Konstruksjon av digital heltallsaritmetikk

Transkript

1 Konstrusjon av dgtal eltallsartmet Multplatv dvsjon Karl Marus Stafto Master eletron Oppgaven levert: Jun 8 Hovedveleder: Kjetl Svarstad, IET Bveleder(e): Smen Gmle Hansen, Kongsberg Defence & Aerospace Norges tens-naturvtensapelge unverstet Insttutt for eletron og teleommunasjon

2

3 Oppgavetest Oppgaven tar utgangspunt resultater fra flere ovedoppgaver nnen dgtal artmet utført ved KDA, og edt sal utvles en øyastgets ppelnet regnemodul for dvsjon og restberegnng av eltall FPGA tenolog for 6 og 64 bts operander. Det sal utføres et forstudum om dgtal artmet med vet på multplatv dvsjon, og en omparatv analyse av metoder og effetvtet gjennomføres. Et velbegrunnet valg av algortme og metode sal så gjøres basert på dette. Man sal så spesfsere en regnemodulen som bør a en flesbel onfgurerbar artetur. Neste del er å mplementere en eller et fåtall alternatve metoder VHDL for syntese mot FPGA for eltalls dvsjon, og speselt for 6 og 64 bts operander. Løsnngen sal sammenlgnes med andre relevante subtratve og multplatve løsnnger. Oppgaven gtt: 7. januar 8 Hovedveleder: Kjetl Svarstad, IET

4

5 Forord Detter er mn masteroppgave nnen eletron ved Norges Tens-Naturvtensapelge Unverstet (NTNU). Oppgaven er gtt av Kongsberg Defence & Aerospace (KDA). Oppgaven ar bltt utført løpet av vårsemesteret 8 ved nsttuttet for eletron og teleommunasjon ved NTNU, vor jeg g studeretnngen rets- og system onstrusjon.. Oppgaven g ut på å studere dgtal eltallsartmet for å utvle en ppelnet regnemodul for multplatv dvsjon med eltalls operander på 6 og bt. Regne modulen sal mplementeres VHDL for syntese mot FPGA. Jeg ar desgnet 6 og bts løsnnger vor dvsjonsprosessen er partsjonert mellom ule bloer som tl sammen utgjør en ppelnet dvsjonsmodul som an mplementeres VHDL. Jeg valgte oppgaven ford jeg syntes det vret spennende å sette seg nn teoren ba den grunnleggende men revende regneoperasjonen dvsjon. Jeg vl gjerne tae mn veleder Kjetl Svarstad for god oppfølgng og støtte gjennom ele vårsemesteret forbndelse med arbede på oppgaven. Trondem Karl Marus Stafto I

6 Sammendrag Denne oppgaven besrver vle algortmer og metoder som an benyttes tl å utføre regneoperasjonen multplatv dvsjon masnvare. Vdere besrves arteturen tl de mest egnete metodene for å beregne dvsorens resproal. Dette resproalet multplseres så med dvdenden for å produsere en votent. Av de grunnleggende artmetse operasjonene addsjon, subtrasjon og multplasjon, er dvsjon den som er mest revende å utføre. Kongsberg Defence & Aerospace ar gdd denne oppgaven med å undersøe mulgetene for å realsere en dvsjonsmodul på en FPGA. Dvsjonsmodulen sal være ppelnet, operere med 6 og bts operander og basert på algortmer for multplatv dvsjon. Det ble valgt å benytte Newton-Rapson-algortmen for å terere over en approsmert verd av dvsorens resproal. Denne approsmasjonsverden entes fra en bpartt oppslagstabell som adresseres med dvsoren. Resproalene som er lagret oppslagstabellen ar en nøyatget på ULP og Newton-Rapson-algortmen dobler antall rtge bt for ver terasjon. Dermed er det un nødvendg med en terasjon for å beregne en orret verd av resproalet. Selve den teratve regneoperasjonen består av to sevenselle multplasjoner og en subtrasjon. Arteturmessg er arbedet med dvsjonsprosessen fordelt på ule ovedbloer som er sevenselt sammenoblet og som ver utfører sn del av prosessen. For ver blo de spesfserte løsnngene denne rapporten, ommer dvsjonsoperasjonen et steg nærmere en votent og en rest. Det ble e td tl å mplementere de spesfserte løsnngene VHDL så det er e utarbedet noen synteserapport for løsnngene. Det burde mdlertd være relatvt uomplsert å utføre mplementerngen basert på arteturene som er spesfsert denne rapporten. Ut fra teorstudet med egnete algortmer og metoder, ble de metodene som vret best med tane på ytelse benyttet tl å spesfsere løsnnger for 6 og bts operander. Løsnngene er le med unnta av den bpartte oppslagstabellen som får plass RAM på FPGA for 6 bts operander, men blr så stor at den må legges estern RAM for bts operander. telsesmessg er det ngen forsjeller på dsse to løsnngene, men realserngen av løsnngen for bts operander er ltt mer omplest. II

7 FORORD...I SAMMENDRAG... II INNLEDNING.... MÅLSETTING.... HPOTESE....4 ARBEIDET MED OPPGAVEN....5 DISPOSISJON AV RAPPORTEN....6 LESING AV RAPPORTEN... BAKGRUNN PROBLEMSTILLING... 5 DIVISJONSALGORITMER SUBTRAKTIVE DIVISJONSALGORITMER MULTIPLIKATIVE DIVISJONSALGORITMER Newton-Rapson Goldscmdt... 4 INITIALVERDIER KONSTANT STARTVERDI STEGVIS TILNÆRMING LINEÆR INTERPOLASJON BIPARTITE TABELLER Algortme for bpartte resproal-tabeller Felanalyse av algortme Utnyttelse av symmetr MULTIPARTITETABELLER IMPLEMENTASJON LØSNING FOR 6 BITS OPERANDER Oppslagstabell Iterasjons-algortme Normalserng og åndterng av speselle operander Beregnng av Kvotenten Oppsummerng av dvsjonsprosessen Multplator Artetur LØSNING FOR BITS OPERANDER Endrnger fra 6 bts løsnng Artetur DISKUSJON VALG AV LØSNINGER MULIGE FORBEDRINGER AV LØSNINGENE VIDERE ARBEID KONKLUSJON REFERANSELISTE III

8 nnlednng Innlednng Med et øende beov for nformasjonsbeandlng på mnst mulg areal tl lavest mulg ostnad, ombnert med øy ytelse, øer beovet for å beandle nformasjonen dgtalt. Med de overnevnte ravene lønner det seg å onvertere all analog nformasjonen tl dgtale sgnaler for så å beandle og prosessere de det dgtale domenet lengst mulg. Stadg øende rav tl ytelse og øende antall ntegrerte løsnnger på nterne dgtale retser og brer, presser utvlngen av øyastgets moduler vdere fremover. Det blr stadg vanlgere med ele omplette systemer på en bre, såalt system on cp (SoC), der ravet tl effetv arealutnyttelse og ytelse står sentralt. Integrerte løsnnger som utfører de grunnleggende artmetse operasjonene addsjon, subtrasjon og multplasjon er standard. Integrerte øyastgets løsnnger for tyngre artmetse operasjoner som dvsjon er som regel e standard. I enelte tlfeller lar det seg gjøre å utføre sle operasjoner programvare, men andre sammenenger blr ytelsen da for lav og beovet for en ntegrert løsnng masnvare er stert tl stede. Denne oppgaven besrver vle metoder som an benyttes tl å mplementere den revende dvsjonsoperasjonen masnvare. De fleste dgtale systemer ar en egen enet for multplasjon som er effetv. I den forbndelse an denne multplatoren utnyttes tl å utføre dvsjon ved metoder som omsrver dvsjon tl multplasjon, også alt multplatv dvsjon. Denne oppgaven tar for seg metoder som egner seg for mplementerng på Feld Programmable Gate Array (FPGA).. Målsettng Målet med denne oppgaven er å besrve teor og analysere metoder for multplatv eltalls dvsjon. Ut fra denne teoren sal det besrves et begrunnet valg av algortmer og metoder som egner seg for mplementasjon VHDL for syntese mot FPGA med 6 og bts operander. Opprnnelg var det bestemt 6 og 64 bts operander, men etter dalog med Kongsberg Defence & Aerospace (KDA) som ar gtt denne oppgaven, ble dette gjort om tl 6, og eventuelt 64 bts operander. Det som sal utføres oppgaven er: Forstudum om dgtal eltallsartmet med vet på multplatv dvsjon Komparatv analyse av algortmer og metoder og ut fra det begrunne valg av algortme og metode Spesfsere en ppelnet regnemodul for 6 og bts operander Implementere en eller et fåtall alternatve metoder VHDL for syntese mot FPGA for multplatv eltallsdvsjon med 6 og bts operander. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

9 nnlednng. Hypotese Antar at den største utfordrngen med multplatv dvsjon blr å nvertere dvsoren Regner med å benytte en del td tl å fnne og tole algortmer som allerede er utarbedet for nverterng av tall. Speselt master og ovedfagsoppgaver som er utført er landet nnen dgtal artmet. Antar at nverterng an alle fall gjøres ved flere teratve beregnnger, men at det an bl tdrevende å nødvendg og utføre gjentatte beregnnger for å oppnå tlfredsstlende nøyatget..4 Arbedet med oppgaven Arbedet med oppgaven ar vært delt deler:. Studefase Algortmer og metoder for multplatv dvsjon og ntalverder for teratve metoder ble besrevet.. Implementasjonsfase Løsnng for multplatv dvsjon med 6 bts operander ble besrevet. Artetur med blosjema og tlstandsdagram for 6 bts løsnng ble utredet. Løsnng for bts operander basert på løsnng for 6 bts operander ble sssert.. doumentasjonsfase Arbedet med oppgaven ble besrevet og rapport ble ferdgstlt Arbedsfordelngen mellom de ule fasene ar grovt fortenet seg sl: 6%, % og %..5 Dspossjon av rapporten Innlednng: Innlednng tl oppgaven. Bagrunn: Bagrunnen tl oppgaven og problemstllng samt tdlgere utførtarbed. Dvsjonsalgortmer: Inneolder en besrvelse av flere multplatve dvsjonsalgortmer samt ort vordan subtratve dvsjonsalgortmer fungerer. Gjennomgår teratve metoder. 4 Intalverder: Inneolder en besrvelse av metoder for å beregne ntalverder tl teratve metoder for multplatv dvsjon. 5 Implementasjon: Løsnng for 6 og bts operander spesfseres. 6 Dsusjon: Valg av metoder og de spesfserte løsnngene dsuteres samt mulge forbedrnger av løsnngene blr gjenomgått. Forslag tl vdere arbed blr også besrevet. 7 Konlusjon: Oppsummerng av va som er oppnådd med masteroppgaven. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

10 nnlednng.6 Lesng av rapporten Det forutsettes at leseren ar god jennsap tl generell dgtalten og vordan bnær artmet an realseres masnvare. I tllegg trengs noe grunnleggende unnsap nnen mattemat. Dette for å forstå lgnngene og utlednngene av dsse samt slutnngene som blr truet av de. Utlednngene denne rapporten lgger tl grunn for teoren ba vordan dvsjon an omsrves tl multplasjon. Det er forsøt å forlare tng så grundg som mulg sl at det sal bl enlere å rast forstå teoren. I tllegg er det forsøt å benytte norse ord og termer for flere engelse faguttry fra artler og teor stoff som denne oppgaven baserer seg på. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

