Kapittel 21 TESSELERING TESSELERING. Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer.

Transkript

1 TESSELERING Tesselere betyr å dekke en flate med en type eller noen få forskjellige typer figurer.

2 Tesselering i planet med regulære mangekanter (regulære polygon) Vi bruker en regulær åttekant (et regulært oktogon) som eksempel: Toppvinklene i de likesidete trekantene 360 må være = Summen av vinklene i en trekant er 180. Da må de to andre vinklene til sammen være = 135. Hver vinkel er halvparten, 67,5 (trekanten er likesidet vinklene er like store). De åtte trekantene er kongruente. Dermed vet vi at vinkelen i hvert hjørne i åttekanten er 67,5 + 67,5. Kantvinkelen er 135.

3 Vi utleder en formel for å beregne kantvinklene i en vilkårlig regulær mangekant. Vi starter med å si at mangekanten har n hjørner og deler den i n likebente, kongruente trekanter. I hver trekant må toppvinkelen være 360. n Summen av de to andre like store vinklene må være n Måltallet for denne vinkelsummen er lik måltallet for kantvinkelen, og vi kan konkludere slik: I en regulær n-kant er kantvinkelen n

4 Kantvinkler for regulære mangekanter, fra og med 3-kanter opp til og med 20-kanter:

5 Er det en øvre grense for hvor stor en kantvinkel kan være?

6 Vi kan tegne en regulær mangekant ved å trekke en side, dreie så mye som kantvinkelen tilsier, trekke den neste siden, dreie, trekke den neste siden osv. inntil vi har tegnet hele mangekanten. Dersom kantvinkelen er 90, er mangekanten er regulær firkant. Dersom vi fargelegger området mellom vinkelbenene til kantvinklene, dvs. dersom vi fargelegger mangekanten, blir resultatet slik: Sirkelen markerer verden (universet) rundt mangekanten. En kantvinkel er alltid mindre enn 180. La oss nå sprenge denne 180 grensen. Med en kantvinkel på 270 gir den samme konstruksjonsteknikken følgende regulære mangekant : Vi kalte dette et lite filosofisk sidesprang. Tankegangen i noen av de teoriene som forsøker å forstå universet, har litt til felles med dette sidespranget.

7 Type regulær mangekant Trekant Firkant Femkant Sekskant Sjukant Åttekant Nikant Tikant Ellevekant Tolvkant Alternativ betegnelse Triangel Kvadrat Pentagon (gresk pente betyr fem) Heksagon Heptagon (kan ikke konstrueres med passer og linjal) Oktagon Enneagon Dekagon Endekagon Dodekagon

8

9 . Type n-kanter Vinkelsum = = = = = 360 De to kombinasjonene Type n-kanter Vinkelsum = = 360 går greit: Bare én av de to kombinasjonene under kan brukes. Hvilken? Type n-kanter Vinkelsum = = 360

10 Vi fortsetter med firerkombinasjoner. Tabellen forteller oss at følgende kombinasjoner av fire regulære mangekanter gir en vinkelsum på 360 : Type n-kanter Vinkelsum = = = = 360 Den første (fire kvadrat) har vi sett tidligere. Skissene under bekrefter at de tre andre kombinasjonene kan arrangeres slik at vinkelsummen av fire vinkler med felles toppunkt blir 360. Men kan vi tesselere med disse kombinasjonene?

11 Tesselering med ikkeregulære mangekanter Rombene til Roger Penrose

12 Tesselering i rommet (i tre dimensjoner) Tesseleringen under bruker trekanter (ikke nødvendigvis regulære), og er en god matematisk modell av en mulig form på et nytt fly. I rommet gjelder ikke kravet om at summen av kantvinklene i et møtepunkt skal være 360.

13 Visste du at fotballen ble funnet opp av Arkimedes (287 f.kr. 212 f.kr.)? Han tesselerte med tolv regulære femkanter (pentagon) og tjue regulære sekskanter (heksagon). Leonardo da Vinci ( ) tegnet tesseleringen slik: Når en i dag bruker tesseleringen til å lage fotballer, er det vanlig å bruke sorte femkanter og hvite sekskanter.

14 Tesselering i kunsten Mange bildekunstnere har tesselering som én av sine teknikker. Bildene kan være rene tesseleringer eller ha tesseleringer som element i bildet. Figurene kan være rettlinjet eller friere i formen. Utsnittet på den første siden i dette kapitlet bruker hundefigurer: Ren tesselering er brukt i mange av bildene til Maurits C. Escher. I andre bilder bruker han en teknikk som ligner tesselering. La oss kalle den dynamisk tesselering. I små skritt forandrer figuren eller figurene form. I bildet til høyre ser vi tydelig fugler øverst og fisker nederst.