11 Nye geometriske figurer

Transkript

1 MTMTIKK: Nye geometriske figurer Nye geometriske figurer. Høydeling. et gylne snitt Vi tar for oss linjestykket og avmerker et punkt P. Vi sier at P høydeler linjestykket hvis forholdet mellom det lengste og det korteste stykket er det samme som forholdet mellom hele linjestykket og den lengste delen (se figuren). P t P høydeler, betyr altså at P P ¼ P Forholdet mellom den lengste og den korteste delen kaller vi det gylne snitt. enne verdien kan vi regne ut eksakt. P X Vi setter P ¼ ogp ¼ x. blir þ x ¼ x þ. Vi kan da sette opp følgende proporsjon: x ¼ x þ som gir ¼ x þ x: ette gir andregradslikningen x þ x ¼ 0. Når vi setter inn tallene i formelen, gir det disse løsningene: pffiffi 5 x ¼ _ x ¼ p ffiffi 5 63

2 pffiffi 5 Vi ser bort fra x her, slik at P ¼ 0,68. pffiffi 5 ¼ þ ¼ þ p ffiffi pffiffi 5 5 þ ¼,68 Forholdet mellom P og P er det samme som forholdet mellom og P, og det siste forholdet er x þ ¼ x þ. ette betyr at pffiffi P P ¼ 5 þ,68: ette forholdstallet kaller vi for j (phi = fi). Noen matematikere kaller det samme forholdstallet p for t (tau). Vi har at j ¼ ffiffi 5 þ,68, det vil si at forholdet mellom den lengste delen og den korteste delen er,68 (omtrent). Ved bruk av tilnærmingsverdier kan vi sette opp følgende: P ¼,68 P og ¼,68 P P ¼ 0,68 P og P ¼ 0,68 et er interessant å merke seg at forholdstallene inneholder akkurat de samme desimalene, og at forskjellen mellom tallene er.. ruken av det gylne snitt ruken av det gylne snitt eller høydeling har gjennom historien vært av stor interesse for både kunstnere og matematikere. Fortidens greske matematikere mente blant annet at i et perfekt ansikt ville øynene høydele avstanden mellom toppen av hårluggen og haken (se figuren). P P enne høydelingen mente man også kunne anvendes for hele kroppen. Midjen eller navlen ville høydele avstanden mellom hodet og føttene. enne «perfekte kroppen» er blant annet brukt av Leonardo da Vinci i hans berømte skisse: 64

3 MTMTIKK: Nye geometriske figurer et er også hevdet gjennom psykologiske tester at det er det gylne rektangel som «behager» det menneskelige øye mest. Utformingen av bank- og kredittkort er ganske tilnærmet et gyllent rektangel, det vil si det gylne snitt. et gylne snitt var mye brukt i arkitektur i eldre tid. Her kan nevnes pyramidene i gypt og fasaden på Parthenon i ten. Fra nyere tid kan vi nevne FN-bygningen i New York. Menneskekroppen og det gylne snitt. Skisse av Leonardo da Vinci. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ et gylne snitt brukt i arkitektur. Tegningen viser en skisse av Parthenon i ten..3 Konstruksjon av det gylne snitt 0,68,8 0,68 0,38 Vi konstruerer en rettvinklet trekant der høyden er halvparten av grunnlinjen. Vi setter ¼ (uten benevning). er da.ved 65

4 p å bruke Pytagoras setning får vi at hypotenusen ¼ ffiffi 5. Vi avsetter avstanden på hypotenusen fra og får punktet. Lengden er da pffiffi 5 pffiffi ¼ 5 0,68: Merk av lengden på fra. afår vi punktet. Lengden pffiffi 5 ¼ og lengden pffiffi 5 ¼ ¼ 3 p ffiffi 5 0,38: j ¼ ¼ 0,68 0,38 ¼,68 høydeler linjestykket..4 Konstruksjon av det gylne rektangel F S,68 0,68 Vi konstruerer et kvadrat. Vi halverer siden og kaller punktet for S. Vi slår en bue med lengde S på forlengelsen av og kaller punktet. Vi trekker en normal fra til forlengelsen av og får punktet F. Rektanglet F vil da være et gyllent rektangel. Hvorfor er det slik? Vi setter siden i kvadratet lik (ubenevnt tall) og dermed er S lik. ruk av Pytagoras gir 66

