vs konsum. For å avgjøre hva som er opimal arbeidsilbud må vi forså a førseordensbeingelse må være a den marginale ulempen av arbeid må være lik reallønn mulipliser med marginalnyen av konsum. Definerer Z +1 som reallønna. Den marginale ulempen ved arbeid finnes ved; U N = θ ( 1 N +1 λ Den marginale nyen av konsum kjenner vi igjen som; U C = C γ +1 Ved å kombinere disse o, kan vi skrive førseordensbeingelsen som; γ Z +1 C +1 = θ ( 1 N +1 λ Merk a dee gir opphav il mer usikkerhe. Siden arbeidsinnek er L +1 = N +1 Z +1, og invesorene selv kan besemme hvor mye de ønsker å jobbe, så vil usikkerheen i arbeidsinnek avhenge av usikkerheen i reallønna. De kan vises a førseordensbeingelsen ovenfor kan skrives på log-form som følger; η +1 = v( z +1 γ c +1 k hvor v > 0 er arbeidsilbudselasisieen mhp reallønna. Ved å see dee urykke inn i urykke for den approksimere budsjebeingelsen får vi; ( v( z +1 γ c +1 k ( + 1 ρ ( = k( 1 v( 1 ρ + ρ( w + r p, +1 + v 1 ρ c +1 k + ρ w + r p, +1 c ( 1 ργ v ( z +1 39/41

42 ( ( ( + ρ ( 1 + ( 1 ργ v ( w + r p, +1 + ( 1+ ( 1 ργ v z +1 ( + β z z +1 c +1 = k 1 v 1 ρ 1+ ( 1 ργ v c +1 = k * +β w w + r p, +1 ( v 1 ρ Merk her a dersom v blir veldig sor, har vi e ilfelle med fas/eksogen arbeidsilbud siden invesor da vil jobbe like mye uanse lønn. Generel vil de være slik a 0 β w ρ og β z 0. Ved å benye denne budsjebeingelsen kan vi nå vise a opimal poreføljeallokering er gi som; α = 1 β w r +1 ( r f + 1 σ u γσ u β z σ l,u β w σ u Her kan vi se a de førse ledde er enda sørre enn med eksogen arbeidsilbud, siden 0 β w ρ. Dersom inneksrisikoen er idiosynkraisk har vi alså a fleksibilie mh arbeidsid yerligere øker opimal andel inveser usikker. Siden invesor nå kan jusere arbeidsinnsasen (f.eks. ved å jobbe mer i dårlige ider er de bedre ruse mo finansiell risiko. Koeffisienen β z β w er sørre jo sørre v er. Jo leere arbeidsinnsasen juseres, jo mer oppa er invesor av evenuell korrelasjon mellom arbeidsinnek og avkasning. Slike invesorer reagerer på lønnsendringer med en krafig endring av arbeidsilbude, slik a lønnssjokk har krafig effek arbeidsinneken. Dermed blir evenuell korrelasjon vikig i poreføljevalge. Ana så a invesor har konsumforplikelser (f.eks. er skyldig nedbealinger av sørrelsesorden X. Anar da a invesoren har samme budsjebeingelse som idligere; C +1 = W +1 = ( 1 + R p, +1 W Men a overskuddskonsume, dvs. den andelen av formuen som er ilgjengelig for valgfri konsum, er definer som; * C +1 = C +1 X +1 Når dee er gi kan budsjebeingelsen omskrives il; * C +1 = ( 1+ R p, +1 W X +1 Tenker oss a forplikelsen er konsan og a de finnes e risikofri akiva med avkasning R f, slik a man kan sikre forplikelsene sine ved å invesere e beløp X R f risikofri. Anar så a invesor allokerer resen av formuen sin som en invesor uen forplikelsen, dvs. a andelen av overskuddsformuen som inveseres usikker er; α^ = ( r +1 r f + 1 σ u γσ u Andelen av den oale formuen, inveser usikker blir dermed: ( r f + 1 σ u αw = α^ W X E R f = r +1 W X +1 γσ u 1+ R f 40/41

43 α = ( r +1 r f + 1 σ u γσ u X 1 +1 < ( 1+ R f W ( r +1 r f + 1 σ u Allokeringen il de usikre akivume er alså mindre enn for en invesor uen konsumforplikelsen. γσ u 41/41