Opsjoner i kraftmarkedet

Transkript

1 SIS 1101 Invesering, finans og økonomisyring Opsjoner i krafmarkede NTNU Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse November 00 Roald Maudal Krisian Solum

2 Forord Denne prosjekoppgaven har bli ufør ved Insiu for indusriell økonomi og eknologiledelse, Norges eknisk- naurvienskapelige universie,høsen 00. Rapporen er uarbeide i fage SIS 1101, Invesering, finansiering og økonomisyring, fordypningsemne. Prosjeke er lag opp som e innledende arbeid il hovedoppgave som skrives våren 003. Oppgaven kunne ikke vær gjennomfør i sin nåværende form uen ekserne bidragsyere. Vi ønsker derfor å akke Espen Brevik ved M3 Kraf/APX og Kenneh Andreassen ved Nord Pool ASA for ilgang il hisoriske daa fra krafmarkede. En sor akk rees også il vår veileder Sein-Erik Fleen for god veiledning, ineressane diskusjoner og raske ilbakemeldinger. Trondheim, 0.november 00 Krisian Solum Roald Maudal II

3 Sammendrag Denne prosjekoppgaven omhandler opsjoner på underliggende forwardkonraker i de nordiske krafmarkede. Spoprisene i de nordiske krafmarkede viser flere særegne egenskaper som skiller de fra andre råvarer og finansielle markeder, deriblan en svær høy volailie. Manglende lagringsmuligheer for forbrukere og begrensede lagringsmuligheer for produksjonssiden sammen med begrensede overføringsforbindelser gir uslag i daglige og ukenlige svingninger i prisene. Dee gir også geografisk beingede variasjoner i prisene. De nordiske krafsyseme er dominer av 60 % vannkrafverk. Tilsige av vann og forbruke av elekrisie er mosyklisk og dee er med på å skape sesongvariasjoner i prisene. Elekrisiesprisene kjenneegnes av en mean reversion prosess. Dee beyr a prisene uvikler seg med en dragning mo e likeveksnivå. Samidig observeres de a sore endringer, eller sprang, i prisene er svær vanlig. Dee skjer spesiel i siuasjoner hvor produksjon og forbruk er høy. Dee henger igjen sammen med marginalkosnadskurven for elekrisie. De finnes en rekke sokasiske modeller for modellering av spoprisene. Denne oppgaven fokuserer spesiel på en enfakor mean reversion modell med sesongvariasjoner i likeveksnivåe. Denne modellen er uvikle av Lucia og Schwarz (00). Med bakgrunn i denne modellen uvikles de en generaliser forwardmodell. Dereer uvikles en analyisk opsjonsmodell, førs for forwardkonraker med leveringsperiode på en dag og dereer for generelle forwardkonraker. Gyldigheen il de analyiske urykke bekrefes ved å forea en Mone Carlo simulering. Dee benyes også for å vise a anakelser gjor i den generalisere modellen er fornufige. Baser på markedspriser for underliggende konraker beregnes opsjonsverdien for en rekke konraker for e se med ulike daoer. Disse sammenlignes med markedsprisen på opsjonen. Denne markedsprisen er beregne ved å benye hisoriske daa for implisi volailie og Black 76 modellen. Black 76 er i dag den mes anvende opsjonsmodellen i de nordiske krafmarkede. Opsjonsmodellen uvikle i denne oppgaven priser opsjonene noe uenfor markedes bese kjøps- og salgsbud for alle konrakene som er ese. I de aller flese ilfellene blir opsjonspremien lavere enn markedes bese kjøpsbud. Opsjonsmodellen uvikle i denne oppgaven baserer seg på a underliggende prisprosess er normalfordel. I virkligheen observerer en a den virkelige fordelingen il prisprosessen har ykkere haler enn dee. Slike ykke haler vil være med på å øke verdien på en opsjon, og dee er med på å forklare hvorfor opsjonspremien er lavere for vår modell. For Black 76 har en a bruk av hisorisk volailie ikke gir priser i samsvar med markedsverdien på opsjonen. Modellen i denne oppgaven baserer seg på bruk av hisoriske daa for volailieen. I denne modellen oppnår en da bes resulaer ved å beregne mean reversion implisi. Modellen vil også enkel kunne benyes il å esimere verdien på opsjoner med ikkesandardisere forwardkonraker som underliggende. III

4 1 INNLEDNING... 1 EGENSKAPER VED ENERGIPRISER....1 GENERELLE TREKK VED ENERGIMARKEDENE Convenience yield Mean reversion Sesongsvingninger Todeling av forwardprisene SPESIELLE EGENSKAPER FOR ELEKTRISITETSPRISER Lagring av elekrisie Daglige og ukenlige variasjonsprofiler Volailie Prissprang Andre elekrisiesmarkeder Oppsummering STOKASTISKE PROSESSER MARKOVPROSESSER WIENERPROSESS Den generalisere Wienerprosessen ITO PROSESS GEOMETRISK BROWNSKE BEVEGELSER (GBM) MODELLERING AV SPOTPRISENE I KRAFTMARKEDET MEAN REVERSION SPRANG I ENERGIPRISENE MODELLERING AV SESONGVARIASJONER I ENERGIPRISER Lucia og Schwarz enfakormodeller FLERFAKTORMODELLER FORWARDPRISER OG FORWARDKURVEN I KRAFTMARKEDET FUTURE- OG FORWARDKONTRAKTER CONTRACTS FOR DIFFERENCE (CFD) PRISING AV FORWARDKONTRAKTER EMPIRISKE UNDERSØKELSER AV FORWARDPRISENE FORWARDKURVEN - TOLKNINGER OG MODELLERING OPSJONER I KRAFTMARKEDET PRISING AV EUROPEISKE OPSJONER PÅ FORWARDKONTRAKTER MED BLACK VOLATILITET STANDARDAVVIK OG VARIANS DEFINISJON AV VOLATILITET HISTORISK VOLATILITET MARKEDSIMPLISITT VOLATILITET VOLATILITETSSMIL VOLATILITETSMATRISE STOKASTISK VOLATILITET UTVIKLING AV EN NY OPSJONSMODELL IV

5 8.1 UTLEDNING AV GENERELL MODELL FOR FORWARDPRISEN ANALYTISK LØSNING FOR EUROPEISK KJØPSOPSJON ANALYTISK LØSNING FOR EUROPEISK SALGSOPSJON VALG AV DETERMINISTISK FUNKSJON MONTE CARLO SIMULERING AV MODELLEN En sammenligning av analyisk løsning og simulering GENERALISERING AV OPSJONSMODELL EN APPROKSIMERT FORWARDVERDI OG VARIANS EGENSKAPER VED OPSJONSMODELL RESULTATER AV PRISING AV OPSJONER MED FORWARDKONTRAKTER SOM UNDERLIGGENDE MONTE CARLO SIMULERING AV GENERELL OPSJONSMODELL EVALUERING AV OPSJONSMODELLEN REFERANSELISTE VEDLEGG 1: PARAMETERE FOR LUCIA OG SCHWARTZ ENFAKTORMODELL VEDLEGG : IMPLISITTE PARAMETERE FOR LUCIA OG SCHWARTZ ENFAKTORMODELL VEDLEGG 3: UTLEDNING AV ANALYTISK LØSNING FOR KJØPSOPSJON VEDLEGG 4: UTLEDNING AV ANALYTISK LØSNING FOR SALGSOPSJON VEDLEGG 5: SENSITIVITETSANALYSE FOR PARAMETERE VEDLEGG 6: SAMMENHENG RISIKONØYTRAL OG IKKE RISIKONØYTRAL MODELL FOR DISKRET X T... 6 VEDLEGG 7 KODE VBA KODE FOR OPSJONSMODELL OG SIMULERINGER.. 63 V

6 1 Innledning Denne prosjekoppgaven har som hensik å gi forfaerne inngående forsåelse av prisprosesser og egenskaper ved disse i de nordiske krafmarkede. Fokus gjennom oppgaven ligger på prising av opsjoner i krafmarkede med forwardkonraker som underliggende insrumen. Rapporens innhold foruseer a leserne har kjennskap il grunnleggende opsjonseori. For videre å avgrense oppgavens innhold er de ikke gå noe nærmere inn på å beskrive hisorie, organisering og handel i spomarkede ved den nordiske krafbørsen Nord Pool. Prosjekes oppbygning sarer med en beskrivelse av energipriser og spesielle egenskaper ved elekrisiespriser. Dereer er de gjengi forskjellige måer å modellere spoprisene i krafmarkede på. Forwardkonraker og forwardkurven i krafmarkede beskrives i e ege kapiel, før vi går over il å udype hvordan opsjoner i krafmarkede i dag prises ved hjelp av Black 76 modellen. Implisi volailie er i den forbindelse vikig, og volailie blir behandle i påfølgende kapiel. Vi uvikler dereer en ny opsjonsmodell. Denne baserer seg på Lucia & Schwarz enfakormodell for spoprisen. Modellen generaliseres slik a den kan benyes il å beregne opsjonspremien for opsjoner på konraker som handles i forwardmarkede. Tesing av modellen ved Mone Carlo simulering vil gi oss svar på gyldigheen av de analyiske urykkene i modellen. Videre vil sensiiviesanalyse på inpuparameere i modellen si oss om modellen viser oppførsel man kan forvene av en opsjon. En sammenligning uføres mellom markedsverdier på opsjoner som er bli handle i markede på ulike daoer og konraker, med verdier modellen gir. Dee vil gi oss e esima på hvor god modellen er. Til slu evalueres modellen og enkele forslag il mulige forbedringer drøfes kor. 1

7 Egenskaper ved energipriser Finanslierauren peker på en del særegenheer som skiller energi fra andre inveseringseiendeler og råvarer. I dee kapiele vil vi se generel på en del av disse fakorene, for dereer å sudere spesielle egenskaper i de nordiske krafmarkede..1 Generelle rekk ved energimarkedene Energimarkedene er relaiv unge og lie uvikle i forhold il finansmarkedene. I Norden sare liberaliseringen av krafmarkede med Energiloven av Dessuen er de fundamenale prisdriverne mange og komplekse i energimarkedene. Prising av energi forholder seg il e kompliser samspille mellom produksjon og bruk, ranspor og lagring, kjøp og salg, sam eknologiske nyvinninger..1.1 Convenience yield Convenience yield er en fordel eller ulempe knye il å ha en råvare ilgjengelig og er en fakor en ikke observerer i finansmarkedene. I energimarkedene er denne effeken hovedsakelig skap av eerspørselsiden i prisdannelsesprosessen. De er kosnader forbunde med nedsenging og oppsar av produksjon som følge av mangel på ilgjengelig energi. Forbrukerne kan derfor være villig il å beale noe eksra for å være sikker på å ha nok energi ilgjengelig. Dee reflekeres i en premie for forwardprisene i den kore enden av forwardkurven i forhold il den mer langsikige enden av kurven [Pilipovic, 1998].1. Mean reversion En særegenhe som er særlig fremredende for energi er mean reversion. Mean reversion er beegnelsen på en prosess, her prisprosess, som uvikler seg med en dragning mo e likeveksnivå. En naurlig forklaring på hvorfor vi finner mean reversion i råvarepriser er gi av Schwarz (1997). Når prisene er relaiv høye, kan man forvene a ilbude av varer øker eersom produsener med høyere kosnader innar markede. Dee vil medvirke il a prisene presses ned. Når prisene derimo er relaiv lave, forvener man a ilbude avar og følgende a prisene presses opp. Mean reversion hasigheen, som defineres i kapiel 3.1, kan derfor olkes som e mål på hvor for ilbudsiden reagerer på begivenheer som medfører endringer i spoprisen. I følge Pilipovic (1998) kan mean reversion være en olkning på hvor for spesielle hendelser avar eller forvenes å ava. Under Gulfkrigen innehold forwardkurven for råolje informasjon om hvor lenge markede forvene a krigen skulle vare. I elekrisiesprisene vil parallellen kunne være forvene lengde på kalde og varme perioder, våe og ørre perioder og nedeid på produksjonsanlegg. Mean reversion i spopriser for energi er dokumener i flere arikler. Bessembinder, Coughenour, Seguin og Smoller (1994) viser mean reversion for blan anne oljeprisene. For spoprisen for olje i deres daase, kan man forvene a 44 prosen av endringen som følge av e prissjokk vil reversere i løpe av de 8 påfølgende månedene.

8 .1.3 Sesongsvingninger Sesongsvingninger henger nøye sammen med eerspørselsiden i energimarkedene. Eerspørselen eer energi svinger over åre med behove for oppvarming og kjøling fra slubrukere i boligmarkede. En naurlig følge av dee er a sesongvariasjonene er geografisk beinge. I USA opplever man a prisoppen for oppvarmingsolje forekommer om vineren og a ekrisiesprisene er høyes om sommeren som følge av elekrisk drevne kjøleanlegg. I Norden derimo, ser man a prisoppen for srøm forekommer om vineren som følge av usrak bruk av elekrisk oppvarming. Sesongsvingninger i elekrisiesprisen er særlig fremredende i de nordiske markede da forbruk og ilsig il vannmagasinene beveger seg mosyklisk. Grafen under viser hvordan høyere priser om vineren henger sammen med lav ilsig, og mosa for sommeren. GWh Sammenheng mellom ilsig, forbruk i Norge og spopriser for 1999 Forbruk Tilsig SpoPris uke Figur.1 Sammenhengen mellom spopriser, ilsig og forbruk i Norge i NOK/MWh.1.4 Todeling av forwardprisene Prisene på forwardkonraker i energimarkedene viser en odeling mellom korsikig og langsikig oppførsel. Til forskjell fra mange andre markeder er korrelasjonen mellom korsikig og langsikig forwardpriser lien. En mulig naurlig forklaring på dee ligger i a korsikige priser reflekerer umiddelbar ilgjengelig energi og energilagre, mens langsikige priser reflekerer fremidig poensiell energi, enen væravhengig eller som følge av eknologiske uvinninger. Her vil eksempelvis poensiell elekrisk energi i Norden være svær avhengig av nedbør og ilsig grunne sor prosenandel vannkrafproduksjon i syseme, mens fremidig olje og gass vil avhenge serk av funn av nye reservoarer, sam eknologiske nyvinninger som gjør de mulig å uvinne mer energi fra allerede ilgjengelige reservoarer. Koekebakker og Ollmar (001) gjennomfører en PCA-analyse (Principal Componen Analysis) der de undersøker fakorer som kan forklare variasjoner i forwardprisene i de nordiske krafmarkede. De finner a de vikigse fakorene som driver den kore enden av kurven har lien påvirkning på prisene i den lange enden og omvend. Da forbrukssiden i 3