11 Bagrunn Bagrunn Kongsberg Defence & Aerospace (KDA) som ar gtt denne oppgaven, produserer utstyr tl blant annet mltære formål. Derblant avlyttnngssert dgtalt radosambandsutstyr. Dette utstyret utfører en god del dgtal sgnalbeandlng, med øye rav tl ytelse ved regneoperasjoner. Dvsjon er en grunnleggende og vtg del nnen artmetse operasjoner. Det optmale er så urtg dvsjon som mulg på så lte areal som mulg. En dvsjonsmodul er anvendelg andre apparater og applasjoner. Multplatv dvsjon som denne oppgaven omandler, benytter en multplator som allerede fnnes en del utstyr. I denne oppgaven er teratve algortmer for multplatv dvsjon gjennomgått. Goldscmdt- og Newton-Rapson-algortmene. Newton-Rapson-algortmen dobler antallet rtge bt for ver terasjon og egner seg dermed bra tl multplatvdvsjon. De teratve algortmene trenger en nøyatg approsmasjon for en ntalverd. For å redusere antallet terasjoner som reves må den ntelle approsmasjonen være så nøyatg som mulg. Dermed reves det en metode for å saffe en ntalverd så urtg som mulg uten for mange operasjoner. Dette blr en utfordrng når det stlles rav tl ntalverdens nøyatget. Intalverdens nøyatget er vtg for å redusere det påfølgende antallet terasjoner som er nødvendg for at sluttverden sal bl orret. Tdlgere arbed som er utført på området er masteroppgavene [][][] som også er gtt av KDA. Dsse oppgavene ar vært tl støtte for arbedet med denne oppgaven. De gr en nnførng dvsjons- og vadratrotalgortmer for bru et prosjet alt Lett Felt Rado (LFR) ved KDA. Dette prosjetet er en ny type åndoldt rado som KDA ar jobbet med for Det Norse Forsvaret. For prosjetet ble en egen Applcaton-Spesfc Integrated Crcut (ASIC) utvlet av KDA. Denne ble alt NOVA, og nnoldt moduler for dgtal modulasjon og demodulasjon, grensesntt mot esterne prosessorer og en mroprosessor. Blosjema av NOVA retsen vses fgur. Den dgtale sgnal prosessorjernene (DSPK) nova retsen som vses på fgur, benytter en rads- SRT-dvsjonsalgortme for å utføre dvsjon. Dette er en av flere subtratve dvsjonsalgortmer[9][]. SRT-algortmen defneres etter vlen rads r som benyttes. Rads betyr denne sammenengen antall bt som dannes av svaret på dvsjonsregnestyet (votenten) per terasjon. En rads-r SRT algortme genererer log r bt av votenten per n terasjon. Dermed vl det ta totalt antall terasjoner for å beregne n antall votentbt. log r Rads- SRT-algortmen generer ett votentbt per terasjon. Da SRT-algortmen er foroldsvs ostnadseffetv, er den bltt benyttet flere mroprosessorer oppgjennom årene. Av jente mplementernger an Pentum 4(rads- SRT) [4], Pentum[5], Pentum II og Pentum III (rads-4 SRT), UltraSPARC [6] og UltraSPARC-II (rads-8 SRT) nevnes. For å tlfredsstlle ravene tl ytelse er 6 rads- SRT-trnn oblet sammen sere DSPK. Hvert trnn beregner ett bt av votenten. Denne sammenoblngen gr en svært dyp og omples ombnators rets som rever et stort areal. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

12 Bagrunn Fgur : Blosjema for oppbygnngen tl NOVA-retsen. Bldet er entet fra[].. Problemstllng Da apasteten på FPGAer ar øt de sste årene ar det bltt nteressant å undersøe mulgetene for å mplementere systemet på en FPGA, som er bllgere å utvle enn ASIC. Derblant trengs en dvsjonsmodul sl som denne oppgaven går ut på å fnne en egnet løsnng for. For å få øt ytelse ved dvsjon, er det nteressent å se på andre metoder og logartmer enn den subtratve SRT-algortmen som er benytt frem tl nå. KDA ønser å utarbede en løsnng som benytter allerede esterende multplatorer mplementert på FPGA tl multplatv dvsjon. En sl løsnng bør være ppelnet og operere med operandstørrelser på 6 og bt. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

13 Dvsjonsalgortmer Dvsjonsalgortmer Dvsjonsalgortmer an deles nn to ovedgrupper avengg av vle operasjoner de er basert på. Subtratve og multplatve dvsjonsalgortmer vor navnene nderer vlen type operasjoner beregnngene er basert på. Den subtratve metoden lgner mye på den såalte penn-og-papr metoden som er basert på en sere subtrasjoner vor et sffer av votenten eller svaret fremsaffes for ver subtrasjon. Kvotenten angr er vor mange ganger dvsoren er subtraert fra dvdende uten at resultatet ble negatvt. Multplatve algortmer genererer votenten ved å multplsere resproalet eller den nverterte tl dvsoren, med dvdenden. Med multplatve dvsjonsalgortmer blr utfordrngen å fremsaffe resproalet tl dvsoren.. Subtratve dvsjonsalgortmer Denne formen for dvsjon er basert på en sere subtrasjoner elt tl votenten er bestemt og en eventuell rest er bestemt. Subtratv dvsjon lgner mye den tradsjonelle penn-og-papr metoden å utføre dvsjon på. En partell rest blr beregnet for ver gang dvsoren trees fra dvdenden, og denne partelle resten benyttes neste trnn av dvsjonsregnestyet dvs. dvsoren subtraeres fra den partelle resten ved neste trnn. På dette vset blr et nytt sffer votenten beregnet for vert trnn. For vert trnn må det mdlertd sjees om den partelle resten ar bltt negatv. En sl dvsjonsmetode vl reve en subtrasjon og en sje av den partelle resten for vert trnn eller gjennomjørng av algortmen. Denne fremgangsmåten vl reve mange trnn eller terasjoner før votenten er bestemt. Antallet nødvendge terasjoner er lneært avengg av antall sffer eller bt tl dvdenden, dette gjør at subtratve dvsjonsalgortmer onvergerer langsomt. Dette gr en særdeles lang og omstendelg prosess for å få bestemt votenten ved regnng med store dvdender. Fgur : Illustrasjon av Newton-Rapsons metode med den e-lneære funsjonen f(z) og dens tangent puntet z. Ser er at tangentens nullpunt z er en bedre tlnærmng etter terasjoner tl f(z) stt fatse nullpunt z. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 6

14 Dvsjonsalgortmer Det fnns en del varanter av subtratve algortmer som alle er basert på en sere subtrasjoner og ontrollerng av fortegnet tl votenten for ver subtrasjon. Dsse algortmene ar foroldsvs enle terasjonssjemaer, men antall nødvendge terasjoner øer allevel lneært med antall sffer operandene. Enelte subtratve algortmer er stand tl å generere opptl noen få bt av votenten per terasjon, men dsse er også lneært avengg av sfrene operandene og onvergere også langsomt ved store operander. Restorng dvsjon, Non-restorng dvsjon, Performng dvsjon, Non-performng dvsjon, Array dvsjon, SRT dvsjon er jente subtratve algortmer [9]. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 7

15 Dvsjonsalgortmer. Multplatve dvsjonsalgortmer I let med subtratv dvsjon, gjenspeler navnet multplatv dvsjon vlen type operasjon som lgger tl grunn for dvsjonsmetoden. Multplatve algortmer tar utgangspunt at votenten Q er l produtet av dvdenden X og resproalet (den nverterte) av dvsoren. X Q X () Med denne metoden blr utfordrngen å beregne eller fnne resproalet av, så urtg som mulg. Ved denne fremgangsmåten er det som sal beregnes resproalet bare avengg av en operand motsetnng tl subtratv dvsjon. Newton-Rapsons metode og Goldscmdts metode er to vel jente metoder for å beregne resproalet... Newton-Rapson Newton-Rapson er en teratv tlnærmngsmetode for å fnne en e-lneær funsjon stt nullpunt. Metoden ble først besrevet av I. Newton og senere rensrevet og bearbedet av Rapson. Denne metoden produserer en sere tlnærmede verder tl funsjonens nullpunt som onvergerer esponentelt med antall terasjoner mot funsjonens fatse nullpunt. Newton-Rapson metode ar følgende teratve formel (se formel ). f ( z ) z z () f ( z ) I formel er f (z) den e-lneære funsjonen og f (z) er funsjonens første derverte og z er en tlnærmng tl funsjonen f (z) stt nullpunt. Ser også at z er en mer press tlnærmng tl nullpuntet z. Den teratve prosessen starter med en antatt passende startverd, z. Dersom z oppfyller onvergensravene vl z onvergere mot det fatse nullpuntet z, og g en bedre approsmasjon for ver terasjon. Prsnppet er sssert grafs fgur. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 8

16 Dvsjonsalgortmer Fgur : Illustrasjon av Newton-Rapsons metode med den e-lneære funsjonen f(z) og dens tangent puntet z. Ser er at tangentens nullpunt z er en bedre tlnærmng etter terasjoner tl f(z) stt fatse nullpunt z. Utlednng av Newton-Rapson- metode Newton-Rapson metoden tar utgangspunt defnsjonen på den derverte: () ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z f z f z z z z z f z f z z z f z f Anvendelse av Newton-Rapsons-metoden tl dvsjon Med utgangspunt lgnng, an Newton-Rapson metoden benyttes tl å beregne resproalet tl dvsoren. Velger funsjonen l: (z) f z z f ) ( (4) Funsjonens første derverte blr da: ) ( z z f (5) Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 9

17 Dvsjonsalgortmer Funsjonens nullpunt fnnes når z er l resproalet, f ( z) z z z (6) Formel 4, 5 satt nn formel : z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ( z ) (7) Beregnng av resproalet som er er l z formel 7, består er av en subtrasjon og to multplasjoner for ver terasjon. Etter et tlstreelg antall terasjoner som srer tlstreelg nøyatget av resproalet, sal resproalet multplseres med dvdenden for å få utført dvsjonen fra formel. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

18 Dvsjonsalgortmer Resproalets felrate ved approsmasjon Med denne metoden får det beregnete resproalet en felrate som er l dfferansen z E mellom z og det fatse resproalet E z E z ( z ) E z z etter ver terasjon. Z E z E z E E (8) Ser fra lgnng (8) at den absolutte felen vl onvergere vadrats mot null for ver terasjon dersom E <. Sagt på en annen måte vl onvergere for verder av startverden z som gr at E o E z når. Fnner verder for som oppfyller onvergensravene: E E E E E E E E 4 4 E ( ( (...( E ))...))) (9) Esponenten tl følger en geometrs ree () Resultatet fra lgnng () gr da at felen etter terasjoner an utryes sl: E E E z ( z ) E ( z ) E E ( z ) () Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

