Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d) [ e) f) Konklusjon: Matrsene del a), b), c) og f) representerer projeksjoner; matrsene del d) og e) representerer kke projeksjoner 4 a) Indreproduktet av de to vektorene er: 5 + ( 5) + 8 Sden ndreproduktet kke er, er vektorene kke ortogonale b) V ser på ndreproduktet av hvert par av vektorer: Alle de tre vektorene er ortogonale tl hverandre c) V ser på ndreproduktet av hvert par av vektorer: [ [ [ Vektorene (,, ) og (,, ) er altså kke ortogonale, men vektoren (,, ) er ortogonal tl hver av de to andre 5 a) V får: P u u u (uu ) ( 5) 5 5 ( 5) 5 + ( 5) + ( 5) /5 / /5 / 5/6 /6 /5 /6 / /5 / /5 P u I P u / /6 /6 /5 /6 9/ /5 / /5 8/5 P u v / /6 /6 4/ /5 /6 9/ 4/5 /5 4/ 4/5 /5 P u v 4/ /6 7/6 / 4/5 7/6 9/ 4/5 I de neste delene vser v kke all mellomregnngen, men bare resultatene b) / / P u P u v / / / / P u P u v v / / c) u og v / / P u P u v / / / / / / P u P u v / / / / 6 V kan sjekke at vektorene b, b og b
er lneært uavhengge på vanlg måte (kombner dem tl en matrse, gausselmner og sjekk at det blr pvotelementer alle kolonner) Det betyr at de utgjør en bass for R Vdere sjekker v at de er en ortogonal bass ved å sjekke at hver av dem er ortogonal tl begge de andre Når v vet at v har en ortogonal bass, kan v fnne koordnatene tl en vektor med hensyn på bassen ved å projsere vektoren ortogonalt på hver bassvektor: P b b P b b P b b Koeffsentene tl vektoren (,, ) med hensyn på bassen (b, b, b ) er altså (/, /, ) 7 a) V bruker Gram Schmdt-ortogonalserng, og får: u 5 /5 u P u / 4/5 Da er (u, u ) en ortogonal bass V fnner en ortonormal bass ved å dele hver bassvektor på lengden sn: û u u / u 5/ / û 5 u u u 4 Da er (û, û ) en ortonormal bass b) Vektorene,, 5/5 4 5/ 4 4 5/5 4 er allerede ortogonale, så det eneste som gjenstår er å normalsere dem V deler hver vektor på lengden sn og får: û û û / / / / / / / / Da er (û, û, û ) en ortonormal bass c) V husker at v så de samme vektorene oppgave 4 Da fant v ut at vektoren (,, ) er ortogonal tl hver av de to andre Det betyr at v kan starte med å sette: u u Da er u og u ortogonale tl hverandre, og v må bare gjøre (,, ) ortogonal tl begge dsse V setter: / u P u P u / Da er (u, u, u ) en ortogonal bass V normalserer: / û / / / û / / 6 û / 6 / Da er (û, û, û ) en ortonormal bass 8 V bruker den ortogonale bassen (u, u ) som v fant oppgave 7 a), og projserer vektoren (, +, ) ned på hver bassvektor Da får v følgende vektor: P u + + P u + /5 /5 84/5 + 5/5 / + / + 6/4 + /4 / / /5 + 44/5 /4 + 4/4 6/86 + 87/86 /86 + 9/86 9 a) La A og b være koeffsentmatrsen og høyresden lknngssystemet vårt V ganger hver av dsse med den adjungerte av A på venstre sde, og får: A A A b [ [ [ [ 4
