2.4 Sprettoppfigurer, overraskelseseffekter med mye matematikk

Transkript

1 2.4 Sprettoppfigurer, overraskelseseffekter med mye matematikk Sprettoppfigurer er noe de aller fleste har sett eller kanskje til og med laget selv. Allerede på 1600-tallet ble de første bøkene med sprettoppfigurer laget, så her dreier det seg om en gammel kunst. Vi skal lage noen av de enkleste modellene som likevel kan gi noen overraskelseseffekter. I tillegg skal vi undersøke hvilken matematikk som gjemmer seg bak den morsomme fasaden. Vi arbeider med to teknikker, en der vi bruker strikk for å la figuren sprette i været og en der vi nøyer oss med hyssing som vi trekker i for å la figuren reise seg langsomt fra en flat utgave til en plastisk modell. Vi begynner med den kanskje mest overraskende modellen nemlig et oktaeder. Ordet oktaeder, betyr kort og godt «åtte flater», den er bygget opp av åtte likesidete trekanter. Ingredienser til troll-i-eske Utklippsfiguren enten kopiert eller limt på papp Saks Strikk Lim Kniv Kopier utklippsfiguren på en litt stiv papplate, eller lim en vanlig kopi på en slik papplate. (Den kan med fordel forstørres noe.) Figur 2.34 KAPITTEL 2 35

2 Figur 2.35 Bruk knivens stumpe egg til å gjøre alle brettekantene bøyelige. Hankene for strikken forsterkes ved å brette dem dobbelt og så lime begge flatene sammen. Limflatene limes så sammen, og vi får en figur som kan presses ned i en flat utgave med en overside og en underside som hver består av fire trekanter. Monterer vi nå strikken på hankene, vil figuren sprette opp så snart den frigis. Legger vi den sammenbrettede utgaven f.eks. i en bok, vil den holde seg sammenbrettet inntil noen åpner boken og får sin «livs Figur 2.36 største overraskelse». Noen utstafferer figuren med illsinte øyne og to rader sylkvasse tenner i de sammenklaffende kjevene slik at offeret skal bli ordentlig skremt. Den neste figuren er et tetraeder (som betyr fire flater), og består av fire likesidete trekanter. Klipp ut figuren, gjør brettekantene bøyelige og lim flate A på en større papplate. Lag små hull der det er angitt i tegningen og før en hyssing gjennom hullene slik tegningen viser. Figuren ligger nå flat på den store papplaten. Ved å dra i hyssingen det kan skje usynlig under bordet vil figuren nå reise seg og brette seg sammen til et tredimensjonalt tretraeder. Figur 2.37: Et tetraeder som kan reise seg. 36 GEOMETRI

3 Kuben nedenfor skal også betjenes med hyssing. Den kan festes på samme papplate som tetraederet. Oppskriften er nokså lik oppskriften for tetraederet. Figur 2.38: Kuben som kan reise seg. Dobbeltpyramiden likner på oktaederet. Men her er det lettere å foreta forandringer og variasjoner. Utklippsfiguren (figur 2.39) består av to halvdeler som skal limes sammen etter at limflippene er brettet innover. Hankene for strikken forsterkes igjen som ved oktaederet. Når du limer sammen halvdelene må du selvsagt sørge for at de åpne sektorene møtes. Sett strikken på plass etter at hankeforsterkningene er tørket og la dobbeltpyramiden sprette opp. Det gir et lite smell fra seg når figuren klapper sammen 2. Oppgave 2.8 Vi ser igjen på tetraederet eller kuben. Er det mulig å føre en ny hyssing gjennom utvalgte punkter på figuren slik at figuren også kan flates ut ved å trekke i den nye hyssingen? Hvor må en slik hyssing gå? 2 Mange gode ideer om andre sprettoppfigurer finner du i Hiner (1996) KAPITTEL 2 37

4 Figur 2.39: Dobbeltpyramiden klapper sammen med et smell. Oppgave 2.9 Dobbeltpyramiden kan lett varieres. Vi brukte 7 trekanter på hver side. Hva må vi passe på når det gjelder vinklene for disse trekantene dersom vi forandrer antall trekanter per side? Oppgave 2.10 Vi prøver å beregne hvor «tjukk» eller hvor høy dobbeltpyramiden blir når den spretter opp. Vi tenker oss halve pyramiden med syv trekantflater stående på en papplate. Projiserer man disse syv trekantene ned på papplaten, får vi en regulær syvkant som er delt i syv kongruente mindre trekanter som møtes i midten. Hvor store er vinklene i disse trekantene? Hvor store er vinklene i de opprinnelige trekantene? R u r v Figur 2.40 l l 38 GEOMETRI

