A = og e = Del (b) Løs likningssystemene Ax = b og Ay = b +e. P n A,1 = 1 = ,41 97

Transkript

1 IN227 Esamen 989 Are MagnusBruaset. august 995 Dette er et løsnngsforslag tl esamenssettet for IN227 som ble gtt 989. Forslaget går e nn på alle detaljer,men sulle være tlstreelg tl å llustrere framgangsmåtene. Løsnngen erhellereåbetratesom noen absolutt fast, detan være eremåter åløse oppgavene på.jegtardessuten alle forbehold medhensyntltryfel Oppgave La A = ; b = 97 4 og e = 0 00 Del (a) Løs lnngssystemene Ax = b og Ay = b +e. Dsse to22-systemene løses vedvanlg elmnasjon, ogvfår svarene x =(;0) T y =(034;097) T. og Del (b) Bestem K (A), derk (A)=A, A.Hvordansamsvarer dettemeddetduobserverte (a)? Frateorem6.3har v ata =max j c j,derc j erdenj'teolonnesummen, c j = P n = ja ;j j.ivårttlfelleblra =max(38; 94) =38. I tllegg observerer vat A, = 0 28,66,4 97 = 28,66,4 97 Idenne utgavenavløsnngsforslaget er alle referanser tlompendet ajourført henhold tlversjonen datert ma992.

2 In227 Esamen Da blra, =max(69;63) =63,slat K (A)=A A, =3863 =22494 Problemet erdårlgondsjonert (K (A)), noe som forlarer denrelatvtstoreendrngen løsnngen ved en lten perturbasjon av høyresden. Oppgave 2 LaA 2R n;n være e-sngulær, oglau;v2 R n væretovetorer slat v T A, u6= () Sett B=A,uv T (2) Del (a) Vs at B, = A, + A, uv T A, ; der =, v T A, u Anta atdetns2rsl atb, =A, +A, uv T A,.Daer I=BB, = (A, uv T )(A, + A, uv T A, ) = I + uv T A,, uv T A,, uv T A, uv T A, = I + u v T A,, v T A,, v T A, uv T A, = I + u,, v T A, u v T A, V må altså bestemme sl at uttryet den sste parentesen blr null,det vl s (,v T A, u), = 0 m =,v T A, u Størrelsen er veldenert for alle u; v 2 R n som tlfredstller (??). AMB /.august 995

3 In227 Esamen Del (b) Anta atvjennerenlu -fatorserng ava.foreslåenalgortme foråløse lnngssystemer på formenby = b der B er gtt ved(??) ogb2r n erjent.estmer antall regneoperasjoner for algortmen. ÅløsesystemetBy = b er evvalent medåløse(a,uv T )y = b. Løsnngen avdette systemeter y=b, b=(a, +A, uv T A, )b = A, b + A, uv T A, b Setter vx=a, bog w = A, u,fårvat Algortme y=x+,v T w wvt x Ant. operasjoner. Beregn x = A, b vha. LU -fatorserngen ava. O(n 2 ) 2. Beregnw=A, uvha.lu-fatorserngen ava. O(n 2 ) 3. Beregn=v T w2rog= 2R. n+, 4. Beregn =v T x2rog =. n + 5. Beregny=x+w. n Totalt antalloperasjoner O(2n 2 +3n) Tl sammenlnng vl løsnng av systemet ved hjelp av LU -fatorserngen av Breve O(n 3 =3+n 2 ) operasjoner. Oppgave 3 LaB 2R n;n være sl at B < for enonsstent matrsenorm.daanman vse at (I,B), =I+B+B 2 + (3) I denneoppgaven sal v sehvordanvan bruedennesammenhengentl å onstruereen preondsjonerngsmatrse. AMB /.august 995