9 elekrisiesmarkede ikke har lagringsmuligheer vil eksempelvis reningslinjer fra myndigheer som rer i kraf om o år ha lie å si for forwardprisene før den id, mens de vil kunne gi uslag på prisene fra og med o år.. Spesielle egenskaper for elekrisiespriser Vi vil her gå li dypere inn på hvordan elekrisiesprisene oppfører seg. Ugangspunke her er e sudie ufør av Lucia og Schwarz publiser i 00, der de er ufør analyser av spo-, fuure- og forwardpriser på den nordiske krafbørsen, Nord Pool, i perioden 1993 il I illegg sammenligner vi noen av de saisiske resulaene med egne beregninger på spoprisene fra 1996 il 001. Når vi her skriver om spoprisen refererer vi il sysemprisen for Nord Pool. Dee er en pris gi ime for ime u fra markedskrysse som fremkommer ved a akørene legger inn sine bud på krafbørsen, og ved a en ikke ar hensyn il overføringskapasieene i nee [Nord Pool 000]...1 Lagring av elekrisie En av de vikigse særegenheene ved elekrisie er svær begrensede lagrings- og ranspormuligheer. Man har en viss lagringsmulighe på ilbudsiden i forkan av produksjonen, enen som vann i vannmagasiner eller som drivsoff il eksempelvis kjernekraf og kullkraf. Enkele produsener har pumpekrafverk som kan benye srøm il å pumpe vann opp i reservoarene når srømprisene er lave. Dereer lagres dee vanne og benyes il å produsere srøm når prisene er høye. På forbrukssiden kan man se bor fra lagringsmuligheer. For forbrukerne kan man se på elekrisie lever på ulike idspunk over døgne og forskjellige daoer som disinke produker. Med dee er alså arbirasjemuligheer over id og sed nærmes eliminer. I illegg il begrensede lagringsmuligheer må produksjonssiden il enhver id mae inn samme effek i nee som forbrukssiden ar u, med visse korreksjoner for ap i nee. E resula av den manglende lagringsmuligheen for elekrisie er a geografiske variasjoner i energiprisene gjør seg gjeldende. I illegg il kravene om konsan balanse i nee, har man kapasiesbegrensninger på overføring av energi mellom de ulike geografiske områder. Dee medfører a prisene vil variere fra område il område... Daglige og ukenlige variasjonsprofiler E anne resula av den manglende muligheen il lagring av elekrisie er a man i illegg il sesongsvingninger også ser mer eller mindre fase mønser i variasjoner på ukes- og døgnnivå. Disse variasjonene følger hovedsakelig akiviesendringer i indusri og næringsliv. Figuren under viser variasjon på døgnnivå for mandag uke 4 i henholdsvis 1996, 1999 og 00. 4

10 0 Mandag uke kr/mwh Time Figur. Døgnvariasjoner i spoprisen for mandag i uke 4 i 1996, 1999 og 00 I elekrisiesmarkedene opererer man med priser for hver ime i døgne, noen seder også for hver halve ime. U fra daglige variasjoner er on-peak og off-peak imer for alle ukedager i elekrisiesmarkedene bli en vanlig erminologi. European Energy Exchange (EEX), opererer med peak fra og med ime 9 il og med ime 0. Amserdam Power Exchange (APX), har peak fra og med ime 8 il og med ime 3. Ved Nord Pool opererer man ikke med onpeak - og off-peak -erminologien...3 Volailie Volailieen il sysemprisen i de nordiske markede er høy. Lucia og Schwarz finner sandardavvik på 0,099 på daglige endringer i log-prisene i perioden fra 1. januar 1993 il 31.desember Annualiser gir dee en volailie på 189 %, uregne ved 0, 099* 365 = 1,89. Våre egne beregninger for sporpisene i perioden er gjengi i uskrifen fra saisikkprogramme Miniab nedenfor Descripive Saisics: SpoPris; LNSpo; LN(P/P(-1)) Variable N Mean Median TrMean SDev SE Mean SpoPris ,18 136,04 147,67 64,39 1,38 LNSpo 19 4,994 4,919 4,9379 0,494 0,009 LN(P/P( 19 0, , ,0094 0, ,003 Variable Minimum Maximum Q1 Q3 SpoPris 1,7 633,36 106,59 186,34 LNSpo 3,0573 6,4510 4,6690 5,76 LN(P/P( -0, , , ,

11 Vi finner sandardavvik på 0,10885 i perioden 1996 il 001. Annualiser volailie er på 08%. Volailie i elekrisieprisene vil bli grundigere behandle i kapiel 6, da de ugjør en svær vikig fakor ved prising av opsjoner...4 Prissprang Sprang innreffer relaiv hyppig i spoprisen. Når vi her skriver sprang, mener vi en sor endring i pris over e kor idsrom. Videre er de vikig å legge merke il a denne sore prisendringen ikke vedvarer over e lengre idsrom. Sprang slik vi definerer de her er sidesil med de engelske urykke spikes. De må ikke forveksles med de engelske urykke jump, som i finanslierauren beskriver en rask endring i pris, som dereer vedvarer over e lengre idsrom. Denne egenskapen kan man se u fra fordelingen av spopriser, der eksremverdier blir refleker ved ykkere haler. Med andre ord beyr dee a sannsynligheen for a eksreme priser skal oppre er sor. Denne egenskapen ved en fordeling kan beskrives u fra de saisiske måle kurosis eller ved 4.momen av fordelingen. 4. momen er gi ved 4 M4 = E ( S ), der S = spopris ved id. Relasjonen il kurosis er gi av Kurosis = E S S der _ S = middelverdien il fordelingen av spoprisene. _ 4 ( ), Lucia og Schwarz rapporerer esimer kurosis på for spopris i perioden 1993 il For den naurlige logarimen il prisen finner de ilsvarende en kurosis på 4,487. Normalfordelingen har en kurosis på 3. Dee er vikige observasjoner med anke på opsjonsprising. Black & Scholes foruseer a aksjeprisene er lognormalfordele. Denne foruseningen er hel klar ikke il sede i ilfelle for spoprisene ved Nord Pool. Vi har gjor beregninger på idsperioden 1993 il 1999 ved hjelp av saisikkprogramme MiniTab, og komme fram il samme resulaer for kurosis som Lucia og Schwarz (00). Vi har også undersøk perioden og resulaene for denne perioden er gjengi i figurene nedenfor. Disse viser en kurosis på henholdsvis 4,68 for spoprisen og 3,6 for logarimen il spoprisen. Verdiene i figurene.3 og.4 er gi i forhold il kurosis for normalfordelingen. 6

12 Descripive Saisics Variable: SpoPris Anderson-Darling Normaliy Tes A-Squared: P-Value: 36,058 0, Mean SDev Variance Skewness Kurosis N 151,178 64, ,55 0,9989 1, % Confidence Inerval for Mu Minimum 1s Quarile Median 3rd Quarile Maximum 148,480 6,54 1,71 106, , , ,364 95% Confidence Inerval for Mu 153,875 95% Confidence Inerval for Sigma 66,359 95% Confidence Inerval for Median 95% Confidence Inerval for Median 133,03 138,691 Figur.3 Deskripiv saisikk for spoprisen i perioden 1996 il 001 Descripive Saisics Variable: LNSpo Anderson-Darling Normaliy Tes A-Squared: P-Value:,90 0,000 3,3 3,8 4,3 4,8 5,3 5,8 6,3 Mean SDev Variance Skewness Kurosis N 4,9938 0,4939 0, ,5E-01 0, ,89 95% Confidence Inerval for Mu 4,90 4,91 4,9 4,93 4,94 4,95 Minimum 1s Quarile Median 3rd Quarile Maximum 4, , , , ,9191 5,757 6, % Confidence Inerval for Mu 4, % Confidence Inerval for Sigma 0, % Confidence Inerval for Median 95% Confidence Inerval for Median 4, ,935 Figur.4 Deskripiv saisikk for logarimen il spoprisen i perioden 1996 il 00 Nedenfor er gjengi e Q-Q plo (quanile-o-quanile) u fra logarimen il spoprisene i perioden 1996 il 001. Ved en Q-Q es sammenligner man den fakiske sannsynlighesfordelingen med sannsynligheene fordelingen ville ha hvis den var normalfordel. Er logarimen il spoprisen normal, vil Q-Q ploe beså av en diagonal linje og indikere a fordelingen ilsvarer en normal fordeling. E normalplo skal med 95 % sannsynlighe ligge innenfor de siplede linjene på figuren. Dee er ikke ilfelle her og vi ser 7

13 a observasjonene ikke er normalfordele. De er særlig halene, endene i Q-Q-ploe, som skiller seg u. Vi ser a eksremverdier har en sørre sannsynlighe for å innreffe i logarimen il spoprisen enn for en ilsvarende normalfordel variabel. Normal Probabiliy Plo for LNSpo ML Esimaes - 95% CI Percen ML Esimaes Mean 4,9938 SDev 0,4987 Goodness of Fi AD*,907 3,0 3,5 4,0 4,5 Daa 5,0 5,5 6,0 6,5 Figur.5 Q-Q es for prisene ved Nord Pool i perioden De vikige her er a de idligere nevne verdiene for kurosis yder på a eksreme verdier innreffer relaiv hyppig i spoprisene. Videre er de ineressan om dee skyldes spikes, eller sprang. Lucia og Schwarz finner kurosis for endring i spopris og endring i logarimen av spoprisen på henholdsvis 16,034 og 14,397. De samme verdien er 5,155 og 3,651 for kalde sesonger og 6,867 og 8,903 for varme sesonger. Dee yder på a sore daglige variasjoner forekommer ofe og særlig om vineren, og gir derfor e serk urykk for a prissprang er hovedårsaken il de ykke halene i spoprisfordelingen. Videre er serk posiiv auokorrelasjon for prisdifferansene over flere uker noe som yder på normal forusigbar eerspørsel. Dee underbygger eorien om a prissprang er årsaken il høye kurosis verdier. Johnsen, Verma og Wolfram (1999) peker på forekomser av høye spopriser og mulige årsaker il disse. Sore endringer i eerspørsel, ofe som følge av korsikige endringer i emperaur, forekommer regelmessig sammen med spikes. Dee kan forklares u fra marginalkosnadskurven i de nordiske krafsyseme. Denne er gjengi i figuren nedenfor [NOU 1998:11, Energi- og krafbalansen mo 00] 8

14 Figur.6 Marginalkosnadskurven i de nordiske krafsyseme Man ser her a dersom produksjonen av energi er høy, vil endringer i eerspørselen kunne medføre sore endringer i spoprisen, eersom kurven over marginalkosnader for energiproduksjon da er bra...5 Andre elekrisiesmarkeder Kniel og Robers (001) analyserer spoprisene i e prisområde i California, og kommer frem il følgende seks karakerisikker ved prisene: Mean reversion, døgneffeker, ukedag og weekendeffeker, sesongpåvirkning, idsvarierende volailie og eksremverdier. En finner alså igjen de samme hovedrekkene som man ser på sysemprisen ved Nord Pool. De er imidlerid noen forskjeller som er verd å nevne. I daasee il Kniel og Robers for perioden 1. april 1998 il 31. juli 000 forekommer negaive priser. Dee finner man ikke i daaene fra Nord Pool. Kniel og Robers legger vek på a dee skyldes overproduksjon, ingen lagringsmuligheer og sore oppsarskosnader. Vannkrafanlegg som dominerer de nordiske krafsyseme med 60 % av produksjonskapasieen, har små sar- og soppkosnader [Nord Pool, 000]. I California er produksjonskapasieen prege av ermiske anlegg med fossil brennsoff og dee medfører en mer kosbar regulering av produksjonen. Når de gjelder eksrempriser legger Kniel og Robers vek på a disse innreffer gruppevis sammen med øk volailie i forbindelse med foresående øk eerspørsel. De veklegges a eksrempriser i California er e resula av a eerspørselen ofe ligger på grensen av sysemes kapasie, og da førs og frems i overføringslinjer. 9

15 ..6 Oppsummering Figur.7 viser spoprisen ved Nord Pool i perioden fra 1.januar 1996 il 9.juli 00. Spopris NP Døgnpris NOK/MWh Figur.7 Spoprisene ved Nord Pool fra il Mange av de karakerisikkene som er nevn idligere kan leses u fra figuren. Man ser ydelig sesongsvingninger. Grafen viser ikke noen beydelig konsan drif. Mean reversion er en mulig årsak il dee. Prisene i 1996 og 001 er generel høyere enn de andre årene i figuren, noe som hovedsakelig skyldes lie nedbør og ilsig il magasinene [Boerud mfl, 00]. Vi ser a sprang innreffer særlig om vineren når produksjon og priser er på si høyese. 10

16 3 Sokasiske prosesser Alle variable som endres over id og hvor endringen er usikker følger en sokasisk prosess. Den sokasiske prosessen kan være diskre eller koninuerlig i id. Den kan følge en koninuerlig prosess hvor den underliggende variabelen kan endres med alle verdier innen e inervall. Alernaiv kan den følge en diskre prosess hvor kun diskree endringer er mulig. Sokasiske modeller grupperes gjerne eer analle sokasiske variable, eller fakorer, i modellen. En enfakormodell har en sokasisk variabel, en ofakormodell har o sokasiske variable og en refakormodell har re sokasiske variable. 3.1 Markovprosesser En Markovprosess er en sokasisk prosess hvor kun verdien på den sokasiske variabelen er relevan for å predikere framiden. De beyr a den hisoriske uviklingen il den sokasiske variabelen ikke er av beydning. Dee er konsisen med svak form av den effisiene markedshypoesen [Brealey & Myers, 000]. 3. Wienerprosess En Wienerprosess er en spesiell ype Markovprosess med en forvene endring lik 0 og varians lik 1. En wienerprosess omales også som brownske bevegelser. En variabel z følger en Wienerprosess dersom følgende o beingelser er oppfyl: 1. Endringen z over en kor periode er gi ved z=ε, hvor ε er e ilfeldig all fra den sandardisere normalfordelingen N(0,1).. Verdien på z for o eerfølgende inervaller er uavhengige av hverandre Den generalisere Wienerprosessen Den vanlige Wienerprosessen har en drif eller forvene endring lik 0 og varians lik 1. En drif på 0 innebærer a den forvenede verdien for z ved e gi idspunk er lik sarverdien. En generaliser Wienerprosess for en variabel x er en Wienerprosess med en drif og kan urykkes ved: dx = a d + bdz (3.1) 11

17 hvor a og b er konsaner. De sise ledde kan oppfaes som variasjon eller søy, mens de førse ledde er en drif. Søyledde er en Wienerprosess. Over e kor idsinervall vil endringen i x, x, være gi ved x = a + bε (3.) Dee gir a forvenningen il x er a mens variansen il x er gi ved b. En generaliser Wienerprosess omales også som arimerisk brownske bevegelser (ABM). 3.3 Io prosess En Io prosess er en generaliser Wienerprosess hvor parameerne a og b er funksjoner av den underliggende variabelen x og iden. En Io prosess kan skrives dx = a(x,)d + b(x,)dz (3.3) Over e kor idsinervall fra il + vil endringen i x være approksimer ved x = a(x,) + b(x,) ε (3.4) Over dee idsinervalle,, vil drifen være konsan lik a(x,) og variansen vil være b (x,). 3.4 Geomerisk brownske bevegelser (GBM) Geomerisk brownske bevegelser (GBM) er den mes kjene sokasiske prismodellen som benyes i aksjemarkede. Denne danner også ugangspunk for mange av de modellene som kan anvendes for å lage prismodeller for energi som vi kommer ilbake il i nese kapiel. I aksjemarkede vil anagelsen om konsan drif ikke lenger være ilsrekkelig. En invesors krav il en aksje vil være knye il den relaive drifen eller avkasningen. Anakelsen om konsan drif må derfor ersaes med en anakelse om konsan relaiv drif [Hull, 000]. Dersom man anar a aksjen ikke bealer noe ubye vil en sokasisk prosess for aksjekursen være gi ved ds = µ Sd +σ Sdz (3.5) Over e kor idsinervall vil prosessen være gi ved S=µ S +σsε (3.6) S er endringen i aksjekursen over, ε er e ilfeldig all fra den sandardisere normalfordelingen, µ er forvene avkasning per idsenhe og σ er volailieen. Ligningen over viser dermed a den relaive endringen i aksjekursen er normalfordel og gi ved 1

