Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at slaktevektene tl kalkunene fra Wscnsn er bserverte verder av stkastske varabler Y,, Y, Y 4, Y 5 sm er uavhengge g Nµ 2, σ 2 -frdelte. V antar gså at X -ene g Y j -ene er uavhengge. V lar X være gjennmsnttet av X -ene g Ȳ være gjennmsnttet av Y j-ene. Vdere lar v S 2 være den emprske varansen fr X -ene g S2 2 den emprske varansen fr Y j-ene. Endelg nnfører v Sp 2 4 4 + 5 2 S2 + 5 4 + 5 2 S2 2 7 S2 + 4 7 S2 2. Et 90% knfdensntervall fr µ 2 µ er gtt ved se avsntt.2. Rce: Ȳ X ± t 0.95 S p 4 + 5, der t 0.95.895 er 95% fraktlen t-frdelngen med 4 + 5 2 7 frhetsgrader. Fr tallene ppgaven har v X 2.625, Ȳ.600, S 0.655, S 2.4 g S p 7 0.6552 + 4 7.42.70. Et 90% knfdensntervall blr:.600 2.625 ±.895.70 4 + 5, dvs. 0.975 ±.487. Det betyr at v med rmelg grad av skkerhet kan s at µ 2 µ lgger mellm 0.5 kg g 2.46 kg. Merk at det er galt å s det er 90% sannsynlg at µ 2 µ lgger mellm 0.5 g 2.46. Fr µ 2 µ er et ukjent reelt tall, sm enten lgger mellm 0.5 g 2.46 eller kke gjør det. V kan dermt s at v har 90% tltr tl at µ 2 µ lgger mellm 0.5 g 2.46. Med det mener v at knfdenntervall sm er beregnet slk v har gjrt det her, vl nnehlde den sanne dfferansen 90% av tlfellene det lange løp. b En test med sgnfkansnvå 5% fr nullhyptesen H 0 : µ µ 2 mt den alternatve hyptesen H : µ µ 2, frkaster H 0 hvs se avsntt.2. Rce T Ȳ X S p 4 + 5 > t 0.975 eller hvs T < t 0.975, der t 0.975 2.65 er 97.5% fraktlen t-frdelngen med 4 + 5 2 7 frhetsgrader. Med tallene ppgaven fnner v T.600 2.625.70 4 + 5.242.
V ser at T.242 < 2.65, så v frkaster kke H 0 på 5% nvå. c P -verden tl en test er det mnste sgnfkansnvået sm gr frkastnng av nullhyptesen. Ltt mer ufrmelt, kan v s at P -verden er sannsynlgheten fr å få et resultat sm det v har fått, eller et resultat sm er enda mer favør av den alternatve hyptesen, bare på grunn av tlfeldgheter dvs. når H 0 er sann. Fr t-frdelngen med 7 frhetsgrader fnner v av tabellen at t 0.80 0.896 g t 0.90.45. Det betyr at en test med nvå % vl frkaste H 0, mens en test med nvå 20% kke vl gjøre det. P -verden er derfr mellm 20% g %. Bedre klarer v kke å bestemme P -verden av tabellen. Oppgave 2 a Dagrammet gr et pltt av vekten tl kalkunene mt alderen ved slaktng Vrgna, Wscnsn. Vekt pund 0 2 4 5 6 20 22 24 26 28 0 Alder uker V ser at punktene lgger tlnærmet på t parallelle rette lnjer, en lnje fr Vrgna g en lnje fr Wscnsn. b Parameteren β angr frventet vektøknng fr kalkunene løpet av én uke. Parameteren β 2 angr frventet frskjell vekt mellm lke gamle kalkuner fra Wscnsn g Vrgna. Mdellen ser at frventet vekt sm funksjn av alder følger t parallelle rette lnjer. Stgnngstallet fr lnjene er β g avstanden mellm dem er β 2. Det er rmelg ut fra plttet. c En test med sgnfkansnvå 5% fr nullhyptesen H 0 : β 2 0 mt den alternatve hyptesen H : β 2 0, frkaster H 0 hvs se avsntt 4.4.5 Rce T ˆβ 2 S ˆβ2 > t 0.975 eller hvs T < t 0.975, der t 0.975 2.447 er 97.5% fraktlen t-frdelngen med 9 6 frhetsgrader. Med tallene ppgaven fnner v T 2.094/0.25 8.9. V ser at T 8.9 > 2.447, så v frkaster H 0 på 5% nvå. V har t 0.995.707, så P -verden er mndre enn %. Mer nøyaktg klarer v kke å bestemme P -verden ut fra tabellen. 2