19 Dvsjonsalgortmer For at E når sl at prosedyren onvergerer, må telleren lgnng () gå mot null, og det sjer når onvergensravene: z z z z z z z <. Det gr følgende området for som oppfyller < z o < () Denne metoden gr dobbelt så mange rtge sffer for ver terasjon. Antall terasjoner som trengs for å oppnå ønset nøyatget, ar følgende funsjon som er avengg av nøyatgeten på startverden z o. I antall nødvendge terasjoner p antall orrete bt startverden q ønset nøyatget p I q I ( p ) ( q) log log log ( p) log ( ) I log (q) I log ( q) log ( p) q I log () p Oppsummerng av Newton-Rapson-metoden Newton-Rapson-metoden gjør multplatv dvsjon mulg ved en effetv teratv approsmerngsmetode som gr en vadrats onvergerng av resproalet tl dvsoren. Antall terasjoner som benyttes bør ballanseres med tane resproalets nøyatget, ytelse og ostnad. Startverden som benyttes første terasjon, ar stor betydnng for vor optmal onvergerngsprosessen blr. z Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

20 Dvsjonsalgortmer.. Goldscmdt Goldscmdts algortme benytter Taylor-reeutvlng tl å approsmere funsjonsverder. Den generelle formelen for en funsjon f ( z) puntet z p er gtt ved lgnng 4, der antall ledd bestemmer nøyatgeten. ( n ( z) ) ( ) f ( p)... ( ) n z p... f f ( z) f ( p) f ( z)( z p) z p (4)! n! Denne algortmen an benyttes tl dvsjon ved å fnne funsjonen tl resproalet, f ( z) Dermed an votenten tl en dvsjon beregnes sl: Q X X X f ( z) Av begrensnngsmessge grunner velges f ( z) og p tl lgnng 4. Vdere antas z operander området fra og med,5 og opp tl for å gjøre fremstllngen lettere. Lar dvsoren være l z,,5 z <. Resproalet tl an da tlnærmes med Maclaurnreen for : z f 4 ( z) z z z z... z Høyresden tl utryet over an uttryes sl: z 4 ( z)( z )( z )... ( z ) (5) Dermed an votenten uttryes sl: 4 ( z) X ( z)( z )( z )... ( z ) Q X f (6) 4 Hvert ledd reeutvlngen ( z)( z )( z )... ( z ) an betrates som en sevens med produter ro r... r n som sørger for at dvsoren onvergerer mot, samtdg som dvdenden X onvergerer mot votentenq. Dette an uttryes sl: Q X X r r... r o r r... r o n n n X r n r Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

21 Dvsjonsalgortmer Hvor r er normalserngsfatoren som for en tlstreelg stor n sørger for at: n r og n X r Q når r n Ut fra dette an det dannes en tererende produtree for dvsoren: r r... o eller r r Der r representerer ledd nummer, på øyre sde av lgnng 5. Dermed an uttryet srves sl på generell form: ( z )( z ) z (7) r Fra lgnng 7 ommer det fram at onvergerer vadrats mot når øer, ford v ar antatt at,5 <, og dermed vl <. Dermed vl algortmen utvle reen ved å multplsere nn et nytt ledd te terasjon på formen z. Leddet lgnng 7 an dannes drete ved å ta toer omplementet av : r r ( z ) z Dermed an leddene som sal multplseres nn reen beregnes ved å utføre en toeromplementerng og en multplasjon. Det generelle utryet for votenten blr da: X X r Hvor X er votenten etter terasjoner. Ved jelp av en ntell approsmasjon av resproalet tl dvsoren, an antallet terasjoner reduseres for å få utført dvsjonen. Dette gjøres ved å multplsere dvdenden og dvsoren med en ntell startverd for resproalet. Denne ntal verden for r gtt ved: r 4 z ( z)( z )( )... r Dette vl tlsvare de første leddene på øyre sde lgnng 5, sl at r X X r. Nøyatgeten tl den ntelle startverden for r bestemmer vor mange terasjoner som trengs for å utføre dvsjonen. og Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

22 Dvsjonsalgortmer Oppsummerng av Goldscmdts metode Goldscmdts algortme består av to multplasjoner og en toer-omplementerng. Multplasjonene er e avengg av verandre og an derfor utføres parallelt motsetnng tl multplasjonene Newton-Rapson algortmen vor multplasjonene må utføres sevenselt. Felanalysen tl Goldscmdts algortme er langt mer omples enn det som er tlfellet med Newton-Rapson algortmen vor en fel en terasjon blr rettet opp neste terasjon. Da Goldscmdts algortme aumulerer fel for ver terasjon blr det nødvendg med en felanalyse for ver terasjon[7]. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

23 4 Intalverder 4 Intalverder Startverden eller z o som benyttes ved første terasjon lgnng (7) ar stor betydnng for den approsmerte verden av resproalet og prosessens ytelse. En startverd med mange sffer l det orrete resproalet, vl redusere antallet terasjoner som trengs for å oppnå ønset nøyatget på det approsmerte resproalet. For å unngå at resproalet får en særdeles lten verd, blr normalseres tl [,) sl at resproalet tl dvsoren for bnære flyttall. fnnes mengden,. Dette følger også IEEE standarden 754 De tre vanlgste metodene for å bestemme ntal verden tl resproalet ved multplatv dvsjon er:. Konstant startverd. Stegvs tlnærmng. Lneær nterpolasjon For å unne sammenlgne effetvteten tl dsse metodene benyttes den relatve felen e ( ) samt antall orrete bt metodene gr. Den relatve felen e ( ) er gtt av foroldet mellom felen E e delt på det esate resproalet. z (8) ( ) z I lgnng 8 er dvsoren og z o er den ntelle approsmasjonen tl resproalet. Med en pressjon på P rtge bt, vl den ntelle approsmasjonen tl Den relatve felen blr l foroldet mellom fel og rtgsvar, e. z E e E E E E ( ) e a en relatv fel ( ) P e < Antall rtge bt p, en startverd regnes ut ved jelp av den relatve felraten på følgende måte: p e( ) log ( e) p log () log ( ) p e (9) log () Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 6

24 4 Intalverder 4. Konstant startverd Den aller enleste metoden er å benytte en onstant startverd uansett vlen dvsor som benyttes, men dette gr også størst fel sden startverden vl a færre rtge bt. En ntell approsmasjon mellom og z z vl g en tlnærmng som gr mnmalt med log sden produtet an realseres ved å foreta ett øyresft av. Med en dvsor l blr den relatve felen e ( ) og vl få en masmal verd på for <. Ved å benytte lgnng 9 an pressjonen på startverden regnes ut (se lgnng vor pressjonen blr regnet ut tl å bl ett bt): log ln log( e) ln( ) p () log() log () ln( ) ln ( ) Ved å ta utgangspunt grenseverdene tl og s at den relatve felen sal være l for å fnne en verd og, blr det mulg å fnne en startverd for z som gr lavere relatv felrate. e ( ) e() z z z For at onvergensravene sal være møtt må z. Dette gr en relatv felrate ( ) på e. Med felraten på nnsatt lgnng (9) oppnås en ntell pressjon på,585 bt Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 7

25 4 Intalverder 4. Stegvs tlnærmng Ved å dele dvsorens tallområde nn delntervaller med ett resproal for vert av delntervallene, vl den ntelle verden for resproalet få en langt større nøyatget. Denne metoden alles stegvs tlnærmng og er llustrert fgur 4. For å tlpasse denne metoden tl det bnære tallsystemet er det enstsmessg at antallet delntervaller er en potens med tallet to som grunntall. Ved å benytte de ledende btene dvsoren tl å bestemme vlen onstant som sal benyttes for den gjeldende dvsoren. Dvsorens ntervall [,) deles nn le store delntervaller nndelt på følgende måte: ( j) ( j ),, j {,,..., } Konstantene for vert delntervall bør legges tl delntervallenes mdtpunt for å oppnå øyest mulg nøyatget på resproalene. Delntervallets mdtpunt blr da: ( j ) () Dermed blr resproalets verd: ( j ) () Dersom dvsoren er enden av delntervallet, blr felen aller størst. Dette an sees på fgur 4 vor verden tl resproalet avver mest forold tl grafen dersom dvsoren befnner seg enden av et delntervall. Den relatve felen er gtt ved lgnng (8) vor z er startverden nnen et gtt delntervall. Dermed får den relatve felen for nedre og øvre grensepuntene for et delntervall følgende verd: j e( ) nedre j e e ( ) nedre j j j ( ) nedre () j e( ) øvre j e j j ( ) øvre Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 8

26 4 Intalverder e j ( ) øvre (4) En ser fra lgnng og 4 at den relatve felen er l ved både den øvre og nedre grensen for et delntervall. Ut fra nevneren lgnng og 4 vses det også at den relatve felen blr mnst ved stor J-verd som gr en øy ntervall ndes. Dersom dvsoren tlører det første delntervallet vor j, vl den relatve felen bl størst og få følgende relatve fel: e ( ) j (5) ( ) Fra lgnng (5) går det frem at den ntelle pressjonen p blr en funsjon av antall delntervaller mplstt bt, samt sammenengen: < ( ( ) Ved å sette nn ) lgnng, ommer det frem at den ntelle pressjonen blr l, som ommer av vor mange delntervaller som dvsorens område er oppdelt. Fgur 4: Stegvs tlnærmng tl resproalets funsjon. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 9

27 4 Intalverder 4. Lneær nterpolasjon For å oppnå en mer nøyatg tlnærmng tl funsjonen som gr resproalet ut fra dvsoren, an en polynoms approsmasjon av nte grad benyttes (se lgnng 6 vor er dvsoren og c er onstanter). n ( ) c c c... c n z (6) For å tlfredsstlle rav tl ytelse og areal, forenles approsmasjonen tl en lneær funsjon på følgende form: ( ) c c z (7) I lgnng 7 er dvsoren og c,c er onstanter. Denne forenlngen gr færre orrete bt enn en øyeregrads tlnærmng. Ved å sette nn verdene for ntervallets endepunter lgnng 7får v følgende lgnnger (se lgnng 8 og 9): c c (8) c c (9) Verder for og c fnnes da ved å løse lgnng 8 og 9. c c c Dermed an formelen for ntal verden utryes sl: ( ) c c z z z ( ) () ( ) ( ) Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

28 4 Intalverder Lgnng an realseres ved jelp av en subtrasjon og et øyresft. Den relatve felen tl blr da: z ( ) e e ( ) ( ) ( ) Bestemmer vlen verd for dvsoren som gr størst relatv felrate: e ( ) Fnner masmal felrate for denne lneære approsmasjonsmetoden: e e 8 Med en absolutt masmal felrate på 8 oppnås en ntell nøyatget på bt. Lneær nterpolerasjon an utnyttes ved stegvs tlnærmng vor dvsorens tallområde deles opp delntervaller og lneær nterpolerasjon benyttes på vert delntervall (se llustrasjon 5 for grafs fremstllng). Fgur 5: lneær nterpolasjon vor tallområdet er delt nn ntervaler. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