18 S N( µ, σ ) (3.7) S Den underliggende prisprosessen il denne normalfordele avkasningen vil være lognormalfordel. Dee gir a prisen eer e kor idsinervall er gi ved S Se µ +σε + = (3.8) Ligning (3.5) er ugangspunke for prising av e deriva f som kun er avhengig av S og. Dersom Io s Lemma anvendes på e deriva f som kun er avhengig av prisprosessen il S og iden får en δf δf 1 f δf df = µ S + + σ S d Sdz + σ δs δ S δs (3.9) δf Ved å see opp en dynamisk hedge ved hjelp av en long posisjon i andeler av δs underliggende S og en shor posisjon i insrumene f, ender man opp med en differensialligning gi ved [Hull, 000] δf δf 1 f + rs + σ S = rf δ δs S (3.10) Denne er kjen som Black-Scholes-Meron differensialligningen og danner grunnlage for mye av eorien innen opsjonsprising som vi kommer ilbake il senere i oppgaven. Da denne ligningen er uavhengig av den forvenede avkasningen på aksjen, µ, viser dee a verdien av e deriva er uavhengig av invesors risikoholdning. En kan derfor ana i beregningene a invesor er risikonøyral og a alle eiendelene har en avkasning lik den risikofrie renen. Dee omales gjerne som en risikofri verden [Hull, 000]. Denne modellen med lognormal fordeling for prisene og normalfordel endring i prisene har vis seg ikke å fungere for modellering av elekrisiespriser. Av ligning (3.8) ser en a prisene har en eksponeniell veks. Dee kan ikke være ilfelle i e sysem hvor ilbuds- og eerspørselssiden må balansere hverandre il enhver id. GBM modellen ar heller ikke hensyn il en del av de karakerisikkene som energipriser gjerne har, eksempelvis mean reversion, sprang og sesongvariasjoner. Den illaer heller ikke negaive priser. Dee har bli observer i flere elekrisiesmarkeder og oppsår fordi produsenene må kvie seg med sin produksjon på grunn av manglende lagringsmuligheer for elekrisie [Koekerbakker, 00]. 13

19 4 Modellering av spoprisene i krafmarkede For akørene i krafmarkede er de vikig å kunne si noe om hvordan elekrisiesprisene kommer il å uvikle seg framover. Dee er vikig for produsenene med anke på hvordan en skal disponere sine vannmagasiner og hvordan man skal drive med risikosyring i de finansielle markede. Spekulaner renger å kunne si noe om hvordan uviklingen i spomarkede blir før de ar posisjoner i de finansielle markede, mens sore forbrukere vil ha nye av dee for å drive risikosyring. Dee kapiele ser på ulike sokasiske prosesser og modeller som represenerer de spesielle rekk som idligere i denne oppgaven er drøfe for elekrisiesprisene. Disse modellene er uvidelser av den generelle Black-Scholes-Merons geomerisk brownske bevegelser 4.1 Mean Reversion En enfakormodell for mean reversion i råvarepriser er gi av Schwarz (1997) ved ds =κ ( µ lns) Sd +σ Sdz (4.1) Her vil prisene falle ilbake il e likeveksnivå S= e µ med en hasighe gi av parameeren κ. Dersom prisene ligger over langidsnivåe S vil drifsledde bli negaiv og prisen vil nærme seg langidsnivåe i e nivå proporsjonal med avvike. Dersom prisene ligger under S vil drifsledde bli posiiv og prisene vil nærme seg likeveksnivåe. De sokasiske ledde dz vil kunne være av mosa foregn som reversjonsprosessen. Dermed renger ikke den oale endringen gå i rening av mean reversion nivåe på kor sik. Dersom en seer a x=ln S og anvender Io s lemma får man e urykk for en mean reversion prosess for den naurlige logarimen il spoprisen. Dee er da gi ved (4.) 1 dx = κµ ( x) σ d +σdz ( ) = κ α X d+σ dz (4.3) Der α er gi ved σ α=µ κ Urykke gi ved (4.3) er en såkal Ornsein-Uhlenbeck prosess. En diskre modell for logarimen il spoprisen kan urykkes ved 1 ( ) xi = κ µ x i σ +σ εi (4.4) 14

20 I en simulering av en slik modell er de vikig å a hensyn il lengden av idsskriene. De er vikig a idsskriene er små i forhold il mean reversion hasigheen [Clewlow & Srickland, 000]. En vikig egenskap ved mean reversion prosessen er iden de ar å nå halvveis ilbake il likeveksnivåe gi a nye sokasiske bevegelser ikke hadde innruffe. Denne iden kalles halveringsiden og er gi ved ln 1 = α (4.5) Jo sørre parameeren α blir jo hurigere reverserer prosessen mo likeveksnivåe. Mean reversion nivåe renger ikke være konsan for alle idsperioder. Mer om dee i kapiel Sprang i energiprisene Vi har idligere diskuer a energiprisene karakeriseres av pluselige sprang for dereer å falle ilbake il samme nivå som de lå på før sprange. Dee kommer fram i fordelingen il endringene i krafprisene som ykke haler og da med en spesiel sor sannsynlighe for en serk veks i prisene. Denne egenskapen kan modelleres inn ved bruk av såkale hopprosesser. Dee kan urykkes ved følgende sokasiske differensialligning ds = µ Sd +σ Sdz +ω Sdq (4.6) Sørrelsen på hoppene ω er ilfeldige og logarimen il sørrelsen på hoppene er normalfordel ved 1 ( ) ( ) ln 1+ ω N ln(1 +ω) γ, γ (4.7) Der ω er forvene sørrelse på hoppe og γ er sandardavvike il hoppene. Selve hopp prosessen dq er en diskre sokasisk variabel. Dee medfører a hoppene ikke skjer koninuerlig over iden. Meseparen av iden er dq lik 0, men hver gang dq ar verdien 1 innreffer e hopp. I modellen gi av (4.6) vil en få a prisene forblir på nivåe de får eer e hopp hel il nese hopp innreffer. Dee semmer dårlig med de en observerer i krafmarkede og de er derfor fornufig å kombinere hopprosessen med mean reversion. Dee kan represeneres ved følgende sokasiske differensialligning [Clewlow & Srickland, 000] ds =α ( µ lns) Sd +σ Sdz +ω Sdq (4.8) Kniel og Robers (000) har undersøk hopprosessene og komme fram il a disse skjer ofes i periodene hvor lasen er høy og overføringskapasieen i nee er full unye. 15

21 Sprangene i prisene kommer da av den konvekse kurven for marginalkosnaden il krafprodusenene. Kniel og Robers foreslår derfor å la inensieen på hopprosessen ha variasjoner over døgne og åre. I følge Bodily og Del Bueno (00) benyes ofe en Poissonfordel hopprosess. Dee medfører a hoppene er uavhengige av hverandre. Men Bodily og Del Bueno hevder a hoppene ofe skjer i forbindelse med ekniske problemer ved krafverk og kraflinjer, og slike hendelser opprer gjerne ikke uavhengig av hverandre. 4.3 Modellering av sesongvariasjoner i energipriser Den mes anvende meoden for å a hensyn il sesongsvingninger i en modell er som e deerminisisk funksjon av iden. Kniel og Robers (000) viser hvordan likeveksnivåe i en mean reversion prosess kan gjøres idsvarierende og hvordan en på den måen kan få inn sesongvariasjoner. Likeveksnivåe kan nå være en gla funksjon eller en sykkevis gla funksjon over døgne og sesongen. En har da a der likeveksnivåe µ() er gi ved ds() = k [ µ () S() ] d +σ dz (4.9) 4 τ τ 1 3 (4.10) τ= 1 µ () = β H +γ Summer +γ W in er +γ Spring Her er H τ en binærvariabel som er lik 1 i ime τ, 0 ellers og hvor β τ er konsaner for τ=1,,.,4. Kniel og Robers har uvikle denne modellen for elekrisiesmarkede i California. Dee markede skiller seg en del fra de nordiske markede, blan anne med o ydelige prisopper over åre og med den sørse av disse om sommeren. Denne funksjonen vil derfor ikke være egne for bruk i de nordiske markede. Lucia og Schwarz (00) benyer a mean reversion nivåe er gi ved 1df() µ () = + f() κ d (4.11) der f() er forvene sesongvarierende pris. Lucia og Schwarz lanserer o ulike forslag il hvordan de sesongvarierende ledde f() kan modelleres. Den førse modellen baserer seg på bruk av en sykkevis konsan funksjon. Dee oppnås ved å benye dummy variable. Modellen legger inn ulike priser fra måned il måned og ar videre hensyn il hvorvid hver enkel dag er en helgedag eller feriedag. Dee urykkes ved 1 f() =α+β D + βm (4.1) 1 i i i= 16

22 hvor D =1 hvis dao er en helligdag eller helgedag, 0 ellers M i =1 hvis dao er i måned i, 0 ellers i=,3,.,1 α, β, og β i er konsaner. Her vil β fange opp forskjellen i pris mellom uke- og helge- /helligdager mens β i ledde fanger opp variasjoner i prisene fra måned il måned Den andre ugaven av denne deerminisiske funksjonen ar inn en periodisk cosinusfunksjon. Denne funksjonen er da gi ved hvor f() =α+β D +γ cos +τ ( ) π 365 D =1 hvis dao er en helligdag eller helgedag, 0 ellers. (4.13) α, β, γ og τ er konsaner. Også her vil β-ledde fange opp forskjeller mellom vanlige arbeidsdager og helge- og helligdager. Figur 4.1 viser de o deerminisiske funksjonene gi av Lucia og Schwarz ploe mo hverandre for åre 003. Parameerne som her er benye er de som i følge Lucia og Schwarz gir bes ilnærming il observere priser i perioden Disse er også gi i vedlegg 1. Lucia og Schwarz' deerminisiske funksjoner 180,0 NOK/MWh 160,0 140,0 10,0 Sykkvis gla Cosniuskurve 100, Dao Figur 4.1 Lucia og Schwarz o deerminisiske funksjoner I den førse modellen gi av f 1 () får en e sprang i prisene mellom hver måned. De er ingen naurlig grunn il a prisen skal falle eller sige brå fra en måned il en annen. Dee er derfor en svakhe i denne modellen som en unngår ved å benye cosinusfunksjonen. Lucia og Schwarz sudier av de nordiske erminmarkede indikerer a markede priser inn en generell veks i prisene i årene som kommer. Dee ser en også direke av forwardkurven for elekrisiesprisene, der en på lang sik ser en veks på 4 il 6 NOK/år. E eksempel på 17

23 forwardkurven ved Nord Pool er gi i kapiele om forwardpriser. Ingen av de deerminisiske modellene fra Lucia og Schwarz ar hensyn il dee. Pilipovic (1998) viser a sinuskurver også kan benyes il å modellere flere prisopper over åre, slik en blan anne observerer i de amerikanske markede. Dee urykkes da ved ( ) ( ) S = S +β cos π( ) +β cos 4 π( ) (4.14) Und a a sa sa β a og β sa er parameere som syrer prisoppen på den årlige og halvårige prisoppen mens a og und sa er idspunkene hvor disse oppene innreffer. S er her den underliggende sokasiske prosessen slik a den oale prosessen er gi ved S = S + sesongsvingninger (4.15) Und Pilipovic viser a denne underliggende spoprosessen kan være gi av en enfakormodell eller flerfakormodell Lucia og Schwarz enfakormodeller Lucia og Schwarz (00) presenerer følgende enfakormodeller for modellering av spoprisen P = f() + X (4.16) f() er en av de deerminisiske funksjonene som ble omal i avsni 4.3. X følger en sokasisk prosess på formen dx = κ X d + σ dz (4.17) hvor κ>0, X(0)=X 0, og dz er en sandard brownsk bevegelse. Likning (4.17) kan kunne skrives om il ( ) ( ) d P f() =κ f() P d+σ dz (4.18) En ser her a man har en mean reversion prosess hvor e avvik i prisen P fra likeveksnivåe f() vil medføre en reversjon mo likeveksnivåe. Prisprosessen som P følger kan urykkes som løsningen på differensialligningen ( ) dp = κ a() P d +σ dz (4.19) Hvor a() er en deerminisisk funksjon gi ved 18

24 1df a() = () + f() κ d En løsning av overnevne funksjon for P er gi ved κ κ(s ) 0 0 P = f() + X e +σ e dz(s) (4.0) Denne prisprosessen er normalfordel med en forvenning og varians gi ved ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( 0) E0 P E P X0 f P0 f e κ (4.1) σ Var0( P) Var ( P X 0) = ( 1 e κ ), κ > 0 κ (4.) Lucia og Schwarz viser også en ilsvarende enfakor modell for logarimen il spo prisen. I denne modellen er logarimen il spoprisen gi ved for [ 0, ) ln P = f () + Y (4.3) og hvor F=f() er en deerminisisk kjen funksjon av iden og Y er en sokasisk prosess gi ved dy = κ Y d + σ dz (4.4) med κ>0 og Y(0)=Y 0. Ved å gjøre om på ligningene over som de ble gjor for modellen med spoprisen får en da a hvor b() er gi ved ( ) dp =κ b() ln P P d +σ P dz (4.5) 1 σ df b() = + () + f() κ d Lucia og Schwarz viser a modellen med logarimen il prisen vil ha de samme egenskaper som modellen som går direke på prisen med en normalfordeling med beinge forvenning og varians. 4.4 Flerfakormodeller Pilipovic (1998) hevder a modeller med en sokasisk fakor ikke er ilsrekkelig i modelleringen av energiprisene. Schwarz (1997) viser a o- og refakor modeller gir bedre resula i modelleringen av energipriser. Schwarz (1997) benyer henholdsvis sokasisk convenience yield og sokasisk rene i sin o- og refakormodell. 19

25 I følge Lucia og Schwarz (00) vil en i en enfakormodell ha perfek korrelasjon mellom fuurekonraker for ulike idspunk. Dee kan en eliminere med en ofakormodell. Som idligere omal har Koekebakker og Ollmar vis a korrelasjonen mellom langsikige og korsikige forwardpriser er svær lien. Dee indikerer dermed a en enfakormodell ikke er ilsrekkelig. En ofakormodell som er inroduser er en mean reversion modell med spoprisen som en fakor og mean reversion nivåe som den andre fakoren [Pilipovic, 1998]. Spoprisen anas her å reversere mo likeveksprisen. Likeveksprisen er på sin side lognormalfordel. ( ) ds = α L S d + S σdz dl =µ L d + Lξdw (4.6) Her er µ drifen il de langsikige likeveksnivåe L, ξ er volailieen il de langsikige likeveksnivåe, α er hasigheen på mean reversion prosessen, mens σ er volailieen il prisen. Disse differensialligningene kan løses for å få spo prisen. Denne er da gi ved hvor T > og α(t ) k µ (T ) α(t ) [ T] ( ) ES = Se + L e e (4.7) k α = α +µ Lucia og Schwarz (00) inroduserer o ofakormodeller med paralleller il enfakormodellene i kapiel Her er den ene modellen gi for prisen og den andre for logarimen il prisen. Modellen for prisen er gi ved P = f() + X +ε (4.8) dx = κ Xd +σ XdzX (4.9) dε =µ d+σ dz (4.30) ε ε ε dzxdz = ρ ε d (4.31) Her følger ε en arimerisk brownsk bevegelse (ABM), mens de o Wienerprosessene er korreler gjennom ligning (4.31). Denne modellen er baser på en arikkel av Schwarz og Smih (000). Disse modellerer mean reversion i korsikige priser og e usikker likeveksnivå i de langsikige prisene. ε kan dermed sees på som de langsikige likeveksnivåe for prisene. En ilsvarende modell for den naurlige logarimen il prisene er gi ved ln P = f () + X +ε (4.3) dy = κ Yd + σ YdzY (4.33) 0