5 Finn en sammenheng mellom størrelsene R og l i trekantene som danner sideflatene i pyramiden. Se på den regulære syvkanten i tegningen. Du kjenner nå vinklene og lengden av l. Finn så avstanden r mellom et hjørne og senteret i syvkanten. SIDEFLATE t R PROJEKSJON l Figur 2.41 r Se på figuren over, der en av pyramidens sideflater er projisert ned til en trekant som hører til den regulære syvkanten. Vi kjenner størrelsene l og r. Finn nå tykkelsen (høyden t) på pyramiden ved å bruke Pythagoras setning. Oppgave 2.11 Undersøkelse: Matematikeren Euler (Sveits, ) fant en sammenheng mellom antall hjørner, kanter og flater for slike sprettoppfigurer. Vi kaller hjørneantallet for h, kantantallet for k og antall flater for f. For kuben får vi eksempelvis h=8, k=12 og f=6. For å finne sammenhengen er det lurt å lage seg en liten tabell der vi noterer våre observasjoner for de ulike romlegemene. ROMLEGEME Antall Antall Antall hjørner, h kanter, k flater, f Kube Tetraeder Dobbeltpyramide Hint: For å gjette formelen vi er på jakt etter, kan det lønne seg å se på størrelsen k h. Det kan være lurt å undersøke enda flere romlegemer med rette kanter og plane flater for å få et større tallmateriale slik at det blir lettere å gjette en tallsammenheng. En kan f.eks. tenke seg andre dobbeltpyramider der hver halvpart er bygget opp av f.eks. fem, seks eller syv trekanter. Det vil også være lurt å se på en fotball. Den har 20 sekskanter og 12 femkanter. Undersøker dere andre figurer er det viktig å se på romlegemer som buler ut. På fagspråket heter disse konvekse. Disse er slik at vi ikke kan finne innbuktninger på dem. Forbindelseslinjen KAPITTEL 2 39

6 mellom to punkter på romlegemet vil i sin helhet ligge innenfor legemet eller innenfor en sideflate eller en kant. Figur 2.42 illustrerer hva en ikke-konveks figur er for noe. Her gjelder ikke sammenhengen som Euler fant og som vi også er på jakt etter. Dere oppdager vel nokså raskt at det er lurt å se på uttrykket h k+f. Vi prøver å vise at dette uttrykket gir det samme tallet for alle romlegemene vi har undersøkt. Derfor setter vi h k+f=x. Fig I våre argumenter skal vi benytte oss av den intuisjonen som våre sprettoppfigurer formidler. Vi starter med den ferdige romfiguren og skal brette den forsiktig ut slik at vi får den opprinnelige flate «utklippsfiguren» tilbake. Med en knivsegg åpner vi figuren langs den ene av de kantene som ikke henger sammen. Da vil antallet kanter øke med en siden den oppsprettede kanten nå vil telle dobbelt. I formelen får vi derfor h k+f=x 1. Fig. 2.43: Det første snittet Når vi videre bretter ut figuren, åpner vi alltid med kniven langs en kant. Dette øker kantantallet med en samtidig som det øker hjørne-antallet med en. Uttrykket h k+f på venstresiden av likningen er uforandret. Vi har altså under hele «åpningsprosessen» h k+f=x 1. Til slutt ligger figuren helt flat og utbredt i planet. Figur 2.44: Den videre utbrttingen Fortsettelsen er mer et tankeeksperiment enn at vi behøver å gjennomføre alle skritt. Når alt ligger i planet blir ting enklere. Vi tenker oss at vi fjerner en og en av de «indre» kanter. Det er de kantene som ikke grenser til den uendelige flaten utenfor tegningen. Ved å 40 GEOMETRI