5 MTMTIKK: Nye geometriske figurer S ¼ þ ¼ 5 4 p ette gir S ¼ ffiffi 5. Lengden S ¼ S slik at lengden pffiffi 5 ¼ pffiffi ¼ 5 0,68: Lengden,68 og det betyr at høydeler. e korte sidene og F i det gylne rektanglet er 0,68 (6,8 %) av de lange sidene i rektanglet ( og F). Merk: Hvis vi deler et gyllent rektangel i nytt rektangel og et kvadrat, vil også det nye rektanglet være gyllent..5 en gylne trekant (det gylne triangel) n likebent trekant der den korte siden høydeler den lengste siden, kaller vi en gyllen trekant. n trekant med vinklene 36,7 og 7 passer til denne beskrivelsen / / 7 P Vi setter ¼. Normalen fra ned på halverer i P, det vil si at P ¼ ¼ 0,5. I 4 P er hypotenusen, og denne kan vi finne ved å bruke definisjonen av cosinus til en vinkel: 67

6 ette gir cos 7 ¼ 0,5 ¼ 0,5 cos 7,68: e lengste sidene og er,68, og den korte siden,, er. ette betyr at forholdet mellom de lange sidene og den korte siden er,68. Sagt på en annen måte er den korte siden 0,68 (6,8 %) av de lengste sidene. Vi har vist at denne trekanten inneholder det gylne snitt, og derfor kaller vi trekanten for den gylne trekant. Hvis vi halverer ff og trekker vinkelens halveringslinje fra ff til siden, får vi punktet. e to trekantene og er formlike fordi vinklene er like store, altså 4 4. På figuren ser vi at ¼ og ¼. ette gir at ¼. Følgende proporsjoner gir ¼ ¼ j og ¼ ¼ j ðj ¼,68Þ I trekanten vil de korte sidene og høydele siden. erfor er også trekanten der vinklene er 36,36 og 08, en gyllen trekant..6 Spiraler og fibonaccitall enne flotte spiraltrappen finnes i museet i Vatikanet. c Scanpix/orbis n spiral er en kurve som går rundt et bestemt senter og gradvis kommer tilbake til eller fjerner seg fra senteret. Spiralkurver har gjennom tidene ofte blitt brukt som mønster ved utsmykning av bygninger. Vi finner også mange spiralformer i forbindelse med smykker. isse er selvsagt laget av mennesker. 68

7 MTMTIKK: Nye geometriske figurer et som er litt spesielt, er at vi kan finne tilsvarende spiralformer i naturen, for eksempel er edderkoppnett spiralformede. Men før vigår videre med spiraler, kan det være nødvendig å introdusere fibonaccitall. Fibonacci (f. 75) hans korrekte navn var Leonardo Pisano var kanskje regnet som den største europeiske matematiker i middelalderen. Fibonacci undersøkte (i 0) hvor fort kaniner kunne formere seg under ideelle forhold. ksemplet kan beskrives slik: På en øy plasseres en nyfødt hunn- og hannkanin. et antas at kaninene blir kjønnsmodne etter en måned, og at hunnkaninen føder et ungepar hunn og hann en måned senere. eretter føder hunnkaninen hver måned. a kan vi sette opp:. måned: par kaniner. måned: par kaniner 3. måned: par kaniner 4. måned: 3 par kaniner 5. måned: 5 par kaniner 6. måned: 8 par kaniner 7. måned: 3 par kaniner 8. måned: par kaniner Vi tolker dette slik: Ved slutten av andre måned er det par, ved slutten av sjette måned er det 3 par, osv. et som er det interessante her, er selve tallrekken:,,, 3, 5, 8, 3,,... Vi ser at vi får et bestemt tall ved å legge sammen de to tallene foran, for eksempel 3 ¼ 5 þ 8og¼ 8 þ 3. Regner vi ut forholdet mellom tallene, får vi ¼, ¼, 3 ¼,5, 5 3 ¼,67, 8 5 ¼,6, 3 8 ¼,65, ¼,65, osv: 3 et ser ut som om forholdet mellom to påfølgende tall nærmer seg «det gylne snitt». I kjernen av en tusenfryd kan vi finne spiraler som dreier i hver sin retning. e fleste tusenfryder har spiraler som dreier i klokkeretningen, og 34 som dreier den andre veien. ette er to påfølgende fibonaccitall. Skjellene på furukongler danner spiraler oppover langs konglen. Ved undersøkelser kan vi finne 5 (8) spiraler som dreier mot høyre og 8 (3) som dreier mot venstre, dvs. fibonaccitall. 69