26 dε =µ d+σ dz (4.34) ε ε ε dzydz = ρ ε d (4.35) For begge disse ofakormodellene er de deerminisiske ledde lik de som ble presener i avsni

27 5 Forwardpriser og forwardkurven i krafmarkede. 5.1 Fuure- og Forwardkonraker I de nordiske krafmarkede handles de både fuure- og forwardkonraker ved den nordiske elekrisiesbørsen Nord Pool ASA. I dee markede er både fuure- og forwardkonrakene sandardisere, i mosening il hva som er vanlig i andre markeder. Markede for derivaer ved Nord Pool omales som elerminmarkede. De samme sandardisere konrakene omsees også i OTC markede. Dee markede omales også som de bilaerale markede. Volummessig er OTC markede flere ganger sørre enn markede ved Nord Pool. I 001 omsae Nord Pool 910 TWh med elekrisie i elerminmarkede. Til sammenligning ble de cleare 1748 TWh fra handler i OTC markede gjennom Nord Pools clearing avdeling Nordic Elecriciy Clearing House ASA (NECH). Samme år ble de fysisk omsa 11 TWh ved Nord Pool. [Nord Pool, 00].Toal ugjør all handelen i OTC markede om lag 75% av den oale handelen med derivaer på elekrisie [Fleen mfl, 00]. Dee innebefaer da både konraker som cleares og de som dee ikke gjøres med. Normal snakker man ved bruk av forward- og fuurekonraker om a underliggende skal bli lever ved e idspunk T. I elekrisiesmarkede har man i sede a konrakene srekker seg over e idsrom. Man sier derfor a konraken har en leveringsperiode. En forwardkonrak i elekrisiesmarkede kan derfor sees på som en serie av vanlige forwardkonraker. Prisen en da observerer blir ilnærme e gjennomsni av forwardprisen for alle dagene i leveringsperioden. Før 9. sepember 1995 var de knye fysisk levering av elekrisie il forward- og fuurekonrakene [Nord Pool, 1998]. Eer dee har konrakene vær ren finansielle insrumen. En snakker likevel om a konraken har en leveringsperiode. I denne perioden blir differansen mellom spoprisen og konraksprisen lag il grunn for ubealinger il hhv kjøper og selger av konraken, al eer posisjon og forholde mellom de o prisene. Fuurekonrakene som handles er dagkonraker, ukekonraker og blokkkonraker. Blokkkonrakene er konraker over en fireukers periode. Forwardkonrakene går over sesonger og år. Sesong Leveringsperiode Anall imer Viner jan 30 april 879 Sommer 01. mai 30. sep 367 Viner 01.ok 31. des 09 År 01.jan 31. des 8760 Tabell 5.1 Ulike forwardkonraker for de nordiske krafmarkede Konrakslengdene referer her il år som ikke er skuddår. I skuddår vil Viner1 konraken og årskonraken bli 4 imer lengre.

28 Hovedforskjellene mellom fuure- og forwardkonrakene ligger i oppgjøre. Fuurekonrakene har daglig marke o marke oppgjør, mens en for forwardkonrakene har akkumuler oppgjør eer sise handelsdag. I selve leveringsperioden har begge konrakene e oppgjør som er knye opp mo uviklingen i spoprisen. 5. Conracs for difference (CfD) Fuure- og forwardkonrakene er direke knye il spoprisen gjennom leveringsperioden. Da den fysiske handelen med srøm i markede skjer mo områdeprisene ved kjøps- og salgssed, vil de være knye en risiko il forskjellen mellom områdeprisen og spoprisen. For å kunne eliminere denne risikoen omsees de såkale CfD- konraker. Dee er forwardkonraker hvis markedspris reflekerer markedes anakelse om forskjellen mellom forvene spopris og områdepris over leveringsperioden. Disse konrakene handles for de samme sesongene som de vanlige forwardkonrakene. Forjenesen på en slik konrak er gi ved CfD = områdepris sysempris Dee gir en posiiv pris dersom den akuelle områdeprisen forvenes å ha en høyere pris enn spoprisen over konraksperioden. Dersom de mosae er ilfelle vil CfD-konraken ha negaiv pris [Nord Pool, 001 b]. Mandag 07. okober 00 ble de omsa CfD konraker for område Jylland (DK1) og Sverige (SE) for Viner DK1 ble omsa for 3,50 NOK/MWh mens SE ble omsa for 4,35 NOK/MWh. Begge konrakene var her for sesongen Viner 1. Disse prisene indikerer a markede denne dagen hadde en forvenning om a områdeprisen for Sverige vil ligge i sni 4,50 NOK over sysemprisen, mens prisen på Jylland vil ligge 3,50 NOK under sysemprisen i perioden fra 01. januar 003 il 30. april 003. CfD konrakene ble lanser 17. november 000 og er de nyese konrakene som er a inn i handelen ved Nord Pool. Likvidieen for disse er foreløpig dårligere enn for de andre forwardprodukene. 5.3 Prising av forwardkonraker Prising av forwardkonraker foregår i ren finansielle markeder ved hjelp av argumenasjon om a de ikke skal være arbirasjemuligheer mellom forwardkonraken og underliggende produk. De beyr a de ikke skal være mulig å jene penger på å a en posisjon i forwardkonraken, en mosa posisjon i underliggende og i illegg låne eller spare penger il risikofri rene. Denne argumenasjonen medfører a forwardprisen for en invesmen asse er gi ved [Hull, 000] F r(t ),T = Se (5.1) T er her forfallsidspunk for konraken, er idspunk for konrakinngåelse, r er risikofri rene, S er spoprisen ved inngåelse av konraken og F,T er forwardprisen observer ved id med forfall ved T. For fuurekonraker på råvarer vil ing kompliseres noe. Her vil fakorer som convenience yield og lagringskosnader komme inn. De har eer hver bli vanlig å modellere disse 3

29 fakorene ilsvarende de en gjør for koninuerlig ubye i aksjemarkede, dvs som en koninuerlig andel av prisen. En har da F Se + (r u y)(t ),T = (5.) Her er u kosnaden ved lagring, mens y er convenience yield, dvs nyen eller ulempen ved å ha råvaren ilgjengelig for hånden. I aksjemarkede har en fra anvendelsen av GBM a den forvenede spoprisen ved idspunk T er gi ved [ ] (T ) E S = Se µ (5.3) T der µ er aksjens forvenede drif. Kombiner med (5.1) får en da a forwardprisen er gi ved [ ] F E S e µ (r )(T ),T = T (5.4) Forwardprisen er proporsjonal med den forvenede spoprisen. Markedsprisen på risiko er definer ved ( µ r) λ= (5.5) σ hvor µ er aksjens drif, r er risikofri avkasning og σ er aksjens volailie. Innseing av (5.5) i (5.3) gir da a,t T [ ] (T ) F = E S e λσ (5.6) Dee viser a forwardprisen ved idspunk T er den forvenede spoprisen korriger for markedsprisen på risiko [Hull, 000]. Forwardprisen er dermed den risikonøyrale forvenningen il spoprisen ved id. For elekrisie er lagringsmuligheene minimale. Dermed vil både kosnader knye il lagring og eierfordelen ved å ha råvaren ilgjengelig falle bor. Dee medfører a fuure- og forwardkonraker ikke kan prises ved hjelp av arbirasjeargumener som en benyer ved prising av andre råvarer. I sede oppsår forward- og fuureprisene for elekrisie som e resula av markedes behov for risikosyring (hedging) og ønske om å spekulere. Produsenene hedger ved å selge forwardkonraker mens sore forbrukere ønsker å sikre seg mo sore svingninger i prisene ved å kjøpe slike konraker. Samidig er de spekulaner som både kjøper og selger avhengig av egne forvenninger om hvilken vei markede beveger seg. Disse forvenningene baserer seg gjerne på bruk av modeller for framidige spopriser som for eksempel Samkjøringsmodellen [Fleen og Lemming, 001]. For elekrisie har en da a risikopremien er differansen mellom forvene spopris og markedsprisen i forwardmarkede. 4

30 5.4 Empiriske undersøkelser av forwardprisene Vi har idligere i denne oppgaven vis a spoprisene ikke følger en lognormalfordeling og dermed a den ikke følger en geomerisk brownsk bevegelse. Forwardprisene er en risikojuser forvenning il spoprisene. De virker derfor lie rolig a en forwardkonrak som løper over en periode med en underliggende spopris skal være lognormalfordel. For å undersøke hvorvid dee er ilfelle har vi ese om den naurlige logarimen il forwardprisene er normalfordel. For konraken FWV1-0 gir da hisoriske daa fra 000 og 001 følgende Q-Q plo Tes av normalfordeling på ln il pris av FWV1-0,999,99,95 Probabiliy,80,50,0,05,01,001 4,96 5,06 5,16 5,6 5,36 5,46 Ln Forward F Average: 5,1364 SDev: 0, N: 488 W-es for Normaliy R: 0,941 P-Value (approx): < 0,0100 Figur 5.1 Q-Q es for den naurlige logarimen il prisen på FWV1-0 i perioden Dee indikerer a forwardprisen på denne konraken ikke er lognormalfordel. For å kunne slå fas a dee generel se er ilfelle må en gjøre ilsvarende undersøkelser for andre konraker over ulike idsrom. Vi vil i kapiel 7 diskuere bruk av volailiessmil for handelen med opsjoner i krafmarkede. Dee gir implisi a markede ikke anser forwardkonrakene for å være lognormalfordele. 5.5 Forwardkurven - olkninger og modellering En forwardkurve er en kurve som er rukke på grunnlag av observasjoner om forwardprisene for ulike idspunk T i framiden observer fra samme idspunk, der T >. Figur 5. viser forwardkurve ved Nord Pool den 7. og 8. okober 00. De er flere konraker som kan dekke samme idspunk. For å få høyes mulig oppløsning har de derfor bli benye så kore konraker som mulig for de ulike idsrommene. 5

31 Forwardkurve ved Nord Pool 07. Og 08. okober 00 50,00 5,00 NOK/ MWhh 00,00 175,00 150,00 15,00 07.ok.0 08.ok.0 100, Tid [dager] Figur 5. Forwardkurven ved Nord Pool 07. og 08. okober 00 En ser av grafen a forwardkurven endrer seg mer på de nære konrakene enn de lange fra den ene dagen il den andre. Noe av probleme med denne kurven er a den ikke kan si noe om prisen på en forwardkonrak som srekker seg over andre idsrom enn de konrakene som er skisser i kurven. Spesiel vanskelig vil de være å prise konraker som srekker seg over sprange vi ser mellom o konraker i figuren over. Som idligere nevn går en forward- eller fuurekonrak i de nordiske krafmarkede over en periode og kan egenlig sees på som en serie av enkelsående døgnkonraker. En måe å løse probleme med prising av andre fuureog forwardkonraker på er derfor å konsruere glae forwardkurver. En måe å gjøre dee på er ved represenere forwardprisen for e uendelig kor idsrom T se fra dag som f(,t). Man kan da konsruere en glaere forwardkurve hvor hver idspunk s på forwardkurven represenerer forwardprisen for id s se fra idspunk, f(,s). Bjerksund mfl viser da a en konrak for elekrisie som går fra T 1 il T er forwardprisen gi ved 1 T F(,T,T ) = w(s;r)f(,s)ds (5.7) T1 der rs e w(s;r) = (5.8) T rs e T1 f(,s) må da være slik a en konrak fra T 1 il T prises lik som markedsprisen på denne konraken [Bjerksund mfl, 000]. Kun e uvalg av konraker er ilgjengelig og dee begrenser i hvilken grad en kan få frem en slik eoreisk rikig og gla forwardkurve. Fleen og Lemming kombinerer meoden over med daa fra Samkjøringsmodellen for å få inn illeggsinformasjon om sesongsvingninger som følge av balansen mellom ilbuds- og eerspørselssiden. Tanken er a dee kan gi en mer korrek forwardkurve [Fleen og Lemming, 001]. 6

32 Den glae forwardkurvemodellen fra Fleen og Lemming er gi som e kvadraisk minimeringsproblem ved s. xi I I 1 lsq i i + i 1 i + i+ 1 i= 1 i= (5.9) min! W (x B ) W (x x x ) m rs e F(T,T,T ) x F(T,T,T ) ; (n, m) S (5.10) 0 n m bid m rs s 0 n m ask s= n e s= n der I S n m B i - anall dager over hele perioden - see med produker som kan observeres i markede - førse dag i leveringsperioden il en konrak i S - sise dag i leveringsperioden il en konrak i S pris for dag i fra samkjøringsmodellen F(T 0,T n,t m) bid - observer kjøpsbud i markede for en konrak i S F(T 0,T n,t m) ask - observer salgsbud i markede for en konrak i S W lsq - relaiv veking av differansen mellom forwardprisen og pris fra samkjøringsmodellen i målfunsjonen. - relaiv veking av glaingsledde i målfunksjonen W smo x i - momenan forwardpris med forfall ved dao i Her er de benye en forwardpris per dag, mens Bjerksund benye forwardprisen over e uendelig kor idsinervall. Inegrale fra Bjerksund er derfor her ersae med en summering. Modellen priser konrakene som kan observeres i markede innenfor bese kjøps- og salgsbud og ar i illegg hensyn il sesongvariasjonene som samkjøringsmodellen indikerer. For den nærmese idsperioden vil de være flere ulike konraker som løper over samme idsrom, mens de for konraker med mer enn 6 il1 måneder fram i id kun vil være 1 il 3 konraker for hver idsrom. Dee gjør a den glae forwardkurven er svær dealjer og innholdsrik på kor sik og mindre dealjer på lenger sik. 7

33 6 Opsjoner i krafmarkede I de nordiske krafmarkede har de bli omsa opsjoner i OTC markede i lang id. Fra og med 9. okober 1999 har dee også bli handle ved Nord Pool [Nord Pool, 1999]. Nord Pool omseer i dag kun europeiske opsjoner eer å ha fjerne asiaiske opsjoner med virkning fra våren 001 som følge av lav omsening [Nord Pool, 001]. I OTC markede omsees både vanlige og asiaiske opsjoner med europeisk eller amerikansk innløsning [Haug, 1999]. Underliggende insrumen for de europeiske opsjonene som omsees ved Nord Pool er forwardkonraker på sesonger og år. Disse opsjonene er også sandardiser med anke på innløsningspris, innløsningsidspunk og volum. Sandard volum på en konrak er 1 MW mulipliser med lengden av underliggende konrak i imer. Inervalle for innløsningspriser er kroner for konraker med pris under 100 NOK/MWh, 5 NOK for konraker med pris mellom 100 og 00 NOK/MWh og 10 NOK for konraker med forwardpris over 00 NOK/MWh. I de bilaerale markede sår man fri il å avale vilkår som avviker fra dee, men NECH clearer kun opsjoner som oppfyller disse sandardbeingelsene. Asiaiske opsjoner er en fellesbeegnelse på en sor gruppe opsjoner hvor ubealingen avhenger av e gjennomsni på underliggende insrumen. Disse kan ha amerikansk eller europeisk innløsning. Dersom en benyer geomerisk gjennomsni for konraken vil de kunne være mulig å finne analyisk løsning på opsjonsverdien. Dersom arimeisk gjennomsni benyes er de vanskelig å finne analyiske løsninger. Approksimasjoner eller Mone Carlo simulering er da alernaive. Denne oppgaven vil ikke gå nærmere inn på asiaiske opsjoner 6.1 Prising av europeiske opsjoner på forwardkonraker med Black 76 Den mes anvende meoden for å prise europeiske opsjoner i krafmarkede i dag er den såkale Black 76 modellen [Black, 1976]. Dee er en modifiser ugave av Black & Scholes modellen (1973) og gjelder for opsjoner med fuure/forwardkonraker som underliggende. Black 76 bygger på de samme foruseninger som den generelle Black & Scholes modellen med lognormale priser. I denne modellen beregnes opsjonspremien, c, for en kjøpsopsjon ved Opsjonspremien for en salgsopsjon er gi ved [ ] rt c e F N(d 1) X N(d ) = (6.1) [ ] rt p e X N( d ) F N( d 1) = (6.) der F ( X ) + σ ln T / d1 = σ T 8