7 Figur 2. 45: Vi fjerner en indre kant. Figur 2.46: Vi fjerner en indre kantfølge fjerne en kant vil to flater smelte sammen til en flate. Kantantallet går ned med en, men det gjør også flateantallet, og venstresiden i likningen er uforandret. Vi får fortsatt h k+f=x 1. Noen ganger må vi fjerne en hel kantfølge (noen kanter etter hverandre) for å oppheve grensen mellom to flater. En slik kantfølge består av n kanter og (n 1) hjørner. Alt i alt er også her venstresiden av likningen uforandret siden (n 1) n+1=0. Prosessen stopper opp når vi har fått en vanlig n-kant, en femkant eller en 11-kant f.eks. I disse tilfellene er forholdene enkle. h=n, k=n og f=1, slik at h k+f=1. Høyresiden er uforandret gjennom hele prosessen, og derfor er høyresiden den samme for n-kanten som for romlegemet vi startet med. Vi får at x=2, og kan konstatere at h k+f=2 for alle romlegemer som kan brettes ut til en flate på den måten vi har beskrevet. Oppgave 2.12 Prøv å finne ut hvor argumentet vårt svikter når vi undersøker «kuben på kuben» (figur 2.42). Finn andre spennende figurer der Eulers formel ikke passer. Finn en formel for disse og argumenter for den. Vi nevnte at man måtte være forsiktig med ikke-konvekse romlegemer. Vis at det finnes mange ikke-konvekse romlegemer som likevel oppfyller Eulers formel. oooooo Et regulært polyeder er et konvekst romlegeme som er bygget opp av kun regulære mangekanter av samme sort og størrelse. I figur 2.47 ser du bilde av de fem regulære polyedrene. Disse er også kjent KAPITTEL 2 41

8 som Platonske legemer. Platon identifiserte regulære polyedre med de fire elementene, vann, luft, ild og jord. Det femte polyedret, dodekadret, kalte Platon verdenspolyeder siden det var den beste tilnærmingen til en kule. Merkelig nok finnes det ikke flere enn disse fem regulære polyedrene. Oppgave 2.13 Finn ut om Eulers formel stemmer for de regulære polyedrene. tetraeder oktaeder icosaeder kube dodekaeder Figur 2.47 oooooo Samler vi tre likesidete trekanter ved siden av hverandre med et hjørne felles får vi ved hjørnet en totalvinkel på 180 grader (tetraeder). Samler vi fire trekanter får vi en totalvinkel på 240 grader (oktaeder), og med fem så får vi 300 grader (ikosader). Hadde vi prøvd å samle seks eller flere likesidete trekanter rundt et hjørne, ville totalvinkelen blitt 360 grader eller mer, slik at disse ikke ville dannet noen «spiss». Argumenter på samme måte for firkanter, femkanter osv. og vis at vi ikke kan ha andre regulære polyedre enn de nevnte fem. Oppgave 2.14 En fotball er et såkalt semiregulært polyeder. Flatene består av to typer regulære polygoner. Fotballen består av 20 kongruente regulære sekskanter og 12 kongruente regulære femkanter. Undersøk om Eulers formel er korrekt for en fotball. Figur 2.48 Oppgave 2.15 Finn frem en kålrabi og skjær til et polyeder med plane flater. Sjekk om Eulers formel holder. Se nå på et av hjørnene. Her møtes tre, fire eller fem (eller generelt n) flater. Med kniven kutter du av dette 42 GEOMETRI

9 hjørnet og får en ny flate der. Denne nye flaten har tre, fire eller fem kanter. Vis at Eulers formel også stemmer for den nye figuren din. Vis at formelen stemmer i det generelle tilfellet der den nye flaten har n kanter. Oppgave 2.16 Skaff deg noen sugerør og en rull ståltråd. Tre ståltråden gjennom sugerørene og lag trekanter, firkanter og femkanter. Figurene skal så kobles sammen til et polyeder. Lag mange varianter. Bruk gjerne sugerør av forskjellig lengde. Sjekk Eulers formel for dine polyedre. Oppgave 2.17 Nedenfor ser du noen andre polyedre som du kan kopiere, muligens forstørre, klippe ut og lage sprettoppfigurer av. Kontroller om Eulers formel er korrekt. Kan du bare ved å se på den plane utgaven kontrollere Eulers formel? Figur 2.49 KAPITTEL 2 43

10 Figur GEOMETRI

11 Figur 2.51 KAPITTEL 2 45