8 Mange planter har antall kronblader som er et fibonaccitall. Vi kan nevne at lilje og iris har 3 kronblader, smørblomster har 5, «delpheniums» har 8, ringblomster har 3, asters har, og at enkelte solsikker kan ha 55 eller 89 kronblader. Konstruksjon av spiraler Fibonacci-spiral Konstruer to kvadrater med sider på cm ( og ). Konstruer et nytt kvadrat med sider på cm, og plasser det ved siden av de to første (3). Sett et kvadrat med sider på 3 cm (4) på toppen, og til høyre for dette et kvadrat på 5 cm (5), og så et på 8 cm (6). Fortsett slik. Vi har nå fått kvadrater med sider på cm, cm, cm, 3 cm, 5 cm, 8 cm, osv. Trekk en sammenhengende kurve som vist på figuren. Vi har nå bundet sammen radiusbuer på henholdsvis cm, cm, 3 cm, 5 cm, 8 cm, osv Forholdet mellom radiene vil etter hvert bli tilnærmet det samme (det gylne snitt), og derfor blir spiralen kalt for en logaritmisk spiral. Logaritmiske spiraler finner vi i blomsten tusenfryd, på støttennene hos en elefant, på hornene til en villsau, i furukongler og på kamskjell, for å nevne noen eksempler. et blir også hevdet at slike spiraler er optimale kurver for avkjørsler fra motorveiene. n logaritmisk spiral blir også kalt for en equiangulær (likevinklet) spiral, fordi spiralen skjærer radiene overalt med samme vinkel. 70

9 MTMTIKK: Nye geometriske figurer Konstruksjon av den gylne spiral 36 F = 7 F = F FG = 7 GF = 7 7 G 7 F G H F (Slik kan vi fortsette!) en gylne trekanten er en likebent trekant med vinklene 36,7 og 7. Hvis grunnlinjen for eksempel er,68..., vil sidene være,68...þ. Vi finner alltid den lengste siden ved det gylne snitt ved å multiplisere den korte siden med,68... (,68,68,68). Omvendt vil den korte siden, grunnlinjen, være 0,68 av de lange sidene (,68 0,68,68). Vi halverer ff og trekker linjen. afår vi en ny gyllen trekant, 4. Vi halverer ff og trekker linjen, 4 er en gyllen trekant. 7

10 Fortsett med å halvere vinklene (se figurene). Trekk en bue som går gjennom hjørnene,, og høydelingspunktene,, F, G osv. en spiralen vi får, kaller vi den gylne spiral. en gylne spiral kan vi også få ved å dele opp (høydele) det gylne rektangel. F H L N J O R P M Q K G Vi konstruerer et gyllent rektangel F (se avsnitt.4). Rektanglet F er formlik det store rektanglet. Vi høydeler rektanglet F og får rektanglet GH. Slik fortsetter vi og deler opp rektanglene. lle rektanglene er gylne rektangler. Trekker vi en bue mellom høydelingspunktene også her, får vi en gyllen spiral. Senteret i spiralen er skjæringspunktet mellom de to diagonalene og F. Hvorfor er den gylne spiral en logaritmisk spiral? n annen type spiral Vi konstruerer en rettvinklet trekant der begge katetene er cm. Hypotenusen i den første trekanten skal være en av katetene i den andre trekanten der den andre kateten er cm. Slik fortsetter vi å lage rettvinklede trekanter der hypotenusene er den ene kateten, og den andre kateten hele tiden er cm (se figuren nedenfor)