29 4 Intalverder Dvsorens tallområdet deles nn le store delntervaller, på samme måte som med stegvs tlnærmng: ( ) ( ) j j,, { },,..., j Hvert delntervall ar en øvre og en nedre grenseverd [ ) l,. Dsse benyttes tl å beregne onstantene og formelen for lneær approsmasjon fra lgnng 7: c c I: l l c c II: c c I II: l l c c c c ( ) ( ) l l l c l c l c Formelen for den ntelle approsmasjonen blr da: ( ) l l z () Med lgnng for den ntelle approsmasjonen nnsatt lgnng 8 oppnås følgende relatve felrate: ( ) e l l ( ) e l l l ( ) l l e () Fra fgur 5 og lgnng og 4 ommer det frem at den relatve felen tl de lneære approsmasjonene blr størst ved de første delntervallene. Aller størst blr den relatve felen på mdtpuntet tl det første delntervallet vor j. Fra formel blr det: ( ) Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

30 4 Intalverder Delntervallets grenseverder:, l Innsatt lgnng blr dermed den masmale relatve felen følgende: ( ) e max ( ) ( ) e max ( ) max e ( ) max e ( ) ( max < e ) () 4.4 Bpartte tabeller Bpartte (to delte) oppslagstabeller er en effetv måte for å fnne en ntalverd tl resproalet for vdere tererng med Newton-Rapson -metoden. Metoden går ut på å benytte en normalsert verd av dvsoren for å adressere en tabell som nneolder resproalverder. Dermed oppnås et relatvt nøyatg ntellt resproal for tererng noe som resulterer et mnmum av tdrevende regneoperasjoner, bytte mot øt areal. Dvsoren, normalseres tl området [ ), for så å truneres eller begrenses tl bt tl øyre for ommaplassen på følgende form: b b b b b..., 4 Dsse -btene benyttes så tl å adressere tabellen som gr j-bt ut: ' ' 4 ' ' '..., b j b b b b Dermed blr dette en -bt nn, j-bt ut resproal tabell med en størrelse på bt. I [8] besrves algortmer for bpartte resproale tabeller som tlfredsstller rav om en j Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

31 4 Intalverder nøyatget på ULP (Unt n Last Place, possjonsverden tl det mnst sgnfante btet et dataord). Dsse algortmene for bpartte tabeller ar j g bt nn og j bt ut, vor g og j. De jg-nn btene blr nndelt partsjoner, øy ( ), mddels ( m ) og lav ( l ), etter deres possjonsverd den normalserte og trunerte nn-vetoren på følgende vs:.. b, bbb... b j g b j g, bbb... bb b.. bmbm bm ml I [8] fnnes et llustrerende esempel som forlarer prnsppet med bpartte tabeller. I esemplet som benyttes, sendes j g bt nn og et resproal på bt oppnås ut fra tabellen, der g. Oppslagsprosessen er delt opp 4 steg (se fgur 6 for blosjema for oppslag den bpartte tabellen).. j bt sendes nn. Dsse er partsjonert grupper,, m og l bestående av enoldsvs, og bt.. De btene fra og m partsjonene~ j adresserer en postv tabell P som gr ut j bt.. De btene fra og ~ j bt. l ~ j adresserer en negatv tabell N som gr ut 4. En Borrow-Save adderer som tllegg runder av resultatet. Resultatet blr et resproal på j bt som er orret tl ULP. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

32 4 Intalverder Fgur 6: Blodagram som vser struturen tl bpartte tabeller. Intervallet tl dvsoren, < an deles opp blo, segment og verd samsvar med de partsjonene av,, m og l som er nndelt etter possjonsverden de ar det j g bt lange ordet. Uttryene for, og an srves sl: m l... (4), bbb b m, b bb... bm l, bm bmbm... b ml m (5) (6) Det gjør det enstsmessg med følgende nndelng av ntervallet < basert på bloer, segmenter og verder (se fgur 7 for grafs fremstllng av nndelngen): Blo: Intervallet < deles nn bloer. m Segment: Hver blo deles opp segmenter. l Verd: Hvert segment deles opp verder. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

33 4 Intalverder Fgur 7: Grafs fremstllng av dvsorens ntervall nndelt bloer, segmenter og verder. Med en nndelng av dvsorens ntervall på antall bloer vl ver blo få en bredde på. Dette gr at ntervallet som en blo deer an srves på følgende måte: a, ( a ) a a, Varabelen a lgnng 7 representerer blo nummeret. [, ] Hver blo består av (7) a. segmenter med en bredde på, som deer følgende ntervall: m m a b a b, m m m a b a b, m m m Varabelen b lgnng 8 representerer segmentnummeret. b [, ] samme som lgnng 7. (8). Varabel a er den Hvert segment består av verder med en bredde på l m l, som deer følgende ntervall: Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 6

34 4 Intalverder m m m m a b c a b c, m m l m m l m l m l l m l m l l a b c a b c, m l m l l Varabelen c lgnng 9 representerer verdnummeret. c [, ] enoldsvs de samme som lgnng 7 og 8. (9). Varablene a og b er Antall rtge ønselge bt ut fra den bpartte resproal tabellen er som tdlgere nevnt, j g bt eller j m l g bt. Utverden beregnes ut fra en Borrow-Save subtrasjon av de to verdene fra tabell P og N. Den postve tabellen P ar m bt nn, og ar m l bt lagret for utlesnng tl Borrow-Save subtrasjonen sammen med verden fra den negatve tabellen N. Tabell N ar l bt nn, og ar l-g bt lagret for utlesnng tl Borrow-Save subtrasjonen. m l Med nn verder tl P tabellen og nn verder tl N tabellen vl den totale størrelsen m l for denne bpartte tabellmetoden bl følgende: ( m l) ( l g ). En -bt nn, j-bt ut bpartt resproal-tabell ses å være optmal dersom den gr samme resultat som en optmal full-oppløsnng j -bt resproal tabell. Kompresjonsfatoren på en bpartt resproal-tabell forold tl en full-oppløsnng resproal-tabell blr j delt på størrelsen tl en -bt nn j-bt ut bpartt resproal-tabell. Grunnen tl at det er j som benyttes er at dette er størrelsen på den mnste full-oppløsnng resproal-tabellen som srer en nøyatget på ULP følge [8]. I [8] ses det på en algortme for en bpartt resproal-tabell som gr ut flere enn bt. Med den algortmen genereres en (j)-bt nn, j-bt ut bpartt resproal-tabell, som older ravet om en unøyatget på mndre enn ULP. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 7

35 4 Intalverder 4.4. Algortme for bpartte resproal-tabeller I [8] besrves oppbygnngen av en algortme for å onstruere en j bt nn, j bt ut bpartt tabell. Denne algortmen baserer seg på nnbtene (jg) eltallsdvdert med, for å unne j g nnføre parameteren, som benyttes tl å dele nngangs btene nn ategorer, j [,, ]. Grunnen tl denne nndelngen ommer av ensyn tl en nøyatget på ULP. Generelt sett an nndelngen besrves ved jelp av varabelen u. j [, u, ]. Varabelen u angs på følgende vs: u vs ( j g) mod u vs ( j g) mod u vs ( j g) mod Med denne fordelngen, genererer algortmen en optmal bpartt tabell vs størrelse voser med en fator på 4 for vert. estra bt den utvdes med. Tl sammenlgnng øer onvensjonelle optmale tabeller med full-oppløsnng med en fator på 8 for tlsvarende utvdelse. Størrelsen samt dmensjonerng på den optmale bpartte tabellen for de ule nndelngene nevnt over, vses tabell. Ut bt j Inn bt Partsjon av ( j) Postv tabelldel Dmensjonerng Negatv tabelldel Dmensjonerng -, -, nn, ut nn, ut -,, nn, ut nn, ut,, nn, ut nn, ut Total tabellstørrelse bt ( 5 ) ( 8 4) 4 ( ) Tabell : Tabellen vser total tabellstørrelse for optmal bpartt tabell generert med algortme fra [8]. Verdene tabellen er også entet fra [8]. For å få et perspetv på vor store datamengder som sal lagres, an dette beregnes ut fra formlene olonne 5 tabell for total tabellstørrelse. Beregner total tabellstørrelse for to utvalgte operandstørrelser, enoldsvs 6 og bt. j 6: For å unne eltallsdvdere på, må de 6 ut btene følge formelen rad, olonne tabell Benytter 6 formel for total tabellstørrelse rad, olonne 5 tabell. tot _ størrelse ( 5 ) 6 tot _ størrelse ( 5 6 ) tot _ størrelse 7bt tot _ størrelse 6, 4B Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 8

36 4 Intalverder j : For å unne eltallsdvdere på, må de ut btene følge formelen rad, olonne tabell. Benytter formel for total tabellstørrelse rad, olonne 5 tabell. tot _ størrelse 8 4 ( ) ( 8 4) tot _ størrelse tot _ størrelse bt tot _ størrelse 48, MB Tl sammenlgnng med ordnære optmale full-oppløsnng tabellers størrelse gr bpartte tabeller en betratelg mndre størrelse. Dette vses tabell. Tabell : Tabellen vser overst over total tabellstørrelse for optmal ROM tabell og bpartt tabell for ule nn bt j. Tabellen er entet fra [8]. For beregnng av verdene som sal lagres den bpartte tabellen benyttes blant annet mdtpuntet mellom to verder nnen et segment. Mdtpuntsfunsjonen er den samme som lgnng, som det er bevst gr mnst relatve felrate. Her vl resproalet a en verd gtt av lgnng. Her angr () vlet antallet delntervall som resproalets området er nndelt, og j det respetve delntervallet vor verden befnner seg. j () Denne formelen an srves om sl at formelen blr basert på nn btene metoden for bpartte tabeller.. u m l u u ( y y y ) (4) Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 9

37 4 Intalverder m l m l m l m ( y y y ) (4) Denne formelen srves om tl den som benyttes algortmen for genererng av bpartte tabeller [8]. u u u ( y y y ) m l Lgnng 4 blr eretter besrevet som mdtpuntsfunsjonen mdres ( y y, y ) algortme [8]. m l (4), sl som Algortme (onstrusjon av bpartt resproal-tabell) Stmul: eltall og u. Respons: u bt nn, u bt ut tabell P og bt nn, bt ut tabell N Steg (Genererng av tabell P): for y tl - L: frstspread(y ) mdres(y,, ) - mdres(y,, -) L: lastspread(y ) mdres(y, u -, ) - mdres(y, u -, -) frstspread(y ) lastspread(y ) L: averagespread(y ) for y m tl u - L4: spread(y, y m ) mdres(y, y m, ) - mdres(y, y m, -) averagespread(y ) - spread(y, y m ) L5: adjust(y, y m ) L6: table_p(y, y m ) mdres(y, y m, ) adjust(y, y m ) L7: round down table_p(y, y m ) tl u bt End End Steg (genererng av tabell N): for y tl - for y l tl - L8: frstdff(y,y l ) mdres(y,, ) - mdres(y,, y l ) L9: lastdff(y,y l ) mdres(y, u -, ) - mdres(y, u -, y l ) frstdff( y, yl ) lastdff(y, yl ) L: table_n(y, y l ) L: rund av tl nærmeste table_n(y, y l ) tl bt end end Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