V må løse lknngssystemet A Ax A b Dette systemet har følgende totalmatrse: [ 4 Når v gausselmnerer denne, får v: [ 5/8 /9 Mnste kvadraters metode gr altså løsnngen [ 5/8 /9 b) La A og b + være koeffsentmatrsen og høyresden V får: A A 4 A b + Det betyr at systemet A Ax A b har følgende totalmatrse: 4 V gausselmnerer og får: / / / / Mnste kvadraters metode gr altså løsnngen / / / / a) V vl fnne et fjerdegradspolynom som oppfyller: p(x) a 4 x 4 + a x + a x + a x + a p() p() 5 p() p(4) 7 p() Det betyr at koeffsentene a 4, a,, a må oppfylle følgende lknnger: a a 4 + a + a + a + a 6a 4 + 8a + 4a + a + a 8a 4 + 7a + 9a + a + a 5 56a 4 + 64a + 6a + 4a + a 7 b) Hvs det fantes et annengradspolynom p(x) a x + a x + a som gkk gjennom alle punktene, vlle koeffsentene oppfylt følgende lknngssystem: a a + a + a 4a + a + a 9a + a + a 5 6a + 4a + a 7 V bruker mnste kvadraters metode på dette systemet La A 4 og b 9 5 6 4 7 være koeffsentmatrsen og høyresden V får: 54 A A 5 7 A b 5 8 Løsnngen av lknngssystemet A Ax A b blr: /4 x 9/4 6/5 Annengradspolynomet som passer best tl punktene er altså: p(x) 4 x + 9 4 x + 6 5
a) V bruker mnste kvadraters metode på lknngssystemet d og får løsnngen a + b + c + d 8a + 4b + c + d 9 7a + 9b + c + d 8 64a + 6b + 4c + d 65 a b c d Polynomet som passer best tl punktene er altså: p(x) x + b) Polynomet p som v fant del a) passer faktsk eksakt tl punktene Sden (u, u,, u n ) er en ortonormal bass, har v Det vl s at u k u k for hver k, og u k u l for k l u u n A u [ A u u u n u u u u u u u u n u u u u u u u u n u u u u u u u u n u n u u n u u n u u n u n I n Dette vl s at A er nversen tl A (Hvorfor holdt det å regne ut A A? Må v kke også sjekke at AA blr I n? Husk at v slutten av kapttel 4 vste at dersom AB I n for to n n- matrser A og B, så er også BA I n Så når v har sjekket at A A I n, så følger det at AA også må være I n ) La v, v,, v n være en samlng med vektorer som er parvs ortogonale Da har v v kv l for alle k og l slk at k l V vl vse at vektorene er lneært uavhengge, så v ser på lknngen v x + v x + + v n x n Hvs v ganger denne tl venstre med v, får v: v v x + v v x + + v v n x n, som v kan forenkle tl v x Sden v kke er nullvektoren, er lengden v ulk, så dette betyr at x På samme måte kan v gange lknngen med v, og v, og så vdere, og da får v x, x,, x n Det vl s at eneste løsnng av lknngen v x + v x + + v n x n er den trvelle løsnngen, og dermed er vektorene lneært uavhengge v, v,, v n 4 La v og w være to vlkårlge vektorer C n : Da har v: v w v v og w w v n w n v w [ w v v v n w n På samme måte får v: Dermed: w v w + v w + v n w n w v w v + w v + w n v n, w v w v + w v + w n v n v w 5 V tar først noen merknader om matrsen P v V har P v vv v v v v vv Sden v v er et reelt tall, har v: P v v v (vv ) v v (v ) v v v vv P v Matrsen P v er altså sn egen adjungerte Vdere har v: ( ) Pv v (vv )(vv ) v (v v) v(v v)v (v v) (v v)vv v v vv P v 4
Det å opphøye matrsen P v andre gr altså oss gjen bare den samme matrsen tlbake Nå går v løs på å vse at vektorene P v w og w P v w er ortogonale Ved å bruke at Pv P v og at Pv P v får v: (P v w) (w P v w) w P v(w P v w) w P vw w P vp v w w P v w w P v P v w w P v w w P v w Det vl s at P v w og w P v w er ortogonale 5