11 MTMTIKK: Nye geometriske figurer.7 Regulære mangekanter n regulær mangekant er en mangekant der alle vinklene og alle sidene er like store. Vi vet fra tidligere at summen av alle vinklene i en trekant og en firkant er henholdsvis 80 og 360. For å finne vinklene i en mangekant er det lurt å innskrive mangekantene i en sirkel. Generelt kan vi finne vinkelsummen ved å ta antall kanter figuren har, multiplisere med 80 og deretter trekke fra Vinkelsummen i trekanten: = 80 Trekant: ¼ 80 Firkant: ¼ 360 Femkant: ¼ 540 Sekskant: ¼ 70 Tikant: ¼ 440 N-kant: N ¼ 80 Når vi vet at 360 ¼ 80, kan vi skrive uttrykkene ovenfor slik: Trekant: ¼ ð3 Þ80 ¼ 80 Firkant: ¼ ð4 Þ80 ¼ 80 Femkant: ¼ ð5 Þ80 ¼ 3 80 Tikant: ¼ð0 Þ80 ¼ 8 80 N-kant: N ¼ðN Þ80 Vi kan finne vinkelsummen i en mangekant ved å ta antall kanter (hjørner), trekke fra og deretter multiplisere med 80. For en sekskant tar vi altså 6 ¼ 4 og multipliserer med 80. Svaret blir som ovenfor 70. Formelen for å finne vinkelen i et hjørne blir da ðn Þ80 N 73

12 Vinklene i en sekskant og åttekant er følgende: ð6 Þ80 Sekskant: ¼ ¼ 0 Åttekant: ð8 Þ80 8 ¼ ¼ 35.8 Konstruksjon av regulære mangekanter Vi regner med at å konstruere en likesidet trekant og et kvadrat ikke skal by på noen problemer. Regulær sekskant: 360 Vi tegner en sirkel med siden i sekskanten som radius. Vi avmerker seks punkter på sirkelbuen fordi avstanden mellom passerbena utgjør 60. Vi ser at vi har seks likesidede trekanter innskrevet i sirkelen, og at alle vinkler og sider er like store. Regulær åttekant: H G F 74

13 MTMTIKK: Nye geometriske figurer Vi konstruerer et kvadrat. Vi trekker de to diagonalene og, og der de to krysser hverandre har vi sentrum S i kvadratet. Vi setter passerspissen i S og tegner en sirkel som går gjennom de fire hjørnene (radius er halvparten av diagonalen). Vi halverer sidene i kvadratet og trekker linjer fra S gjennom de nye punktene i kvadratet. er linjene treffer sirkelbuen, får vifire nye punkter:, F, G og H. Vi trekker til slutt linjer mellom punktene på sirkelbuen. Regulær tikant: J I H G F n regulær tikant kan innskrives i en sirkel slik at vi får 0 trekanter med vinklene 36,7 og 7. n slik trekant vet vi er en gyllen trekant (se avsnitt.5). en korte siden vil høydele radius (den lange siden). Siden i tikanten, s 0, er derfor s 0 ¼ 0,68 r. Hvis vi tegner en sirkel der radius = 0 cm, vil siden i tikanten være 6,8 cm. Regulær femkant: J H 08 F Når vi skal konstruere en regulær femkant, kan vi først konstruere en regulær tikant og deretter «halvere antall hjørner». lternativet er å tegne en sirkel og avsette 0 punkter med avstand 0,68 r. eretter tegner vi linjer mellom annethvert punkt. 75

14 Flislegging med regulære mangekanter Vi skal i dette avsnittet lære flislegging med regulære mangekanter. På baderom og kjøkken blir det ofte lagt fliser av ulike slag. et samme gjelder på golv i butikker, offentlige institusjoner osv. Mønstrene som flisene danner kan variere fra sted til sted, og i praksis er det ikke alltid fliser med form som regulære mangekanter som blir lagt. Vår oppgave er å legge flisene slik at det ikke blir «hull» imønsteret. Vi kommer til å skille mellom: I fliser med samme regulære form II fliser av ulik regulær form I Samme regulære form På figuren ovenfor har vi flislagt med regulære firkanter, dvs. kvadrater. ette er den mest vanlige formen på fliser. På denne figuren har vi flislagt med regulære trekanter, dvs. likesidede trekanter. 76

15 MTMTIKK: Nye geometriske figurer På denne figuren har vi prøvd med regulære femkanter. Men vi ser at den fjerde femkanten vil overlappe to av de andre for å fylle «hullet», dvs. det som mangler for å få en hel flate. ette betyr at vi ikke kan flislegge med regulære femkanter På figuren ovenfor har vi satt sammen regulære sekskanter. Vi ser at dette passer for vårt formål dvs. at flisene dekker en sammenhengende flate. (Hvordan ser en bikube ut?) Vi kunne fortsette med regulære syvkanter, åttekanter, nikanter osv., men da ville vi finne ut at det ikke er mulig å flislegge med slike mangekanter. Prøv selv! Konklusjon Vi kan flislegge med trekanter, firkanter og sekskanter når vi skal bruke én typefliser. Vi må bruke minimum tre mangekanter, og summen av vinklene til flisene som skal dekke et hjørne, må være 360. II Fliser med ulik regulær form Fra det forrige avsnittet vet vi at vi må ha minst tre regulære mangekanter for å dekke et hjørne, og at summen av vinklene i et hjørne er 360. Men når vi har ulik form på flisene, er det viktig at lengden på sidene av flisene er like store. 77