38 4 Intalverder Gjennomgang av algortme Steg (genererng av tabell P) Sden den relatve felen er størst starten av funsjonen som gr resproalet, an nøyatgetene øes ved å fordele felen utover ver blo. Dette gjøres ved å fnne den gjennomsnttlge sprednngen mellom første og sste mdtverd vert segment ver blo (L og L algortme ), før resultatet mdles (L algortme ). Deretter fnnes sprednngen det segmentet som sal genereres (L4 algortme ), før det mdles over denne sprednngen og gjennomsnttelg sprednng (L5 algortme ) for å fnne en justerngsverd. Denne justerngsverden blr så lagt tl mdtverden for å fordele felen, for så å bl lagret tabell P som den nye mdtverden (L6 algortme ). Tl slutt blr den lagrete mdtverden avrundet ned tl (u-) rtge antall bt (L7 algortme ). Det sal også legges tl en ener på mnst sgnfante bt på ver verd, men denne blr e lagret da alle verdene nnolder denne. Steg (genererng av tabell N) Dette steget fnner gjennomsnttelg avstand mellom den første verden og alle de andre verdene nnen alle segmentene en gtt blo (dette blr utført av L8 og L9 algortme ). Dette resultatet mdles (L algortme ) før det avrundes ned tl () rtg antall bt (L algortme ) og verden lagres tabell N. En grafs forlarng vses ved jelp av fgur 8 og 9. I fgur 8 vses urvene tl overlappende segmenter en blo, som det mdles over for å få en urve som representerer et gjennomsntt sl som fgur 9. Fgur 9 vser snttet som den stplede lnjen vor N verdene entes ut fra. Fgur 9 llustrerer også prnsppet med vordan averagespread blr tl for P verdene. Fgur 9: Overlappende segmenter nnen en blo. Fguren er entet fra [8]. Fgur 9: Segmenter justert med en verd b, gr snttet vst som stplet lnje som N verdene an entes ut fra. Fguren er entet fra [8]. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

39 4 Intalverder 4.4. Felanalyse av algortme For å beregne antall rtge bt som tabell P ar, an bevset fra stegvs tlnærmng benyttes. Under stegvs tlnærmng bevses det at ved bru av mdtpuntsverden vl antall rtge bt bl en mer enn antall nnbt. Dermed oppnås u rtge bt ut med et nnsgnal på u med algortme. Sammenlgnet med antall bt som sal være rtge tl slutt (u), så vl P verden oppnå en nøyatget på 4 ULP. Felen tl N verden er avengg av både felen ved mdtpuntsverden og vor mye fel som nnføres når den justeres. Analyserer derfor felen som nnføres ved adjust()-beregnngen med ensyn på første og sste segment da algortme gr størst fel ved enden av bloene, og aller størst for blo. Undersøer dermed blo, segment for å fnne mas felrate. adjust( y, y averagespr m averagespread( y ) spread( y, y y ) ) (4) frstsprea d ( y ) lastspread ( y ) ead ( y ) (44) Lgnng 4 nnsatt lgnng 9: adjust( y, y m ) frstspread( y ) lastspread ( y ) frstspread( y ) adjust( y, y m ) frstspread ( y ) lastspread( y 4 ) frstspread( y ) adjust( y, ym ) ( lastspread ( y ) frstspread( y )) (45) 4 Setter nn y lgnng 9 da det er størst fel blo : adjust(,) d 4 Tar utgangspunt L algortme : ( lastspread () frstsprea ()) frstdff(y, yl ) lastdff(y, yl ) table _ N (46) Største fel blr dfferansen mellom første og sste verd blo. Beregner denne: frstdff(, -) lastdff(, -) dff (47) Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

40 4 Intalverder Denne dfferansen er l: ( ) ( () lastspread frstspread dff ) (48) Legger sammen og får: ( ) ( ) ( ) m y lastspread y frstspread dff y y adjust 4 ), ( (49) Alle verdene multplseres med for å få en ULP verd som angr felen som oppstår ved utregnngen av N-verdene. 4 ( ) ( ) 4 ( )( )( ) < 4 ( ) ( ) < 4 < < < (5) Mdtpuntsverden gr en masmal fel på /4 ULP uten avrundng og justerngen gr en masmal fel på /8 ULP uten avrundng. Den uavrundete verden som entes ut fra den bpartte tabellen får dermed en fel som er l summen av dsse, /8 ULP. Vdere er det nødvendg med avrundng og beregnng av felen som da blr ntrodusert, og det benyttes da et bevs fra [] for å beregne avrundngsfelen. Dette bevset er opprnnelg entet fra [8]. Første steg er å defnere en funsjon RD g (y) som runder av ned tl g antall btt etter ULP og som sørger for at alle fel blr postve og at masmal fel blr -g. Da felen alltd er postv an den alveres ved å tllate at den an være både postv og negatv. Dette oppnås ved å legge tl en estra ener tl de g btene subtrasjonen mellom P og N verden, sl at RD g (y) -(g) får en masmal fel på -(g). Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8

41 4 Intalverder Deretter defneres RN g (y) som runder av ned tl nærmeste g antall bt etter ULP. Ved å gjennomføre at alt større enn eller l -(g) rundes av oppover og ellers ned, oppnås en masmal fel på -(g). Defnerer så en z RN g (e) RD g (f) -(g), sl at dfferansen mellom z og en avrundet z blr l: RN z ( g ) ( RN () e RD ( f ) ) RN RN ( e) RD ( f ) ( ) g g g ( ( ) g RN z ) I lgnng 5 tlsvarer RN avrundng tl nærmeste uten estra bt, dermed oppnås en masmal ( g ) 5 avrundngsfel på som dette tlfellet gr en avrundngs fel på. Dermed an den 8 totale felen for den bpartte tabellmetoden beregnes ved å summere felen som oppstår os 5 verdene tabellen og avrundngsfelen. ULP. Dermed older metoden med oppslag 8 8 en optmal bpartt tabell seg nnenfor ULP grensen. g (5) 4.4. Utnyttelse av symmetr Det er mulg å oppnå reduserte tabellstørrelser ved å utnytte segmentenes symmetrse egensaper. I stede for å ta utgangspunt resproalet enden av et segmentet, an resproalet legges tl mdten av segmentet tabell P for så å enten legge tl eller tree fra for å bestemme resproalet. Se fgur for grafs fremstllng av segmentsymmetr. Fgur : Grafs fremstllng av P verd mdt et segment med N verder som enten trees fra eller legges tl som er symmetrs spredt rundt P verden. Fguren er basert på fgur []. Med denne nndelngen av P-verdene vl det være tlnærmet le stor avstand tl neste verd over og under. På dette vset vl justerngen være tlnærmet l for å fnne nærmeste resproal både over og under. Denne metoden rever mdlertd noe estra areal da det er nødvendg med både en addsjonsrets og en subtrasjonsrets. Ved å benytte toer-omplementerng av verdene an subtrasjonsretsen erstattes med XOR porter sl at forsnnngen mnses. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

42 4 Intalverder 4.5 Multparttetabeller Oppslagstabellen for resproalets ntalverd an deles opp enda flere deler enn den tdlgere nevnte bpartte tabelløsnngen. Denne metoden alles multpartte tabeller og baserer seg på samme prnsppet som bpartte tabeller bortsett fra at tabellen er fordelt over flere undertabeller. De mest sgnfante btene oppslagsverden benyttes tl oppslag en tabell P som nneolder en tlnærmet verd for resproalet. Denne verden blr så justert ved jelp av lagrede verder flere underlggende tabeller. Se fgur for llustrasjon av oppslagsordets nndelng. Med en sl flerdelt tabell an den totale tabellstørrelsen bl redusert forold tl en bpartt løsnng. På grunn av oppdelngen av tabellområdet trengs det flere addsjoner, men redusjonen total tabellstørrelse vl ompensere for det øte arealet som sylles adderere. Dermed blr det en avvenng mellom addsjonsareal og noe øt prosesserngstd som følge av flere addsjoner, og redusert tabellareal. I tllegg vl det nnføres en felrate ved nndelngen av de ule deltabellene som vl summeres sammen tl en større global felrate. Det er mdlertd mulg å ompensere for denne nndelngs-/vantserngsfelen fra ver deltabell ved å nnføre større nøyatget på utverdene. Dette vl rtg no føre tl en ønng tabellstørrelsen. Dermed blr det en avvenng mellom tabellstørrelse og nøyatget. Struturen tl en multpartt tabell vses fgur. Denne struturen er basert på å utnytte tabellsymmetr som nevnt foregående aptel, og nneolder dermed XOR porter som vst utsnttet av TO-tabellen fgur. I [] benyttes en fredelt tabell for oppslag av resproalets ntalverd med en nøytatget på ULP. Denne løsnng oppnådde en total tabellstørrelse på ~7KB for 4 bts operander noe som er betydelg mndre enn va en bpartt løsnng vlle a gtt. Fgur : Illustrasjon av oppslagsordets oppdelng som består av A B bt. De α mest sgnfante btene benyttes tl å slå opp en tabell som nnolder en ntell approsmasjon av resproalet. Vdere benyttes undernndelnger B, B tl oppslag andre deltabeller for justerngsverder som tl sammen gr et rtgere resproal. Fguren er entet fra []. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

43 4 Intalverder Fgur : Blosjema vser den generelle struturen for multpartte tabeller. TIV-tabellen (Table of Intal Values) nneolder det ntale resproalet mens TO-tabellene (Table of Offsets) nneolder justerngsverder. Fguren er entet fra []. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 6

44 5 Implementasjon 5 Implementasjon For å utføre dvsjon ved jelp av multplasjon må dvdenden X multplseres med resproalet tl dvsoren. Utfordrngen blr da å beregne resproalet så nøyatg som mulg og på ortest mulg td. Q X Det ble utredet en løsnng for 6 bts operander og sssert en løsnng for bts operander, vor begge er ppelnet. Dessverre ble det e td tl å utarbede VHDL ode for løsnngene som an syntetseres for FGPA. I stedet blr de gjennomgått og besrevet følgende aptler med tlørende blosjema og tlstandsdagram. 5. Løsnng for 6 bts operander Ut fra teor besrevet aptelene og 4 ble noen metoder valgt som gr en dvsjonsmodul for 6 bts operander. Løsnngen fremsaffer resproalet på en effetv måte og utfører dvsjon med 6 bts operander som står ø for å bl prosessert. 5.. Oppslagstabell Det ble valgt å benytte en oppslagstabell for å fremsaffe en nøyatg approsmasjon av resproalet for å redusere antall terasjoner som reves for å fnne et orret resproal. Det ble dessverre e td tl å se nærmere på multpartte oppslagstabeller. Den bpartte tabellløsnngen rever b mnne for å lagre ntalverdene tl 6 bts operander. Denne nformasjonsmengden er mulg å lagre RAM-bloer tl FPGAer cyclone og vrtex-serene som ar opptl Mb RAM [][]. De største FPGAene fra Actel ar opptl 8Mb flasmnne[5]. Dermed ble den bpartte oppslagstabellen som er besrevet tdlgere apttel 4.4, valgt tl å lagre ntalverder av resproalet. 5.. Iterasjons-algortme For terasjonsprosessen av et ntellt resproal, an både Goldscmdts-algortme og Newton-Rapsons-algortme benyttes. Begge dsse algortmene er tdlgere besrevet apttel.. Goldscmdts-algortme og Newton-Rapsons-algortme rever begge multplasjoner for ver terasjon. I Goldscmdts algortme er multplasjonene uavengge sl at de an utføres parallelt mens med Newton-Rapson-algortmen må de utføres sevenselt [][5]. Felanalysen tl Goldscmdts algortme er langt mer omples enn felanalysen tl Newton-Rapson-algortmen. Med Goldscmdts-algortme vl felen bl aumulert motsetnng tl Newton-Rapson-algortmen som er selvrettende og gr en vadrats onvergens. Dermed ble Newton-Rapson algortmen valgt tl en mplementasjons løsnng denne oppgaven, da den gr enlere og srere felanalyse samt tlstreelg grad av effetvtet. Den bpartte oppslagstabellen gr et ntellt resproal som er nøyatg tl ULP. Da en Newton-Rapson-terasjon dobler antall orrete bt, vl det un være nødvendg med en terasjon av det ntelle resproalet fra tabellen for å få et orret resproal. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 7