34 d = d1 σ T Her er F forwardprisen, X er innløsningspris, T er id il opsjonens forfall, σ er volailieen il underliggende forward/ fuurekonrak, N(x) er den kumulaive normalfordelingen og r er risikofri rene. De er idligere i denne oppgaven skisser hvordan den berøme Black-Scholes- Meron differensialligningen for en opsjon på en underliggende aksje kommer fram. Tilsvarende argumen kan benyes for å ulede en modell for en opsjon på en underliggende forward/fuure konrak. En ender da opp med en differensialligning på formen δ δ F f 1 f + σ F = rf (6.3) Her er F underliggende forwardkonrak mens f er opsjonen [Hull, 000]. Løser en denne ligningen med hensyn på iniialverdibeingelsene ender en opp med Black 76 modellen. 9

35 7 Volailie Bredden på sannsynlighesfordelingen il endringen i spoprisene er e urykk for volailie. Volailie ugjør den vikigse egenskapen ved spoprisen for prising av opsjoner og ved risikosyring av en konraksporefølje, da bredden på fordelingen sier noe om sannsynligheen for a opsjonen skal uløpe in he money. Prisen på opsjoner øker dermed med volailieen il underliggende. Figur 7.1 illusrerer dee grafisk. Linjen for opsjonsforjenese gjenspeiler forjenesen på en kjøpsopsjon med innløsningspris lik 170. Underliggende pris er normalfordel, og forvene pris for innløsningsdaoen er 150. Normalfordel pris Opsjonsforjenese Figur 7.1 Sammenhengen mellom prisfordelingen og opsjonsverdien I mange energimarkeder er selve volailieen volail. Clewlow & Srickland (000) viser il graf av spopris for olje, der de fremgår a volailieen ikke er konsan over id. En rekke forfaere foreslår modeller for sokasisk og idsvarierende volailie. Clewlow & Srickland, (000) gir en oversik. Pilipovic (1998) bruker erminsrukur for volailie som e begrep. Hun veklegger a denne egenskapen ofe ignoreres ved modellering, noe som kan få konsekvenser ved risikosyring av energikonraker. Volailie i Black & Scholes formel er forvene gjennomsnisvolailie i perioden frem il opsjonens forfall og er dermed gi som en konsan. Samuelsons hypoese går u på a forwardprisvolailieen øker som følge av a forfallsiden avar [Clewlow & Srickland, 000]. Dee er også funne for de nordiske elekrisiesmarkede [Koekebakker og Ollmar, 001]. Koekebakker og Ollmar finner ved hjelp av PCA-analyse (Principal Componen Analyse) a 5 prosen av variansen i forwardkurven er spesifikk for hver forfallsdag for forwardkonrakene. I følge Koekebakker og Ollmar kan en forklaring på dee være a man har mer relevan informasjon ilgjengelig eersom forwardkonrakene nærmer seg forfall. I e empirisk sudie ufør av Fama & French ble de funne a volailie i aksje- og råvaremarkede hovedsakelig ble dreve av handelsakivie i sørre grad enn av ilgang på ny informasjon [Hull, 000]. 30

36 7.1 Sandardavvik og varians Nedenfor følger urykkene for uregning av sandard-avvik, STD, og varians, VAR, av endringene i spopris S ds ds ds Var = E E S S S (7.1) ds STD = VAR (7.) S De som er vikig å legge merke il her er a varians og sandardavvik er spesifikk for den hisoriske perioden daaene over spoprisendringer er hene fra. De gir derfor lien nye å sammenligne disse o målene mellom fordelinger dersom de ikke henviser il eksak samme idsperiode. 7. Definisjon av volailie Volailieen, σ, er definer som sandardavvike il spoprisendringene normaliser med hensyn il annualiser id: ds STD = S σ (7.3) d Volailie gir oss alså en mer sandardiser måe å sammenligne bevegelsene i spopriser på enn sandardavvik og varians. 7.3 Hisorisk volailie Når man regner u hisorisk volailie, finner man gjennomsnilig volailie for perioden som analyseres. Den vanligse meoden som brukes er å regne u daglige endringer u fra sluprisene i markede. Når man har ilgang il markedsdaa for hver enkel handelsdag, er de mulig å regne u hisorisk volailie u fra daglige maksimum- og minimumspriser og korrigere noe for disse daglige eksremprisene, noe som medfører mindre samplingsfeil enn ved bruk av daglige slupriser. Slike daa er le ilgjengelig for sandardproduker på Nord Pool. Ved bruk av hisorisk volailie som inpuparameer i Black76 vil en oppleve a prisene ikke semmer overens med markedsprisen på opsjonen. Ufordringen i modellen ligger derfor i å benye en volailie som priser konsisen med markedsprisen. 31

37 7.4 Markedsimplisi volailie Implisi opsjonsvolailie er den volailieen som gir markedsprisen il opsjonen. Denne er selvfølgelig serk avhengig av hvilken opsjonsmodell man bruker for å regne u opsjonspremien. For opsjoner i de nordiske krafmarkede blir implisi volailie gi ved opsjonsmodellen Black 76. De er ikke mulig å finne implisi volailie ved å inverere urykkene i formlene for Black 76. En må derfor benye ieraive søkeprosedyrer for finne denne volailieen. Haug (1997) presenerer Newon-Raphson meoden i denne forbindelse. Meoden er gi ved σ i+1 ( σ ) c i c = σi c σ i m (7.4) der man iererer innil ( ) c c σ ε (7.5) m i+1 σ i + 1 er implisi volailie, ε er ønske grad av nøyakighe, cm er markedsverdien av opsjonen og c er vegaverdien for opsjonen evaluer ved σ σ i. Haug (1997) refererer videre il i Manaser og Koehler sarverdi, som garanerer konvergens for europeiske Black & Scholes opsjoner. Denne er gi ved ( S ) 1 σ 1 = ln + rt K T (7.6) der S er underliggende pris ved beregningsidspunke, K er opsjonens innløsningspris, T er iden il innløsning gi i år og r er risikofri rene. Implisi volailie er således markedes mening om volailieen il underliggende prisprosess i idsromme frem il opsjonen opphører gi en opsjonsmodell. Opsjoner som er dyp in he money eller dyp ou of he money vil være relaiv innsensiive il volailieen og den implisie volailieen il en slik opsjon vil derfor ikke være spesiel represenaiv [Hull, 000]. Ulike meglerhus leverer implisi volailie beregne på grunnlag av markedsprisen på opsjonen. Tabell 7.1 viser implisi volailie for ulike konraker den lever av meglerfirmae M3 Kraf/APX. Konrak Kjøpsopsjon Salgsopsjon FWV % 9 % FWSO-03 9 % 9 % FWYR-03 6,5 % 5,5 % FWYR-04 18,5 % 17,5 % FWYR % 14 % 3

38 Tabell 7.1 Implisi volailie for ulike konraker Her ser en a implisi volailie for en kjøps- og en salgsopsjon ikke nødvendigvis er like. Dee viser a noen av foruseningene bak Black & Scholes modellen ikke er ilsede. Denne modellen foruseer blan anne a de ikke finnes noen ransaksjonskosnader eller skaebeingelser, noe som ikke er ilfelle i dee markede. Black & Scholes modellen foruseer videre underliggende følger en GBM med konsan drif og volailie, a handelen foregår koninuerlig i id og a risikofri rene er konsan og lik for alle forfall. Disse foruseningene er heller ikke ilfredssil. Av abellen ser man også a den implisie volailieen faller for konraker framover i id. Figuren under viser hvordan implisi volailie har endre seg for konraken FWYR-03 over en periode [M3 Kraf/APX]. Opsjoner på denne konraken har forfallsdao Figuren gir dermed e bilde av hvordan verdien på denne opsjonen har endre seg over id. FWYR-03 Call Las FWYR-03 Pu Las FWYR-03 Close Vol % Close 0 Dae Figur 7. Implisi vol. for FWYR-03 i perioden il [M3 Kraf/APX] Vi kan også finne erminsrukur for volailie u fra opsjonskonraker som caps og floors. (Tak- og gulvkonraker). En cap besår av en serie kjøpsopsjoner, og en floor besår av en serie salgsopsjoner. En cap ( floor) har en løpeid som refererer il differansen mellom opphørsdaoene il kjøpsopsjonene ilhørende cap`en. Eksempelvis besår en eårig cap med månedlig løpeid av olv individuelle kjøpsopsjoner, eller caples, der den førse opphører om en måned, den andre om o måneder osv. Å finne erminsrukuren u fra caps og floors er en kompliser oppgave, der man prøver å esimere alle caple-volailieene slik a man oppreholder markedsprisene il gie cap-priser. 7.5 Volailiessmil Når den underliggende prisfordelingen har ykkere haler enn lognormalfordelingen og en likevel benyer en opsjonsmodell baser på en lognormalfordel prisprosess, er de vanlig å 33

39 korrigere dee ved å jusere volailieen for ulike innløsningspriser. Dersom en ploer den implisie volailieen som en funksjon av innløsningsprisen vil volailieen øke med avsanden mellom innløsningsprisen og markedsprisen. Disse grafene ser ofe u som e smil og derav navne volailiessmil. Denne grafen behøver ikke nødvendigvis å være forme som e smil, al avhengig av hvordan den virkelige fordelingen av priser er i forhold il fordelingen opsjonsmodellen er baser på. I følge Wilmo (1998) kan dee også se u som en grimase. Dersom opsjonsmodellen en bruker gjenspeiler den virkelige fordelingen il underliggende pris, vil volailieen være en fla graf som funksjon av innløsningsprisen. Også i krafmarkede observerer en bruk av volailiessmil ved bruk av Black 76 som opsjonsmodell. Figur 7.3 viser e eksempel på e volailiessmil for konraken FWV-0 som handles på Nord Pool [M3 Kraf/APX]. Dee indikerer a forwardkonrakenes fordeling har ykkere haler enn lognormalfordelingen og underbygger de empiriske resulaene fra kapiel 5.4. Figur 7.3 E eksempel på e volailiessmil for FWV-0 [M3 Kraf/APX] Her angir allene langs aksen for innløsningsprisen prosenalle for delaverdien il henholdsvis salgsopsjoner, p, og kjøpsopsjoner, c. Delaverdien angir prosen endring i opsjonsverdi med hensyn il endring i pris på underliggende. For en kjøpsopsjon, c, med underliggende, S, er dela,, gi ved c = S Opsjoner er mindre sensiive med hensyn il underliggende jo lenger ou of he money de er. Implisi volailie i figur 7.3 er beregne ved å benye en Newon-Raphson meode [M3Kraf/APX]. 34

40 7.6 Volailiesmarise Man kan argumenere med a spoprisen må modelleres med o fakorer på grunn av lien korrelasjon mellom forwardprisen i den kore og den lange enden av forwardkurven. Koekebakker og Ollmar (001) har empirisk funne a volailieen il spoprisen i Nord Pool faller rask som en funksjon av forfallsiden il forwardkonrakene, og a de sabiliserer seg eer e års id. I Pilipovic (1998) veklegger man en odimensjonal marise med id som en dimensjon og forwardpris (konrak) som den andre dimensjon. I Hull (000) veklegges marise der dimensjonene besår av id og innløsningspris. 7.7 Sokasisk volailie En populær modell for sokasisk volailie er foreslå av Hull & Whie (1998), og har senere bli videreuvikle av en rekke forskere. Denne er beskreve ved ds = µ Sd + σ Sdz (7.7) _ dv = a( V V ) d + ξ V dw (7.8) der V=σ og urykke for ds er GBM modellen med volailie som ikke lenger er konsan, men som endrer seg i e ilfeldig mønser. Variansen V har mean reversion mo e langidsnivå _ V. Kilden il den ilfeldige endringen i de o urykkene, dw og dz, kan begge urykkes ved ε, der ε er e ilfeldig all fra sandard normalfordelingen. ε vil derimo ikke være lik for de o prosessene slik a dw og dz er uavhengige. dz og dw kan evenuel være korreler med en koeffisien ρ. 35

41 8 Uvikling av en ny opsjonsmodell I dee kapiele vil de bli vis hvordan Lucia og Schwarz enfakormodell på spoprisene kan bli benye il prising av opsjoner med forwardkonraker som underliggende insrumen. For å kunne gjøre dee vil vi renge en generaliser versjon av prismodellen. Vi viser hvordan dee kan gjøres og dereer hvordan denne generalisere modellen benyes il prising av opsjoner. I dee kapiele snakker vi kun om forwardkonraker med leveringsperiode på en dag. I kapiel 9 viser vi hvordan dee kan generaliseres il å gjelde for opsjoner på forwardkonraker med lengre leveringsperiode. 8.1 Uledning av generell modell for forwardprisen I kapiele om modelleringen av spoprisene ble de vis a Lucia og Scwarz enfakormodell gav a den generelle prisprosessen var gi som summen av e deerminisisk ledd og e sokasisk ledd P = f() + X Under gie beingelser om den iniielle prisen ved id 0 gir dee en generell prisprosess for spoprisen ved κ k(s ) = + 0 +σ 0 P f() X e e dz(s) For å kunne prise verdien av derivaer i en risikonøyral verden, renger man en risikojuser prisprosess. Lucia og Schwarz viser en slik risikojuser prosess for X er gi ved Der * α er gi ved ( ) dx = X d + dz * * κ α σ (8.1) α * λσ κ (8.) Her er λ gi som markedsprisen på risiko. Vedlegg 6 gir sammenhengen mellom den risikonøyrale og ikke-risikonøyrale modellen for en diskre versjon av prosessen for X. Samme argumenasjon som for den vanlige prisprosessen gir da a den risikonøyrale prisprosessen er gi ved κ ( ) () * κ κ s = + ( ) * P f X e α e σ e dz s (8.3) Denne prisprosessen inneholder kun en normalfordel sokasisk variabel og dee medfører a selve prisprosessen er normalfordel med ( ) 36

42 κ ( ) = ( ) + κ 0 + ( 1 ) * * E P f X e e α (8.4) σ κ ( ) = ( 1 ) * Var P e κ (8.5) Verdien ved =0 av en forward konrak som opphører ved id T er gi ved: rt * (, ) = (, ) v0 X T e E0 PT F0 P0 T (8.6) F 0 er verdien ved id 0 for en konrak som forfaller ved id T og r er risikofri rene. Da verdien av en forwardkonrak er 0 ved konraksinngåelse, får en følgende urykk for forwardprisen: ( ) ( ) ( ) ( ) κ κt ( ) ( ) F P, T = E P = f T + P f 0 e + α 1 e (8.7) * * T 0 I Lucia og Schwarz modell er gi i dager og der =0 er 1. januar e vilkårlig år. Verdien F 0 (P 0,T) blir dermed prisen ved dag 0 av en forwardkonrak med forfall ved dag T. For å kunne prise en vilkårlig forward på e vilkårlig idspunk på åre må derfor prosessen generaliseres. Prisen ved e vilkårlig idspunk på en forward med forfall T vil kunne urykkes ved ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) κ( T ) κ( T ) ( ) F P T = E P = f T + P f e + α e (8.8), * * 1 T Vi definerer nå følgende noasjon som benyes i den videre uledningen: = beregningsdag for opsjonen T = forfall for opsjonen T F = forfall for forwardkonraken Man kan nå finne e risikonøyral urykk for spoprisen ved id T gi a en kjenner spoprisen ved. Dee er gi ved: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) T ( ) ( ) κ T * κ T κ s T * PT f T P f e e e dz s = + + α + σ (8.9) ( ) Urykke for forwarden ved id T med forfall T F blir ved samme argumenasjon som benye av Lucia og Schwarz over: 37