16 På figuren ovenfor har vi flislagt med regulære sekskanter (,, 3, 4, 5, 6) og regulære trekanter (7, 8, 9, 0). Hvorfor er de fire trekantene på figuren regulære? På denne figuren har vi én regulær sekskant (), syv regulære trekanter og seks regulære firkanter. Poenget her er at summen av vinklene på flisene som møtes i et hjørne, er 360. essuten er alle sidene i de tre ulike mangekantene like lange. et finnes flere kombinasjoner som gir hel flate. Prøv for eksempel om det er mulig med én eller flere kombinasjoner der vi kan bruke åttekanter. 78

17 MTMTIKK: Nye geometriske figurer.0 Pentagon og pentagram Vi innskriver en regulær femkant i en sirkel (se avsnitt.7). Vi trekker deretter linjer mellom hjørnene (se figuren nedenfor) Hvis vi etterpå visker bort sirkelbuen og sidene i femkanten, får vi en «stjerne» med fem tagger. I F G H Punktene F og G høydeler siden. Punktene G og H høydeler siden, osv. en indre femkanten er en regulær femkant, og vi kan fortsette å trekke linjer mellom hjørnene. Vi får nye høydelinger av sidene. e nye femtaggede stjernene er formlike og vi kan gjøre stjernene så små vi bare kan. Tilsvarende problemstillinger blir behandlet mer senere (se fraktaler). Finn ut hvor pentagrammet er et symbol. 79

18 Hexagonet (sekskanten) og davidsstjernen F Vi konstruerer en sekskant F innskrevet i en sirkel. Vi trekker linjer mellom,,, F, F og (se figuren til venstre ovenfor). Vi fjerner sirkelen og sidene i sekskanten og får en stjerne som vi kaller for davidsstjernen. Finn ut om det er noen områder der denne stjernen er et symbol.. Fraktaler (fraktal = «fractus» som betyr «bruddstykker») For å forstå hva som skiller fraktaler fra annen geometri, må vi vite litt om den klassiske geometrien. en klassiske geometrien handler om trekanter, rektangler og sirkler. isse formene, og kunnskapene om dem, har spilt en stor rolle gjennom historien, spesielt innenfor arkitektur og teknikk. Men i beskrivelsene av naturen har disse formene ikke alltid passet inn. Spørsmålet er om det er mulig å beskrive naturen med matematiske formler. et er her begrepet fraktaler kommer inn. Man har blant annet framstilt modeller av skyformasjoner, fjellformasjoner, plantevekster og landskap som har stemt svært bra med virkeligheten. eskrivelsen av fraktaler er en relativt ny vitenskap som for første gang dukket opp da den polsk-amerikanske matematikeren enoit. Mandelbrot fikk utgitt boken Les Objets Fractal: Forme, Hasard et imension (975). en videre utviklingen skjedde for en stor del på 980-tallet, da datamaskinenes økte kapasitet tillot den mengden beregninger som det ble spørsmål om. Mandelbrot kom ut med en ny bok om fraktaler i 98/983: The Fractal Geometry of Nature. Populariteten økte utover på 990-tallet, også utenfor de matematiske kretsene. Flere og flere oppdaget og ble fascinert av de kunstneriske bildene. 80