45 5 Implementasjon 5.. Normalserng og åndterng av speselle operander Før dvsjonen an starte må operandenes verd sjees. Det må bestemmes om de er postve eller negatve. Det må avgjøres om dvdenden X er større enn null, og det må avgjøres om dvsoren ar verden eller eller er større enn. For postve operander trengs det e gjøres noe, men negatve operander må besrves med toer-omplementerng. Tabell vser spesal tlfellene av operandene og vordan de sal beandles. Operander Besrvelse Dvsor l Status Gyldg operand Håndterng Returner dvdenden sftet ett bt mot øyre som votent, og det btet som ble sftet ut som rest. Returnerer dvdenden som votent og Dvsor l Gyldg operand rest l Dvsor l Ugyldg operand Returnerer votent og rest l X Dvdend l Gyldg operand Returnerer votent og rest l Tabell : Tabellen vser spesal tlfeller av operandene som må beandles speselt. Som nevnt teorapttel 4 må dvsoren normalseres tl tallområdet fra og med opp tl, før dvsoren an benyttes tl å adressere den bpartte oppslagstabellen. Dette gjøres ved at dvsoren sftes mot øyre elt tl mest sgnfante ener ommer på mnst sgnfante plass. Antall plasser vetoren må sftes er l 6 mnus plassen tl mest sgnfante ener vetoren. Det vl s at ommaet plasseres tl øyre for mest sgnfante ener. Et esempel med en vlårlg 6 bts vetor vor mest sgnfante ener står på plass nr, er vst under:, Den verden som besrver vor mange ganger dvsoren sal sftes mot øyre besrver egentlg bare plasserngen av ommaet og må lagres for senere bru. For å fnne plasserngen tl mest sgnfante ener med en gang, an log benyttes. Dette lar seg gjøre på operander av størrelse 6 bt uten at logen blr for omples og arealet blr for stort. Når dvsoren er normalsert benyttes den tl å adressere den bpartte tabellen for å saffe et ntellt resproal for terasjon. Deretter an terasjonen utføres ved jelp av Newton-Rapson-algortmen. Etter terasjonen er resproalet orret og lart for å multplseres med dvdenden X for å fnne votenten. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 8

46 5 Implementasjon 5..4 Beregnng av Kvotenten Multplserngen av resproalet med dvdenden X, an besrves som to 6 bts vetorer som sal multplseres sammen før plasserngen av ommaet sller votentvetoren fra restvetoren. Kommaplassen er den lagrede verden fra normalserngsprosessen som besrver vor mange ganger dvsoren ble sftet mot øyre. Multplserngen an besrves sl: resultat M M e Der M er dvdenden, M er resproalet og e er antall øyresft som ble utført ved normalserngen. Produtet fra multplserngen blr en bts vetor som deles opp en 6 bts votentvetor og en 6 bts restvetor. Den 6 bt store votentvetoren består av btene tl venstre for omma plassen og den 6 bt store restvetoren består av btene tl øyre for ommaet. Kommaplassen bestemmes av verden tl. e 5..5 Oppsummerng av dvsjonsprosessen Dvsjonsprosessen an puntvs oppsummeres sl:. Konverter eventuelle negatve operander tl postve operander. Dette gjøres ved toeromplementerng.. Sje at operandene er gyldge. Ugyldge og speselle operander åndteres speselt sl som besrevet tabell.. Normalser dvsoren sl som besrevet tdlgere apttelet Oppslag tabell med den normalserte dvsoren for å fnne en ntell approsmasjon z tl dvsorens resproal,. 5. Newton-Rapson-terasjon av det ntelle resproalet fra tabellen. z z z Det er tlstreelg med en terasjon da det ntelle resproalet fra tabellen er rtg tl ULP og terasjonen sørger for en doblng av antall rtge sffer. 6. Beregne votenten Q X ved å multplsere dvdenden med resproalet. Fnner ommaplassen på produtet ved jelp av verden som anga antall øyresft fra normalserngen av dvsoren. Deler så opp produtet en votentvetor på 6 bt bestående av btene tl venstre for ommaplassen, og en restvetor på 6 bt bestående av btene tl øyre for ommaplassen. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 9

47 5 Implementasjon 5..6 Multplator Multplasjon står sentralt en multplatv dvsjons-algortme, og en urtg multplasjonsprosess er dermed avgjørende for dvsjonsmodulens ytelse. Både Newton- Rapson-algortmen og beregnngen av votenten rever multplasjon. Det reves totalt multplasjoner, sevenselle multplasjoner for en terasjon og deretter en multplasjon for beregnng av votenten. En multplasjon består av beregnng av partelle produter og summerng av dsse. Fgur vser penn-og-papr metoden for å utføre multplasjon på. For å få utført multplasjon urtg er det derfor vtg at operasjonene med å fremsaffe partelle produter og å summere de går så urtg som mulg. En urtg multplator blr vtgere jo større ordbredde operandene ar da det vl øe antallet partelle produter som sal legges sammen. For å øe ytelsen an antall partelle produter som sal summeres reduseres, summerngen av de utføres urtgere eller en ombnasjon av begge deler. Fgur : Multplasjon med bnære tall på penn-og-papr metoden. Multplatorer an nndeles grupper, sevenselle og parallelle. De sevenselle genererer de partelle produtene en etter en, før de summeres en etter en. De parallelle genererer de partelle produtene samtdg og utfører deretter summerngen av de parallelt. Denne varanten rever større areal enn den sevenselle varanten, men ar tl gjengjeld langt øyere ytelse. I denne oppgaven er det e gått nn detalj teoren ba urtge multplatorer men nevner allevel noen utbredte metoder for parallelle multplatorer. For genererng av de partelle produtene an det benyttes en omprmerngsalgortme eller et redusjonstre. En jent omprmerngsalgortme som an benyttes er Boot-codng. Et redusjonstre er bygd opp av flere nvåer med ompressorer for å redusere antallet partelle produter som må summeres. En utbredt ompressor er (4:)-ompressoren som omprmerer 4 partelle produtbt tl partelle produtbt for vert nvå redusjonstreet [6][7][8][9]. Summerngen av de partelle produtene blr utført parallelt ved jelp av et summasjonstre eller et summasjonsarray. Ved benyttelse av summasjonstrær (es. wallace-tree) er det vanlg å utte ut carry-propagerngen for at summerngene sal sje så urtg som mulg. I stedet generer summasjonstreet to delsummer, vor den ene nderer carry-propagerngen. Dsse to verdene adderes sammen tl slutt. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

48 5 Implementasjon 5..7 Artetur Dvsjonsprosessen er fordelt på 4 ovedbloer som ver utfører sn del av prosessen. De 4 ovedbloene Dvsor, Tabell, Newton-Rapson og Kvotent er sevenselt oblet sammen, og vses fgur 4. Hver blo utfører og beregner verder ut fra sne respetve oppgaver av dvsjonsprosessen. Verdene som er resultatet fra oppgavene de ar, sendes vdere tl neste blo for vdere beregnnger så snart de er ferdg beregnet. Bloene ommunserer seg mellom og ser fra når de er ledge å lare tl å ta mot neste verder. Når de ar beregnet ferdg verder som er lare for å sendes tl neste blo, venter de tl neste blo er ledg før verdene sendes. Alle verder en blo mottar blr lagret regstre uansett om verdene nngår bloens beregnngsoppgaver eller e. Når bloen er ferdg med sne respetve oppgaver sendes så de nylg beregnete verden vdere sammen med de verdene som ble mottatt, men e endret, vdere tl neste blo. Det vl s at ver dvsjonsoppgave som ommer nn, går fra blo tl blo, vor ver blo bdrar tl å løse dvsjonsoppgaven. For ver blo ommer dvsjonsoppgaven nærmere en votent og en rest. Sevensen på bloene som verdene går gjennom er: Dvsorbloen, Tabellbloen, Newton-Rapson-bloen før Kvotentbloen avslutter dvsjonsprosessen. Sl oppnås en ppelnet dvsjonsmodul som an motta flere nye dvsjonsoppgaver før den første er ferdg beregnet. Fgur 4: Blodagram som vser de 4 ovedbloene desgnet for en 6 bts løsnng for multplatv dvsjon. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

49 5 Implementasjon Dvsorbloen Dvsorbloen utfører punt tl og med punt den puntvse oppsummerngen av dvsjonsprosessen (apttel 5..5). Dvsorbloen ar som oppgave å ommunsere ut mot omverden og å ta nn operandene som det sal beregnes en votent og en rest av. Vdere sal operandene ontrolleres og dvsoren sal normalseres dersom den e er, eller. I tllegg lager den en rapport fra dvsorontrollen som ser noe om begge operandene er gyldge og e faller nnen for noen spesal områder (se tabell ). Denne rapporten leveres vdere tl neste blo, tabellbloen sammen med dvdenden X, dvsoren, den normalserte dvsoren _norm og verden som besrver antallet plasser dvsoren ble sftet under normalserngen. Dsse verdene sendes vdere når tabellbloen ser fra at den er ledg på ledg_tabell porten (se blosjema fgur 4). Dvsorrapporten består av bt og an dermed sgnalsere 4 ule tlstander. En overst over de ule verdene tl dvsorrapporten vses tabell 4. Dvsorrapporten som sendes med tl neste blo, avgjør va neste blo utfører. Dersom dvsorrapporten er utfører alle de påfølgende bloene sne normale oppgaver. Dersom dvsorrapporten dermot er en annen, vl de påfølgende bloene e utføre noe annet enn å bare sende dvdenden X og dvsorrapporten vdere tl neste blo. Dette sjer elt tl dvsorrapporten ar nådd votentbloen som da foretar en andlng samsvar med dvsorrapportens verd. Så snart tabellbloen er ledg, sendes verder over tl den. Deretter sgnalserer dvsorbloen tl omverdenen at den er lar for neste dvsjonsstye på utgangen ledg_dvsor (se fgur 4). Dvsorbloens oppførsel er besrevet tlstandsdagrammet fgur 5. Dvsorrapport Besrvelse Begge operandene (dvsor og dvdend) er gyldge, dvsoren er større enn. Begge operandene er gyldge. Dvsoren ar verden. Kvotenten sal få verden tl dvdenden. Resten er l null. Begge operandene er gyldge. Dvsoren ar verden. votenten er l dvdenden sftet en plass mot øyre. Resten er l det btet som ble sftet ut tl øyre. En eller begge operandene er ugyldge. Kvotent og rest sal få verden null. Tabell 4: Tabellen vser de ule verdene dvsorrapporten an a og betydnngen av dsse. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

