LGU51005 A, Matematikk

Transkript

1 Skriftlig eksamen i LGU51005 A, Matematikk studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 10. desember BOKMÅL Sensur faller innen torsdag 9. januar Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. fredag 10. januar 2014 (se Vi gjør oppmerksom på at frist for eventuelt å be om begrunnelse er 1 uke fra karakteren er bekjentgjort iht. lov om universiteter og høgskoler. Timer: 6 timer Hjelpemidler: Ett A4-ark med egne notater med mulighet for å skrive på begge sider av arket. Informasjon: Oppgavesettet er på 6 sider og består av 5 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene begrunnes. Den endelige karakteren vil bygge på en helhetsvurdering av besvarelsen. OPPGAVE 1 En gruppe elever i 10.klasse skal jobbe med todimensjonale bilder av ulike gjenstander. Bildene skal være sammensatt av kjente geometriske figurer. Turid, Trond og Tormod skal tegne en iskrem formet som en drake med to tilhørende halvsirkler. 1

2 De får oppgitt at omkretsen av sirkelen som halvsirklene på og er en del av har omkrets lik 5 cm og at er 4 cm. a) Finn eksakt verdi for arealet av halvsirkelen. b) Finn lengden av. Turid, Trond og Tormod får videre vite at trekanten skal ha vinkler på 30, 60 og 90 grader ( er den korteste sida i trekanten). I løpet av arbeidet med iskremfiguren oppstår følgende dialog: Tormod: Trond: Tormod: Trond: Turid: Trond: Jeg lurer på om ikke er dobbelt så lang som? Ja, jeg tror vi lærte at kateten alltid var halvparten av den lengste sida... Halvparten av hypotenusen? Ja. Men jeg tror ikke det var akkurat den sida, for det står her (Turid leser fra boka): «Den korteste sida i en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader er alltid halvparten av hypotenusen» Hm... rart at det alltid er sånn! c) Forklar hvorfor det er slik at den korteste kateten i en trekant med vinkler på 30, 60 og 90 grader alltid er halvparten av hypotenusen. Hvordan kan du illustrere og forklare dette for elvene? d) Er trekantene og formlike? Inspirert av denne iskremfiguren bestemmer Turid, Trond og Tormod seg for å lage en drake av stoff og spiler (Spilene i draken er linjestykkene og ). De skal bruke iskremfiguren som arbeidstegning. Spilene i draken skal være ti ganger så lange som målene på figuren. e) Hvor mange ganger større blir arealet av draken som Turid, Trond og Tormod vil lage, sammenliknet med arealet av draken i iskremfiguren? Elevene kan ikke sy, så de vil klippe ut stoffet til draken i ett sammenhengende stykke. Tormods mor har et kvadratisk stykke stoff på 81dm. De lager en pappmodell av draken i full størrelse og legger den oppå stoffet, slik at den lengste spilen i draken deler stoffkvadratet i to like deler, samtidig som den er parallell med sidekanten i kvadratet. f) Kan man klippe langs kantene av pappmodellen slik som den nå er plassert, og ende opp med ønsket drake? 2

3 OPPGAVE 2 Jens og August spiller bondesjakk. Jens spiller med sirkler og August spiller med kryss. Etter å ha spilt en omgang fikk Jens faktisk to rader og vant spillet. Mønsteret så da slik ut: Følgende ordveksling finner sted: Jens: August: Jens: Wow det er jo helt symmetrisk jo! Nesten i hvert fall. Ikke bare nesten, det går jo ikke an å få det mer symmetrisk enn dette! a) Finn alle symmetriene i figuren over. b) Kommenter Jens sin forståelse av symmetribegrepet i lys av dialogen mellom de to guttene. Etter at spillet er ferdig tegner August opp følgende brett, samtidig som han sier: August: Det kaller jeg symmetrisk, det! c) Finn alle symmetriene i det nye brettet August har laget. 3

4 d) Bondesjakkbrettet i c) har samme symmetrier som en regulær mangekant. Hvilken? e) Gi et eksempel på en mangekant som har de samme symmetriene som bondesjakkbrettet i oppgave a). f) En mangekant har enten -symmetri eller -symmetri, der figurer med - symmetri har rotasjonsymmetrier og figurer med -symmetri har rotasjonsymmetrier og speilsymmetrier. De to bondesjakkbrettene i a) og c) er mer kompliserte enn mangekanter men vil de likevel oppfylle dette kriteriet? g) Hvordan kan symbolene (5 sirkler og 4 kryss) plasseres for at bondesjakkbrettet skal ha nøyaktig to rotasjonsymmetrier (inkludert identitetsavbildningen) og ingen speilsymmetrier (dette kalles å ha -symmetri)? OPPGAVE 3 Lærer Torbjørn har gitt den følgende oppgaverekken til elevene sine i 6. klasse: 340:17 68:17 408:17 Elevene Erna, Siv, Knut Arild og Trine løser oppgavene på følgende måte: Erna prøver å løse 68:17 slik = = =68 Svaret blir 4. Siv løser samme oppgave, men hun gjør det på en annen måte: 17 10= = =68 Så svarer hun 5-1=4. Knut Arild skriver: 1 17= = =68 Han svarer 68:17=4. 4

5 Trine løser den første oppgaven 340:17 slik: 10 17= ?= =340 Så svarer hun 340:17=20. a) Analyser elevenes svar på oppgavene. Hvilke strategier og idéer har de brukt? Hvilke matematiske lover bruker de? b) Torbjørn har inkludert oppgaven 408:17 i oppgaverekken han gir til elevene sine. Han har inkludert denne oppgaven fordi han håper at elevene skal oppdage en viktig matematisk lov. Hvilken lov tenker han på? Hvorfor vil denne oppgaven hjelpe elevene til å oppdage denne loven? c) Torbjørn lurer på om han skal inkludere to ekstra oppgaver i rekken 323:17 399:21 Vis hvordan vi kan bruke strategiene som elevene brukte tidligere til å løse disse to oppgavene. OPPGAVE 4 Sjetteklassingen Kari sitter å jobber med multiplikasjon sammen med sidemannen Per. Kari har oppdaget en rask måte å multiplisere sammen tall på. I boka si har hun notert: 55 45= = a) Hvorfor blir dette riktig i disse tilfellene? Bruk matematiske lover eller arealmodellen for å begrunne svaret. Per synes dette ser ut som en veldig effektiv måte, og han prøver å bruke den samme metoden på noen andre regnestykker. Han regner ut: 47 47= = b) Hvorfor blir ikke dette rett? Hvordan kan Per endre metoden for å få den til å fungere i disse tilfellene? Begrunn svaret! 5

6 OPPGAVE 5 I en klasse hvor elevene har arbeidet en stund med brøk og brøkbegrepet, presenterer læreren følgende problem: Ved et bord sitter tre elever som skal dele to pizzaer, og ved et annet bord sitter fem elever som skal dele tre pizzaer. På hvilket bord får hver elev mest pizza? a) Løs oppgaven og gi en forklaring du mener er relevant dersom du skulle presentert en løsning for klassen. Det kommer et forslag om rettferdig fordeling fra en elev i klassen: «De kan jo bare slå sammen bordene og dele på maten.» b) Gi et argument for at < < med utgangspunkt i den nye situasjonen Lykke til! 6