4 In227 Esamen Del (a) La A 2 R n;n være ensymmetrs og postvt dentt matrse medegenverder ", =;2;;n, somtlfredstller Vønseråløselnngssystemer påformen derb 2 R n 0 <" <" 2 < <" n < (I,A)x=b; (4) med onjugerte gradenters metode (CG) eller med preondsjonert onjugerte gradenter (PCG). For PCG velger v, motvert fra(??), preondsjonerngsmatrsen M sl at M, =I+A.Vs at ogat K 2 (I, A) =,"," n ; K 2 ((I+A)(I,A))=,"2," 2 n Vhar at K 2 (I, A) =I,A 2 (I,A), 2 Matrsen I, A er symmetrsoghar egenverdene," (jfr.problem3.24ompendet). Dsse egenverdene erstrengtpostvesden" <,=;2;;n.DaerI,Afølge teorem 4.0 postvt dentt,ogorollar 7.7serat Dettegrat I,A 2 =max(, " )=," ; (I,A), 2 = mn (," ) =," n K 2 (I,A)=(," ) =,"," n," n Vdereermatrsen(I+A)(I,A)=I,A 2 symmetrsmedegenverdene," 2 >0 sden" <.Daerogså denne matrsen postvt dentt,og Kondsjonstallet blrderfor (I+A)(I,A) 2 =max(," 2 )=," 2 ; ((I+A)(I,A)), 2 = mn (," 2 ) =," 2 n K 2 ((I+A)(I,A))=,"2," 2 n AMB/.august 995

5 In227 Esamen Del (b) Anta vdere at matrsen A er en båndmatrse som er sl at et matrse-vetor produt av typen Ap oster ca.5nregneoperasjoner (multplasjoner/dvsjoner). For å avgjøre om v bør brue CG eller PCGforåløse(??), anvestmere hvormange regneoperasjoner metodene rever foråoppnåenvssnøyatghet.lax 0 væreenstartvetor forbåde CGogPCG. Estmerantall regneoperasjoner, N CG,detoster åberegne x med CGsl at x, x I,A x, x 0 I,A 2 e,0 Estmatet vl være enfunsjon av ", " n og n. Lagettlsvarende estmatforn PCG,detvls antall regneoperasjoner som trengs for å oppnå denne nøyatgheten med PCG. Laoss først estmere N CG.Algortmen trengerfølgeteorem9.7masmalt = 2 ln 2 q & s ', " K 2 e,0 2 (I, A) = 5, " n terasjoner. Hverterasjon oster ca.0noperasjoner (sealgortme 9.4),slat s, " N CG = O(50n ), " n For PCG med M, = I + A trenger vmasmalt 2 vu 3 u = 6 5 t, "2, " 2 n 7 terasjoner. SdenvforhverPCG-terasjon må løse et systemavtypen Ms = r, vlhver terasjon oste ca.5noperasjoner (ogmedatberegnngenavs=m, r=(i+a)r= r+ar oster etmatrse-vetorprodut). Totalt settblr vu u N PCG = O(75nt, "2 ), " 2 n Del (c) Denne preondsjonerngen an generalseres ved å ta med ere ledd rea(??). La Bestem K 2 (M, (I,A)). M, =I+A+A 2 ++A ; Fraproblem3.24 har vatm, har egenverdene +" ++".Dettegjelderforalle,slatM, (I,A)har egenverdene (+" ++" )(," )=+" ++",(" +" 2 ++" + )=," + AMB /.august 995

6 In227 Esamen Dermed er K 2 (M, (I,A))= max (, " + mn (, " + ) =, " +, " + n ) Oppgave 4 I denne oppgaven sal v studere Cholesy-fatorserng av matrser på formen A=D+uu T 2 R n;n ; (5) hvor D er endagonalmatrse medetepostve dagonalelementer d ;;d n,og hvoru= (u ;;u n ) T. Del (a) Forlar hvorforenmatrse påformen(??) harenentydg Cholesy-fatorserng. Hvormange regneoperasjoner vl en standard algortme reve for ånnedenne fatorserngen? V observererataersymmetrs, A T =(D+uu T ) T = D T +(u T ) T u T =D+uu T = A; og postvt dentt, x T Ax = x T (D + uu T )x = x T Dx + x T uu T x = nx = x 2 d + nx 2 x u > 0 8x 6= 0; = sden d > 0, =;2;;n.Ifølge teorem 4.2nnesdetdaenentydgLL T -fatorserng av A. Standard-algortmen (se sesjon 4.2ompendet) revero(n 3 =6)operasjoner sdena generelterenfullmatrse. Som en del av en større algortme nnen f.es.parameterestmerng er man ofte nteressert å beregne Cholesy-fatorserngen av matrser på formen (??). V sal derfor studere en sreddersydd, eetv algortme for å generere denne fatorserngen for sle matrser. For =;2;;n larva 2R ; være matrsen medelementera ;j for ; j, ogv laru () =(u ;;u ) T 2R.Vdere larv værecholesy-fatorserngen ava. A =L L T AMB/.august 995