43 ( ) ( ) ( ) ( ) κ( TF T) * κ( TF T) ( ) F P, T = f T + P f T e + α 1 e (8.10) T T F F T Seer inn urykke for P T gi ved (8.9) inn i (8.10) og forenkler. Dee gir: κ( F ) ( ) T κ( TF ) κtf κ s T ( T, F) = ( F) + ( ( )) + *( ) + * 1 T F P T f T P f e e σ e dz s α e (8.11) Vi har nå e sokasisk urykk for forwardprisen, mens man i den opprinnelige modellen hadde en deerminisisk funksjon for denne. Dee skyldes a forwardmodellen nå ar inn e sokasisk urykk for spoprisen der en idligere hadde en deerminisisk spopris. Forwardprisen ved id T vil nå være normalfordel med forvenning og varians gi ved ( ) ( ) ( ) ( ) κ( TF ) * κ( TF ) ( ) µ F = E F, = T T P TF f TF P f e α e (8.1) κ( TF T) σ κ( s T) (, ) κ s = Var F PT TF = e e s= T s= σ = e e κ κ( T T) κ( T ) F F (8.13) En ser a urykke for forvenningen il forwardprisen ved T er lik den forvenningen vi har il samme forward ved id. Denne forvenningsverdien er dermed hva modellen mener konraken skal handles på. Denne prisen bør ideel se være lik markedsprisen for de konrakene som omsees i markede. I figur 8.1 har vi ploe variansen som funksjon av forfallsdaoen il opsjonen. Foruseningene i figuren er esimere parameerverdier for κ og σ fra vedlegg. Tf er konsan lik 730, = 63 og T varierer fra 107 il 730: 38

44 Figur 8.1 Variansen som funksjon av iden il opsjonens forfall T gi og T F konsan Grafen viser hvordan variansen øker med forfallsiden il opsjonen. Økende varians skal eoreisk gi høyere opsjonsverdi. For sandardisere opsjoner i krafmarkede er forfallsdaoen sa il redje orsdag i måneden før underliggende forwardkonrak går il levering. Dee gir a idsromme mellom opsjonens forfall og idspunke der underliggende konrak går il levering ligger mellom 10 og 16 dager. Dersom en anar a opsjoner på dagkonraker, som vi behandler her, også vil ha en ilnærme konsan avsand mellom disse idspunkene kan en ploe hvordan variansen da endrer seg med forfallsdagen T F. Vi seer T = T F 14, som da beyr a opsjonen går il innløsning 14 dager før dagkonraken går il levering. Dee gir da følgende bilde for variansen som en funksjon av økende T F. 39

45 Figur 8. Variansen som funksjon av iden il forwardens forfall T f gi T=T f -14 og konsan Grafen i figur 8. virker naurlig eersom man kan forvene a mulig ufall på en forward vil øke med id il levering. Modellen bygger på mean reversion og dee ilsier a ufalle skal begrenses over id. I figuren begrenses mulig ufall mo en grenseverdi på lang sik gi ved s σ κ( TF T) = e (8.14) κ 8. Analyisk løsning for europeisk kjøpsopsjon Vi benyer samme noasjon for de ulike idspunk som idligere. Benyer a forvenningen il F T urykkes ved µ og sandardavvik urykkes ved s, der disse er gi ved (8.1) og (8.13). F T Verdien av en europeisk kjøpsopsjon ved forfall T er gi ved c = max 0,F K = F K g F df { } ( ) ( ) T T T T T K (8.15) Der K er innløsningsprisen og g(f T ) er sannsynligheseheen il den normalfordele variabelen F T. I vedlegg 3 uleder vi en analyisk løsning for opsjonspremien ved beregningsidspunk gi ved s c = e + ( µ F K) N e T π s K µ F T s rt µ F K T 365 ( ) (8.16) Her er r den koninuerlige risikofrie renen og N[ ] er den kumulaive sandard normalfordelingen. 8.3 Analyisk løsning for europeisk salgsopsjon Vi benyer samme noasjon som under uledning av kjøpsopsjonen. Vi har da a verdien av en europeisk salgsopsjon ved dens forfall T er gi ved K { } ( ) ( ) p = max 0,K F = K F g F df (8.17) T T T T T 40

46 Der K er innløsningsprisen og g(f T ) er sannsynligheseheen il den normalfordele variabelen F T. I vedlegg 4 uleder vi en analyisk løsning for denne opsjonen gi ved s p = e + ( K µ F ) N e T π s 1 K µ F T r(t ) s K µ F T 365 (8.18) Her er r den koninuerlige risikofrie renen og N[ ] er den kumulaive sandard normalfordelingen. 8.4 Valg av deerminisisk funksjon De deerminisiske ledde i prisprosessen er idligere referer il som f(). Vi velger å benye funksjonen for f() benye i modell i Lucia & Schwarz (00). Denne var gi ved () = α + β + γ cos ( + τ) f D π 365 der D = 1 hvis dag er en helgedag, og D = 0 hvis dag er en ukedag. Vi velger å bruke denne modellen da Lucia & Schwarz (00) finner laves verdi for RMSE (Roo mean squared error) ved å benye denne funksjonen il beregning av fuure- og forwardverdier over alle fuure- og forwardkonraker som handles for e anall gie daoer. Alernaiv funksjon for f() er gi i ligning (4.1) som modell 1 [Lucia & Schwarz, 00]. 8.5 Mone Carlo simulering av modellen For å verifisere den analyiske løsningen har de bli uvikle en Mone Carlo simulering av modellen. Dee er gjor eer fremgangsmåe fra Clewlow & Srickland (000) og (1998). Meoden går u på å simulere mulige spopriser for forfallsdaoen il opsjonen. Ved hjelp av disse simulere prisene og (8.10) får man en forvene verdi på forwardprisen man har en opsjon på. Denne forwardprisen sammenlignes med innløsningsprisen il opsjonen for besemmelse av forjenesen opsjonen gir. Esimer opsjonspremie finnes dereer ved å diskonere gjennomsnie av alle verdiene for forjenesen på opsjonen i de ulike scenariene. Oppsummer gjøres dee som følger: En har følgende urykk for spoprisen ved forfallsdagen, T: T ( ) P = f T + X T 41

47 X T simuleres fra beregningsdagen il forfalldagen T for opsjonen, med 1 dag som oppløsning ved hjelp av formelen X = (1 ) X 1 + dz * κ λσ σ (8.19) som på diskre form kan skrives X = (1 ) X 1 κ λσ + σε (8.0) der ε er en ilfeldig rekning fra sandard normalfordelingen. En kan nå finne spoprisen,p T, gi av dee scenarie. Denne innsa i (8.10), som også gjengis under, gir prisen på den underliggende forwarden for opsjonen. ( ) ( ) ( ) ( ) κ( TF T) * κ( TF T) ( ) α F P, T = f T + P f T e + 1 e T T F F T Verdien av opsjonen ved e gi scenario beregnes ved følgende urykk for en kjøpsopsjon, der innløsningsprisen er gi ved K: ( ( ) ) C = max 0, F P, T K (8.1) T T F For en salgsopsjon med innløsningspris K er verdien av opsjonen gi ved ( ( )) C = max 0, K F P, T (8.) T T F Esimer opsjonspremie finner vi ved å diskonere gjennomsnie av forjenesen på opsjonen i alle scenariene, i. For e anall scenarier M får vi da følgende urykk for esimer opsjonspremie, C ^ : ( ) 1 C e C ^ 365 = rt M M i= 1 T, i (8.3) En sammenligning av analyisk løsning og simulering 4

48 Baser på parameere gi i vedlegg 1 og med en markedspris på risiko på 0 har vi gjor følgende sammenligning mellom analyisk løsning og simulering Beregningsdao: Opsjonens forfallsdao: Dao for forward: Innløsningspris: 155,00 Spopris, beregningsdao: 17,34 Risikofri rene: 7,0 % Analyisk formel gir forvene forwardverdi = 159,4, og følgende opsjonspremie: Kjøpsopsjon = 6,41 Salgsopsjon =,5 Mone-Carlo-simulering gir følgende resulaer med hhv 1000 og simuleringer: Anall simuleringer Premie Kjøpsopsjon Premie Salgsopsjon ,63, ,44,31 Tabell 8.1 Resulaer fra Mone Carlo simulering med λ lik 0 Tilsvarende beregning er også ufør med en implisi markedspris på risiko gi ved λ = Dee er den verdien Lucia og Schwarz finner på risikopremien på grunnlag av observasjoner i forwardmarkede i perioden desember 1998 il og med november Analyisk formel gir forvene forwardverdi = 157,11, og følgende opsjonspremie: Kjøpsopsjon = 5,11 Salgsopsjon = 3,04 Mone-Carlo-simulering gir følgende resulaer med hhv 1000 og simuleringer: Anall simuleringer Premie Kjøpsopsjon Premie Salgsopsjon ,18, ,10 3,0 Tabell 8. Resulaer fra Mone Carlo simulering med λ lik 0,018 U fra denne esen ser en a den analyiske opsjonsformelen og simuleringene semmer bra overens. Vi kan dermed slå fas a den analyiske opsjonsformelen virkelig gir de korreke verdiene for salgs- og kjøpsopsjoner når Lucia og Schwarz` prismodell er underliggende prisprosess. En ser her a forvene forwardpris synker når λ økes fra 0 il 0,018. Dee ser en også av likning (8.11). Når dee skjer forskyves fordelingen il forwardprisen mo vensre. Innløsningsprisen holdes konsan for de o beregningene. Denne forskyvningen medfører derfor en øk sannsynlig for a salgsopsjonen skal havne in he money og en lavere sannsynlighe for a dee skal skje med kjøpsopsjonen. Dee medfører a salgsopsjonen siger i verdi og a kjøpsopsjonens verdi avar fra abell 8.1 il

49 9 Generalisering av opsjonsmodell Vi har il nå prise en opsjon på en underliggende forwardkonrak som kun srekker seg over en gi dag. Forwardkonrakene i de nordiske krafmarkede går over en periode. I dee kapiele generaliserer vi opsjonsmodellen fra forrige kapiel slik a denne kan anvendes på forwardkonrakene som handles i markede. 9.1 En approksimer forwardverdi og varians Vi har idligere vis hvordan Bjerksund mfl og Lemming og Fleen veier de ulike dagene i konraksperioden for å finne en pris for forwardkonraken. Lucia og Schwarz gjør en approksimasjon il urykke som Fleen og Lemming benyer og sier a forwardprisen for en konrak som srekker seg fra T 1 il T er gi ved T 1 F ( P ;T,T ) = F ( P,T) (9.1) T T 1 T = T1 Vår opsjonsmodell krever forvene forwardpris ved id T, µ FT, og sandardavvike,s, inn som parameere. For en konrak som srekker seg over en idsperiode benyer vi derfor, i råd med (9.1), a forvenningen il forwardkonraken ved idspunk er gi ved F F1 F F TF T T F 1 1 τ= F1 T F 1 µ ( P;T,T ) = µ ( P; τ) (9.) + Der T F1 og T F er henholdsvis førse og sise dag i konrakens leveringsperiode. Forvenningen il konraken blir alså den gjennomsnilige forvenningen il alle dagene over konraksperioden. Vi benyer her T F -T F1 +1 for å få med alle dagene i beregningsperioden slik a approksimeringen er like gyldig for konraker med kor som med lang leveringsperiode. Dee urykke kan skrives u il F F1 F TF T T F 1τ= 1 F1 T { } F 1 κ( τ ) * κ( τ ) µ ( P;T,T ) = f( τ ) + ( P f() ) +α ( 1 e ) (9.3) + Denne forvenningsverdien il en konrak vil være de modellen verdseer konraken il og skal ideel se, dersom modellen er opimal, gi priser lik markedsprisen. En kan derfor sammenligne prisen modellen gir for ulike konraker på en gi dao med de observerbare markedsprisene for denne daoen. Vi har gjor dee for 05. mars 00. Spoprisen for denne dagen var 153,40 NOK/MWh og dee gav følgende resula 44

50 Konrak Beregne verdi Markedspris Relaiv differanse GU1-0 14,9 141,00 1,36 % GU ,64 131,00 0,49 % BG ,8 109,50-1,11 % GB ,56 138,00-1,77 % FWV-0 158,57 157,00 1,00 % FWYR ,39 15,75-9,40 % FWYR ,49 168,75-17,93 % Tabell 9.1 En sammenligning av markedspriser og beregnede priser for ulike forwardkonraker den 05. mars 00 Vi har her benye den gjennomsnilige implisie markedsprisen på risiko (λ=0,018) som Lucia og Schwarz finner når de benyer sin enfakormodell med en sinusforme deerminisisk funksjon. De andre paramerene er gi i vedlegg 1. I implemeneringen av denne modellen har de bli a hensyn il a prisene er lavere i helgene, mens nedgangen i prisen ved andre hellig- og feriedager ikke er a hensyn il, da dee kompliserer implemeneringen i VBA (Visual Basic for Applicaions) berakelig. Dee vil kunne gi noe høyere pris på forwarden enn hva en egenlig skulle observer, avhengig av analle helligdager i perioden. Som en ser er uslagene små på de korese konrakene. Differansen blir beydelig på de lange konrakene. Som idligere nevn ar Lucia og Schwarz deerminisiske funksjon ikke hensyn il den langsikig prisveksen som markede forvener og dee ser en konsekvensen av her. Fra uledningen av den generelle forwardkonraken har vi a variansen for en gi forwarddao T F er gi ved σ κ = F F s e e κ( T T) κ( T ) For en variabel Y gi som summen av e se uavhengige normalfordele variable X 1 il X n har en a Y = a1x1+ ax + + anxn (9.4) Y vil da ha en varians gi ved s = a s + a s + + a s (9.5) Y 1 1 n n Forwardprisen i modellen som anvendes her er normalfordel. Dee gir a variansen il summen over n dager i konraksperioden dermed er gi ved s = s + s + + s (9.6) TF1 TF1+ 1 TF For en forwardkonrak vil en dermed ha a 45

51 s TF si i= TF1 konrak = F F1 T T + 1 (9.7) Av urykke for variansen for en vilkårlig konraksdag T F ser en a variansen faller med økende T F. På grunnlag av svær lien verdi på κ skjer dee falle nærmes lineær. Vi foreslår derfor å benye variansen for den miderse dagen i konraksperioden som en approksimasjon il konrakens sandardavvik s = e e κ TF+ TF1 TF+ TF1 σ κ T κ (9.8) Dee urykke er enklere å håndere. Dessuen har en fra Lucia og Schwarz a auokorrelasjonen mellom prisene over e inervall er høy. Dee indikerer a prisene ikke er uavhengig fordel og a ligning (9.7) er en forenkling. Figur 9.1 viser e plo av variansen for konrakene FWSO-0, FWV-0, FWV1-0 og FWYR-03 gi beregningsdag , dag 63, og forfallsdag for opsjon redje orsdag i måneden før levering. Paramerene for κ og σ er gi i vedlegg. Piler i figuren viser variansen vi bruker som en approksimasjon for de enkele konrakene. FWYR-06 er også lag inn for å danne e bilde av hva som skjer på lang sik. Figur 9.1 Variansen over konraksperioden for ulike konraker og anvend verdi i modell for gie konraker. 46