50 5 Implementasjon Fgur 5: Tlstandsdagram for dvsor bloen på fgur 4. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 4

51 5 Implementasjon Tabellbloen Denne bloen benytter den normalserte dvsoren -norm som den f fra dvsorbloen tl å adressere en bpartt tabell som er besrevet apttel 4.4. Fra tabellen fnnes en ntell approsmasjon av resproalet. Tabellbloen utfører punt 4 den puntvse oppsummerngen av dvsjonsprosessen (se apttel 5..5). Hovedbloene tl denne tabellbloen vses fgur 6. I tllegg ommer regstre for å lagre dvsor, dvdenden, sftverden fra normalserngsprosessen, og dvsorrapporten. Addsjonen mellom P-verden og N-verden gjøres med en Borrow-Save adderer sl som [8]. En Borrow-Save adderer legger sammen tallene ved jelp av parallelle addsjonsbloer og lgner derfor på en Carry-Save adderer. I [9] besrves oppbygnngen og vremåten tl en Borrow-Save adderer, fgur 7 og 8 vses struturen tl en Borrow-Save adderer. Dersom dvsorrapporten e er, setter dvsor bloen bare ut dvdenden X og dvsor rapporten ut tl neste blo, Neton-Rapson-bloen. Oppførselen tl tabellbloen er besrevet tlstandsdagrammet fgur 9. Tabellen legges RAM på FPGA fra esternt flasmnne ved oppstart, sammen med onfgurasjonen av FPGAen. Fgur 6: Blodagram som vser ovedbloene tabell bloen fra fgur 4. Her vses nnregsteret og nndelngen av det som benyttes tl å adressere tabellene P og N for å få ut to verder som legges sammen tl et resproal. Blodagrammet vser e logen for nn og utlesnng av de andre vetorene. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 44

52 5 Implementasjon Fgur 7: Besrvelse av strutur å vremåte tl en Borrow-Save adderer. Bldet er entet drete fra [9]. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 45

53 5 Implementasjon Fgur 8: Besrvelse av strutur å vremåte tl PPM bloen en Borrow-Save adderer. Bldet er entet drete fra [9]. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 46

54 5 Implementasjon Fgur 9: Tlstandsdagram for tabell bloen på fgur 4. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 47

55 5 Implementasjon Newton-Rapson-bloen Denne bloen utfører punt 5 og 6 den puntvse oppsummerngen av dvsjonsprosessen apttel Bloen tar nn den ntelle approsmasjonen av resproalet, dvsoren, dvdenden X, sft-verden fra normalserngen som ble utført dvsorbloen og dvsorrapporten og lagrer dsse nterne regstre. En terasjon utføres ved jelp av Newton-Rapson-algortmen som er besrevet tdlgere aptell... Iterasjonen består av multplasjoner som utføres sevenselt sl at samme multplator an benyttes, og en subtrasjon samt et venstresft. Første produtet er det ntelle resproalet ganget med seg selv, før dette produtet multplseres med dvdenden. Vdere sal dette produtet trees fra ganger det ntelle resproalet. Resultatet vses lgnngen under. z z z Her er z det ntelle resproalet som ommer fra tabellbloen og er dvsoren. Dersom dvsor rapporten e er sendes dvdend X og dvsorrapport vetorene vdere tl votentbloen uten å utføre punt 5 og 6 aptel 5..5, så snart votent bloen er ledg. Dataflytdagram for denne bloen vses fgur, størrelsen på vetorene som benyttes for terasjonen som beregner resproalet, vses tabell 5. Oppførselen tl Newton-Rapsonbloen besrves av tlstandsdagrammet fgur. Multplatoren som benyttes Newton-Rapson-bloen ar stor betydnng for ytelsen da bloen utfører multplasjoner per terasjon. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 48

56 5 Implementasjon Fgur : Dataflytdagram for generell Newton-Rapson-algortme for dvsjon. Fguren vser e log for normalserng. Fguren er entet fra []. Term Størrelse q 6 bt X q 6 q 6 Z q 8 n q (trunert) q Zn Z n ( )( q ) q ( Z n Z n ) ( q ) q Zn ( Zn Zn ) ( q ) ( q ) q X ( q ) q Z n Q ( Q ) 4 q q q q 6 6 q q q X Tabell 5: Tabellen vser størrelsen på de ule vetorene som benyttes Newton-Rapsoalgortmen. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 49

57 5 Implementasjon Fgur : Tlstandsdagram for Newton-Rapson bloen på fgur 4. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

58 5 Implementasjon Kvotentbloen Denne bloen utfører de sste beregnngene dvsjonsprosessen, punt 7 den puntvse oppsummerngen av dvsjonsprosessen apttel Bloen tar nn resproalet, dvdenden X, sftverden, og dvsorrapporten fra Nwton- Rapson-bloen. Dvsor rapporten sjees for å avgjøre va som sal utføres. Dersom dvsorrapporten er, beregnes votentvetoren og restvetoren på normal måte. Dette gjøres ved å multplsere resproalet med dvdenden X. Resultatet blr en bts vetor. Deretter benyttes sftverden fra normalserngsprosessen dvsorbloen tl å bestemme vor ommaet sal plasseres. Btene tl venstre for ommaplassen lagres som en 6 bts votentvetor, og btene tl øyre for ommaplassen lagres som en 6 bts restvetor. Deretter legges både votent- og restvetoren ut på sne respetve utganger tl omverdenen for utlesng samtdg med at det varsles ut at dvsjonsprosessen er ferdg. Dette gjøres på utgangen dvsjon_ferdg med en ener. Dersom dvsorrapporten er l, betyr det at dvsoren ar verden en. Da plasseres dvdenden X ut på votentutgangen (se fgur 4 for utgangene) og nullere settes på restvetoren, og dvsjonen er ferdg. Dersom dvsjons rapporten er l betyr det at dvsoren ar verden to. Da sftes dvdenden en plass mot øyre og lagres som votenten. Btet som sftes ut plasseres restvetoren på mnst sgnfante plass. Vdere settes både votent- og restvetoren ut på sne respetve utganger (se fgur 4 for utgangene). Dersom dvsjonsrapporten er l betyr det at enten dvsoren og/eller dvdenden X er ugyldg eller at dvdenden ar verden null. Da legges nullere ut på både votent- og restutgangen. I denne bloen ar multplatoren som benyttes stor betydnng for bloens ytelse ved normale operander, det vl s at dvsorrapporten er l. Kvotentbloens oppførsel besrves av tlstandsdagrammet fgur. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

59 5 Implementasjon Fgur : Tlstandsdagram for votent bloen på fgur 4. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

60 5 Implementasjon 5. Løsnng for bts operander For bts operander er det bltt sssert en løsnng som baserer seg på løsnngen for 6 bts operander. Ønngen fra 6 tl bt nnebærer noen nye utfordrnger ved utførselen av punt, 4, 6 og 7 den puntvse oppsummerngen av dvsjonsprosessen som er besrevet apttel Noen av utfordrngene revde endrnger. Ved normalserngen av dvsoren må det avgjøres vlen plass mest sgnfante ener ar for så å øyresfte dvsoren tl den ar en verd under. Dersom denne possjonen sal avgjøres vedjelp av log sl som ved 6 bts operander, vl denne bl mer omples og arealrevende. Det er mulg, og ytelsesmessg lønnsomt å gjøre det ved log for å få en urtg avgjørelse. Hvs e måtte antall øyresft bltt telt nntl mest sgnfante ener står på mnst sgnfante plass vetoren, noe som er tdrevende. I forbndelse med utførngen av Newton-Rapson-terasjonen og beregnngen av votenten, reves det en urtg x bt multplator. 5.. Endrnger fra 6 bts løsnng Oppslagstabellen for å saffe det ntelle bts resproalet byr på så store utfordrnger at det er nødvendg med en ny løsnng.. Med den bpartte tabellen vl det reves 9Mb eller 48MB for å lagre alle verdene ved benyttelse av bts operander. Dsse verdene er beregnet apttel Denne datamengden lar seg e lagre RAM på noen FPGA. Dermed må det benyttes esternt mnne som an adresseres fra FGPAen for å saffe det ntelle resproalet. Flasmnne ar dag en overførngsastget på langt over 5MB eller 4Mb per seund, og ar lagrngs apastet langt over det som reves for å lagre en bpartt tabell for bts operander. Esternt RAM ar også tlstreelg lagrngsapastet og an jøres på MHz loe. Med esternt RAM med MHz loe og en lnje nn tl FPGA per bt, vl det unne ta loeperoder å utføre ett oppslag som da vl ta ns. Dermed blr det mulg å utføre 5 mlloner oppslag det esterne mnnet per seund. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 5

61 5 Implementasjon 5.. Artetur Da løsnngen for oppslagstabell må endres forold tl løsnngen for 6 bts operander, blr ovedblosjemaet også endret. Dvsjonsprosessen er nå fordelt på 5 ovedbloer som ver utfører sn del av prosessen. 4 av ovedbloene befnner seg på FPGAen, mens den 5. er det esterne mnnet. Hovedblosjemaet for bts løsnng vses fgur. Struturen på bloene er svært l den med ntern tabell RAM på FPGA bortsett fra at den nterne tabellbloen er byttet ut med en oppslagsblo. Denne oppslagsbloen ommunserer ut mot det esterne mnnet og adresserer det med den normalserte dvsoren fra dvsorbloen. Aurat som med løsnngen for 6 bts operander, utfører ver blo sn del av dvsjonsprosessen. For ver blo dvsjonsregnestyet går gjennom ommer det nærmere en votent og en rest. Bloene ommunserer seg mellom og ser fra når de er ledge å lare tl å ta mot neste verder. Når de ar beregnet ferdg verder som er lare for å sendes tl neste blo, venter de tl neste blo er ledg før verdene sendes. Sevensen på bloene som verdene går gjennom er: Dvsorbloen, Oppslagsbloen, Tabellbloen, Newton-Rapson-bloen før Kvotentbloen avslutter dvsjonsprosessen. Fgur : Blodagram som vser de 5 ovedbloene desgnet for en bts løsnng for multplatv dvsjon. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 54