Når v sammenlgner lke gamle kalkuner, slk v gjør her, veer kalkunene fra Wscnsn sgnfkant mer enn kalkunene fra Vrgna. I punkt b ppgave, tar v kke hensyn tl alderen tl kalkunene, g da er det kke sgnfkant frskjell vekten fr kalkuner fra de t statene. d V nnfører matrsen C X T X g skrver C c 00 c 0 c 02 c 0 c c 2 c 20 c 2 c 22 Da er kvaransmatrsen tl ˆβ ˆβ 0, ˆβ, ˆβ 2 T gtt ved Σˆβ ˆβ σ 2 C se avsntt 4.4.2 Rce. Speselt gr det at Var ˆβ σ 2 c. Vdere er S 2 RSS/9 en frventnngsrett estmatr fr σ 2 se avsntt 4.4. Rce. Den estmerte standardfelen tl ˆβ er dermed S ˆβ S 2 c. Med tallene ppgaven blr S 2 0.5648/6 0.094 g c 0.0222. Den estmerte standardfelen tl ˆβ er dermed S ˆβ 0.094 0.0222 0.0457. Et 95% knfdensntervall fr β er gtt ved se avsntt 4.4.5 Rce: ˆβ ± t 0.975 S ˆβ, der t 0.975 2.447 er 97.5% fraktlen t-frdelngen med 9 6 frhetsgrader. Med tall får v 0.448 ± 2.447 0.0457, dvs. 0.448 ± 0.2. Det betyr at v med rmelg grad av skkerhet kan s at frventet vektøkng fr kalkunene er mellm 0.4 kg g 0.56 kg per uke. Se gså punkt a ppgave når det gjelder frtlkng av knfdensntervall. Oppgave a La Y ha sannsynlghetstettheten 2. Fr y > 0 er den kumulatve frdelngen tl Y gtt ved: F y y fu du y 0 [ e ] y u2 /2 /2 0 e y2 Medanen y 0.50 er gtt ved at F y 0.50 0.50. Det gr: ep y2 0.50 2 2 y2 0.50 2 lg 2 y 0.50 2 lg 2 u e u2 /2 du b Y,,..., 0 er uavhengge g dentsk frdelte med sannsynlghetstetthet gtt ved 2. Da er lkelhden: 20 20 Y lk fy e Y 2/2
Lg-lkelhden blr dermed: l {lg Y lg Y 2 } 2 Den derverte m.h.p. blr lg Y 20 lg 2 l 20 + 2 2 Maksmum lkelhd estmatren ˆ er løsnngen av lgnngen l ˆ 0. Det gr 20 ˆ 2ˆ 2 c Bedrften ønsker å teste ˆ H 0 : y 0.50 000 mt H : y 0.50 > 000 Nå har v at y 0.50 000 2 lg 2 0 2 lg 2 0 6 0 6 /2 lg 2 Bedrften ønske derfr å teste H 0 : 0 mt H : > 0 der 0 0 6 /2 lg 2. d Sden den alternatve hyptesen er H : > 0, er det rmelg å frkaste H 0 hvs ˆ > k. V vl bestemme k slk at tesen får nvå 5%. V har at P frkast H 0 H 0 sann P ˆ > k 0 P ˆ > k 0 P Y 2 > k 0 P Y 2 > k 0 0 0 P χ 2 > k 0 4
der χ 2 er kj-kvadrat-frdelt med frhetsgrader. Nå har v av tabellen at P χ 2 > 55.76 P χ 2 55.76 0.95 0.05 V får derfr en test med nvå 5% hvs bestmmer k ved lgnngen k/ 0 55.76, dvs. k 55.76 0 55.76 06 2 lg 2.006 06 e Hvs y 0.50 250, har v at 2 lg 2 250, dvs. Fr denne verden av blr teststyrken: 2502.27 06 2 lg 2 γ P frkast H 0 P ˆ > k 20 P P P χ 2 > k P χ 2 > P χ 2 > 5.70 > k > k.006 06.27 0 6 Av tabellen fnner v: P χ 2 > 4.87 P χ 2 4.87 0.0 0.70 P χ 2 > 7. P χ 2 7. 0. 0.60 Det betyr at teststyrken er mellm 60% g 70%. V gjør en fel av type II hvs v kke frkaster H 0 når den er gal. Sannsynlgheten fr fel av type II er derfr lk én mnus teststyrken. Her blr sannsynlgheten fr fel av type II mellm 0% g %. 5