52 Av grafen ser vi a approksimasjonen gir e god bilde av gjennomsnilig volailie for de nærese konrakene. På lang sik, kan approksimasjonen se u il å gi en noe lavere verdi en gjennomsnie for konraken. Vi eser effeken av denne approksimasjonen i kapiel 9.4. For konraker med lang id il innløsning, vil en ved approksimasjonen gi i (9.8) få a sandardavvike, s, vil gå mo en grenseverdi gi ved TF+ TF1 σ κ T s= e κ 1 (9.9) Dee vil videre medføre a opsjonspremien for underliggende konraker som har lang id il innløsning kun vil skille seg fra hverandre med nåverdien av idsforskjellen. Verdien av en opsjon a he money på en forwardkonrak for 010 vil dermed være lik opsjonspremien på en forwardkonrak for 009 diskoner med innløsningsdaoene. r e 365, der er anall dager mellom de o 9. Egenskaper ved opsjonsmodell For å ese a opsjonsmodellen inneholder fornufige anakelser har de bli gjor sensiiviesanalyser på de ulike paramerene som inngår i formelverke. Dee har gi følgende resulaer for modellen Økning i parameer Kjøpsopsjon c Salgsopsjon p Tid il forfall T + + Sandardavik s + + Innløsningspris X - + Markedspris µ F + - Rene r - - Tabell 9. Egenskaper ved opsjonsmodellen + indikerer her a opsjonspremien øker ved en økning i den akuelle parameeren. beyr a opsjonspremien synker når parameeren øker. Dee semmer overens med hva en skal forvene fra en opsjonsmodell [Brealy & Myers, 000]. Uregningene er gi i vedlegg Resulaer av prising av opsjoner med forwardkonraker som underliggende Vi vil i dee kapiele prise opsjoner på underliggende forwardkonraker med vår modell og sammenligne dee med observerbare markedspriser på disse opsjonene. Dee gjøres for en del vilkårlige idspunk i perioden januar 001 il mars 00. Markedsprisen for opsjonene er beregne ved bruk av Black 76 med markedsprisen på underliggende forwardkonrak og implisi volailie som inpuparameere. Alle opsjoner er 47

53 prise a he money. Den implisie volailieen har bli lever av M3 Kraf/APX, mens prisen på forwardkonrakene har vær ilgjengelig gjennom Nord Pool. Vi benyer alså a en kjøpsopsjon er gi ved s c = e + ( µ F K) N e T π s K µ F T s rt µ F K T 365 ( ) mens salgsopsjonen er gi ved s p = e + ( K µ F ) N e T π s 1 K µ F T r(t ) s K µ F T 365 For opsjoner på konraker som handles i markede må forvenningen i formlene over ersaes med den observerbare markedsprisen for å a hensyn il markedes virkelige forvenningsverdi. For konraker som ikke handles i markede vil forvenningen beregnes vha (9.3), men s er gi av (9.8) for begge alernaivene. En prising av opsjoner a he money for med parameere gi i vedlegg 1 gir da følgende opsjonspremier Konrak Markedspris undeliggende [NOK/MWh] Implisi vol Bid/ask Sandardavvik s Vår Modell Markedspris Bid Markedspris Ask FWSO-0 10,5 33,75/35 3,77 1,49 5,57 5,78 FWV /7 0,99 0,38 11,09 11,97 FWYR-03 15,75 0,5/1,3 0,08 0,03 10,37 10,91 Tabell 9.3 Beregning av opsjonspremie for med parameere gi i vedlegg 1 Som en ser gir vår modell nesen ingen verdi på opsjonen. Dee skyldes a sandardavvike s for den underliggende konraken er svær lien. Lucia og Schwarz har i sin arikkel esimer parameerne i den deerminisiske funksjonen og mean reversion parameeren i enfakormodellene på grunnlag av hisoriske spopriser i perioden il For ofakormodellen må de velge en noe annerledes fremgangsmåe. Hisoriske spodaa i perioden il benyes for å esimere paramerene i den deerminisiske funksjonen. Dereer beregnes de reserende parameere implisi på grunnlag av spo- og fuure./forwarddaa for gie daoer i perioden il Lucia og Schwarz viser også a en ilsvarende meode kan benyes for enfakor modellen. Parameerne de da kommer fram il er vis i vedlegg. Lucia og Schwarz viser a denne 48

54 meoden gir også e mer korrek esima for forwardprisene sammenligne med de opprinnelige parameerne som ble esimer direke fra spoprisene. Den vikigse forskjellen mellom disse o esimaene for prising av en opsjon ligger i sørrelsen på mean reversion hasigheen κ. Denne var 0,011 for meoden baser direke på spoprisen og 0,0014 i den implisie beregningen. Av urykke for variansen for konrakprisen, gi av (9.8), ser en a parameeren κ direke påvirker sørrelsen på variansen. En lavere κ gir en høyere varians. Benyer vi paramerene for enfakormodellen gi av den implisie beregningsmeoden, ender vi opp med følgende opsjonspremier Konrak Markedspris undeliggende [NOK/MWh] Implisi vol Bid/ask % Sandardavvik s Vår Modell Markedspris Ask FWSO-0 10,5 33,75/35 13,41 5,30 5,57 5,78 FWV-0 157,00 5/7 6,86 10,3 11,09 11,97 FWYR-03 15,75 0,5/1,3 5,8 9,54 10,37 10,91 Tabell 9.4 Beregning av opsjonspremie for med parameere gi i vedlegg En ser a disse paramerene gir en lang bedre ilnærming il de opsjonspremiene man observerer i markede for denne dagen. Vi eser de samme parameerne for en rekke andre dager. Resulaene av dee er gi i abell 9.5 il 9.8. Konrak Markedspris undeliggende [NOK/MWh] Implisi vol Bid/ask % Sandardavvik s Vår Modell Markeds pris Bid Markedspris Bid Markedspris Ask FWSO ,65 7/9 19,98 7,81 5,95 6,39 FWV ,00 18,5/0 9,73 11,8 8,54 9,3 FWYR-0 136,98 13,4/13,9 6,89 10,03 6,76 6,96 Tabell 9.5 Beregning av opsjonspremie for med parameere gi i vedlegg Konrak Markedspris undeliggende [NOK/MWh] Implisi vol Bid/ask % Sandardavvik s Vår Modell Markedspris Bid Markedspris Ask FWSO /49 8,5 3,8 6,85 7,46 FWV ,7 34,5/37 5,47 9,83 17,44 18,69 FWV ,3 30,7/34 9,08 11,03 18,79 0,80 FWYR /5,5 4,48 9,9 1,38 13,0 Tabell 9.6 Beregning av opsjonspremie for med parameere gi i vedlegg Konrak Markedspris undeliggende [NOK/MWh] Implisi vol Bid/ask % Sandardavvik s Vår Modell Markedspris Bid Markedspris Ask FWV ,5 9/31,5 13,45 5,3 7,05 7,66 FWSO-0 147,50 31/3,5 3,7 9,17 11,73 1,9 FWV-0 174,5 6/30 31,48 11,8 15,77 18,18 Tabell 9.7 Beregning av opsjonspremie for med parameere gi i vedlegg 49

55 Konrak Markedspris undeliggende [NOK/MWh] Implisi vol Bid/ask % Sandardavvik s Vår Modell Markedspris Bid Markedspris Ask FWSO-0 16,75 34/36 19,93 7,79 11,59 1,7 FWV-0 186,0 4,5/7,5 9,66 11,6 14,56 16,34 FWYR ,50 0/ 6,90 10,04 1,73 14,00 Tabell 9.8 Beregning av opsjonspremie for med parameere gi i vedlegg Av de fem ulike daoene som er sammenligne over ser en a vår modell priser opsjonene uenfor markedes bid-ask spread. I fire av ilfellene er prisen lavere enn markedes kjøpsbud. Kun for gir vår modell høyere verdier enn markedsprisene. Man ser a den implisie volailieen i markede denne dagen er svær lav i forhold il hva en observerer for de andre daoene. 9.4 Mone Carlo simulering av generell opsjonsmodell I den analyiske løsningen for opsjonsformelen med forwardkonraker som underliggende har vi gjor en anakelse om a sandardavvike for midre dag i forwardens leveringsperiode kan benyes som en approksimasjon på konrakens virkelige sandardavvik. Ved å forea en Mone Carlo simulering der virkelig sandardavvik fremkommer og sammenligne dee med den analyiske løsningen, får man e esima på hvor unøyakig anakelsen om å benye den midre dagen i leveringsperioden som sandardavvik i analyisk løsning er for opsjonspremien. Vi har a ugangspunk i ulike konraker den Da Mone Carlo simuleringen beregner konrakens forvenede verdi og ikke ar hensyn il markedsprisen på konraken, er de nødvendig å benye denne forvenningsverdien i den analyiske løsningen. Dee medfører likevel ikke a opsjonspremiene endres, da en i begge ilfeller lar opsjonen bli handle a he money og s er lik i begge ilfeller. En sammenligning mellom den analyiske modellen og simuleringer blir da: Konrak Dao Vår Modell Simulering (M=10000) FWSO ,79 7,73 FWV ,6 11,0 FWYR ,04 9,99 Tabell 9.9 En sammenligning mellom analyisk løsning og simulering for generell modell Vi ser a de analyiske urykke ved bruk av sandardavvik ilhørende miden av konraksperioden gir ilfredssillende verdier sammenligne med simuleringsverdiene. Dee indikerer a anakelsen som er gjor idligere om å benye sandardavvike for den midre dagen i leveringsperioden er fornufig. 50

56 10 Evaluering av opsjonsmodellen Opsjonsmodellen som er uvikle i denne oppgaven baserer seg på en underliggende prisprosess som besår av o deler. E sesongvarierende deerminisisk ledd og en sokasisk mean-reversion prosess. Dee er o av de vikigse egenskapene som vi har drøfe for prisene i krafmarkede. To andre egenskaper som er drøfe er sokasisk volailie og sprang i prisene. Opsjonsmodellen uvikle i denne oppgaven ar ikke hensyn il disse o karakerisikkene. Sprang i prisene, eller hopprosesser, er med på å gi fordelingen il srømprisene ykkere haler enn man har i normalfordelingen, som vår modell baserer seg på. Vår modell har alså lavere sannsynlighe for eksreme priser enn hva som fakisk observeres i markede. Slike eksreme hendelser vil være med på å øke verdien av opsjonene. I en sammenligning mellom vår modell og markedsprisene så en a vår modell i fleseparen av ilfellene prise opsjonen lavere enn kjøpssiden i markede. Dee er konsisen med a vår modell ikke i samme grad ar hensyn il a eksreme priser kan oppre. Modellen som er uvikle i denne oppgaven har vis seg å være svær følsom for verdien på mean reversion parameeren κ. Vi benye en implisi sørrelse på κ beregne på grunnlag av forward- og spopriser ved ulike daoer i perioden il og benye dee il å prise opsjoner i perioden januar 001 il mars 00. Ideel se burde disse parameerne vær beregne på nyere daa før en prise opsjonene. De kan være fornufig å ana a disse vil gi e mer rikig bilde når vi får flere hisoriske år å esimere over. Spesiel vikig er dee med anke på den sensiivieen vi har vis a modellen har overfor κ. Dee vil også kunne gi uslag på parameerne i den deerminisiske funksjonen. Markede benyer i sor grad Black 76 for å prise opsjoner. Enese inpuparameer som da skal besemmes er volailieen σ. De andre observeres i markede. For Black 76 meoden har en a bruk av hisorisk volailie ikke gir priser i samsvar med markedsprisene på opsjonen. I sede må en benye en implisi volailie. Vår opsjonsmodell lar en benye hisoriske daa og kan dermed enklere benyes dersom man på grunn av lav omsening av opsjonene ikke har nye daa å beregne implisi volailie fra eller dersom daa med implisi volailie ikke er ilgjengelig. I krafmarkede benyes volailiessmil for å a hensyn il ykkere haler i fordelingen enn de lognormalfordelingen, som Black 76 bygger på, indikerer. Vi har ikke a silling il hvordan en slik korreksjon bør gjøres i vår modell, da vi kun har prise opsjoner med innløsningspris lik underliggendes markedspris. Den generelle underliggende modellen for forwardprisene kan benyes il å prise andre forwardkonraker enn de som finnes i de nordiske krafmarkede. En kan for eksempel benye den il å prise månedskonraker og konraker på kvaraler. Slike konraker handles blan anne ved European Energy Exchange (EEX) i Tyskland. For en ysk akør vil de kunne være ineressan å handle en slik konrak eller en opsjon på denne i de nordiske OTC markede. I kapiel 4.3 beskriver vi hvordan forwardmarkede har vis en økende endens. Lucia & Schwarz (00) oppgir a fuure- og forwardmarkede anyder en økende prisrend selv om man ikke ser en slik rend for spoprisen. De forklarer også a en idsvarierende markedspris på risiko kan være en alernaiv forklaring på dee fenomene. Dee kan modelleres ved å 51

57 legge inn e drifsledd i den deerminisiske delen av forwardprisen gi ved (8.11). Evenuel kan en benye en idsvarierende markedspris på risiko, λ, i modellen. Evenuell videre esing av modellen bør knyes opp mo bruk av volailiessmil for å a hensyn il ykkere haler i fordelingen. Dessuen bør parameerne i modellen esimeres på grunnlag av nyere hisoriske daa en hva som er benye her. Evenuell bruk av idsvarierende volailie kan også undersøkes. 5

58 11 Referanselise Bessembinder, H., Coughenour, J.F., Seguin, P.J., Smoller, M.M. (1995), Mean Reversion in Equilibrium Asse Prices: Evidence from he Fuures Term Srucure, The Journal of Finance, march 1995, vol 50, Issue 1, p Bjerksund, P., Rasmussen, H., Sensland, G. (000), Valuaion and Risk Managemen in he Norwegian Elecriciy Marke, Discussion Paper 0/000, Norwegian School of Economics and Business Adminisraion Boerud, A., Bhaacharyya, A. K., Ilic, M. (00), Fuures and spo prices an analysis of he Scandinavian elecriciy marke, Norh American Power Symposium (NAPS 00), Tempe, USA Black, F., Scholes, M. (1973), The pricing of Opions and Corporae Liabiliies, The Journal of Poliical Economy, 1973, Volume 81, Issue 3, p Black, F. (1976), The pricing of Commodiy Conracs, Journal of Financial Economics, 1976, Issue 3, p Bodily, S., Del Bueano, M. (00), Risk and reward a he speed of ligh: a new elecriciy price model, Energy Power Risk Managemen, Sepember 00, p Brealey, R.A., Myers, S.C. (000), Principles of Corporae Finance 6. ugave, McGrawHill, New York, USA Clewlow, L., Srickland, C. (000), Energy Derivaives: Pricing and Risk Managemen, Lacima Publicaions, London, England Clewlow, L., Srickland, C. (1998), Implemening derivaives Models John Wiley & Sons Ld, Wes Sussex, England Fleen, S. E., Lemming, J. (001), Consrucing Forward Price Curves in Elecriciy Markes, Working Paper, Risø Naional Laboraory, Denmark Fleen, S. E., Wallace, S.W., Ziemba, W.T. (00), Hedging Elecriciy Porifolios via Sochasic Programming, Decision Making Under Uncerainy: Energy and Power, p Haug, E. G. (1999), Opsjoner på elkraf, Derivae nr Haug, E. G. (1997), The Complee Guide o Opion Pricing Formulas, McGrawhill, New York, USA Hull, J. C. (000), Opions, Fuures & Oher Derivaives, 4h ed., Prenice Hall Inernaional, Inc., Upper Saddle River, NJ Johnsen, T. A, Verma, S. K, Wolfram, C. (1999), Zonal Pricing and demand-side bidding in he Norwegian elecriciy marke, PWP-063, POWER, Working Paper Universiy of California Energy Insiue 53