19 MTMTIKK: Nye geometriske figurer Mandelbrot definerer en fraktal som en ujevn eller fragmentert geometrisk form som kan deles i flere smådeler (subdeler), som hver er en mindre kopi av helheten. Figurene er formlike (i det minste tilnærmet). Geometriske figurer har med matematikk å gjøre. lle figurer, både trekanter, firkanter, sirkler og fraktaler, kan beskrives med matematiske formler. n datamaskin kan lagre formler i sin hukommelse, for eksempel formelen for en fraktal. en putter et tall inn i formelen og får et nytt tall som resultat. et nye tallet settes inn i samme formel, og dette gjentas mange millioner ganger. For å lage et bilde av fraktalen forvandles tallene fra formelen til farger, som så sendes til dataskjermen. Mandelbrot sammenliknet den britiske (og den norske) kystlinjen med en fraktal. Hvis man studerer en stadig mindre del av kystlinjen, vil man finne ut at hver del er formlik med hele kystlinjen. Fraktaler kan formes ved en iterativ prosess. et betyr kort sagt at vi gjentar samme operasjon uendelig mange ganger. Vi kan for eksempel dele et linjestykke i tre deler, fjerne det midterste stykket og sette inn to linjestykker som er like lange som det vi har fjernet. a får vi en mer «komplisert» figur. lomkålen er også en fraktal. lomkålhodene er sammensatt av buketter, og tar vi ut en bukett, vil vi se at den likner hele blomkålhodet. uketten er sammensatt av mindre buketter som er formlike med hele hodet (jamnfør de stadig mindre pentagrammene). c Scanpix/orbis 8

20 I neste omgang kan vi dele hvert av de fire linjestykkene i tre deler, fjerne det midterste stykket og erstatte med to linjestykker som er like lange som det vi har fjernet. Slik kan vi teoretisk sett fortsette i det uendelige. ette prinsippet ligger bak von Kochs snøfnuggskurve. Trinn : Vi tegner en likesidet trekant. Trinn : Vi lager en stjerne: Vi deler hver side i trekanten i tre deler, fjerner den midterste delen, og setter inn to linjestykker med samme lengde som den delen som ble byttet ut. Trinn 3, 4,... gjentar operasjonene fra trinn. 60 Trinn Trinn Trinn 3 8

21 MTMTIKK: Nye geometriske figurer Men det er ikke alle iterative prosesser som gir en fraktal. Hvis vi har et linjestykke som vi kutter i begge ender, har vi fått et mindre linjestykke, ikke en mer «komplisert» figur. Fortsetter vi slik, vil linjestykket bli mindre og mindre, men det blir ikke en fraktal. Her er en annen fraktal som deler et linjestykke i tre deler og fjerner den midterste delen. ette gjør vi«uendelig» mange ganger, og vi får en fraktal som figuren viser. enne fraktalen blir kalt for antor s ust. 0 a 0 /3 a /3 a a 0 /9 a /9 a 3/9 a 6/9 a 7/9 a 8/9 a a 0 a 7 a 7 a 3 7 a 6 7 a 7 7 a 8 7 a 9 7 a 8 7 a 9 7 a 0 7 a 7 a 4 7 a 5 7 a 6 7 a Sierpinski-trekanten (the Sierpinski triangle) n av de mest berømte fraktalene er Sierpinski-trekanten. ette er en likesidet trekant som blir delt opp i uendelig mange likesidede trekanter: Trinn : Vi halverer de tre sidene og trekker linjer mellom halveringspunktene. Vi ser at vi har fått fire likesidede trekanter. Vi fjerner den i midten. ette tilsvarer det vi gjorde med linjestykkene, fjernet den midterste delen. et er altså tre av fire trekanter igjen, dvs. 3 4 av det opprinnelige antallet. 83

22 Trinn : Vi halverer sidene i de tre trekantene og trekker linjer mellom punktene. Vi fjerner også her de midterste trekantene, dvs. tre nye hull. et er nå ni små trekanter igjen av i alt 6 (den «store» trekanten i midten består avfire små trekanter), dvs. 9 6 ¼ 3 4 av den opprinnelige trekanten. Trinn 3: Vi halverer sidene i de gjenstående trekantene, trekker linjer og får nye likesidede trekanter. Vi fjerner også her de midterste. Hvis vi teller antall små trekanter som er igjen, vil vi finne ut at det er 7 stykker. Hvis vi skal finne ut hvor mange små trekanter vi har fjernet, vil de tre halvstore trekantene hver inneholde fire små trekanter, mens den største inneholder fire halvstore trekanter som igjen inneholder fire små trekanter. Vi har altså fjernet 9 þ 3 4 þ 4 4 ¼ 37 trekanter. 3igjen et er 3 4 av den opprinnelige trekanten. Slik kan vi fortsette å dele trekantene. Hvor stor del er igjen etter trinn 4? Hva med trinn 5? 84