7 In227 Esamen Del (b) La v () 2 R løse lnngssystemet L v () = u () ; =;2;;n Daandetvses at v () 2 < (6) Vs at L + ergttpåformen derm () =u + v () og + = L L + = 0 (m () ; ) T + q d + + u 2 ( +,v() 2 2). Vhar A + = A c () (c () ) T + ; c () 2 R ; der + = d + + u 2 + og c () =(u u + ;;u u + ) T = u + u ().(Detteommer avat (uu T ) ;j = u u j ). Sden vjennerl slata =L L T,anvbestemmeL + slata + = L + L T +. V antar at L + erpåformen L L + = 0 (m () ) T + Da er L + L T + = L 0 L T m () = (m () ) T L L T L m () (m () ) T L T (m () ) T m () Det vlsatvmåbestemmem () og + sl at L m () =u + u () ; (7) og (m () ) T m () + 2 +=d + + u 2 + (8) Sden L v () = u (),er L (u + v () )=u + u () ; detvlsm () =u + v () (??). Dablr(??) u 2 +(v () ) T v () = d + + u 2 + m 2 + = d + + u 2 +, u 2 +v () 2 2 AMB /.august 995

8 In227 Esamen Da L + sal ha postve dagonalelementer, blr q + = d + + u 2 ( +,v() 2 2)>0 Radandenere-negatvsdenv () 2 <. Del (c) Vs at v (+) ergtt ved v (+) = v() ; v + der v + = u +(,v () 2 2) + Vetoren v (+) sal løse Det vls Da må L + v (+) = u (+) L 0 v () = u() (m () ) T + v + u + L v () = u() (m () ) T v () + + v + u + Lheten gjelderfordeførstelnngene,detgjenstårånne v + sl at Sden + > 0, er Del (d) (m () ) T v () + + v + = u + v + = u +, (m () ) T v () + = u +(,v () 2 2) + Benytt resultatene over tl å g en sreddersydd algortme for Cholesy-fatorserngen av A. Estmer antall multplasjoner/dvsjoner for algortmen. La L =(m ;j ), j, j =;2;;n.Størrelsen + lagres m +;+.Algortmen blr da AMB/.august 995

9 In227 Esamen Antall operasjoner er Del (e) Vs (??). q d + u 2. m ; = 2. v = u =m ; 3. vnorm = v 2 4. for =;2;;n, 4. m +;+ = q d + + u 2 + (, vnorm) 4.2 for j =;2;; 4.2. m +;j = u + v j 4.3 v + = u + (, vnorm)=m +;+ 4.4 vnorm = vnorm + v 2 + X n, N ops =+++ (2+ = X j= +2+)= n n,2=o(n2 2 ) V har v () = v = u q d + u 2 Derav er v () 2 2= u2 d +u 2 <; sdend >0.Vantar at v () 2 < for=;2;;p,. Da er v (p) 2 2=v (p,) 2 2+v 2 p=v (p,) 2 2+ u2 p(,v (p,) 2 2) 2 d p +u 2 p(,v (p,) 2 2) Resultatet følger dretedersom u p =0.For u p 6=0fårvat v (p) 2 2 <v(p,) 2 2+ u2 p(,v (p,) 2 2) 2 Avndusjonen er(??) oppfyltfor. u 2 p(,v (p,) 2 2) =v(p,) 2 2+,v (p,) 2 2= Del (f) Anta atdusalløse etlnngssystem påformenax = b, hvoraerpåformen(??) ogdern er stor.hvlen algortme vl du benytte?begrunn svaret. For stor n vl n 2 n 3,slatalgortmen utledetdenneoppgavenvlvære betydelg rasere.derforforetrees dennyealgortmen. AMB /.august 995