59 Koekebakker, S. (1996), Valuaion of Asian opions and commodiy coningen claims, dokoravhandling, NHH, Bergen Koekebakker, S., Ollmar, F. (001), Forward curve dynamics in he Nordic elecriciy marke, Agder Universiy College & Norwegian School of Economics and Business Adminisraion Kniel, C. R. & Robers, M. (000), Financial Models of Deregulaed Elecriciy Prices I: Discree Time Models, Work in Progress, Deparmen of Finance and Economics, Boson Universiy and Universiy of California Energy Insiue Kniel, C.R., Robers M. (001), An Empirical Examinaion of Deregulaed Elecriciy Prices, PWP-087, Power, Universiy of California Energy Insiue Nord Pool, 1999: Press release nr. 10 Nord Pool, 1998: Elbørsen nr Nord Pool 000: Elspo Nord Pool, 001: Elbørsen nr 1, Mai 001 Nord Pool, 00: Annual Repor 001 Nord Pool, 001 b: Trading in Conracs for Difference NOU 1998: 11, Energi- og krafbalansen mo 00 Pilipovic, D (1998), Energy Risk, Valuing and Managing Energy Derivaives, McGraw- Hill, New York, USA Schwarz E.S. (1997), The Sochasic Behavior of Commodiy Prices: Implicaions for Valuaion and Hedging, The Journal of Finance, July 1997, vol 5, Issue 3, p Schwarz E. S., Smih J. E, 000: Shor Term Variaions and Long-Term Dynamics, Managemen Science, Vol 46, No 7 Wilmo, P. (1998), Derivaives, The heory and pracice of financial engineering, John Wiley & Sons, USA Hvarnes, H., Elkem Energi, 00: Mail il Krisian Solum Brevik, E., M3Kraf/APX, 00: Mailkorrespondanse Schwarz, E. 00: Mail il Roald Maudal Hjemmesider:

60 Vedlegg 1: Parameere for Lucia og Schwarz enfakormodell Parameere beregne av Lucia og Schwarz (00). Modell 1: () 1 f =α+β D + βm 1 i i i= Modell : Parameer Esimer verdi α 153,051 β -9,514 β -,57 β 3-4,511 β 4-3,3484 β 5-13,48 β 6-1,656 β 7-7,038 β 8-8,109 β 9-10,061 β 10-9,597 β 11-7,034 β 1-6,019 σ 1,89 κ 0,010 f D cos () =α+β +γ ( +τ) π 365 Parameer Esimer verdi α 145,73 β -9,54 γ 9,735 τ 6,691 σ 1,89 κ 0,011 τ er gi i dager og σ er gi som annualiser volailie [e-pos fra Schwarz, 00] 55

61 Vedlegg : Implisie parameere for Lucia og Schwarz enfakormodell Parameere beregne av Lucia og Schwarz (00) på grunnlag av implisi meode f D cos () =α+β +γ ( +τ) π 365 Parameer Esimer verdi α 151,08 β -10,4 γ 30,4 τ 3,96 κ 0,0014 α * 9,57 σ,36 56

62 Vedlegg 3: Uledning av analyisk løsning for kjøpsopsjon Verdien av en kjøpsopsjon ved forfall T er gi ved c = max 0,F K = F K g F df { } ( ) ( ) T T T T T K (9.10) Der K er innløsningsprisen og g(f T ) er sannsynligheseheen il den normalfordele variabelen F T. Denne sannsynligheseheen er gi ved ( ) g F T = 1 e π s 1 F T µ FT s (9.11) Deler opp urykke i (9.10) og får Fg(F)dF K df K T T T T K K (F T F )/s (F T 1 T F )/s µ µ T T T T πs K πs (9.1) = F e df K e df Definerer en sandard normalfordel variabel Q gi ved Dee gir Q = F T µ FT s dft = s dq Førse inegral i (9.1) gir da (K µ F T )/s 1 Q 1 Qs F e dq π ( +µ ) Q 1 Q F (K µ F )/s π (K µ T F )/s π T = sq e dq +µ e dq 57

63 Q s K µ F T = e +µ F 1 N T π s (K µ F T )/s K µ F T s s µ F K T = e +µ F N T π s (9.13) Der N(Q) er den kumulaive sannsynligheen il Q. Andre inegral i (9.1) gir 1 1 Q K FT F K T K µ µ e dq= K 1 N = K N π s s (9.14) K µ F T s Dee gir a verdien av opsjonen ved forfall T er gi ved K µ F T s s F K T ct = e +µ F N K N T µ µ F K T π s s (9.15) Verdien ved beregningsidspunk er gi som den diskonere verdien av c T. Denne er dermed gi ved: K µ F T r(t ) s rt s µ 365 F K T 365 = T = + ( µ F ) T c c e e K N e π s ( ) (9.16) Der r en den koninuerlige risikofrie renen. 58

64 Vedlegg 4: Uledning av analyisk løsning for salgsopsjon Vi benyer samme noasjon som under uledning av kjøpsopsjonen. Dee gir da a verdien av opsjonen ved dens forfall er gi ved K { } ( ) ( ) c = max 0,K F = K F g F df (.1) T T T T T Der g(f T ) er sannsynligheseheen il den normalfordele variabelen F T. Deler opp inegrale og får K K (.) K df F g(f )df T T T T K 1 K 1 (F T F )/s (F T T F )/s µ µ T T T T π 1 1 = K e df F e df πs s (.3) Definerer en sandard normalfordel variabel Q gi ved Dee gir a Q = F T µ FT s dft = s dq Førse inegral i (.3) gir dermed K µ F T s 1 1 Q K µ F T K e dq= K N (.4) s π De sise inegrale i (.3) gir nå (K µ F T )/s 1 1 Q ( +µ ) F π Qs e dq (K µ F )/s T 1 (K µ F )/s T 1 1 Q 1 Q F π π = sq e dq +µ e dq 59

65 (K µ F )/s Q T s K µ F T = e +µ F N T π s 1 K µ F T s K µ FT F N T s = e +µ π s (.5) Verdien av opsjonen ved dens forfall T er dermed gi ved 1 K µ F T s K F s K T FT pt K N µ e F N µ = + µ T s π s (.6) Diskonerer denne verdien ilbake il beregningsidspunk og rydder opp i urykke s p = e + ( K µ F ) N e T π s 1 K µ F T r(t ) s K µ F T 365 (.7) 60

66 Vedlegg 5: Sensiiviesanalyse for parameere Sensiiviesanalysene i dee vedlegge undersøker enringer i opsjonsverdi verdi som følge av endringer i en variabel gi a alle andre variable holdes konsan. Når variablene holdes konsang brukes følgende verdier Beregningsdag, : 63 Spopris: 153,54 Forfallsdag opsjon, T: 00 Forfallsdag forward (dagkonrak),t F : 73 Innløsningspris for opsjon, K: 150 Volailie, σ: 1,89 (sandardavvik, s=5, ) Markedspris forward, µ F : 151,78 Sensiivie med hensyn på id for opsjonens forfall, T T Verdi Call Verdi Pu 100 1,83 0,07 150,6 0,5 175,63 0, ,13 1, ,67, ,73 4,03 Sensiivie med hensyn på volailie, σ / sandardavvik, s σ Verdi Call Verdi Pu 1,50,71 0,98 1,70,9 1,0 1,89 3,13 1,40,00 3,5 1,5,10 3,35 1,63,0 3,46 1,74,30 3,57 1,85 Sensiivie med hensyn på innløsningspris, K Srike Verdi Call Verdi Pu 100,00 50,4 0,00 15,00 5,98 0,00 145,69 6,8 0,38 150,00 3,13 1,40 175,00 0,00,54 00,00 0,00 46,80 Sensiivie med hensyn på markedspris forward, µ F µ F Verdi Call Verdi Pu 100 0,00 48,5 15 0,00 4,6 150,16,16 151,78 3,13 1, ,6 0, ,5 0,00 61

67 Vedlegg 6: Sammenheng risikonøyral og ikke risikonøyral modell for diskre X Ikke risiko-nøyral modell: dx = κ X + σ dz X = κx + σdz Risiko-nøyral modell: X = + X + X 1 X = 1 X κ X + + σ dz X = 1 X (1 + κ) + σ dz X (1 ) = X 1 κ + σ dz dx = κα ( X ) d + σdz * * X = κα ( X ) X + σdz * * X = + X + X 1 X = X + κα + X + σdz * 1 ( ) X = 1 X(1 + κ) + κα + dz * λσ α = κ * * X (1 ) = X 1 κ λσ + σdz * Vi har µ r λ = σ Dee gir følgende urykk for den risikofrie rene: r = µ λσ Ved å sammenligne urykkene for X for de ikke risikonøyrale og de risikonøyrale ilfelle, ser en a forvenningen il X korrigeres med ledde λσ ved overgangen il de risikonøyrale ilfelle. Dee er samme meode som man ser er bruk i ilfelle for risikofri rene og forvene avkasning. 6

68 Vedlegg 7: VBA kode for opsjonsmodell og simuleringer Opion Explici 'The code in his module is no opimalized o handle errors Public Funcion weekend(dao As Dae) As Double ' funcion ha reurns he dummy variable for a given dae If Applicaion.Weekday(dao, ) = 6 Then weekend = 1 ElseIf Applicaion.Weekday(dao, ) = 7 Then weekend = 1 Else weekend = 0 End If End Funcion Public Funcion Deerminisic(id As Ineger, dao As Dae) As Double 'funcion for he deerminisic par of he price formula Dim alfa As Double, bea As Double, gamma As Double, au As Double, pi As Double 'iniializing consans alfa = bea = gamma = 30.7 au = 3.96 pi = Applicaion.pi() Deerminisic = alfa + bea * weekend(dao) + gamma * Cos((id + au) * * pi / 365) End Funcion Public Funcion OpionConracSimulaion(callpuflag As Sring, P As Double, r As Double, _ Srike As Double, ime As Ineger, dao As Dae, TimeOpion As Ineger, _ TfSar As Ineger, TfEnd As Ineger, nsim As Ineger, sigma As Double) As Double 'Mone Carlo simulaion of he opion Dim Z As Ineger, nseps As Ineger, i As Ineger, j As Ineger Dim X As Double, Epsilon As Double, PimeOpion As Double, Forward As Double Dim Verdi As Double, forwardpris As Double Dim ImpliedLambda As Double, Kappa As Double Dim AlfaSar As Double 'Iniializing consans Kappa = ImpliedLambda = AlfaSar = -ImpliedLambda * sigma / (Kappa) Verdi = 0 Applicaion.ScreenUpdaing = False If callpuflag = "c" Then Z = 1 ElseIf callpuflag = "p" Then Z = -1 End If nseps = TimeOpion - ime 'Simulaes for number of days unil expiraion 63

69 For i = 1 To nsim Nex X = P - Deerminisic(ime, dao) 'Deermines he sarvalue of X For j = 1 To nseps Epsilon = Applicaion.NormInv(Rnd(), 0, 1) X = X * (1 - Kappa) + sigma * Epsilon Nex PimeOpion = Deerminisic(TimeOpion, dao + (TimeOpion - ime)) + X Forward = ForwardAvg(PimeOpion, TimeOpion, dao + (TimeOpion - ime), TfSar, TfEnd, sigma) Verdi = Verdi + Applicaion.Max(Z * (Forward - Srike), 0) OpionConracSimulaion = (Verdi / nsim) * Exp(-r * (TimeOpion - ime) / 365) End Funcion Funcion ForwardAvg(P As Double, ime As Ineger, dao As Dae, TfSar As Ineger, _ TfEnd As Ineger, sigma As Double) As Double 'Funcion ha compues he avereage value over a conrac period Dim NumDays As Ineger Dim Forward As Double Dim i As Ineger Dim ImpliedLambda As Double, Kappa As Double Dim AlfaSar As Double, X As Double 'Iniializing consans Kappa = ImpliedLambda = AlfaSar = -ImpliedLambda * sigma / (Kappa) Forward = 0 NumDays = TfEnd - TfSar + 1 X = P - Deerminisic(ime, dao) For i = TfSar To TfEnd Forward = Forward + Deerminisic(i, dao + (i - ime)) + X * Exp(-Kappa * (i - ime)) _ + AlfaSar * (1 - Exp(-Kappa * (i - ime))) Nex ForwardAvg = Forward / NumDays End Funcion Public Funcion Svar(sigma As Double, ime As Ineger, TimeOpion As Ineger, TSigma As Ineger) As Double 'Esimaes he variance of he forward conrac, by calculaing variance for day TSigma Dim Kappa As Double Kappa = Svar = (sigma ^ / ( * Kappa)) * (Exp(- * Kappa * (TSigma - TimeOpion)) - Exp(- * Kappa * (TSigma - ime))) End Funcion 64

70 Public Funcion OpionConrac(callpuflag As Sring, P As Double, Srike As Double, ime As Ineger, dao As Dae, _ TimeOpion As Ineger, TfSar As Ineger, TfEnd As Ineger, sigma As Double, _ rene As Double) As Double 'Funcion ha calculaes he opion premium as given by he analyical expression 'This funcion is o be used when marke price for underlying forward is no available Dim TSigma As Ineger Dim AvgForward As Double Dim SdDev As Double Dim pi As Double Dim a As Double Dim b As Double Dim emp1 As Double pi = Applicaion.pi() TSigma = TfSar + ((TfEnd - TfSar) / ) AvgForward = ForwardAvg(P, ime, dao, TfSar, TfEnd, sigma) emp1 = Svar(sigma, ime, TimeOpion, TSigma) SdDev = Sqr(emp1) a = (Srike - AvgForward) / SdDev If callpuflag = "c" Then b = (AvgForward - Srike) / SdDev OpionConrac = ((SdDev / (Sqr( * pi))) * Exp(-a ^ / ) + (AvgForward - Srike) * Applicaion.NormSDis(b)) * Exp(-rene * (TimeOpion - ime) / 365) ElseIf callpuflag = "p" Then OpionConrac = ((SdDev / (Sqr( * pi))) * Exp(-a ^ / ) + (Srike - AvgForward) * Applicaion.NormSDis(a)) * Exp(-rene * (TimeOpion - ime) / 365) End If End Funcion Public Funcion MarkePriceOpion(callpuflag As Sring, Srike As Double, MarkePrice As Double, SdDev As Double, ime As Double, TimeOpion As Double, r As Double) As Double 'Funcion ha calculaes he opion premium as given by he analyical expression 'This funcion is o be used when he marke price for underlying forward is available Dim a As Double Dim b As Double a = 0 b = 0 a = 0.5 * ((Srike - MarkePrice) / SdDev) ^ If callpuflag = "c" Then b = (MarkePrice - Srike) / SdDev MarkePriceOpion = (SdDev / (Sqr( * Applicaion.pi())) * Exp(-a) + (MarkePrice - Srike) * Applicaion.NormSDis(b)) * Exp(-r * (TimeOpion - ime) / 365) Else b = (Srike - MarkePrice) / SdDev MarkePriceOpion = (SdDev / (Sqr( * Applicaion.pi())) * Exp(-a) + (Srike - MarkePrice) * Applicaion.NormSDis(b)) * Exp(-r * (TimeOpion - ime) / 365) End If End Funcion 65