62 6 Dsusjon 6 Dsusjon 6. Valg av løsnnger Ut fra teorstudet denne oppgaven ble noen metoder valgt for å beregne den nverterte verden av dvsoren. Dsse metodene ble valgt med tane på ytelse. Metodene består av Newton-Rapson-algortmen for tererng og en tabelløsnng for ntalverdene tl resproalet som sal det sal tereres over. Av de to teratve algortmene Newton-Rapson og Goldscmdt som er besrevet denne rapporten, er det mulg å benytte begge tl multplatv dvsjon. Men det er un Newton- Rapson-algortmen som dobler antall orrete bt for ver terasjon, og som dermed egner seg best tl multplatv dvsjon. Felanalysen tl Goldscmdts algortme er så omples at det e er sert om den gr øyere ytelse enn Newton-Rapson-algortmen selv om multplasjonene Goldscmdts algortme an utføres parallell. For å saffe ntalverden tl resproalet ble det benyttet en bpartt oppslagstabell. Denne løsnngen rever større lagrngsplass enn en multpartt tabell. En urtg gjennomgang av multpartte tabeller tlsa at det vl være en bedre løsnng enn en bpartt tabell. Dessverre ble det e td no tl å utrede og utvle en multpartt oppslagstabell detalj for å ta bru som oppslagstabell. Oppslagstabellen for ntalverden tl resproalet går fnt nn RAM på de aller fleste FPGAer ved 6 bts operander. Men med en nøyatget på ULP, blr oppslagstabellen svært plassrevende for bts operander og må plasseres esternt mnne. telsen på løsnngen for bts operander med esternt mnne vl være fullt på øyde med den for 6 bts operander med ntern RAM på FPGA, men løsnngen er ltt mer omples. Sden ntalverdene fra oppslagstabellen ar så stor nøyatget og Newton-Rapsonalgortmen dobler antall orrete bt per terasjon, blr det e nødvendg med en lang sere tdrevende terasjoner. Med de spesfserte løsngene er det un nødvendg å utføre én terasjon, noe som er svært lavt forold tl va som ble antatt elt starten av arbedet med oppgaven. 6. Mulge forbedrnger av løsnngene Multpartte oppslagstabeller ser ut tl å a en lar fordel forold tl bpartte tabeller med tane på total tabellstørrelse ved samme grad av nøyatget. En multpartt oppslagstabell for det ntelle resproalet vlle a frgjort en del RAM for både 6 bts operander med ntern RAM, og for løsnngen med bts operander med esternt mnne. Newton-Rapson-bloen er den bloen med flest sevensell regneoperasjoner av de bloene som er sssert mplementasjons apttelet, og blr dermed den tregeste med multplasjoner og en subtrasjon. Det adde vært mulg å benytte sle bloer parallell for å øe den totale ytelsen tl dvsjonsmodulen. De fleste FPGAer ar dag flere ttalls nnebygde multplatorer, og de største ar opp mot tusen. Dsse an benyttes tl Newton- Rapson-bloen og votentbloen. Dermed er mulgetene tl stede for å benytte flere Newton-Rapson-bloer og eventuelt også votentbloer parallell, og fortsatt a ressurser gjen tl andre realserte moduler på samme FPGA. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 55

63 6 Dsusjon Da Newton-Rapson-algortmen dobler antallet orrete bt for ver terasjon, adde det vært mulg å benytte mndre oppslagstabeller med mndre nøyatget på ntalverdene, og eller øe antallet terasjoner. Dette adde gjort det mulg å benytte en bpartt oppslagstabell for en bts løsnng med nternt mnne. Da måtte tabellen nneoldt un 6 orrete bt og benyttet Newton-Rapson terasjon tl å doble dette for og få orrete bt. Denne metoden åpner også mulgens for løsnnger med 64 bts operander. Dette unne bltt realsert med en oppslagstabell lagret RAM på FPGA med un 6 orrete bt for vert resproal, og så utført terasjoner med Newton-Rapson-bloen. Dermed adde resproalet oppnådd 64 orrete bt tl slutt. Med flere terasjoner per resproal vlle dvsjonsprosessen tatt lengre td og Newton-Rapson-bloen adde bltt prosessens flaseals. Dette unne a bltt utbedret ved å benytte flere Newton-Rapson-bloer parallell. I tllegg unne det vært atuelt og øt antallet votentbloer. 6. Vdere arbed Dessverre ble det e td tl å mplementere løsnngene VHDL og smulere og syntetsere de, så er er det fortsatt arbed som gjenstår. Løsnngene som er besrevet denne rapporten besrver vlen masnvare og vle bloer som reves for å realsere løsnngene på en FPGA. I tllegg er det også utarbedet tlstandsdagram for ovedbloene som vl lette mplementasjonsarbedet VHDL. Implementasjon og syntetserng av løsnngene som er besrevet denne rapporten vl g onrete tall på arealutnyttelse og ytelse som løsnngene ar ved realserng på FPGA. For genererng av tabellverdene er pytonode besrevet []. Denne oden generer ntalverdene basert på en bpartt oppslagstabell som an benyttes tl mplementasjon VHDL, og egner seg for løsnngene som er besrevet denne rapporten. Da multpartte tabeller ser ut tl å være en bedre løsnng enn bpartte tabeller, er det naturlg å jobbe mer med multpartte oppslagstabeller for lagrng av ntalverdene tl resproalet. Her bør total tabellstørrelse for atuelle operandstørrelser artlegges og sammenlgnes med tlsvarende verder for bpartte tabeller, samt utarbede en løsnng som genererer verdene som sal lagres tabellen. Det unne vært nteressant å se mer på felanalysen tl Goldscmdts algortme da denne ar mulgeten tl å utføre multplasjonene parallell. Dersom det vser seg at felen for ver terasjon onvergerer, ar algortmen en mulg ytelses fordel foran Newton-Rapsonalgortmen vor multplasjonene må utføres sevenselt. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 56

64 7 Konlusjon 7 Konlusjon Fra teorstudet om det fram at Newton-Rapson-algortmen er egnet tl å mplementere en modul VHDL som utføre terasjoner. Tl å saffe resproalets ntalverd tl terasjonsprosessen er tabelloppslag en bpartt tabell en egnet løsnng, før resproalet multplseres med dvdenden. Mot slutten av teorfasen om det fram at en multpartt tabell vl være en bedre løsnng som oppslagstabell enn en bpartt tabell. Dette ommer av at en multpartt tabell gr lavere total tabellstørrelse ved lagrng av samme nformasjon. Det ble e td tl å gå tlstreelg dybden på multpartte tabeller tl at en løsnng med multpartte tabeller ble benyttet. Det ble e td tl å mplementere arbedet VHDL for å få esate verder på vor mye areal som trengs og vor mange loesyler dvsjonsprosessen rever. Det ble stedet fousert på å analysere og besrve algortmer og metoder for multplatv dvsjon samt og besrve vlen masnvare og artetur som trengs for å realsere de spesfserte løsnngene. Implementerngen VHDL burde være foroldsvs uomplsert ut fra arteturene som er spesfsert denne rapporten. Det ble spesfsert en løsnng for 6 bts operander og en løsnng for bts operander, som er ppelnet og egner seg for realserng på FPGA. Ut fra de utvalgte metodene ble oppgavene med dvsjonsprosessen besrevet detalj og fordelt på ovedbloene som dvsjonsmodulen ble nndelt. Metodene som ble besrevet for de spesfserte løsnngene ser ut tl å g best ytelse av de metodene som ble gjenomgått for multplatv dvsjon. Løsnngene beregner dvsorens resproal relatvt urtg med un en terasjon. Løsnngen for bts operander er basert på løsnngen for 6 bts operander med unnta av oppslagstabellen for ntalverdene som må plasseres esternt mnne. Hastgeten på løsnngen for bts operander med esternt mnne vl være fullt på øyde med den for 6 bts operander med ntern RAM på FPGA, men arteturen vl være ltt mer omples. Løsnngene ar mulge ytelsesforbedrnger ved blant annet å parallellsere Newton- Rapson terasjonene sl som besrevet dsusjonsapttelet. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 57

65 8 referanselste 8 Referanselste [] Smen Gmle Hansen, Multfunsjonell beregnngsenet for dgtal sgnalprosesserng, Unverstetet Oslo, 5. [] Marus Gmle Hansen, Analyse og mplementerng av multplatve dvsjonsalgortmer, Unverstetet Oslo, 997. [] Martn Rognerud, Konstrusjon av dgtal eltalsartmet, NTNU, 7. [4] Glenn Hnton et al, Te Mcroarctecture of te Pentum 4 Processor, Intel Tecnology Journal Q,. [5] H. P. Sarangpan, M. L. Barton, Statstcal Analyss of Floatng Pont Flaw n te PentumTM Processor, Intel Corporaton, November 994. [6] J. b u n Prabu and Gregory B. Zyner, 67 MHz Radx-8 Dvde and Square Root Usng Overlapped Radx- Stages, Proceedngs t Symposum on Computer Artmetc, IEEE Computer Socety Press, 995, pp [7] Mcael J. Flynn, Stuart Oberman, Steve Fu, Te SNAP Project: Towards Sub- Nanosecund Artmetc Stanford Unversty, Proceedngs t Symposum on Computer Artmetc, IEEE 995. [8] Debjt Das Sarma, Fatful Bpartte ROM Recprocal Tables, Proceedngs t Symposum on Computer Artmetc, IEEE 995. [9] Berooz Param, Computer Artmetc algortms and ardware desgns, Dvson, UCSB, 7 [] Florent de Dnecn, Member, IEEE, and Arnaud Tsserand, Member, IEEE Multpartte Table Metods, IEEE Transactons on Computers, vol. 54, no., Marc 5. [] Peter Kornerup, Davd W. Matula, Sngle Precson Recprocals by Multpartte Table Looup Proceedngs of te 7t IEEE Symposum on Computer Artmetc, 5 IEEE. [] Altera Product Gude: ttp:// [] Xlnx Slcon Devces: ttp:// [4] Actel Product Gude: ttp:// [5] Guy Even, Peter-Mcael Sedel, A Parametrc Error Analyss of Goldscmdt s Dvson Algortm, Proceedngs of te 6t IEEE Symposum on Computer Artmetc, IEEE. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 58

66 8 referanselste [6] R.V.K. Plla, D. Al-Kalltand A.J. Al-Kall Energy Delay Analyss of Partal Product Reducton Metods for Parallel Multpler Implementaton ISLPED 996 Monterey CA USA. [7] Tso-Bng Juang, Sen-Fu Hsoao, A Cell-Drven Multpler Generator wt Delay Optmzaton of Partal Products Compresson and an Effcent Parton Tecnque for te Fnal Addton, IEICE Trans. INF. & Syst. Vol.E88-D, no.7 july 5. [8] J.B. Kuang], T.C. Bucoltz', S.M. Dance', J.D. Wamoc, Te Desgn and Implementaton of Double-Precson Multpler n a Frst-Generaton CELL processor, 5 IEEE Internatonal Conference on Integrated Crcut and Tecnology. [9] Arnaud Tsserand Ar_enare INRIA LIP, Algortms and Number Systems for Hardware Computer Artmetc, ISSAC 5, Tutoral Bejng, Cna. [] Stuart F. Oberman, Student Member, IEEE, and Mcael J. Flynn, Fellow, IEEE Dvson Algortms and Implementatons,IEEE TRANSACTIONS ON COMPUTERS, VOL. 46, NO. 8, AUGUST 997. Konstrusjon av dgtal eltallsartmet multplatv dvsjon, NTNU 8 59